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高三上学期期中数学考试

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四川省成都市石室中学2024-2025学年高三上学期11月期中考试数学试题(含解析)

四川省成都市石室中学2024-2025学年高三上学期11月期中考试数学试题(含解析)

成都石室中学2024～2025学年度上期高2025届十一月月考数学试卷一､单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的．1.已知集合，集合，则（）A. B. C. D.2.已知为单位圆的内接正三角形，则（ ）A. B.C.1D.3.已知角的终边上一点（ ）A. B. C. D.4.巴黎奥运会期间，旅客人数（万人）为随机变量，且.记一天中旅客人数不少于26万人的概率为，则的值约为（ ）（参考数据：若，有，，）A.0.977B.0.9725C.0.954D.0.6835．已知非零向量，满足，且向量在向量上的投影向量是，则与的夹角是（ ）A ．B ．C ．D ．6.关于的方程在上有（ ）个实数根．A.1B.2C.3D.47.已知，是定义域为R 的函数，且是奇函数，是偶函数，满足，若对任意的，都有成立，则实数a 的取值范围是（ ）(){}ln 1A xy x ==-∣{}xB y y e -==∣A B = ()0,1()1,2()1,+∞()2,+∞ABC V O B B C O ⋅=32-321-α()1,2M -32=⎪⎝⎭22-44-X ()2~30,2X N 0p 0p ()2~,X Nμσ()0.683P X μσμσ-<≤+≈()220.954P X μσμσ-<≤+≈()330.997P X μσμσ-<≤+≈a b ()()22a b a b +⊥- a b 14b a bπ6π3π22π3x 2sin sin2cos cos 222x x xx x =(,)ππ-()f x ()g x ()f x ()g x ()()22f x g x ax x +=++1212x x <<<()()12123g x g x x x ->--A. B. C. D.8.已知，若关于的不等式在上恒成立，则的最小值是（ ）A. B. C. D.二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.已知函数的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（ ）A.的图象关于直线对称B.在上单调递增C.是奇函数D.将图象上所有点的横坐标变为原来的2倍，得到函数的图象10.已知为函数的一个零点，则（ ）A.的图象关于对称 B.的解集为C.时， D.时，，则的最大值为411.已知函数与及其导函数f ′(x )与的定义域均为.若为奇函数，，，则（ ）A. B.[)0,∞+3,04⎡⎤-⎢⎥⎣⎦3,4∞⎛⎫-+ ⎪⎝⎭3,4∞⎡⎫-+⎪⎢⎣⎭0,a b >∈R x ()()2110ax x bx -+-≥()0,∞+5b a+48()()πsin 0,0,2f x A x A ωϕωϕ⎛⎫=+>><⎪⎝⎭()f x 5π12x =-()f x π,π2⎡⎤⎢⎥⎣⎦2π3f x ⎛⎫-⎪⎝⎭()f x π2sin 3y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭1-3()3f x x x a =-+()f x (0,2)-()0f x <(,2)-∞(0,1)x ∈()2()f xf x <[,]x m n ∈()[4,0]f x ∈-n m -()f x ()g x ()g x 'R ()f x ()()22f x g x +-=()()12f x g x '+'+=()()264g g -+=()00f '=C.曲线关于点中心对称D.三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共计15分．12.若复数满足，则__________.13.已知某次数学期末试卷中有8道四选一的单选题，学生小万能完整做对其中4道题，在剩下的4道题中，有3道题有思路，还有1道完全没有思路，有思路的题做对的概率为，没有思路的题只能从4个选项中随机选一个答案．若小万从这8个题中任选1题，则他做对的概率为______．14.已知数列{a n }满足，，其中为函数的极值点，则______．四、解答题：共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．15．（本小题13分）为提高学生的数学应用能力和创造力，石室中学打算开设“数学建模”选修课，为了解学生对“数学建模”的兴趣度是否与性别有关，学校随机抽取该校30名高中学生进行问卷调查，其中认为感兴趣的人数占70%.感兴趣不感兴趣合计男生12女生5合计30(1)根据所给数据，完成下面的2×2列联表，并根据列联表判断，依据小概率值α=0.15的独立性检验，分析学生对“数学建模”选修课的兴趣度与性别是否有关?(2)若感兴趣的女生中恰有4名是高三学生，现从感兴趣的女生中随机选出3名进行二次访谈，记选出高三女生的人数为X ，求X的分布列与数学期望附：，其中.0.150.100.050.0250.0100.0050.0012.0722.7063.8415.0246.6357.87910.82816．（本小题15分）如图所示，在四棱锥中，，，．(1)若平面，，证明：(2)若底面，，，二面角的长．()y f x ='1,12⎛⎫⎪⎝⎭2025120252k k g =⎛⎫= ⎪⎝⎭'∑z 33i1iz -=+1z +=23()1*1e n a n a n ++=∈N 2303aa x +=0x y =()12e 1x x x +->123a a a +-=()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++n a b c d =+++αx αP ABCD -2AC =1BC =AB =//AD PBC AD ⊥PA PB AD ⊥PA ⊥ABCD AD CD ⊥AD =A CP D --PA17．（本小题15分）设的内角，，所对的边分别为，且.(1)求(2)若,求的周长;(3)如图，点是外一点，设且，记的面积，求关于的关系式，并求的取值范围.18．已知抛物线的焦点为，直线过点交于，两点，在，两点的切线相交于点，的中点为，且交于点．当垂直于轴时，长度为4；(1)求的方程；(2)若点的横坐标为4，求；(3)设在点处的切线与，分别交于点，，求四边形面积的最小值．19．（本小题17分）已知函数，.(1)当时，函数恒成立，求实数的最大值；(2)当时，若，且，求证：；(3)求证：对任意，都有.ABC V A B C ,,a b c ()()sin ()(sin sin ),a c B C b c B C -⋅+=-⋅+b =;B 3BA BC +=ABC V D ABC V BAC DAC θ∠=∠=2π3ADC ∠=BCD △S S θS 2:2(0)C x py p =>F l F C A B C A B P AB Q PQ C E AB y AB C P QE C E PA PB M N ABNM ()21ln 2f x x x ax =+-()0a >[)1,x ∈+∞()32f x ≥-a 2a =()()123f x f x +=-12x x ≠122x x +>*N n ∈()2112ln 1ni i n n i =-⎛⎫++> ⎪⎝⎭∑成都石室中学2024-2025学年度上期高2025届11月半期考试数学参考答案双向细目表题号题型分值难度预估内容具体内容1单项选择题50.95集合集合运算2单项选择题50.9向量数量积3单项选择题50.8三角函数诱导公式、倍角公式4单项选择题50.75正态分布正态分布5单项选择题50.7向量投影向量6单项选择题50.7三角函数三角函数图象分析7单项选择题50.5函数性质函数奇偶性及单调性分析8单项选择题50.4不等式不等式9多项选择题60.8三角函数正弦函数图象特点分析10多项选择题60.5函数三次函数图象分析11多项选择题60.3函数性质函数奇偶性、对称、周期性分析12填空题50.8复数复数计算13填空题50.5概率概率计算14填空题50.3函数数列及函数零点15（1）解答题60.8检验15（2）解答题70.7概率统计分布列16（1）解答题30.8线线垂直证明16（2）解答题40.7立体几何二面角17（1）解答题40.7正余弦定理应用17（2）解答题50.6解斜三角形求周长17（3）解答题60.4解斜三角形解斜三角形求面积18（1）解答题50.6抛物线方程18（2）解答题60.6切线问题18（3）解答题60.4解析几何四边形面积19（1）解答题50.7函数恒成立问题19（2）解答题60.5利用函数单调性证明自变量大小19（3）解答题60.3导数数列不等式证明答案及解析1.【参考答案】C【解题思路】由题意可知，，2K (){}ln 1{10}{1}A x y x x x x x ==-=->=>∣∣∣，所以.故选C.2.【参考答案】B【解题思路】如图，延长交于点.因为单位圆半径为，为单位圆的内接正三角形，所以.又因为是正的中心，所以，，所以.设的边长为.由勾股定理，得，即，解得（负值已舍去），所以，易得,的夹角为，所以.故选B.3.【参考答案】C【解题思路】由三角函数定义知，，，所以.故选C.4.【参考答案】A【解题思路】因为，所以，，所以.根据正态曲线的对称性可得，.故选A.5.【参考答案】B【解题思路】因为，所以，所以.因为向量在向量上的投影向量是，所以，即，所以.又因为，所以与的夹角是.故选B.6.【参考答案】C【解题思路】当时，，原方程化为.令{}e{0}xB y y y y-===>∣∣()1,A B=+∞AO BC D O1ABC△O1OA OB OC===O ABC△AD BC⊥1122OD OA==32AD OA OD=+=ABC△a222AB AD BD=+2223122a a⎛⎫⎛⎫=+⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭a=1BO=BC=BOBC6π3cos62BO BC BO BCπ⋅=⋅⋅=2tan21α==--cos0α<2sin2tan43cos2ααα===-=-⎪⎝⎭()230,2X N~30μ=2σ=()26340.954P X<≤≈()()()10.954262634340.9540.9772p P X P X P X-=≥=<≤+>≈+=()()22a b a b+⊥-()()222240a b a b a b+⋅-=-=2b a=a b14b1cos,4ba ab bb⋅=11cos,24a b b b⋅=1cos,2a b=[],0,a bπ∈a b3π(),xππ∈-cos02x≠1tan sin2sin2223xx x xπ⎛⎫==-⎪⎝⎭，，则原方程的解的个数即为函数与的图象在上的交点个数.作出函数和的大致图象如图，在上单调递增，，，，由图可知函数和在上有3个交点，即原方程在上有3个实数根.故选C.7.【参考答案】D【解题思路】由题意可得，.因为是奇函数，是偶函数，所以.联立解得.又因为对于任意的，都有成立，所以，即成立.构造，所以在上单调递增.若，则对称轴，解得；若，则在上单调递增，满足题意；若，则对称轴恒成立.综上所述，.故选D.8.【参考答案】A【解题思路】设，.因为，所以在上单调递增.当时，；当时，.因为的图象开口向上，，所以方程有一正根一负根，即函数在上有且仅有一个零点，且为异号零点.由题意可得，，则当时，；当时，，所以是方程的根，则，即，且，所以，当且仅当时等()sin 23f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭()tan 2x g x =()f x ()g x (),ππ-()f x ()g x ()tan2xg x =(),ππ-tan 124g ππ⎛⎫== ⎪⎝⎭5sin 1122f ππ⎛⎫== ⎪⎝⎭5122ππ<()f x ()g x (),ππ-(),ππ-()()22f x g x ax x -+-=-+()f x ()g x ()()22f x g x ax x -+=-+()()()()222,2,f xg x ax x f x g x ax x ⎧+=++⎪⎨-+=-+⎪⎩()22g x ax =+1212x x <<<()()12123g x g x x x ->--()()121233g x g x x x -<-+()()112233g x x g x x +<+()()2332h x g x x ax x =+=++()232h x ax x =++()1,2x ∈0a <0322x a =-≥304a -≤<0a =()32h x x =+()1,2x ∈0a >0312x a =-≤3,4a ⎡⎫∈-+∞⎪⎢⎣⎭()1f x ax =-()21g x x bx =+-0a >()f x ()0,+∞10x a <<()0f x <1x a>()0f x >()g x ()01g =-()0g x =()g x ()0,+∞()()0f x g x ≥10x a <<()0g x ≤1x a >()0g x ≥1a210x bx +-=2110b a a +-=1b a a=-0a >544b a a a +=+≥=2a =号成立.故选A.9.【参考答案】ACD【解题思路】由图象可得，，，故，代入点，易得，所以.因为，所以当时函数取得最小值，即直线为函数的一条对称轴，故A 正确；由对称性可知，在上单调递减，上单调递增，故B 错误；为奇函数，故C 正确；将的图象上所有点的横坐标变为原来的2倍，得到函数的图象，故D 正确.故选ACD.10.【参考答案】AD【解题思路】因为，即，所以，所以，所以的图象关于（0，-2）对称，故A 正确；当时，且，故B 错误；当时，，而，所以在（0，1）上单调递减，所以，故C 错误；，，所以在区间，上，即单调递增；在区间（-1，1）上，即单调递减，，，，画出的大致图象如图.因为当时，，所以由图可知，的最大值为，故D 正确.故选AD.11.【参考答案】ACD【解题思路】令，得；令，得.因为为奇函数，所以，则，故A 正确；因为为奇函数，所以为偶函数，则求2A =4312T πππ⎛⎫=-=⎪⎝⎭2ω=,212π⎛⎫⎪⎝⎭3πϕ=()2sin 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭521232πππ⎛⎫⋅-+=- ⎪⎝⎭512x π=-()f x 512x π=-()f x ()f x 7,1212ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦713,1212ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦()22sin 22sin23f x x x ππ⎛⎫-=-=- ⎪⎝⎭()f x 2sin 3y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭()1130f a -=-++=2a =-()()()233212f x x x x x =--=+-()()4f x f x +-=-()f x ()()()2120f x x x =+-<1x ≠-2x <01x <<201x x <<<()2330f x x =-<'()f x ()()2f x f x >()332f x x x =--()()()233311f x x x x =-=+-'(),1-∞-()1,+∞()0f x '>()f x ()0f x '<()f x ()10f -=()14f =-()24f -=-()f x [],x m n ∈()[]4,0f x ∈-n m -()224--=4x =()()422f g +-=4x =-()()462f g -+=()f x ()()f x f x =--()()264g g -+=()f x ()f x '不出，故B 错误；因为，所以.又，所以，则关于中心对称.因为，所以结合函数图象平移可得，关于点中心对称，故C 正确；由为偶函数，点为对称中心，得的周期为2，且，.又，所以，所以.因为，所以，所以，故D 正确.故选ACD.12.【解题思路】由题意知，，所以.13.【参考答案】【解题思路】设小万从这8道题中任选1道题且作对为事件，选到能完整做对的4道题为事件，选到有思路的3道题为事件，选到完全没有思路的题为事件，则，，.由全概率公式，得.14.【参考答案】【解题思路】因为，所以，.因为，，所以.因为在上单调递增，所以，，，所以.又因为，所以，所以.()00f '=()()22f x g x +-=()()20f x g x '--='()()12f x g x '++='()()122g x g x '++-='()g x '3,12⎛⎫⎪⎝⎭()2(1)f x g x '=-+'()f x '1,12⎛⎫⎪⎝⎭()f x '1,12⎛⎫⎪⎝⎭()f x '()()12f x f x '+-='11122f f ''⎛⎫⎛⎫-== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()()12g x f x +='-'()()21g x f x =-'-'2025202520251112140501222k k k k k k g f f ===⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=--=-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭'''∑∑∑()()41111014222k k f f f f f =⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-+++= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭'''''∑202512025202311450612024202420252222k k f f f f =⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=⨯+-=+=+= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭''⎭'⎝'⎭⎝∑2025120252k k g =⎛⎫= ⎪'⎝⎭∑()()()()33133333331112i i i i i z i i i i ------====-++-131z i +=-+=2532A B C D ()4182P B ==()38P C =()18P D =()()()()()()()132112512838432P A P B P A B P C P A C P D P A D =++=⨯+⨯+⨯=∣∣∣ln2-1e2x y x +=-'010e 2x x +=01x >11e n a n a ++=2303a a x +=021120000e 32e x a a x x x x +++==+=+1e x y x +=+R 20a x =302a x =120ln 1ln 1a a x =-=-12300ln 1a a a x x +-=--010e 2x x +=0001ln2ln2ln x x x +==+12300ln 1ln2a a a x x +-=--=-15.解：（1）列联表如下：感兴趣不感兴趣合计男生12416女生9514合计21930零假设为：学生对“数学建模”选修课的兴趣度与性别无关，……5分依据小概率值的独立性检验，没有充分证据推断不成立，因此可以认为成立，即学生对“数学建模”选修课的兴趣度与性别无关.……6分（2）由题意可知，的取值可能为0，1，2，3，……7分则，，，，……11分故的分布列如下：0123.……13分16.（1）证明：因为，，，即，所以，即.因为平面，平面，面面，所以，……3分所以.因为，，所以平面，所以.……6分（2）解：因为底面，，底面，所以，.又，所以，以点为原点，以，所在的直线为，轴，过点作的平行线为轴，建立空间直角坐标系如图所示.令，则，，，，，，，.设平面的法向量为，0H ()223012549200.4082 2.072.161421949K⨯⨯-⨯==≈<⨯⨯⨯0.15α=0H 0H X ()35395042CP X C ===()12453910121C C PX C ===()2145395214C C P X C ===()34391321CP X C ===X X P5421021514121()5105140123422114213E X =⨯+⨯+⨯+⨯=2AC =1BC =AB =222BC AB AC +=90ABC ∠=BC AB ⊥AD ∥PBC AD ⊂ABCD ABCD PBC BC =AD BC ∥AD AB ⊥AD PA ⊥PA AB A = AD ⊥PAB PB AD ⊥PA ⊥ABCD CD AD ⊂ABCD PA CD ⊥PA AD ⊥AD CD ⊥CD ==D DA DC x y D PA z PA t =)A)Pt ()0,0,0D ()C ()AC =()0,0,AP t = DC =)DP t =ACP ()1111,,n x y z =所以即令，则，，所以.……9分设平面的法向量为，所以即令，则，，所以.……11分因为二面角，二面角为锐角，，解得，所以.……15分17.解：（1）由正弦定理可知，，所以，所以，即.由余弦定理，所以.……4分（2）因为，所以等号两边同时平方可得，.又由（1）知，所以，即，所以，所以的周长为.……7分（3）由正弦定理可得，，即，110,0,n AC n AP ⎧=⎪⎨=⎪⋅⎩⋅1110,0,tz ⎧=⎪⎨=⎪⎩11x =11y =10z =()11,1,0n =CPD ()2222,,n x y z =220,0,n DP n DC ⎧=⎪⎨=⎪⋅⎩⋅ 2220,0,tz +==2z =2x t =-20y =(2n t =-A CP D --121212cos ,n n n n n n ⋅===2t =2PA =sin sin sin a b cA B C==()()sin sin sin sin sin sin sin sin sin B C A A a b cB CB CB C b c a cπ+--====++++-222a acbc -=-222a cb ac +-=2221cos 222a c b ac B ac ac +-===3B π∠=3BA BC += 229a c ac ++=223a c ac +-=226a c +=3ac =a c ==ABC △a b c ++=2sin sin BC ACABCθ∠===2sin BC θ=，即.因为四边形的内角和为，且，所以，所以.……11分（可以有多种表达形式，化简正确都得分），记，令，则.因为在中，所以，所以，所以当时，恒成立.当，即时，；当，即时，，则……15分18.解：（1）由题意可知，直线的斜率必存在.当垂直于轴时，点，，此时，即，所以抛物线的方程为.……5分（2）设直线的方程为，，.联立得，所以，，则.将代入直线，得，则的中点.因为，所以，则直线的方程为，即.同理可得，直线的方程为，所以，，所以.因为，则，所以，此时，，所以直线的方程为，代入，得，所以，所以2sin sin CD ACADCθ∠===2sin CD θ=ABCD 2πABC ADC ∠∠π+=2BCD πθ∠-=()211sin 2sin 2sin sin 22sin sin222S BC CD BCD ∠θθπθθθ=⋅=⨯⨯⨯-=⨯()22sin sin21cos2sin2sin2sin2cos2S θθθθθθθ=⨯=-=-2x θ=()sin sin cos f x x x x =-()()()()222cos cos sin 2cos cos 12cos 1cos 1f x x x x x x x x =-'-=-++=+-+ACD △03πθ<<203x π<<1cos 12x -<<1cos 12x -<<()0f x '>1cos 2x =-23x π=23f π⎛⎫= ⎪⎝⎭cos 1x =0x =()00f =()0f x <<0S <<l AB y ,2p A p ⎛⎫ ⎪⎝⎭,2p B p ⎛⎫- ⎪⎝⎭24AB p ==2p =C 24x y =l 1y kx =+()11,A x y ()22,B x y 21,4,y kx x y =+⎧⎨=⎩2440x kx --=124x x k +=124x x =-2Q x k =2Q x k =1y kx =+221Q y k =+AB ()22,21Q k k +24x y =2x y '=PA ()1112x y y x x -=-2111124y x x x =-PB 2221124y x x x =-()2212121211442122P x x x x x k x x -+===-21212111112244P x x x x y x x +=⋅-==-()2,1P k -4P x =24k =2k =()4,9Q ()4,1P -PQ 4x =24x y =4y =()4,4E.……10分（3）由（2）知，，，所以直线的方程为，代入，得，所以，所以为的中点.因为抛物线在点处的切线斜率，所以抛物线在点处的切线平行于.又因为为的中点，所以.因为直线的方程为，所以.又到直线的距离.，当且仅当时取“”，所以，所以四边形的面积的最小值为3.……17分19.（1）解：当时，恒成立，即恒成立，只需即可.令，，则.令，，则，当时，恒成立，即在上单调递增，所以，所以在上恒成立，即在上单调递增，所以，945QE =-=()22,21Q k k +()2,1P k -PQ 2x k =24x y =2y k =()22,E k k E PQ C E 22ky k '==C E AB E PQ 34ABP ABNM S S =△四边形AB 1y kx =+()()()2121212112444AB y y p kx kx k x x k =++=++++=++=+()2,1P k -AB h 1122ABP S AB h =⋅=△()()322244414kk +⋅=+≥0k ==334ABP ABNM S S =≥△四边形ABNM 1x ≥213ln 022x x ax +-+≥ln 1322x a x x x ≤++min ln 1322x a x x x ⎛⎫≤++ ⎪⎝⎭()ln 1322x g x x x x =++1x ≥()22221ln 132ln 1222x x x g x x x x -'--=+-=()22ln 1h x x x =--1x ≥()22222x h x x x x-=-='1x ≥()0h x '≥()h x [)1,+∞()()10h x h ≥=()0g x '≥[)1,+∞()g x [)1,+∞()()min 12g x g ==所以，即实数的最大值为2.……5分（2）证明：因为当时，，，所以，即在上单调递增.又，，且，所以不妨设.要证，即证明.因为在上单调递增，即证.因为，即证.设，，令，，则，.因为，所以，即在（0，1）上单调递增，所以，即，所以成立，所以.……11分（3）证明：由（2）可知，当时，在上单调递增，且.由，得，即.令，则，即，所以，，，，，相加得.……17分2a ≤a 2a =()21ln 22f x x x x =+-0x >()()21120x f x x x x-=+-=≥'()f x ()0,+∞()312f =-()()123f x f x +=-12x x ≠1201x x <<<122x x +>212x x >-()f x ()0,+∞()()212f x f x >-()()123f x f x +=-()()1123f x f x +-<-()()()()()()221123ln 2ln 2222322F x f x f x x x x x x x =+-+=+-+-+---+=()()()2ln 221ln 221x x x x x x x x ⎡⎤⎡⎤-+-+=---+⎣⎦⎣⎦01x <<()2t x x =-01t <<()ln 1t t t ϕ=-+()111tt t tϕ-=-='01t <<()0t ϕ'>()t ϕ()()10t ϕϕ<=()()()230F x f x f x =+-+<()()1123f x f x +-<-122x x +>2a =()f x ()1,+∞()()312f x f >=-213ln 2022x x x +-+>22ln 430x x x +-+>()22ln 21x x +->1n x n +=2112ln 21n n n n ++⎛⎫+-> ⎪⎝⎭2112ln 1n n n n +-⎛⎫+> ⎪⎝⎭22112ln 111-⎛⎫+> ⎪⎝⎭23122ln 122-⎛⎫+> ⎪⎝⎭24132ln 133-⎛⎫+> ⎪⎝⎭ 2112ln 1n n n n +-⎛⎫+> ⎪⎝⎭()2112ln 1ni i n n i =-⎛⎫++> ⎪⎝⎭∑。

辽宁省大连市2024-2025学年高三上学期期中Ⅰ考试 数学含答案

辽宁省大连市2024-2025学年高三上学期期中Ⅰ考试 数学含答案

2024-2025学年度上学期高三年级期中I 考试数学科试卷（答案在最后）命题人：第I 卷一、单选题：本大题共8小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知i 是虚数单位，复数1z 、2z在复平面内对应的点分别为()1,2-、()1,1-，则复数21z z 的共轭复数的虚部为()A.15-B.15C.1i5- D.1i 52.等比数列{}n a 的公比为q ，前n 项和为n S ，则以下结论正确的是（）A.“q >0”是“{}n a 为递增数列”的充分不必要条件B.“q >1”是“{}n a 为递增数列”的充分不必要条件C.“q >0”是“{}n a 为递增数列”的必要不充分条件D.“q >1”是“{}n a 为递增数列”的必要不充分条件3.函数()()e 1sin e 1xxx f x -=+，则=的部分图象大致形状是（）A.B.C. D.4.某制药企业为了响应并落实国家污水减排政策，加装了污水过滤排放设备，在过滤过程中，污染物含量M （单位：mg /L ）与时间t （单位：h ）之间的关系为：0ektM M -=（其中0M ，k 是正常数）．已知经过1h ，设备可以过速掉20%的污染物，则过滤一半的污染物需要的时间最接近（）（参考数据：lg 20.3010=）A.3hB.4hC.5hD.6h5.若ππcos ,,tan 223sin αααα⎛⎫∈-= ⎪-⎝⎭，则πsin 23α⎛⎫-= ⎪⎝⎭（）A.718+-B.718- C.18-D.18-6.已知ABC V 是边长为点P 是ABC V 所在平面内的一点，且满足3AP BP CP ++=，则AP的最小值是（）A.1B.2C.3D.837.已知4ln 3a π=，3ln 4b π=，34ln c π=，则a ，b ，c 的大小关系是A.c b a << B.b c a << C.b a c << D.a b c<<8.设函数()32||()e 1x f x x x=+-（44x -<<），若(21)(2)(12)f x f f x ++<-，则x 的取值范围是（）A.31,22⎛⎫-- ⎪⎝⎭ B.31,22⎛⎫-⎪⎝⎭ C.1,2⎛⎫-∞-⎪⎝⎭D.3,2⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知220,0,1a b a b ab >>+-=，下列不等式恒成立的是（）A.112a b+≥ B.2a b +≥ C.332a b +≤ D.0323b <≤10.已知函数()()πsin 0,04f x A x B A ωω⎛⎫=++>> ⎪⎝⎭（）A.若()f x 在区间π3π,44⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调，则0ω<≤B.将函数()y f x =的图像向左平移π2个单位得到曲线C ，若曲线C 对应的函数为偶函数，则ω的最小值为13C.若函数()y f x =在区间()0,π上恰有三个极值点，则91344ω<≤ D.关于x 的方程()22f x A B=+在()0,π上有两个不同的解，则522ω<≤11.已知()f x 是定义在R 上连续的奇函数，其导函数为()g x ，()()424f x f x =-，当[]2,1x ∈--时，()0g x '>，则（）A.()g x 为偶函数B.()f x 的图象关于直线12x =对称C.4为()g x 的周期D.()g x 在2026x =处取得极小值第II 卷三、填空题：本题共3小题，每小题5分.12.已知向量()1,2a =-，()1,b λ= ，若a 与b 的夹角为锐角，则实数λ的取值范围是________.13.设实数x 、y 、z 、t 满足不等式1100x y z t ≤≤≤≤≤，则x zy t+的最小值为______.14.若存在正实数x ，使得不等式()2ln 2ln 00axa x a ⋅⋅-≤>成立，则a 的最大值为______．四、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.已知ABC V 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，5c 5c s os o a CA cb -=.（1）求c ；（2）若7b =，π3B =，点M 在线段BC 上，5AM =，求MAC ∠的余弦值.16.已知函数()()212ln 0af x x a x=-->．（1）当4a =时，求函数()f x 在点()()1,1f 处的切线方程；（2）设函数()f x 的极大值为()M a ，求证：()11M a a+≤．17.已知函数()()2ln 2f x x a x a x =+-+，()ln 1g x x x x a =--+，a ∈R .（1）讨论()f x 的单调性；（2）若()()1ln f x g x a x +≥+对任意1x ≥恒成立，求实数a 的取值范围.18.已知数列{}n a 满足递推关系，()2*1231n n n n a a ma n N a +++=∈+，又1=1a .（1）当1m =时，求数列{}n a 的通项公式；（2）若数列{}n a 满足不等式1n n a a +≥恒成立，求m 的取值范围；（3）当31m -≤<时，证明12111111112nn a a a +++≥-+++ .19.对于数列{}n a ，如果存在等差数列{}n b 和等比数列{}n c ，使得()n n n a b c n *=+∈N ，则称数列{}na 是“优分解”的．（1）证明：如果{}n a 是等差数列，则{}n a 是“优分解”的．（2）记()2*11ΔΔΔΔn n n n n n a a a a a a n ++=-=-∈N，，证明：如果数列{}na 是“优分解”的，则()2*Δ0n a n =∈N 或数列{}2Δn a 是等比数列．（3）设数列{}n a 的前n 项和为n S ，如果{}n a 和{}n S 都是“优分解”的，并且123346a a a ===，，，求{}n a 的通项公式．2024-2025学年度上学期高三年级期中I考试数学科试卷命题人：第I卷一、单选题：本大题共8小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.【1题答案】【答案】A【2题答案】【答案】C【3题答案】【答案】A【4题答案】【答案】A【5题答案】【答案】D【6题答案】【答案】C【7题答案】【答案】B【8题答案】【答案】A二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.【9题答案】【答案】ACD【10题答案】【答案】CD【11题答案】【答案】ACD第II卷三、填空题：本题共3小题，每小题5分.【12题答案】【答案】1(,2)(2,)2∞--⋃-【13题答案】【答案】15##0.2【14题答案】【答案】1e ln 2四、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.【15题答案】【答案】（1）5；（2）1314.【16题答案】【答案】（1）690x y --=（2）证明见解析【17题答案】【答案】（1）答案见解析；（2）(,0]-∞.【18题答案】【答案】（1）21nn a =-；（2）3m ≥-；（3）证明见解析.【19题答案】【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析（3）122n n a -=+。

江苏省扬州市2024-2025学年高三上学期11月期中检测数学试题

江苏省扬州市2024-2025学年高三上学期11月期中检测数学试题

江苏省扬州市2024-2025学年高三上学期11月期中检测数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________四、解答题15．中国是茶的故乡，茶文化源远流长，博大精深.某兴趣小组，为了了解当地居民对喝茶的态度，随机调查了100人，并将结果整理如下：1．B【分析】1()2x f x -=是指数复合函数，先判断函数单调递增，通过求出2x =和x 趋于-¥时()f x 的值来确定值域.【详解】1()2x f x -=由(1,)2u x x u f ==-复合，两个都是增函数，则原函数为增函数.当2x =时，211(2)222f -===.当x 趋于-¥时，1x -也趋于-¥.因为指数函数2u y =（1u x =-），当u 趋于-¥时，2u 趋于0，所以()f x 趋于0，所以()0f x >.故原函数值域为(]0,2.故选：B.2．D【分析】解不等式化简集合B ，再利用并集的定义求解即得.【详解】解(2)(1)0x x +-<，得2<<1x -，则{1,0}B =-，而{}0,1,2A =，所以{}1,0,1,2A B È=-.故选：D 3．A【分析】根据函数零点存在定理：如果函数()y f x =在区间[],a b 上的图象是连续不断的一条曲线，并且有()()0f a f b <，那么函数()y f x =在区间(,)a b 内有零点.来判断两个条件之围；（2）利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题．（3）根据恒成立或有解求解参数的取值时，一般涉及分离参数法，但压轴试题中很少碰到分离参数后构造的新函数能直接求出最值点的情况，进行求解，若参变分离不易求解问题，就要考虑利用分类讨论法和放缩法，注意恒成立与存在性问题的区别．。

江西省宜春市丰城中学2025届高三上学期11月期中考试数学试题

江西省宜春市丰城中学2025届高三上学期11月期中考试数学试题

江西省宜春市丰城中学2025届高三上学期11月期中考试数学试题一、单选题1．已知集合{}{}210,230A x x B y y y =->=--≤，则A B = （）A ．()1,3B ．[)1,3C ．[]1,3D ．(]1,32．已知复数21iz i =-（其中i 是虚数单位），则复数z 的虚部为（）A ．1-B ．i -C ．1D ．i 3．在3log 0.1a =，tan 4b π=，122sin2c d -==，中，最大的数为（）A ．aB ．bC ．cD ．d4．毡帐是蒙古族牧民居住的一种房子，内部木架结构，外部毛毡围拢，建造和搬迁都很方便，适合牧业和游牧生活.如图所示，某毡帐可视作一个圆锥与一个圆柱的组合，圆锥的高为3米，圆柱的高为2.5米，底面直径为8米，则建造该毡帐需要毛毡（）平方米.A ．36πB ．40πC ．46πD ．50π5．如图所示；测量队员在山脚A 测得山顶P 的仰角为α，沿着倾斜角为β的斜坡向上走200m 到达B 处，在B 处测得山顶P 的仰角为γ．若45α=︒，34β=︒，75γ=︒，（参考数据：sin340.56︒≈，sin410.66︒≈，cos340.83≈︒，cos410.75︒≈1.41≈ 1.73≈），则山的高度约为（）A ．181.13B ．179.88C ．186.12D ．190.216．已知函数()4f x x x=+，()2xg x a =+.若[]11,3x ∀∈，[]22,3x ∃∈，使得()()12f x g x ≥成立，则实数a 的取值范围是（）A ．4a ≤-B ．3a ≤-C ．0a ≤D ．1a ≤7．已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且数列313{}1,2,k k ka -=（）是等差数列，则633S S S -=（）A ．1或43B ．1或13C ．2或43D ．13或438．已知函数12log ,0()115,024x x f x a x x >⎧⎪⎪=⎨⎪+-≤⎪⎩，函数2()g x x =，若函数()()y f x g x =-有3个零点，则实数a 的取值范围为（）A ．(5,)+∞B ．155,2⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．195,2⎛⎫⎪⎝⎭D ．195,2⎛⎤ ⎥⎝⎦二、多选题9．已知函数2()cos cos 224f x x x x =+-，则（）A ．函数()f x 的图像可由sin 2y x =的图像向左平移π8个单位长度，再向下平移4个单位长度得到B ．函数()f x的一个对称中心为3π,84⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭C ．函数()f x 的最小值为12-D ．函数()f x 在区间π3π,88⎛⎫⎪⎝⎭单调递减10．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，则下列说法正确的是（）A ．若31nn S =-，则{}n a 是等比数列B ．若21n S n =-，则{}n a 是等差数列C ．若{}n a 是等差数列，则959S a =D ．若{}n a 是等比数列，且10a >，0q >，则2132S S S >11．已知定义在R 上的函数()f x 满足()()()132024f x f x f +++=，()()2f x f x -=+，且1124f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则（）A ．()f x 的最小正周期为4B ．()20f =C ．函数−1是奇函数D ．20241120242k k f k =⎛⎫⋅-=- ⎪⎝⎭∑三、填空题12．已知2a =，4b = ，4a b ⋅=- ，则2a b +=r r .13．已知函数()32692f x x x x =-+-，过点()0,2P 作曲线()y f x =的切线，则可作切线的最多条数是．14．今年元旦，市民小王向朋友小李借款100万元用于购房，双方约定年利率为5%，按复利计算（即本年利息计入次年本金生息），借款分三次等额归还，从明年的元旦开始，连续三年都是在元旦还款，则每次的还款额是元．（四舍五入，精确到整数）四、解答题15．已知集合{}{}222=|+2+40,R ,=|257<0A x x mx m m B x x x --≥∈--(1)若A B B ⋃=，求实数m 的取值范围；(2)若R B A ⊆ð，求实数m 的取值范围.16．在ABC V 中，内角A 、B 、C 所对的边分别是a 、b 、c，且cos sin a C C b c +=+(1)求角A ；(2)若2a =，4b c +=，求ABC V 的面积.17．已知数列{}n a 和{}n b 满足21n n a b n +=-，数列{}{},n n a b 的前n 项和分别记作,n n A B ，且n n A B n -=.(1)求n A 和n B ；(2)设122n bn nC A =+，求数列{}n c 的前n 项和n S .18．已知函数()ln f x a x x =-.（1）若0a ≥，讨论函数()f x 的零点个数；（2）设1x ，2x 是函数()f x 的两个零点，证明：122e ln 0x x a +->.19．定义有序实数对(a ,b )的“跟随函数”为()()sin cos R f x a x b x x =+∈．(1)记有序数对(1,－1)的“跟随函数”为f (x )，若()[]0,0,2πf x x =∈，求满足要求的所有x 的集合；(2)记有序数对(0,1)的“跟随函数”为f (x )，若函数()()[],0,2πg x f x x x =∈与直线y k =有且仅有四个不同的交点，求实数k 的取值范围；(3)已知3a =，若有序数对(a ,b )的“跟随函数”()y f x =在0x x =处取得最大值，当b 在区间变化时，求0tan 2x 的取值范围．。

北京市朝阳区2024-2025学年高三上学期期中检测数学试卷含答案

北京市朝阳区2024-2025学年高三上学期期中检测数学试卷含答案
x
【解析】
【分析】根据函数的奇偶性以及单调性，结合基本初等函数的性质，即可逐一判断.
【详解】对于 A，函数 y 2x 为指数函数，不具备奇偶性，故 A 错误；
对于 B，函数 y ln | x | 的定义域为{x | x 0}，
由于 f (x) ln | x | ln | x | f (x) 为偶函数，故 B 错误；
所以 A B x 1 x 2 .
故选：A.
2. 若函数 f (x) x 4 (x 0) 在 x a 处取得最小值，则 a （ ） x
A. 1
B. 2
C. 2
D. 4
【答案】C
【解析】
【分析】因为 x 0 ，所以用基本不等式求得最小值，并找到最小值点为 x 2 ，得出结果 a 2 . 【详解】∵ x 0 ，∴ 4 0 ，
对于 C，函数 y tan x ，由正切函数的性质可知 y tan x 为奇函数，
且在
π 2
kπ,
π 2
kπ
,
k
Z
单调递增，故
C
错误；
对于 D，函数 y x 2 的定义域为{x | x 0}， x
由
f
(x)
x
2 x
x
2 x
(x
2) x
f
(x)
，故函数
y
x
2 x
为奇函数，
因为
f (x) 1
然后得出 u 的值.
【详解】如图，棱 OA ， OB ， OC 两两垂直， 可以 O 为坐标原点， AO 为 x 轴， OB 为 y 轴， OC 为 z 轴，建立空间直角坐标系.
b2 c2 1
设 P a,b, c ，由题意可得： a2 c2 4 ，∴ a2 b2 c2 9 ，

海淀区2024-2025学年高三第一学期期中数学试题(详细解答)

海淀区2024-2025学年高三第一学期期中数学试题(详细解答)

北京市海淀区2024-2025学年高三上学期期中练习数学试题本试卷共6页，150分.考试时长120分钟.考生务必将答案答在答题纸上，在试卷上作答无效.考试结束后，将本试卷和答题纸一并交回.第一部分(选择题 共40分)一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.(1)已知集合A={x|x ≤ 0或x>1}，B={-2，0，1，2}，则A ∩B=( ) A.{-2,2} B.{-2,1,2} C.{-2,0,2} D.{-2,0,1,2} 【分析]利用交集的定义可求得集合A ∩B.【解] 因为集合A={x|x ≤0或x >1}，B={-2,0,1,2}，则A ∩B={-2,0,2},故选:C. 2.若复数z 满足i ·Z=1-i ，则Z=( ) A. 1 + i B. -1 + i C. 1 -i D. -1 -i 【分析]根据给定条件，利用复数乘法运算计算即得. [解]由i ·z=1-i ，得-i ²∙z=(1-i)·(-i)，所以z=-1-i.故选:D 3.若a<b<0，则下列不等式成立的是( ) A.a 2<b 2 B. a 2<ab C. ba >ab D.ba +ab ->2【分析]根据不等式的性质及基本不等式，逐项分析即可得解.【解]因为a<b<0，所以-a>-b>0，所以(−a)2>(−b)2，即a 2>b 2 ，故A 错误; 因为a<b<0，所以a 2> ab ，故B 错误;4. 已知 f(x) = sin xcos x ，则f'(π4) = ( ) A.1 B.2 C.-1 D.-2【分析]求出函数的导函数，计算得解. 【解]：因为f(x)= sin x cos x ,所以f'(π4) = 112=2.故选:B5. 下列不等式成立的是( )【分析]根据指数函数和对数函数的单调性判断各选项即可. 【解]因为函数y=log 0.3x 在(0,+∞)上单调递减，因为函数y=0.2x 在R 上单调递减，6. 若f(x)={x 2，x ≥a 2x +3,x <a在R 上为增函数，则a 的取值范围是( )A.[1,+∞)B.[3,+∞)C.[-1,3]D.(-∞,-1]U[3,+∞)【分析]根据分段函数的单调性列式运算得解.[解]因为f(x)是R 上单调递增函数所以{a ≥0a 2≥2a +3解得a≥3.所以实数a 的取值范围为[3,+∞),故选:B.画图像法：选B(7)已知向量a ⃗ = (x ，1)，b⃗⃗=(-1，y)，则下列等式中，有且仅有一组实数x ，y 使其成立的是 (A)a ⃗·b ⃗⃗=0 ( B) l a ⃗l+|b ⃗⃗| = 2 (C) |a ⃗| =|b ⃗⃗| (D) l a ⃗+b⃗⃗| = 2 解：分析A ：a ⃗·b ⃗⃗=0，-x+y=0.x ，y 有无数组解. 分析B ： l a ⃗l+|b ⃗⃗| = 2,a ⃗⃗⃗⃗·b⃗⃗=0，√x 2+1+√y 2+1=2,x=0,y=0, 有且仅有一组实数x ，y 使其成立的.故B 正确。

河南省焦作市博爱县第一中学2024-2025学年高三上学期11月期中考试数学试题(含答案)

河南省焦作市博爱县第一中学2024-2025学年高三上学期11月期中考试数学试题(含答案)

焦作市博爱一中2024—2025学年高三（上）期中考试数 学考生注意：1.答题前，考生务必用黑色签字笔将自己的姓名、准考证号、座位号在答题卡上填写清楚；2.每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，在试卷上作答无效；3.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知函数过定点M ，点M 在直线上且，则的最小值为（ ）A. B. C. D.2.设，，，则，，的大小关系为（ ）A. B. C. D.3.人脸识别就是利用计算机检测样本之间的相似度，余弦距离是检测相似度的常用方法.假设二维空间中有两个点为坐标原点，定义余弦相似度为，余弦距离为.已知点，若P ，Q 的余弦距离为（ ）A. B.C. D.4.若复数且，则满足的个数为（ ）A.0B.2C.1D.45.已知在中，.若与的内角平分线交于点，的外接圆半径为，则面积的最大值为（ ）A. B.6.已知点为椭圆上第一象限的一点，左、右焦点为的平分线与轴交于点，过点作直线的垂线，垂足为为坐标原点，若，则面积为（ ）B.C.D.3()1x f x a -=1mx ny +=,0m n >12m n+3+4+34128a =3log 2b =2log 3c =a b c a b c<<b a c<<b c a<<c a b<<()()1122,,,,A x y B x y O cos(,)A B =cos ,OA OB 〈〉1cos(,)A B -(sin ,cos ),(1,0)P Q ααcos 2=α15-1535-35()i ,z x y x y =+∈R 5i z -+=21x y --=z ABC V cos cos sin a B b A c C +=BAC ∠ABC ∠I ABC V 1ABI △1+11-1P 22:143x y C +=1212,,F F F PF ∠x M 1F PM ,H O 12OH =12F PF 327.假设甲袋中有3个白球和2个红球,乙袋中有2个白球和2个红球.现从甲袋中任取2个球放入乙袋,再从乙袋中任取2个球.已知从乙袋中取出的是2个白球,则从甲袋中取出的也是2个白球的概率为（ ）A.37150B.975C.1837D.128.已知数列满足，且，若函数，记，则数列的前9项和为（ ）A.0B. C.D.二、多项选择题：本题共３小题，每小题６分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，有选错的得0分，若只有2个正确选项，每选对1个得3分；若只有3个正确选项，每选对1个得2分.9.记实数，，，中的最大数为，最小数为.已知函数，，其中，，分别为内角，，的对边，且，则下列说法正确的是（ ）A.当时，的最小值为B.若的图象关于直线对称，则C.“”是“为等边三角形”的充要条件D.“”是“为等边三角形”的必要不充分条件10.已知函数，下列结论正确的是（ ）A.的最小正周期为B.若直线是图象的对称轴，则C.在上的值域为D.若，且，则11.如图，正方体的棱长为4，点E 、F 、G 分别在棱、、上，满足，，记平面与平面的交线为，则（ ）{}n b *211,n n n n b b b b n +++-=-∈N 5π2b =()2cos sin cos 2xg x x x =+()n n a gb ={}n a 92-12921x 2x L n x {}12max ,,,n x x x {}12min ,,,n x x x (){}min ,f x x x t =+max ,,min ,,a b c a b c k b c a b c a ⎧⎫⎧⎫=⋅⎨⎬⎨⎩⎭⎩⎭a b c ABC V A B C a b c ≤≤1t =-()f x 12()f x 12x =-1t =1k =ABC V 1k =ABC V ()sin 2cos f x x x =+()f x 2π0x x =()f x 0sin x =()f x []0,π⎡-⎣(],,0,2παβαβ≠∈()()2f f αβ==-()3cos 5αβ+=1111ABCD A B C D -11D A 11D C 1A A 11111114D E D F D A D C ==11(0)A GA Aλλ=>EFG 11A B CD lA.存在使得平面截正方体所得截面图形为四边形B.当时，三棱锥体积为C.当时，三棱锥的外接球表面积为D.当时，直线与平面所成的角的正弦值为三、填空题：本大题共3个小题，每小题5分，共15分.12.从，，，2，3，4，6，9中任取两个不同的数，分别记为，，记“”，则 .13.已知函数，在区间上的单调函数，其中是直线l 的倾斜角，则的所有可能取值区间为 .14.已知函数，若不等式仅有1个整数解，则实数的取值范围为 .四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.（13分）已知函数 f (x )=a ⋅3x +13x−1是定义域为 R 的偶函数.（1）求 a 的值；（2）若 g (x )=9x +9−x +mf (x )+m 2−1，求函数g (x ) 的最小值.16.（15分）在某地区进行高中学生每周户外运动调查，随机调查了名高中学生户外运动的时间（单位：小时），得到如下样本数据的频率分布直方图.(0,1)λ∈EFG 34λ=B EFG -3234λ=1A EFG -34π12λ=l ABCD 141312m n A =log 0m n <()P A =()21tan 32f x x x θ=++2πθ⎛⎫≠ ⎪⎝⎭⎡⎤⎢⎥⎣⎦θθ43()()ln f x a x x x x =--()0f x <a 1000(1)求的值，估计该地区高中学生每周户外运动的平均时间；（同一组数据用该区间的中点值作代表）(2)为进一步了解这名高中学生户外运动的时间分配，在，两组内的学生中，采用分层抽样的方法抽取了人，现从这人中随机抽取人进行访谈，记在内的人数为，求的分布列和期望；(3)以频率估计概率，从该地区的高中学生中随机抽取名学生，用“”表示这名学生中恰有名学生户外运动时间在内的概率，当最大时，求的值.17.（15分）记的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知.(1)求A 取值的范围；(2)若，求周长的最大值；(3)若，求的面积.a 1000(]14,16(]16,18553(]14,16X X 8()8P k 8k (]8,10()8P k k ABC V ()()sin sin sin sin C A B B C A -=-2a =ABC V 2,2b A B ==ABC V18.（17分）如图，正方形的边长为2，，分别为，的中点.在五棱锥中，为棱上一点，平面与棱，分别交于点，.(1)求证：；(2)若底面，且，直线与平面所成角为.（i ）确定点的位置，并说明理由；（ii ）求线段的长.19.（17分）已知数列的前n 项和.若，且数列满足.(1)求证：数列是等差数列；(2)求证：数列的前n 项和；(3)若对一切恒成立，求实数的取值范围.焦作市博爱一中2024—2025学年高三（上）期中考试数学 参考答案一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个AMDE B C AM MD P ABCDE -F PE ABF PD PC G H AB FG ∥PA ⊥ABCDE PA AE =BC ABF π6F PH {}n a ()()113n n S a n *=-∈N 1423log n n b a +={}n c n n n c a b =⋅{}n b {}n c 23n T <()2114n c t t ≤+-n *∈N t选项中，只有一项是符合题目要求的.1.【答案】A2.【答案】C3.【答案】D4.【答案】A5.【答案】C6.【答案】C7.【答案】C8.【答案】D二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，有选错的得0分，若只有2个正确选项，每选对1个得3分；若只有3个正确选项，每选对1个得2分.9.【答案】BD 10.【答案】ACD 11.【答案】BD三、填空题：本大题共3个小题，每小题5分，共15分.12.【答案】13.【答案】，14.【答案】四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.（13分）（1）由偶函数定义知 f (−x )=f (x ) ，即 a ⋅3−x +13−x−1=a ⋅3−x +3⋅3x=a ⋅3x +3⋅3−x ，所以 (a−3)(3x −3−x )=0，对 ∀x ∈R 成立，所以a =3.（2）由题意知 g (x )=9x +9−x +mf (x )+m 2−1=32x +3−2x +m (3⋅3x+13x−1)+m 2−1，令 u =3x +3−x ,u⩾2，所以 u 2=(3x +3−x )2=32x +3−2x +2，所以 32x +3−2x =u 2−2，所以 y =g (x )=u 2−2+3mu +m 2−1=u 2+3mu +m 2−3,u⩾2.当 −3m 2⩽2 ，即 m⩾−43时，y =u 2+3mu +m 2−3 在 [2,+∞) 上单调递增，所以 y min =22+3m ×2+m 2−3=m 2+6m +1 ，即 g (x )min =m 2+6m +1；15283ππ,π[46⎡⎫⋃⎪⎢⎣⎭π2ln 3ln 2[,184当 −3m 2>2 ，即 m <−43时，y =u 2+3mu +m 2−3 在 (2,−3m 2) 上单调递减，在(−3m 2,+∞) 上单调递增，所以 g (x )min =−54m 2−3 .综上， g (x )min ={−54m 2−3,m <−43,m 2+6m +1,m⩾−43.16.（15分）（1）由已知，解得，所以平均数为.（2）这名高中学生户外运动的时间分配，在，两组内的学生分别有人，和人；所以根据分层抽样可知人中在的人数为人，在内的人数为人，所以随机变量的可能取值有，，所以，，则分布列为期望；（3）由频率分布直方图可知运动时间在内的频率为，则，若为最大值，则，即，即，解得，又，且，则.17.（15分）【答案】(1)；(2)6；(3).()20.020.030.050.050.150.050.040.011a ++++++++=0.1a =10.0430.0650.170.190.3⨯+⨯+⨯+⨯+⨯110.2130.1150.081706290.1.+++⨯=⨯+⨯⨯1000(]14,16(]16,1810000.0880⨯=10000.0220⨯=5(]14,1680548020⨯=+(]16,18541-=X 23()2435C 32C 5P X ===()3435C 23C 5P X ===()321223555E X =⨯+⨯=(]8,1030.1520.310⨯==()888883337C 1C 10101010kkkkk k P k --⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⋅-=⋅⋅ ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭()8P k ()()()()888811P k P k P k P k ⎧≥+⎪⎨≥-⎪⎩8171888191883737C C 101010103737C C 10101010k k k kk k k k k kk k -+-+----⎧⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⋅⋅≥⋅⋅⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎨⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪⋅⋅≥⋅⋅ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎩1713810110131710910k k k k ⎧⋅≥⋅⎪⎪-+⎨⎪⋅≥⋅⎪-⎩ 1.7 2.7k ≤≤N k ∈08k ≤≤2k =π(0,]3A ∈218.（1）在正方形中，，又平面平面，所以平面，又平面，平面平面，则；（2）（i ）当为中点时，有直线与平面所成角为，证明如下：由平面，可得建立空间直角坐标系，如图所示：则，又为中点，则，设平面的一个法向量为n =(x,y,z )，则有，即，令，则，则平面的一个法向量为，设直线与平面所成角为，则，故当为中点时，直线与平面所成角的大小为.（ii ）设点的坐标为，因为点在棱上，所以可设，即，所以，因为是平面的法向量，所以，即，解得，故，则，所以.19.（17分）（1）证明：由题意知，当时，，所以.当时，，所以，AMDE //AB DE AB ⊄,PDE DE ⊂PDE //AB PDE AB ⊂ABFG ABFG ⋂PDE FG =AB FG ∥F PE BC ABF π6PA ⊥ABCDE ,,PA AB PA AE ⊥⊥A xyz -()()()()0,0,0,1,0,0,2,1,0,0,0,2A B C P F PE ()()()()0,1,1,1,1,0,1,0,0,0,1,1F BC AB AF ===ABF 00n AB n AF ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ 00x y z =⎧⎨+=⎩1z =1y =-ABF ()0,1,1n =-BC ABF α||1sin |cos ,|2||||n BC n BC n BC α⋅=<>==F PE BC ABF π6H (),,u v w H PC ()01PH PC λλ=<<()(),,22,1,2u v w λ-=-2,,22u v w λλλ===-()0,1,1n =-ABFGH 0n AH ⋅=()()0,1,12,,220λλλ-⋅-=23λ=422,,333H ⎛⎫⎪⎝⎭424,,333PH ⎛⎫=- ⎪⎝⎭2PH ==1133n n S a =-2n ≥111133n n n n n a S S a a --=-=-114n n a a -=1n =1111133S a a =-=114a =所以数列是以为首项，为公比的等比数列，所以.因为，所以，所以，令，可得，所以数列是以1为首项，3为公差的等差数列.（2）证明：由（1）知，所以，所以，两式相减，可得，所以，所以.（3）若对一切恒成立，只需要的最大值小于或等于.因为，所以，所以数列的最大项为和，且.所以，即，解得或，即实数的取值范围是.{}n a 1414()14nn a n *⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭N 1423log n n b a +=114413log 23log 2324nn n b a n ⎛⎫=-=-=- ⎪⎝⎭11b =()11n b b n d =+-3d ={}n b ()1324nn n n c a b n ⎛⎫=⋅=⨯- ⎪⎝⎭()()211211111435324444n nn n T c c c n n -⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++=⨯+⨯++⨯-+⨯- ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭()()2311111114353244444n n n T n n +⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯+⨯++⨯-+⨯- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭()231311111133332444444nn n T n +⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯+⨯+⨯++⨯-⨯- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭()21111114411113233214424414n n n n n n -++⎡⎤⎛⎫⎛⎫-⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭-⎢⎥⎛⎫⎣⎦=+⨯-⨯-=-- ⎪⎝⎭-2321334nn n T +⎛⎫=-⨯ ⎪⎝⎭23n T <()2114n c t t ≤+-n *∈N n c ()2114t t +-()()111119931320444n nn n n nc c n n +++-⎛⎫⎛⎫-=+⨯--⨯=≤ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭1234c c c c =>>> {}n c 1c 2c 1214c c ==()211144t t ≤+-220t t +-≥1t ≥2t ≤-t (][),21,-∞-+∞。

河北省沧州市沧县中学2024-2025学年高三上学期11月期中考试数学试题(含答案)

河北省沧州市沧县中学2024-2025学年高三上学期11月期中考试数学试题(含答案)

2024—2025学年第一学期11月高三期中考试数学考试说明：1．本试卷共150分．考试时间120分钟．2．请将各题答案填在答题卡上．一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．函数的定义域为（ ）A ．B ．C ．D ．2．已知平面向量，且∥，则（ ）A ．B ．C．D ．13．已知，若，则（ ）A ．B ．C ．D ．4．已知，则（ ）A ．B ．C ．D ．5．已知函数（其中，，）的部分图象如图所示，有以下结论：①②函数为偶函数③④在上单调递增所有正确结论的序号是（ ）A ．①②④B ．①②③C ．②③④D ．①③④6．若函数在（1，3）上不单调，则实数的取值范围是（ ）A ．B ．C ．D ．1()ln(22)1f x x x =++-(1,)+∞(0,1)(1,)-+∞ (,1)-∞(1,1)(1,)-+∞ (1,2),(1,1)a b λ=+()a b +a λ=12-1-123()2sin 2f x x x =-+()f m a -=()f m =4a-2a -2a +a-tan 3α=3cos 2sin 2cos 3sin αααα-=+511511-311311-()cos()f x A x B ωϕ=++0A >0ω>πϕ<23π()(6f x f ≤π(3f x +()()26f x f x π+-=()f x 4π13π[,]363()2ln f x x t x x=--7)(7,)+∞[7,)+∞7]7．将函数的图象向右平移个单位长度后得到函数的图象，且函数是奇函数，则的最小值是（ ）A ．B ．C ．D ．18．在锐角△中，、、分别是角、、所对的边，已知且，则的取值范围为（ ）A ．B ．C ．D ．二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。

全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9．已知下列函数中，最小正周期为的是（）A ．B ． C ．D ．10．在△中，，为线段上一点，且有，则下列命题正确的是（ ）A ．B ．C ．的最大值为D ．的最小值为911．过点（2，）可以作两条直线与曲线相切，则实数的可能取值为（ ）A ．B ．C ．D ．三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12．已知复数（为虚数单位），若是纯虚数，则实数________．13．已知平面向量，，则在上的投影向量为________（结果用坐标表示）14．在等边三角形的三边上各取一点，满足，，°，则三角形的面积的最大值是________．π()sin()(0)6f x x ωω=+>π3()g x ()g x ω132312ABC a b c A B C 23cos cos b c C A-=3a =b c +(3,6)(3,6]6]6)πcos 2y x=π2sin(213y x =++sin 2y x =tan()4y x π=-ABC 14CD CA = P BD ,,(0,)CP CA CB λμλμ=+∈+∞41λμ+=41λμ+=λμ1911λμ+a xy xe =a e 26e -21e -2e 122,3z a i z i =+=-12z z a =(2,1)a = (1,3)b =-b a ABC ,,M N P MN =4MP =30PMN ∠=ABC四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（本题满分13分）已知向量，满足．（1）求向量与夹角的余弦值；（2）求的值．16．（本题满分15分）（1）已知都是锐角，若，求的值；（2）已知，求的值．17．（本题满分15分）设函数．（1）当时，求函数的单调区间；（2）若函数有两个极值点，且，求的最小值．18．（本题满分17分）△的内角的对边分别为，已知．（1）求角的大小；（2）若是△边上的中线，且，求△面积的最大值．19．（本题满分17分）已知为坐标原点，对于函数，称向量为函数的相伴特征向量，同时称函数为向量的相伴函数．（1）记向量的相伴函数为，若当且时，求的值；（2）设，试求函数的相伴特征向量，并求出与同向的单位向量；（3）已知为函数的相伴特征向量，若在△中，，，若点为该△的外心，求的最大值．2024-2025学年第一学期11月高三期中考试数学答案1．D 2．D 3．A4．D5．B6．A7．C8．C9．ABD10．AD11．ABDa b 2,3,(2)a b a b b ==-⊥a b2a b -,αβ38sin ,cos()517ααβ=+=sin β1sin cos ,(0,π)3ααα-=∈πsin(26α-21()ln 1()2f x x x ax a R =+-+∈52a =()f x ()f x 12,x x 11(0,]2x ∈12()()f x f x -ABC ,,A B C ,,a b c cos sin 2A Cc b C +=B BE ABC AC 3BE =ABC O ()sin cos f x a x b x =+(,)OM a b =()f x ()f x OM(3,ON =()f x ()3f x =ππ(,33x ∈-x ππ())cos()()36g x x x x R =++-∈()g x OM OM(0,1)OA = ()h x ABC 2AB =πcos ()6C h =G ABC GC AB CA CB ⋅+⋅12． 13． 1415．【解析】（1）设与的夹角为，因为，所以，又，所以，所以所以向量与夹角的余弦值为；（2）由，所以．16．【解析】（1）∵已知、都是锐角，且，∴．∵，∴，∴．（2）因为，所以，即，所以，又，所以，故，故，故，所以，所以，，故17．【解析】（1），则定义域为（0，），23-21,55⎛⎫⎪⎝⎭a b θ(2)a b b -⊥2(2)20a b b a b b -⋅=⋅-=2,3a b == 223cos 90θ⨯⨯⨯-=3cos 4θ=a b 342223244442349224a b a a b b -=-⋅+=-⨯⨯⨯+⨯= 2a b -=αβ3sin 5α=4cos ,0π5ααβ==<+<8cos()17αβ+=15sin()17αβ+==1548336sin sin[()]sin()cos cos()sin 17517585βαβααβααβα=+-=+-+=⨯-⨯=1sin cos 3αα-=21(sin cos )9αα-=112sin cos 9αα-=4sin cos 9αα=(0,π)α∈sin 0α>cos 0α>π0,2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭22217(sin cos )sin cos 2sin cos 9αααααα+=++=sin cos αα+=8sin 22sin cos 9ααα==22cos 2cos sin (sin cos )(sin cos )ααααααα=-=-+-=81sin(2sin 2cos cos 2sin 66692πππααα-=-=+⨯=21()ln 12f x x x ax =+-+()f x +∞211()x ax f x x a x x-+'=+-=当时，，令，解得或，令，解得，所以的单调递增区间为，单调递减区间为（2）∵定义域为，由（1）可知当时有两个极值点等价于在上有两个不等实根，∴，∴ ∴设，则，∴在上单调递减，∴，即，∴的最小值为18．【解析】（1）在△中，由，根据正弦定理可得因为为△的内角可知，，且，所以，即因为为△的内角，，故；所以，即（2）由题知是边的中线，所以．两边平方得：52a =2511(2)(21)22()x x x x f x x x -+--'==()0f x '>2x >102x <<()0f x '<122x <<()0f x '>1(0,),(2,)2+∞1(,2)2()f x 211(0,),()x ax f x x a x x-+'+∞=+-=2a >()f x 12,x x 210x ax -+=(0,)+∞12,x x 1212,1x x a x x +==211x x =221211122211()()ln 1ln 122f x f x x x ax x x ax -=+-+--+-22211211112221111111111ln ln ()2ln 2222x x a x x x x x x x x x ==--+-=+-+-21121112ln 22x x x =-+22111()2ln 0222g x x x x x ⎛⎫=-+<≤ ⎪⎝⎭24223332121(1)()0x x x g x x x x x x---'=--==-≤()g x 1(0,]21115()2ln 222ln 2288g x g ⎛⎫≥=--+=-+ ⎪⎝⎭1215()()2ln 28f x f x -≥-+12()()f x f x -152ln 28-+ABC cos sin 2A Cc b C +=sin cos sin sin 2A CC B C+=C ABC sin 0C ≠A B C π++=πsin coscos sin 2222A C B B B +⎛⎫==-= ⎪⎝⎭2sin cos sin222B B B =B ABC sin02B ≠1cos 22B =π23B =2π3B =BE AC 2BE BA BC =+222(2)2cos BE c a ac B =++ 2236c a ac=+-又，故，当且仅当时等号成立．所以面积的最大值为19．【解析】（1）根据题意知，向量的相伴函数为当时，，又，则，所以，故（2）因为，故函数的相伴特征向量，则与同向的单位向量为（3）由题意得，，在△中，，，因此，设△外接圆半径为，根据正弦定理，，故所以，代入可得，所以当时，取得最大值14．222c a ac +≥2236c a ac ac =+-≥6a c ==11sin 3622ABC S ac B =≤⨯=V ABC (3,ON =π()3sin 6f x x x x =+=+π()36f x x ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭πsin 6x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭ππ,33x ⎛⎫∈-⎪⎝⎭πππ,662x ⎛⎫+∈- ⎪⎝⎭ππ63x +=π6x =ππππππ()cos cos cos sin sin cos cos sin sin363366g x x x x x x x ⎛⎫⎛⎫⎫=++-=-++ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎭sin x x =-+()g x (1,OM =-(1,OM =- 11(1,,22OM OM ⎛=-=- ⎝()cos h x x =ABC 2AB =ππcos (cos 66C h ===π6C =ABC R 24sin ABR C==2R =2GA GB GC ===()()()GC AB CA CB GC GB GA GA GC GB GC ⋅+⋅=⋅-+-⋅- =2GC GB GC GA GA GB GA GC GC GB GC⋅-⋅+⋅-⋅-⋅+ 228cos 4cos 4GC GA GA GB GC AGC AGB =-⋅+⋅+=-∠+∠+ πππ1,2,cos cos 6332C AGB C AGB =∠==∠==68cos GC AB CA CB AGC ⋅+⋅=-∠ πAGC ∠=GC AB CA CB ⋅+⋅。

四川省成都市2024-2025学年高三上学期11月期中数学试题(含答案)

四川省成都市2024-2025学年高三上学期11月期中数学试题(含答案)

成都2022级半期考试数学试卷注意事项：1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分；2.本堂考试时间120分钟，满分150分；3.答题前考生务必先将自己的姓名、学号填写在答题卡上，并用2B 铅笔填涂；4.考试结束后将答题卡交回.第Ⅰ卷（选择题部分，共58分）一、单项选择题：本题共8个小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，，则（ ）A. B. C. D.2.若函数是周期为4的奇函数，且，则（ ）A.2B. C.3D.3.已知，，则为第几象限角（ ）A.第一象限角B.第二象限角C.第三象限角D.第四象限角4.若向量，，且，，三点共线，则（ ）A. B. C. D.5.若，则（ ）A.3 B. C. D.66.为了得到函数的图象，只需将函数的图象（ ）A.向左平移个单位，再将所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变）B.向左平移个单位，再将所有点的横坐标缩短到原来的（纵坐标不变）C.所有点的横坐标缩短到原来的（纵坐标不变），再将图象向左平移个单位D.所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再将图象向左平移个单位7.已知关于的不等式在上有解，则实数的取值范围是（ ）{}2log 1A x x =≤{}04B x x =<≤A B = {}04x x <≤{}4x x ≤{}2x x ≤{}02x x <≤()f x ()13f =()3f =2-3-()sin π0θ-<()cos π0θ+>θ()2,5AB = (),1AC m m =+A B C m =23-2332-32tan 3θ=-sin cos sin cos 2θθθθ+=103-56-()sin 2cos 2f x x x =+()g x x =π4π41212π4π8x 2230ax x a -+<(]0,2aA. B. C. D.8.设，，且，则下列结论正确的个数为（ ）① ② ③ ④A.1B.2C.3D.4二、多项选择题：本题共3个小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求；全部选对的得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分.9.下列说法不正确的是（ ）A.钝角三角形的内角是第一象限角或第二象限角B.若向量，满足且，同向，则C.若，，三点满足，则，，三点共线D.将钟表的分针拨快10分钟，则分针转过的角的弧度数为10.函数（，）的部分图象如图所示，则（ ）A. B.C.的图象关于点对称 D.在区间上单调递增11.已知函数的定义域为，为奇函数，为偶函数，且时，单调递增，则下列结论正确的为（ ）A.是偶函数 B.的图象关于点中心对称C. D.第Ⅱ卷（非选择题部分，共92分）三、填空题：本题共3个小题，每小题5分，共15分.12.已知角的终边经过点，则______.4,7⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭⎛-∞ ⎝(],0-∞(),0-∞0a >0b >1a b +=22log log 2a b +≥-22a b +≥ln 0a b +<1sin sin 4a b <a b a b > a b a b>P A B 3OP OA OB =+P A B π3()()sin f x x ωϕ=+0ω>π2ϕ<2ω=π6ϕ=()f x π,012⎛⎫⎪⎝⎭()f x 5ππ,4⎛⎫⎪⎝⎭()f x R ()1f x +()2f x +[]0,1x ∈()f x ()f x ()f x ()1,0-()20240f =51044f f ⎛⎫⎛⎫+-<⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭α()3,4P -sin α=13.设函数，则满足的的取值范围是______.14.若，则的最大值为______.四、解答题：本题共5个小题，共70分，其中15题13分，16、17题每题15分，18、19题每题17分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.（本小题13分）已知数列为等差数列，，前项和为，数列为等比数列，，公比为2，且，.（1）求数列与的通项公式；（2）设数列满足，求数列的前项和.16.（本小题15分）在学校食堂就餐成为了很多学生的就餐选择.学校为了解学生食堂就餐情况，在校内随机抽取了100名学生，其中男生和女生人数之比为1:1，现将一周内在食堂就餐超过8次的学生认定为“喜欢食堂就餐”，不超过8次的学生认定为“不喜欢食堂就餐”.“喜欢食堂就餐”的人数比“不喜欢食堂就餐”人数多20人，“不喜欢食堂就餐”的男生只有10人.男生女生合计喜欢食堂就餐不喜欢食堂就餐10合计100（1）将上面的列联表补充完整，并依据小概率值的独立性检验，分析学生喜欢食堂就餐是否与性别有关；（2）用频率估计概率，从该校学生中随机抽取3名，记其中“喜欢食堂就餐”的人数为.事件“”的概率为，求随机变量的期望和方差.参考公式：，其中.0.10.050.010.0050.0012.7063.8416.6357.87910.82817.（本小题15分）已知锐角，内角，，所对的边分别为，，，面积为，.（1）求角；（2）若，求的取值范围.18.（本小题17分）已知抛物线：（）经过点，直线：与的交()11,02,0x x x f x x -+≤⎧=⎨>⎩112f x ⎛⎫-> ⎪⎝⎭x ()()sin cos 2sin αβααβ+=-()tan αβ+{}n a 11a =n n S {}n b 11b >2354b S =3216b S +={}n a {}n b {}n c n n n c a b =+{}n c n n T 0.001α=X X k =()P X k =X ()()()()()22n ad bc a b c d a c b d χ-=++++n a b c d =+++αx αABC △A B C a b c S πsin cos 6b A a B ⎛⎫=- ⎪⎝⎭B 2a =S E 22y px =0p >()1,2P l y kx m =+E点为，，且直线与倾斜角互补.（1）求抛物线在点处的切线方程；（2）求的值；（3）若，求面积的最大值.19.（本小题17分）设函数（），.（1）当时，判断在上的单调性；（2）当时，证明：；（3）设函数，若函数在上存在唯一极值点，求实数的取值范围.A B PA PB ()1,2P k 3m <PAB △()()cos sin f x a x x x =-a ∈R ()e x g x =1a =()f x ()0,2π0x >()2112g x x x >++()()()2112h x g x f x x x =----()h x ()0,πa成都2022级半期考试数学参考答案及评分标准一、单选题：1. A2. D3. C4. B5. C6. B7. B8.C二、多选题：9. BCD 10. ACD 11. ABD三、填空题：12.13.四、解答题15.（1）设等差数列的公差为，由题知，解得，，∴，.（2）∵，∴.16.（1）列联表见图，男生女生合计喜欢食堂就餐402060不喜欢食堂就餐103040合计5050100零假设：假设食堂就餐与性别无关，由列联表可得：，根据小概率的独立性检验推断不成立，即可以得到学生喜欢食堂就餐与性别有关，此推断犯错误的概率不超过0.001（2）由题意可知，抽取的3名学生，喜欢饭堂就餐的学生人数服从二项分布，453,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭{}n a d ()11233544216b d b d ⎧+=⎨++=⎩13b =2d =()11221n a n n =+-⨯=-132n n b -=⋅()12132n n n n c a b n -=+=-+⋅()()2112132131222n n n T c c c n -⎡⎤=++⋅⋅⋅+=++⋅⋅⋅+-++++⋅⋅⋅+⎣⎦()()()21121213321212nn n n n ⨯-⎡⎤+-⎣⎦=+⨯=+--0H 0H ()221004030102016.66710.82850506040χ⨯-⨯=≈>⨯⨯⨯0.001α=0H X且喜欢饭堂就餐的频率为，则，故其期望，方差.17.（1）因为，由正弦定理可得，，且，且故，所以，.（2）由正弦定理可得，，且，则，由（1）知，则，且是锐角三角形，即，，所以，即，，..18.（1）由题意可知，，所以，所以抛物线的方程为；（），，则，则切线方程为.（2）如图：设，，将直线的方程代入，得，所以，，因为直线与倾斜角互补，所以600.6100=()3,0.6X B~() 1.8E X np ==()()10.72D X np p =-=πsin cos 6b A a B ⎛⎫=-⎪⎝⎭1sin sin sin sin 2B A A B B ⎫=+⎪⎪⎭1sin 0sin 2A B B ≠=cos 0B ≠tan B =π02B <<π3B =sin sin sin a b c A B C ==2a =2sin sin Cc A=π3B =2π3A C +=ABC △π02C <<2ππ032A <-<π2π63A <<ππ62A <<π113sin 22S ac B ⎫⎛⎫⎪⎪====⎪ ⎪⎝⎭ππ62A <<S <<42p =2p =E 24y x =y =0x >y '=11x k y ='==1y x =+()11,A x y ()22,B x y l 24y x =()222240k x km x m +-+=12242km x x k -+=2122m x x k=PA PB，即，所以，即，所以.（3）由（1）可知，所以，，则因为，所以，即，又点到直线的距离为所以因为，所以，即时，等号成立，所以19.（1）当时，，则，当时，；当时，，所以在上单调递减，在上单调递增.（2）证明：令（），则，令，则，21212121222201111PA PB y y kx m kx m k k x x x x --+-+-+=+=+=----()()()()122121211222201111x x k k m k k m x x x x ⎛⎫+-++-+=++-=⎪----⎝⎭()()()242222022km k k k m k m k m --++-=+-++2422442022km k k k k m k m --++==++++1k =-()22240x m x m -++=1242x x m +=+212x x m =AB ==()222440m m ∆=+->1m >-13m -<<P AB d 12S =⨯()()()()()213133222m m m m m -+=--+3133222562327m m m -+-++⎛⎫≤= ⎪⎝⎭S ≤322m m -=+13m =PAB △1a =()cos sin f x x x x =-()cos sin cos sin f x x x x x x x =--=-'()0,πx ∈()0f x '<()π,2πx ∈()0f x '>()f x ()0,π()π,2π()()22111e 122x G x g x x x x x ⎛⎫=-++=---⎪⎝⎭0x >()e 1x G x x =--'()e 1x k x x =--()e 1x k x '=-当时，，所以在上单调递增，即在上单调递增；所以，所以在上单调递增，所以，所以不等式成立.（3）由题可知：，则，令且，所以函数在上存在唯一极值点等价于在上存在唯一变号零点，又因为且，令，则且①当时，，（ⅰ）当时，在上单调递减，所以在上单调递增.又因为，，由零点存在性定理知：存在唯一，使得，所以当时，；当时，，（ⅱ）当时，，所以，所以由（ⅰ）（ⅱ）知：在上单调递减，在上单调递增，即在上单调递减，在上单调递增，所以当时，，又因为，0x >()0k x '>()k x ()0,+∞()G x '()0,+∞()()00G x G '>='()G x ()0,+∞()()00G x G >=()2112g x x x >++()()21e 1cos sin 2xh x x x a x x x =-----()e 1sin x h x x ax x =--+'()e 1sin x m x x ax x =--+()00m =()h x ()0,π()m x ()0,π()()e 1sin cos x m x a x x x =-++'()00m '=()()()e 1sin cos x n x m x a x x x =-+'=+()()e 2cos sin x n x a x x x =+-'()012n a '=+12a <-()0120n a =+<'π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭2cos sin y x x x =-π0,2⎛⎫⎪⎝⎭()()e 2cos sin x n x a x x x =+-'π0,2⎛⎫⎪⎝⎭π2ππe 022n a ⎛⎫=-> ⎪⎝⎭'()0120n a =+<'0π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭()00n x '=()00,x x ∈()0n x '<0π,2x x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭()0n x '>π,π2x ⎛⎫∈⎪⎝⎭2cos sin 0y x x x =-<()()e 2cos sin 0x n x a x x x '=+->()n x ()00,x ()0,πx ()m x '()00,x ()0,πx ()00,x x ∈()()00m x m '<='()ππe 1π0m a =-->'所以由零点存在性定理知：存在唯一，使得，所以当时，；当时，所以在上单调递减，上单调递增，所以当时，，又因为，由（2）知：，所以由零点存在性定理知：存在唯一，使得，当时，；当时，，即为在上唯一变号零点，所以符合题意；②当时，由时，得：，令且，则且，令，又因为，则在上单调递增，即在上单调递增，所以，所以在上单调递增，所以，所以当时，，即在上无零点，所以不符合题意.综上：，即实数的取值范围为.()10,πx x ∈()10m x '=()10,x x ∈()0m x '<()1,πx x ∈()0m x '>()m x ()10,x ()1,πx ()10,x x ∈()()00m x m <=()ππe π1m =--()π0m >()21,πx x ∈()20m x =()20,x x ∈()0m x <()2,πx x ∈()0m x >2x ()m x ()0,π12a <-12a ≥-()0,πx ∈sin 0y x x =>()1e 1sin e 1sin 2x x m x x ax x x x x =--+≥---()1e 1sin 2xM x x x x =---()00M =()()1e 1sin cos 2xM x x x x =--+'()00M '=()()()1e 1sin cos 2xx M x x x x ϕ=--+'=()01e cos sin e cos 0002x x x x x ϕ'=-+>-+=()x ϕ()0,π()M x '()0,π()()00M x M '>='()M x ()0,π()()00M x M >=()0,πx ∈()0m x >()m x ()0,π12a ≥-12a <-a 1,2⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭。

重庆市2024-2025学年高三上学期10月期中考试数学试题

重庆市2024-2025学年高三上学期10月期中考试数学试题

重庆市2024-2025学年高三上学期10月期中考试数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
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19．已知数列 {}n a ，记集合()(){}*1,,,1,,N .i i j T S i j S i j a a a i j i j +==++¼+£<Î∣
(1)若 n
a n = ，当 1,2,3,4n = ，即 14i j £<£ 时，写出集合 T ;
(2)若 2n
a n = ，是否存在 *,N i j Î ，使得 (),4096S i j = 若存在，求出一组符合条件
的 ,i j ; 若不存在，说明理由;
(3)若 2n a n = ，把集合 T 中的元素从小到大排列，得到的新数列为： 12,,,,m
b b b ¼¼ ，
若 4100m b £ ，求m 的最大值．
【点睛】关键点点睛：求解新定义运算有关的题目，关键是理解和运用新定义的概念以及元算，利用化归和转化的数学思想方法，将不熟悉的数学问题，转化成熟悉的问题进行求解.对于新型集合，首先要了解集合的特性，抽象特性和计算特性，抽象特性是将集合可近似的当作数列或者函数分析.计算特性，将复杂的关系通过找规律即可利用已学相关知识求解.。

2025届青岛市58中高三数学上学期期中考试卷附答案解析

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2025届青岛市58中高三数学上学期期中考试卷本卷满分150分，考试时间120分钟2024.11第Ⅰ卷一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合6,1P x y y x ⎧⎫=∈=∈⎨⎬+⎩⎭N N ，{}15Q x x =-≤<，则P Q = （）A.{}1,2,3 B.{}0,1,2 C.{}1,2,5 D.{}0,1,2,52.已知i22iz =-，则z ＝（）A.2B.1C.4D.23.已知1a b == ．若()2a b a +⊥ ，则cos ,a b =（）A.3-B.2-C.3D.24.已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且31S ma =，则“7m =”是“{}n a 的公比为2”的（）A.必要不充分条件B.充分不必要条件C 充要条件D.既不充分也不必要条件5.体积为（）A.B.C.D.6.已知函数()21,0,22,0,xx f x x x x ⎧⎛⎫≥⎪ ⎪=⎝⎭⎨⎪-+<⎩则()f x 图象上关于原点对称的点有（）A.1对B.2对C.3对D.4对7.已知函数()2211cos sin cos 222222x x x xf x =-+，函数的图象各点的横坐标缩小为原来的12（纵坐标不变），再向左平移π12个单位长度，得到函数=的图象.若方程()21g x m -=在7π0,12x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上有两个不同的解1x ，2x ，则12x x +的值为（）A.π6B.π3C.π2D.π8.若关于x 不等式()ln ax x b ≤+恒成立，则当1e ea ≤≤时，1e lnb a +-的最小值为（）A.11e+ B.e 1- C.1 D.e 二.多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分）9.已知3515a b ==，则下列结论正确的是（）A.lg lg a b> B.a b ab+= C.1122a b⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭D.49a b +>10.若数列满足11a =，21a =，12n n n a a a --=+（3n ≥，n +∈N ），则称数列为斐波那契数列，又称黄金分割数列，则下列结论成立的是（）A.713a = B.222n n n a a a -+=+（3n ≥，n +∈N ）C.135********a a a a a ++++= D.24620242025a a a a a ++++= 11.如图，在边长为4的正方体1111ABCD A B C D -中，E ，F 分别是棱11B C ，11C D 的中点，P 是正方形1111D C B A 内的动点，则下列结论正确的是（）A.若//DP 平面CEF ，则点P 的轨迹长度为B.若AP =，则点P 的轨迹长度为2πC.若P 是正方形1111D C B A 的中心，Q 在线段EF 上，则PQ CQ +的最小值为D.若P 是棱11A B 的中点，则三棱锥P CEF -的外接球的表面积是41π第Ⅱ卷三.填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）12.曲线32374y x x x =+++的所有切线中，斜率最小的切线的方程是_______.13.为测量某塔的高度，在塔旁的水平地面上共线的三点A ，B ，C 处测得其顶点P 的仰角分别为30°，60°，45°，且50AB BC ==米，则塔的高度OP =________米.14.已知121A A =，当2n ≥，*N n ∈时，1n A +是线段1n n A A -的中点，点P 在所有的线段1n n A A +上，若1A P λ≤，则λ的最小值是________．四.解答题（本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）15.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且22n n S a +=.（1）求2a 及数列{}n a 的通项公式；（2）在n a 与1n a +之间插入n 个数，使得这()2+n 个数依次组成公差为n d 的等差数列，求数列1n d ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n T .16.设ABC V 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且有π2cos 3b A a c ⎛⎫-=+ ⎪⎝⎭，（1）求角B ：（2）若AC 边上的高34h =，求cos cos A C .17.如图1，在平行四边形ABCD 中，24AB BC ==，60ABC ∠=︒，E 为CD 的中点，将ADE V 沿AE 折起，连结BD ，CD ，且4BD =，如图2．（1）求证：图2中的平面ADE ⊥平面ABCE ；（2）在图2中，若点F 在棱BD 上，直线AF 与平面ABCE 所成的角的正弦值为3010，求点F 到平面DEC 的距离．18.已知函数()sin ln(1)f x x x ax =++-，且()y f x =与x 轴相切于坐标原点．（1）求实数a 的值及()f x 的最大值；（2）证明：当π,π6x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，1()22f x x +>；（3）判断关于x 的方程()0f x x +=实数根的个数，并证明．19.对于任意正整数n ，进行如下操作：若n 为偶数，则对n 不断地除以2，直到得到一个奇数，记这个奇数为n a ；若n 为奇数，则对31n +不断地除以2，直到得出一个奇数，记这个奇数为n a .若1n a =，则称正整数n 为“理想数”.（1）求20以内的质数“理想数”；（2）已知9m a m =-.求m 的值；（3）将所有“理想数”从小至大依次排列，逐一取倒数后得到数列{}n b ，记{}n b 的前n 项和为n S ，证明：()*7N 3n S n <∈.2025届青岛市58中高三数学上学期期中考试卷第Ⅰ卷一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合6,1P x y y x ⎧⎫=∈=∈⎨⎬+⎩⎭N N ，{}15Q x x =-≤<，则P Q = （）A.{}1,2,3 B.{}0,1,2 C.{}1,2,5 D.{}0,1,2,5【答案】B【解析】【分析】首先把集合P 用列举法表示出来，再运用交集的运算进行求解即可.【详解】若61y x =+，y ∈N ，则1x +是6的正因数，而6的正因数有1，2，3，6，所以{}6,0,1,2,51P x y y x ⎧⎫=∈=∈=⎨⎬+⎩⎭N N ，因为{}15Q x x =-≤<，所以{}0,1,2P Q ⋂=，故选：B.2.已知i22iz =-，则z ＝（）A.2B.1C.4D.2【答案】C 【解析】【分析】根据复数的运算法则计算出复数z ，再计算复数的模.【详解】由题意知()()()i 22i i 22i 22i 22i z +==--+2i 28-=11i 44=-+，所以4z ==，故选：C.3.已知1a b == ．若()2a b a +⊥ ，则cos ,a b =（）A.33-B.2-C.3D.32【答案】B 【解析】【分析】根据向量垂直可得32a b ⋅=- ，代入向量夹角公式即可得结果.【详解】因为()2a b a +⊥，且1a b ==，则()2220a a a a b b +⋅=+⋅= ，可得21322a b a ⋅=-=-r r r ，所以32cos ,2a b a b a b-⋅===-⋅r r r r r r .故选：B.4.已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且31S ma =，则“7m =”是“{}n a 的公比为2”的（）A.必要不充分条件B.充分不必要条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】【分析】利用等比数列的性质，分别判断充分性与必要性即可.【详解】设等比数列{}n a 的公比为q ，由()223123111111S a a a a a q a q a q qma =++=++=++=，得21q qm ++=，当7m =时，217q q ++=，解得2q =或3q =-，充分性不成立；当2q =时，217q q m ++==，必要性成立.所以“7m =”是“{}n a 的公比为2”的必要不充分条件.故选：A5.体积为（）A.B.C.D.【答案】B 【解析】【分析】根据正四棱柱及正四棱锥的体积公式可得正四棱锥的高与斜高的关系式，进而可得解.【详解】如图所示，正四棱柱为1111ABCD A B C D -，正四棱锥1O ABCD -，设底边边长AB a =，高1OO =则1O E ==，又正四棱柱的侧面积114S AB OO =⋅=，正四棱锥的侧面积21142S AB O E a =⋅⋅=，则a =，解得a =，所以正四棱锥体积21133ABCD V S OO a =⋅==，故选：B.6.已知函数()21,0,22,0,xx f x x x x ⎧⎛⎫≥⎪ ⎪=⎝⎭⎨⎪-+<⎩则()f x 图象上关于原点对称的点有（）A.1对B.2对C.3对D.4对【答案】C 【解析】【分析】作出()f x 的图象，再作出函数1,0,2xy x ⎛⎫=≥ ⎪⎝⎭关于原点对称的图象，进而数形结合判断即可.【详解】作出()f x 的图象，再作出函数1,0,2xy x ⎛⎫=≥ ⎪⎝⎭关于原点对称的图象如图所示.因为函数1,0,2xy x ⎛⎫=≥ ⎪⎝⎭关于原点对称的图象与22,0,y x x x =-+<图象有三个交点，故()f x 图象上关于原点对称的点有3对.故选：C7.已知函数()2211cos sin cos 222222x x x xf x =-+，函数的图象各点的横坐标缩小为原来的12（纵坐标不变），再向左平移π12个单位长度，得到函数=的图象.若方程()21g x m -=在7π0,12x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上有两个不同的解1x ，2x ，则12x x +的值为（）A.π6B.π3 C.π2D.π【答案】A 【解析】【分析】先化简()f x ，根据图象变换求出()g x ，将方程()21g x m -=转化为()12m g x +=，由函数()g x 图象的对称性求出答案.【详解】根据题意可得()1πcos sin sin 226f x x x x ⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，所以()πππsin 2sin 21263g x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=++=+ ⎪ ⎪⎢⎝⎭⎝⎭⎣⎦，7π012x ≤≤Q ，ππ3π2332x ∴≤+≤，所以()g x 在π0,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，在π7π,1212⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，()g x 关于π12x =对称，且()π062g g ⎛⎫==⎪⎝⎭，π112g ⎛⎫= ⎪⎝⎭，7π112g ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，方程()21g x m -=等价于()12m g x +=有两个不同的解12,x x ，12ππ2126x x ∴+=⨯=.故选：A.8.若关于x 不等式()ln ax x b ≤+恒成立，则当1e ea ≤≤时，1e lnb a +-的最小值为（）A.11e+ B.e 1- C.1D.e【答案】C 【解析】【分析】构建()()ln f x ax x b =--，分析可知()f x 的定义域为0,+∞，且()0f x ≤在0,+∞内恒成立，利用导数可得ln 1a b ≤+，整理可得1e ln ln b a a a +-≥-，构建()1ln ,e eg a a a a =-≤≤，利用导数求其最值即可.【详解】设()()ln f x ax x b =--，因为1e ea ≤≤，可知()f x 的定义域为0,+∞，所以()0f x ≤在0,+∞内恒成立，又因为()111xf x x x-=-='，令′>0，解得01x <<；令′<0，解得1x >；可知()f x 在0,1内单调递增，在1,+∞内单调递减，则()()1ln 10f x f a b ≤=--≤，可得ln 1a b ≤+，则1ln e e b a a +≥=，可得1e ln ln b a a a +-≥-，当且仅当ln 1a b =+时，等号成立，令()1ln ,e e g a a a a =-≤≤，则()111a g a a a'-=-=，令()0g a '>，解得1e a <≤；令()0g a '<，解得11ea <≤；可知()g a 在(]1,e 内单调递增，在1,1e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭内单调递减，则()()11g a g ≥=，即1e ln ln 1b a a a +-≥-≥，当且仅当1,1a b ==-时，等号成立，所以1e ln b a +-的最小值为1.故选：C.【点睛】方法点睛：两招破解不等式的恒成立问题（1）分离参数法第一步：将原不等式分离参数，转化为不含参数的函数的最值问题；第二步：利用导数求该函数的最值；第三步：根据要求得所求范围．（2）函数思想法第一步：将不等式转化为含待求参数的函数的最值问题；第二步：利用导数求该函数的极值；第三步：构建不等式求解．二.多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分）9.已知3515a b ==，则下列结论正确的是（）A.lg lg a b> B.a b ab+= C.1122a b⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭D.49a b +>【答案】ABD 【解析】【分析】根据指对互化与运算以及指数函数、对数函数单调性即可判断ABC ，利用基本不等式即可判断D.【详解】由题可得33log 15log 310a =>=>，55log 15log 510b =>=>，1515110log 3log 5a b∴<=<=，即110a b <<，所以0a b >>，对于A ，因为0a b >>，所以lg lg a b >，故A 正确；对于B ，15151511log 3log 5log 151a b+=+==Q，a b ab ∴+=，故B 正确；对于C ，因为0a b >>，所以1122ab⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故C 错误；对于D ，因为0a b >>，111a b+=，所以()11444559b a a b a b a b a b ⎛⎫+=++=++≥+ ⎪⎝⎭，当且仅当4b aa b=，即2a b =时等号成立，这与已知35a b =矛盾，所以49a b +>，故D 正确.故选：ABD.10.若数列满足11a =，21a =，12n n n a a a --=+（3n ≥，n +∈N ），则称数列为斐波那契数列，又称黄金分割数列，则下列结论成立的是（）A.713a = B.222n n n a a a -+=+（3n ≥，n +∈N ）C.135********a a a a a ++++= D.24620242025a a a a a ++++= 【答案】AC 【解析】【分析】利用斐波那契数列的定义结合递推关系一一判定选项即可.【详解】对于A ，由题可得32a =，43a =，55a =，68a =，713a =，故A 正确；对于B ，因为21112n n n n n n n n a a a a a a a a ++--=+=++=+，又12n n n a a a --=+，所以21213n n n n n a a a a a +---++=+，即223n n n a a a +-=+，故B 错误；对于C ，2024202320222023202120202023202132a a a a a a a a a a =+=++==++++L L 2023202131a a a a =++++L ，故C 正确；对于D ，2025202420232024202220212024202243a a a a a a a a a a =+=++=++++L 20242022421a a a a a =+++++L ，故D 错误.故选：AC.11.如图，在边长为4的正方体1111ABCD A B C D -中，E ，F 分别是棱11B C ，11C D 的中点，P 是正方形1111D C B A 内的动点，则下列结论正确的是（）A.若//DP 平面CEF ，则点P 的轨迹长度为B.若AP =，则点P 的轨迹长度为2πC.若P 是正方形1111D C B A 的中心，Q 在线段EF 上，则PQ CQ +的最小值为D.若P 是棱11A B 的中点，则三棱锥P CEF -的外接球的表面积是41π【答案】ACD【解析】【分析】作出相应图形，先证明平面//BDNM 平面CEF ，再结合给定条件确定动点轨迹，求出长度即可判断A ；建立空间直角坐标系，根据题意确定动点轨迹，求解长度即可判断B ，将平面CEF 翻折到与平面1111D C B A 共面，连接PC ，与EF 交于点Q ，此时PQ CQ +取到最小值，利用勾股定理求出,PQ CQ 即可判断C ，先找到球心，利用勾股定理得出半径，求出外接球的表面积即可判断D .【详解】如图，取11A D ，11A B 的中点为,N M ，连接,,,,MN DN BD BM NE ，11B D ，所以11//MN B D ，又E ，F 分别是棱11B C ，11C D 的中点，所以11//EF B D ，所以//MN EF ，MN ⊄平面CEF ，EF ⊂平面CEF ，//MN ∴平面CEF ，因为,N E 分别是棱11A D ，11B C 的中点，所以//NE CD ，且NE CD =，所以四边形CDNE 为平行四边形，所以//ND CE ，又ND ⊄平面CEF ，CE ⊂平面CEF ，//ND ∴平面CEF ，又MN ND N = ，,MN ND ⊂平面BDNM ，所以平面//BDNM 平面CEF ，点P 是正方形1111D C B A 内的动点，且//DP 平面CEF ，所以点P 的轨迹为线段MN ，由勾股定理得MN ==，故A 正确；如图，以A 为原点，以1,,AB AD AA 所在直线为x 轴，y 轴，z 轴，由题意得(0,0,0)A ，设(,,4)P x y ，AP ==，所以221x y +=，所以点P 的轨迹为1A 为圆心，半径为1的14个圆，所以点P 的轨迹长度为1π2π42⋅=.故B 错误；如图，将平面CEF 翻折到与平面1111D C B A 共面，连接PC ，与EF 交于点Q ，此时PQ CQ +取到最小值，CE CF ===2PE PF ==，所以点Q 为EF 的中点，所以PQ EQ ===所以CQ ===，即PQ CQ +的最小值为C 正确；如图，连接PF ，交11B D 于点1O ，连接PE ，若P 是棱11A B 的中点，则90FEP ∠= ，所以FP 是PEF !外接圆的一条直径，所以1O 是PEF !外接圆的圆心，过点1O 作平面ABCD 的垂线，则三棱锥P CEF -的外接球的球心O 一定在该垂线上，连接OP ，设1OO t =，则2222t R +=，连接OC ，12AC ==，所以()(2224t R -+=，所以()(222224t t +=-+，解得52=t ，所以222541244R =+=，所以三棱锥P CEF -的外接球的表面积为24π41πS R ==，故D 正确.故选：A CD .【点睛】方法点睛：三棱锥外接球的半径的求法：（1）先找两个面的外心；（2）过外心作所在平面的垂线，两垂线的交点即为球心；（3）构造直角三角形，利用勾股定理求出半径.有时无须确定球心的具体位置，即只用找一个面的外心，则球心一定在过该外心与所在平面的垂线上.第Ⅱ卷三.填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）12.曲线32374y x x x =+++的所有切线中，斜率最小的切线的方程是_______.【答案】430x y -+=.【解析】【分析】首先求函数的导数，再根据二次函数求最小值，即可求切线的斜率，以及代入切线方程，即可求解.【详解】由题意223673(1)4y xx x '=++=++，所以1x =-时，min4y '=，又1x =-时，1y =-，所以所求切线的方程为14(1)y x +=+，即430x y -+=．故答案为：430x y -+=．13.为测量某塔的高度，在塔旁的水平地面上共线的三点A ，B ，C 处测得其顶点P 的仰角分别为30°，60°，45°，且50AB BC ==米，则塔的高度OP =________米.【答案】【解析】【分析】设PO h =，在Rt POA △，Rt POB △，Rt POC △分别根据锐角三角函数定义求出,,OA OB OC ，最后利用余弦定理进行求解即可.【详解】设塔的高PO h =，在Rt POA △中，otan 30OP OA ==，同理可得3OB h =，OC h =，在OAC 中，πOBA OBC ∠+∠=，则cos cos OBA OBC ∠=-∠，22222222OB AB OA OB BC OC OB AB OB BC+-+-∴=-⋅⋅，22222211503503333h h h h +-+-=h =所以塔的高度为.故答案为：.14.已知121A A =，当2n ≥，*N n ∈时，1n A +是线段1n n A A -的中点，点P 在所有的线段1n n A A +上，若1A P λ≤，则λ的最小值是________．【答案】23【解析】【分析】根据中点坐标公式可得()*122n n n a a a n +++=∈N ，进而可得{}1n n a a +-为等比数列，即可利用累加法求解121132n n a -⎡⎤⎛⎫=--⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦,由极限即可求解.【详解】不妨设点()10,0A 、()21,0A ，设点()(),0n n A a n *∈N ，则数列满足10a =，21a =，()*122n n n a a a n +++=∈N ，所以，1212n nn n a a a a +++--=-，所以，数列{}1n n a a +-是首项为211a a -=，公比为12-的等比数列，所以，11111122n n n n a a --+⎛⎫⎛⎫-=⨯-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，当2n ≥时，()()()2121321110122n n n n a a a a a a a a --⎛⎫⎛⎫=+-+-++-=++-++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 1111212113212n n --⎛⎫-- ⎪⎡⎤⎛⎫⎝⎭==--⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦+，10a =也满足121132n n a -⎡⎤⎛⎫=--⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦，故对任意的n *∈N ，121132n n a -⎡⎤⎛⎫=--⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦.所以，11212lim 1323n n A P ∞-→+⎧⎫⎡⎤⎪⎪⎛⎫=--=⎢⎥⎨⎬ ⎪⎝⎭⎢⎥⎪⎪⎣⎦⎩⎭，故23λ≥故答案为：23.四.解答题（本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）15.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且22n n S a +=.（1）求2a 及数列{}n a 的通项公式；（2）在n a 与1n a +之间插入n 个数，使得这()2+n 个数依次组成公差为n d 的等差数列，求数列1n d ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n T .【答案】（1）24a =，2n n a =，*N n ∈（2）332n nn T +=-【解析】【分析】（1）先将1n =代入题干表达式计算出12a =，再将2n =代入题干表达式即可计算出2a 的值，当2n ≥时，由22n n S a +=，可得1122n n S a --+=，两式相减进一步推导即可发现数列{}n a 是以2为首项，2为公比的等比数列，从而计算出数列{}n a 的通项公式；（2）先根据第()1题的结果写出n a 与1n a +的表达式，再根据题意可得()11n n n a a n d +-=+，通过计算出n d 的表达式即可计算出数列1n d ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的通项公式，最后运用错位相减法即可计算出前n 项和n T ．【小问1详解】由题意，当1n =时，111222S a a +=+=，解得12a =，当2n =时，2222S a +=，即12222a a a ++=，解得24a =，当2n ≥时，由22n n S a +=，可得1122n n S a --+=，两式相减，可得122n n n a a a -=-，整理，得12n n a a -=，∴数列{}n a 是以2为首项，2为公比的等比数列，∴1222n n n a -=⋅=，*N n ∈.【小问2详解】由（1）可得，2n n a =，112n n a ++=，在n a 与1n a +之间插入n 个数，使得这()2+n 个数依次组成公差为n d 的等差数列，则有()11n n n a a n d +-=+，∴1211nn n n a a d n n +-==++，∴112n nn d +=，∴1231211123412222n n n n T d d d +=++⋅⋅⋅+=+++⋅⋅⋅+，()2311111123122222nn n T n n +⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯+⨯+⋅⋅⋅+⋅++⋅ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，两式相减得2112311111121111133221122222222212n n n n n n n n n T ++++-+++=+++⋅⋅⋅+-=+-=-，∴332n n n T +=-.16.设ABC V 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且有π2cos 3b A a c ⎛⎫-=+ ⎪⎝⎭，（1）求角B ：（2）若AC边上的高4h =，求cos cos A C .【答案】（1）π3B =（2）18-【解析】【分析】（1）由正弦定理及两角和的正弦公式可得角B 的大小;（2）由等面积法可得22b ac =，再由正弦定理可得sin sin A C 的值，再由cos cos()B A C =-+，可得cos cos A C 的值.【小问1详解】因为π2cos 3b A a c ⎛⎫-=+ ⎪⎝⎭，由正弦定理可得12sin cos sin sin sin 22B A A A C ⎛⎫+=+ ⎪ ⎪⎝⎭，即sin cos sin sin sin()B A A B A A B +=++即sin cos sin sin sin cos cos sin B A A B A A B A B +=++，sin sin sin cos B A A A B =+，在三角形中，sin 0A >，cos 1B B -=，即π1sin 62B ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，因为(0,)B π∈，则ππ5π,666B ⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭可得ππ66B -=，则π3B =.【小问2详解】因为AC 边上的高4h =，所以2112248ABC S b h b b b =⋅=⋅= ①又11sin 2224ABC S ac B ac ==⨯= ②由①②可得22b ac =，由正弦定理可得2sin 2sin sin B A C =，结合（1）中π3B =可得3sin sin 8A C =，因为()1cos cos cos cos sin sin 2B AC A C A C =-+=-+=，所以1311cos cos sin sin 2828A C A C =-=-=-.17.如图1，在平行四边形ABCD 中，24AB BC ==，60ABC ∠=︒，E 为CD 的中点，将ADE V 沿AE 折起，连结BD ，CD ，且4BD =，如图2．（1）求证：图2中的平面ADE ⊥平面ABCE ；（2）在图2中，若点F 在棱BD 上，直线AF 与平面ABCE所成的角的正弦值为10，求点F 到平面DEC 的距离．【答案】（1）证明见解析（2）15【解析】【分析】（1）连接BE ，利用勾股定理证明,BE DE BE AE ⊥⊥，再根据线面垂直的判定定理证得BE ⊥平面ADE ，再根据面面垂直的判定定理即可得证；（2）以点E 为原点，建立空间直角坐标系，利用向量法求解即可.【小问1详解】连接BE ，由题意2,60,120AD DE ADE BCE ==∠=︒∠=︒，则ADE V 为等边三角形，由余弦定理得2144222122BE ⎛⎫=+-⨯⨯⨯-= ⎪⎝⎭，所以BE =，则222222,DE BE BD AE BE BD +=+=，所以,BE DE BE AE ⊥⊥，又,,AE DE E AE DE ⋂=⊂平面ADE ，所以BE ⊥平面ADE ，又BE ⊂平面ABCE ，所以平面ADE ⊥平面ABCE ；【小问2详解】如图，以点E 为原点，建立空间直角坐标系，则()()()(()2,0,0,0,,1,,1,0,,0,0,0A B C D E -，设()01DF DB λλ=≤≤，故()((,1,0,,1,EC ED DB =-==--，((()1,1,,AD AD DF λλ=+=-+-=--，因为z 轴垂直平面ABCE ，故可取平面ABCE 的一条法向量为()0,0,1m =，所以cos ,10m AF m AF m AF⋅==，化简得23830λλ+-=，解得13λ=或3λ=-（舍去），所以11,,3333DF DB ⎛⎫==-- ⎪ ⎪⎝⎭，设平面DEC 的法向量为(),,n x y z =，则有0n EC x n ED x ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=+=⎪⎩，可取)1n =- ，所以点F 到平面DEC的距离为21515DF n n ⋅=．18.已知函数()sin ln(1)f x x x ax =++-，且()y f x =与x 轴相切于坐标原点．（1）求实数a 的值及()f x 的最大值；（2）证明：当π,π6x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，1()22f x x +>；（3）判断关于x 的方程()0f x x +=实数根的个数，并证明．【答案】（1）2a =，最大值为0（2）证明见解析（3）2个，证明见解析【解析】【分析】（1）由(0)0f '=求出a 的值，即可得到()f x 解析式，再利用导数求出函数的单调区间，从而求出函数的最大值；（2）依题意即证当π,π6x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时1sin ln(1)2x x ++>，记1()sin ln(1)2m x x x =++-，π,π6x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，当π5π,66x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时直接说明即可，当5π,π6x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，利用导数说明函数的单调性，即可得证；（3）设()()h x f x x =+，()1,x ∞∈-+，当(1,0)x ∈-时，由（1）知()(0)0f x f <=，则()0f x x +<，当π()0,x ∈时，利用导数说明函数的单调性，结合零点存在性定理判断函数的零点，当[π,)x ∈+∞时，()1ln(1)h x x x ≤++-，令()1ln(1)(π)l x x x x =++-≥，利用导数说明()l x 在区间[π,)+∞上单调递减，即可得到()0l x <，从而说明函数在[π,)+∞无零点，即可得解.【小问1详解】由题意知，(0)0f =且(0)0f '=，1()cos 1f x x a x '=+-+ ，(0)20f a '∴=-=，解得2a =，()sin ln(1)2f x x x x ∴=++-，()1,x ∞∈-+，则1()cos 21f x x x '=+-+，当0x ≥时，cos 1≤x ，111x ≤+．故()0f x '≤，所以()f x 在区间[0,)+∞上单调递减，所以()(0)0f x f £=．当10x -<<时，令1()cos 21g x x x =+-+，则21()sin (1)g x x x '=--+，sin (0,1)x -∈ ，211(1)x >+，()0g x '∴<，()f x '∴在区间(1,0)-上单调递减，则()(0)0f x f ''>=，()f x ∴在区间(1,0)-上单调递增，则()(0)0f x f <=，则()()max 00f x f ==．综上所述，2a =，()f x 的最大值为0．【小问2详解】因为()sin ln(1)2f x x x x =++-，要证当π,π6x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时1()22f x x +>，即证1sin ln(1)2x x ++>，记1()sin ln(1)2m x x x =++-，π,π6x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，当π5π,66x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，1sin 12x ≤≤，ln(1)0x +>，1()sin ln(1)02m x x x ∴=++->；当5π,π6x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦时，1()cos 1m x x x '=++，记1()()cos 1n x m x x x '==++，则21()sin 0(1)n x x x '=--<+，()m x '∴在区间5π,π6⎛⎤ ⎥⎝⎦上单调递减，则5π6()0625π6m x m ⎛⎫<=-+< '+⎝'⎪⎭，则()m x 在区间5π,π6⎛⎤ ⎥⎝⎦上单调递减，()11()(π)sin πln(π1)ln π1022m x m ∴≥=++-=+->，综上所述，当π,π6x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，1()22f x x +>．【小问3详解】设()()sin ln(1)h x f x x x x x =+=++-，()1,x ∞∈-+，1()cos 11h x x x '∴=+-+，当(1,0)x ∈-时，由（1）知()(0)0f x f <=，故()()0f x x f x +<<，故()0f x x +=在区间(1,0)-上无实数根．当0x =时，(0)0h =，因此0为()0f x x +=的一个实数根．当π()0,x ∈时，1()cos 11h x x x '=+-+单调递减，又(0)10h '=>，1(π)20π1h '=-<+，∴存在0(0,π)x ∈，使得()00h x '=，所以当00x x <<时ℎ′>0，当0πx x <<时ℎ′<0，()h x ∴在区间()00,x 上单调递增，在区间()0,πx 上单调递减，()0(0)0h x h ∴>=，又(π)ln(π1)π2π0h =+-<-<，()0f x x ∴+=在区间()0,πx 上有且只有一个实数根，在区间(]00,x 上无实数根．当[π,)x ∈+∞时，()1ln(1)h x x x ≤++-，令()1ln(1)(π)l x x x x =++-≥，1()1011x l x x x -'∴=-=<++，故()l x 在区间[π,)+∞上单调递减，()(π)ln(1π)π13π0l x l ≤=+-+<-<，于是()0f x x +<恒成立．故()0f x x +=在区间[π,)+∞上无实数根，综上所述，()0f x x +=有2个不相等的实数根．【点睛】方法点睛：导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理．19.对于任意正整数n ，进行如下操作：若n 为偶数，则对n 不断地除以2，直到得到一个奇数，记这个奇数为n a ；若n 为奇数，则对31n +不断地除以2，直到得出一个奇数，记这个奇数为n a .若1n a =，则称正整数n 为“理想数”.（1）求20以内的质数“理想数”；（2）已知9m a m =-.求m 的值；（3）将所有“理想数”从小至大依次排列，逐一取倒数后得到数列{}n b ，记{}n b 的前n 项和为n S ，证明：()*7N 3n S n <∈.【答案】（1）2和5为两个质数“理想数”（2）m 的值为12或18（3）证明见解析【解析】【分析】（1）根据“理想数”概念，结合列举法可解；（2）分析题意知道9m a m =-必为奇数，则m 必为偶数，结合整除知识得解；（3）将数列适当放缩，后分组，结合等比数列求和公式计算即可.【小问1详解】20以内的质数为2,3,5,7,11,13,17,19，212=，故21a =，所以2为“理想数”；33110⨯+=，而1052=，故3不是“理想数”；35116⨯+=，而41612=，故5是“理想数”；37122⨯+=，而22112=，故7不是“理想数”；311134⨯+=，而34172=，故11不是“理想数”；313140⨯+=，而4058=，故13不是“理想数”；317152⨯+=，而52134=，故17不是“理想数”；319158⨯+=，而58292=，故19不是“理想数”；2∴和5为两个质数“理想数”；【小问2详解】由题设可知9m a m =-必为奇数，m ∴必为偶数，∴存在正整数p ，使得92p m m =-，即9921p m =+-：921p ∈-Z ，且211p -≥，211p ∴-=，或213p -=，或219p -=，解得1p =，或2p =，1991821m ∴=+=-，或2991221m =+=-，即m 的值为12或18．【小问3详解】显然偶数"理想数"必为形如()*2k k ∈N 的整数，下面探究奇数"理想数"，不妨设置如下区间：((((022*******,2,2,2,2,2,,2,2k k -⎤⎤⎤⎤⎦⎦⎦⎦ ，若奇数1m >，不妨设(2222,2k k m -⎤∈⎦，若m 为"理想数"，则(*3112s m s +=∈N ，且)2s >，即(*213s m s -=∈N ，且)2s >，①当(*2s t t =∈N ，且)1t >时，41(31)133t t m -+-==∈Z ；②当()*21s t t =+∈N 时，2412(31)133tt m ⨯-⨯+-==Z ；(*413tm t -∴=∈N ，且)1t >，又22241223t k k --<<，即1344134k t k -⨯<-≤⨯，易知t k =为上述不等式的唯一整数解，区间(2222,2k k -]存在唯一的奇数"理想数"(*413k m k -=∈N ，且)1k >，显然1为奇数"理想数"，所有的奇数"理想数"为()*413k m k -=∈N ，∴所有的奇数"理想数"的倒数为()*341k k ∈-N ，1133134144441k k k ++<=⨯--- 1212123111111222521n n n n S b b b b b b b +⎛⎫⎛⎫∴=+++<+++++<+++++++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭21111171111124431124⎛⎫<⨯++++<+⨯= ⎪⎝⎭-- ，即()*73n S n <∈N ．【点睛】知识点点睛：本题属于新定义的题目，综合了整除，数列的放缩，分组求和和等比数列公式.属于难题.。

北京市2025届高三上学期期中考试数学试题含答案

北京市2025届高三上学期期中考试数学试题含答案

2024北京高三（上）期中数学（答案在最后）本试卷共6页，共150分.考试时长120分钟.考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效.考试结束后，只收答题纸，不收试卷.一、单选题（本大题共10小题，共40分）1.设集合{}22M x x =<，{}13N x x =-≤≤，则M N ⋃=（）A.{1x x -≤< B.{}12x x -≤<C.{}3x x <≤ D.{}23x x -<≤【答案】C 【解析】【分析】解不等式求集合M ，进而根据并集运算求解.【详解】因为22x <，解得x <<，即{|M x x =<<，且{}13N x x =-≤≤，所以{}3M N xx =<≤∣ ．故选：C ．2.曲线3113y x =+在点()3,8--处的切线斜率为（）A.9 B.5C.8- D.10【答案】A 【解析】【分析】求导，根据导数的几何意义可得解.【详解】由已知3113y x =+，则2y x '=，当3x =-时，()239y '=-=，即切线斜率9k =，故选：A.3.在复平面内，复数z 1，z 2对应的点分别是()()2,1,1,3--，则21z z 的模是（）A .5B.C.2D.【答案】D【解析】【分析】由复数的除法运算及模长公式即可求解.【详解】由题意知，12i z =-，213i z =-，所以()()()()2113i 2i 13i 55i 1i 2i 2i 2i 5z z -+--====---+所以21z z ==，故选：D.4.已知直线6x π=是函数()sin (08)6f x x πωω⎛⎫=+<< ⎪⎝⎭图像的一条对称轴，则ω的值为（）A.3B.4C.2D.1【答案】C 【解析】【分析】根据正弦函数图象的对称性可得,Z 662k k πππωπ⋅+=+∈，由此可得答案.【详解】依题意得()sin()1666f πππω=⋅+=±，所以,Z 662k k πππωπ⋅+=+∈，即62,Z k k ω=+∈，又08ω<<，所以2ω=.故选：C.5.若0.5.43200.4,0.5,log 4a b c ===，则a b c ，，的大小关系是（）A.a b c<< B.b c a<< C.c b a << D.c a b<<【答案】D 【解析】【分析】利用指数函数和幂函数的单调性比较大小可得答案.【详解】322log 40.45===c ，因为0.4x y =在R 上为减函数，所以10.50.40.40.40.4=<=<c a ，因为0.4y x =在()0,x ∈+∞上为增函数，所以0.40.40.50.4>=b ，所以a b <，所以c a b <<，故选：D.6.在ABC V 中，AD 为BC 边上的中线，E 为AD 的中点．则EB =（）A.3144AB AC -B.3344AB AC -C.3144AB AC +D.3344AB AC +【答案】A 【解析】【分析】根据平面向量的线性运算即可求解.【详解】因为ABC V 中，AD 为BC 边上的中线，E 为AD 的中点，所以()1113122244EB EA AB AD AB AB AC AB AB AC =+=-+=-⨯++=-，故选：A ．7.在长方体1111ABCD A B C D -的八个顶点任两点连线中，随机取一直线，则该直线与平面11AB D 平行的概率为A.314B.514C.328D.528【答案】C 【解析】【分析】由题意结合排列组合公式和古典概型计算公式即可求得满足题意的概率值.【详解】八个顶点任两点连线共有28C 28=条，其中直线与平面11AB D 平行的有BD ，1BC ， 共有3条，所以该直线与平面11AB D 平行的概率为328P =.故选：C .8.已知,a b 都大于零且不等于1，则“log 1a b >”是“(1)(1)0a b -->”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】【分析】log 1ab >等价于1b a >>或01b a <<<，(1)(1)0a b -->等价于11a b >⎧⎨>⎩或0101a b <<⎧⎨<<⎩，然后可判断出答案.【详解】由log 1a b >可得log log a a b a >，所以可得1a b a >⎧⎨>⎩或01a b a <<⎧⎨<⎩，即1b a >>或01b a <<<(1)(1)0a b -->等价于11a b >⎧⎨>⎩或0101a b <<⎧⎨<<⎩所以“log 1a b >”是“(1)(1)0a b -->”的充分不必要条件故选;：A9.已知函数()22,,x x x mf x x x m⎧-≥=⎨<⎩在R 上单调递增，则实数m 的取值范围是（）A.1m ≥B.3m ≥C.13m ≤≤D.1m ≤或3m ≥【答案】B 【解析】【分析】根据二次函数的单调性及断点处左侧的函数值不大于右侧函数值得到不等式，解得即可.【详解】因为()22211y x x x =-=--在[)1,+∞上单调递增，y x =在R 上单调递增，又()22,,x x x mf x x x m ⎧-≥=⎨<⎩在R 上单调递增，所以212m m m m ≥⎧⎨≤-⎩，解得3m ≥，即实数m 的取值范围是3m ≥.故选：B10.核酸检测分析是用荧光定量PCR 法，通过化学物质的荧光信号，对在PCR 扩增进程中成指数级增加的靶标DNA 实时监测，在PCR 扩增的指数时期，荧光信号强度达到阈值时，DNA 的数量n X 与扩增次数n 满足()0lg lg 1lg n X n p X =++，其中p 为扩增效率，n X 为DNA 的初始数量．已知某被测标本DNA 扩增10次后，数量变为原来的100倍，那么该样本的扩增效率p 约为（）（参考数据：0.210 1.585≈，0.2100.631-≈）A.36.9% B.41.5%C.58.5%D.63.4%【答案】C 【解析】【分析】由题意，0100n X X =代入解方程即可.【详解】由题意可知，()00lg10010lg 1lg X p X =++，即002lg 10lg(1)lg X p X +=++，所以0.2110 1.585p +=≈，解得0.585p =.故选：C二、填空题（本大题共5小题，共25分）11.函数y =______.【答案】()0,2【解析】【分析】由函数特征得到不等式，求出定义域.【详解】由题意得240x x >⎧⎨->⎩，解得02x <<，故定义域为()0,2.故答案为：()0,212.已知等差数列{}n a 的前n 项和为13,1,18n S a S ==，则6S =______.【答案】81【解析】【分析】运用等差数列的性质公式计算即可.【详解】根据题意，知道131,18a S ==，则231417a a a a +==+，则416a =，若公差为d ，所以41315a a d -==，则5d =.故1234561,6,11,16,,21,26.a a a a a a ======则6161116212681S =+++++=.故答案为：8113.在ABC V 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，()226b a c =+-，23B π=，则ABC V 的面积是______________.【答案】332【解析】【分析】利用余弦定理求出ac 的值，再利用三角形的面积公式可求得ABC V 的面积.【详解】由余弦定理可得222222cos b a c ac B a c ac =+-=++，222a c b ac ∴+-=-，()2222626b a c a c ac =+-=++- ，可得222260a c b ac +-+-=，则260ac ac --=，解得6ac =，因此，ABC V的面积是11sin 62222ABC S ac B ==⨯⨯=△.故答案为：2.【点睛】方法点睛：在解三角形的问题中，若已知条件同时含有边和角，但不能直接使用正弦定理或余弦定理得到答案，要选择“边化角”或“角化边”，变换原则如下：（1）若式子中含有正弦的齐次式，优先考虑正弦定理“角化边”；（2）若式子中含有a 、b 、c 的齐次式，优先考虑正弦定理“边化角”；（3）若式子中含有余弦的齐次式，优先考虑余弦定理“角化边”；（4）代数式变形或者三角恒等变换前置；（5）含有面积公式的问题，要考虑结合余弦定理求解；（6）同时出现两个自由角（或三个自由角）时，要用到三角形的内角和定理.14.已知函数()()22log 2,014,03x x x a x f x x ⎧++≥⎪=⎨⎛⎫-<⎪ ⎪⎝⎭⎩的值域是R ，则实数a 的最大值是______．【答案】8【解析】【分析】根据条件可得()f x 在[)0+∞，上的最小值小于或等于3，判断其单调性列出不等式得出a 的范围．【详解】当0x <时，1()43)(,3xf x ⎛⎫=- ∈-∞⎪⎝⎭．因为()f x 的值域为R ，则当0x ≥时，min ()3f x ≤．当0x ≥时，222(1)1y x x a x a =++=++-，故()f x 在[)0+∞，上单调递增，min ()=(0)3f x f ∴≤，即2log 3a ≤，解得08a <≤，即a 的最大值为8．故答案为：8．15.如图所示，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为正方形，PA ⊥底面ABCD ，PA =AB =4．E ，F ，H 分别是棱PB ，BC ，PD 的中点，对于平面EFH 截四棱锥P ABCD -所得的截面多边形，有以下三个结论：①截面面积等于；②截面是一个五边形；③直线PC 与截面所在平面EFH 无公共点．其中，所有正确结论的序号是_____．【答案】②③【解析】【分析】根据给定条件，作出平面EFH 截四棱锥P ABCD -所得的截面多边形，再逐一判断各个命题作答.【详解】在四棱锥P ABCD -中，PA =AB =4，取CD 中点，连接FG ，GH ，BD ，AC ，如图，因底面ABCD 为正方形，,,E F H 分别是棱,,PB BC PD 的中点，则////EH BD FG ，////EF PC GH ，EFGH 是平行四边形，令FG AC J ⋂=，有14CJ AC =，在PA 上取点I ，使14PI PA =，连接,,EI HI JI ，则////JI PC EF ，点J ∈平面EFH ，有JI ⊂平面EFH ，点I ∈平面EFH ，,EI HI ⊂平面EFH ，因此五边形EFGHI 是平面EFH 截四棱锥P ABCD -所得的截面多边形，②正确；因EF ⊂平面EFH ，PC ⊄平面EFH ，而//EF PC ，则//PC 平面EFH ，直线PC 与截面所在平面EFH 无公共点，③正确；PA ⊥底面ABCD ，FG ⊂平面ABCD ，有PA FG ⊥，而BD AC ⊥，//BD FG ，则AC FG ⊥，又PA AC A = ，,PA AC ⊂平面PAC ，因此FG ⊥平面PAC ，PC ⊂平面PAC ，于是得FG PC ⊥，有FG EF ⊥，而122FG BD ==，22112322EF PC PA AC ==+，矩形EFGH 面积等于6EF FG ⋅=，3334JI PC ==，而JI EH ⊥，则IE H 边EH 上的高等于3JI EF -=1362IEH S EH == ，所以截面五边形EFGHI 面积为56.故答案为：②③【点睛】方法点睛：作截面的常用三种方法：直接法，截面的定点在几何体的棱上；平行线法，截面与几何体的两个平行平面相交，或者截面上有一条直线与几何体的某个面平行；延长交线得交点，截面上的点中至少有两个点在几何体的同一平面上.三、解答题（共6题，共85分）16.已知函数()()22sin cos 2cos f x x x x =+-，（1）求函数()f x 的最小正周期和单调递减区间；（2）当π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，求()f x 的最大值和最小值【答案】（1）最小正周期π，单调递减区间3π7ππ,π88k k ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦，k ∈Z ；（2，最小值-1．【解析】【分析】（1）先根据二倍角公式与配角公式将函数化为基本三角函数，再根据正弦函数性质求最小正周期和单调递减区间；（2）先根据π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，确定正弦函数自变量取值范围，再根据正弦函数性质求最值.【小问1详解】()()()222πsin cos 2cos 12sin cos 2cos 1sin 21cos 224f x x x x x x x x x x ⎛⎫=+-=+-=+-+=- ⎪⎝⎭,∴最小正周期2ππ2T ==，由ππ3π22π,2π422x k k ⎡⎤-∈++⎢⎥⎣⎦，k ∈Z 得单调递减区间为3π7ππ,π88x k k ⎡⎤∈++⎢⎥⎣⎦，k ∈Z ；【小问2详解】由π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦得ππ3π2,444x ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦，故当ππ242x -=时，()f x ；当ππ244x -=-时，()f x 的最小值为-1.17.在ABC V 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且___________.在下面的三个条件中任选一个补充到上面的问题中，并给出解答.①22cos a b c B -=，②1sin cos 62C C π⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭，③(,)m a c b a =-- ，(,)n a c b =+ ，m n ⊥.（1）求角C ；（2）若c =，求ABC V 周长的取值范围.注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.【答案】（1）3π（2）【解析】【分析】（1）选①由正弦定理结合和角公式得出角C ；选②由和角公式结合辅助角公式得出角C ；由数量积公式结合余弦定理得出角C ；（2）由余弦定理结合基本不等式得出ABC V 周长的取值范围.【小问1详解】选①由正弦定理及22cos a b c B -=，2sin sin 2sin cos A B C B -=，又sin sin()sin cos cos sin A B C B C B C =+=+，2sin cos sin B C B∴=sin 0B ≠ ，1cos 2C ∴=，又(0,)C π∈，3C π∴=.选②由1sin cos 62C C π⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭，311sin cos cos 222C C C +=+，即311sin cos 222C C -=，1sin 62C π⎛⎫∴-= ⎪⎝⎭.(0,)C π∈ ，5,666C πππ⎛⎫∴-∈- ⎪⎝⎭，66C ππ∴-=，3C π∴=.选③(,)m a c b a =-- ，(,)n a c b =+ .m n ⊥.()()()0a c a c b a b ∴-⋅++-⋅=.化简得222a b c ab +-=，2221cos 22a b c C ab +-==.又(0,)C π∈ ，3C π∴=.【小问2详解】由余弦定理得2222222cos ()3c a b ab C a b ab a b ab =+-=+-=+-，又2a b+³Q 2()4a b ab +∴≤当且仅当a b =时等号成立.2233()3()4ab a b a b ∴=+-≤+，0a b ∴<+≤，当且仅当a b ==.a b c ∴++≤=又a b c +>，2a b c c ∴++>=ABC ∴周长的取值范围为.18.如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为矩形，PD ⊥底面ABCD ，22PD DC AD ===，E 是PC 的中点．（1）求证：PA ∥平面EDB ；（2）求平面EDB 与平面PAD 夹角的余弦值；（3）在棱PB 上是否存在一点F ，使直线EF 与平面EDB 所成角的正弦值为3，若存在，求出求线段BF 的长；若不存在，说明理由．【答案】（1）证明见解析（2）66（3）存在；BF 的长为32或94【解析】【分析】（1）利用线面平行的判定定理证明即可；（2）建立空间直角坐标系，用空间向量数量积公式求解二面角；（3）假设棱PB 存在一点F 使得BF BP λ= ，且EF EB BF =+uu u r uur uu u r，即可求出EF ，利用向量的夹角公式列出关于λ的方程求解即可.【小问1详解】连接AC ，交BD 于点O ，连接OE ，点E 是PC 的中点，点O 是AC 的中点，所以PA ∥OE ,OE ⊂平面EDB ,PA ⊄平面EDB ，所以PA ∥平面EDB ；【小问2详解】如图，以向量DA ，DC ，DP为,,x y z 轴的正方向建立空间直角坐标系，即()0,0,0D ，()1,2,0B ，()0,1,1E ，则()()1,2,0,0,1,1DB DE ==，设平面EDB 的法向量(),,m x y z = ，则20DB m x y DE m y z ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=+=⎪⎩，令1y =-得2,1x z ==，所以平面EDB 的法向量()2,1,1m =-，平面PAD 的一个法向量为()0,1,0n =，设平面EDB 和平面PAD 的夹角为θ，则6cos cos ,66m n m n m n θ⋅====，所以平面EDB 和平面PAD 的夹角的余弦值为66；【小问3详解】由（2）知()0,0,0D ，()1,2,0B ，()0,1,1E ，()0,0,2P ，()1,1,1EB =- ，()1,2,2BP =-- ，(),2,2(01)BF BP λλλλλ==--<<，()()()1,1,1,2,21,12,12EF EB BF λλλλλλ=+=-+--=---+，由（2）知平面EDB 的法向量()2,1,1m =-，设直线EF 与平面EDB 的夹角为α，则6sin cos ,,013EF m αλ===<<整理得281030λλ-+=，解得12λ=或3,4λ=故当12λ=时，32BF =；当34λ=时，94BF =则BF 的长为32或94．19.某市A ，B 两所中学的学生组队参加信息联赛，A 中学推荐了3名男生、2名女生.B 中学推荐了3名男生、4名女生.两校所推荐的学生一起参加集训.由于集训后队员水平相当，从参加集训的男生中随机抽取3人、女生中随机抽取3人组成代表队参赛.（1）求A 中学至少有1名学生入选代表队的概率；（2）设X 表示A 中学参赛的男生人数，求X 的分布列和数学期望；（3）已知3名男生的比赛成绩分别为76，80，84，3名女生的比赛成绩分别为77，a ()*a ∈N，81，若3名男生的比赛成绩的方差大于3名女生的比赛成绩的方差，写出a 的取值范围（不要求过程）.【答案】（1）99100（2）分布列见解析，期望为32（3）{|738},5N a a a *<∈<【解析】【分析】（1）A 中学至少有1名学生入选代表队的对立事件是A 中没有学生入选代表队，那3名男生和3名女生都是B 中学的学生，计算概率后，求对立事件的概率即可；（2）6名男队员中有A ，B 中学各3人，所以选3人来自A 中学的人数X 可能取值为0，1，2，3，根据超几何分布计算其概率，列出分布列，求期望；（3）根据平均数与方差的计算公式，结合题意即可得出a 的取值范围.【小问1详解】由题意知，参加集训的男、女生各有6名.参赛学生全部从B 中学中抽取（等价于A 中学没有学生入选代表队）的概率为33343366C C 1C C 100=.因此，A 中学至少有1名学生入选代表队的概率为1991100100-=.【小问2详解】根据题意得，X 的可能取值为0，1，2，3.则()()031233333366,0C C C C 1901C 20C 2P X P X ⋅⋅======，()213336C C 92C 20P X ⋅===，()330363C C 13.C 20P X ⋅===所以X 的分布列为：X 0123P120920920120因此，X 的数学期望()199130123202020202E X =⨯+⨯+⨯+⨯=.【小问3详解】3名男生的比赛成绩分别为76，80，84，平均值为80，方差为2224)043233-++=(，3名女生的比赛成绩为77，a ()*a ∈N，81，平均值为1583a +，所以222158158158327781333a a a a +++⎛⎫⎛⎫⎛⎫>-+-+- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，即()()()()()()222222329732158857347985a a a a a a ⨯>-+-+-=-+-+-，代入检验，可知a 最小为74，最大84，故7385a <<，N a *∈即a 的取值范围{|738},5N a a a *<∈<.20.已知函数()211ln22f x a x x =--+（a ∈R 且0a ≠）.（Ⅰ）当a =时，求曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程；（Ⅱ）若0a >，讨论函数()f x 的单调性与单调区间；（Ⅲ）若()y f x =有两个极值点1x 、2x ，证明：()()129ln f x f x a +<-.【答案】（Ⅰ）10x y +--=；（Ⅱ）详见解析；（Ⅲ）证明见解析.【解析】【分析】（Ⅰ）求出()1f 和()1f '的值，利用点斜式可得出所求切线的方程；（Ⅱ）求得()2x af x x-+-'=，由20x a -+-=，分0∆>和0∆≤两种情况讨论，分析()f x '的符号变化，可得出函数()y f x =的单调递增区间和递减区间；（Ⅲ）由题意可知，方程()0f x '=有两正根1x 、2x ，利用韦达定理得出12x x +=，12x x a =且()0,3a ∈，将所证不等式转化为ln ln 20a a a a --+>，构造函数()ln ln 2x x g x x x =--+，利用导数证明出当()0,3x ∈时，()0g x >即可.【详解】由题可知：函数()f x 的定义域为 t h（Ⅰ）因为a =时，()21122f x x x =--+，所以()f x x x'=--，那么()11f '=-，()1f =，所以曲线()y f x =在()()1,1f 处的切线方程为：()1y x -=--，即10x y +-=；（Ⅱ）因为()2a x af x x x x-+-'=--=，由20x a -+-=可得：①当1240a ∆=->，()0,3a ∈，时，有1x =+，2x =120x x >>，()20,x x ∈和()1,x x ∈+∞时()0f x '<，即函数()y f x =在(和)+∞上为减函数；()21,x x x ∈时，()0f x '>，即函数()y f x =在上为增函数；②当3a ≥时，0∆≤，()0f x '≤恒成立，所以函数()y f x =在 t h 为减函数.综上可知：当0<<3a 时，函数()y f x =在(和)+∞上为减函数，在上为增函数；当3a ≥时，函数()y f x =在 t h 上为减函数；（Ⅲ）因为()y f x =有两个极值点1x 、2x ，则()20x af x x-+-'==有两个正根1x 、2x ，则有1240a ∆=->，且12x x +=，120x x a =>，即()0,3a ∈，所以()())()()22121212121ln 1ln 72f x f x x x a x x x x a a a +=+--++=-++若要()()129ln f x f x a +<-，即要ln ln 20a a a a --+>，构造函数()ln ln 2x x g x x x =--+，则()1ln g x x x'=-，易知()y g x '=在()0,3上为增函数，且()110g '=-<，()12ln 202g '=->，所以存在()01,2x ∈使()00g x '=即001ln x x =，且当()01,x x ∈时()0g x '<，函数()y g x =单调递减；当()0,2x x ∈时，()0g x '>，函数()y g x =单调递增.所以函数()y g x =在()1,2上有最小值为()00000001ln ln 23g x x x x x x x ⎛⎫=-++=-+ ⎪⎝⎭，又因为()01,2x ∈则00152,2x x ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，所以()00g x >在()01,2x ∈上恒成立，即()()129ln f x f x a +<-成立.【点睛】本题考查利用导数求函数的切线方程、利用导数求解含参函数的单调区间以及利用导数证明不等式，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.21.设n 为正整数，集合(){}{}12|,,,,0,1,1,2,,.n n i A a a a a i n αα==∈= 对于()12,,,n n a a a A α=∈ ，设集合(){}01,,1,2,,i t i P a t t n a a i n t +=∈≤≤-==⋯-N .（1）若()()0,1,0,0,1,0,0,1,0,0,1,0,1,0,0,1,0αβ==，写出集合()(),P P αβ；（2）若()12,,,n n a a a A α=∈ ，且(),s t P α∈满足s t <，令()12,,,n s n s a a a A α--∈'= ，求证：()t s P α-∈'；（3）若()12,,,n n a a a A α=∈ ，且(){}1212,,,,3m m P s s s s s s m α=<<<≥ （），求证：()1221,2,,2k k k s s s k m ++≥+=- .【答案】（1）(){}(){}0,3,5,0,5,8,10P P αβ==；（2）证明见解析；（3）证明见解析.【解析】【分析】（1）由题意，即可直接写出(),()P P αβ；（2）由i s i a a +=可得j t j t s a a ++-=，结合j t j a a +=可得,1,2,,j t s j a a j n t +-==- ，即可证明；（3）若()t P α'∈且2t n s <-则2,1,2,,2i t i a a i n s t +==-- ，进而2()s t P α+∈，由（2）可知1()k k k s s P α+-∈，分类讨论12()k k k s s n s +-<-、12()k k k s s n s +-≥-时12k k s s +-与2k s +的大小关系，即可证明.【小问1详解】(){0,3,5},(){0,5,8,10}P P αβ==；【小问2详解】因为()s P α∈，所以,1,2,,i s i a a i n s +==- ，当1j n t ≤≤-时，1j t s n t t s n s <+-≤-+-=-，所以j t s s j t s a a +-++-=，即j t j t s a a ++-=，1,2,,j n t =- ，又因为()t P α∈，所以,1,2,,j t j a a j n t +==- ，所以,1,2,,j t s j a a j n t +-==- ，所以()t s P α'-∈；【小问3详解】对任意()s P α∈，令12(,,,)n s n s a a a A α--'=∈ ，若()t P α'∈且2t n s <-，则,1,2,,i t i a a i n s t +==-- ，所以2,1,2,,2i t i a a i n s t +==-- ，因为()s P α∈，所以1,1,2,,j j a a j n s +==- ，所以22,1,2,,2i i t i t s a a a i n s t +++===-- ，所以2()s t P α+∈.对1,()(1,2,,2)k k s s P k m α+∈=- ，因为1k k s s +<，由（2）可知，令12(,,,)k k n s a a a α-= ，则1()k k k s s P α+-∈.若12()k k k s s n s +-<-，因为()k s P α∈，所以12()()k k k s s s P α++-∈，即12()k k s s P α+-∈，又因为11112()k k k k k k s s s s s s ++++-=+->，所以122k k k s s s ++-≥.若12()k k k s s n s +-≥-，则122()k k k m k s s s n s s +++-≥>≥，所以122k k k s s s ++->.综上，122k k k s s s ++-≥即122(1,2,,2)k k k s s s k m ++≥+=- .【点睛】方法点睛：学生在理解相关新概念、新定义、新法则(公式)之后，运用学过的知识，结合已掌握的技能，通过推理、运算等解决问题.在新环境下研究“旧”性质.主要是将新性质应用在“旧”性质上，创造性地证明更新的性质，落脚点仍然是集合相关知识..。

江苏省扬州市2024-2025学年高三上学期11月期中考试 数学含答案

江苏省扬州市2024-2025学年高三上学期11月期中考试 数学含答案

2024—2025学年第一学期期中检测高三数学（答案在最后）2024.11注意事项：1.答题前，考生务必在答题卡上将自己的学校、姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写清楚，考生考试条形码由监考老师粘贴在答题卡上的“条形码粘贴处”.2.选择题使用2B 铅笔填涂在答题卡上对应题目标号的位置上，如需改动，用橡皮擦擦干净后再填涂其它答案；非选择题用0.5毫米黑色签字笔在答题卡的对应区域内作答，超出答题区域答题的答案无效；在草稿纸上、试卷上答题无效.一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合要求）1.函数()12x f x -=，(],2x ∈-∞的值域为（）A.(],2-∞ B.(]0,2 C.[]0,2 D.[)2,+∞2.已知集合{}0,1,2A =，()(){}210,B x x x x =+-<∈Z ，则A B = （）A.{}0 B.{}0,1,2 C.{}1,0,1- D.{}1,0,1,2-3.若函数()f x 在区间[],a b 上的图象是一条不间断的曲线，则“()()0f a f b <”是“函数()y f x =在区间(),a b 上有零点”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件4.已知函数()sin f x x ax =-在区间π0,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，则实数a 的取值范围是（）A.1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭ B.1,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦ C.,2⎫+∞⎪⎢⎪⎣⎭ D.,2⎛-∞ ⎝⎦5.已知0x >，0y >，且21x y +=，则14x y+的最小值为（）A.4+B.C.6+D.126.已知图①对应的函数为()y f x =，则图②对应的函数是（）图①图②A.()y f x=- B.()y f x=-- C.()y f x =- D.()y f x =--7.已知函数()2f x +是偶函数，()f x 在(],2-∞上单调递增，则不等式()()321f x f x +<+的解集为（）A.11,,42⎛⎫⎛⎫-∞-+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ B.11,42⎛⎫-⎪⎝⎭C.11,,24⎛⎫⎛⎫-∞-+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭D 11,24⎛⎫-⎪⎝⎭8.若实数x ，y ，z 满足16xyz =-，0x y z ++=.用{}min ,,x y z 表示x ，y ，z 中最小的数，则{}min ,,x y z 的最大值为（）A.2B.2- C.2- D.4-二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）9.下列命题中，是真命题的有（）A.(),0x ∃∈-∞，32xx> B.()0,x ∀∈+∞，32xx>C.()0,1x ∃∈，132x x> D.()1,x ∀∈+∞，132x x>10.已知角,αβ满足1sin 4α=-，()1cos sin 3αββ+=，则下列结论正确的有（）A.7cos 28α=B.()1sin cos 12αββ+=C.()tan 4tan αββ+= D.()5sin 212αβ+=11.定义在[]0,1上的函数()f x 同时满足以下条件：①()()11f x f x =--；②()23x f x f ⎛⎫=⎪⎝⎭；③当12x x <时，()()12f x f x ≤.则下列结论正确的有（）A.()f x 在[]0,1上单调递增B.1132f ⎛⎫=⎪⎝⎭C.312132k k k kf ⎛⎫--= ⎪⎝⎭（*k ∈N ） D.112024128f ⎛⎫=⎪⎝⎭三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）12.已知函数()322f x x x =--，则曲线()f x 在点()1,2-处的切线方程为______.13.已知ABC △的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，π6A =，10b =，则使得ABC △有两组解的a 的值为______.（写出满足条件的一个整数值．．．即可）14.已知非空集合{}233A x m x x n =<-+<，0m x B xx n ⎧-⎫=>⎨⎬-⎩⎭.若A B =，则m n -的值______.四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）15.（本小题满分13分）中国是茶的故乡，茶文化源远流长，博大精深.某兴趣小组，为了了解当地居民对喝茶的态度，随机调查了100人，并将结果整理如下：不喜欢喝茶喜欢喝茶合计35岁以上（含35岁）30306035岁以下251540合计5545100（1）是否有90%的把握认为该地居民喜欢喝茶与年龄有关？（2）以样本估计总体，用频率代替概率.该兴趣小组在当地喜欢喝茶的人群中，随机选出2人参加茶文化艺术节.抽取的2人中，35岁以下的人数记为X ，求X 的分布列与期望.参考公式：()()()()()22n ad bc a b c d a c b d χ-=++++，其中n a b c d =+++.参考数据：()20P x χ≥0.100.050.0250.0100.0050.0010x 2.7063.8415.0246.6357.87910.82816.（本小题满分15分）已知函数()πsin 2cos cos 2cos 2f x x x ϕϕ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭（π02ϕ<<），且π16f ⎛⎫= ⎪⎝⎭.（1）求ϕ的值及()f x 的单调递增区间；（2）将()f x 的图象向右平移π12个单位，再将所得图象上每个点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），得到函数()y g x =的图象.当()0,πx ∈时，求不等式()π22g x g x ⎛⎫+< ⎪⎝⎭的解集.17.（本小题满分15分）如图，在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，M 、N 、Q 分别为棱11C D 、1BB 、11A B 的中点.（1）求证：1A N ⊥平面AMQ ；（2）求二面角N AM Q --的正切值.18.（本小题满分17分）在ABC △中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，()sin sin sin 2A C B B +-=.（1）判断ABC △的形状；（2）已知b c ≠，a =，π3A =，点P 、Q 是边AC 上的两个动点（P 、Q 不重合，且点P 靠近A ，点Q 靠近C ）.记PBQ θ∠=，CBQ α∠=，,CBQ ABP αβ∠=∠=.①当π6θ=时，求线段PQ 长的最小值；②是否存在常数θ和k ，对于所有满足题意的α、β，都有sin 2sin 26sin cos k k αβαβ-+=成立？若存在，求出cos θ和k 的值；若不存在，请说明理由.参考公式：sin sin 2sin cos sin 2cos sin2222αβαβαβαβαβαβ+-+-+=-=.19.（本小题满分17分）已知函数()ln 1f x x a x =--，a ∈R .（1）当1a =时，求()f x 的极值；（2）若实数a 满足：存在()00,x ∈+∞，使得()()01x f e f x<+成立.①求a 的取值范围；②请比较()24a f a +与()42a f a +的大小，并说明理由.2024—2025学年第一学期期中检测高三数学参考答案2024.11题号1234567891011答案BDABCBCDBDABDBCD题号121314答案3y x =-6，7，8，9任意一个均可3-15.【答案】（1）零假设为0H ：该地居民喜欢喝茶与年龄没有关系.根据列联表中的数据，可以求得()2210030153025501.5152.7066040554533χ⨯-⨯==≈<⨯⨯⨯.根据小概率值0.1α=的2χ独立性检验，没有充分证据推断0H 不成立，因此可以认为0H 成立，即没有90%的把握认为该地居民喜欢喝茶与年龄有关.（2）X 的取值可能为0，1，2.则()224039P X ⎛⎫=== ⎪⎝⎭；()121241339P X C ==⨯⨯=；()211239P X ⎛⎫=== ⎪⎝⎭.所以X 的分布列为：X 012P494919所以X 的期望为()44120129993E X =⨯+⨯+⨯=.16.【答案】（1）()()sin 2cos cos 2sin sin 2f x x x x ϕϕϕ=+=+，因为π16f ⎛⎫=⎪⎝⎭，所以ππ2π62k ϕ⨯+=+，k ∈Z ，可得ππ6k ϕ=+，k ∈Z ，又π02ϕ<<，所以π6ϕ=，所以()πsin 26f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，由πππ2π22π262k x k -+≤+≤+，k ∈Z ，可得ππππ36k x k -+≤≤+，k ∈Z ，所以()f x 的单调递增区间为πππ,π36k k ⎡⎤-++⎢⎥⎣⎦（k ∈Z ）.（2）因为()πsin 26f x x ⎛⎫=+⎪⎝⎭图象向右平移π12个单位得到ππsin 2sin 2126y x x ⎡⎤⎛⎫=-+= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，再将sin 2y x =图象上各个点横坐标变为原来2倍得到sin y x =，所以()sin g x x =；所以不等式为πsin 2sin 2x x ⎛⎫+< ⎪⎝⎭，不等式化为cos 2sin x x <，所以212sin sin x x -<，所以22sin sin 10x x +->，所以1sin 2x >，结合函数sin y x =在()0,π上的图象得π5π66x <<，所以原不等式的解集为π5π,66⎛⎫⎪⎝⎭.17.【答案】（1）证明：正方体1111ABCD A B C D -中，M ，Q 分别为棱11C D ，11A B 的中点，所以11//QM A D ，11A D ⊥平面11ABB A ，1A N ⊂平面11ABB A ，所以111A D A N ⊥，所以1QM A N ⊥，正方形11ABB A 中，N 为1B B 的中点，Q 为11A B 的中点，所以111AAQ A B N ≌△△，所以111QAA NA B ∠=∠，设AQ 、1A N 交点为H ，则1190QA H AQH ∠+∠=︒，所以190A HQ ∠=︒，即1A N AQ ⊥；又AQ 、AM ⊂平面AMQ ，AQ AM A = ，所以1A N ⊥平面AMQ .（注：用空间向量法证明亦可）（2）方法一：在ANM △中，过点N 作NT AM ⊥于T ，连HT .由（1）知NH ⊥平面AMQ ，故NH AM ⊥，又NH 、NT ⊂平面NHT ，所以AM ⊥平面NHT ，所以AM HT ⊥，所以NTH ∠为二面角N AM Q --的平面角.在11Rt A B N △中，1A N =11cos NA B ∠=，在1Rt A HQ △，11AQ =，所以1cos AHQ AH AQ∠==，所以1A H =，所以NH =.所以QH =，所以AH =，在Rt AMQ △中，AQ =2MQ =，所以3AM =，2sin 3QM QAM AM ∠==，在Rt AHT △中，2sin 3HT QAM AH ∠==，所以23HT AH ==，在Rt NHT △中，9tan 8NH NTH HT ∠===.所以二面角N AM Q --的正切值为98.方法二：如图，以点D 为原点，分别以DA 、DC 、1DD 为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系.因为正方体棱长为2，M ，N ，Q 分别为棱11C D ，1BB ，11A B 的中点.所以()0,0,0D ，()2,0,0A ，()0,1,2M ，()2,2,1N ，()2,1,2Q .所以()0,2,1AN = ，()2,1,2AM =-.由（1）知1A N ⊥平面AMQ .所以()10,2,1A N =-是平面AQM 的一个法向量，设()222,,m x y z =是平面ANM 的法向量，则22222220,20,m AM x y z m AN y z ⎧⋅=-++=⎪⎨⋅=+=⎪⎩取21y =，得3,1,22m ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭ ，所以111cos ,A N m A N m A N m⋅==所以二面角N AM Q --，所以二面角N AM Q --的正切值为98.18.【答案】（1）在ABC △中，因为πA B C ++=，且()sin sin sin 2A C B B +-=，所以()()sin sin sin 2C B C B B ++-=，即2sin cos 2sin cos C B B B =，()cos sin sin 0B C B -=，所以cos 0B =或者sin sin C B =.当cos 0B =时，所以90B =︒，ABC △为直角三角形；当sin sin C B =时，所以c b =，ABC △为等腰三角形.综上所述，ABC △为直角三角形或等腰三角形.（2）①因为c b ≠，所以π2B =，又π3A =，a =，所以2c =，4b =.如图，设CBQ α∠=，π0,3α⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，方法一：在CBQ △中，由正弦定理，得ππsin sin 66BQ BCα=⎛⎫+ ⎪⎝⎭，所以3πsin 6BQ α=⎛⎫+ ⎪⎝⎭.在BPQ △中，由正弦定理，得ππsinsin 63BQ PQα=⎛⎫+ ⎪⎝⎭，所以πππ2sin 2sin sin 363BQ PQ ααα==⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭31132222=⎝⎭⎝⎭2=.因为π0,3α⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以2π20,3α⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，故当π22α=，即π4α=时，min 26PQ ==-.方法二：在ABP △中，由正弦定理，得ππsin sin 33BP ABβ=⎛⎫+ ⎪⎝⎭，所以πsin 3BQ β=⎛⎫+ ⎪⎝⎭.在BPQ △中，由正弦定理，得ππsin sin 62BP PQβ=⎛⎫+ ⎪⎝⎭，所以π2cos 2cos sin 3BPPQ βββ==⎛⎫+ ⎪⎝⎭132222=⎝⎭ππ32sin 2332β==⎛⎫+ ⎪⎝⎭⎝⎭.因为π0,3β⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以ππ2π2,333β⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，故当ππ232β+=，即π12β=时，min 26PQ ==.方法三：在CBQ △中，由正弦定理，得πsin sin 6CQBCαα=⎛⎫+ ⎪⎝⎭，所以πsin 6CQ α=⎛⎫+ ⎪⎝⎭.在ABP △中，由正弦定理，得ππsin sin 33AP ABαα=⎛⎫⎛⎫-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以π2sin 3πsin 3AP αα⎛⎫- ⎪⎝⎭=⎛⎫+ ⎪⎝⎭.所以π2sin 344π2πsin sin 63PQ AP CQ αααα⎛⎫- ⎪⎝⎭=--=--⎛⎫⎛⎫+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭11114cos sin cos sin 2cos 22sin sin 22222222222αααααααααα=⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛++-+--+⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭323142=因为π0,3α⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以2π20,3α⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，故当π22α=，即π4α=时，min 26PQ ==-.②假设存在常数θ，k ，对于所有满足题意的α，β，都有sin 2sin 26sin cos k k αβαβ-+=成立，则存在常数θ，k ，对于所有满足题意的α，β，利用参考公式，有()()()()12cos sin 6sin sin 2k k αβαβαβαβ+-+=⋅++-⎡⎤⎣⎦.由题意，π2αβθ+=-是定值，所以()sin αβ+，()co αβ+是定值，()()()2cos 3sin 13sin 0k k αβαβαβ+--+-+=⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦对于所有满足题意的α，β成立，故有()()2cos 3013sin 0k k αβαβ+-=⎧⎪⎨-+=⎡⎤⎪⎣⎦⎩，因为()2cos 03k αβ=+≠，从而()13sin 0αβ-+=，即()1sin 3αβ+=，ππ0,22αβθ⎛⎫+=-∈ ⎪⎝⎭，所以()22cos 3αβ+=.故()()π1cos cos sin 23θαβαβ⎡⎤=-+=+=⎢⎥⎣⎦，429k =.思路二：也可以赋值：因为对于所有满足题意的α，β，都有sin 2sin 26sin cos k k αβαβ-+=，取αβ=，则6sin cos k k αα=，则()1sin 2sin 3ααβ=+=，所以()()π1cos cos sin 23θαβαβ⎡⎤=-+=+=⎢⎥⎣⎦，取π2αθ=-，0β=，则1sin cos 3αθ==，cos 3α=，则sin 26sin k k αα+=，即1126333k k ⨯⨯+=⨯，所以9k =.再证明等式恒成立.19.【答案】（1）当1a =时，()ln 1f x x x =--，则()111x f x x x -=-='，所以当()0,1x ∈时，()0f x '<，()f x 单调递减；当()1,x ∈+∞时，()0f x '>，()f x 单调递增，所以当1x =时，()f x 取极小值0，无极大值.（注：不交代极大值，扣1分）（2）①方法一：由（1）可知1ln x x -≥（当且仅当1x =时取“＝”）.在上式中，用e x 代x ，则有e 1xx ≥+（当且仅当0x =时取“＝”）.()1a x a f x x x -=-='.1°若0a ≤，则当()0,x ∈+∞时，()0f x '>，()f x 单调递增，又0010x e x >+>，则()()001x f e f x >+，故不存在()00,x ∈+∞，使得()()001x f ef x <+成立，故不符合；2°若01a <≤，则当(),x a ∈+∞时，()0f x '>，()f x 单调递增，又0011x e x >+>，则()()001x f e f x >+，故不存在()00,x ∈+∞，使得()()001x f ef x <+成立，故不符合；3°若1a >，则当()0,x a ∈时，()0f x '<，()f x 单调递减，又0011x e x >+>，令0x e a <，即0ln x a <，此时001x x e a +<<，则()()001x f x f e +>，所以存在()00,x ∈+∞，使得()()001x f e f x <+成立，故符合.综上所述，a 的取值范围为()1,+∞.方法二：因为存在()00,x ∈+∞，使得()()001x f ef x <+，则存在()00,x ∈+∞，使得()()0001ln 110x e a x a x -+++-<.令()()()1ln 11x g x e a x a x =-+++-，则()()11x a g x e a x =-+++'，令()()11x a x e a x ϕ=-+++，则()()21x a x e x ϕ=-+'.1°若0a ≤，则()0x ϕ'≥，()x ϕ单调递增，又()()0010e a a ϕ=-+-=，所以()0x ϕ>，即()0g x '>，()g x 单调递增，又()00g =，所以()0g x >，故不存在()00,x ∈+∞，使得()()001x f ef x <+成立.2°若0a >，令()()u x x ϕ='，则()()3201x au x e x =+⨯>+'，则()u x 单调递增.若()010u a =-≥，即01a <≤时，()0u x >，即()0x ϕ'>，()x ϕ单调递增，又()00ϕ=，所以()x 0ϕ>，即()0g x '>，()g x 单调递增，又()00g =，所以()0g x >，故不存在()00,x ∈+∞，使得()()001x f ef x <+成立；若()010u a =-<，即1a >时，10->，)()11211011au =-=->+，又()u x 单调递增，()u x 的图象连续不间断，所以由零点存在性定理可知()11x ∃∈-，使得()10u x =，所以当()10,x x ∈时，()0u x <，即()0x ϕ'<，()x ϕ单调递减，又()00ϕ<，所以当()10,x x ∈时，()0x ϕ<，即()0g x '<，()g x 单调递减，又()00g =，所以当()10,x x ∈时，()0g x <，故存在()00,x ∈+∞，使得()()001x f e f x <+成立.综上所述，a 的取值范围为()1,+∞.（注：若根据直观想象给出一定的叙述，答案正确，给3分；若仅有答案且正确，没有必要的叙述，给2分）②因为()1a x a f x x x-=-='，则当(),x a ∈+∞时，()0f x '>，()f x 单调递增，由①可知1a >，则24a a +、42a a a +>，所以要比较()24a f a +与()42a f a +的大小，即比较24a a +与42aa +的大小，即比较42a a -与42a a -的大小.令()2F x x x =-，则比较()2a F 与()2F a 的大小.易知()F x 在()1,+∞上单调递增，即比较2a 与2a 的大小，即比较ln 2a 与2ln a 的大小，即比较ln 22与ln a a 的大小.令()ln x t x x =（1x >），则()21ln x t x x -='，所以当()1,x e ∈时，()t x 单调递增，当(),x e ∈+∞时，()t x 单调递减，又()()24t t =.所以当()1,2a ∈时，ln2ln 2a a>，即22a a >，由()F x 在()1,+∞上单调递增，可知()()22a F F a >，即2442a a a a +>+，又()f x 在(),a +∞上单调递增，所以()()2442a a f a f a +>+.类似地，可得：当()4,a ∈+∞时，()()2442a a f a f a +>+；当2a =或4时，()()2442a a f a f a +=+；当()2,4a ∈时，()()2442a a f a f a +<+.（注：漏1种情况，扣1分；至多扣2分）。

河北省保定市2024-2025学年高三上学期10月期中考试数学试题(含答案)

河北省保定市2024-2025学年高三上学期10月期中考试数学试题(含答案)

2024年高三摸底考数学试题本试卷共4页，19小题，满分150分.考试用时120分钟.注意事项：1.答题前，请务必将自己的姓名､准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔分别填写在试题卷和答题卡上.将条形码横贴在答题卡“条形码粘贴处”.2.作答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上.3.非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效.4.考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后，将试卷和容题卡一并交回.一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的.1.已知，则（）A.B. C. D.2.已知是的共轭复数，则（）A.0 B. C.2D.3.已知向量，且，则（）A.1B.2C.D.04.若一个球的体积和表面积数值相等，则该球的半径的数值为（）A.2B.3C.45.设函数为偶函数.当满足时，|有最小值2，则和的值分别是（）A. B.C. D.6.若中，角所对的边分别为平分交于，且，则（）{}1,{5,}A xx B x x x ==<∈N ∣∣…A B ⋂={}0,1{}1[]0,1(]0,1()21i ,1i z z -=+z z =2i 2-()()1,1,2,a b λ==- ()0b λ=> a b ⋅= 1-r ()()πcos 0,2f x x ωϕωϕ⎛⎫=+><⎪⎝⎭12,x x ()()122f x f x -=12x x -∣ωϕπ,0ωϕ==ππ,2ωϕ==ππ,22ωϕ==π,02ωϕ==ABC ,,A B C ,,,4,16,a b c a b CD ==ACB ∠AB D 4CD =BD =B.3C.D.7.已知且，则的最小值是（）A.12 B.16 C.15 D.148.已知函数若关于的方程至少有5个不等的实数解，则的取值范围是（）A. B. C. D.二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分.9.函数的图象经过（）A.第一象限 B.第二象限C.第三象限D.第四象限10.若是平面的一条斜线，，直线平面且直线，记直线与平面所成的角为，则下列说法正确的是（）A.与是一对异面直线B.若点和分别为直线上和平面内异于点的点，则C.若和分别是直线与上的动点，则满足且的直线不唯一D.过直线有且只有唯一平面与直线平行11.若函数存在两个极值点，下列说法正确的是（）A.时满足条件B.不存在实数使得均为正整数C.当时，D.对任意正整数，均存在对应的，使得三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共计15分.12.已知曲线在处的切线斜率为4，则实数的值为__________.13.函数的最小正周期是__________，在上的单调递减区间是__________.0ab >21a b +=221a b ab++()()1,11,22,17,x x f x f x x ⎧--<⎪=⎨-⎪⎩………x ()f x a =a []1,0-[]2,0-[]4,0-[]8,0-()11x y a a a=->αl O α⋂=a ⊂αO ∉a αθa A B αO AOB ∠θ…M N a MN l ⊥MN a ⊥a ()21ln 2f x x x mx x =--()1221,x x x x >1m =m 12,x x 321x x …m n 12,x x ()222112ln x x n x x -=13e 1x y ax -=++1x =a ()2cos sin cos 1f x x x x =++()f x ()0,π14.已知递增数列共有项（为定值）且各项均不为零，末项.若从数列中任取两项和，当时，仍是数列中的项，则数列的通项公式__________（用含和的式子表示.）四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15.（13分）已知向量.（1）若，且，求的值；（2）设函数，求函数的值域.16.（15分）已知直三棱柱中，，且，点分别为线段和的中点.（1）证明：平面；（2）求平面与平面的夹角.17.（15分）在中，角的对边分别为.（1）求角；（2）若，求的值；（3）在（2）的条件下，若边，点为线段上的动点，点为线段上的动点，且线段平分的面积，求线段长度的最小值.18.（17分）已知函数.{}n a m *,m m ∈N 1m a ={}n a i a j a i j <j i a a -{}n a {}n a n a =m n ()3cos ,1,sin ,2a x b x ⎛⎫==- ⎪⎝⎭ a ∥b ()0,πx ∈sin cos x x -()()π2,0,4f x a b a x ⎡⎤=+⋅∈⎢⎥⎣⎦ ()f x 111ABC A B C -12AB BC BB ===AB BC ⊥,E F AC 1CC 1A E ⊥BEF 1ABC BEF ABC ,,A B C 2,,,cos cos b a c a b c B C-=B 2222b c ac =+cos C 2c =D AB E BC DE ABC DE ()()e sin 2,2cos x f x x x g x x =+-=-（1）已知直线是曲线的切线，求实数a 的值；（2）求函数的单调区间；（3）求证：恒成立.19.（17分）已知数列，其前项和为，对任意正整数恒成立，且.（1）证明：数列为等比数列，并求实数的值；（2）若，数列前项和为，求证：；（3）当时，设集合，集合中元素的个数记为，求数列的通项公式.0x y a -+=()[],0,πy g x x =∈()f x ()()f x g x …{}n a n n S ,2n n n S a μ=-1212a a +={}n a μ21log n n b a =()n b n n T 2ln 2n n T +>1n …{}123232,1n n n i j i j B a a a a i j ++=+⋅<+<⋅<∣…*,i j ∈N n B n c {}n c2024年高三数学摸底试题参考答案一､选择题：（每小题5分，共40分）1.A2.B3.C4.B5.D6.C7.D8.B8.解析：由题意的图象如图所示，问题转化为函数的图象与直线的至少有5个公共点，故的范围是B 正确.二､多选题：（每小题6分，共18分）9.ABC11.解析：当时在上单调递增.此时至多有一个极值点，不符合题意.当时，若；若.在上单调递增，在上单调递减.又当时.当时，故只需A 错误.此时且由于是的两个零点且.则若为正整数则.此时.()f x ()f x y a =a []2,0.-()()()()1ln 0;0mx f x x mx x f x x x'-=->='>'0m ≤()()0f x f x ≥∴'''()0,∞+()f x 0m >()10,,0x f x m ⎛⎫⎪⎭''∈> ⎝()1,,0x f x m ∞⎛⎫∈+⎭''< ⎪⎝()f x ∴'10,m ⎛⎫ ⎪⎝⎭1,m ∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭0x +→()f x ∞'→-x ∞→+()f x ∞'→-1110ln 100.e f m m m '⎛⎫>⇒->⇒<< ⎪⎝⎭1e m>()()e 1e 0,10f m f m '=->-'=<12,x x ()f x '12x x <121e 1e x x m <<⎧⎪⎨>>⎪⎩1x 12x =()()2ln22ln2242ln242ln22ln2042f m m f m x '=-⇒=⇒='-=-=⇒=所以存在使得均为正整数，B 错误.由于和是函数与直线交点的横坐标.当时恰有.所以当时，必有当（注：由图象与直线交点变化情况可知m 越小，越小，越大.m 越大，越大，越小）所以当时，m正确..由于当时此时，当时此时故的取值范围是，即对任意正整数均存在使得.D 正确综上可知：CD 正确.三､填空题：（每个小题5分，共15分）12.113.；（开闭区间均给分）14.14.解析：由题意：，若则.而是递增数列中的项，这与是ln22m =12x x 111212212ln ln ln ln x mx x x m x x mx x x =⎧⇒==⇒⎨=⎩2x ()ln x g x x =y m ===m =12x x ==321x x =0m <≤321x x ≥m >321x x <ln x y x=y m =1x 2x 1x 2x 321x x ≥()()()()()22212121212121121212ln ln ln x x x x x x x x x x x x x x x x mx mx m+-+---===++0m +→21x x ∞-→+21x x m∞-→+1e m →210x x +-→210x x m-→()222112ln x x x x -()0,∞+n 12,x x ()222112ln x x n x x -=ππ5π,88⎡⎤⎢⎥⎣⎦n m 10a ≠10a <11m m a a a ->=1m a a -{}n a 1m a =数列的最大项矛盾.故必有.因为数列是单调递增数列，所以有.从而有且它们均为数列中的项.因此由上可知所以数列是以为首项，以为公差的等差数列.所以四､解答题：（本题共5小题，共77分）15.（13分）解：（1），，又，，；（2）由题意：10a >{}n a 12301m a a a a <<<<<=2131411m m a a a a a a a a a -<-<-<<-< {}n a 121212a a a a a =-⇒=23131213a a a a a a a =-⇒=+=34143114a a a a a a a =-⇒=+=.⋯⋯⋯11111m m m m a a a a a a ma --=-⇒=+=11a m ={}n a 11a m=1m n n a m=a ∥3,cos sin 2b x x ∴-= 3tan 2x ∴=-()0,πx ∈ sin x x ∴==sin cos x x ∴-=1cos sin ,2a b x x ⎛⎫+=+- ⎪⎝⎭ ()()()2122cos sin ,cos ,12cos 2sin cos 12f x a b a x x x x x x ⎛⎫∴=+⋅=+-⋅=+- ⎪⎝⎭ πsin2cos224x x x ⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，的值域是16.（15分）（1）证明平面平面，又，又平面又平面.又即.又平面.（2）解：如图所示，以点为原点，为轴，为轴建立空间直角坐标系，易得设平面的法向量，则，取，则法向量.由（1）可知平面的法向量.平面与平面的夹角为.πππ3π0,,2,4444x x ⎡⎤⎡⎤∈∴+∈⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦ ()∴f x ⎡⎣1A A ⊥ ,ABC BE ⊂1,ABC A A BE ∴⊥,.AB BC AE EC BE AC ==∴⊥ 1A A AC A BE ⋂=∴⊥ 11ACC A 1A E ⊂ 111,A ACC A E BE ∴⊥1tan tan A EA EFC ∠∠== 11ππ22A EA EFC EFC FEC A EA FEC ∠∠∠∠∠∠∴=+=∴+= 1A E EF ⊥1.EF BE E A E ⋂=∴⊥BEFB BA x BC y 11(2,0,0),(0,0,0),(0,2,2),(2,0,2),(1,1,0)A B C A E ()()12,0,0,0,2,2,BA BC == 1ABC (),,n x y z = 120,220n BA x n BC y z ⋅==⋅=+= 1y =()0,1,1n =-()11,1,2A E =-- BEF 111cos ,||A E n A E n A E n ⋅∴<>===⋅ 1ABC BEF π617.（15分）解：（1），，，（2），又，（3）若边由（1）（2）可知，，令，则，又由余弦定理得：（当时等号成立）.18.（17分）解：（1），，解得切点为，2,sin cos 2sin cos cos sin cos cos b a c B C A B B C B C -=∴=- sin cos cos sin 2sin cos B C B C A B∴+=1sin 2sin cos ,cos 2A A B B ∴=∴=()π0,π,3B B ∈∴=222π1,232B b a c ac =∴=+-⋅ 2222b c ac =+ 233,,22ac a a c b ∴=∴=∴=222cos 2a b c C ab +-∴===2c =π3,3a b B ===1sin 2ABC BDE S ac B S ∴==∴= ,BD m BE n ==132BDE S mn ==∴= 2221232DE m n mn mn =+-≥=m n ==DE ∴()[]sin ,0,πg x x x =∈' ()sin 1g x x ='∴=π,2x =∴π,22⎛⎫ ⎪⎝⎭ππ20,222a a ∴-+=∴=-（2），当时，单调递减当时，，单调递增，单调递递增.综上所述，在上单调递减，在上单调递增.（3）证明：恒成立恒成立恒成立.令，则令则单调递增，又，当时，，即单调递减；当时，，即单调递增；恒成立.19.（17分）解：（1）令可得，即.令可得，即，所以又.，两式相减可得，数列为首项为4，公比为2得等比数列.（2）证明：由（1）可知，所以.()e cos 2xf x x =+'- (],0x ∞∈-()()e 1,cos 1,0,xx f x f x ≤'≤≤∴[)0,x ∞∈+()e sin ,e 1,sin 1x xf x x x =-≥'≤'()()0,f x f x ≥'∴''∴()()()00,f x f f x ='≥'∴()f x (],0∞-[)0,∞+()()f xg x ≥e sin 2cos 20x x x x ⇔+-+-≥sin cos 2210e xx x x +--⇔+≥()sin cos 221e x x x x h x +--=+()()()()cos sin 2sin cos 222sin e e x x x x x x x x x h x ---+'---==()sin m x x x =-()()1cos 0,m x x m x =-≥∴'()00m = ∴(],0x ∞∈-()0m x ≤()()0,h x h x '≤[)0,x ∞∈+()0m x ≥()()0,h x h x '≥()()()()00,h x h f x g x ∴≥=∴≥1n =112S a μ=-1a μ=2n =222S a μ=-1222a a a μ+=-22a μ=1212,4a a μ+=∴= 112424n n n n S a S a --=-⎧⎨=-⎩ 1122,2n n n n n a a a a a --=-∴=∴{}n a 12n n a +=211log 1n n b a n ==+要证成立，只需证，即令，当时，单调递增，（3）时，集合，即3中元素个数，等价于满足的不同解，如果.则.盾!如果j ，则，矛盾!，又，，即，共个不同解，所以.11122,ln ln .121n n n i i n i T i i ==++==++∑∑ ∴2ln 2n n T +>12ln 11n n n +>++11ln 111n n ⎛⎫>+ ⎪++⎝⎭()()()()1ln 1,10,0,11x f x x x f x x x x ∞=-+==>'-∈+++∴()0,x ∞∈+()f x ()()()1ln 100,01f x x x f f n ⎛⎫=-+>=∴> ⎪+⎝⎭112ln 1,ln 112n n T n n +⎛⎫∴>+∴> ⎪++⎝⎭1n ≥{}123232n n n i j i j B a a a a ++=+⋅<+<⋅∣1*22232,1,,,n i j n n i j i j B +⋅<+<⋅≤<∈N 1322232n i j n +⋅<+<⋅(),i j 2j n <+1122222232i j i n n n n +++++=⋅……2n >+31222232i j i n n +++≥+>⋅2j n ∴=+()12223224232220n n n n n ++-⋅=+⋅-⋅=+> 1222212322222222232n n n n n n n n ++++++∴⋅<+<+<<+<+=⋅ 1,2,3,,i n = n (),i j ()1n c n n =≥。

2024-2025学年山东省菏泽市高三上学期期中数学试题及答案

2024-2025学年山东省菏泽市高三上学期期中数学试题及答案

菏泽市2024—2025学年度第一学期期中考试高三数学试题本试卷共4页，19题.全卷满分150分.考试用时120分钟.注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置.2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.3．非选择题的作答：用签字笔直接写在答题卡上对应的答题区域内.写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 已知集合{}{}202,0M x x N x x x =∈<<=-≤Z ∣∣，则M N = （ ）A. {}0,1 B. {}1 C. {}1,1- D. ∅2. 已知函数()21f x +的定义域为[]1,2，则函数()1f x -的定义域为（ ）A. []1,2 B. []4,6 C. []5,9 D. []3,73. 已知2025π1sin sin 22αα⎛⎫-+=⎪⎝⎭，则cos2sin cos ααα=+（ ）A. 12-B.12C. 0D. 14. “函数()32f x x ax =-在[]2,3-上单调递增”是“3a ≤”的（ ）A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件C 充要条件D. 既不充分又不必要条件5. 过曲线9log =y x 上一点A 作平行于两坐标轴的直线，分别交曲线3log y x =于点,B C ，若直线BC 过原点，则其斜率为（ ）A. 1B.3log 22C.ln33D.2log 36.6. 函数()11ln sin 21x f x x x+=--的零点个数为（ ）A. 1B. 0C. 3D. 27. 自然界中许多流体是牛顿流体，其中水、酒精等大多数纯液体、轻质油、低分子化合物溶液以及低速流动的气体等均为牛顿流体；高分子聚合物的浓溶液和悬浮液等一般为非牛顿流体，非牛顿流体在实际生活和生产中有很多广泛的应用，如工业制造业常利用某些高分子聚合物做成“液体防弹衣”，已知牛顿流体符合牛顿黏性定律，即在一定温度和剪切速率范围内黏度值是保持恒定的：τηγ=，其中τ为剪切应力，η为黏度，γ为剪切速率；而当液体的剪切应力和剪切速率存在非线性关系时液体就称为非牛顿流体．其中宾汉流体（也叫塑性流体），是一种粘塑性材料，是非牛顿流体中比较特殊的一种，其在低应力下表现为刚体，但在高应力下表现为粘性流体（即粘度恒定），以牙膏为例，当我们挤压它的力较小时，它就表现为固体，而当力达到一个临界值，它就会变成流体，从开口流出．如图是测得的某几种液体的流变τγ-曲线，则其中属于牙膏和液体防弹衣所用液体的曲线分别是（ ）A. ①和④B. ③和④C. ③和②D. ①和②8. 已知函数()()1e xf x x =-，点(),m n 在曲线()y f x =上，则()()f m f n -（ ）A. 有最大值为1e -，最小值为1 B. 有最大值为0，最小值为1e-C. 有最大值为0，无最小值D. 无最大值，有最小值为1e-二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9 已知0c b a <<<，则（ ）A. ac bc <B. 333b c a +< C.a c ab c b+>+D.<10. 已知函数()21,2,5,2xx f x a b c d x x ⎧-≤⎪=<<<⎨->⎪⎩，且()()()()f a f b f d f c ==<，则（ ）A. 1a ≤- B. []1,4c ∈ C. ()20,5ad ∈ D. 222a b +=.11. 把一个三阶魔方看成是棱长为1的正方体，若顶层旋转x 弧度π02x ⎛⎫<<⎪⎝⎭，记表面积增加量为()S f x =，则（ ）A. π6f ⎛⎫=⎪⎝⎭B. ()f x 的图象关于直线π3x =对称C. S 呈周期变化D. 6S ≤-三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12. 命题：“所有能被4整除的正整数能被2整除”的否定是______．13. 已知函数()sin2cos2f x x a x =+，将()f x 的图象向左平移π6个单位长度，所得图象与曲线()y f x =关于原点对称，则()0f =______．14. 已知22,e x ⎡⎤∈⎣⎦时，2log 2axx x ax ≥⋅，则正数a 的最大值为______．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤．15. 记ABC V 内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知πsin sin ,63C C b ⎛⎫+== ⎪⎝⎭，ABC V的面积为（1）求C ；（2）求ABC V 的周长．16. 已知函数()π2sin 43⎛⎫=- ⎪⎝⎭f x x ．（1）求()f x 的单调递减区间；（2）若ππ,68x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，求()()23-=+f x y f x 的最大值．17. 记锐角ABC V 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知cos 2cos cos c CA b B-=．（1）求B ；的（2）延长AC 到D ，使2,15AC CD CBD =∠= ，求tan A ．18. 已知函数()()2e xf x x a =-．（1）求()f x 单调区间；（2）设12,x x 分别为()f x 的极大值点和极小值点，记()()()()1122,,,A x f x B x f x ．证明：直线AB 与曲线()y f x =交于另一点C ．19. 已知函数()()sin tan sin 2f x x x x =+-，其中01x <<，（1）证明：21cos 12x x >-；（2）探究()f x 否有最小值，如果有，请求出来；如果没有，请说明理由．的是菏泽市2024—2025学年度第一学期期中考试高三数学试题本试卷共4页，19题.全卷满分150分.考试用时120分钟.注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置.2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.3．非选择题的作答：用签字笔直接写在答题卡上对应的答题区域内.写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．【1题答案】【答案】B【2题答案】【答案】B【3题答案】【答案】A【4题答案】【答案】A【5题答案】【答案】B【6题答案】【答案】A【7题答案】【答案】D【8题答案】【答案】B二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．【9题答案】【答案】ABD 【10题答案】【答案】BCD 【11题答案】【答案】AD三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．【12题答案】【答案】存在能被4整除的正整数不能被2整除【13题答案】【答案】【14题答案】四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤．【15题答案】【答案】（1）π3C =（2）10+【16题答案】【答案】（1）π5ππ11π,224224k k ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦，()k ∈Z （2）0【17题答案】【答案】（1）45B =（2）2+【18题答案】【答案】（1）单调增区间为()(),2,,a a ∞∞--+，单调减区间为(2,)a a - （2）证明见解析【19题答案】【答案】（1）证明见解析（2）没有，理由见解析。

盐城市2024-2025学年高三上学期11月期中考试数学试题(含答案)

盐城市2024-2025学年高三上学期11月期中考试数学试题(含答案)

盐城市2024-2025学年高三年级第一学期期中考试数学试题注意事项：1.本试卷考试时间为120分钟，试卷满分150分，考试形式闭卷；2.本试卷中所有试题必须作答在答题卡上规定的位置，否则不给分；3.答题前，务必将自己的学校、班级、姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水签字笔填写在试卷及答题卡上。

第Ⅰ卷（选择题 共58分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，计40分.每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的，请在答题纸的指定位置填涂答案选项.1.已知集合{}1,1A =-，(){},,B x y x A y A =∈∈，则AB =（ ）A.AB.BC.∅D.R2.已知复数1z i =+，则z z ⋅=（ ）A. 1C. 2D.3.在ABC △中，“sin cos A B =”是“π2C =”的（ ） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件D.既不充分又不必要条件4.若()sin 1αβ+=，则sin 2α=（ ） A.sin 2βB.cos 2βC.sin 2β-D.cos 2β-5.已知数列{}n a 满足14a =，142n na a +=-，则{}n a 的2024项的和为（ ） A. 2024B. 2025C. 2026D. 20276.若实数x ，y 满足2291x y +=，则3x y +的最小值为（ ）A. 1B.1-D.7.人脸识别就是利用计算机检测样本之间的相似度，余弦距离是检测相似度的常用方法.假设二维空间中有两个点()11,A x y ，()22,B x y ，O 为坐标原点，定义余弦相似度为()cos ,cos ,A B OA OB =，余弦距离为()1cos ,A B -.已知(),cos sin A αα，)1B-，若A ，B 的余弦距离为13，则3c s 2πo α⎛+⎫= ⎪⎝⎭（ ）A.7-B.1-C.1 D.78.已知点O 为ABC △的外心，且向量()1AO AB AC λλ=+-，R λ∈，若向量BA 在向量BC 上的投影向量为15BC ，则cos B 的值为（ ）D.12二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分。

北京市2025届高三上学期期中考试数学试卷含答案

北京市2025届高三上学期期中考试数学试卷含答案

2024—2025学年度第一学期期中练习题（答案在最后）年级：高三科目：数学考试时间：120分钟，满分：150分一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选中，选出符合题目要求的一项.1.已知集合{}11A x x =-≤≤，{|0}2xB x x =≤-，则A B = （）A.{}01x x ≤≤B.{}12x x -≤≤C.{}12x x -≤< D.{}02x x ≤≤【答案】C 【解析】【分析】解不等式化简集合B ，再利用并集的定义求解即得.【详解】解不等式02xx ≤-，得(2)020x x x -≤⎧⎨-≠⎩，解得02x ≤<，则{|02}B x x =≤<，而{}11A x x =-≤≤，所以{}12A B x x ⋃=-≤<.故选：C2.命题“()0,x ∀∈+∞，e ln x x >”的否定为（）A.()0,x ∃∈+∞，e ln x x >B.()0,x ∀∈+∞，e ln x x <C.()0,x ∀∈+∞，e ln x x ≤D.()0,x ∃∈+∞，e ln x x≤【答案】D 【解析】【分析】根据全称命题与存在性命题的关系，准确改写，即可求解.【详解】根据全称命题与存在性命题的关系，可得：命题“()0,x ∀∈+∞，e ln x x >”的否定为“()0,x ∃∈+∞，e ln x x ≤”.故选：D ．3.已知复数z 满足i 1z -=，则z 的取值范围是（）A.[]0,1 B.[)0,1 C.[)0,2 D.[]0,2【答案】D 【解析】【分析】利用i 1z -=表示以 馀य़为圆心，1为半径的圆，z 表示圆上的点到原点的距离可得答案.【详解】因为在复平面内，i 1z -=表示到点 馀य़距离为1的所有复数对应的点，即i 1z -=表示以 馀य़为圆心，1为半径的圆，z 表示圆上的点到原点的距离，所以最短距离为0，最长距离为112+=，则z 的取值范围是 馀h .故选：D .4.若双曲线22221x y a b-=()0,0a b >>的离心率为2，则该双曲线的渐近线方程为（）A.0y ±= B.0x ±=C.0x y ±=D.y ±=【答案】A 【解析】【分析】根据公式b a ==.【详解】由题意可知，2e =，则b a ==，所以双曲线的渐近线方程为y =0y ±=.故选：A5.直线()1:31210l a x ay ++-=和直线2:330l ax y -+=，则“53a =”是“12l l ⊥”的（）A.必要不充分条件B.充分不必要条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】B 【解析】【分析】由题意先求出12l l ⊥的充要条件，然后根据充分不必要条件的定义判断即可.【详解】由题设12l l ⊥()()31230a a a ⇔⨯++⨯-=，解得0a =或53a =.故1253a l l =⇒⊥，1253l l a ⊥⇒=/.所以“53a =”是“12l l ⊥”的充分不必要条件.故选：B.6.已知函数()sin()0,0,||2f x A x A πωϕωϕ⎛⎫=+>>< ⎪⎝⎭的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（）A.该图象对应的函数解析式为()2sin 26f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭B.函数()y f x =的图象关于直线712x π=对称C.函数()y f x =的图象关于点5,012π⎛⎫-⎪⎝⎭对称D.函数()y f x =在区间2,36ππ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦上单调递减【答案】B 【解析】【分析】先依据图像求得函数()f x 的解析式，再去代入验证对称轴、对称中心、单调区间的说法.【详解】由图象可知2,4312T A ππ==-，即T π=，所以22Tπω==，又212f π⎛⎫= ⎪⎝⎭，可得2sin 2212πϕ⎛⎫⨯+=⎪⎝⎭，又因为||2ϕπ<所以3πϕ=，所以2n 2)3(si f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭，故A 错误；当712x π=时，73sin 2sin 2sin 131232x ππππ⎛⎫⎛⎫+=⨯+==- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.故B 正确；当512π=-x 时，sin 2sin 1032x ππ⎛⎫⎛⎫+=-=-≠ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故C 错误；当2,36x ππ⎡⎤∈--⎢⎥⎣⎦时，则2[,0]3ππ+∈-x ，函数()f x 不单调递减.故D 错误．故选：B7.已知1F ，2F 是椭圆C ：22221(0)x y a b a b +=>>的两个焦点，P 为C 上一点，且1260F PF ∠=，125PF PF =，则C 的离心率为（）A.6B.22C.12D.23【答案】A 【解析】【分析】根据椭圆的定义分别求出21,PF PF ，在12PF F 中，利用余弦定理求得,a c 的关系，从而可得出答案.【详解】解：在椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>中，由椭圆的定义可得122PF PF a +=，因为125PF PF =，所以215,33a aPF PF ==，在12PF F 中，122F F c =，由余弦定理得222121212122cos F F PF PF PF PF F PF =+-∠，即222222552149999a a a a c =+-=，所以222136c a =，所以C 的离心率216c e a ==.故选：A .8.函数()2sin 41x x xf x =+的大致图象为（）A.B.C.D.【答案】A 【解析】【分析】根据函数的奇偶性、特殊点的函数值来确定正确选项.【详解】()()sin ,22x xxf x f x -=+的定义域为R ，()()sin 22x xxf x f x ---==-+，()f x 为奇函数，图象关于原点对称，排除C 选项.143ππ<<,()sin12201sin115522f <==<+，排除BD 选项.所以A 选项符合.故选：A9.“打水漂”是一种游戏：按一定方式投掷石片，使石片在水面上实现多次弹跳，弹跳次数越多越好．小乐同学在玩“打水漂”游戏时，将一石片按一定方式投掷出去，石片第一次接触水面时的速度为30m/s ，然后石片在水面上继续进行多次弹跳．不考虑其他因素，假设石片每一次接触水面时的速度均为上一次的75%，若石片接触水面时的速度低于6m/s ，石片就不再弹跳，沉入水底，则小乐同学这次“打水漂”石片的弹跳次数为（）（参考数据：ln 20.7,ln 3 1.1,ln 5 1.6≈≈≈）A.5B.6C.7D.8【答案】B 【解析】【分析】设这次“打水漂”石片的弹跳次数为x ，根据题意得300.756x ⨯<，即0.750.2x <，根据指数函数的单调性和对数换底公式求解即可.【详解】设这次“打水漂”石片的弹跳次数为x ，由题意得300.756x ⨯<，即0.750.2x <，得0.75log 0.2x >.因为0.751lnln0.2lg55log 0.2 5.33ln0.75ln32ln2ln 4-===≈-，所以 5.3x >，即6x =.故选：B.10.已知函数2,0,()ln ,0,x x x f x x x x ⎧+⎪=⎨>⎪⎩，()()g x f x ax =-，若()g x 有4个零点，则a 的取值范围为（）A.20,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭B.10,2e ⎛⎫ ⎪⎝⎭C.2,1e ⎛⎫ ⎪⎝⎭D.1,12e ⎛⎫⎪⎝⎭【答案】B 【解析】【分析】由题意可得x=0为1个零点，只需要x ≠0时，21,0a 0x x lnx x x +≤⎧⎪=⎨>⎪⎩，，即y=a 与y 21,00x x lnx x x +≤⎧⎪=⎨>⎪⎩有3个交点且交点的横坐标不为0，作出y 21,00x x lnx x x +≤⎧⎪=⎨>⎪⎩，的图象，即可得出结论．【详解】当x=0时，g(0)=f(0)-0=0，当x 0≠时，由题意可得21,0a 0x x lnx x x +≤⎧⎪=⎨>⎪⎩，，即y=a 与y 21,00x x lnxx x +≤⎧⎪=⎨>⎪⎩，有3个交点且交点的横坐标不为0，令h(x)=2x 0lnx x >，,令h′（x ）=312l 0nxx -=，则x=12e ，所以h(x)在（0，12e）单调递增，在（12e ∞+，）上单调递减，∴y 21,00x x lnx x x +≤⎧⎪=⎨>⎪⎩的大致图像如图：又h(12e)=12e，若y=a 与y 21,00x x lnx x x +≤⎧⎪=⎨>⎪⎩，有3个交点且交点的横坐标不为0，则10a 2e <<，故选B.【点睛】本题考查分段函数的零点，考查了利用导数解决函数零点的问题，考查了分析转化问题的能力，属于中档题．二、填空题共5小题，每小题5分，共25分.11.已知向量()4,2b = ，若向量a 在b 上的投影向量为12b，且a 与b 不共线，请写出一个符合条件的向量a的坐标________.【答案】()1,3（答案不唯一）【解析】【分析】根据题意，得到12a bb b b b ⋅⋅=，求得10a b ⋅=，进而可写出一个向量，得到答案.【详解】由向量()4,2b =，可得向量b = ，因为向量a 在b 上的投影向量为12b，可得12a b b b b b ⋅⋅=，可得10a b ⋅= ，设(,)a x y =，可得4210x y +=，取1,3x y ==，此时向量a 与向量b 不共线，故()1,3a =.故答案为：()1,3（答案不唯一）.12.已知(2)n x y +展开式中各项系数和为243，则展开式中的第3项为___________.【答案】3280x y ##2380y x 【解析】【分析】令1x y ==，即可求出展开式系数和，从而求出n ，再写出展开式的通项，即可得解.【详解】解：令1x y ==，得()21243n+=，解得5n =，所以5(2)x y +的展开式的通项()555155C 22C kkk k k k kk T x y x y ---+==，则展开式的第3项为323232352C 80T x y x y ==．故答案为：3280x y 13.已知抛物线24y x =上的点P 到抛物线的焦点F 的距离为6，则以线段PF 的中点为圆心，PF 为直径的圆被x 轴截得的弦长为________．【答案】4【解析】【分析】首先利用抛物线定义确定P 点坐标，进而可得以PF 的中点为圆心， ᬈ长度为直径的圆的方程，再代入计算可得弦长.【详解】抛物线24y x =的焦点(1,0)F ，准线为=1x -，由题意得6PF =，结合抛物线定义知P 点到准线的距离为6，则615p x =-=，代入横坐标可得p y =±(5,P ±，所以PF 的中点坐标为或(3,，6PF =，所以以PF 的中点为圆心， ᬈ长度为直径的圆的方程为(22(3)9x y -+-=或(22(3)9x y -++=，圆心到x ，所以与x 截得的弦长为4=，故答案为：4.14.印章是我国传统文化之一，根据遗物和历史记载，至少在春秋战国时期就已出现，其形状多为长方体､圆柱体等，陕西历史博物馆收藏的“独孤信多面体煤精组印”是一枚形状奇特的印章（如图1），该形状称为“半正多面体”（由两种或两种以上的正多边形所围成的多面体），每个正方形面上均刻有不同的印章（图中为多面体的面上的部分印章）.图2是一个由18个正方形和8个正三角形围成的“半正多面体”（其各顶点均在一个正方体的面上），若该多面体的棱长均为1，且各个顶点均在同一球面上，则该球的表面积为__________.【答案】(5π+【解析】【分析】根据几何体的结构特征确定其外接球球心位置，根据已知求球体半径，进而求球体表面积.1的正方体的表面上，如图，设其外接球的球心为O ，正方形ABCD 的中心为1O ，则点O 到平面ABCD 的距离1212OO +=，又122O C =，所以该多面体外接球的半径r ===故该球的表面积为(24π5π⨯=+⎝⎭.故答案为：(5π+15.已知数列 中各项均为正数，且211(1,2,3,)n n n a a a n ++-== ，给出下列四个结论：①对任意的*N n ∈，都有1n a >；②数列 可能为常数列；③若102a <<，则当2n ≥时，12n a a <<；④若12a >，则数列 为递减数列，其中正确结论是______.【答案】②③④【解析】【分析】对于①，根据一元二次方程有解得情况，利用判别式可得首项的取值范围，可得答案；对于②，将数列每一项设成未知量，根据等式建立方程，可得答案；对于③④，由题意作函数()()0f x x x =≥与函数()()20g x x x x =-≥的图象，利用数形结合的思想，对应数列中项在图象上的位置，可得答案.【详解】对于①，将等式211n n n a a a ++-=看作关于1n a +的一元二次方程，即2110n n n a a a ++--=，该方程有解，则140n a ∆=+≥，所以当14n a ≥-时，方程2110n n n a a a ++--=有解，即当101a <<时，一定存在数列 满足211(1,2,3,)n n n a a a n ++-== ，故①错误；对于②，令n a x =，由题意可得2x x x -=，解得0x =（舍去）或2，常数列2,2,2, 满足211(1,2,3,)n n n a a a n ++-== ，故②正确；由题意作函数()()0f x x x =≥与函数()()20g x x x x =-≥的图象如下：由211(1,2,3,)n n n a a a n ++-== ，则点()1,n n a a +在函数()g x 的图象上，易知(),n n a a 在函数()f x 的图象上，对于③，当102a <<时，由()21,a a 在函数()g x 的图象上，则212a <<，由()11,a a 在函数()f x 的图象上，则122a a <<，当2n ≥时，102n a -<<，由()1,n n a a -在函数()g x 的图象上，则12n a <<，由()11,n n a a --在函数()f x 的图象上，则12n n a a -<<，综上所述，若102a <<，当2n ≥时，12n a a <<，故③正确；对于④，当12a >时，由()21,a a 在函数()g x 的图象上，且()11,a a 在函数()f x 的图象上，则122a a >>，当2n a >时，由()1,n n a a +在函数()g x 的图象上，且(),n n a a 在函数()f x 的图象上，则12n n a a +>>，故④正确.故答案为：②③④.三、解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步摖或证明过程.16.在ABC V 中，222b c a bc +-=．（1）求A ∠；（2）再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择两个作为已知，使ABC V 存在且唯一确定，求ABC V 的面积．条件①：11cos 14B =；条件②：12a b +=；条件③：12c =．注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多组符合要求的条件分别解答，按第一组解答计分．【答案】（1）π3（2）答案见解析【解析】【分析】（1）根据题意，利用余弦定理求得1cos 2A =，即可求解；（2）根据题意，若选择①②，求得sin B ，由正弦定理求得7,5a b ==，再由余弦定理求得8c =，结合面积公式，即可求解；若①③：先求得sin 14B =，由83sin sin()14C A B =+=，利用正弦定理求得212a =，结合面积公式，即可求解；若选择②③，利用余弦定理，列出方程求得0b =，不符合题意.【小问1详解】解：因为222b c a bc +-=，由余弦定理得2221cos 22b c a A bc +-==，又因为(0,π)A ∈，所以π3A =.【小问2详解】解：由（1）知π3A =，若选①②：11cos 14B =，12a b +=，由11cos 14B =，可得sin 14B ==，由正弦定理sin sin a bA B=353214=，解得7a =，则125b a =-=，又由余弦定理2222cos a b c bc A =+-，可得249255c c =+-，即25240c c --=，解得8c =或3c =-（舍去），所以ABC V的面积为113sin 58222S bc A ==⨯⨯⨯=.若选①③：11cos 14B =且12c =，由11cos 14B =，可得53sin 14B ==，因为πA BC ++=，可得()31115343sin sin 2142147C A B =+=⨯+⨯=，由正弦定理sin sin a cA C =34327=，解得212a =，所以ABC V 的面积为112153453sin 12222142S ac b ==⨯⨯⨯=.若选：②③：12a b +=且12c =，因为222b c a bc +-=，可得22212(12)12b b b +--=，整理得2412b b =，解得0b =，不符合题意，（舍去）.17.已知三棱柱111ABC A B C -中，12AB BB ==，D 是BC 的中点，160B BA ∠=o，1B D AB ⊥.（1）证明：AB AC ⊥；（2）若侧面11ACC A 是正方形，求平面11ABB A 与平面1ADC 夹角的余弦值.【答案】（1）证明见解析；（2）55.【解析】【分析】（1）取AB 的中点O ，连接1AB 、OD 、1OB ，证明出AB ⊥平面1OB D ，//OD AC ，由此可证得AB AC ⊥；（2）以点O 为坐标原点，OB 、OD 、1OB 所在直线分别为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法可求得平面11ABB A 与平面1ADC 夹角的余弦值.【详解】（1）取AB 的中点O ，连接1AB 、OD 、1OB ，因为160B BA ∠=o，12AB BB ==，故1ABB 为等边三角形，因为O 为AB 的中点，则1OB AB ⊥，因为1AB B D ⊥，111OB B D B ⋂=，故AB ⊥平面1OB D ，OD ⊂ 平面1OB D ，所以，AB OD ⊥，O 、D 分别为AB 、BC 的中点，则//OD AC ，因此，AB AC ⊥；（2）112AA BB == ，则四边形11ACC A 是边长为2的正方形，O 、D 分别为AB 、BC 的中点，则112OD AC ==，由（1）可得11sin 60OB BB == ，//OD AC ，11//BB AA ，故OD 与1BB 所成角为190A AC ∠= ，即1OD BB ⊥，又因为OD AB ⊥，1AB BB B Ç=，OD ∴⊥平面11AA B B ，1OB ⊂ 平面11AA B B ，则1OD OB ⊥，所以，OD 、AB 、1OB 两两垂直，以点O 为坐标原点，OB 、OD 、1OB 所在直线分别为x 、y 、z轴建立空间直角坐标系，则()1,0,0A -、()0,1,0D 、()1,2,0C -、(1B 、()1,0,0B，(1BB =- ，()1,1,0AD =，()0,2,0AC =，(1111,AC AC CC AC BB =+=+=- ，设平面1ADC 的法向量为(),,n x y z =，则1020n AD x y n AC x y ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=-++=⎪⎩，取1x =，则(1,n =-，易知平面11AA B B 的一个法向量为()0,1,0m =u r，cos ,5m n m n m n⋅<>==-=-⋅.因此，平面11ABB A 与平面1ADC夹角的余弦值为5.18.《中华人民共和国体育法》规定，国家实行运动员技术等级制度，下表是我国现行《田径运动员技术等级标准》（单位：m ）（部分摘抄）：项目国际级运动健将运动健将一级运动员二级运动员三级运动员男子跳远8.007.807.30 6.50 5.60女子跳远6.656.355.855.204.50在某市组织的考级比赛中，甲、乙、丙三名同学参加了跳远考级比赛，其中甲、乙为男生，丙为女生，为预测考级能达到国家二级及二级以上运动员的人数，收集了甲、乙、丙以往的比赛成绩，并整理得到如下数据（单位：）：甲：6.60，6.67，6.55，6.44，6.48，6.42，6.40，6.35，6.75，6.25；乙：6.38，6.56，6.45，6.36，6.82，7.38；丙：5.16，5.65，5.18，5.86．假设用频率估计概率，且甲、乙、丙的比赛成绩相互独立，（1）估计甲在此次跳远考级比赛中成绩达到二级及二级以上运动员的概率；（2）设X 是甲、乙、丙在此次跳远考级比赛中成绩达到二级及二级以上运动员的总人数，估计X 的数学期望()E X ；（3）在跳远考级比赛中，每位参加者按规则试跳6次，取6次试跳中的最好成绩作为其最终成绩本次考级比赛中，甲已完成6次试跳，丙已完成5次试跳，成绩（单位：m ）如下表：第1跳第2跳第3跳第4跳第5跳第6跳甲 6.50 6.48 6.47 6.51 6.46 6.49丙5.845.825.855.835.86a若丙第6次试跳的成绩为a ，用2212,s s 分别表示甲、丙试跳6次成绩的方差，当2212s s =时，写出a 的值．（结论不要求证明）【答案】（1）25（2）() 1.4E X =（3） 5.81a =或 5.87a =.【解析】【分析】（1）由已知数据计算频率，用频率估计概率；（2）由X 的取值，计算相应的概率，由公式计算数学期望()E X ；（3）当两人成绩满足()1,2,3,4,5,6i i y x b i =+=的模型，方差相等.【小问1详解】甲以往的10次比赛成绩中，有4次达到国家二级及二级以上运动员标准，用频率估计概率，估计甲在此次跳远考级比赛中成绩达到二级及二级以上运动员的概率为42105=；【小问2详解】设甲、乙、丙在此次跳远考级比赛中成绩达到二级及二级以上运动员分别为事件,,A B C ，以往的比赛成绩中，用频率估计概率，有()25P A =，()12P B =，()12P C =，X 是甲、乙、丙在此次跳远考级比赛中成绩达到二级及二级以上运动员的总人数，则X 可能的取值为0，1，2，3，()()3113052220P X P ABC ===⨯⨯=，()()()()2113113118152252252220P X P ABC P ABC P ABC ==++=⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=，()()()()2113112117252252252220P X P ABC P ABC P ABC ==++=⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=，()()2112352220P X P ABC ===⨯⨯=，估计X 的数学期望()38720123 1.420202020E X =⨯+⨯+⨯+⨯=；【小问3详解】甲的6次试跳成绩从小到大排列为：6.46,6.47,6.48,6.49,6.50,6.51，设这6次试跳成绩依次从小到大为()1,2,3,4,5,6i x i =，丙的5次试跳成绩从小到大排列为：5.82,5.83,5.84,5.85,5.86，设丙的6次试跳成绩从小到大排列依次为()1,2,3,4,5,6i y i =，当 5.81a =时，满足()0.651,2,3,4,5,6i i y x i =-=，2212s s =成立；当 5.87a =时，满足()0.641,2,3,4,5,6i i y x i =-=，2212s s =成立.所以 5.81a =或 5.87a =.19.已知椭圆2222:1(0)C b b x a a y +>>=的离心率是53，点()2,0A -在C 上．（1）求C 的方程；（2）过点()2,3-的直线交C 于,P Q 两点，直线,AP AQ 与y 轴的交点分别为,M N ，证明：线段MN 的中点为定点．【答案】（1）22194y x +=（2）证明见详解【解析】【分析】（1）根据题意列式求解,,a b c ，进而可得结果；（2）设直线PQ 的方程，进而可求点,M N 的坐标，结合韦达定理验证2M Ny y +为定值即可.【小问1详解】由题意可得222253b a b c c e a ⎧⎪=⎪⎪=+⎨⎪⎪==⎪⎩，解得32a b c ⎧=⎪=⎨⎪=⎩，所以椭圆方程为22194y x +=.【小问2详解】由题意可知：直线PQ 的斜率存在，设()()()1122:23,,,,PQ y k x P x y Q x y =++，联立方程()2223194y k x y x ⎧=++⎪⎨+=⎪⎩，消去y 得：()()()222498231630k x k k x k k +++++=，则()()()2222Δ64236449317280kk k k k k =+-++=->，解得0k <，可得()()2121222163823,4949k k k k x x x x k k +++=-=++，因为()2,0A -，则直线()11:22y AP y x x =++，令0x =，解得1122y y x =+，即1120,2y M x ⎛⎫⎪+⎝⎭,同理可得2220,2y N x ⎛⎫⎪+⎝⎭，则()()1212121222232322222y y k x k x x x x x +++++⎡⎤⎡⎤++⎣⎦⎣⎦=+++()()()()()()12211223223222kx k x kx k x x x +++++++⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦=++()()()()1212121224342324kx x k x x k x x x x +++++=+++()()()()()()222222323843234231084949336163162344949k k k k k k k k k k k k k k k +++-++++===++-+++，所以线段MN 的中点是定点()0,3.【点睛】方法点睛：求解定值问题的三个步骤（1）由特例得出一个值，此值一般就是定值；（2）证明定值，有时可直接证明定值，有时将问题转化为代数式，可证明该代数式与参数(某些变量)无关；也可令系数等于零，得出定值；（3）得出结论．20.已知函数()()221ln ,f x x a x a x a =-++∈R .（1）若0a =，求曲线()y f x =在点()()2,2P f 处的切线方程.（2）若()f x 在1x =处取得极值，求()f x 的极值.（3）若()f x 在[]1,e 上的最小值为2a -，求a 的取值范围.【答案】（1）340x y --=（2）极大值15ln 224f ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，极小值()12f =-；（3）(1],-∞【解析】【分析】（1）根据导数的几何意义，即可求得答案；（2）根据()f x 在1x =处取得极值，求出a 的值，从而判断函数的单调性，求得极值；（3）分类讨论，讨论a 与区间[]1,e 的位置关系，确定函数单调性，结合函数的最值，即可确定a 的取值范围.【小问1详解】若0a =，则()2=-f x x x ，则()21f x x '=-，故()()22,23f f '==，故曲线()y f x =在点()()2,2P f 处的切线方程为23(2)y x -=-，即340x y --=；【小问2详解】()()221ln ,f x x a x a x a =-++∈R 定义域为(0),+∞，则()()221af x x a x'=-++，由于()f x 在1x =处取得极值，故()()12210,1f a a a '=-++=∴=，则()()()2211123123x x x x f x x x x x---+'=-+==，令()0f x '>，则102x <<或1x >，函数()f x 在10(1)2,,,⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上均单调递增，令()0f x '<，则112x <<，函数()f x 在1,12⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，故当12x =时，()f x 取到极大值11315ln ln 224224f ⎛⎫=-+=-- ⎪⎝⎭，当1x =时，()f x 取到极小值()1132f =-=-；【小问3详解】由于()()()()[],1,e 21221x x a a f x x a x x x--'=-++=∈，当1a ≤时，()0f x '≥，仅在1,1a x ==时等号取得，()f x 在[]1,e 上单调递增，则()min (1)2f x f a ==-，符合题意；当1e a <<时，则1x a <<时，()0f x '<，()f x 在[]1,a 上单调递减，e a x <<时，()0f x '>，()f x 在[],e a 上单调递增，故()min ()(1)2f x f a f a =<=-，不符合题意；当e a ≥时，()0f x '<，()f x 在[]1,e 上单调递减，故()min (e)(1)2f x f f a =<=-，不符合题意；综上，可知a 的取值范围为(1],-∞.【点睛】方法点睛：第三问根据函数的最小值求解参数范围，求出导数后，要分类讨论，讨论a 与区间[]1,e 的位置关系，从而确定最值，求得参数范围.21.已知有限数列12:,,,m A a a a 为单调递增数列．若存在等差数列121:,,,m B b b b + ，对于A 中任意一项i a ，都有1i i i b a b +≤<，则称数列A 是长为m 的Ω数列．（1）判断下列数列是否为Ω数列（直接写出结果）：①数列1，4，5，8；②数列2，4，8，16．（2）若(,,)a b c a b c R <<∈，证明：数列a ，b ，c 为Ω数列；（3）设M 是集合{|063}x N x ∈≤≤的子集，且至少有28个元素，证明：M 中的元素可以构成一个长为4的Ω数列．【答案】（1）①数列1，4，5，8是Ω数列；②数列2，4，8，16是Ω数列；（2）证明见解析；（3）证明见解析．【解析】【分析】（1）由数列的新定义，可直接判定，得到答案；（2）分当b a c b -=-，b a c b -<-和b a c b ->-三种情况讨论，结合数列的新定义，即可求解；（3）假设M 中没有长为4的Ω数列，先考虑集合{16,161,,1615}k M k k k =++L ，得到存在一个k ，使得k M 中没有一个元素属于M ，再考虑集合,{164,1641,k j M k j k j =+++1642,1643}k j k j ++++，得到存在一个j ，使得,k j M 中没有一个元素属于M ，进而证得集合M 中至多有27个元素，即可得到结论.【详解】（1）由数列的新定义，可得数列1，4，5，8是Ω数列；数列2，4，8，16是Ω数列．（2）①当b a c b -=-时，令1b a =，2b b =，3b c =，42b c b =-，所以数列1b ，2b ，3b ，4b 为等差数列，且1234b a b b b c b <<<≤≤≤，所以数列a ，b ，c 为Ω数列．②当b a c b -<-时，令12b b c =-，2b b =，3b c =，42b c b =-，所以数列1b ，2b ，3b ，4b 为等差数列，且1234b a b b b c b <<<≤≤≤．所以数列a ，b ，c 为Ω数列．③当b a c b ->-时，令1b a =，22a c b +=，3b c =，432c a b -=，所以数列1b ，2b ，3b ，4b 为等差数列，且1234b a b b b c b <<<≤≤≤．所以数列a ，b ，c 为Ω数列．综上，若a b c <<，数列a ，b ，c 为Ω数列．（3）假设M 中没有长为4的Ω数列，考虑集合{16,161,,1615}k M k k k =++L ，0k =，1，2，3．因为数列0，16，32，48，64是一个共有5项的等差数列，所以存在一个k ，使得k M 中没有一个元素属于M ．对于其余的k ，再考虑集合,{164,1641,1642,1643}k j M k j k j k j k j =+++++++，0j =，1，2，3．因为164k j +，1644k j ++，1648k j ++，16412k j ++，16416k j ++是一个共有5项的等差数列，所以存在一个j ，使得,k j M 中没有一个元素属于M ．因为,k j M 中4个数成等差数列，所以每个,k j M 中至少有一个元素不属于M ．所以集合{|063}x x ∈N ≤≤中至少有16431937+⨯+⨯=个元素不属于集合M ．所以集合M 中至多有643727-=个元素，这与M 中至少有28个元素矛盾．所以假设不成立．所以M 中的元素必能构成长为4的Ω数列．【点睛】1、数列新定义问题的特点：通过给出一个新的数列概念，或约定一种新运算，或给出几个新模型来创设全新的问题情境，要求考生再阅读理解的基础上，以及题目提供的信息，联系所学知识和方法，实现信息的迁移，达到灵活解题的目的；2、遇到数列的心定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的要求，“照章办事”，逐条分析、运算、验证，使问题得以解决.。

江苏省南通市海安市2025届高三上学期11月期中考试数学试题(含答案)

江苏省南通市海安市2025届高三上学期11月期中考试数学试题(含答案)

江苏省南通市海安市2025届高三上学期11月期中考试数学试题一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知复数2+3im−i∈R，则实数m=( )A. −32B. −23C. 23D. 322.已知集合A={0,1,2,3,6}，B={x|x−1∈A}，则∁A(A∩B)=( )A. {0,6}B. {3,6}C. {−1,5}D. {0,1,2}3.在△ABC中，tan A=2，tan B=3，则C=( )A. 30∘B. 45∘C. 60∘D. 135∘4.函数f(x)=x(x−3)2的极大值为( )A. −4B. 0C. 1D. 45.在三棱锥P−ABC中，PA=PB=AB=AC=BC=2，PC与平面ABC所成角的大小为60∘，则PC=( )A. 1B. 2C. 3D. 26.曲线y=2sin x与y=sin(x−π3)的交点中，与y轴最近的点的横坐标为( )A. −5π6B. −π6C. π6D. 5π67.在▱ABCD中，AM=MB，BN=2NC，AP=xAB+(1−x)AD，x∈R.若AP//MN，则x=( )A. 17B. 27C. 37D. 478.在正四棱柱ABCD−A1B1C1D1中，AA1=3AB，P是线段CC1上靠近C的三等分点，过点C与直线PA垂直的平面将正四棱柱分成两部分，则较大部分与较小部分的体积比为( )A. 32B. 2 C. 52D. 3二、多选题：本题共3小题，共18分。

在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。

9.在空间中，设a，b，c是三条直线，α，β，γ是三个平面，则下列能推出a//b的是( )A. a⊥c，b⊥cB. a//α，a⊂β，α∩β=bC. α⊥γ，β⊥γ，α∩γ=a，β∩γ=bD. α∩β=a，α∩γ=b，β∩γ=c，a//c10.已知函数f(x)=cos x cos2x，则( )A. f(x)的最大值为1B. (π2,0)是曲线y =f(x)的对称中心C. f(x)在(0,π2)上单调递减D. f(x)的最小正周期为2π11.设f(x)为R 上的增函数，满足：f(1+x)+f(1−x)=2，f(2+x)+f(2−x)=4，则( )A. f(3)=3B. f(x)为奇函数C. ∃x 0∈R ，f(x 0)=x 0+1D. ∀x ∈R ，f(e x +1)−f(x)≥2三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。

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高三上学期期中数学考试
2010—2011学年度高三第一学期期中考试
数学试题（文）
考生注意：
1．本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分。

满分150分，考试时
间120分钟。

2．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填涂在答题卡和答题卷上。

选择题
的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔
把答案卡上对应题目的答案标叼涂黑，
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其
他答案标号，答在试题卷、草稿纸上无
效；填空题和解答题的作答；用黑色或
蓝色中性笔将答案直接答在答题卷上对
应答题区域内，答在试题卷、草稿纸上
无效。

3．考生必须保持答题卷的整洁。

考试结束后，请将答案卡和答题卷事半功倍上交。

第Ⅰ卷（共60分）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，
共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项满足题目要求的。

1．设全集{|0},{|2}U x x A x x =>=>集合，则U
C A 等于
（ ）
A ．{|02}x x <<
B ．{|2}x x <
C ．
{|2}
x x ≤
D ．{|02}x x <≤
2．已知a ，b R ∈，则11"0""()
()"2
2
a
b a b >><是的
（ ）
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分
也不必要条件
3．设向量a b 与的模分别为6和5，夹角为120︒，则
||
a b +等于
（ ） A ．23 B ．23
- C 91
D 31
4．已知等比数列{}n
a 的公比为正数，且
2
39521
2,1,a a a a a ⋅==则= （ ） A ．12
B ．
2
2
C 2
D ．2 5．在ABC ∆中，若60,4
3,42,
A BC AC =︒==则角
B 的大小
为 （ ）
A ．30°
B ．45°
C ．135°
D ．45°或35°
6．已知α是一个三角形的内角，且2sin cos 3
αα+=，则这个三角形的形状是 （ ） A ．锐角三角形
B ．直角三角
形
C ．钝角三角形
D ．不能确定
7．函数()lg cos [0,2]f x x x π=-在区间上的零点个数为
（ ）
A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．4个 8．已知某驾驶员喝了m 升酒后，血液中酒精的
含量()f x （毫克/毫升）随时间x （小时）变化的规律近似满足表达式
25,01
()31(),153
x x
x f x x -⎧≤≤⎪
=⎨⋅>⎪⎩，《酒
后贺车与醉酒驾车的标准及相应的处罚》规定：贺驶员血液中酒精含量不超过0.02毫克/毫升，此贺驶员至少要过（ ）小时后才能开车。

（精确到1小时）
（ ） A ．2
B ．3
C ．4
D ．5
9．定义在R 上的偶函数()(1)()f x f x f x +=-满足，且在[-1，
0]上单调递增，设(3),a f = (
2),(2)
b f
c f ==，则a 、b 、c 的大小关系是
（ ）
A ．a b c >>
B ．a c b >>
C ．b c a >>
D ．c b a >>
10．函数tan()42
y x ππ=-的部分图像如图所示，则()OB OA OB
-⋅= （ ）
A ．-4
B ．4
C ．-2
D ．2
11．要得到函数2cos()sin()136
y x x ππ=-+-的图象，只需将函数cos(2)6
y x π=-的图象
（ ）
A ．向左平移8π个单位
B ．向右平移2π个单位
C ．向右平移3π个单位
D ．向右平移4
π个单位
12．已知函数2()2
1,()1,
x
f x
g x x =-=-构造函数()F x ，定义如
下
：
当|()|(),()|()|,|()|(),()()
f x
g x F x f x f x g x F x g x ≥=<=-时当时，那么
()
F x （ ）
A ．有最小值0，无最大值
B ．有最小值-1，无最大值
C ．有最大值1，无最小值
D ．无最小值，
也无最大值
第Ⅱ卷（共
90分）
二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分。

）
13．若命题“存在实数x ，使2
10
x ax ++<”的否定
是真命题，则实数a 的取值范围为 。

14．设
2
2
2,3(),((3))log (5),3
x e x f x f f x x -⎧<⎪=⎨-≥⎪⎩则的值为 。

15．在如下数表中，已知每行、每列中的数都成
等差数列，那么位于下表中的第20行第21列的数是 。

16．给出下列四个命题：
①3()sin(2),428
k f x x x k Z πππ
=-=+∈的对称轴为； ②函数()sin 3f x x x
=+
的最大值为2；
③(0,),sin cos x x x π∀∈>；
④函数()sin(2)[0,]33
f x x ππ=-在区间上单调递增，其中正确命题的序号为 。

三、解答题（本大题共6小题，共74分，解答
应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（本小题满分12分） 已知函数2
1
()sin cos cos
()2
f x x x x x =+-∈R
（1）求函数()f x 的最小正周期；
（2）求函数()[0,]2
f x π在区间上的最大值与最小值及相应的x 的值。

18．（本小题满分12分）
设集合222
=-+==+++-=
{|320},{|2(1)(5)0}.
A x x x
B x x a x a
（1）若{2},
⋂=求实数a的值；
A B
（2）若A B A
⋃=，求实数a的取值范围。

19．（本小题满分12分）
在△ABC中，设A、B、C的对边分别为a、
b、c，向量(cos,sin),
=
m A A
=-+=
且
n A A m n
(2sin,cos)|| 2.
（I）求角A的大小；
（II）若42,2,
b c a
==求△ABC的面积。

20．（本小题满分12分）
借助“世博会”的东风，某小商品公司
开发一种纪念品，每件产品的成本是15元，销售价是20元，月平均销售a件，通过改
进工艺，产品的成本不变，质量和技术含金
量提高，市场分析的结果表明：如果产品
的销售价提高的百分率为(01)
<<，那么月平
x x
均销售量减少的百分率为4
x，记改进工艺
5
后，该公司销售纪念品的月平均利润是y
（元）。

（1）写出y与x的函数关系式；
（2）改进工艺后，确定该纪念品的售价，使该公司销售该纪念品的月平均利润最大。

21．（本小题满分12分）
已知数列{}
a是首项为1公差为正数的
n
等差数列，数列{}n
b 是首项为1的等比数列，设*(),{}n n n n
c a b n N c =∈且数列的前三项依次为1，4，12。

（1）求数列{}n a 、{}n
b 的通项公式； （2）若等差数列{},{}.n
n n n
S
a n S n T n 的前项和为求数列的前项的和
22．（本小题满分14分）
设()f x 是定义在R 上的奇函数，且对任意a ，
b ，当()()0,0.f a
f b a b a b
++≠>+时都有 （1）求证：函数()(,)f x -∞+∞在上为增函数；
（2）若21,(21)(2)a a f a
a f >-++判断与的大小； （3）若(3)(392)0[1,1]
x x x f k f x ⋅+--<∈-对于恒成立，求实数k 的取值范围。

参考答案。

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