重庆大学《线性代数Ⅱ》模拟试题(1)

(3)写出该二次型.
六、证明题（每题各7分，共14分）
1．设 为3阶实矩阵， 的特征值为1，-1,2，对应的特征向量分别为
， 。证明：向量组 线性无关。
2.设 为 阶实矩阵， 。 为 的伴随矩阵。证明：
（1） ；
（2）存在常数 ，使 。
2.在 中，定义 ，则T为线性变换。（）
3.如果 是正定矩阵，则 必是正定矩阵． （）
4.设 为 中两个非零正交列向量， ，则 一定不可相似对角化。
（ ）
5.由 生成的向量空间记作 ,由 生成的向量空间记作 ，则 。（ ）
四、计算百度文库（一）（每小题8分，共16分）
1.设 阶行列式 ，且 中的每列的元素之和为 ，计算行列式 中的第二行的代数余子式之和 。
2.已知 ，其中 为 阶单位阵，求 。其中
五、计算题（二）（每小题12分，共24分）
1．试问 取何值时，线性方程组
有唯一解，无解及有无穷多解？在有无穷多解时，求出其通解.
2.设实二次型 的秩为2，且 是 的解， 是 的解.
(1)求矩阵 的特征值与特征向量；
(2)用正交变换将该二次型化成标准形，并写出所用的正交变换和所化的标准形；
(C)所有次数等于 的实多项式在常规的加法和数乘下构成线性空间；
(D)所有同型的矩阵在常规的加法和数乘下构成线性空间。
6.实二次型 的秩为 ，符号差为 ，且 和 合同，则必有（）
（A） 是偶数， =1（B） 是奇数， =1
(C) 是偶数， =0(D) 是奇数， =0
三、判断题（每小题2分，共10分）（括号内填写“√”或者“×”）1.设 为可逆阵，则 与 相似（）
（ ） 中任一 阶子式不等于零；（ ） 中任意 列线性无关；
（ ） ；（ ）若
4.设向量组 线性无关，则下列向量组中线性无关的是（ ）
(A)． ；(B). ；
(C). ；(D). .
5.下列结论不正确的是（ ）：
(A)所有次数不大于 的实多项式在常规的加法和数乘下构成线性空间；
(B)所有的实多项式在常规的加法和数乘下构成线性空间；
5.线性方程组 有唯一解，则需要满足的条件是
6.若二次型 是正定的，
则 的取值范围为
.
二、单项选择题（每小题3分，共18分）
1设 阶方阵 满足 ， 的伴随阵,则 .（）
(A) . (B) . (C) . (D) .
2.设 ， ，若 可逆，则 （）
（ ） ；（ ） ；
（ ） ；（ ） .
3.设 是 矩阵， ， 是 阶方阵，则（）
一、填空题（每小题3分，共18分）
1. 为四阶行列式 的第 列，（ =1，2，3，4，），且 = ，则 =
2．已知 的一组基 ,则 的标准正交基 到 的过渡矩阵是。
3.设 为2阶方阵， 是二维线性无关列向量， ， ，则 的非零特征值为。
4.已知3阶矩阵 的第一行是 不全为零，矩阵 ,且 ,则线性方程组 的通解为