高中数学动点轨迹问题专题讲解

动点轨迹问题专题讲解

一．专题内容：

求动点(, )P x y 的轨迹方程实质上是建立动点的坐标, x y 之间的关系式，首先要分析形成轨迹的点和已知条件的内在联系，选择最便于反映这种联系的坐标形式，寻求适当关系建立等式，常用方法有：

（1）等量关系法．．．．．：根据题意，列出限制动点的条件等式，这种求轨迹的方法叫做等量关系法，利用这种方法时，要求对平面几何中常用的定理和解析几何中的有关基本公式很熟悉． （2）定义法．．．：如果动点满足的条件符合某种已知曲线（如圆锥曲线）的定义，可根据其定义用待定系数法求出轨迹方程．

（3）转移代入法．．．．．：如果所求轨迹上的点(, )P x y 是随另一个在已知曲线C ：(, )0F x y =上的动点00(, )M x y 的变化而变化，且00, x y 能用, x y 表示，即0(, )x f x y =，0(, )y g x y =，则将00, x y 代入已知曲线(, )0F x y =，化简后即为所求的轨迹方程．

（4）参数法．．．：选取适当的参数（如直线斜率k 等），分别求出动点坐标, x y 与参数的关系式，得出所求轨迹的参数方程，消去参数即可．

（5）交轨法．．．：即求两动直线交点的轨迹，可选取同一个参数，建立两动直线的方程，然后消去参数，即可（有时还可以由三点共线，斜率相等寻找关系）． 注意：轨迹的完备性和纯粹性！一定要检验特殊点和线！ 二．相关试题训练

（一）选择、填空题

1．（ ）已知1F 、2F 是定点，12||8F F =，动点M 满足12||||8MF MF +=，则动点M 的轨迹是 （A ）椭圆 （B ）直线 （C ）圆 （D ）线段

2．（ ）设(0,5)M ，(0,5)N -，MNP ∆的周长为36，则MNP ∆的顶点P 的轨迹方程是

（A ）

22125169x y +=（0x ≠） （B ）22

1144169x y +=（0x ≠） （C ）

22116925x y +=（0y ≠） （D ）22

1169144

x y +=（0y ≠）

3．与圆22

40x y x +-=外切，又与y 轴相切的圆的圆心轨迹方程是 ；

4．P 在以1F 、2F 为焦点的双曲线

22

1169

x y -=上运动，则12F F P ∆的重心G 的轨迹方程是 ；

5．已知圆C ：22

(3)16x y ++=内一点(3, 0)A ，圆C 上一动点Q ， AQ 的垂直平

分线交CQ 于P 点，则P 点的轨迹方程为 ．2

214

x y += 6．△ABC 的顶点为(5, 0)A -、(5, 0)B ，△ABC 的内切圆圆心在直线3x =上，则顶

点C 的轨迹方程是 ；

22

1916

x y -=（3x >） 变式：若点P 为双曲线

22

1916

x y -=的右支上一点，1F 、2F 分别是左、右焦点，则△12PF F 的内切圆圆心的轨迹方程是 ；

推广：若点P 为椭圆

22

1259

x y +=上任一点，1F 、2F 分别是左、右焦点，圆M 与线段1F P 的延长线、线段2PF 及x 轴分别相切，则圆心M 的轨迹是 ；

7．已知动点M 到定点(3,0)A 的距离比到直线40x +=的距离少1，则点M 的轨迹方程是 ．(2

12y x =)

8．抛物线2

2y x =的一组斜率为k 的平行弦的中点的轨迹方程是 ．

(4

k

x =（28k y >）)

9．过抛物线2

4y x =的焦点F 作直线与抛物线交于P 、Q 两点，当此直线绕焦点F 旋转时，

弦PQ 中点的轨迹方程为 ． 解法分析：解法1 当直线PQ 的斜率存在时，

设PQ 所在直线方程为 (1)y k x =-与抛物线方程联立，

2

(1),4y k x y x

=-⎧⎨=⎩ 消去y 得 2222

(24)0k x k x k -++=． 设11(,)P x y ，22(,)Q x y ，PQ 中点为(,)M x y ，则有

21222,22(1).x x k x k y k x k ⎧++==⎪⎪⎨

⎪=-=⎪⎩

消k 得22(1)y x =-． 当直线PQ 的斜率不存在时，易得弦PQ 的中点为(1,0)F ，也满足所求方程． 故所求轨迹方程为2

2(1)y x =-． 解法2 设11(,)P x y ，22(,)Q x y ，

由2

112224,4.

y x y x ⎧=⎪⎨=⎪⎩ 得121212()()4()y y y y x x -+=-，设PQ 中点为(,)M x y ， 当12x x ≠时，有121224y y y x x -⋅=-，又1

PQ MF y

k k x ==-，

所以，21

y

y x ⋅

=-，即22(1)y x =-． 当12x x =时，易得弦PQ 的中点为(1,0)F ，也满足所求方程． 故所求轨迹方程为2

2(1)y x =-．

10．过定点(1, 4)P 作直线交抛物线:C 2

2y x =于A 、B 两点, 过A 、B 分别作抛物线C 的切线交于点M, 则点M 的轨迹方程为_________．44y x =-

（二）解答题

1．一动圆过点(0, 3)P ，且与圆2

2

(3)100x y ++=相内切，求该动圆圆心C 的轨迹方程． （定义法）

2．过椭圆

22

1369

x y +=的左顶点1A 作任意弦1A E 并延长到F ，使1||||EF A E =，2A 为椭圆另一顶点，连结OF 交2A E 于点P ， 求动点P 的轨迹方程．