7-空间问题的基本理论

yx
y
dy
B
dy
zx
z
zy
A
z
oy
x
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§7.1 空间问题的一般理论与基本方程
F 0
z
z z
dz
FF 00 C o
y
zx
yz yx
zx dz
z xy
xy x
x dx
Z xz
xzX
x xy
zy
Y
zy dz
z
x x
第七章 空间问题的基本理论
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主要内容
§7.1 空间问题的一般理论与基本方程 §7.2 物体中任一点的应力状态 §7.3 空间问题的两种简化形式
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❖ 为什么要研究空间三维弹性体？
—— 有工程的需要：对于复杂的工程问题，由于结构体的 形状复杂，受力也多种多样，因而有必要对三维的空间问 题予以研究。 —— 某些可看作平面问题的精细化求解：平面问题只是对 某些具有特殊几何与外部载荷特征的（如薄板受面内作用 力、柱形体受与轴向无关的载荷等）三维空间问题的简化 处理。
zx
T zx
w x
u z
T
;
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§7.1 空间问题的一般理论与基本方程
为了导出刚体位移的表达式，可令各应变分量为零，即
x 0; y 0;
z 0;
xy 0; yz 0;
球对称问题
在球对称问题中，应力、应变、位移等分量都只是径向坐标 的函数。 R ， ， R ， ， ij ij 0 ，
uR R 0 ，
u u 0
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概述
二、轴对称问题
如果弹性体的几何形状、约束条件以及外载荷
ρ
都对称与某一轴（过该轴的任一平面都是对称面），
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概述
空间问题的解析解一般只能在特殊边界条件下才可以得到。可分为空 间球对称问题和空间轴对称问题。
一、球对称问题
当弹性体的几何形状、约束条件以及外载荷 都对称于某一点（过这一点的任一平面都是对称 面），这时应力、位移等都对称于这一点，称为 球对称问题，球对称问题的弹性体的形状只能是 圆球或空心球。
这时应力、位移等都对称于这一轴，称为轴对称问
题，轴对称问题的弹性体的形状一般是圆柱或半空
轴对称问题
间。
在轴对称问题中，应力、应变、位移等分量都只是径向坐标ρ 、Z
的函数，与φ无关。
u u , z ， uz uz , z ， u 0 ，
, , z , z，
z z 0，
பைடு நூலகம்
, , z , z ，
u u dx P u A x
x
方程：
x
u x
v r P'
B
v v dx
x
A'
y
v y
v v dy y
B'
xy
v x
u y
u u dy
y
y
利用相同的分析方法，分析空间弹性体位于oyz和ozx两平 面相应线元的变形，可以得到另外三个几何方程，将其与上面
三个几何方程归并在一起，即可得到空间问题的几何方程。
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§7.1 空间问题的一般理论与基本方程
7.1.2 几何学方面——几何方程
目的：导出空间问题中各应变分量和位移
分量之间的关系，即为几何方程
z C
分析：弹性体发生变形时，微小的六面体 不仅边长要发生变化，同时相邻两 边的夹角(直角)也可能发生变化。
空间任意一点 P点的应变分量：
三个正应变 x , y , z 三个剪应变 xy , yz , zx
P
B
A
o
y
空间任意一点 P点的位移分量： x
u,v,w
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§7.1 空间问题的一般理论与基本方程
在平面问题中，已经分析了位 O 于oxy平面内的应变分量和位移分 量之间的关系，得到如下的几何
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§7.1 空间问题的一般理论与基本方程
z
B
m
n
A y
o
x
z
m
A
Q
s
P n
A
y o
x
y
zx
yz yx
C
z
z
z
zx dz zy
z xy
xy x
x
dx
Z xz
xzX o Y
P
x
xy
dz
zy dz
z
x
x
dx
yz
yz
y
dy
xz dx
x
y
y
y
yx
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§7.1 空间问题的一般理论与基本方程
故弹性空间问题的几何方程为：
x
u x
;
xy
v x
u y
;
y
v ; y
yz
w y
v ; z
z
w ; z
zx
u z
w . x
写成矩阵的形式为：
u x
v y
w z
v u x y
w v y z
其中 x
y
z
zx
Mz 0
xy yx
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§7.1 空间问题的一般理论与基本方程
故直角坐标系下的空间问题的平衡微分方程为：
x yx zx X 0
x y z
xy y zy Y 0
x y z xz yz z Z 0 x y z
剪应力互等关系： zy yz xz zx xy yx
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概述
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弹性力学基本方程建立了弹性力学 问题的数学模型，为求解弹性力学奠定 了基础。虽然这些方程的直接求解十分 困难，只有小部分可以得到分析解，这 些解已经有了广泛的应用，更为重要的 是这些方程的建立为有限元、边界元等 数值计算提供了基础。
弹性力学基本方程的求解一般是在 一定条件下，对问题进行简化，化简方 程再进行求解，简化后一般可分为平面 问题，轴对称问题、球对称问题。
dx
yz
yz y
dy
xz dx x
y
y y
yx
yx y
dy
dy
P B zx
x y z
M 0 z
zy
A
z
x
oy x
My 0
x yx zx X 0
x y z
xy y zy Y 0
x y z xz yz z Z 0 x y z
zy yz
xz zx
z 0
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§7.1 空间问题的一般理论与基本方程
一般地，需要从四个方面来考虑： ➢ 静力学方面； ➢ 几何学方面； ➢ 物理学方面； ➢ 边界条件。
7.1.1 静力学方面 —— 平衡微分方程
什么是平衡微分方程 ？？ 如何建立平衡微分方程？？
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