第三章复变函数积分

n
f (z)dz
f (z)dz,
C
k 1 Ck
C
C1
C2 C3
其中C和Ck(1kn)取正向.
D
证明 不妨设n=2. 作两条辅助线 A1A2 , A3 A4 (如图).
CE
G
A4
A1 A2 F A3
C2
H C1 I
D
这样由 EA1 A2FA3 A4GA4 A3HA2 A1IE 作为边界G ,
§3.2 Cauchy积分定理
1 Cauchy积分定理 2 复合闭路定理 3 典型例题
3.2.1 Cauchy积分定理
定理3-2 (柯西-古莎定理) 如果f (z)是单连 通区域 D上的解析函数，则对D内的任何一条
闭曲线C, 都有
f (z)dz 0.
C
C D
说明: 该定理的主要部分是 Cauchy 于1825 年建立的, 它是复变函数理论的基础.
0
所以
z z0
r
(
z
1 z0
)n1
dz
2i, 0,
n 0, n 0.
重要结论：积分值与圆周的中心、半径无关.
例3.3 计算积分C Re zdz 与 C zdz, 其中C为
(1) 从原点到 1+i 的直线段；
(2) 抛物线 y=x2 上从原点到 1+i 的弧段；
(3) 从原点沿x轴到1, 再从1到 1+i 的折线.
,C0n是. 多连通区域D内
Gz
z z 的简单闭曲线, C1,C2 , ,Cn 都在C 的内部,它们
互不C1包含也互不C相2 交, 并且以 C ,C1,C2 , ,Cn 为
例3.9
求积分
G
1
z z0 n1dz,
其中G
为含z0的
任意分段光滑的简单闭曲线, n为整数.
解 因为z0在闭曲线G 的内部,
第3章 复变函数的积分
本章介绍复变函数的积分概念，解析 函数积分的主要性质. 重点是Cauchy积分 定理、Cauchy积分公式、高阶导数公式.
§3.1 复变函数的积分
1 积分的概念 2 积分存在条件及性质 3 积分的计算
3.1.1 积分的概念
定义3.1 设 C是复平面上以z0为起点, Z为终 点 有向简单连续曲线，f (z)是C上的复变函数.
),
y(t
)]
x(
t
)
iy(t
)dt
f [z(t)]z(t)dt.
复变函数的积分具有如下一些性质.
(1) f (z)dz f (z)dz;
C
C
(2) C kf (z)dz k C f (z)dz (k是复常数);
(3) C[ f (z) g(z)]dz C f (z)dz C g(z)dz;
z zi
2
根据Cauchy积分定理得
1
zi
1
z(z2
dz 1)
2
zi
1
1 z
2
11 2zi
1 2
z
1
i
dz
1dz 1
1 dz 1
1 dz
zi 1 z
2 zi 1 z i
2 zi 1 z i
2
2
2
0
1
1 dz 1 2i i.
2 zi 1 z i
2
2
这里用到了 例3.2
n
C
f
( z )dz
lim
0 k1
f ( k )zk .
如果C是闭曲线，经常记作 C f (z)dz.
当C是实轴上的区间a,b, 方向从a到b, 并且
f (z)为实值函数，那么这个积分就是定积分.
3.1.2 积分存在的条件及积分性质
定理3-1 设C是分段光滑(或可求长)的有向
曲线， f (z) u( x, y) iv( x, y) 在C上连续，则
o
x
C
(z
1 z0
)n1
dz
2π 0
ire i r n1ei(n1)
d
i
rn
2π ein d ,
0
当 n 0时,
y
z
C
1 (z z0 )n1 dz i
2π
d
0
2i;
z0 r
当 n 0时,
o
x
C
1 (z z0 )n1 dz
i rn
2π
(cos n i sin n )d 0.
G
ez dz,
z
其中G 由正向圆周
y
z 2 和负向圆周 z 1 组成.
C1
解 显然C1和C2围成一
个圆环域.
函数
f (z) ez z
C2 o1
2x
在此圆环域及其边界上解析, 并且圆环域的边界
构成复合闭路, 所以根据 复合闭路定理 ,
ez dz
定e理z 3-3 dz
设
C e,Cz1,Cd2z,
从形式上可以看成
C f (z)dz C (u iv)(dx idy) C udx ivdx iudy vdy C udx vdy iC vdx udy.
定理3-1’ 设光滑曲线
C : z z(t) x(t) iy(t) ( t ),
z( ) 是起点, z( ) 是终点，则
(4) 设C1的终点是C2的起点, C=C1+C2, 则
f (z)dz f (z)dz f (z)dz;
C
C1
C2
(5) 设曲线C的长度为L, 函数f (z)在C上满足
f (z) M , 则 C f (z)dz C f (z) ds ML.
事实上,
估值不等式
n
n
f ( k )zk f ( k ) zk
Re z t, dz (1 2ti)dt,
y
i
1 i
y x2
o
x
1
Re zdz C
1
t(1
0
2it )dt
t2 2
2i 3
t3
1
0
1 2
2 3
i;
zdz 1(t it2 )(1 2it)dt
C
0
1
[(t
2t
3
)
i
3t
2 ]dt
i.
0
(3) 积分路径由两段直线段构成
解 根据积分的定义
n
n
1dz C
lim
0
k
1
zk
lim
0
k
1
(
zk
zk1 )
lim(z
0
z0
)
z
z0
.
例3.2
计算积分
C
(z
1 z0
)n1
dz
(n是整数),
其中C是圆周: z z0 r (r 0)
的正向.
y
z
解 积分路径的参数方程为
z0 r
z z0 rei (0 2π ),
y
1边界的闭区域1含于D内. 如1果 f (z)是 D上1的解析
z
函1数d,z那么
dz z
z
dz 1
dz z
C1
C1 n
f (z)dz
C2 f (z)dz,
C
k 1 Ck
C C2
C1
C2 C3
C1
o
•
•
C2
x
1
0 2其i中C和2Cki(1k0n)取4正向i.. D
G
例3.8
计算积分
都是从相同的起点到相同的终点, 沿着三条不
相同的路径进行, 但是 C Re(z)dz 积分值不同, C zdz 积分值相同. 是否可以讨论积分与积分
路径的关系?
注意2 一般不能将函数f (z)在以为起点, 以
为终点的曲线C上的积分记成 f (z)dz, 因为 积分值可能与积分路径有关, 所以记 C f (z)dz.
C f (z)dz 存在，并且
n
n
f ( k )zk [u(k ,k )xk v(k ,k )yk ]
k 1
k 1
n
i [v(k ,k )xk u(k ,k )yk ]
k 1
C f (z)dz C udx vdy iC vdx udy.
C f (z)dz C udx vdy iC vdx udy
y
o
•
•
1
x
G
在G内作两个互不包含也互不相交的正向
圆周C1和C2, 使得C1只包含奇点0, C2 只包含
奇点1. 根据复合闭路定理,
G 2z2z的 互简 不1z单 包定d闭 含理z曲 也3-互线3C不,设1 2Cz相C12z,,C交C21,,,1z并Cd2,且C, zn以,C都CnC在是,2C2C多z1,2z的C连2内通, 1z部区,dC,域它nzD为们内
在C上依次取分点
z0 , z1, , zk1,
y
zk , , zn1, zn Z ,
把曲线C分割为n个小段.
z0
(如图)
o
z1 z2
Z
C zn1
zk zk 1
x
在每个小弧段 zk1zk k 1,2, ,n 上任取
一点 n(k 1, 2, , n), 做和数
n
Sn f ( k )zk , k 1
C f (z)dz f [z(t)]z(t)dt.
C f (z)dz C udx vdy iC vdx udy
u[
x(t
),
y(t
)]x(t
)
v[
x(t
),
y(t
)]
y( t )dt
i
v[
x(
t
),
y(t
)]
x(t
)
u[
x(t
),
y(t
)]
y(t
)dt
.
u[
x(t
),
y(t
)]
iv[
x(t
围成单连通区域.
f (z)在G 所围的区域内解定析理,3-由2 (柯西-古莎定理) 设f
通区域 D上的解析函数，则对D内
f (z)dz 0. G 简单闭曲线C, 都有
G EA1 A1 A2 A2F FA3 A3 A4 f (Az)4dGz 0. C GA4 A4 A3 A3H HA2 A2 A1 A1I IE .
x轴上直线段的参数方程为 z(t) t (0 t 1),
Re z t, dz dt,
1到1+i直线段的参数方程为 z(t) 1 it (0 t 1),
Re z 1, dz idt,
y
i
1 i
Re zdz
1
tdt
1
1 idt
1 i.
C
0
0
2
o
1
1
C zdz 0 tdt 0 (1 it)idt
y x2 x
1
i.
例3.4
计算
C
z2dz , Ci 如图所示：
C2
解：
C1
C1 : z x , y 0, x :1 1 1
1
z2dz 1 x2dx 2 ;
C1 1
3
C2 : z ei
, :0
z2dz
C2
e2iiei d
0
i e3id
1 e3i
2.
0
30 3
1
例3.5
计算积分
z 1 2z
dz. 3
解 因为函数 f (z) 1 2z 3
在 z 1上解析, 所以根据Cauchy积分定理, 有
1 dz 0.
z 1 2z 3
例3.6
计算积分
zi
1
1 z(z2
1)
dz.
2
解
1 z(z2
1)
1 z
1 2
z
1
i
z
1
i
.
因为 1 和 1 都在 z i 1 上解析, 所以
1
dz
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2
i,
n 0,
3.2.2 复合闭路定理
定理3-3 设 C ,C1,C2 , ,Cn是多连通区域D内 的简单闭曲线, C1,C2 , ,Cn 都在C 的内部,它们 互不包含也互不相交, 并且以 C ,C1,C2 , ,Cn 为 边界的闭区域含于D内. 如果 f (z)是 D上的解析
函数, 那么
C EA1 A1I IE,
C
D
说明: 该定理的 Cauchy 于182
C1 A2F FA3 A3H HA2 ,
它是复变函数
C2 A4G GA4 .
在公共边界(辅助线)上, 积分两次, 方向 相反, 积分值之和等于0. 所以
f (z)dz 0. C C1 C2
f (z)dz f (z)dz f (z)dz 0,
故可取充分小的正数r , 使得圆周
G
z0
解 (1) 积分路径的参数方程为 z(t) t it (0 t 1),
Re z t, dz (1 i)dt,
y
i
1 i
Re zdz
1
t(1 i)dt
1 (1 i);
C
0
2
o
zdz
1(1 i)2 tdt (1 i)2
1
tdt
i.
C
0
0
x
1
(2) 积分路径的参数方程为 z(t) t it2 (0 t 1),
其中，zk zk zk1
k 1,2, ,n.
令
max 1 k n
zk
.
y
Z
C zn1
z0 1
2
z1
z2
k zk
zk 1
o
x
如果分点的个数无限增多，并且极限
n
lim
0
Sn
lim
0 k1
f ( k )zk
存在, 则称该极限值为函数 f (z)在曲线C上的积分,
并记作C f (z)dz, 即
C
C1
C
2
f (z)dz f (z)dz f (z)dz.
C
C1
C2
当 n 为其它值时，可同样证明.
3.2.3 典型例题
例3.7
计算积分
G
2z z2
1dz, z
其中G为包含圆周
z 1 在内的任意分段光滑正向简单闭曲线.
解 显然函数 2z 1
f (z) z2 z 在复平面有两个奇点0和1, 并且G 包含了这两个奇点.
k 1
k 1
n
n
f ( k ) sk M sk ML,
k 1
k 1
其中, sk 是 zk与 zk1两点之间弧段的长度.
根据积分定义，令 0, 即得性质(5).
3.1.4 积分的计算
例3.1 设 C是复平面上以z0为起点, z为终 点的分段光滑(或可求长)曲线，则
C 1dz z z0 .
z2dz 0
C
可见，积分与路径无关仅与起点和终点有关。
z2dz x2 y2 dx 2xydy i 2xydx x2 y2 dy
C
C
C
M
N
P
Q
M y Nx uy (v)x
Py Qx vy ux
注意1 从例2.3看到, 积分 C Re(z)dz 和 C zdz,