高三年级第二次四校联考数学试题(文)

陕西省高三年级第二次四校联考数学试题（文）
命题：临汾一中 忻州一中 康杰中学 长治二中
本试卷分必考题和选考题两部分，第1题～第21题为必考题，每个试题学生都必须做答，第22题～第24题为选考题，考生根据要求做答．共150分,考试时间为120分钟．
第Ⅰ卷（选择题：共60分）
一、选择题：（本大题共12小题．每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．若集合A ＝{1,2,3,4}，B ＝{x ∈N ||x|≤2}，则A∩B = （ ） A ．{1,2,3,4} B ．{-2, -1,0,1,2,3,4} C ．{1,2} D ．{2,3,4} 2．已知sinx= 3
5
，则sin2x 的值为（ ）
A ．1225
B ．±1225
C ．2425
D ．24
25
±
3．下列说法中，正确的是（ ）
A ．命题“若am 2
＜bm 2
，则a ＜b”的逆命题是真命题 B ．命题“∃x∈R，x 2
-x ＞0”的否定是“∀x∈R，x 2
-x≤0” C ．命题“p ∨q”为真命题，则命题p 和命题q 均为真命题 D ．已知x∈R，则“x＞1”是“x＞2”的充分不必要条件
4．在等差数列{a n }中，a 1+a 2+a 3=3,a 18+a 19+a 20=87, ,则此数列前20项的和等于（ ）
A ．290
B ．300
C ．580
D ．600
5．如图给出的是计算1＋13＋15＋……＋1
29的值的一个程序框图，
则图中执行框中的①处和判断框中的②处应填的语句是（ ）
A ．n ＝n ＋2，i ＝15
B ．n ＝n ＋2，i ＞15
C ．n ＝n ＋1，i ＝15
D ．n ＝n ＋1，i ＞15
6．若以连续掷两次骰子分别得到的点数m ，n 作为P 点的坐标， 则点P 在圆x 2
＋y 2
＝25内的概率为 （ ）
A ．12
B ．512
C ．722
D ．1336
7．如图所示，点P 是函数y=2sin(ωx+ϕ)(x ∈R, ω>0)图象的最高点，M 、N 是图象与x 轴的交点，若PM →•PN →
=0，则ω=（ ）
A ．8
B ．π8
结束
i=i+1
否
开始
s=s+1
n
是 ② s=0,n=1,i=1 输出s ①
C ．π4
D ．π2
8．已知等比数列{}n a 中，各项都是正数，且a 1，12a 3，2a 2成等差数列，则a 9+a 10
a 7+a 8
=（ ）
A ．1+ 2
B ．1- 2
C ．3+2 2
D ．3-22
9．设m,n 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列命题不正确的是（ ）
A ．若m ⊥n ，m ⊥α，n ⊄α，则n ∥α
B ．若m ⊥β，α⊥β，则m ∥α或m ⊂α
C ．若m ⊥n ，m ⊥α，n ⊥β，则α⊥β
D ．若m ∥α，α⊥β则m ⊥β
10．已知变量x,y 満足⎩⎪⎨⎪⎧2x -y≤0
x -2y ＋3≥0x≥0
，则z ＝log 2(x ＋y ＋5)的最大值为（ ）
A ．8
B ．4
C ．3
D ．2
11．已知函数2log )(,log )(,2)(22-=+=+=x x h x x x g x x f x
的零点依次为c b a 、、，则（ ）
A ．c b a <<
B ．a b c <<
C ．b a c <<
D ．c a b <<
12．若函数34)()(2+-='x x x f x f 的导函数，则使得函数)1(+x f 单调递减的一个充分不必要条件为∈x （ ）
A ．（0,1）
B ．[0,2]
C ．（1,3）
D ．（2,4）
第Ⅱ卷 （非选择题：共90分）
二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分） 13．设平面向量(1,2),(2,)y ==-a b ，若a b ∥，则|3|+a b 等于________．
14．四棱锥P ABCD -的顶点P 在底面ABCD 中的投影恰好是A ，其三视图如图所示，则四棱锥P ABCD -的表面积为 ___________．
15．函数y=x 2
(x>0)的图像在点),(2
k k a a 处的切线与x 轴交点的横
坐标为a k+1，k 为正整数，1a =16，则=++531a a a ___________． 16．给出下列命题： ①ABC ∆中，“B A >”是“B A sin sin >”的充要条件； ②不等式
05
1≤+-x x 的解集为{}5|-<x x ；
③已知点P(a,b)与点Q(1,0)在直线2x -3y ＋1＝0的两侧，则3b -2a ＞1；
④方程8
x π
=
是函数5sin(2)4
y x π
=+
的图象的一条对称轴的方程；
1
A 1
B 1
C 1
D A
B
C
D
E
1
A A
其中正确的命题的序号是__________．(注：把你认为正确的命题的序号都填上）． 三、解答题：（本大题共6小题，共70分）
17．（本题满分12分）设命题：函数f (x )＝x 2
－2ax －1在区间(-∞，3]上单调递减；命题
：
函数的定义域是R ．如果命题为真命题，为假命题，求a 的取值范围．
18．(本题满分1 2分)已知在公比为实数的等比数列{}n a 中，6543,4,,4a a a a +=且成等差数列．
（1）求数列{}n a 的通项公式；
（2）设b n =na n ，求数列{}n b 的前n 项和n S ．
19．（本小题满分12分）如图，在四边形中， AC=CD= 12AB=1，AB →•AC →=1，3sin 5BCD ∠=．
（1）求BC 边的长； （2）求四边形ABCD 的面积．
20．（本小题满分12分）如图，已知正四棱柱1111D C B A ABCD - 与它的侧视图（或称左视图），
E 是1DD 上一点，C B AE 1⊥． （1）求证CD B AE 1平面⊥； （2）求三棱锥ACD E -的体积． 21．（本小题满分12分）
已知，其中是自然常数， （1）讨论时, 的单调性和极值； （2）求证：在（1）的条件下，； （3）是否存在实数，使的最小值是3，若存在，求出的值；若不存在，说明理由.
选做题：请考生在第22，23，24三题中任选一道题做答，如果多做，则按所做的第一题计分
22．(本题满分10分) 4—1(几何证明选讲)
p q 2
ln(1)y x ax =++q p 或q p 且ABCD x
x
x g e x x ax x f ln )(],,0(,ln )(=
∈-=e .a R ∈1=a ()f x 1()()2
f x
g x >+
a ()f x a D
A
C B
如图，∆ABC 是直角三角形，∠ABC=90o ．以AB 为直径的圆O 交AC 于点E 点D 是BC 边的中点．连OD 交圆0于点M （1）求证：O ，B ，D ，E 四点共圆； （2）求证：2DE 2
=DM •AC+DM •AB
23．(本题满分l0分) 4—4(坐标系与参数方程)
在直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极方程为
2sin()42πρθ+=O 的参数方程为2
cos 22
sin 2
x r y r θθ⎧
=-+⎪⎪
⎨
⎪=-
+⎪⎩
，（θ为参数，0r >） （1）求圆心的极坐标；
（2）当r 为何值时，圆O 上的点到直线Z 的最大距离为3． 24．(本题满分10分) 4—5(不等式选讲)
设对于任意实数x ，不等式|7||1|x x ++-≥m 恒成立． （1）求m 的取值范围；
（2）当m 取最大值时，解关于x 的不等式：|3|2212x x m --≤-．
高三年级第二次四校联考数学试题答案(文科)
一．CDBBB DCCDC AA
二．13． 5 14．(2+2)a 2 15．21 16．①③④
三．17．解：P 为真命题⇔a≥3 ………………………………………3分 q 为真命题⇔Δ=a 2-4<0恒成立⇔-2<a<2 ………………………6 由题意p 和q 有且只有一个是真命题 …………………………7分
p 真q 假⇔⎩⎨⎧a≥3
a≤-2或a≥2⇔a≥3 …………………………9分
p 假q 真⇔⎩⎨⎧ a<3
-2<a<2⇔-2<a<2 …………………………11分
综上所说：a 的范围是(-2,2)∪[3,+∞) ……………………………12分 18．解：（1）设数列{}n a 的公比为q ，依题意可得
645)4(2a a a +=+，即3244)44(2q q q +=+
…………………2分
整理得：0)2)(1(2
=-+q q
1,2,1==∴∈a q R q …………………………………………………4分
{}12-=∴n n n a a 的通项公式数列 ……………………………………………6分
（2）由（1）知12-=n n a ，∴1
2 n n b n -=⨯
21122322n n S n -=+⨯+⨯++⨯ ① 2312122232(1)22n n n S n n -=⨯+⨯+⨯++-⋅+⋅ ②
②-①得：2312(12222)(1)21n n n
n S n n -=⋅-+++++=-+
∴(1)21n
n S n =-⋅+ *()n N ∈ …………………………12分
19．解：（1）∵AC=CD=1
2
AB=1
∴
∴cos ∠BAC=1
2，∴…………………………………………3分
在中，由余弦定理，有：
∴． …………………………………………6分
（2）由（Ⅰ）知：中，有：
即 为，
12
ABC
S
=
=………8分 又
而
， 从而 sin ∠ACD=1-cos 2∠ACD=45
142
11255
ACD
S
∴=⨯⨯⨯= ………………………………………………11分 S ABCD =S ΔABC +S ΔACD =
32+25 = 4+53
10
． …………………………………12分 20．解：⑴因为1111D C B A ABCD -是正四棱柱，所以11A ADD CD 平面⊥… 2分
11A ADD AE 平面⊂，所以AE CD ⊥……3分
又因为C B AE 1⊥，C C B CD =1 ，所以CD B AE 1平面⊥ …………5分 ⑵连接D A 1，因为CD B AE 1平面⊥，所以 C B AE 1⊥ ……………6分 所以D A AE 1⊥
所以ADE ∆∽AD A 1∆ ……8分
所以AD
A
A DE AD 1= …………9分 14
2
2=⨯=
DE …………10分 因为1111D C B A ABCD -是正四棱柱，所以DE 是三棱锥ACD E -的高……11分 所以三棱锥ACD E -的体积3
2
2131=⨯⨯⨯⨯=
-DE CD AD V ACD E ……12分． ||||cos 2cos 1AB AC AB AC BAC BAC ⋅=⨯⨯∠=∠=060BAC ∠=ABC ∆222
2cos 3BC AB AC AB AC BAC =+-⋅⋅∠
=BC =ABC ∆222
AB BC AC =+ABC ∆Rt ABC ∆0
90ACB ∠=0
90BCD ACB ACD ACD ∠=∠+∠=+∠3sin 5BCD ∠=
3
cos 5ACD ∠=
21．解：（1）， ∴当时，()0f x '<，此时单调递减 当时，()0f x '>，此时单调递增
∴的极小值为 ………………………………4分 （2）的极小值为1，即在上的最小值为1， ∴ 1ln ()x
g x x
-'=
………………………………6分 当时，，()0g x '>,()g x 在上单调递增 ∴max 11
()()2g x g e e ==
< ∴在（1）的条件下， ………8分 （3）假设存在实数，使（）有最小值3，
① 当时，在上单调递减，，（舍去），所以，此时无最小值 .………………10分 ②当时，在上单调递减，在上单调递增
，，满足条件.
③ 当
时，在上单调递减，，（舍去），所以，此时无最小值.
综上，存在实数，使得当时有最小值3. …………12分 22．解：（1）连接BE ，则EC BE ⊥ ……………………………………… …1分
又的中点是BC D
BD DE =∴ ………………………………………2分
又OD OD OB OE ==∴,
ODB ODE ∆∆∴≌ …………………………………………4分 090=∠=∠∴OED OBD …………………………………5分 B O E D ,,,∴四点共圆． ………………………………………6分 （2）延长DO 交圆于点H
OH DM DO DM OH DO DM DH DM DE ⋅+⋅=+⋅=⋅=)(2 ……… 8分
)2
1
()21(2AB DM AC DM DE ⋅+⋅=∴ ………………………………9分
AB DM AC DM DE ⋅+⋅=∴22 ………………………………10分
x x x f ln )(-=x
x x x f 1
11)(-=
-
='10<<x ()f x e x <<1()f x ()f x 1)1(=f ()f x ()f x ],0(e min ()1f x =e x <<0],0(e 1()()2
f x
g x >+a x ax x f ln )(-=],0(e x ∈/1()f x a x
=-x ax 1-=0≤a )(x f ],0(e 31)()(min =-==ae e f x f e
a 4
=)(x f e a
<<
10)(x f )1,0(a ],1
(e a 3ln 1)1
()(min =+==a a
f x f 2e a =e a ≥1)(x f ],0(e 31)()(min =-==ae e f x f e
a 4
=)(x f 2
e a =],0(e x ∈()
f x
23．解：（1）圆心坐标为)2
2
,22(--
………………………………1分 设圆心的极坐标为),(θρ则1)2
2()22(2
2=-+-
=ρ ……………………2分 所以圆心的极坐标为)4
5
,1(π ………………………………4分
（2）直线l 的极坐标方程为2
2)cos 22sin 22(
=+θθρ ∴直线l 的普通方程为01=-+y x ………………………………6分
∴圆上的点到直线l 的距离2
|1sin 22
cos 22|-+-+-
=
θθr r d
即2
|
1)4
sin(22|-+
+-=
π
θr d ………………………………7分
∴圆上的点到直线l 的最大距离为
32
1
22=++r ……………………………9分
∴2
2
4-=
r ……………………………10分 24. 解：（1）设|1||7|)(-++=x x x f ，则有⎪⎩
⎪
⎨⎧>+≤≤--<--=1,6217,87,26)(x x x x x x f ------ 1分
当7-<x 时)(x f 有最小值8 ------ 2分 当17≤≤-x 时)(x f 有最小值8 ----- 3分 当1>x 时)(x f 有最小值8 ----- 4分 综上)(x f 有最小值8 ----- 5分 所以8≤m ------6分 （2）当m 取最大值时8=m 原不等式等价于：42|3|≤--x x ----- 7分
等价于：⎩⎨
⎧≤--≥4233x x x 或⎩⎨⎧≤--<4
233
x x x ----- 8分
等价于：3≥x 或33
1
<≤-x -------- 9分 所以原不等式的解集为}3
1
|{-≥x x ------ 10分。