第一换元积分法与第二换元积分法
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常用积分换元公式
第一类换元积分法
部分常用的凑微分公式：
（1）
1
()
dx d ax b
a
=+（2）1
1
()
1
n n
x dx d x
n
+
=
+
（3
d
=（4）
2
11
()
dx d
x x
=-
（5）1
(ln)
dx d x
x
=（6）()
x x
e dx d e
=
（7）cos(sin)
xdx d x
=（8）sin(cos)
xdx d x
=-
常用的凑微分公式
第二类换元积分法
1.当被积函数中含有
1)sin
x a t
=或cos
x a t
=；
2)tan
x a t
=；
3)sec
x a t
=.
通过三角代换化掉根式。
但是，去掉被积函数根号并不一定要采用三角代换，
22
ch sh1
t t
-=，采用双曲代换sh
x a t
=或ch
x a t
=消去根式，所得结果一致。
所以应根据被积函数的具体情况尽量选取简单的方法对根式进行有理化代换。
2.当有理分式函数中分母的阶数较高时，可采用倒代换
1
x
t
=.
3.类型f dx
⎰：可令t=；类型f dx
⎰：可令t=（第四节内容）
4.类型()x
f a dx
⎰：可令x
t a
=.
适合用分部积分法求解的被积函数。
高等数学-4_2换元法
4
（2） tan x d x
3
解(1): 原式 sec2 x sec2 x d x
(tan
(tan
1 3
3
2
x 1) sec x d x
2
2
x 1) d (tan x )
tan x tan x C
sec x d x d (tanx )
2
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结束
例7. （1）
sec
2
x x
dx
2
（2）
xd
dx x (1 x )
解 (1) 原式 = (2) 原式 =
2
sec
x 2tan x 2
x c
1 d x
2
(1 x ) d
1
1 (
x)
2
2arctan
1 x d x 2d
x c
2 a x b)
x
x
x
1 e x e (1 ) dx x 1 e x e dx dx x 1 e
x
(1 e ) e
dx
e d x de
x
x
d (e 1 )
x
x ln(1 e x ) C
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结1 x
1 2
x
d(
1 2
2
x ) 2e
1
1 2
x
c
（4）
dx
2
1 d( 1 3 x )
（1 3 x )
（2） tan x d x
3
解(1): 原式 sec2 x sec2 x d x
(tan
(tan
1 3
3
2
x 1) sec x d x
2
2
x 1) d (tan x )
tan x tan x C
sec x d x d (tanx )
2
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结束
例7. （1）
sec
2
x x
dx
2
（2）
xd
dx x (1 x )
解 (1) 原式 = (2) 原式 =
2
sec
x 2tan x 2
x c
1 d x
2
(1 x ) d
1
1 (
x)
2
2arctan
1 x d x 2d
x c
2 a x b)
x
x
x
1 e x e (1 ) dx x 1 e x e dx dx x 1 e
x
(1 e ) e
dx
e d x de
x
x
d (e 1 )
x
x ln(1 e x ) C
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结1 x
1 2
x
d(
1 2
2
x ) 2e
1
1 2
x
c
（4）
dx
2
1 d( 1 3 x )
（1 3 x )
4.2 换元积分法
解：
(1)
a2
1
x2
dx
1 a
1 a2
1
1(ax1)21da(xax22)dx
1 a
arctan
x a
C
用类似的方法还可以求得
1 a2
x2
dx
arcsin
x a
C．
4.2.1 第一换元积分法 4.第一换元积分法的常见类型
例4
求不定积分 (2)
dx a2 x2
4.2.1 第一换元积分法 2.第一换元积分法
计算过程
f
[ ( x)] ( x)dx
凑微分
f
[ ( x)]d ( x)
令 ( x)u
积分
回代
f (u)du F (u) C F ((x)) C
利用复合函数求导公式，可以验证以上公式的正确性．
用这种方法的计算程序是：先“凑”微分式，再作变量置换。 我们将这类求不定积分的方法称为第一类换元积分法，也称凑微 分法。
4.2.1 第一换元积分法 3.第一换元积分公式的应用
例1 求下列不定积分
(1)
dx x 1
解： 令 x 1 u 则 dx du，于是
dx x 1
du u
ln u C
同理可得:
(2)
dx 1 x
ln
1
x
C
(3)
dx 1 x
2
1 x C
再将u x 1 代回，得
(2)
ln x x
dx
解：
(2)
5-2 不定积分的换元积分法
1 2 xdx (2) xe dx
(1)
5 x2
1 3 1 1 2 1 2 x 2 C (1 2 x ) 2 d (1 2 x ) 2 3 2
x (3) dx 2 2 3x
e 10
1
5 x2
1 5 x2 d (5 x ) e C 10
1 (2) 2 dx； a x
1 a 2 x 2 dx；
x a 2 x 2 dx
1 1 x x (3) dx； dx； dx； dx 3 2 2 5 1 x (1 x ) 1 x (1 x )
19
换元积分法
二、第二换元积分法
第一换元法中 ( x) u f [ ( x)] ( x)dx
1 ln1 2 ln x C 2
1 1 ln x d (ln x ) 1 x
x
1 1 1 d (1 2ln x ) 1 x (1 2ln x ) 2
x
11
换元积分法
利用基本积分表的公式把被积函数中的一部分凑成 中间变量的微分，常见的有：
1 dx d ax b a 1 n 1 x dx d x n n e x dx d(e x ) cos xdx d(sin x ) sec 2 xdx d(tan x ) 1
1 (t 1) 1 1 1 x dx 1 t 2tdt 2 1 t dt 1 2 (1 )dt 1 t
2t 2ln 1 t C
2 x 2 ln( 1 x) C
23
换元积分法
练习 求下列函数的不定积分 x 1 (1) x x 1dx; (2) 3 dx . 3x 1
4.2_换元积分法
x x
dx 3
t2
t
3
2tdt
2
t2 3 dt 2 t3 6t C 3
再将t x 3代回整理得
x dx 2 x3 3
3
x3 6 x3C
补充例：求
1 dx
ex 1
解: 令 ex 1 t 则x ln(1 t 2 )
dx
2t 1 t2
dt , 于 是
1 dx
ex 1
Fu C
Fx C
由此可得换元法定理P103定理4.3
P103定理4.3 设 f (u)具有原函数，u ( x)可导，
则有换元公式
f [ ( x)] ( x)dx [ f (u)du]u ( x)
第一类换元公式（凑微分法） 说明 使用此公式的关键在于将
g( x)dx 化为 f [( x)]( x)dx.
2
2
xex2dx 1 ex2 x2 dx（直接凑微分） 2
1 ex2dx 2
2
1 2
eudu
堂上练习 P108-习题4.2----4、5、6、
4、
2x 1 x2 dx
1 1 x2
1 x2
dx
1
1 x2
d1
x
2
ln
1
x
2
C
5、 x x2 5dx 1 2
x2
1 t
2t 1 t2
dt
2
1 1 t 2 dt
2arctant C
2arctan ex 1 C
课堂练习： 求
x 1dx . x
解 : 令 x 1 t,则x 1 t 2 , dx 2tdt;于是有
x-1 dx. 2 x
t2 1 t 2 dt
课件：2 第一换元积分法(1)
1du u
1 ln u C 2
1 ln 3 2x C.
2
1
(1)
f (ax b)dx a
d(ax b)
例3 计算
x(1
1 2ln
x
dx. )
解
x(1
1 2
ln
dx x)
1
1 2ln
d x
(ln
x)
1 2
1
1 2ln
d x
(1
2ln
x)
u 1 2 ln x
1 2
1 du u
1 2
1 [ln x a ln x a ] C 2a
1 ln x a C. 2a x a
例8 计算
1
1 e
x
dx.
解
1
1 e
x dx
1
ex 1
e ex
x
dx
1
1
e
x
e
x
dx
ex
dx 1 e xdx
dx
1
1 e
x
d
(1
e
x
)
x ln(1 e x ) C.
(11) f (ex ) exdx f (ex )dex
dx
1 sin2
x
dx
cos sin2
x x
dx
1 sin2
x
dx
1 sin2
x
d (sin
x)
cot x 1 C. sin x
例12 计算 sin2 x cos5 xdx.
解 sin2 x cos5 xdx sin 2 x cos4 xd (sin x )
sin2 x (1 sin2 x)2d(sin x)
第一类换元积分法
dx dx 1 arctan x c . 20 . arcsin x c . 21 . 2 2 2 a a a x2 a a x dx x a 1 22 . 2 ln c . 2 2a x a x a
dx ax 1 23 . 2 ln c . 2 2a a x a x
例11. 求
dln x 1 d(1 2 ln x) 解: 原式 = 1 2 ln x 2 1 2 ln x
例12. 求
e3
x
x
dx .
3 x
x
解: 原式 = 2 e
2 3 e 3
2 3 x d x e d(3 x ) 3 C
被积函数中含有三角函数的例子 例13 求三角函数的不定积分
ln cos x cot xdx ? sin x sin x
ln sin x C
sec2 x 1 d tan x dx d x tan x ln tan x c 例 16 . sin x cos x tan x 1 sin2 x cos2 x sinx cos x dx sinx cos x dx (tan x cot x )dx ln cos x ln sin x C ln tan x C 1 1 x 例16ln tan x c . 例 17 . csc x dx d dx x cos x 2 2 sin x sin 2 2 2 sin 2 x 1 cos x x 2 tan csc x cot x . 2 2 sin x cos x sin x 2 2 csc x dx ln csc x cot x c . (新公式)
第3-1不定积分的第一类换元积分法
sin
3
xdx sin x sin xdx (1 cos x)d cos x
2 2
1 3 cos x cos x C 3
sec 6 xdx . 例10.求
解: 原式 = (tan 2 x 1) 2 d tan x d x sec 2
(tan 4 x 2 tan 2 x 1) dtan x
2
x a
2
2
ln |
x2 a2 x a | C1
t a
(C C1 ln a)
x
公式15：
ln x x a C (a 0)
2 2
例17. 求
解:
1 x2 2x 2
dx .
原式
1 ( x 1) 1
2 2
d (x 1)
(由公式2)
1 ln a x ln a x 2a
1 ax C ln C 2a a x
例7. 求
dln x 1 d(1 2 ln x) 解: 原式 = 1 2 ln x 2 1 2 ln x
dx . 例8. 求 x 1 e 解法1 (1 e x ) e x d(1 e x ) dx dx x x 1 e 1 e x ln(1 e x ) C
2 3 1 5 tan x tan x tan x C 3 5
例12. 求 sin 4 x cos 3xdx
1 解: 利用公式 sin cos [sin( ) sin( )] 2 1 原式= (sin 7 x sin x)dx 2 1 1 cos 7 x cos x C 14 2
微积分第一类换元法
[ f ( u)du]u ( x ) 由此可得换元法定理
定理1
u 设 f (u) 具有原函数， ( x ) 可导，
则有换元公式
f [ ( x )] ( x )dx [ f (u)du]u ( x )
第一类换元公式（凑微分法） 说明: 使用此公式的关键在于将
g( x )dx
1 2 a
例10 解
1 求 x 2 a 2 dx.
1 1 1 原式 ( x a x a )dx 2a
1 xa ln C. 2a x a
令：u ( x) x a 可以吗？
2 2
1 a 2 x 2 dx ?
例11 求 解
tan xdx
解
1 dx 2 2 ( x 1) 2
1 dx 用 2 2 x a 1 xa ln C 2a x a
1 d ( x 1) 2 2 ( x 1) 2
1 x 1 1 ( x 1) 2 C. ln C ln 4 x3 4 ( x 1) 2
ln csc x cot x C.
类似地可推出
sec xdx ln sec x tan x C.
基 本 积 分 表
(16)
(17)
(18)
(19)
(20)
1 1 xa (21) 2 dx ln C; 2 x a 2a x a 1 x (22) dx arcsin C. a a2 x2
化为
f [ ( x)] ( x)dx f [ ( x)]d [ ( x)].
例1 求
e dx
5x
1 解 令u 5x, 则du 5dx, 从而dx du , 5
定理1
u 设 f (u) 具有原函数， ( x ) 可导，
则有换元公式
f [ ( x )] ( x )dx [ f (u)du]u ( x )
第一类换元公式（凑微分法） 说明: 使用此公式的关键在于将
g( x )dx
1 2 a
例10 解
1 求 x 2 a 2 dx.
1 1 1 原式 ( x a x a )dx 2a
1 xa ln C. 2a x a
令：u ( x) x a 可以吗？
2 2
1 a 2 x 2 dx ?
例11 求 解
tan xdx
解
1 dx 2 2 ( x 1) 2
1 dx 用 2 2 x a 1 xa ln C 2a x a
1 d ( x 1) 2 2 ( x 1) 2
1 x 1 1 ( x 1) 2 C. ln C ln 4 x3 4 ( x 1) 2
ln csc x cot x C.
类似地可推出
sec xdx ln sec x tan x C.
基 本 积 分 表
(16)
(17)
(18)
(19)
(20)
1 1 xa (21) 2 dx ln C; 2 x a 2a x a 1 x (22) dx arcsin C. a a2 x2
化为
f [ ( x)] ( x)dx f [ ( x)]d [ ( x)].
例1 求
e dx
5x
1 解 令u 5x, 则du 5dx, 从而dx du , 5
4(2)不定积分的换元积分法
34
换元积分法
例15
求
I x
dx 4 x2
解法一: 三角变换 x 2sin t
解法二: 解法三: 解法四:
根式变换 4 x2 t 倒变换 x 1
t
4 x2 tx
35
换元积分法
注 一些情况下(如被积函数是分式,分母的方幂
较高时), 倒代换 x 1 可用来消去分母中的变量.
例16 求
回 代
sectdt ln | sect tan t | C1
辅助三角形
ln
x2 a2 a
x a
C1
x2 a2
x
ln | x x2 a2 | C1 lna ln | x x2 a2 | C
t a
28
换元积分法
相仿地, 通过变换 x a secx可算出
1
x2 a2dx ln | x
(1) 2xex2 dx
(2)
x11 dx
1 x8
dx
(3) xaxn b
总结三
u axn b
f (axn b)xn1dx
1 na
f
(u)du
10
换元积分法
例5 求
(1) tan xdx
dx
(3) 1 ex
总结四
u(x) u(x)
dx
du(x) u(x)
(2) cot xdx
1 a
F (ax
b)
C
6
换元积分法
例3 求 (1) ex cos ex dx
(2)
arctan
x 1
xdx
x
arcsin xdx
(3) 1 x2
7
换元积分法
换元积分法
例2 求 (3x 1)
2008
dx.
解 令u 3x 1，得du 3dx，得dx 1 du， 3
于是有 (3x－ 1)
2008
dx u
2008 1
3
du
1 2008 = u du 3
1 1 2009 u C 3 2009 1 (3 x 1) 2009 C. 6027
1 x arctan C. a a
例11 求
1
a -x
2
2
dx.
1 dx
1 解 dx 2 2 a a -x
1
x 1 a
1
2
1 a
1
x d 2 a x
a
x arcsin C. a
1 例12 求 2 dx. 2 x a
3 1 2 ( x 4)2 C. 3
还应注意到，在换元—积分—还原的解题过程中， 关键是换元，若在被积函数中作变量代换 ( x), 还需要 在被积表达式中再凑出 ' ( x)dx 即d ( x) ，也就是 du ， 这样才能以u为积分变量作积分，也就是所求积分化为
f ( x) d ( x) f (u ) du F ( x) C
1 2 dt 2 d(1 t ) 1 t
2t 2 ln 1 t C
2 x 2 ln 1 x C.
一般的说，若积分 f ( x)dx不易计算可以作适当的 变量代换 x (t ) ，把原积分化为 f ( ( x))' ( x) dt 的形 式而可能使其容易积分.当然在求出原函数后， 还要 将 t 1 ( x) 代回.还原成x的函数，这就是第二换元 积分法计算不定积分的基本思想.
定积分第一类换元法和第二类换元法
定积分是微积分中的重要概念，通过定积分我们可以求解曲线与坐标轴之间的面积、体积以及质心等问题。
在求解定积分时，换元法是一种常用且有效的方法。
换元法分为第一类换元法和第二类换元法，它们在不同类型的积分计算中发挥着重要作用。
下面我们将分别介绍这两种换元法的原理和应用。
一、第一类换元法1.1 换元法简介第一类换元法，又称代换法或变量代换法，是对定积分中被积函数中的变量进行替换，将原来的积分变为更容易求解的积分。
其基本思想是通过引入适当的新变量，将被积函数中的复杂部分转化为简单的形式，从而便于积分计算。
1.2 换元法的步骤（1）寻找合适的变量替换：根据被积函数的形式和特点，选择适当的新变量代替原来的变量。
（2）计算新变量的微分：对新变量进行微分，求出新变量的微分表达式。
（3）将被积函数用新变量表示：将原来的积分中的被积函数用新变量表示出来，得到新的积分形式。
（4）进行积分计算：对新的积分形式进行计算，得出最终结果。
1.3 换元法的应用第一类换元法常用于代换型积分，如含有根式、三角函数等形式的积分。
通过合适的变量替换，可以将原积分化为简单的形式，从而便于求解。
二、第二类换元法2.1 换元法简介第二类换元法，又称参数代换法或极坐标代换法，是通过引入参数来替换被积函数中的自变量，从而实现对原积分的简化。
这种换元法常用于解决平面曲线和曲面的面积、弧长以及质心等问题。
2.2 换元法的步骤（1）引入参数：选择适当的参数替换自变量，通常选择直角坐标系下的参数形式或极坐标系下的参数形式。
（2）表达被积函数：将原来的被积函数用参数表示出来，并求出新的被积函数。
（3）进行积分计算：对新的被积函数进行积分计算，得出最终结果。
2.3 换元法的应用第二类换元法常用于参数型积分，如平面曲线、曲面以及柱面体的面积、弧长和质心的计算。
通过引入参数替换自变量，可以将原积分化为简单的形式，从而便于求解。
三、第一类换元法和第二类换元法的比较3.1 适用范围（1）第一类换元法适用于一般的代换型积分，如含有根式、三角函数等形式的积分；（2）第二类换元法适用于参数型积分，如平面曲线、曲面以及柱面体的面积、弧长和质心的计算。
第一类换元积分法与第二类换元积分法
第一类换元积分法与第二类换元积分法
第一类换元积分法和第二类换元积分法都是求解不定积分的方法，但它们在应用和具体操作上有所不同。
第一类换元积分法也叫凑微分法，它适用于两个式子相乘的形式，是复合函数求导的逆运算。
其核心思想是通过寻找新的变量，将复杂的积分转化为容易计算的积分，从而得到原函数的表达式。
这种方法主要依赖于对复合函数的求导和微分的理解。
第二类换元积分法则是通过变量代换，将积分化为积分。
这种方法主要用于处理包含根式的积分，或者需要消去根式的积分。
它的核心思想是选择适当的变换公式，将原函数中的积分变量替换为新的函数，同时将dx也替换为新的函数的导数乘以dx。
这种方法需要一定的技巧和经验，因为选择正确的变换公式和反函数代回去都需要一定的数学素养。
总的来说，第一类换元积分法和第二类换元积分法都是通过不同的方式将不定积分问题转化为容易解决的问题，从而得到原函数的表达式。
这两种方法都有其特定的应用场景和优势，需要根据具体问题选择合适的方法。
数学定积分换元积分法
∫
2
例13
sin 3 x dx = ∫ sin 2 x sin x dx ∫
1 3 = −∫ (1 − cos x) dcosx = − cosx + cos x + C . 3
2
例14
sin x ⋅ cos x dx = ∫ sin2 x ⋅ (1 − sin2 x )2 d(sin x ) ∫
2 5
1 x−2 1 1 1 +C . = ∫( − ) dx = ln 3 x +1 3 x − 2 x +1
17
x(1 − x ) dx = ∫ ( x − 1 + 1) (1 − x )6 dx 例22 ∫
6
= ∫ [(1 − x )6 − (1 − x )7 ] dx 1 1 7 8 = − (1 − x ) + (1 − x ) + C . 7 8 1 3 2 x 4 − x d x = ∫ x 2 4 − x 2 dx 2 例23 ∫ 2
= G(u) + C = G[ϕ( x)] + C .
3
常用凑微分公式： 常用凑微分公式：
1 dx = d(kx + b) k
1 dx = 2 d x x
( k ≠ 0)
1 1 dx = − d 2 x x
1 2 x dx = dx 2
1 dx = d ln | x | x
sin x dx = −d cos x
= ∫ (sin2 x − 2 sin4 x + sin6 x) d(sin x)
1 3 2 5 1 7 = sin x − sin x + sin x + C . 3 5 7
换元积分法
1 1 1 3 2 xdx 2 3 2 x ( 3 2 x )dx
令u 3 2 x
1 1 1 1 du ln u C ln 3 2 x C . 2 2 u 2
一般地
1 f (ax b)dx [ f ( u)du]u ax b a
x 1 x
e udu e u C
dx
e
x
1 x
1 x 1 d( x ) e x C. x
12
dx 1. cos 2 x(1 tan x )
f (tan x ) sec2 xdx f (tan x )d tan x
d(1 tan x ) ln 1 tan x C 1 tan x
x x
x
1 du ( u 1) u du 1 1 du u(1 u) u(1 u) u u1
1 1 du d( u 1) u u1
ex ln u ln u 1 C ln x C. e 1
21
解 原式
1 4 1 8 1 12
23
1 1 例 求 dx sec2 x d x 1 cos x dx 2 cos 2 x 2 2 x
解
1 1 cos x dx 1 cos x 1 cos x 1 cos x
1 1 x a 2 x 2 dx a arctan a C 1 x 同理 dx arcsin C .(a 0) a a2 x2
14
1 dx . 例 求 2 x 8 x 25
1 1 x a 2 x 2 dx a arctan a C
微积分5-2
1 1 a x a 2 x 2 dx 2a ln a x C
微
积
分
说明：
从以上例子可以看出，使用第一换元积分法的关键是
' g ( x ) dx 凑成 f ( ( x )) ( x)dx的形式 设法把被积表达式 以便选取变换 u ( x),化成易于积分的 f (u )du.最后
微
积
分
解法 2 解法2
(sec x tan x)
sec x tan x d (sec x tan x) sec 2 x sec x tan x dx sec x tan x sec x tan x
1 1 sin x ln C 2 1 sin x
同样可证 或
1 1 C 2 1 x 2(1 x )
1 1 C. 2 1 x 2(1 x )
微
积
分
例： cos 3x cos 2 xdx.
积化和差公式： (1) (2) (3) (3) 1 sin sin =- [cos( ) cos( )] 2 1 cos cos [cos( ) cos( )] 2 1 sin cos [sin( ) sin( )] 2 1 cos sin [sin( ) sin( )] 2
微
积
分
1 dx . 例6 求 2 2 a x
解
1 1 1 1 d x dx a2 x2 2a a x a x 1 1 1 d a x d a x a x 2a a x 1 1 a x ln a x ln a x c ln C. 2a 2a a x
换元积分法
1 ( x)2 a
a
a
arcsin x C 公式 a
⑦
dx a2 x2
1 a2
1
1 ( x)2
dx
1 a
1
1 (x
)2
d
(
x a
)
a
a
1 arctan x C 公式
a
a
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1
【例如】求
x2
8x
dx. 25
8/38
【解】
x2
1 8x
dx 25
(
x
1 4)2
2x 3
2x 3
2x 1
2x 1 2x 3
2x 1 dx
1 4
2
x
3dx
1 4
2x 1dx
有理化
1 8
2
x
3d
(2x
3)
1 8
2x 1d(2x 1)
1 2x 33 1 2x 13 C.
12
12
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④
1 x2 a2
1( 1 1 ) 2a x a x a
d(x 9
4)
1
1
32 x 4 2
3
d( x 4) 1
1 3
1
x 42
3
d 1
x
3
4
1 arctan x 4 C.
3
3
可省略，直接套上页公式⑦
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(2) f (axn b)xn1dx 1 f (axn b)d(axn b) na
9/38
【解】
①
tan xdx
高等数学 第六章 积分法 6-2 不定积分的换元积分法(2)
第6章 章
第二节 不定积分的换元积分法
一、第一类换元积分法（凑积分法） 第一类换元积分法（凑积分法） 二 、第二类换元积分法 基本积分表（ 三 、基本积分表（Ⅱ）
二、第二类换元法
1. 引例
∫
1− x2 d x = ?
解 作变量代换： 作变量代换： 令 x = sint ( t < π ) 则 d x = cos t dt, ，
为去根式
解 令 x = asint , t ∈(− , ), 则 dx = acos t dt 2 2 x 2 2 2 2 2 = acos t sint = a − x = a − a sin t a 2 1+ cos 2t 2 2 I = ∫ acos t ⋅ acos t dt a ∫ dt ∫ cos t d = a x 2 t 2 t sin2t ) +C =a ( + 2 4 a2 − x2 x a2 − x2 sin2t = 2sint cos t = 2 ⋅ ⋅ a2 − x2 a a cos t = 2 x 1 a a = arcsin + x a2 − x2 + C. a 2 2
令 t = 1+ x2, 则 x2 = t 2 −1, xd x = t dt,
∫
(t2 −1)2 dx = ∫ t dt = ∫ (t4 − 2t2 + 1)dt t 1+ x2
x5
1 15 23 = t − t + t + C= (8− 4x2 + 3x4 ) 1+ x2 + C. 15 5 3
中 其 t = ψ−1( x)是x = ψ(t)的 函 . 反 数 端 分 得 后 其 右 积 求 之 ， 中t须 反 数 =ψ −1( x)回 . 用 函 t 代
第二节 不定积分的换元积分法
一、第一类换元积分法（凑积分法） 第一类换元积分法（凑积分法） 二 、第二类换元积分法 基本积分表（ 三 、基本积分表（Ⅱ）
二、第二类换元法
1. 引例
∫
1− x2 d x = ?
解 作变量代换： 作变量代换： 令 x = sint ( t < π ) 则 d x = cos t dt, ，
为去根式
解 令 x = asint , t ∈(− , ), 则 dx = acos t dt 2 2 x 2 2 2 2 2 = acos t sint = a − x = a − a sin t a 2 1+ cos 2t 2 2 I = ∫ acos t ⋅ acos t dt a ∫ dt ∫ cos t d = a x 2 t 2 t sin2t ) +C =a ( + 2 4 a2 − x2 x a2 − x2 sin2t = 2sint cos t = 2 ⋅ ⋅ a2 − x2 a a cos t = 2 x 1 a a = arcsin + x a2 − x2 + C. a 2 2
令 t = 1+ x2, 则 x2 = t 2 −1, xd x = t dt,
∫
(t2 −1)2 dx = ∫ t dt = ∫ (t4 − 2t2 + 1)dt t 1+ x2
x5
1 15 23 = t − t + t + C= (8− 4x2 + 3x4 ) 1+ x2 + C. 15 5 3
中 其 t = ψ−1( x)是x = ψ(t)的 函 . 反 数 端 分 得 后 其 右 积 求 之 ， 中t须 反 数 =ψ −1( x)回 . 用 函 t 代
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例2 计算
3
1 dx. 2x
解
3
1 2
dx x
1 2
3
1 2
x
(3
2x
)dx
1 2
3
1 2x
d
(
3
2
x)
32 xu
1 2
1du u
1 ln u C 2
1 ln 3 2x C. 2
例3 计算
x(1
1 2
ln
dx. x)
解
Hale Waihona Puke x(11 2ln
dx x)
1
1 2 ln
d x
(ln
x)
1 2
1
1 2 ln
d x
(1
2
ln
x
)
u 1 2ln x
1 2
1 du u
1 ln u 2
C
1 ln1 2
2 ln
x
C.
例4 计算
(1
x x
)3
dx
.
解
(1
x x
)3
dx
x 11 (1 x)3 dx
x a
1 arctan a
x C. a
作为公式
练习题
x
2
1 8x
dx. 25
练习题
1
x
2
8
x
dx. 25
解
x2
1 8x
dx 25
(
x
1 4)2
dx 9
(
x
1 4)2
32d
(
x
4)
1 arctan x 4 C.
3
3
1
x(1
x10
dx. )
例17 设f (sin2 x) cos2 x, 求f ( x).
例1 计算 sin x xdx.
解 sin x xdx 2 sin x ( x)dx
2 sin xd x
xu
2 sin udu 2cos u C
xu
2cos x C.
d(ax b)
dxn
万 能
凑
1 xn
dxn
幂 法
dsin x
(5) f (cos x)sin xdx
dcos x
(6)
f
(ln
x)
1dx x
f
(ln
x)d (ln
x)
1
(7)
f
(tan
x)
cos2
dx x
f
(tan
x)d (tan
x)
(8)
f
(cot
x)
1 sin2
u ( x )
F[( x)] C.
实际解题时,常常省略上述过程中的第三与第四等号.
二、常见的一些凑微分形式
常见的一些凑微分形式:
(1)
f (ax b)dx
1 a
(2) f (xn )xn1 dx 1 n
(3)
f
(xn )1 x
dx
1 n
(4) f (sin x)cos xdx
三、第一换元积分法习例
例1计算 sin x xdx.
例3
计算
x(1
1 2
ln
dx. x)
例5 计算
1 a2 x2dx.
例7
计算
x2
1
a2dx.
例9 计算
(1
1 x2
x 1
)e xdx.
例2
计算
3
1 2
dx. x
例4
计算
(1
x x)3
dx.
例6 计算
1 dx.
[
f
(u)du]u
(
x
)
F[( x)] C.
注意:
(1)第一换元法关键是适当选取u ( x)来凑微分.
(2)第一换元法的过程是:
g( x)dx f [( x)]( x)dx f [( x)]d( x)
u ( x )
f (u)du F(u) C
一、第一换元积分法
首先看复合函数的导数公式 : 设可微函数 y F(u), u (x) 可构成区间 I 上的
可微的复合函数 y F((x)), 则
(F((x))) F((x))(x),
它的微分形式为
d(F((x))) F((x))(x)d x
记 F(u) f (u), 则
高等数学A
第3章 一元函数积分学
3.1 不定积分
3.1.4 不定积分的换元积分法
中南大学开放式精品示范课堂高等数学建设组
3.1 不定积分
第一换元积分法 常见的一些凑微分形式
3.1.4 换元积分法 第一换元积分法应用习例1-17
换
元
积
分 法
基本积分表2
第二换元积分法 第二换元积分法应用习例18-20
小结与思考题
3.1.4 不定积分的换元法
利用积分性质和简单的积分表可以求出 不少函数的原函数, 但实际上遇到的积分凭 这些方法是不能完全解决的.
现在介绍与复合函数求导法则相对应的 积分方法 —— 不定积分换元法. 它是在积分 运算过程中进行适当的变量代换, 将原来的 积分化为对新的变量的积分, 而后者的积分 是比较容易积出的.
dx x
f
(cot
x)d (cot
x)
(9) f (arcsin x)
1 1
x2
dx
f
(arcsin
x)d (arcsin
x)
(10)
f
(arctan
x)
1
1 x2
dx
f
(arctan
x)d (arctan
x)
(11) f (ex ) exdx f (ex )dex
[ (1
1 x)2
(1
1 x)3
]d (1
x)
1
1
x
2(1
1
x)2
C.
例5 计算
1 a2 x2dx.
解
a2
1
x 2 dx
1 a2
1
1
x a2
2 dx
想到公式
1
d
u u
2
arctan u C
1 a
1
1
x a
2
d
a2 x2
1
例8 计算 1 e xdx.
例10 计算
例11
计算
1
1 cos
x
dx.
例12 计算 sin2 x cos5 xdx.
例13 计算 cos 3x cos 2xdx. 例14 计算 csc xdx.
例15 计算
1 4 x2 arcsin xdx.
2
例16 计算
原式变形为 cos 2xdx
1 令u 2 x
1
2 cos udu 2 sin u C
1 sin 2x C. 2
f ((x))(x) d x
第一换元法(凑微分法)
定理1 设 f (u)具有原函数，u ( x)可导，
则有换元公式
f [ ( x)]( x)dx
原函数?
被积表达式?
d(F((x))) f ((x))(x)d x f (u)du,
也是被积表达式?
积分形式不变性
引理 若 f ( x)dx F ( x) C, 则 f (u)du F (u) C,其中u ( x)可微.
例如 cos 2xdx sin 2x C,