理论力学8章分析解析

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理论力学第八章

x o ' = x o ' (t ) 牵连运动方程 y o ' = y o ' ( t ) = ( t )
动系与定系之间的坐标变换关系
x = xO′ + x′ cos y′sin y = yO′ + x′ sin + y′ cos
沿半径为r的圆例8-1 点M相对于动系 Ox′y′ 沿半径为的圆相对于动系周以速度v作匀速圆周运动圆心为O 作匀速圆周运动(圆心为周以速度作匀速圆周运动圆心为 1 ），动系x′y′ O Oxy 以匀角速度ω绕点作定轴转动，相对于定系以匀角速度绕点O作定轴转动，绕点作定轴转动如图所示。重合，重合。如图所示。初始时x′y′ 与与重合 O Oxy 重合，点M与O重合。的绝对运动方程。求：点M的绝对运动方程。的绝对运动方程
. 已知: 已知 ω, OA, = r, OO1 = l, OA水平求: ω1 = ?
解:
1．动点：滑块A ．动系：摇杆AB 2. 运动分析绝对运动:绕O点的圆周运动
相对运动:沿O1B的直线运动牵连运动:绕O1轴定轴转动
√ √ √
3.
ve = va sin = ωr
r
2 2
l +r ve r2ω ∴ω1 = = 2 2 O A l +r 1
4. 绝对运动方程 vt vt x = x′ cos y′ sin = r1 cos r cosωt r sin r sin ωt y = x′ sin + y′ cos = r1 cos vt sin ωt + r sin vt co-3 用车刀切削工件的直径端面，车刀刀尖 M沿水平轴作往复运动，如图所示。设oxy为定坐沿水平轴x作往复运动沿水平轴作往复运动，如图所示。为定坐标系，刀尖的运动方程为 x = bsin (ωt ) 。工件以标系，逆时针转向转动。等角速度 ω逆时针转向转动。求：车刀在工件圆端面上切出的痕迹。车刀在工件圆端面上切出的痕迹。

理论力学PPT课件第8章虚位移原理与能量法

理论力学ppt课件第8章虚位移原理与能量法
目录
虚位移原理能量法拉格朗日方程哈密顿原理最小作用量原理
01
CHAPTER
虚位移原理
03
与实际位移的区别
实际位移会改变系统的能量和状态，而虚位移不会。
01
虚位移
系统在平衡状态下的一种假设的、微小的位移，不改变系统的内能。
02
特点
虚位移是约束允许的、可以无限接近的、无穷小且不改变系统能量的位移。
虚位移概念
虚位移原理
对于一个处于平衡状态的完整系统，所有主动力在虚位移上所做的功之和等于零。
表述公式
$ΣF_{i}δr_{i} = 0$
解释
该公式表示系统在平衡状态下，主动力在任意虚位移上所做的功之和为零。
虚位移原理的表述
判断系统平衡状态
通过计算主动力在虚位移上所做的功之和，如果结果为零，则系统处于平衡状态。
哈密顿量是系统的总动能和总势能之和，加上约束条件的势能。
该原理适用于完整约束和非完整约束系统，是经典力学中最基本的原理之一。
哈密顿原理的表述
哈密顿原理与拉格朗日方程的关系
01
哈密顿原理和拉格朗日方程是经典力学中两个重要的基本原理，它们之间存在密切的联系。
02
拉格朗日方程是从哈密顿原理推导出来的，描述了系统运动状态随时间的变化规律。
哈密顿原理是更一般的原理，可以推导出拉格朗日方程，也可以推导出其他形式的运动方程。
03
哈密顿原理在经典力学中有着广泛的应用，例如在分析力学、振动分析、稳定性分析等领域。
在振动分析中，哈密顿原理可以用来描述振动系统的能量分布和传播规律。
哈密顿原理的应用实例
在分析力学中，哈密顿原理可以用来求解约束系统的运动轨迹和运动状态。

08-理论力学-第二部分运动学第八章刚体的平面运动

形S在该瞬时的位置也就确定了。
88
运动学/刚体的平面运动
四、平面运动的分解 ——平移和转动
当图形Ｓ上Ａ点不动时，则
刚体作定轴转动。
当图形Ｓ上角不变时，
则刚体作平移。
故刚体平面运动可以看成是平移和转动的合成运动。
例如：车轮的平面运动可以看成: 车轮随同车厢的平移和相对车厢的转动的合成。
99
2121
如图示平面图形，某瞬时速度瞬心为P点，该瞬时平面图形内任一点B速度大小
vB vP vBP vBP
B
大小：vB BP
方向：BP，指向与转向相一致。
vB
S
vA
C
vC
同理:vA=ω·AP, vC=ω·CP
由此可见，只要已知图形在某一瞬时的速度瞬心位置和角速度，就可求出该瞬时图形上各点的速度。
的平面Ⅱ内的运动。
66
运动学/刚体的平面运动
二、平面运动的简化刚体的平面运动可以简化为
平面图形S在其自身平面内的运动。即在研究平面运动时，不需考虑刚体的形状和尺寸，只需研究平面图形的运动，确定平面图形上各点的速度和加速度。
三、平面运动方程为了确定代表平面运动刚体的
平面图形的位置，我们只需确定平面图形内任意一条线段的位置。
vBA
s
B
vB vA
A
vA
方向： AB, 指向与转向一致。
即：平面图形上任一点的速度等于基点的速度与该点随
平面图形绕基点转动的速度的矢量和。 ——基点法
基点法是求解平面图形内一点速度的基本方法。 1414
运动学/刚体的平面运动
二、速度投影法
由于A, B点是任意的，因此

08第八章习题解答

第八章习题解答8-1匀质杆AB 长l ，重G ，沿光滑的圆弧轨道运动如图示。

设当OA 在水平位置时，3arcisn =θ，125gl v A =，求此时轨道对于杆AB 的约束力。

题8－1图解：以杆AB 为研究对象，受力分析A F N 、B F N、G 如图示，杆AB 作定轴转动。

∵53arcsin =θ 53sin =∴θ 54cos =θ 25242sin =θ 2572cos =θ ∵ l R 85=、125gl v A = l g R v A 1516==∴ω l OC 83=AB 杆的质心加速度为OC a ⋅=21ω，OC a ⋅=α2 惯性力主矢*F和主矩*M 方向如图所示，大小为mg l l g m a m F 528315161*1=⋅⋅=⋅=l m a m F 832*2⋅⋅=⋅=ααα222*19243])83(121[ml l m ml M =+=题8－1答案图列平衡方程式∑=0)(F m zO 01924353832=−⋅⋅αml l mg l g 215216=α 0=∑ixF 0sin cos 2cos N *1*2N =−++⋅A B F F F F θθθ 0=∑iyF0cos sin 2sin *1*2N =−−+⋅mg F F F B θθθ mg l g ml F 2158121521683*2=⋅=代入上式得：mg F B4349N =，mg F A 4337N =8-2 匀质杆AB 长l ，重G ，用两根软绳悬挂如图示。

求当其中一根软绳切断，杆AB 开始运动时，另一根软绳中的拉力。

题8－2图解：建立参考基e C−，连体基1e O −和2e B −设当AO 被切断时，BO 的角加速度为1α，AB 杆的角加速度为2α题8－2答案图以杆AB 为研究对象，受力分析如图示重力G ，绳中张力T F 。

杆AB 作平面运动，惯性力主矢*F 和主矩*M 方向如图所示，大小为：C ma F =*，2*αC J M =e C e C e tC C a a a a αω222 ++= ， 02=eC a ω e B e B e tC a a a αω112 +=, 01=e B a ω , B e B a a=α1 e C e B C a a a αα21 +=, eC e B C a m a m a m αα21 += 11*122ααl m ma F e B ==∴ 22*22ααl m ma F e C == 22*121αml M =0)(=∑F m Dz0121442222=+⋅−⋅ααml lmg l ml lg 562=α0)(=∑F m Cz012122222T =−⋅⋅αml l Fmg F 52T =8-3 匀质杆AB 长2l ，重G ，一端A 用长l 的软绳OA 拉住，一端B 放在光滑地面上如图示。

理论力学哈工大第七版第8章精品

C

一般情况下,在每一瞬时,平面图形上都唯一地存在一个速度为零的点，称为瞬时速度中心，简称速度瞬心。
2.平面图形内各点的速度分布
基点：C
vM vMC CM
平面图形内任意点的速度等于该点随图形绕瞬时速度中心转动的速度。
3.速度瞬心的确定方法

已知 vA , vB的方向，
且
vA不平行于

0
vB 0
90
vB vA r, vBA 0
例8-4 已知：如图所示的行星轮系中，大齿轮Ⅰ固定，半
径为r1 ，行星齿轮Ⅱ沿轮Ⅰ只滚而不滑动，半径为r2。
系杆OA角速度为 O 。
求：轮Ⅱ的角速度ωⅡ及其上B，C 两点的速度。
解: 1.轮Ⅱ作平面运动基点：A
2.vD vA vDA 0
第八章刚体的平面运动
§ 8-1 刚体平面运动的概述和运动分解
1.平面运动
刚体平面运动：行星齿轮
刚体平面运动：车轮运动情况
在运动中，刚体上的任意一点与某一固定平面始终保持相等的距离，这种运动称为平面运动。
平面运动
平面图形的运动
刚体平面运动的简化
2.运动方程
xO f1 t
yO
方向垂直于 AB ，指向同
平面图形内任一点的速度等于基点的速度与该点随图形绕基点转动速度的矢量和。
例8-1 已知：椭圆规尺的A端以速度vA沿x 轴的负向运动，如图所示，AB=l。
求：B端的速度以及尺AB的角速度。
解： 1. AB作平面运动
2. vB vA vBA 大小？ vA ? 方向

f2 t
f3 t

《理论力学》第八章刚体的平面运动

刚体的平面运动特点
刚体的平面运动具有连续性，即刚体上任意一点的运动轨迹都是连续的。
刚体的平面运动具有周期性，即刚体的运动轨迹可以是周期性的。
刚体的平面运动具有对称性，即刚体的运动轨迹可以是对称的。
02
刚体的平面运动分析
刚体的平动分析
平动定义
刚体在平面内沿着某一确定方向作等速直线运动。
详细描述
通过综合分析动能和势能的变化，可以深入理解刚体在平面运动中的能量转换过程。例如，当刚体克服重力做功时，重力势能转化为动能；当刚体克服摩擦力做功时，机械能转化为内能。这种能量转换过程遵循能量守恒定律，即系统总能量的变化等于外界对系
统所做的功与系统内能变化之和。
06
刚体的平面运动的实例分析
刚体的平面运动通常可以分为两种类型：纯滚动和滑动。在纯滚动中，刚体只滚不滑，刚体上任意一点在任意时刻都位于一个固定的圆周上。在滑动中，刚体既滚又滑，刚体上任意一点在任意时刻都位于一个变化的圆周上。
刚体的平面运动分类
纯滚动
刚体只滚不滑，刚体上任意一点在任意时刻都位于一个固定的圆周上。
滑动
刚体既滚又滑，刚体上任意一点在任意时刻都位于一个变化的圆周上。
势能定理
总结词
势能定理描述了势能与其他形式的能量转换的关系。
详细描述
势能定理指出，在刚体的平面运动过程中，非保守力（如摩擦力、空气阻力等）对刚体所做的功等于系统势能的减少量。非保守力做正功时，系统势能减少；非保守力做负功时，系统势能增加。
动能和势能的综合分析
总结词
在刚体的平面运动中，动能和势能的综合分析有助于理解运动过程中能量的转换和守恒。
做平动，这种运动也是复合运动。

理论力学第8章动力学普遍定理

xC

mi
M
xi
,
yC

mi
M
yi
,
zC

mi
M
zi
10
在均匀重力场中，质点系的质心与重心的位置重合。可采用静力学中确定重心的各种方法来确定质心的位置。但是，质心与重心是两个不同的概念，质心比重心具有更加广泛的力学意义。二、质点系的内力与外力外力：所考察的质点系以外的物体作用于该质点系中各质点的力。内力：所考察的质点系内各质点之间相互作用的力。
应用质点运动微分方程，可以求解质点动力学的两类问题。
6
1.第一类：已知质点的运动，求作用在质点上的力（微分问题） 2.第二类：已知作用在质点上的力，求质点的运动（积分问题）已知的作用力可能是常力, 也可能是变力。变力可能是时间、位置、速度或者同时是上述几种变量的函数。
7
例1 曲柄连杆机构如图所示.曲柄OA以匀角速度转
只有外力才能改变质点系的动量，内力不能改变整个质点系的动量，但可以引起系统内各质点动量的传递。
20
[例3] 质量为M的大三角形柱体, 放于光滑水平面上, 斜面上另放一质量为m的小三角形柱体,求小三角形柱体滑到底时,大三角形柱体的位移。
解：选两物体组成的系统为研究对象。
受力分析， Fx(e) 0, 水平方向 Px 常量。
l2 r2 l
得 F mr2 2 l 2 r 2
9
质点系的质心，内力与外力
一.质点系的质心质点系的质量中心称为质心。是表征质点系质量分布情况的一个重要概念。
质心 C 点的位置： (M mi )
rC

mi
M
ri
或 MrC mi ri

第八章理论力学哈工大

§8-2 点的速度合成定理
例：小球在金属丝上的运动
牵连点：在任意瞬时，与动点相重合的动坐标系上的点，称为动点的牵连点。
讨论
动坐标系是一个包含与之固连的刚体在内的运动空间，除动坐标系作平移有牵连点的运动能够给动点以直接的影响。为此，定义某瞬时，与动点相重合的动坐标系上的点（牵连点）相对于静坐标系运动的速度称为动点的牵连速度
已知:
, OA r , OO1 l , OA水平。求 : 1 ?。
解: 1、动点：滑块 A 动系：摇杆 O1B 2、运动分析：绝对运动－绕O点的圆周运动；相对运动－沿 O1B的直线运动；牵连运动－绕O1轴定轴转动。 3、 √ √ √
ve va sin r sin ve r 2 1 2 2
动点与动系的选取原则（P186思考题）
⒈ 动点与动系不能选在同一物体上，否则无相对运动。
⒉ 动点相对于动系的相对运动轨迹要一目了然，即是一条简单、明了的已知轨迹曲线 —-圆弧或直线。
绝对、相对和牵连运动之间的关系
可以利用坐标变换来建立绝对、相对和牵连运动之间的关系。
O 动点：M 动系： ' x ' y ' 绝对运动运动方程
MM 1 va lim t 0 t
速度合成定理
MM 1 显然： ve lim t 0 t
M 1M 1 vr lim t 0 t
va ve vr
动点的绝对速度等于它的牵连速度与相对速度的矢量和
上式为矢量方程，它包含了绝对速度、牵连速度和相对速度的大小、方向六个量，已知其中四个量可求出其余的两个量。
得
va ve vr
点的速度合成定理：动点在某瞬时的绝对速度等于它在该瞬时的牵连速度与相对速度的矢量和。讨论 ⑴ ⑵ ⑶

理论力学第八章点的合成运动和例题讲解

MM ' 为绝对位移 M1M ' 为相对位移
MM' ＝ MM1 ＋ M1M'
MM' ＝ MM1 ＋ M1M' 将上式两边同除以△t，取△t →0时的极限，得
lim M M lim M M 1 lim M 1 M t 0 t t 0 t t 0 t
va vevr
即在任一瞬时动点的绝对速度等于其牵连速度与相对速度的矢量和，这就是点的速度合成定理。说明：① 点的速度合成定理适用于牵连运动（动系的运动）为
O1B的角速度1。
解：取OA杆上A点为动点，摆杆O1B 为动系，基座为静系。
绝对速度va = r ，方向 OA
相对速度vr = ? 方向//O1B 牵连速度ve = ? 方向O1B
由速度合成定理 va vevr作出速度平行四边形如图所示。
ve vasin r
r r2 l2
r 2 r2 l2
则
1. 绝对运动：动点相对于静系的运动。 2. 相对运动：动点相对于动系的运动。点的运动 3. 牵连运动：动系相对于静系的运动。刚体的运动在任意瞬时，动坐标系中与动点相重合的点叫牵连点。
绝对运动中动点的速度与加速度称绝对速度 v a 与绝对加速度 a a 相对运动中动点的速度和加速度称相对速度 v r 与相对加速度 a r
§8-2 点的速度合成定理
点的速度合成定理将建立动点的绝对速度、相对速度和牵连速度之间的关系。
设有一动点M按一定规律沿着固连于动系O’x’y’z’ 的曲线AB 运动, 而曲线AB同时又随同动系O’x’y’z’ 相对静系Oxyz运动。
当t t+△t 时 AB A' B' ， M M' 也可看成M M１ M´

理论力学8

摇杆绕固定轴O1来回摆动。设曲柄长OA=r，两轴间距离OO1 l
求曲柄在水平位置瞬时，摇杆O1B绕O1轴的角速度1及滑块A相
对摇杆O1B的相对速度。
运动学/点的合成运动
解：
选取动点： OA 上的A点动系： O1B 定系：基座
运绝对运动：圆周运动动分相对运动：直线运动析牵连运动：定轴转动：
运动学/点的合成运动
另一方面，在实际问题中，不仅要在固联在地面上
的参考系上还要在相对于地面运动着的参考系上观察和
研究物体的运动。下面先看几个例子。
沿直线轨道纯滚动的圆轮，研究轮缘上A 点的运动，对于地面上的观察者，是旋轮线轨迹，对站在轮心上的观察者是圆。
A点的运动可看成随轮心的平移与绕轮心转动的合成。
运动学/点的合成运动
MM MM1 M1M 将上式两边同时除以t并取 t0得
lim MM lim MM1 t 0 t t 0 t
lim
M1M
t 0 t
va ve vr
即：在任一瞬时动点的绝对速度等于牵连速度与相对速
度的矢量和，这就是点的速度合成定理。
点的速度合成定理是瞬时矢量式，共包括大小‚方向六个元素，已知任意四个元素，就能求出其它两个。
运动学/点的合成运动
例如，直管OB以匀角速度绕定轴O转动，小球M
以速度u在直管OB中作相对的匀速直线运动，如图示。将动坐标系固结在OB管上，以小球M为动点。随着动点M的运动，牵连点在动坐标系中的位置在相应改变。设小球在t1、t2瞬时分别到达M1、M2位置，则动点的牵连速度分别为
ve1 OM1
运动学/点的合成运动
第八章
点的合成运动
在前两章中研究点和刚体的运动时，认为地球（参考体）固定不动,将坐标系（参考系）固连于地面。因此，点和刚体的运动是相对固定参考系而言的。

理论力学第八章平面运动

基点：C
r vM
r vMC
r
uuuur CM
• 速度瞬心的确定方法
已知 vA ,的vB方向，且 v不A 平行于 v。B
vrA // vrB ,且不垂直于AB
vrB
vvrrBBvArAvr0AvrABvrMAB
0
瞬时平移(瞬心在无穷远处)
纯滚动(只滚不滑)约束
找出下列平面运动刚体的速度瞬心。 A
第八章刚体平面运动
1、刚体平面运动的定义及运动方程 2、刚体平面运动分解为随基点平动和绕基点转动 3、平面运动图形上点的速度分析 4、平面运动图形上点的加速度分析
1、刚体平面运动的定义
若刚体在运动过程中，刚体上的任意一点与某一固定平面始终保持相等的距离，这种运动称为平面运动。
刚体平面运动特点
刚体上所有各点均在平行于某固定平面的平面内运动。
刚体的平面运动，可以简化为平面图形在其自身平面内的运动来研究。
平面图形 S 的位置可用其上任一线段如AB 来确定，线段AB的位置又可用A 点的坐标 xA 、yA 和线段AB与 x 轴的夹角 φ 来确定。点 A 称为基点。
刚体平面运动方程
当平面图形 S 运动时，坐标 xA 、
yA 和夹角 φ 一般都是随时间 t 而变化的，分别为时间 t 的单值连
续函数，即
xA f1 (t)
y A f 2 (t)
f3 (t)
这就是平面图形S 的运动方程，也就是刚体平面运动的运动方程。
2、刚体平面运动分解为随基点平动和绕基点转动
xO f1 t
1.5rad
/
s
BC
vB BC
2.25rad
/s
vA
2）瞬心法

理论力学哈工大第七版第8章

动能和守恒
动能
通过动能的概念，我们可以明确物体在运动中所具有的能量。
势能
势能是指物体在某一位置上存储的能量，常用于分析引力场和弹性力场。
动能守恒定理
动能守恒定理可以方便地分析物理系统的动态过程，并预测它的相对变化。
中心力场和二体问题
中心力场
中心力场的研究对于物理学家来说是一个非常重要的课题。我们将会讨论它的基本概念和如何计算。
符号
m L t
量纲
[M] [L] [T]
单位
kg m s
力学题目课与习题
题目课
题目课设定了一部分难度适宜且涵盖了重点难点的例题。可以帮助学生深入理解物理学的核心知识。
习题
习题是结合教学实际编写的设计，内容齐全，涵盖了力学的基础知识，具有很强的启发性和实际应用性。
学习力学的知识有助于解决各种实际问题和工程项目。
本章的学习深入挖掘了物理学的知识，使我们进一步认识和探索这个领域。
维度和量纲
维度
维度是指物理量的基本种类。力学的基本维度是质量、长度和时间。
量纲
量纲是指物理量所具有的简化属性描述，通常用方括号来表示。
牛顿万有引力定律的前置知识
物理量
质量长度时间
探索理论力学第七版第8 章
在本章中，我们将探讨关于牛顿定律、动能和守恒、二体问题等的基础概念，深入研究纯理论的力学。
牛顿定律
1
牛顿第一定律
物体将保持静止或匀速直线运动，除非有外力作用于它。
2
牛顿第二定律
物体的加速度与施加在它上面的力成正比，与它的质量成反比。
3
牛顿第三定律
任何两个物体之间都会有相等且反向的反作用力。

吉林大学理论力学课件-第8章

★ 瞬时转动轴．角（加）速度
C
z
例题 2 题
w1
B A
O
O´ O
半径为r的圆盘绕 z 轴作纯滚动，角速度为 w1 r 轴作纯滚动，角速度为 =常数；OO´轴的长度为 l 。求：A、B、C 三点 = OO 轴的长度为 A B 的速度和加速度。
★ 瞬时转动轴．角（加）速度
z
z
z
y
y
O O
x
x
x
★ 运动方程运动方程
(Eulerian angle)
＊欧拉角
★ 运动方程运动方程
＊欧拉角
xh 坐标面与 ON－节线：o 坐标面与 ON Oxy坐标面的交线； Oxy
ON与 Ox 轴的夹角; ON ;
y －进动角(angle of precession)： (angle of precession)
y = y ( ) t q = q ( ) t 运动方程 j = j ( ) t y ( ), ( ), ( ) 确定了 t 瞬 t q t j t 确定了
时定点运动刚体在空间的位置。置。
★ 欧拉定理
达朗贝尔－欧拉有限位移定理达朗贝尔－欧拉有限位移定理
(d'Alernbert Euler displacement theorem) (
q －章动角(angle of nutation) ： nutation
O 与Oz轴的夹角; z Oz ;
j －自转角(angle of rotation) ：：
ON与Ox轴的夹角; ON Ox ; y q j －三者相互独立。
★ 运动方程
＊欧拉角
z
z

理论力学课件第8章PPT精品文档52页

▪ 1. 点的速度合成的矢量法 ▪ 动点沿曲线轨道AB运动，轨道对于固定坐
标Oxy发生运动。 ▪ 动点沿AB的运动为相对运动。 ▪ 在静坐标上观察到的动点运动为绝对运动。
▪ t 时刻，动点在轨道AB的M1点。t+△t，轨
道运动到A’B’，动点运动到A’B’的M’2。 ▪ M1 M’2是绝对位移。 ▪ M1 M2是相对位移。 ▪ M1 M’1是动点在M处的牵连位移。
▪ 站在地面观察到动点（滑块）的速度为绝对速度：
va=rω
▪ 相对速度：滑块对于摇杆的速度
▪ 站在动系（摇杆AB) 看到动点（滑块）沿着AB运动，其相对速
度为vr，方向沿AB方
向。
▪ 牵连速度：牵连速度是摇杆上与滑块重合的点A’的速度，
▪ ve=O1Aω1,
▪ 速度合成：
▪va=ve+ vr ， ▪ 未知：ve的大小，
va ve vr
▪ 例8-1 曲柄OA的O为固定铰接。A端与滑块铰接。滑块则可以在摇杆 O1B上滑动。摇杆的O1 端与地面铰接。已知 OA=r，O1O=l，曲柄 OA的角速度为ω，求曲柄在水平位置时摇杆的角速度ω1 。
▪ 解：AB为动系。滑块为动点。
▪ 绝对速度：滑块对于地面的速度。
▪ §8-1 相对运动、牵连运动、绝对运动
▪ 坐标系：
▪ 1.静坐标系（定参考系）：固结于地面上的坐标系。
▪ 2.动坐标系（动参考系）：固结于运动刚体上的坐标系。
▪ 运动分类 ▪ 绝对运动：动点相对于静坐标系的运动。
▪ 相对运动：动点相对于动坐标系的运动。
▪ 牵连运动：动坐标系相对于静坐标系的运动。
▪ 速度合成： va = ve+ vr ， ▪ 未知量： va和vr的大小 ▪ 半径CA方向的投影式：

理论力学第7版第八章刚体的平面运动

根据 va ve vr 做速度平行四边形
ve va cos r1 sin( ),
2
ve O2 A
sin( )sin cos
1
vr va sin r1 cos( )
ac
2 2 v r
si
n
(2 cos
2
)
1
2
r
方向：与 v e相23同。
aa ae ar aC
——点的加速度合成定理 a a an
[例2] 曲柄滑杆机构
已知: OA＝l, =45o 时，,;
求：小车的速度与加速度．
解：动点：OA杆上 A点;
动系：固结在滑杆上;
绝对运动：圆周运动，相对运动：直线运动，
牵连运动：平动；
va ve vr
大小 l ? ?
方向 √ √ √
ve va cos l cos45
2 l()
2
小车的速度： v ve
为牵连点。若二者不重合，动
系应扩大到参考体之外。此时
桥式吊车
，牵连点就不是动参考体上的
点，而是动系上的点。
动点: 物块A
相对运动: 直线
动系: 固结于小车牵连运动: 平动
牵连点:A’
绝对运动: 曲线
8
绝对速度：va ——绝对运动中,动点的速度相对速度：vr ——相对运动中,动点的速度
牵连速度：ve ——牵连运动中,牵连点的速度
4
动点：AB杆上A点动系：固结于凸轮Ｏ'上
定系：固结在地面上绝对运动：沿AB的直线运动相对运动：曲线（圆弧）牵连运动：直线平动
5
分析动点、动系改变，对运动分析的影响:
动点：A(在AB杆上) 动系：偏心轮静系：地面

理论力学第8章-1

o
rO
x
i
O
y 动点在定系中的矢径：
rM ro r
牵连点在定系中的矢径：
y
rM rM ro r
动点的相对速度：
x
动点的牵连速度：
drM d ( ro r ) ro xi yj zk ve dt dt
四、三种速度和三种加速度 1、绝对速度 va和绝对加速度 aa
动点在绝对运动中的速度和加速度。
2、相对速度 v 和相对加速度 ar 动点在相对运动中的速度和加速度。 3、牵连速度 ve 和牵连加速度 ae 牵连点(动坐标系中与动点相重合的点，不是动点)的速度
r
和加速度。
五．三种运动的轨迹绝对轨迹：动点在静系中运动的轨迹。相对轨迹：动点在动系中运动的轨迹。牵连点轨迹：牵连点在静系中的轨迹。
动点：A1（在O'A1 摆杆上) 动系：圆盘定系：机架绝对运动：曲线（圆弧）相对运动：曲线牵连运动：定轴转动
影片：810
动点： A(在AB杆上) [注] 应说明动点在哪个动系：偏心轮定系：地面物体上。绝对运动：直线相对运动：圆周（曲线）（A点始终在偏心轮的圆弧上运动）牵连运动：定轴转动
x´

[例8-4] 曲柄摆杆机构已知：OA=r , , OO1=l，图示瞬时OA⊥OO1 求：摆杆O1B角速度 1 解：取套筒A点为动点，摆杆O1B为动系，基座为定系。
y´
绝对速度va = r 相对速度vr = ? 牵连速度ve = ?
方向⊥ OA 方向//O1B 方向⊥O1B
由速度合成定理 va vr ve 作出速度平行四边形如图示。
牵连运动：
平动

哈工大理论力学第八章课件

各点的速度方向分别为各点与A1点连线的垂线方向，转向与相同，由此可见车轮顶点的速度最快，最下面点的速度为零。
vA1 0
vA3
A2
A4
vA4
O
vO
vA2
A1
vA2 vA4 2r 2v
vA3 2r 2v
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[例2] 已知：曲柄连杆机构OA=AB=l，取柄OA以匀转动。求：当 =45º 时, 滑块B的速度及AB杆的角速度。
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）
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速度投影法研究AB, v A ,l 方向OA, v B方向沿BO直线根据速度投影定理 vB AB v A AB v A v B cos v B v A /cos
l /cos45 2l () 不能求出 AB 速度瞬心法研究AB，已知 v A , vB 的方向，因此可确定出P点为速度瞬心
。
轮A作纯滚动，轮O不动。
求 vM 1 , vM 2 。解：OA定轴转动; 轮A作平面运动, 瞬心P点
v A ( R r ) o r Rr o r
(
）
v M 1 PM 1 2r v M 2 PM 2 2r
Rr 2 ( R r )o , r o
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例如: 曲柄连杆机构中连杆AB的运动， A点作圆周运动，B点作直线运动，因此， AB 杆的运动既不是平移也不是定轴转动，而是平面运动。
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4
二、平面运动的简化刚体的平面运动到固定平面 Ⅰ的距离不变

理论力学第8章习题解答

理论力学第8章习题解答第八章质点系动力学：矢量方法习题解答8-1 一个质量为5 kg 弹头M 以水平速度v = 60 m/s 飞行，在D 处爆炸成位于同一水平面内如图示速度方向的两块碎片A 和B 。

已知碎片A 的速度大小v A = 90 m/s 。

试求：(1) 碎片A 的质量m A ；(2) 碎片B 的速度大小v B 。

解：取弹头M 为研究对象，弹头爆炸前后动量守恒 () 30cos B A v m M Mv -= () 30sin 0B A A A v m M v m --=解得M v vm A A 33=，AA B v v vv v 32--=，代入数据得：kg 92.1=A m ，m/s 64.112=B v .8-2 一个质量为m 1的人手里拿着质量为m 2的物体，以仰角θ，速度v 0向前跳起。

当他到达最高点时将物体以相对速度u 水平地向后抛出。

如果不计空气阻力，问由于物体的抛出，跳远距离增加了多少？解：取m 1和m 2物体系统为研究对象，人跳至最高点时只有水平速度 ?c o s 01v v =，所费时间 gv t ?sin 0=。

抛物前后系统水平动量守恒，即 ()()u v m v m v m m -+=+1211021c o s ?，式中1v 为抛物后人的速度。

解得21201c o s m m um v v ++=?，可见，人的速度增量为2121Δm m um v +=，从而跳远距离增加()gm m uv m v t s 21021sin ΔΔ+==?.8-3质量为m 1的平台AB 放在水平面上，平台与水平面间的滑动摩擦因数为f 。

质量为m 2的小车D 由绞车拖动，相对平台的运动规律为221bt s =，其中b 为已知常数。

不计绞车质量，求平台的加速度。

解：1）设平台与水平面间的滑动摩擦因数比较小，当小车D 相对平台运动时，平台AB 的有速度1v （向左），小车D 的相对速度bt sv == r ，（向右），小车D 的绝对速度bt v v v v +-=+-=1r e a ，（向右），滑动摩擦力为 N fF F = 题8-3图题8-3受力图题8-1图由动量定理，()[]F v bt m v m t=-+-1211d d()021=++-N F g m m解得()212121m m g m m f b m a ++-=， ()g m m bm f 212+≤.当()gm m bm f 212+>时，01=a .8-4 质量为m 1的矩形板可在如图所示的光滑水平面上运动。