多目标优化设计方法(PPT39页)
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还应满足的约束条件是： 进给量小于毛坯所留最大加工余量 刀具强度等
7.1 概述（续）
对于一个具有L个目标函数和若干个约束条件的多 目标优化问题，其数学模型的表达式可写为：
求：
X [x1, x2 ,..., xn )T
n维欧氏空间的一个向量
min F ( X ) [ f1( X ), f2 ( X ),..., fL ( X )]T s.t. gi ( X ) 0, (i 1, 2,..., m)
hj ( X ) 0, ( j 1, 2,..., k)
Βιβλιοθήκη Baidu
向量形式的目标函数
设计变量应满足的所 有约束条件
7.1 概述（续）
二、几个基本概念
1、最优解 设 X* D (D为可行域）， 若对于任意 X D ，恒使
fi ( X*) fi ( X )(i 1, 2,..., m)
成立，则称X*为多目标优 化问题的绝对最优解，简称最优解。
间接法
线性加权和法、主要目标函数法、理想点法、 平方和加权法、子目标乘除法、功效系数法
将多目标优化问题转化为一系列单目标优化问题
分层序列法、宽容分层序列法
7.2 统一目标函数法（综合目标法）
一、基本思想 统一目标函数法就是设法将各分目标函数
f1(X),f2(X),…,fl(X)统一到一个新构成的总的目标函数 f(X), 这样就把原来的多目标问题转化为一个具有统— 目标函数的单目标问题来求解．
7.1 概述
一、多目标优化及数学模型 单目标最优化方法 多目标最优化方法
多目标优化的实例： 物美价廉
7.1 概述（续）
设计车床齿轮变速箱时，要求： 各齿轮体积总和 f1(X ) 尽可能小
降低成本
各传动轴间的中心距总和 f2 (X ) 尽可能小 使变速箱结构紧凑。
合理选用材料
使总成本 f3 (X ) 尽可能小。
若干个最优解组成的集合称为绝对最优解集,用 Da*b 表示。
只有当F(X)的各个子目标fi(X)的最优点都存在，并且 全部重叠于同一点时，才存在有绝对最优解。
7.1 概述（续）
2、有效解（非劣解） 设 X* D (D为可行域）， 若不存在 X D ，使
fi ( X ) fi ( X*)(i 1, 2,..., m)
则称
fi ( X )
i
i
2
(i
1, 2,...,
L)
为该目标函数的容限
这时权数可取为：i 1 fi ( X )2 ,i 1, 2,..., L
目的：在评价函数中使各子目标在数量级上达到 统一平衡。
（3）加权因子分解法 i 1*i2i (i 1, 2,..., L)
本征权因子，反应第i个目标的相对重 要程度。 校正权因子，用于调整各目标在量级 方面差异的影响。
即：
D为可行域，f1(X)，f2(X)，…，fl(X)为各个子目 标函数。
7.2 统一目标函数法（续）
二、统一目标函数的构造方法 1、线性加权和法（线性加权组合法）
根据各子目标的重要程度给予相应的权数，然后 用各子目标分别乘以他们各自的权数，再相加即构成 统一目标函数。
即评价函数为：
——各子目标函数
对于多目标优化问题，任何两个解不一定能比较其 优劣；
多目标优化问题得到的可能只是非劣解（有效解）， 而非劣解往往不止一个，需要在多个非劣解中找出一个最 优解。
7.1 概述（续）
三、多目标优化问题的特点及解法（续) 2、解法：
直接法： 直接求出非劣解，然后再选择较好的解
将多目标优化问题转化为单目标优化问题
——权数
L
应满足归一性和非负性条件
i 1
i 1
i 0 (i 1, 2,..., L)
优化的数学模型为
注意： 1、建立这样的评价函数时，各子目标的单位已经脱 离了通常的概念。 2、权数（加权因子）的大小代表相应目标函数在优 化模型中的重要程度，目标越重要，权数越大。
权因子的确定方法：
在确定权因子前，应先将各子目标函数进行 无量纲化，处理的方法是：
成立，则称X*为多目标优 化问题的非劣解或有效解。
若干个有效解组成的集合称为有效解集,用 D*pa 表示。
7.1 概述（续）
3、弱有效解（弱非劣解）
设 X* D 若不存在 X D ,使
fi ( X ) fi ( X*)(i 1, 2,..., m)
成立，则称X*为多目标优 化问题的弱非劣解或弱有 效解。
所有弱有效解组成的集合称为弱有效解集,用 Dw*p 表示。
三者之间关系： Da*b D*pa Dw*p D
在多目标优化设计中，如果一个解使每个分目标函数 值都比另一个解为劣，则这个解称为劣解。
7.1 概述（续）
三、多目标优化问题的特点及解法 1、特点
多目标优化是向量函数的优化（单目标函数是标 量函数的优化）；
传动效率尽可能高
机械耗损率 f4 (X ) 尽可能小。
在优化设计中同时要求几项指标达到最优值的 问题称为多目标优化设计问题。
7.1 概述（续）
例如，在机械加工时，对于用单刀在一次走刀中将 零件车削成形，为选择合适的切削速度和每转给进量， 提出以下目标：
机械加工成本最低； 生产率最高； 刀具寿命最长。
2i 1 fi ( X ) 2 , (i 1, 2,..., L)
目的：使目标变化快慢不一致的趋于一致。
7.2 统一目标函数法（续）
二、统一目标函数的构造方法（续） 2、理想点法 基本思想：使各个目标尽可能接近各自的最优值， 从而求出多目标函数的较好的非劣解。
步骤：先用单目标优化方法求得各子目标的约束最 优值和相应的最优点，然后构造评价函数。
评价函数：
7.2 统一目标函数法（续）
二、统一目标函数的构造方法（续） 3、平方和加权法 基本思想：在理想点法的基础上引入权数
构造评价函数。
评价函数：
i 满足归一性和非负性条件
L
i 1
i 1
i 0 (i 1, 2,..., L)
fi
(
X
)
fi'(X ) min fi' ( X
)
X D
是多目标问题中某个带量纲的子目标；
是作了无量纲处理后的第i个子目标函数
(1) 专家评判法（老手法）
凭经验评估，并结合统计处理来确定权数的方法。 特点：方法实用，但要求专家人数不能太少。
（2）容限法
若已知子目标函数fi(X)的变动范围为：
i fi ( X ) i , i 1, 2,..., L
7.1 概述（续）
对于一个具有L个目标函数和若干个约束条件的多 目标优化问题，其数学模型的表达式可写为：
求：
X [x1, x2 ,..., xn )T
n维欧氏空间的一个向量
min F ( X ) [ f1( X ), f2 ( X ),..., fL ( X )]T s.t. gi ( X ) 0, (i 1, 2,..., m)
hj ( X ) 0, ( j 1, 2,..., k)
Βιβλιοθήκη Baidu
向量形式的目标函数
设计变量应满足的所 有约束条件
7.1 概述（续）
二、几个基本概念
1、最优解 设 X* D (D为可行域）， 若对于任意 X D ，恒使
fi ( X*) fi ( X )(i 1, 2,..., m)
成立，则称X*为多目标优 化问题的绝对最优解，简称最优解。
间接法
线性加权和法、主要目标函数法、理想点法、 平方和加权法、子目标乘除法、功效系数法
将多目标优化问题转化为一系列单目标优化问题
分层序列法、宽容分层序列法
7.2 统一目标函数法（综合目标法）
一、基本思想 统一目标函数法就是设法将各分目标函数
f1(X),f2(X),…,fl(X)统一到一个新构成的总的目标函数 f(X), 这样就把原来的多目标问题转化为一个具有统— 目标函数的单目标问题来求解．
7.1 概述
一、多目标优化及数学模型 单目标最优化方法 多目标最优化方法
多目标优化的实例： 物美价廉
7.1 概述（续）
设计车床齿轮变速箱时，要求： 各齿轮体积总和 f1(X ) 尽可能小
降低成本
各传动轴间的中心距总和 f2 (X ) 尽可能小 使变速箱结构紧凑。
合理选用材料
使总成本 f3 (X ) 尽可能小。
若干个最优解组成的集合称为绝对最优解集,用 Da*b 表示。
只有当F(X)的各个子目标fi(X)的最优点都存在，并且 全部重叠于同一点时，才存在有绝对最优解。
7.1 概述（续）
2、有效解（非劣解） 设 X* D (D为可行域）， 若不存在 X D ，使
fi ( X ) fi ( X*)(i 1, 2,..., m)
则称
fi ( X )
i
i
2
(i
1, 2,...,
L)
为该目标函数的容限
这时权数可取为：i 1 fi ( X )2 ,i 1, 2,..., L
目的：在评价函数中使各子目标在数量级上达到 统一平衡。
（3）加权因子分解法 i 1*i2i (i 1, 2,..., L)
本征权因子，反应第i个目标的相对重 要程度。 校正权因子，用于调整各目标在量级 方面差异的影响。
即：
D为可行域，f1(X)，f2(X)，…，fl(X)为各个子目 标函数。
7.2 统一目标函数法（续）
二、统一目标函数的构造方法 1、线性加权和法（线性加权组合法）
根据各子目标的重要程度给予相应的权数，然后 用各子目标分别乘以他们各自的权数，再相加即构成 统一目标函数。
即评价函数为：
——各子目标函数
对于多目标优化问题，任何两个解不一定能比较其 优劣；
多目标优化问题得到的可能只是非劣解（有效解）， 而非劣解往往不止一个，需要在多个非劣解中找出一个最 优解。
7.1 概述（续）
三、多目标优化问题的特点及解法（续) 2、解法：
直接法： 直接求出非劣解，然后再选择较好的解
将多目标优化问题转化为单目标优化问题
——权数
L
应满足归一性和非负性条件
i 1
i 1
i 0 (i 1, 2,..., L)
优化的数学模型为
注意： 1、建立这样的评价函数时，各子目标的单位已经脱 离了通常的概念。 2、权数（加权因子）的大小代表相应目标函数在优 化模型中的重要程度，目标越重要，权数越大。
权因子的确定方法：
在确定权因子前，应先将各子目标函数进行 无量纲化，处理的方法是：
成立，则称X*为多目标优 化问题的非劣解或有效解。
若干个有效解组成的集合称为有效解集,用 D*pa 表示。
7.1 概述（续）
3、弱有效解（弱非劣解）
设 X* D 若不存在 X D ,使
fi ( X ) fi ( X*)(i 1, 2,..., m)
成立，则称X*为多目标优 化问题的弱非劣解或弱有 效解。
所有弱有效解组成的集合称为弱有效解集,用 Dw*p 表示。
三者之间关系： Da*b D*pa Dw*p D
在多目标优化设计中，如果一个解使每个分目标函数 值都比另一个解为劣，则这个解称为劣解。
7.1 概述（续）
三、多目标优化问题的特点及解法 1、特点
多目标优化是向量函数的优化（单目标函数是标 量函数的优化）；
传动效率尽可能高
机械耗损率 f4 (X ) 尽可能小。
在优化设计中同时要求几项指标达到最优值的 问题称为多目标优化设计问题。
7.1 概述（续）
例如，在机械加工时，对于用单刀在一次走刀中将 零件车削成形，为选择合适的切削速度和每转给进量， 提出以下目标：
机械加工成本最低； 生产率最高； 刀具寿命最长。
2i 1 fi ( X ) 2 , (i 1, 2,..., L)
目的：使目标变化快慢不一致的趋于一致。
7.2 统一目标函数法（续）
二、统一目标函数的构造方法（续） 2、理想点法 基本思想：使各个目标尽可能接近各自的最优值， 从而求出多目标函数的较好的非劣解。
步骤：先用单目标优化方法求得各子目标的约束最 优值和相应的最优点，然后构造评价函数。
评价函数：
7.2 统一目标函数法（续）
二、统一目标函数的构造方法（续） 3、平方和加权法 基本思想：在理想点法的基础上引入权数
构造评价函数。
评价函数：
i 满足归一性和非负性条件
L
i 1
i 1
i 0 (i 1, 2,..., L)
fi
(
X
)
fi'(X ) min fi' ( X
)
X D
是多目标问题中某个带量纲的子目标；
是作了无量纲处理后的第i个子目标函数
(1) 专家评判法（老手法）
凭经验评估，并结合统计处理来确定权数的方法。 特点：方法实用，但要求专家人数不能太少。
（2）容限法
若已知子目标函数fi(X)的变动范围为：
i fi ( X ) i , i 1, 2,..., L