高中数学人教版必修5全套Word版教案
高中数学 人教A版必修五全册电子教案(含课程纲要))
（1）课内即时评价：对学生个体与群体的课堂纪律、学习态度、 参与程度、方法效果等方面的表现随堂作出及时评价，学段末综合每 个学生的表现，按等级 A、B、C 作出定性评价。 （2）课后自主学习与作业评价：对学生个体课后学习的主动自觉 性、完成学习任务的程度、书面作业的数量和质量、单元达标测试等 及时反馈评价，学段末综合每个学生的表现，按等级 A、B、C 作出定 性评价。 3、 研究性学习评价：按学校评价办法执行。 （四） 学分授予： 1、 原则：有以下三种情况之一者，不授予学分 （1） 出勤率不足百分之九十； （2） 学习状态评定等级为 C； （3） 学段末达标测试成绩达不到合格线。 2、学段末学科成绩以定性与定量两种方式告知本人和家长。 （五） 学段末教学达标测评 1、 量标测试重点： （1） 实际问题的建模与求解能力； （2） 推理运算能力； （3） 方程与数形结合的思想方法； （4） 正弦定理、余弦定理、等差数列、等比数列、一元二次不等 式的解法，二元一次不等式组表示平面区域的画法、线形规划的基本 思想方法。 2、 量标测试命题双向细目表
第 4 页，共 10 页 郑州市第二中学
11
简单线形规划
理解（操作、会、初步应 用）
6
12
基本不等式
理解（探索、会、初步应 用）
5
13 14
学段末复习
理解、掌握、应用 课时合计
6 54
（二）重点、难点分析 1、 解三角形 （1） 重点： (a) 正弦定理、余弦定理及三角形的度量； (b) 测量和计算实际问题。 （2） 难点： (a) 探索正弦定理、余弦定理； (b) 正弦定理、余弦定理的灵活应用和实际应用。 2、 数列 （1） 重点： (a) 等差、等比数列的概念、通项公式、求和公式； (b) 概念、公式、性质的应用。 （2） 难点： (a) 探求等差、等比数列前 n 项和公式； (b) 有关知识的灵活应用； (c) 数列建摸。 3、 不等式
人教版高中数学必修五教案(全册)
人教版高中数学必修五教案(全册)
本教案共包括必修五全部章节，共计 xx 课时，主要涵盖以下
内容：
第一章函数的概念
本章主要介绍函数的概念、性质、分类以及函数图像的绘制等
方面的知识点。
通过本章的研究，学生将能够掌握函数的基本概念，理解函数的重要性以及掌握函数图像的绘制方法。
第二章三角函数
本章主要介绍正弦函数、余弦函数、正切函数等三角函数的定义、图像及其性质等方面的知识点，并针对不同类型的三角函数进
行了详细的讲解。
通过本章的研究，学生将能够深入理解三角函数
的概念，掌握三角函数的性质，运用三角函数解决实际问题。
第三章数学归纳法与递推数列
本章主要介绍数学归纳法的基本原理及其在数学证明中的运用，同时通过递推数列的研究，进一步巩固对数学归纳法的理解和应用。
通过本章的研究，学生将能够掌握数学归纳法的基本原理及其在数
学证明中的应用，同时掌握递推数列的推导与实际应用技巧。
第四章极坐标系与参数方程
本章主要介绍极坐标系的定义、性质，以及参数方程的基本概
念与运用等方面的知识点。
通过本章的研究，学生将能够理解极坐
标系的概念与性质，掌握参数方程的推导与实际应用技巧。
第五章一元函数微积分学初步
本章主要介绍导数与微分、不定积分、定积分等知识点。
通过
本章的学习，学生将能够掌握导数与微分的基本概念与计算方法，
掌握不定积分与定积分的计算方法，以及这些知识在实际问题中的
应用。
人教版高中数学必修5数列教案
m n a a d n a a d d n a a d m n a a d n a a d a a mnn n m n n n n --=--=--=-+=-+==-+1;)1()()1(1111变式：推广：通项公式：递推关系：必修5 数列二、等差数列 知识要点1．数列的通项n a 与前n 项和n S 的关系∑==++++=ni i n n a a a a a S 1321 ⎩⎨⎧≥-==-2111n S S n S a n n n 2．递推关系与通项公式()1(),(),,n n a dn a d a f n kn b k b =+-==+特征：即：为常数(),,n a kn b k b =+为常数⇔数列{}n a 成等差数列．3．等差中项：若c b a ,,成等差数列，则b 叫做c a 与的等差中项，且2ca b +=；c b a ,,是等差数列⇔c a b +=2． 4．前n 项和公式：2)(1n a a S n n +=； 2)1(1dn n na S n -+= 221(),()22n n d dS n a n S f n An Bn =+-==+特征：即2,(,)n S An Bn A B =+为常数⇔数列{}n a 成等差数列．5．等差数列{}n a 的基本性质),,,(*∈N q p n m 其中⑴q p n m a a a a q p n m +=++=+，则若，反之不成立； ⑵d m n a a m n )(-=-； ⑶m n m n n a a a +-+=2；⑷n n n n n S S S S S 232,,--仍成等差数列． 6．判断或证明一个数列是等差数列的方法： ①定义法：()()1n n a a d n N*+-=∈常数 ⇒{}na 是等差数列②中项法：()122n n n a a a n N *++=+∈⇒{}na 是等差数列③通项公式法：(),n a kn bk b =+为常数⇒{}na 是等差数列④前n 项和公式法：()2,n S An BnA B =+为常数⇒{}na 是等差数列【应用一】1．若a ≠ b ，数列a ，x 1，x 2，b 和数列a ，y 1，y 2，y 3，b 都是等差数列，则 =--1212y y x x ( )A ．32B ．43C ．1D ．342. 等差数列{a n }中，若a 3+a 4+a 5+a 6+a 7=450 ，则前9项和S 9= ( ) A.1620 B.810 C.900 D.6753. 在－1和8之间插入两个数a ，b ，使这四个数成等差数列，则 ( )A. a =2，b =5B. a =－2，b =5C. a =2，b =－5D. a =－2，b =－54. 首项为24-的等差数列，从第10项开始为正数，则公差d 的取值范围是 ( ) A.d ＞83 B.d ＞3 C.83≤d ＜3 D.83＜d ≤3 5．等差数列}{n a 共有n 2项，其中奇数项的和为90，偶数项的和为72，且3312-=-a a n ，则该数列的公差为 ( )A ．3B ．－3C ．－2D ．－16. 等差数列{a n }中，a 1=－5，它的前11项的平均值是5，若从中抽取1项，余下的10项的平均值是4，则抽取的是 ( ) A.a 11B.a 10C.a 9D.a 87. 设函数f (x )满足f (n +1)=2)(2n n f +(n ∈N *)且f (1)=2，则f (20)为 ( ) A. 95B. 97C. 105D. 1928．已知无穷等差数列{a n }，前n 项和S n 中，S 6 <S 7 ，且S 7 >S 8 ，则 ( ) A ．在数列{a n }中a 7 最大B ．在数列{a n }中，a 3 或a 4 最大C ．前三项之和S 3 必与前11项之和S 11 相等D ．当n ≥8时，a n <0 9. 集合{}*6,,且60M m m n n N m ==∈<中所有元素的和等于_________.10、在等差数列{}n a 中，37104118,14.a a a a a +-=-=- 记123n n S a a a a =++++，则13S =_____．11、已知等差数列{}n a 中，79416,1a a a +==，则16a 的值是 ． 12. (1)在等差数列{}n a 中，71,83d a =-=，求n a 和n S ； (2)等差数列{}n a 中，4a =14，前10项和18510=S ．求n a ；13. 一个首项为正数的等差数列{a n }，如果它的前三项之和与前11项之和相等，那么该数列的前多少项和最大?14. 数列{a n }中，18a =，42a =，且满足2120n n n a a a ++-+=， (1)求数列的通项公式；(2)设12||||||n n S a a a =+++，求n S ．15. 已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足a n +2S n ·S n －1=0(n ≥2)，a 1=21. (1)求证：{nS 1}是等差数列；(2)求a n 的表达式； (3)若b n =2(1－n )a n (n ≥2)，求证：b 22+b 32+…+b n 2<1.【应用二】1．等差数列{}n a 中，()46810129111120,3a a a a a a a ++++=-则的值为A ．14B ．15C ．16D ．172．等差数列{}n a 中，12910S S a =>，，则前 项的和最大．3．已知等差数列{}n a 的前10项和为100，前100项和为10，则前110项和为 ． 4．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知001213123<>=S S a ，，．①求出公差d 的范围；②指出1221S S S ，，， 中哪一个值最大，并说明理由．5、已知等差数列{}n a 中，79412161a a a a +==，，则等于( )A ．15B ．30C ．31D ．646、设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，971043014S S S S ，则，=-== ．7、已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若=+++=118521221a a a a S ，则 ．8．甲、乙两物体分别从相距70m 的两处同时相向运动，甲第一分钟走2m ，以后每分钟比前一分钟多走1m ，乙每分钟走5m ，①甲、乙开始运动后几分钟相遇? ②如果甲、乙到对方起点后立即折返，甲继续每分钟比前一分钟多走1m ，乙继续每分钟走5m ，那么，开始运动几分钟后第二次相遇?9．已知数列{}n a 中，，31=a 前n 项和1)1)(1(21-++=n n a n S ． ①求证：数列{}n a 是等差数列； ②求数列{}n a 的通项公式；③设数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧+11n n a a 的前n 项和为n T ，是否存在实数M ，使得M T n ≤对一切正整数n 都成立?若存在，求M 的最小值，若不存在，试说明理由．三、等比数列 知识要点1. 定义：如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，记为()0q q ≠，．2. 递推关系与通项公式mn m n n n n n q a a q a a qa a --+⋅=⋅==推广：通项公式：递推关系：111 3. 等比中项：若三个数c b a ,,成等比数列，则称b 为a 与c的等比中项，且b =2b ac =注：是c b a ,,成等比数列的必要不充分条件．4. 前n 项和公式)1(11)1()1(111≠⎪⎩⎪⎨⎧--=--==q q qa a q q a q na S n n n5. 等比数列的基本性质，),,,(*∈N q p n m 其中①q p n m a a a a q p n m ⋅=⋅+=+，则若，反之不成立！ ②)(2*+--∈⋅==N n a a a a a qm n m n n mn mn ， ③{}n a 为等比数列，则下标成等差数列的对应项成等比数列． ④若项数为()*2n n N∈，则S q S=偶奇．⑤nn m n m S S q S +=+⋅．⑥ ，，，时，n n n n n S S S S S q 2321---≠仍成等比数列． 6. 等差数列与等比数列的转化①{}n a 是等差数列⇔{})10(≠>c c cna ，是等比数列；②{}n a 是正项等比数列⇔{})10(log ≠>c c a n c ，是等差数列；③{}n a 既是等差数列又是等比数列⇔{}n a 是各项不为零的常数列． 7. 等比数列的判定法 ①定义法：()1n na q a +=⇒常数{}n a 为等比数列； ②中项法：()2120n n n n a a a a ++=⋅≠⇒{}n a 为等比数列；③通项公式法：(),nn a k qk q =⋅⇒为常数{}na 为等比数列；④前n 项和法：()()1,nn S k q k q =-⇒为常数{}na 为等比数列．【性质运用】1．4710310()22222n f n +=+++++设 ()()()n N f n *∈，则等于1342222(81)(81)(81)(81)7777n n n n A B C D +++----．．．．2．已知数列{}n a 是等比数列，且===m m m S S S 323010，则， ． 3．在等比数列{}n a 中，143613233+>==+n n a a a a a a ，，． ①求n a ，②若n n n T a a a T 求,lg lg lg 21+++= ．4．{a n }是等比数列，下面四个命题中真命题的个数为 ( )①{a n 2}也是等比数列；②{ca n }(c ≠0)也是等比数列；③{na 1}也是等比数列；④{ln a n }也是等比数列． A ．4 B ．3 C ．2D ．15．等比数列{a n }中，已知a 9 =－2，则此数列前17项之积为 ( ) A ．216B ．－216C ．217D ．－2176．在等比数列{a n }中，如果a 6=6，a 9=9，那么a 3等于 ( )A ．4B ．23 C ．916 D ．27．若两数的等差中项为6，等比中项为5，则以这两数为两根的一元二次方程为 ( )A ．x 2－6x ＋25=0B ．x 2＋12x ＋25=0 C ．x 2＋6x －25=0 D ．x 2－12x ＋25=08．某工厂去年总产a ，计划今后5年内每一年比上一年增长10%，这5年的最后一年该厂的总产值是 ( )A ．1.1 4a B ．1.1 5a C ．1.1 6a D ．(1＋1.1 5)a9．已知各项为正的等比数列的前5项之和为3，前15项之和为39，则该数列的前10项之和为( )A ．32B ．313C ．12D ．1510．某厂2001年12月份产值计划为当年1月份产值的n 倍，则该厂2001年度产值的月平均增长率为 ( )A ．11nB ．11nC ．112-nD ．111-n11．等比数列的前n 项和S n =k ·3n＋1，则k 的值为 ( )A ．全体实数B ．－1C ．1D ．312．在等比数列{a n }中，已知a 1=23，a 4=12，则q =_____ ____，a n =____ ____． 13．在等比数列{a n }中，a n ＞0，且a n ＋2=a n ＋a n ＋1，则该数列的公比q = ___． 14．已知数列满足a 1=1，a n ＋1=2a n ＋1 (n ∈N *)．(1)求证数列{a n ＋1}是等比数列；(2)求{a n }的通项公式．15．在等比数列｛a n｝中，已知对n∈N*，a1＋a2＋…＋a n＝2n－1，求a12＋a22＋…＋a n2．16．在等比数列｛a n｝中，已知S n＝48，S2n＝60，求S3n．17．求和：S n＝1＋3x＋5x2＋7x3＋…＋(2n－1)x n－1 (x≠0)．18．在等比数列｛a n｝中，a1＋a n=66，a2·a n－1=128，且前n项和S n=126，求n及公比q．。
最新人教版高中数学必修5讲义及配套习题(全册 共293页 附解析)
最新人教版高中数学必修5讲义及配套习题（全册共294页附解析）目录第一章解三角形1.1正弦定理和余弦定理1.2应用举例第二章数列2.1 数列的概念与简单表示法2.2 等差数列2.3 等差数列的前N项和2.4 等比数列2.5 等比数列的前N项和第三章不等式3.1 不等关系与不等式3.2 一元二次不等式及其解法3.3二元一次不等式（组）与简单的线性规划问题3.4 基本不等式：ab≤a＋b 23.5 绝对值不等式模块复习精要复习课（一）解三角形模块复习精要复习课（二）数列模块复习精要复习课（三）不等式模块复习精要模块综合检测正弦定理和余弦定理1．1.1 正弦定理[新知初探]1．正弦定理在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即a sin A ＝b sin B ＝c sin C.[点睛] 正弦定理的特点(1)适用范围：正弦定理对任意的三角形都成立．(2)结构形式：分子为三角形的边长，分母为相应边所对角的正弦的连等式． (3)刻画规律：正弦定理刻画了三角形中边与角的一种数量关系，可以实现三角形中边角关系的互化．2．解三角形一般地，把三角形的三个角A ，B ，C 和它们的对边a ，b ，c 叫做三角形的元素，已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫做解三角形．[小试身手]1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)正弦定理适用于任意三角形( )(2)在△ABC 中，等式b sin A ＝a sin B 总能成立( ) (3)在△ABC 中，已知a ，b ，A ，则此三角形有唯一解( ) 解析：(1)正确．正弦定理适用于任意三角形．(2)正确．由正弦定理知a sin A ＝bsin B，即b sin A ＝a sin B.(3)错误．在△ABC 中，已知a ，b ，A ，此三角形的解有可能是无解、一解、两解的情况，具体情况由a ，b ，A 的值来定．答案：(1)√ (2)√ (3)× 2．在△ABC 中，下列式子与sin Aa的值相等的是( ) A.bc B.sin B sin A C.sin C cD.c sin C解析：选C 由正弦定理得，a sin A ＝c sin C， 所以sin A a ＝sin C c.3．在△ABC 中，已知A ＝30°，B ＝60°，a ＝10，则b 等于( ) A ．5 2 B ．10 3 C.1033D ．5 6 解析：选B 由正弦定理得，b ＝a sin Bsin A＝10×3212＝10 3.4．在△ABC 中，A ＝π6，b ＝2，以下错误的是( )A ．若a ＝1，则c 有一解B ．若a ＝3，则c 有两解C ．若a ＝45，则c 无解D ．若a ＝3，则c 有两解解析：选D a ＝2 sin π6＝1时，c 有一解；当a <1时，c 无解；当1<a <2时，c 有两个解；a >2时，c 有一解．故选D.[典例] 在△ABC 中，已知a ＝8，B ＝60°，C ＝75°，求A ，b ，c . [解] A ＝180°－(B ＋C )＝180°－(60°＋75°)＝45°， 由正弦定理b sin B ＝a sin A ，得b ＝a sin B sin A ＝8×sin 60°sin 45°＝46，由a sin A ＝c sin C ，得c ＝a sin C sin A ＝8×sin 75°sin 45°＝8×2＋6422＝4(3＋1)．[活学活用]在△ABC 中，若A ＝60°，B ＝45°，BC ＝32，则AC ＝( ) A ．43 B ．2 3 C. 3D.32解析：选B 由正弦定理得，BC sin A ＝AC sin B ，即32sin 60°＝AC sin 45°，所以AC ＝3232×22＝23，故选B.[典例] 在△ABC 中，a ＝3，b ＝2，B ＝45°，求A ，C ，c . [解] 由正弦定理及已知条件，有3sin A ＝2sin 45°，得sin A ＝32.∵a >b ，∴A >B ＝45°.∴A ＝60°或120°. 当A ＝60°时，C ＝180°－45°－60°＝75°，c ＝b sin Csin B ＝2sin 75°sin 45°＝6＋22； 当A ＝120°时，C ＝180°－45°－120°＝15°，c ＝b sin Csin B ＝2sin 15°sin 45°＝6－22. 综上可知：A ＝60°，C ＝75°，c ＝6＋22或A ＝120°，C ＝15°，c ＝6－22.[活学活用]在△ABC 中，c ＝6，C ＝60°，a ＝2，求A ，B ，b . 解：∵a sin A ＝c sin C ，∴sin A ＝a sin C c ＝22. ∴A ＝45°或A ＝135°. 又∵c >a ，∴C >A .∴A ＝45°. ∴B ＝75°，b ＝c sin Bsin C ＝6·sin 75°sin 60°＝3＋1.[典例] 在△ABC 中，a cos ⎝⎛⎭π2－A ＝b cos ⎝⎛⎭π2－B ，判断△ABC 的形状． 解：[法一 化角为边] ∵a cos ⎝⎛⎭⎫π2－A ＝b cos ⎝⎛⎭⎫π2－B ，∴a sin A ＝b sin B ．由正弦定理可得：a ·a 2R ＝b ·b2R ，∴a 2＝b 2，∴a ＝b ，∴△ABC 为等腰三角形． [法二 化边为角]∵a cos ⎝⎛⎭⎫π2－A ＝b cos ⎝⎛⎭⎫π2－B ， ∴a sin A ＝b sin B.由正弦定理可得：2R sin 2A ＝2R sin 2B ，即sin A ＝sin B ， ∴A ＝B .(A ＋B ＝π不合题意舍去) 故△ABC 为等腰三角形．[活学活用]在△ABC 中，已知a cos A ＝b cos B ，试判断△ABC 的形状． 解：由正弦定理，a sin A ＝b sin B ＝csin C＝2R ，所以a cos A ＝b cos B 可化为sin A cos A ＝sin B cos B ，sin 2A ＝sin 2B ，又△ABC 中，A ，B ，C ∈(0，π)，所以2A ＝2B 或2A ＋2B ＝π，即A ＝B 或A ＋B ＝π2，所以△ABC 的形状为等腰或直角三角形．层级一 学业水平达标1．在△ABC 中，a ＝5，b ＝3，则sin A ∶sin B 的值是( ) A.53 B.35 C.37D.57解析：选A 根据正弦定理得sin A sin B ＝a b ＝53.2．在△ABC 中，a ＝b sin A ，则△ABC 一定是( ) A ．锐角三角形 B ．直角三角形 C ．钝角三角形 D ．等腰三角形解析：选B 由题意有a sin A ＝b ＝b sin B，则sin B ＝1， 即角B 为直角，故△ABC 是直角三角形． 3．在△ABC 中，若sin A a ＝cos C c，则C 的值为( ) A ．30° B ．45° C ．60°D ．90°解析：选B 由正弦定理得，sin A a ＝sin C c ＝cos Cc ， 则cos C ＝sin C ，即C ＝45°，故选B.4．△ABC 中，A ＝π6，B ＝π4，b ＝2，则a 等于( )A ．1B ．2 C. 3D ．2 3解析：选A 由正弦定理得asin π6＝2sinπ4， ∴a ＝1，故选A.5．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，且a ＝3b sin A ，则sin B ＝( ) A. 3 B.33C.63D ．－63解析：选B 由正弦定理得a ＝2R sin A ，b ＝2R sin B ，所以sin A ＝3sin B sin A ，故sin B ＝33. 6．下列条件判断三角形解的情况，正确的是______(填序号)． ①a ＝8，b ＝16，A ＝30°，有两解； ②b ＝18，c ＝20，B ＝60°，有一解； ③a ＝15，b ＝2，A ＝90°，无解； ④a ＝40，b ＝30，A ＝120°，有一解．解析：①中a ＝b sin A ，有一解；②中c sin B <b <c ，有两解；③中A ＝90°且a >b ，有一解；④中a >b 且A ＝120°，有一解．综上，④正确．答案：④7．在△ABC 中，若(sin A ＋sin B )(sin A －sin B )＝sin 2C ，则△ABC 的形状是________． 解析：由已知得sin 2A －sin 2B ＝sin 2C ，根据正弦定理知sin A ＝a 2R ，sin B ＝b2R ，sin C＝c2R， 所以⎝⎛⎭⎫a 2R 2－⎝⎛⎭⎫b 2R 2＝⎝⎛⎭⎫c 2R 2，即a 2－b 2＝c 2，故b 2＋c 2＝a 2.所以△ABC 是直角三角形． 答案：直角三角形8．在锐角△ABC 中，BC ＝1，B ＝2A ，则ACcos A＝________. 解析：由正弦定理及已知得1sin A ＝AC sin 2A ，∴AC cos A＝2. 答案：29．已知一个三角形的两个内角分别是45°，60°，它们所夹边的长是1，求最小边长． 解：设△ABC 中，A ＝45°，B ＝60°， 则C ＝180°－(A ＋B )＝75°. 因为C >B >A ，所以最小边为a . 又因为c ＝1，由正弦定理得， a ＝c sin A sin C ＝1×sin 45°sin 75°＝3－1， 所以最小边长为3－1.10．在△ABC 中，已知a ＝22，A ＝30°，B ＝45°，解三角形． 解：∵a sin A ＝b sin B ＝csin C， ∴b ＝a sin B sin A ＝22sin 45°sin 30°＝22×2212＝4.∴C ＝180°－(A ＋B )＝180°－(30°＋45°)＝105°， ∴c ＝a sin C sin A ＝22sin 105°sin 30°＝22sin 75°12＝42sin(30°＋45°)＝2＋2 3.层级二 应试能力达标1．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，如果c ＝3a ，B ＝30°，那么角C 等于( )A ．120°B ．105°C ．90°D ．75°解析：选A ∵c ＝3a ，∴sin C ＝3sin A ＝3sin(180°－30°－C )＝3sin(30°＋C )＝3⎝⎛⎭⎫32sin C ＋12cos C ，即sin C ＝－3cos C ，∴tan C ＝－ 3.又0°<C <180°，∴C ＝120°.故选A.2．已知a ，b ，c 分别是△ABC 的内角A ，B ，C 的对边，若△ABC 的周长为4(2＋1)，且sin B ＋sin C ＝2sin A ，则a ＝( )A. 2 B ．2 C ．4D ．2 2解析：选C 根据正弦定理，sin B ＋sin C ＝2sin A 可化为b ＋c ＝2a ， ∵△ABC 的周长为4(2＋1)，∴⎩⎨⎧a ＋b ＋c ＝4(2＋1)，b ＋c ＝2a ，解得a ＝4.故选C. 3．在△ABC 中，A ＝60°，a ＝13，则a ＋b ＋csin A ＋sin B ＋sin C 等于( )A.833B.2393C.2633D ．2 3解析：选B 由a ＝2R sin A ，b ＝2R sin B ，c ＝2R sin C 得a ＋b ＋c sin A ＋sin B ＋sin C＝2R ＝asin A ＝13sin 60°＝2393. 4．在△ABC 中，若A <B <C ，且A ＋C ＝2B ，最大边为最小边的2倍，则三个角A ∶B ∶C ＝( )A ．1∶2∶3B ．2∶3∶4C ．3∶4∶5D ．4∶5∶6解析：选A 由A <B <C ，且A ＋C ＝2B ，A ＋B ＋C ＝π，可得B ＝π3，又最大边为最小边的2倍，所以c ＝2a ，所以sin C ＝2sin A ，即sin ⎝⎛⎭⎫2π3－A ＝2sin A ⇒tan A ＝33，又0<A <π，所以A ＝π6，从而C ＝π2，则三个角A ∶B ∶C ＝1∶2∶3，故选A.5．在△ABC 中，A ＝60°，B ＝45°，a ＋b ＝12，则a ＝________. 解析：因为a sin A ＝b sin B ，所以a sin 60°＝b sin 45°，所以32b ＝22a ，① 又因为a ＋b ＝12，② 由①②可知a ＝12(3－6)． 答案：12(3－6)6．在△ABC 中，若A ＝120°，AB ＝5，BC ＝7，则sin B ＝_______. 解析：由正弦定理，得AB sin C ＝BC sin A ，即sin C ＝AB ·sin ABC ＝5sin 120°7＝5314. 可知C 为锐角，∴cos C ＝1－sin 2C ＝1114. ∴sin B ＝sin(180°－120°－C )＝sin(60°－C ) ＝sin 60°·cos C －cos 60°·sin C ＝3314. 答案：33147．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c 且a sin A ＝c3cos C .(1)求角C 的大小；(2)如果CA ·CB ＝4，求△ABC 的面积．解：(1)由⎩⎨⎧a sin A ＝c sin C，asin A ＝c3cos C，得sin C ＝3cos C ，故tan C ＝3，又C ∈(0，π)，所以 C ＝π3.(2)由CA ·CB ＝|CA ||CB |cos C ＝12ba ＝4得ab ＝8， 所以S △ABC ＝12ab sin C ＝12×8×32＝2 3.8．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知b cos C ＋3b sin C －a －c ＝0.(1)求B ；(2)若b ＝3，求a ＋c 的取值范围．解：(1)由正弦定理知：sin B cos C ＋3sin B sin C －sin A －sin C ＝0， ∵sin A ＝sin (B ＋C )＝sin B cos C ＋cos B sin C 代入上式得： 3sin B sin C －cos B sin C －sin C ＝0. ∵sin C >0，∴3sin B －cos B －1＝0， 即sin ⎝⎛⎭⎫B －π6＝12， ∵B ∈(0，π)，∴B ＝π3.(2)由(1)得：2R ＝bsin B＝2，a ＋c ＝2R (sin A ＋sin C ) ＝23sin ⎝⎛⎭⎫C ＋π6. ∵C ∈⎝⎛⎭⎫0，2π3，∴23sin ⎝⎛⎭⎫C ＋π6∈(3，23]， ∴a ＋c 的取值范围为(3，23]．1．1.2 余弦定理[新知初探] 余弦定理[点睛]余弦定理的特点(1)适用范围：余弦定理对任意的三角形都成立．(2)揭示的规律：余弦定理指的是三角形中三条边与其中一个角的余弦之间的关系，它含有四个不同的量，知道其中的三个量，就可求得第四个量．[小试身手]1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)余弦定理揭示了任意三角形边角之间的关系，因此，它适应于任何三角形()(2)在△ABC中，若a2>b2＋c2，则△ABC一定为钝角三角形()(3)在△ABC中，已知两边和其夹角时，△ABC不唯一()解析：(1)正确．余弦定理反映了任意三角形的边角关系，它适合于任何三角形．(2)正确．当a2>b2＋c2时，cos A＝b2＋c2－a22bc<0.因为0<A<π，故A一定为钝角，△ABC为钝角三角形．(3)错误．当△ABC已知两边及其夹角时可利用余弦定理求得第三边长且唯一，因此△ABC唯一确定．答案：(1)√(2)√(3)×2．在△ABC中，已知a＝9，b＝23，C＝150°，则c等于()A.39B．8 3C．10 2 D．7 3解析：选D由余弦定理得：c＝92＋(23)2－2×9×23×cos 150°＝147＝7 3.3．在△ABC中，已知a2＝b2＋c2＋bc，则角A等于()A．60°B．45°C．120°D．30°解析：选C由cos A＝b2＋c2－a22bc＝－12，∴A＝120°.4．在△ABC 中，已知b 2＝ac 且c ＝2a ，则cos B 等于( ) A.14 B.34 C.24D.23解析：选B 由b 2＝ac 且c ＝2a 得cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac＝a 2＋4a 2－2a 22a ·2a ＝34.故选 B.[典例] (1)在△ABC 中，已知b ＝60 cm ，c ＝60 3 cm ，A ＝π6，则a ＝________cm ；(2)在△ABC 中，若AB ＝5，AC ＝5，且cos C ＝910，则BC ＝________. [解析](1)由余弦定理得： a ＝602＋(603)2－2×60×603×cos π6＝4×602－3×602＝60(cm)．(2)由余弦定理得：(5)2＝52＋BC 2－2×5×BC ×910，所以BC 2－9BC ＋20＝0，解得BC ＝4或BC ＝5. [答案] (1)60 (2)4或5[活学活用]在△ABC 中，a ＝23，c ＝6＋2，B ＝45°，解这个三角形． 解：根据余弦定理得，b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝(23)2＋(6＋2)2－2×23×(6＋2)×cos 45°＝8，∴b ＝2 2.又∵cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝8＋(6＋2)2－(23)22×22×(6＋2)＝12，∴A ＝60°，C ＝180°－(A ＋B )＝75°.[典例] 在△ABC 中，已知a ＝23，b ＝6，c ＝3＋3，解此三角形． [解] 法一：由余弦定理的推论得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝(6)2＋(3＋3)2－(23)22×6×(3＋3)＝22，∴A ＝45°.同理可求B ＝30°，故C ＝180°－A －B ＝180°－45°－30°＝105°. 法二：由余弦定理的推论得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝(6)2＋(3＋3)2－(23)22×6×(3＋3)＝22，∴A ＝45°.由正弦定理a sin A ＝b sin B 知23sin 45°＝6sin B ，得sin B ＝6·sin 45°23＝12. 由a >b 知A >B ，∴B ＝30°.故C ＝180°－A －B ＝180°－45°－30°＝105°.[活学活用]已知a ，b ，c 是△ABC 三边之长，若满足等式(a ＋b －c )·(a ＋b ＋c )＝ab ，则C 的大小为( )A ．60°B ．90°C ．120°D ．150°解析：选C ∵(a ＋b －c )(a ＋b ＋c )＝ab ， ∴c 2＝a 2＋b 2＋ab ，由余弦定理可得，cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab＝a 2＋b 2－(a 2＋b 2＋ab )2ab ＝－ab 2ab ＝－12，∵0°<C <180°，∴C ＝120°，故选C.[典例] 在△ABC 中，若b 2sin 2C ＋c 2sin 2B ＝2bc cos B cos C ，试判断△ABC 的形状． 解：[法一 化角为边] 将已知等式变形为b 2(1－cos 2C )＋c 2(1－cos 2B )＝2bc cos B cos C . 由余弦定理并整理，得b 2＋c 2－b 2⎝⎛⎭⎫a 2＋b 2－c 22ab 2－c 2⎝⎛⎭⎫a 2＋c 2－b 22ac 2＝2bc ×a 2＋c 2－b 22ac ×a 2＋b 2－c 22ab，∴b 2＋c 2＝[(a 2＋b 2－c 2)＋(a 2＋c 2－b 2)]24a 2＝4a 44a2＝a 2. ∴A ＝90°.∴△ABC 是直角三角形． [法二 化边为角]由正弦定理，已知条件可化为sin 2C sin 2B ＋sin 2C sin 2B ＝2sin B sin C cos B cos C . 又sin B sin C ≠0，∴sin B sin C ＝cos B cos C ，即cos(B ＋C )＝0. 又∵0°<B ＋C <180°，∴B ＋C ＝90°，∴A ＝90°. ∴△ABC 是直角三角形．[活学活用]在△ABC 中，a cos A ＋b cos B ＝c cos C ，试判断△ABC 的形状．解：由余弦定理知cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ，cos B ＝c 2＋a 2－b 22ca ，cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab，代入已。
高中数学必修五教案
高中数学必修五教案我们要明确教学目标。
在必修五的教学过程中，我们不仅要让学生掌握函数、导数、积分等高等数学的基本概念和计算方法，还要通过这些知识点的学习，培养学生的抽象思维能力和逻辑推理能力。
同时，通过对实际问题的分析和解决，提高学生的应用能力和创新意识。
我们来设计教学内容。
必修五的教学内容应该围绕核心知识点展开，每个章节都应该有明确的学习目标和重点。
例如，在函数章节中，我们可以从函数的定义出发，引导学生理解函数的概念，然后通过不同类型的函数图像，让学生学会如何分析函数的性质。
在导数章节中，我们可以先介绍极限的概念，然后引入导数的定义和计算规则，最后通过实际问题演示导数的应用。
教学方法的选择也至关重要。
在教学过程中，教师应该采用多样化的教学方法，如讲授、讨论、实验、小组合作等，以适应不同学生的学习需求。
同时，教师还应该利用现代教育技术，如多媒体教学、网络资源等，丰富教学内容，提高教学效果。
为了检验教学效果，我们还应该设计合理的评价方式。
评价不仅仅局限于传统的笔试，还可以包括学生的课堂表现、作业完成情况、小组讨论贡献等多方面。
这样的评价方式更加全面，能够更好地反映学生的学习情况，帮助教师及时调整教学策略。
在教学过程中，教师还应该注意以下几点：一是要关注学生的个体差异，因材施教；二是要注重培养学生的自学能力，鼓励学生主动探索；三是要加强与学生的沟通，了解学生的学习困惑，及时给予指导和帮助。
教师应该不断反思自己的教学实践，总结经验，不断提高教学质量。
通过这样的教案设计，我们相信可以帮助学生更好地掌握必修五的数学知识，为他们的未来发展打下坚实的基础。
(完整版)人教版高中数学必修5《算法与程序框图》教案(有答案)
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8．解析： S 2 4 6 L 100 2550
三、解答题 9． 请阅读下面程序框图，说明此程序的功能
解：程序功能是求 s 的值． s 1 2 22 ... 26 ，并输出 s
10．已知函数 y
( x 2)2 ( x 0)
解析： 首先要理解各程序框的含义，输入 a，b，c 三个数之后，接着判断 a，b 的大小，若 b 小，则
把 b 赋给 a，否则执行下一步，即判断 a 与 c 的大小，若 c 小，则把 c 赋给 a， 否则执行下一步，
这样输出的 a 是 a， b， c 三个数中的最小值．所以该程序框图所表示的功能是求
是
输出①
是
输出②
当工资薪金所得不超过 3600元，计算个人所得税的一个算法框图如图．
则输出①、输出②分别为 ( )．
A． 0.05 x; 0.1x
B． 0.05 x; 0.1x 185
C． 0.05 x 80; 0.1x;
D． 0.05x 80; 0.1x 185
5．解析 : 设全月总收入金额为 x 元， 所得税额为 y 元，则 y 与 x 之间的函数关系为
1 变式训练 画出求 1 42
解： 程序框图如下 :
1 72 L
1 1002 的值的程序框图．
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例 5．某工厂 2005 年的生产总值为 200 万元，技术改进后预计以后后每年的年生产总值都比上一年
增长 5%．设计一个程序框图，输出预期年生产总值超过
300 万元的最早年份及 2005 年到此年份之
D ．算法执行步骤的次数不可以很大，否则无法实施．
高中数学必修五教案(精选5篇)
高中数学必修五教案（精选5篇）高中数学必修五教案篇一教学目标A、知识目标：掌握等差数列前n项和公式的推导方法；掌握公式的运用。
B、能力目标：（1）通过公式的探索、发现，在知识发生、发展以及形成过程中培养学生观察、联想、归纳、分析、综合和逻辑推理的能力。
（2）利用以退求进的思维策略，遵循从特殊到一般的认知规律，让学生在实践中通过观察、尝试、分析、类比的方法导出等差数列的求和公式，培养学生类比思维能力。
（3）通过对公式从不同角度、不同侧面的剖析，培养学生思维的灵活性，提高学生分析问题和解决问题的能力。
C、情感目标：（数学文化价值）（1）公式的发现反映了普遍性寓于特殊性之中，从而使学生受到辩证唯物主义思想的熏陶。
（2）通过公式的运用，树立学生"大众教学"的思想意识。
（3）通过生动具体的现实问题，令人着迷的数学史，激发学生探究的兴趣和欲望，树立学生求真的勇气和自信心，增强学生学好数学的。
心理体验，产生热爱数学的情感。
教学重点：等差数列前n项和的公式。
教学难点：等差数列前n项和的公式的灵活运用。
教学方法：启发、讨论、引导式。
教具：现代教育多媒体技术。
教学过程一、创设情景，导入新课。
师：上几节，我们已经掌握了等差数列的概念、通项公式及其有关性质，今天要进一步研究等差数列的前n项和公式。
提起数列求和，我们自然会想到德国伟大的数学家高斯"神速求和"的故事，小高斯上小学四年级时，一次教师布置了一道数学习题："把从1到100的自然数加起来，和是多少？"年仅10岁的小高斯略一思索就得到答案5050，这使教师非常吃惊，那么高斯是采用了什么方法来巧妙地计算出来的呢？如果大家也懂得那样巧妙计算，那你们就是二十世纪末的新高斯。
（教师观察学生的表情反映，然后将此问题缩小十倍）。
我们来看这样一道一例题。
例1，计算：1+2+3+4+5+6+7+8+9+10。
这道题除了累加计算以外，还有没有其他有趣的解法呢？小组讨论后，让学生自行发言解答。
必修五高中数学教案
必修五高中数学教案
第一课：直线方程
1. 学习目标：了解直线的方程形式及其基本性质，学会求解直线的方程。
2. 教学内容：直线的方程形式（斜截式、截距式、一般式）、直线方程间的相互转化、求直线方程的方法。
3. 教学重点：直线的方程形式及其基本性质，求解直线的方程。
4. 教学难点：直线方程的转化和应用。
5. 教学过程：
（1）引入直线的方程形式，导入斜截式、截距式、一般式的概念。
（2）讲解直线方程间的相互转化方法，引导学生掌握各种形式的应用场景。
（3）通过实例演练，引导学生运用所学知识求解直线的方程。
（4）作业布置：课后练习，巩固所学内容。
6. 教学评价：观察学生的学习情况和解题能力，及时给予指导和反馈。
7. 拓展延伸：让学生解决实际问题中的直线方程，拓展学生的思维能力和应用能力。
8. 教学资源：教科书、多媒体课件、实例练习题等。
9. 教学反思：及时总结学生的学习情况，为下一节课的教学准备做好充分的准备。
(完整版)高中数学人教版必修5全套教案(最新整理)
C
由向量的加法可得 AB AC CB
则
j AB j ( AC CB)
A
B
∴ j AB j AC j CB
j
j
AB
cos900 A0
j
CB
cos900 C
∴
csin
A asin C
，即
a sin
A
c sinC
同理，过点 C 作 j BC ，可得
nC
k k
0 ；
或 a k si nA ，b k si nB ，c k si nC ( k 0)
（2）正弦定理的应用范围：
①已知两角和任一边，求其它两边及一角；
②已知两边和其中一边对角，求另一边的对角。
Ⅴ.课后作业
第 10 页[习题 1.1]A 组第 1（1）、2（1）题。
●板书设计
●授后记
（由学生总结）若 ABC 中，C= 900 ，则 cosC 0 ，这时 c2 a2 b2
由此可知余弦定理是勾股定理的推广，勾股定理是余弦定理的特例。
[例题分析]
例 1．在 ABC 中，已知 a 2 3 ， c 6 2 ， B 600 ，求 b 及 A ⑴解：∵ b2 a2 c2 2accosB
践操作。
情感态度与价值观：培养学生在方程思想指导下处理解三角形问题的运算能力；培养学生合
情推理探索数学规律的数学思思想能力，通过三角形函数、正弦定理、向量的数量积等知识
间的联系来体现事物之间的普遍联系与辩证统一。
●教学重点
正弦定理的探索和证明及其基本应用。
●教学难点
已知两边和其中一边的对角解三角形时判断解的个数。
C 1800 (A B)
1800 (32.00 81.80)
10人教版高中数学必修5全册教案
10人教版高中数学必修5全册教案 南京市高中数学必修5（A 卷）一、选择题1．在△ABC 中，已知2=a ，2=c ，︒=30A ，那么C 等于（ ）． A.︒45 B. ︒45或︒135 C. ︒30 D. ︒30或︒150 2．如果在△ABC 中，3=a ，7=b ，2=c ，那么B 等于（ ）． A.6π B. 4π C. 3π D. 32π3．等差数列{}n a 中，第1项为8，第2项为－2，那么它的第3项为（ ）． A. －10 B.10 C.4 D. －12 4．等比数列{}n a 中，首项1a ＝8，公比q ＝21，那么它的前5项和5S 的值等于（ ）． A. 15.5 B.20 C.15 D. 20.75 5．不等式0962>++x x 的解集是（ ）．A. ΦB.RC.{ x | x ≠－3，x ∈R }D. {}33>-<x x x 或 6．若两个正数x 与y 的积等于1，则它们的和有（ ）．A. 最小值2B.最大值2C.最小值1D. 最大值1 7．设a 、b 、c 均为正数，a lg 、b lg 、c lg 成等差数列，那么a 、b 、c 的关系可以表示成（ ）．A.c a b +=2B.ac b =2C. b a b +=D.ca b 111+= 8．有座七层宝塔，每层悬挂灯数自上而下成倍递增。
底层有64盏灯，顶层灯数是（ ）． A. 1 B.2 C.3 D.49．若0<x ，则2x ，x 2，x 的大小关系是（ ）．A. x x x >>22B. x x x 22>> C. x x x 22<< D. x x x <<2210．已知A,B 两地的距离为10km ，B,C 两地的距离为20km ，现测得∠ABC=︒120,则A,C两地的距离为（ ）． A. 10km B.103km C.105km D.107km11．在△ABC 中,80,100,45a b A ︒===,则此三角形解的情况是( )．A.一解B.两解C.一解或两解D.无解 二、填空题12．已知数列{}n a 的通项公式为1532+=n a n ，那么5a ＝ ．13．已知数列：11+，212+,413+,…，121-+n n ，…。
高中数学必修五教案Word
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第一课：二次函数的基本概念和性质
1. 教学目标：
- 了解二次函数的概念和性质
- 掌握二次函数的图像特点
- 能够通过公式确定二次函数的图像
2. 教学内容：
- 二次函数的定义
- 二次函数的一般式和标准式
- 二次函数的图像特点
3. 教学过程：
- 导入：通过实际生活中的例子引入二次函数的概念
- 讲解：介绍二次函数的定义和一般式、标准式的转换方法
- 实例演练：通过例题让学生掌握二次函数的图像特点和变化规律
- 拓展：让学生通过练习巩固所学知识
4. 课堂练习：
1. 求解二次函数f(x)=2x²-4x+3的顶点坐标和对称轴方程
2. 根据二次函数的图像特点，判断下列函数的开口方向：
- a) f(x)=x²+3x-2
- b) f(x)=-2x²+4x-1
5. 课后作业：
- 完成练习册中关于二次函数的练习题
- 总结本课中所学知识，写出二次函数的定义和性质
注意：教案仅供参考，具体内容和教学方式可根据教学情况进行调整。
新课标人教A版高中数学必修5教案完整版
新课标人教A版高中数学必修5教案完整版一、教学目标1.了解函数的基本概念，能够将现实中的问题转化为函数的形式。
2.理解函数的性质，掌握常用函数的性质及图像特征。
3.能够利用函数的性质，解决实际问题。
二、教学重点1.函数的基本概念；2.常用函数的性质；3.利用函数解决实际问题。
三、预备知识1.初中数学基本概念；2.函数概念的初步了解。
四、教学内容第一节函数基本概念1.函数的定义；2.定义域、值域和对应关系；3.奇偶性、周期性、单调性等基本性质。
第二节常用函数及其性质1.幂函数、指数函数、对数函数、三角函数等；2.函数的图像特征及性质。
第三节函数的应用1.函数与方程的联系；2.应用题解法：建立函数模型，求解实际问题。
五、教学方法本节课采用“导入-讲解-演示-练习-总结”等教学方法，其中：1.导入：通过举例子，引导学生了解相关概念。
2.讲解：深入浅出，分析函数性质及应用。
3.演示：通过实例，引导学生理解函数的应用。
4.练习：课后布置作业，帮助学生掌握相关知识。
5.总结：概括本节课所学知识，为下一步教学打下基础。
六、教学过程导入教师通过一个实际问题，引导学生思考如何把问题转化为函数的形式，如：某人5年前的年龄是现在年龄的2倍减3年，建立相关函数模型。
讲解1.函数的定义：函数是一种对应关系，它将定义域内的每一个元素都对应唯一的一个值。
2.函数的基本概念：定义域、值域及对应关系等。
3.常用函数的性质及图像：函数的奇偶性、周期性和单调性等。
其中幂函数、指数函数、对数函数、三角函数等为常用函数。
4.函数的应用：函数与方程的联系以及实际问题的应用，通过建立函数模型，解决实际问题。
演示老师通过现实中的例子，引导学生理解函数的应用，如：电费问题、最小二乘法问题等。
练习1.要求学生掌握函数的基本概念及性质；2.要求学生了解常用函数及其图像特征，掌握函数的基本变换和应用；3.练习题包括基础练习题和应用题，要求学生灵活掌握函数的应用。
高中数学必修五教案全集(48份) 人教课标版(实用教案)
高中数学必修五教案全集（48份）人教课标版（实用教案）第一章解三角形本章规划《课程标准》和教科书把“解三角形”这部分内容安排在数学必修五的第一部分，位置相对靠后，在此内容之前学生已经学习了三角函数、平面向量、直线和圆的方程等与本章知识联系密切的内容，使这部分内容的处理有了比较多的工具，某些内容可以处理得更加简洁．教学中应加强与前后各章教学内容的联系，注意复习和应用已学内容，并为后续章节教学内容做好准备，提高教学效益，并有利于学生对于数学知识的学习和巩固．要重视与内容密切相关的数学思想方法的教学，并且在提出问题、思考解决问题的策略等方面对学生进行具体示范、引导．.教学内容全章有三大节内容：第一大节：正弦定理和余弦定理，这一节通过初中已学过的三角中的边角关系，让学生从已有的几何知识出发，提出探究性问题：“在任意三角形中有大边对大角，小边对小角的边角关系.我们是否能得到这个边、角的关系准确量化的表示呢?”重点是正弦定理的概念和推导方法，体现了从特殊到一般的思想，并可以向学生提出用向量来证明正弦定理，这一点可以让学生探究．在引入余弦定理内容时，提出探究性问题“如果已知三角形的两条边及其所夹的角,根据三角形全等的判定方法，这个三角形是大小、形状完全确定的三角形.我们仍然从量化的角度来研究这个问题，也就是研究如何从已知的两边和它们的夹角计算出三角形的另一边和两个角的问题”．设置这些问题，都是为了加强数学思想方法的教学．比如对于余弦定理的证明，常用的方法是借助于三角形的方法，需要对三角形进行讨论，方法不够简洁，教科书则用了向量的方法，发挥了向量方法在解决问题中的威力．第二大节：应用举例，在应用两个定理解决有关的解三角形和测量问题的过程中，一个问题也常常有多种不同的解决方案，应该鼓励学生提出自己的解决办法，并对于不同的方法进行必要的分析和比较．对于一些常见的测量问题甚至可以鼓励学生设计应用的程序，得到在实际中可以直接应用的算法．学生往往不能把实际问题抽象成数学问题，不能把所学的数学知识应用到实际问题中去，对所学数学知识的实际背景了解不多，虽然学生机械地模仿一些常见数学问题解法的能力较强，但当面临一种新的问题时却办法不多，对于诸如观察、分析、归纳、类比、抽象、概括、猜想等发现问题、解决问题的科学思维方法了解不够．针对这些实际情况，本章重视从实际问题出发，引入数学课题，最后把数学知识应用于实际问题．第三大节：实习作业，适当安排一些实习作业，目的是让学生进一步巩固所学的知识，提高学生分析问题和解决实际问题的能力、动手操作的能力以及用数学语言表达实习过程和实习结果的能力，增强学生应用数学的意识和数学实践能力．教师要注意对学生实习作业的指导，包括对实际测量问题的选择，及时纠正实际操作中的错误，解决测量中出现的一些问题．.作用与地位本章的两个主要数学结论是正弦定理和余弦定理，它们都是关于三角形的边角关系的结论．学习数学的最终目的是应用数学，而如今比较突出的两个问题是，学生应用数学的意识不强，创造能力较弱．为解决此问题，教学中要用联系的观点，从新的角度看过去的问题，使学生对于过去的知识有了新的认识，同时使新知识建立在已有知识的坚实基础上，形成良好的知识结构．.学习目标本章的中心内容是如何解三角形，正弦定理和余弦定理是解三角形的工具，最后落实在解三角形的应用上．通过本章学习，学生应当达到以下学习目标：（）通过对任意三角形边长和角度关系的探索，掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题．.重点和难点通过对三角形中边角关系的探索，证明正弦定理、余弦定理及其推论，并能应用它们解三角形．.课时安排正弦定理和余弦定理（课时）应用举例（课时）实习作业（课时）本章复习（课时）人生最大的幸福，莫过于连一分钟都无法休息零碎的时间实在可以成就大事业珍惜时间可以使生命变的更有价值时间象奔腾澎湃的急湍，它一去无返，毫不流连一个人越知道时间的价值，就越感到失时的痛苦得到时间，就是得到一切用经济学的眼光来看，时间就是一种财富时间一点一滴凋谢，犹如蜡烛漫漫燃尽我总是感觉到时间的巨轮在我背后奔驰，日益迫近夜晚给老人带来平静，给年轻人带来希望不浪费时间，每时每刻都做些有用的事，戒掉一切不必要的行为时间乃是万物中最宝贵的东西，但如果浪费了，那就是最大的浪费我的产业多么美，多么广，多么宽，时间是我的财产，我的田地是时间时间就是性命，无端的空耗别人的时间，知识是取之不尽，用之不竭的。
人教版高中数学必修五教学设计 [整书][全套]
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1.1.1正弦定理教学目标：1．让学生从已有的几何知识出发, 通过对任意三角形边角关系的探索，共同探究在任意三角形中，边与其对角的关系，引导学生通过观察，实验，猜想，验证，证明，由特殊到一般归纳出正弦定理，掌握正弦定理的内容及其证明方法，理解三角形面积公式，并学会运用正弦定理解决解斜三角形的两类基本问题.2．通过对实际问题的探索，培养学生观察问题、提出问题、分析问题、解决问题的能力，增强学生的协作能力和交流能力，发展学生的创新意识，培养创造性思维的能力.3．通过学生自主探索、合作交流，亲身体验数学规律的发现，培养学生勇于探索、善于发现、不畏艰辛的创新品质，增强学习的成功心理，激发学习数学的兴趣.4．培养学生合情合理探索数学规律的数学思想方法，通过平面几何、三角形函数、正弦定理、向量的数量积等知识间的联系来体现事物之间的普遍联系与辩证统一. 教学重点与难点教学重点：正弦定理的发现与证明；正弦定理的简单应用. 教学难点：正弦定理的猜想提出过程.教学准备：制作多媒体课件，学生准备计算器，直尺，量角器. 教学过程：（一）结合实例，激发动机 师生活动：每天我们都在科技楼里学习，对科技楼熟悉吗？那大家知道科技楼有多高吗？给大家一个皮尺和测角仪，你能测出楼的高度吗？ 学生思考片刻，教师引导.生1：在楼的旁边取一个观测点C ，再用一个标杆，利用三角形相似. 师：方法可行吗？生2：B 点位置在楼内不确定，故BC 长度无法测量，一次测量不行. 师：你有什么想法？生2：可以再取一个观测点D .师：多次测量取得数据，为了能与上次数据联系，我们应把D 点取在什么位置？ 生2：向前或向后师：好，模型如图（2）：我们设60∠=︒ACB ，45∠=︒ADB ,CD =10m,那么我们能计算出AB 吗？生3：由tan45tan3010AB AB οο-=求出AB .师：很好，我们可否换个角度，在Rt ABD ∆中，能求出AD ,也就求出了AB .在∆ACD 中，已知两角，也就相当于知道了三个角，和其中一个角的对边，要求出AD ，就需要我们来研究三角形中的边角关系.师：探究一般三角形中的边角关系，我们应从我们最熟悉的特殊三角形入手！ 生4：直角三角形.师：直角三角形的边与角之间存在怎样的关系？生5：思考交流得出，如图4，在Rt ∆ABC 中，设BC =a ,AC =b ,AB =c ,则有sin a a A c =，sin b b B c =，又1sin c cC c==, 则sin sin sin a b c c A B C=== 从而在直角三角形ABC 中，sin sin sin a b cA B C==（二）证明猜想，得出定理 师生活动：教师：那么，在斜三角形中也成立吗？用几何画板演示，用多媒体的手段对结论加以验证！但特殊不能代替一般，具体不能代替抽象，这个结果还需要严格的证明才能成立，如何证明哪？前面探索过程对我们有没有启发？学生分组讨论，每组派一个代表总结.（以下证明过程，根据学生回答情况进行叙述） 学生6：思考得出①在ABC ∆中，成立，如前面检验.②在锐角三角形中，如图5设BC a =，CA b =，AB c =作：AD BC ⊥，垂足为D 在Rt ABD ∆中，sin ADB AB=sin sin AD AB B c B ∴=•=•在Rt ADC ∆中，sin ADC AC=sin sin AD AC C b C ∴=•=• sin sin c B b C ∴=sin sin c bC B∴= 同理，在ABC ∆中，sin sin a cA C= sin sin sin a b cA B C∴== ③在钝角三角形中，如图6设C ∠为钝角，BC a =，CA b =，AB c =，作AD BC ⊥交BC 的延长线于D .在Rt ADB ∆中，sin ADB AB=sin sin AD AB B c B ∴=•=•在Rt ADC ∆中，sin ADACD AC∠=sin sin AD AC ACD b ACB ∴=•∠=•∠sin sin c B b ACB ∴•=•∠sin sin c bACB B∴=∠同锐角三角形证明可知sin sin a cA C= sin sin sin a b cA B ACB∴==∠ 教师：我们把这条性质称为正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即sin sin sin a b cA B C==师：我们在前面学习了平面向量，向量是解决数学问题的有力工具，而且和向量的联系紧密，那么同学们能否用向量的知识证明正弦定理？ 学生要思考一下.师：观察式子结构，里面有边及其边的夹角，与向量的哪一部分知识有关？ 生7：向量的数量积师：那向量的数量积的表达式是什么？生8：cos ,a b a b a b •=<>r r r r r r师：表达式里是角的余弦，我们要证明的式子里是角的正弦. 生：利用诱导公式.师：式子变形为：cos()cos()22ππ-=-u u u r u u u r CB A CA B ,师：很好，那我们就用向量来证明正弦定理，同学们请试一试！学生讨论合作，就可以解决这个问题教师：由于时间有限，对正弦定理的证明到此为止，有兴趣的同学下去再探索.设计意图：经历证明猜想的过程，进一步引导启发学生利用已有的数学知识论证猜想，力图让学生体验数学的学习过程. （三）利用定理，解决引例 师生活动：教师：现在大家再用正弦定理解决引例中提出的问题. 学生：马上得出在ABC ∆中，18060,sin sin c bB AC C B∠=-∠-∠==oosin 600sin 45sin sin 60b C c B ••︒∴===︒（四）了解解三角形概念设计意图：让学生了解解三角形概念，形成知识的完整性教师：一般地，把三角形的三个角A 、B 、C 和它们的对边a 、b 、c 叫做三角形的元素，已知，三角形的几个元素，求其他元素的过程叫做解三角形.设计意图：利用正弦定理，重新解决引例，让学生体会用新的知识，新的定理，解决问题更方便，更简单，激发学生不断探索新知识的欲望. （五）运用定理，解决例题 师生活动：教师：引导学生从分析方程思想分析正弦定理可以解决的问题. 学生：讨论正弦定理可以解决的问题类型：①如果已知三角形的任意两个角与一边，求三角形的另一角和另两边，如sin sin b Aa B =； ②如果已知三角形任意两边与其中一边的对角，求另一边与另两角，如sin sin aA B b=.师生：例1的处理，先让学生思考回答解题思路，教师板书，让学生思考主要是突出主体，教师板书的目的是规范解题步骤.例1：在ABC ∆中，已知∠30A =︒，∠45B =︒，6a =cm ，解三角形.【解析】“已知三角形中两角及一边，求其他元素”，第一步可由三角形内角和为︒180求出第三个角∠C ，再由正弦定理求其他两边.解：由题意得，∠C =180°-30°-45°=105°由正弦定理得，6sin 21sin 2a Bb A⨯===6sin 41sin 2a C c A===+例2．在∆ABC 中，已知20=a cm ，28=b cm ，040=A ，解三角形（角度精确到01，边长精确到1cm ）.解：根据正弦定理，0sin 28sin40sin 0.8999.20==≈b A B a因为00＜B ＜0180，所以064≈B ，或0116.≈B （1）当064≈B 时，00000180()180(4064)76=-+≈-+=C A B ，00sin 20sin7630sin sin40a C c A ==≈cm（2）当0116≈B 时，00000180()180(40116)24=-+≈-+=C A B ， （六）尝试小结：教师：提示引导学生总结本节课的主要内容. 学生：思考交流，归纳总结.师生：让学生尝试小结，教师及时补充，要体现： （1）正弦定理的内容（2sin sin sin a b cR A B C===）及其证明思想方法. （2）正弦定理的应用范围：①已知三角形中两角及一边，求其他元素；②已知三角形中两边和其中一边所对的角，求其他元素. （3）分类讨论的数学思想.1.2 应用举例第1课时解三角形的实际应用教学目标1．能将实际问题转化为解三角形问题．(难点)2．能够用正、余弦定理求解与距离、高度有关的实际应用问题．(重点)教学过程教材整理1基线的概念阅读教材，完成下列问题．1．定义在测量上，根据测量需要适当确定的线段叫做基线．2．性质在测量过程中，要根据实际需要选取合适的基线长度，使测量具有较高的精确度．一般来说，基线越长，测量的精确度越高．教学检测判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)一般来说，在测量过程中基线越长，测量精确度越低．()(2)已知三角形的三个角，能够求其三条边．()(3)两个不可到达的点之间的距离无法求得．()【解析】(1)×.因为在测量过程中基线越长，测量的精确度越高．(2)×.因为要解三角形，至少要知道这个三角形的一条边．(3)×.两个不可到达的点之间的距离我们可以借助第三个点和第四个点量出角度、距离求得．【答案】(1)×(2)×(3)×教材整理2测量中有关角的概念阅读教材，完成下列问题．1．仰角和俯角与目标视线在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角，目标视线在水平视线上方时叫仰角，目标视线在水平视线下方时叫俯角(如图1-2-1(1)所示)．图1-2-1(1)2．方向角从指定方向线到目标方向线所成的水平角．如南偏西60°，即以正南方向为始边，顺时针方向向西旋转60°.(如图1-2-1(2)所示)图1-2-1(2)教学检测判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)东偏北45°的方向就是东北方向．()(2)仰角与俯角所在的平面是铅垂面．()(3)若点P在点Q的北偏东44°，则点Q在点P的东偏北44°方向．()【解析】(1)√，由方向角的定义可知．(2)√，由仰角与俯角的定义可知．(3)×，点Q 在点P 的南偏西44°. 【答案】 (1)√例1 要测量对岸A ，两点，并测得∠ACB ＝75°，∠BCD ＝45°，∠ADC ＝30°，∠ADB ＝45°，求A ，B 之间的距离．【精彩点拨】 将题中距离、角度转化到一个三角形中，再利用正弦、余弦定理解三角形．【解】 如图所示，在△ACD 中，∠ACD ＝120°，∠CAD ＝∠ADC ＝30°，∴AC ＝CD ＝ 3 km.在△BCD 中，∠BCD ＝45°，∠BDC ＝75°，∠CBD ＝60°， ∴BC ＝3sin 75°sin 60°＝6＋22.在△ABC 中，由余弦定理，得AB 2＝(3)2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫6＋222－2×3×6＋22×cos 75°＝3＋2＋3－3＝5， ∴AB ＝5(km)，∴A ，B 之间的距离为 5 km.名师指津三角形中与距离有关的问题的求解策略：(1)解决与距离有关的问题，若所求的线段在一个三角形中，则直接利用正、余弦定理求解即可；若所求的线段在多个三角形中，要根据条件选择适当的三角形，再利用正、余弦定理求解．(2)解决与距离有关的问题的关键是转化为求三角形中的边，分析所解三角形中已知哪些元素，还需要求出哪些元素，灵活应用正、余弦定理来解决．[再练一题]1．如图1-2-2，在河岸边有一点A ，河对岸有一点B ，要测量A ，B 两点的距离，先在岸边取基线AC ，测得AC ＝120 m ，∠BAC ＝45°，∠BCA ＝75°，求A ，B 两点间的距离.图1-2-2【解】 在△ABC 中，AC ＝120，A ＝45°，C ＝75°， 则B ＝180°－(A ＋C )＝60°，由正弦定理，得AB ＝AC sin C sin B ＝120sin 75°sin 60°＝20(32＋6)．即A ，B 两点间的距离为20(32＋6)m.例2 (1)如图1-2-345°和30°，已知CD ＝100米，点C 位于BD 上，则山高AB 等于( )A ．100米B ．503米C ．502米D ．50(3＋1)米图1-2-3(2)在一幢20 m 高的楼顶测得对面一塔吊顶的仰角为60°，塔基的俯角为45°，那么这座塔吊的高是( )A ．20⎝⎛⎭⎫1＋33 m B ．20(1＋3)m C ．10(6＋2)m D ．20(6＋2)m【精彩点拨】 (1)解决本题关键是求AB 时确定在哪一个三角形中求解，该三角形是否可解．(2)解决本题关键是画出示意图．【解析】 (1)设山高为h ，则由题意知CB ＝h ，DB ＝3h ，所以3h －h ＝100，即h ＝50(3＋1)．(2)如图，由条件知四边形ABCD 为正方形，∴AB ＝CD ＝20 m ，BC ＝AD ＝20 m. 在△DCE 中，∠EDC ＝60°，∠DCE ＝90°，CD ＝20 m ，∴EC ＝CD ·tan 60°＝20 3 m ，∴BE ＝BC ＋CE ＝(20＋203)m.选B.【答案】(1)D(2)B名师指津解决测量高度问题的一般步骤：(1)画图：根据已知条件画出示意图．(2)分析三角形：分析与问题有关的三角形．(3)求解：运用正、余弦定理，有序地解相关的三角形，逐步求解．在解题中，要综合运用立体几何知识与平面几何知识，注意方程思想的运用．[再练一题]2．某兴趣小组要测量电视塔AE的高度H(单位：m)．如图1-2-4所示，竖直放置的标杆BC 的高度h＝4 m，仰角∠ABE＝α，∠ADE＝β.该小组已测得一组α，β的值，算出了tan α＝1.24，tan β＝1.20，请据此算出H的值.图1-2-4【解】 由AB ＝H tan α，BD ＝htan β，AD ＝Htan β及AB ＋BD ＝AD ，得H tan α＋h tan β＝H tan β， 解得H ＝h tan αtan α－tan β＝4×1.241.24－1.20＝124.因此电视塔的高度H 是124 m.探究1 45°，∠BAD ＝120°，又在B 点测得∠ABD ＝45°，其中D 是点C 到水平面的垂足．试画出符合题意的示意图．【提示】 用线段CD 表示山，用△DAB 表示海平面．结合题中相应的距离及角度，画出立体图形，如图所示．探究2在探究1中若要求山高CD怎样求解？【提示】由探究1知CD⊥平面ABD，首先在△ABD中利用正弦定理求出AD的长，然后在Rt△ACD中求出CD.图1-2-5例3如图1-2-5，为了测量河对岸的塔高AB，有不同的方案，其中之一是选取与塔底B在同一水平面内的两个测点C和D，测得CD＝200米，在C点和D点测得塔顶A的仰角分别是45°和30°，且∠CBD＝30°，求塔高AB.【精彩点拨】利用方程的思想，设AB＝h.表示出BC＝h，BD＝htan 30°＝3h，然后在△BCD中利用余弦定理求解．【解】在Rt△ABC中，∠ACB＝45°，若设AB＝h，则BC＝h.在Rt△ABD中，∠ADB ＝30°，则BD＝3h.在△BCD中，由余弦定理可得CD2＝BC2＋BD2－2·BC·BD·cos∠CBD，即2002＝h2＋(3h)2－2·h·3h·32，所以h2＝2002，解得h＝200(h＝－200舍去)，即塔高AB＝200米．名师指津测量高度问题的两个关注点(1)“空间”向“平面”的转化：测量高度问题往往是空间中的问题，因此先要选好所求线段所在的平面，将空间问题转化为平面问题．(2)“解直角三角形”与“解斜三角形”结合，全面分析所有三角形，仔细规划解题思路．[再练一题]3．要测量底部不能到达的东方明珠电视塔的高度，在黄浦江西岸选择甲、乙两观测点，在甲、乙两点测得塔顶的仰角分别为45°，30°，在水平面上测得电视塔与甲地连线及甲、乙两地连线所成的角为120°，甲、乙两地相距500 m，则电视塔的高度是() A．100 2 m B．400 mC．200 3 m D．500 m【解析】由题意画出示意图，设塔高AB＝h m，在Rt△ABC中，由已知得BC＝h m，在Rt△ABD中，由已知得BD＝3h m，在△BCD中，由余弦定理BD2＝BC2＋CD2－2BC·CD cos ∠BCD，得3h2＝h2＋5002＋500h，解得h＝500(m)．【答案】 D当堂检测1．甲、乙两人在同一地平面上的不同方向观测20 m高的旗杆，甲观测的仰角为50°，乙观测的仰角为40°，用d1，d2分别表示甲、乙两人离旗杆的距离，那么有() A．d1>d2B．d1<d2C．d1>20 m D．d2<20 m【解析】如图，设旗杆高为h，则d1＝htan 50°，d2＝htan 40°.因为tan 50°>tan 40°，所以d1<d2.【答案】 B2．如图1-2-6，D，C，B三点在地面同一直线上，DC＝100米，从C，D两点测得A点仰角分别是60°，30°，则A点离地面的高度AB等于()图1-2-6A．503米B．1003米C．50米D．100米【解析】因为∠DAC＝∠ACB－∠D＝60°－30°＝30°，所以△ADC为等腰三角形，所以AC＝DC＝100米，在Rt△ABC中，AB＝AC sin 60°＝503米．【答案】 A3．某人先向正东方向走了x km，然后他向右转150°，向新的方向走了3 km，结果他离出发点恰好为 3 km，那么x的值为()A. 3 B．2 3C．23或 3 D．3【解析】如图，在△ABC中由余弦定理得3＝9＋x2－6x cos 30°，即x2－33x＋6＝0，解之得x＝23或 3.【答案】 C4．在高出海平面200 m的小岛顶上A处，测得位于正西和正东方向的两船的俯角分别是45°与30°，此时两船间的距离为________m.【解析】过点A作AH⊥BC于点H，由图易知∠BAH＝45°，∠CAH＝60°，AH＝200 m，则BH＝AH＝200 m，CH＝AH·tan 60°＝200 3 m.故两船距离BC＝BH＋CH＝200(3＋1)m.【答案】200(3＋1)5．如图1-2-7所示，有两座建筑物AB和CD都在河的对岸(不知道它们的高度，且不能到达对岸)，某人想测量两座建筑物尖顶A、C之间的距离，但只有卷尺和测量仪两种工具．若此人在地面上选一条基线EF，用卷尺测得EF的长度为a，并用测角仪测量了一些角度：∠AEF＝α，∠AFE＝β，∠CEF＝θ，∠CFE＝φ，∠AEC＝γ.图1-2-7请你用文字和公式写出计算A、C之间距离的步骤和结果．【解】第一步：在△AEF中，利用正弦定理，得AEsin β＝EFsin(180°－α－β)，解得AE＝a sin βsin(α＋β).第二步：在△CEF中，同理可得CE＝a sin φsin(θ＋φ).第三步：在△ACE中，利用余弦定理，得AC＝AE2＋CE2－2AE·CE·cos γ＝a2sin2βsin2(α＋β)＋a2sin2φsin2(θ＋φ)－2a2sin βsin φcos γsin(α＋β)sin(θ＋φ).§2.1 数列的概念与简单表示法教学目标：了解数列的递推公式，明确递推公式与通项公式的异同，会根据数列的递推公式写出数列的前n项；提高学生的推理能力，培养学生的应用意识.教学重点：1.数列的递推公式.2.根据数列的递推公式写出数列的前n项.教学难点：理解递推公式与通项公式的关系.教学过程：Ⅰ.讲授新课我们为什么要学习有关数列的知识呢？那是因为在现实生活中，我们经常会遇到有关数列的问题，学习它，研究它，主要是想利用它来解决一些实际问题，让其为我们的生活更好地服务.也就是说，我们所学知识都来源于实践，最后还要应用于生活.下面，我们继续探讨有关数列的问题.首先，请同学们来看一幅钢管堆放示意图.模型一：自上而下：第一层钢管数为4；即：1↔4＝1＋3,第二层钢管数为5；即：2↔5＝2＋3第三层钢管数为6；即：3↔6＝3＋3,第四层钢管数为7；即：4↔7＝4＋3第五层钢管数为8；即：5↔8＝5＋3,第六层钢管数为9；即：6↔9＝6＋3第七层钢管数为10；即：7↔10＝7＋3若用a n表示自上而下每一层的钢管数，n表示层数，则可得出每一层的钢管数可构成一数列，即：4，5，6，7，8，，9，10，且a n＝n＋3(1≤n≤7，n∈N*)同学们运用每一层的钢管数与其层数之间的对应规律建立了数列模型，这完全正确，运用这一关系，会很快捷地求出每一层的钢管数.这会给我们的统计与计算带来很多方便.模型二：自上而下 第一层钢管数为4； 第二层钢管数为5＝4＋1； 第三层钢管数为6＝5＋1； 第四层钢管数为7＝6＋1； 第五层钢管数为8＝7＋1； 第六层钢管数为9＝8＋1； 第七层钢管数为10＝9＋1.即：自上而下每一层的钢管数都比上一层钢管数多1. 若用a n 表示每一层的钢管数，则a 1＝4； a 2＝5＝4＋1＝a 1＋1；a 3＝6＝5＋1＝a 2＋1； a 4＝7＝6＋1＝a 3＋1；a 5＝8＝7＋1＝a 4＋1； a 6＝9＝8＋1＝a 5＋1；a 7＝10＝9＋1＝a 6＋1； 即：a n ＝a n －1＋1(2≤n ≤7，n ∈N *)对于上述所求关系，若知其第1项，即可求出其他各项.看来，这一关系也较为重要.这一关系，咱们把它称为递推关系，表示这一关系的式子，咱们把之称为递推公式1.定义递推公式：如果已知数列{a n }的第1项(或前n 项)，且任一项a n 与它的前一项a n －1(或前n 项)间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式.说明：数列的递推公式揭示了数列的任一项a n 与它的前一项a n －1（或前n 项）的关系，也是给出数列的一种重要方法.下面，我们结合例子来体会一下数列的递推公式. 2.例题讲解例1 已知数列{a n }的第1项是1，以后的各项由公式a n ＝1＋1a n －1 给出，写出这个数列的前5项.解：据题意可知：a 1＝1，a 2＝1＋1a 1 ＝2，a 3＝1＋1a 2 ＝32 ，a 4＝1＋1a 3 ＝53 ，a 5＝85 .例2 已知数列{a n }中，a 1＝1，a 2＝2，a n ＝3a n －1＋a n －2(n ≥3)，试写出数列的前4项.解：由已知得a 1＝1，a 2＝2，a 3＝3a 2＋a 1＝7，a 4＝3a 3＋a 2＝23 Ⅱ.课堂练习写出下面数列{a n }的前5项.1.a 1＝5，a n ＝a n －1＋3(n ≥2)解法一：a 1＝5；a 2＝a 1＋3＝8；a 3＝a 2＋3＝11；a 4＝a 3＋3＝14；a 5＝a 4＋3＝17.评析：由已知中的a 1与递推公式a n ＝a n －1＋3(n ≥2)，依次递推出该数列的前5项，这是递推公式的最基本的应用.是否可利用该数列的递推公式而求得其通项公式呢？请同学们再仔细观察此递推公式.解法二：由a n ＝a n －1＋3(n ≥2)，得a n －a n －1＝3则a 2－a 1＝3，a 3－a 2＝3，a 4－a 3＝3，a 5－a 4＝3，……，a n －1－a n －2＝3，a n －a n －1＝3 将上述n －1个式子左右两边分别相加，便可得a n －a 1＝3(n －1)，即a n ＝3n ＋2(n ≥2) 又由a 1＝5满足上式，∴a n ＝3n ＋2(n ≥1)为此数列的通项公式.2.a 1＝2，a n ＝2a n －1(n ≥2)解法一：由a 1＝2与a n ＝2a n －1(n ≥2)得：a 1＝2，a 2＝2a 1＝4，a 3＝2a 2＝8，a 4＝2a 3＝16，a 5＝2a 4＝32.解法二：由a n ＝2a n －1(n ≥2)，得a n a n －1＝2(n ≥2)，且a 1＝2 则：a 2a 1 ＝2，a 3a 2 ＝2，a 4a 3 ＝2，……a n －1a n －2 ＝2， a n a n －1＝2 若将上述n －1个式子左右两边分别相乘，便可得a n a 1＝2n －1 即：a n ＝2n (n ≥2)，又由a 1＝2满足上式∴a n ＝2n (n ≥1)为此数列的通项公式.∴a 2＝22＝4，a 3＝23＝8，a 4＝24＝16，a 5＝25＝32.3.a 1＝1，a n ＝a n －1＋1a n －1(n ≥2) 解：由a 1＝1，a n ＝a n －1＋1a n －1(n ≥2), 得a 1＝1，a 2＝a 1＋1a 1＝2, a 3＝a 2＋1a 2 ＝52 ,a 4＝a 3＋1a 3 ＝52 ＋25 ＝2910, a 5＝a 4＋1a 4 ＝2910 ＋1029 ＝941290Ⅲ.课时小结这节课我们主要学习了数列的另一种给出方法，即递推公式及其用法，课后注意理解.另外，还要注意它与通项公式的区别在于：1.通项公式反映的是项与项数之间的关系，而递推公式反映的是相邻两项(或n 项)之间的关系.2.对于通项公式，只要将公式中的n 依次取1，2，3…即可得到相应的项.而递推公式则要已知首项(或前n 项)，才可依次求出其他的项.2.2 等差数列教学目标1．知识与技能:通过实例，理解等差数列的概念；探索并掌握等差数列的通项公式；能在具体的问题情境中，发现数列的等差关系并能用有关知识解决相应的问题；体会等差数列与一次函数的关系.2. 过程与方法:让学生对日常生活中实际问题分析，引导学生通过观察，推导，归纳抽象出等差数列的概念；由学生建立等差数列模型用相关知识解决一些简单的问题，进行等差数列通项公式应用的实践操作并在操作过程中，通过类比函数概念、性质、表达式得到对等差数列相应问题的研究.3．情态与价值:培养学生观察、归纳的能力，培养学生的应用意识.教学重、难点重点：理解等差数列的概念及其性质，探索并掌握等差数列的通项公式；会用公式解决一些简单的问题，体会等差数列与一次函数之间的联系.难点：概括通项公式推导过程中体现出的数学思想方法.学法与教学用具学法：引导学生首先从四个现实问题（数数问题、女子举重奖项设置问题、水库水位问题、储蓄问题）概括出数组特点并抽象出等差数列的概念；接着就等差数列的特点，推导出等差数列的通项公式；可以用多种方法对等差数列的通项公式进行推导.教学用具：投影仪教学设想创设情景上节课我们学习了数列.在日常生活中，人口增长、教育贷款、存款利息等等这些大家以后会接触得比较多的实际计算问题，都需要用到有关数列的知识来解决.今天我们就先学习一类特殊的数列.探索研究由学生观察分析并得出答案：（放投影片）在现实生活中，我们经常这样数数，从0开始，每隔5数一次，可以得到数列：0，5，____,____,____,____,……2012年，在伦敦举行的奥运会上，女子举重项目共设置了7个级别.其中较轻的4个级别体重组成数列（单位：kg）：48，53，58，63.水库的管理人员为了保证优质鱼类有良好的生活环境，用定期放水清理水库的杂鱼.如果一个水库的水位为18cm，自然放水每天水位降低2.5m，最低降至5m.那么从开始放水算起，到可以进行清理工作的那天，水库每天的水位组成数列（单位：m）：18，15.5，13，10.5，8，5.5我国现行储蓄制度规定银行支付存款利息的方式为单利，即不把利息加入本金计算下一期的利息.按照单利计算本利和的公式是：本利和=本金×（1+利率×寸期）.例如，按活期存入10 000元钱，年利率是0.72%.那么按照单利，5年内各年末的本利和分别是：各年末的本利和（单位：元）组成了数列：10 072，10 144，10 216，10 288，10 360. 思考：同学们观察一下上面的这四个数列：0，5，10，15，20，…… ①48，53，58，63 ②18，15.5，13，10.5，8，5.5 ③10 072，10 144，10 216，10 288，10 360 ④看这些数列有什么共同特点呢？（由学生讨论、分析）引导学生观察相邻两项间的关系，得到：对于数列①，从第2项起，每一项与前一项的差都等于5；对于数列②，从第2项起，每一项与前一项的差都等于5；对于数列③，从第2项起，每一项与前一项的差都等于-2.5；对于数列④，从第2项起，每一项与前一项的差都等于72；由学生归纳和概括出，以上四个数列从第2项起，每一项与前一项的差都等于同一个常数（即：每个都具有相邻两项差为同一个常数的特点）.等差数列的概念对于以上几组数列我们称它们为等差数列.请同学们根据我们刚才分析等差数列的特征，尝试着给等差数列下个定义：等差数列：一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列.这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d 表示.那么对于以上四组等差数列，它们的公差依次是5，5，-2.5，72.提问：如果在与中间插入一个数A ，使，A ，成等差数列数列，那么A 应满足什么条件？由学生回答：因为a ，A ，b 组成了一个等差数列，那么由定义可以知道：A -a =b -A所以就有 由三个数a ，A ，b 组成的等差数列可以看成最简单的等差数列，这时，A 叫做a 与b 的等差中项.不难发现，在一个等差数列中，从第2项起，每一项（有穷数列的末项除外）都是它的前一项与后一项的等差中项.如数列：1，3，5，7，9，11，13…中5是3和7的等差中项，1和9的等差中项.9是7和11的等差中项，5和13的等差中项.看来，从而可得在一等差数列中，若m +n =p +q则等差数列的通项公式对于以上的等差数列，我们能不能用通项公式将它们表示出来呢？这是我们接下来要学习的内容.⑴我们是通过研究数列的第n 项与序号n 之间的关系去写出数列的通项公式的.下面由同学们根据通项公式的定义，写出这四组等差数列的通项公式.由学生经过分析写出通项公式：① 这个数列的第一项是5，第2项是10（=5+5），第3项是15（=5+5+5），第4项是20 a b a b 2b a A +=73645142,a a a a a a a a +=++=+q p n m a a a a +=+}{n a（=5+5+5+5），……由此可以猜想得到这个数列的通项公式是② 这个数列的第一项是48，第2项是53（=48+5），第3项是58（=48+5×2），第4项是63（=48+5×3），由此可以猜想得到这个数列的通项公式是.③ 这个数列的第一项是18，第2项是15.5（=18-2.5），第3项是13（=18-2.5×2），第4项是10.5（=18-2.5×3），第5项是8（=18-2.5×4），第6项是5.5（=18-2.5×5）由此可以猜想得到这个数列的通项公式是.④ 这个数列的第一项是10072，第2项是10144（=10172+72），第3项是10216（=10072+72×2），第4项是10288（=10072+72×3），第5项是10360（=10072+72×4），由此可以猜想得到这个数列的通项公式是.⑵那么，如果任意给了一个等差数列的首项和公差d ，它的通项公式是什么呢？ 引导学生根据等差数列的定义进行归纳：所以……思考：那么通项公式到底如何表达呢？……n a n 5=)1(548-+=n a n )1(5.218--=n a n )1(7210072-+=n a n 1a ,12d a a +=,23d a a +=,34d a a +=,12d a a +=,2)(123d a d d a d a a +=++=+=,3)2(134d a d d a d a a +=++=+=得出通项公式：由此我们可以猜想得出：以为首项，d 为公差的等差数列的通项公式为：也就是说，只要我们知道了等差数列的首项和公差d ，那么这个等差数列的通项就可以表示出来了.选讲：除此之外，还可以用迭加法和迭代法推导等差数列的通项公式：（迭加法）： 是等差数列，所以……两边分别相加得所以（迭代法）：是等差数列，则有……所以例题分析例1：⑴求等差数列8，5，2，…的第20项.⑵-401是不是等差数列-5，-9，-13，…的项？如果是，是第几项？分析：⑴要求出第20项，可以利用通项公式求出来.首项知道了，还需要知道的是该等1a }{n a d n a a n )1(1-+=1a n a }{n a ,1d a a n n =--,21d a a n n =---,32d a a n n =---,12d a a =-,)1(1d n a a n -=-d n a a n )1(1-+=}{n a d a a n n +=-1d d a n ++=-2d a n 22+=-d d a n 23++=-d a n 33+=-d n a )1(1-+=d n a a n )1(1-+=差数列的公差，由公差的定义可以求出公差；⑵这个问题可以看成是上面那个问题的一个逆问题.要判断这个数是不是数列中的项，就是要看它是否满足该数列的通项公式，并且需要注意的是，项数是否有意义. 解：⑴由=8，d =5-8=-3，n =20，得⑵由=-5，d =-9-（-5）=-4，得这个数列的通项公式为由题意知，本题是要回答是否存在正整数n ,使得-401=-4n -1成立.解这个关于n 的方程，得n =100，即-401是这个数列的第100项.例题评述：从该例题中可以看出，等差数列的通项公式其实就是一个关于、、d 、n （独立的量有3个）的方程；另外，要懂得利用通项公式来判断所给的数是不是数列中的项，当判断是第几项的项数时还应看求出的项数是否为正整数，如果不是正整数，那么它就不是数列中的项.例2：某市出租车的计价标准为1.2元/km ，起步价为10元，即最初的4km （不含4千米）计费10元.如果某人乘坐该市的出租车去往14km 处的目的地，且一路畅通，等候时间为0，需要支付多少车费？解：根据题意，当该市出租车的行程大于或等于4km 时，每增加1km ，乘客需要支付1.2元.所以，我们可以建立一个等差数列来计算车费.令=11.2，表示4km 处的车费，公差d =1.2.那么当出租车行至14km 处时，n =11， 此时需要支付车费答：需要支付车费23.2元.例题评述：这是等差数列用于解决实际问题的一个简单应用，要学会从实际问题中抽象出等差数列模型，用等差数列的知识解决实际问题.例3：已知数列的通项公式为其中p 、q 为常数，且p ≠0，那么这个数列一定是等差数列吗？【解析】判定是不是等差数列，可以利用等差数列的定义，也就是看（n ＞1）是不是一个与n 无关的常数.解：取数列中的任意相邻两项（n ＞1），1a 49)3()121(820-=-⨯-+=a 1a ,14)1(45--=---=n n a n n a 1a }{n a 1a )(2.232.1)111(2.1111元=⨯-+=a }{n a ,q pn a n +=}{n a 1--n n a a 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高中数学人教版必修5教案.pdf
1.1.1 正弦定理一、教学目标：1、通过对任意三角形边长和角度关系的探索，掌握正弦定理的内容及其证明方法；2、会运用正弦定理与三角形内角和定理解三角形；二、教学重点：正弦定理的探索和证明及其基本应用；教学难点：已知两边和其中一边的对角解三角形时判断解的个数；三、教学过程：1、引入在初中，我们知道三角形有大边对大角，小边对小角的边角关系.能否把这种关系准确量化的表示呢？2、新课教学(1)直角三角形中，角与边的等式关系：在Rt ABC 中，设BC=a,AC=b,AB=c, 根据锐角三角函数中正弦函数的定义，有sin a Ac，sin b Bc，sin 1c C c ,则sin sin sin a bccA BC在直角三角形ABC 中，sin sin sin abcA BC思考：那么对于任意的三角形，以上关系式是否仍然成立？(2)锐角三角形中，角与边的等式关系：当ABC 是锐角三角形时，设边AB 上的高是CD ，根据任意角三角函数的定义，有CD=sin sin a B b A ,则sin sin abA B ，同理可得sin sin cbCB ，从而sin sin abA B sin cC(3) 探究：P 3钝角三角形中，角与边的等式关系：3、正弦定理：(1) 在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即sin sin abABsin cC存在正数k 使sin a k A ，sin b k B ，sin c k C ；(2) 一般地，已知三角形的某些边和角，求其他的边和角的过程叫作解三角形。
①已知三角形的任意两角及其一边可以求其他边；②已知三角形的任意两边与其中一边的对角可以求其他角的正弦值。
4、讲授例题：例1．P 3在ABC 中，已知032.0A ，081.8B ，42.9a cm ，解三角形。
例2．P 4在ABC 中，已知20a cm ，28b cm ，040A ，解三角形。
5、练习：课本P 4 练习 1 2四、课堂小结：(1)正弦定理(2)正弦定理的应用范围1.1.2余弦定理一、教学目标：1、掌握余弦定理；2、运用余弦定理解三角形。
人教A版高中数学必修五全册教案
人教A版高中数学必修五全册教案教案：高中数学必修五全册教材：人教A版高中数学必修五教学目标：1.掌握数列概念，能够计算等差数列和等比数列的通项和前n项和；2.理解极限的概念，能够计算函数在其中一点的极限；3.理解一元一次方程、二次方程的根及其性质，能够求解一元一次方程和二次方程；4.理解函数概念，能够绘制简单的函数图像，计算函数值及函数的性质；5.掌握数学应用题的解题方法和技巧。
教学内容：第一单元数列与数学归纳法1.1数列的概念与通项的求法1.2等差数列及其求和公式1.3等比数列及其求和公式第二单元函数与极限2.1函数的概念及表示法2.2函数的图像和性质2.3极限的概念及计算第三单元一元一次方程与不等式3.1一元一次方程与方程的解3.2一元一次方程组与解的性质3.3一元一次不等式及其解第四单元二次函数与一元二次方程4.1二次函数的图像和性质4.2一元二次方程及其性质4.3一元二次方程的解法与应用第五单元测度与图形的性质5.1弧长与扇形面积5.2直线与圆的相交关系5.3平面向量的概念与性质5.4弧度制与角的变化率教学方法：1.通过讲解掌握基本概念与定理，引导学生分析例题，提高解题技巧；2.运用举一反三、归纳法，培养学生的综合运用能力和思维能力；3.坚持理论与实践相结合，通过练习和应用题，巩固知识点和技能；4.引导学生进行思考与讨论，激发学生的兴趣，培养其数学思维。
教学步骤：第一步：导入通过引入相关例子，激发学生的兴趣，预习相关内容，引起学生的思考。
第二步：知识点讲解通过课本中的例题和习题，详细讲解每个知识点的概念、公式、性质、注意事项等。
第三步：练习与讨论学生进行课后习题的练习，老师对错的例题进行解析和讲解，学生之间进行讨论和交流。
第四步：拓展与应用通过一些应用题目，让学生把所学内容应用到实际问题中，提高学生的应用能力。
第五步：总结与归纳对所学内容进行总结归纳，涵盖知识点和解题技巧，为下一节课的学习做好准备。
人教版高中数学必修5教案
人教版高中数学必修5教案学科：数学年级：高中必修五教材：人教版高中数学必修五单元：（具体单元名称）课时：（具体课时）【教学目标】1. 知识与技能（1）掌握本节课所讲述的知识点；（2）能够熟练运用相关方法解决问题。
2. 过程与方法（1）培养学生的数学思维和分析能力；（2）激发学生对数学的兴趣。
3. 情感态度与价值观（1）培养学生良好的学习习惯和方法；（2）培养学生合作、分享的精神。
【教学重点】1. 确定本节课的重点知识点；2. 确定本节课的重点难点。
【教学准备】1. 教材和教辅资料；2. 准备好相关的教学工具；3. 制定好教学流程。
【教学过程】1. 预习导入（1）复习上一节课内容，引出本节课的主题；（2）介绍本节课的教学内容和目标。
2. 知识讲解（1）结合教材内容，对本节课的知识点逐一进行讲解；（2）举例说明相关概念和方法。
3. 课堂练习（1）带领学生进行相关习题训练；（2）鼓励学生主动思考和讨论。
4. 拓展延伸（1）引导学生进行相关拓展知识的讨论和学习；（2）鼓励学生进行相关问题的解答。
5. 讲评总结（1）总结本节课的重点知识点和难点；（2）对学生的表现进行评价和指导。
【教学反思】1. 教学过程中遇到的问题及解决方法；2. 教学效果及学生反馈。
【布置作业】1. 布置相关作业；2. 提醒学生复习相关知识点。
【扩展阅读】1. 推荐相关的数学书籍和资料；2. 鼓励学生自主学习和探索。
以上为教案范本，具体内容根据教学实际情况进行调整。
人教版高中必修五数学教案
人教版高中必修五数学教案
课时：第一课时
教学内容：数学基础概念
教学目标：
1.了解数学的起源和发展历史。
2.理解数学基本概念和术语。
3.掌握数学基础知识。
教学重点、难点：
1.数学的起源和发展历史。
2.数学基本概念和术语的理解。
教学方法：讲授、示范演练、讨论
教具准备：教科书、黑板、彩色粉笔
教学过程：
一、导入：用一个问题引导学生思考数学的起源和意义。
二、讲解：介绍数学的起源和发展历史，引导学生了解数学的重要性。
三、讲解：介绍数学的基本概念和术语，引导学生掌握数学基础知识。
四、示范演练：通过例题演练，让学生掌握数学基础知识。
五、讨论：让学生讨论数学在日常生活中的应用，并分享自己的观点。
六、总结：对本节课的内容进行总结，并布置作业。
教学反思：本节课主要介绍了数学的基础概念和发展历史，通过讲解、示范演练和讨论，让学生深入理解数学的重要性和应用价值。
在未来的教学中，应该注重培养学生的数学思维和解决问题的能力。
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课题: §1．1．1正弦定理授课类型：新授课●教学目标知识与技能：通过对任意三角形边长和角度关系的探索，掌握正弦定理的内容及其证明方法；会运用正弦定理与三角形内角和定理解斜三角形的两类基本问题。
过程与方法：让学生从已有的几何知识出发,共同探究在任意三角形中，边与其对角的关系，引导学生通过观察，推导，比较，由特殊到一般归纳出正弦定理，并进行定理基本应用的实践操作。
情感态度与价值观：培养学生在方程思想指导下处理解三角形问题的运算能力；培养学生合情推理探索数学规律的数学思思想能力，通过三角形函数、正弦定理、向量的数量积等知识间的联系来体现事物之间的普遍联系与辩证统一。
●教学重点正弦定理的探索和证明及其基本应用。
●教学难点已知两边和其中一边的对角解三角形时判断解的个数。
●教学过程 Ⅰ.课题导入如图1．1-1，固定∆ABC 的边CB 及∠B ，使边AC 绕着顶点C 转动。
A 思考：∠C 的大小与它的对边AB 的长度之间有怎样的数量关系？ 显然，边AB 的长度随着其对角∠C 的大小的增大而增大。
能否用一个等式把这种关系精确地表示出来？ C B Ⅱ.讲授新课[探索研究] (图1．1-1)在初中，我们已学过如何解直角三角形，下面就首先来探讨直角三角形中，角与边的等式关系。
如图1．1-2，在Rt ∆ABC 中，设BC=a,AC=b,AB=c, 根据锐角三角函数中正弦函数的定义，有sin aA c=，sin b B c =，又sin 1cC c==, A 则sin sin sin a b c c A B C=== b c 从而在直角三角形ABC 中，sin sin sin a b cA B C==(图1．1-2)思考：那么对于任意的三角形，以上关系式是否仍然成立？ （由学生讨论、分析）可分为锐角三角形和钝角三角形两种情况：如图1．1-3，当∆ABC 是锐角三角形时，设边AB 上的高是CD ，根据任意角三角函数的定义，有CD=sin sin a B b A =,则sin sin abAB=， C同理可得sin sin cbCB=， b a从而sin sin abAB=sin cC=A c B(图1．1-3)思考：是否可以用其它方法证明这一等式？由于涉及边长问题，从而可以考虑用向量来研究这个问题。
（证法二）：过点A 作j AC ⊥， C由向量的加法可得 AB AC CB =+则 ()j AB j AC CB ⋅=⋅+∴j AB j AC j CB ⋅=⋅+⋅ j()()00cos 900cos 90-=+-j AB A j CB C∴sin sin =c A a C ，即sin sin =a cA C同理，过点C 作⊥j BC ，可得 sin sin =b c B C从而sin sin abAB=sin cC=类似可推出，当∆ABC 是钝角三角形时，以上关系式仍然成立。
（由学生课后自己推导）从上面的研探过程，可得以下定理正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即sin sin abAB=sin cC=[理解定理]（1）正弦定理说明同一三角形中，边与其对角的正弦成正比，且比例系数为同一正数，即存在正数k 使sin a k A =，sin b k B =，sin c k C =； （2）sin sin abAB=sin cC=等价于sin sin abAB=，sin sin cbCB=，sin aA=sin cC从而知正弦定理的基本作用为：①已知三角形的任意两角及其一边可以求其他边，如sin sin b Aa B=； ②已知三角形的任意两边与其中一边的对角可以求其他角的正弦值，如sin sin a A B b=。
一般地，已知三角形的某些边和角，求其他的边和角的过程叫作解三角形。
[例题分析]例1．在∆ABC 中，已知032.0=A ，081.8=B ，42.9=a cm ，解三角形。
解：根据三角形内角和定理，0180()=-+C A B000180(32.081.8)=-+066.2=； 根据正弦定理，00sin 42.9sin81.880.1()sin sin32.0==≈a B b cm A ；根据正弦定理，00sin 42.9sin66.274.1().sin sin32.0==≈a C c cm A评述：对于解三角形中的复杂运算可使用计算器。
例2．在∆ABC 中，已知20=a cm ，28=b cm ，040=A ，解三角形（角度精确到01，边长精确到1cm ）。
解：根据正弦定理，sin 28sin40sin 0.8999.20==≈b A B a因为00＜B ＜0180，所以064≈B ，或0116.≈B ⑴ 当064≈B 时，00000180()180(4064)76=-+≈-+=C A B ，00sin 20sin7630().sin sin40==≈a C c cm A ⑵ 当0116≈B 时，00000180()180(40116)24=-+≈-+=C A B ，00sin 20sin2413().sin sin40==≈a C c cm A评述：应注意已知两边和其中一边的对角解三角形时，可能有两解的情形。
Ⅲ.课堂练习第5页练习第1（1）、2（1）题。
[补充练习]已知∆ABC 中，sin :sin :sin 1:2:3A B C =，求::a b c （答案：1：2：3）Ⅳ.课时小结（由学生归纳总结）（1）定理的表示形式：sin sin abA B =sin cC==()0sin sin sin a b ck k A B C++=>++；或sin a k A =，sin b k B =，sin c k C =(0)k >（2）正弦定理的应用范围：①已知两角和任一边，求其它两边及一角；②已知两边和其中一边对角，求另一边的对角。
Ⅴ.课后作业第10页[习题1.1]A 组第1（1）、2（1）题。
●板书设计 ●授后记课题: §1.1.2余弦定理授课类型：新授课●教学目标知识与技能：掌握余弦定理的两种表示形式及证明余弦定理的向量方法，并会运用余弦定理解决两类基本的解三角形问题。
过程与方法：利用向量的数量积推出余弦定理及其推论，并通过实践演算掌握运用余弦定理解决两类基本的解三角形问题情感态度与价值观：培养学生在方程思想指导下处理解三角形问题的运算能力；通过三角函数、余弦定理、向量的数量积等知识间的关系，来理解事物之间的普遍联系与辩证统一。
●教学重点余弦定理的发现和证明过程及其基本应用； ●教学难点勾股定理在余弦定理的发现和证明过程中的作用。
●教学过程 Ⅰ.课题导入C 如图1．1-4，在∆ABC 中，设BC=a,AC=b,AB=c,已知a,b 和∠C ，求边c b a(图1．1-4)Ⅱ.讲授新课 [探索研究]联系已经学过的知识和方法，可用什么途径来解决这个问题？ 用正弦定理试求，发现因A 、B 均未知，所以较难求边c 。
由于涉及边长问题，从而可以考虑用向量来研究这个问题。
A如图1．1-5，设CB a =，CA b =，AB c =，那么c a b =-，则 b c()()2222 2c c c a b a ba ab b a ba b a b=⋅=--=⋅+⋅-⋅=+-⋅ C a从而 2222cos c a b ab C =+- (图1．1-5)同理可证 2222cos a b c bc A =+-2222cos b a c ac B =+-于是得到以下定理余弦定理：三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们的夹角的余弦的积的两倍。
即 2222cos a b c bc A =+-2222cos b a c ac B =+- 2222cos c a b ab C =+-思考：这个式子中有几个量？从方程的角度看已知其中三个量，可以求出第四个量，能否由三边求出一角？（由学生推出）从余弦定理，又可得到以下推论：222cos 2+-=b c a A bc 222cos 2+-=a cb B ac 222cos 2+-=b ac C ba[理解定理]从而知余弦定理及其推论的基本作用为：①已知三角形的任意两边及它们的夹角就可以求出第三边； ②已知三角形的三条边就可以求出其它角。
思考：勾股定理指出了直角三角形中三边平方之间的关系，余弦定理则指出了一般三角形中三边平方之间的关系，如何看这两个定理之间的关系？（由学生总结）若∆ABC 中，C=090，则cos 0=C ，这时222=+c a b 由此可知余弦定理是勾股定理的推广，勾股定理是余弦定理的特例。
[例题分析]例1．在∆ABC 中，已知=a c 060=B ，求b 及A ⑴解：∵2222cos =+-b a c ac B=222+-⋅cos 045=2121)+- =8∴=b求A 可以利用余弦定理，也可以利用正弦定理：⑵解法一：∵cos 2221,22+-=b c a A bc∴060.=A解法二：∵sin 0sin sin45,=a A B b2.4 1.43.8,+=21.8 3.6,⨯=∴a ＜c ，即00＜A ＜090,∴060.=A评述：解法二应注意确定A 的取值范围。
例2．在∆ABC 中，已知134.6=a cm ，87.8=b cm ，161.7=c cm ，解三角形（见课本第8页例4，可由学生通过阅读进行理解） 解：由余弦定理的推论得：cos 2222+-=b c a A bc22287.8161.7134.6287.8161.7+-=⨯⨯0.5543,≈ 05620'≈A ； cos 2222+-=c a b B ca222134.6161.787.82134.6161.7+-=⨯⨯0.8398,≈ 03253'≈B ；0000180()180(56203253)''=-+≈-+C A B Ⅲ.课堂练习第8页练习第1（1）、2（1）题。
[补充练习]在∆ABC 中，若222a b c bc =++，求角A （答案：A=1200）Ⅳ.课时小结（1）余弦定理是任何三角形边角之间存在的共同规律，勾股定理是余弦定理的特例；（2）余弦定理的应用范围：①．已知三边求三角；②．已知两边及它们的夹角，求第三边。
Ⅴ.课后作业①课后阅读：课本第9页[探究与发现]②课时作业：第11页[习题1.1]A 组第3（1），4（1）题。
●板书设计●授后记课题: §1．1．3解三角形的进一步讨论授课类型：新授课●教学目标知识与技能：掌握在已知三角形的两边及其中一边的对角解三角形时，有两解或一解或无解等情形；三角形各种类型的判定方法；三角形面积定理的应用。