初中数学竞赛专题选讲《基本对称式》

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初中数学竞赛专题选讲对称式(含答案)

初中数学竞赛专题选讲（初三.5）对称式一、内容提要一.定义1. 在含有多个变量的代数式f (x,y,z)中，如果变量x, y, z 任意交换两个后，代数式的值不变，则称这个代数式为绝对对称式，简称对称式.例如：代数式x+y ， xy ， x 3+y 3+z 3－3xyz, x 5+y 5+xy, yx 11+， xyzx z xyz z y xyz y x +++++. 都是对称式. 其中x+y 和xy 叫做含两个变量的基本对称式.2. 在含有多个变量的代数式f (x,y,z)中，如果变量x, y, z 循环变换后代数式的值不变，则称这个代数式为轮换对称式，简称轮换式.例如：代数式 a 2(b －c)+b 2(c －a)+c 2(a －b), 2x 2y+2y 2z+2z 2x, abc c b a 1111-++，（xy+yz+zx ）()111z y x ++， 222222222111b a c a c b c b a -++-++-+. 都是轮换式. 显然，对称式一定是轮换式,而轮换式不一定是对称式.二.性质1.含两个变量x 和y 的对称式，一定可用相同变量的基本对称式来表示.这将在下一讲介绍.2. 对称式中，如果含有某种形式的一式，则必含有，该式由两个变量交换后的一切同型式，且系数相等.例如：在含x, y, z 的齐二次对称多项式中，如果含有x 2项，则必同时有y 2, z 2两项；如含有xy 项，则必同时有yz, zx 两项，且它们的系数，都分别相等. 故可以表示为：m(x 2+y 2+z 2)+n(xy+yz+zx) 其中m, n 是常数.3. 轮换式中，如果含有某种形式的一式，则一定含有，该式由变量字母循环变换后所得的一切同型式，且系数相等.例如：轮换式a 3(b －c)+b 3(c －a)+c 3(a －b)中，有因式a －b 一项, 必有同型式b －c 和 c －a 两项.4. 两个对称式（轮换式）的和，差，积，商（除式不为零），仍然是对称式（轮换式）. 例如：∵x+y, xy 都是对称式，∴x+y ＋xy ，（x+y ）xy ， xyy x +等也都是对称式. ∵xy+yz+zx 和zy x 111++都是轮换式， ∴z y x 111++＋xy+yz+z ，（zy x 111++）（xy+yz+z ）. 也都是轮换式.. 二、例题例1.计算：（xy+yz+zx ）()111z y x ++－xyz()111222zy x ++. 分析：∵（xy+yz+zx ）()111zy x ++是关于x,y,z 的轮换式，由性质2，在乘法展开时，只要用xy 分别乘以x 1，y 1，z1连同它的同型式一齐写下. 解：原式＝（z xy y zx x yz ＋+）＋（z+x ＋y ）+(y+z+x)－(zxy y zx x yz ＋+) ＝2x+2y+2z.例2. 已知：a+b+c=0, abc ≠0.求代数式 222222222111ba c a cbc b a -++-++-+的值分析：这是含a, b, c 的轮换式，化简第一个分式后，其余的两个分式，可直接写出它的同型式. 解：∵2221c b a -+＝222)(1b a b a ---+＝ab 21-， ∴222222222111b a c a c b c b a -++-++-+＝－ab 21－bc 21－ca 21 ＝－abc b a c 2++＝0. 例3. 计算：（a+b+c ）3分析：展开式是含字母 a, b, c 的三次齐次的对称式，其同型式的系数相等，可用待定系数法.例4. 解：设（a+b+c ）3＝m(a 3+b 3+c 3)+n(a 2b+a 2c+b 2c+b 2a+c 2a+c 2b)+pabc.（m, n, p 是待定系数）令 a=1,b=0,c=0 . 比较左右两边系数得 m=1；令 a=1,b=1,c=0 比较左右两边系数得 2m+2n=8；令 a=1,b=1,c=1 比较左右两边系数得 3m+6n+p=27.解方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=+=27638221p n m n m m 得⎪⎩⎪⎨⎧===631p n m∴（a+b+c ）3＝a 3+b 3+c 3+3a 2b+3a 2c+3b 2c+3b 2a+3c 2a+3c 2b+6abc.例5. 因式分解：① a 3(b －c)+b 3(c －a)+c 3(a －b)；② （x+y+z ）5－（y+z －x ）5－（z+x －y ）5－（x+y －z ）5.解：①∵当a=b 时，a 3(b －c)+b 3(c －a)+c 3(a －b)＝0.∴有因式a －b 及其同型式b －c, c －a.∵原式是四次齐次轮换式，除以三次齐次轮换式（a －b ）(b －c)(c －a)，可得一次齐次的轮换式a+b+c.用待定系数法：得 a 3(b －c)+b 3(c －a)+c 3(a －b)＝m(a+b+c)（a －b ）(b －c)(c －a)比较左右两边a 3b 的系数，得m=－1.∴a 3(b －c)+b 3(c －a)+c 3(a －b)＝－(a+b+c)（a －b ）(b －c)(c －a).② x=0时，（x+y+z ）5－（y+z －x ）5－（z+x －y ）5－（x+y －z ）5＝0∴有因式x ，以及它的同型式y 和z.∵原式是五次齐次轮换式，除以三次轮换式xyz ，其商是二次齐次轮换式.∴用待定系数法：可设（x+y+z ）5－（y+z －x ）5－（z+x －y ）5－（x+y －z ）5＝xyz ［m(x+y+z)+n(xy+yz+zx)］.令 x=1,y=1,z=1 . 比较左右两边系数，得 80=m+n ；令 x=1,y=1,z=2. 比较左右两边系数，得 480=6m+n.解方程组⎩⎨⎧=+=+480680n m n m得⎩⎨⎧==080n m . ∴（x+y+z ）5－（y+z －x ）5－（z+x －y ）5－（x+y －z ）5＝80xyz(x+y+z).三、练习1.已知含字母x,y,z 的轮换式的三项x 3+x 2y －2xy 2,试接着写完全代数式＿＿＿＿＿＿ 2. 已知有含字母a,b,c,d 的八项轮换式的前二项是a 3b －(a －b)，试接着写完全代数式_________________________________.3. 利用对称式性质做乘法，直接写出结果：① （x 2y+y 2z+z 2x ）（xy 2+yz 2+zx 2）＝＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿. ② （x+y+z ）（x 2+y 2+z 2－xy －yz －zx ）＝＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿.4. 计算：（x+y ）5.5. 求（x+y ）(y+z)(z+x)+xyz 除以x+y+z 所得的商.6. 因式分解：① ab(a －b)+bc(b －c)+ca(c －a)；② (x+y+z)3－(x 3+y 3+z 3)；③ （ab+bc+ca ）(a+b+c)－abc ；④ a(b －c)3+b(c －a)3+c(a －b)3.7. 已知：abcc b a 1111=++. 求证：a, b, c 三者中，至少有两个是互为相反数.8. 计算：bc ac ab a a +--22＋ca ba bc b b +--22＋abcb ca c c +--22. 9. 已知：S ＝21（a+b+c ）. 求证：16)(416)(416)(4222222222222222b a c a c a c b c b c b a b a -+-+-+-+-+- ＝3S （S －a ）(S －b)(S －c).10. 若x,y 满足等式 x=1+y 1和y=1+x1且xy ≠0，那么y 的值是（）（A ）x －1. （B ）1－x. （C ）x. （D ）1+x.参考答案1. y 3+z 3+y 2z+z 2x －2y 2z －2z 2x2. b 3c+c 3d+d 3a －(b －c)－(c －d)－(d －a)3. ②x 3+y 3+z 3－3xyz4. 设(x+y)5=a(x 5+y 5)+b(x 4y+xy 4)+c(x 3y 2+x 2y 3), a=1, b=5, c=10.5. 设原式＝（x+y+z ）［a(x 2+y 2+z 2)+b(xy+yz+zx)］, a=0, b=1.6 .③当a=－b 时，原式＝0，原式＝m(a+b)(b+c)(c+a) m=17. 由已知等式去分母后，使右边为0，因式分解8. 19. 一个分式化为S （S －a ）(S －b)(S －c)10. 选 C。

初中数学竞赛精品标准教程及练习35两种对称

初中数学竞赛精品标准教程及练习35两种对称数学竞赛是一项重要的学科竞赛活动，对于学生的数学素养和思维能力的培养非常有帮助。

而数学竞赛的核心内容之一就是对称性的研究和运用。

下面是一本初中数学竞赛精品标准教程及练习，主要讲解了两种对称以及相关的题目训练。

一、点、线和面的对称1.点的对称：对称轴是指平面上的一条直线，将平面上的点分成两个互相重合的部分。

点关于对称轴的对称点与原点关于对称轴的垂直距离在对称轴两侧相等。

对称轴上的点是自身的对称点。

2.线的对称：对称轴是指平面上的一条直线，对称轴把平面分成两个互为镜像的区域。

线上的两点关于对称轴对称，线上的每一个点的对称点也在对称轴上。

3.面的对称：对称面是指一般三维空间的平面，平面将空间分为两个完全对称的部分。

平面上的每一个点的对称点都在对称面上。

二、图形的对称1.点的对称性：一个图形关于一个点对称，就是存在于这个图形的每一点关于这个点的对称点也在这个图形中。

2.线的对称性：一个图形关于一条线对称，就是存在于这个图形的每一点关于这条线的对称点也在这个图形中。

3.面的对称性：一个图形关于一个平面对称，就是存在于这个图形的每一点关于这个平面的对称点也在这个图形中。

三、对称性的运用1.利用对称性求解问题：利用对称性质可以简化问题，例如通过将一个点关于对称轴的对应点找出来，从而简化计算。

2.证明问题：对称性是证明问题的重要工具。

可以通过找到问题中的对称性质，从而推导出问题的结论。

四、题目训练以下是一些与对称性相关的常见题目，帮助学生进一步理解和运用对称性：1.镜面反射：一个角度为80度的光线在一面完全光滑的镜子上反射，求它的反射角度。

2.对称点坐标：平面上有点A(2,-3)，求点A关于直线y=2的对称点的坐标。

3.图形对称性：有一组数字：1,2,3,4,5,6,7,8,9、将这组数字按如下规则排列，使排列后的数字具有对称性：1,2,3,4,5,6,7,8,9,9,8,7,6,5,4,3,2,14.证明对称性：证明一个多边形的内角和等于180度。

初中数学竞赛__轮换式和对称式

第2讲轮换式和对称式知识总结归纳一．基本轮换式：（1）x y z ++（2）222x y z ++（3）xy yz zx ++（4）333x y z ++（5）222x y y z z x ++（6）222xy yz zx ++（7）xyz二．齐次轮换式：（1）一次齐次轮换式：()l x y z ++（2）二次齐次轮换式：222()()l x y z m xy yz zx +++++（3）三次齐次轮换式：333222222()()()l x y z m x y y z z x n xy yz zx kxyz +++++++++以上l m n k 、、、都是待定的常数二．轮换式与对称式的分解的一般方法：首先，把它看成一个字母的多项式，用试根法，找出一些因式；然后，根据轮换式的特点，导出更多的因式；最后，用待定系数法求出其余的因式.非齐次轮换式可以先按照次数分为几个齐次轮换式的和，对每个齐次轮换式进行分解，再相加进行分解。

特殊的轮换式可能有更简单的方法，不一定非用一般的方法去分解.对于x y 、的多项式223322,,,,,x y xy x y x y x y xy ++++在字母x 与y 互换时，保持不变，这样的多项式称为x y 、的对称式。

类似的，关于x y z 、、的多项式 222333222222,,,,,,,x y z xy x y z xy yz zx x y z xyz x y x z y z y x z x z y +++++++++++++在字母x y z 、、中任意两字互换时，保持不变.这样的多项式称为x y z 、、的对称式.关于x y z 、、的多项式222333222,,,,,,,x y z xy x y z xy yz zx x y z xyz x y y z z x ++++++++++在将字母x y z 、、轮换（即将x 换成y ，y 换成z ，z 换成x ）时，保持不变.这样的多项式称为x y z 、、的轮换式。

初中数学竞赛精品标准教程及练习50基本对称式

初中数学竞赛精品标准教程及练习50基本对称式初中数学竞赛是学生在学习数学的过程中，通过参与竞赛提高数学解题能力和思维能力的一种途径。

数学竞赛涉及的内容广泛，其中包括了对称式的研究和应用。

下面是一份关于初中数学竞赛精品标准教程及练习，主要包括了50个基本对称式的内容，希望能够对大家的学习有所帮助。

一、基本概念在初中数学竞赛中，对称式是经常出现的问题类型之一、对称式指的是多项式在变量的置换下保持不变的表达式。

对称式在解题过程中具有简洁性和易于分析的特点，因此对称式在数学竞赛中有着重要的应用价值。

二、基本性质1.对称式具有对称性，即在变量的置换下保持不变。

2.对称式的系数可以是实数也可以是复数。

3.对称式可以通过系数相乘、相加等运算进行组合，得到新的对称式。

4.对称式的次数等于它所包含变量的最高次数。

三、基本类型1.对称多项式：这是最常见的对称式形式，指的是多项式在变量的置换下保持不变。

例如：* $xy+yz+zx$*$x^2+y^2+z^2$2.对称和与对称积：对称和指的是对称多项式相加得到的新的对称多项式，对称积指的是对称多项式相乘得到的新的对称多项式。

例如：*$a_1+a_2+a_3+...+a_n$*$a_1a_2+a_1a_3+a_2a_3+...+a_{n-1}a_n$*$(x+y+z)(y+z+w)$3.对称因子与轮换对称因子：对称因子指的是对称多项式中每一项的因子都是对称的，而轮换对称因子指的是对称多项式中每一项的因子经过变量的置换后仍然是对称的。

4.对称和与对称积的运算法则：对称多项式的和与积都具有交换律和结合律。

四、基本性质与定理1.对称多项式可以通过对称元素的传递性进行分解和合并。

2.对称多项式中可以把含有部分变量的项提取出来，形成新的对称多项式。

3.如果一个对称多项式的每一项次数都是k的倍数，那么这个对称多项式可以表示为若干个对称和乘以小项。

五、基本方法与技巧1.利用对称和与对称积的运算法则简化多项式。

初中数学竞赛第三十六讲平移、对称、旋转

第三十六讲平移、对称、旋转内容提要1．平移、对称和旋转是解决平面几何问题常用的三种图形变换方法，它们零散地分布在初中几何教材之中．例如，平行四边形的对边可以看成是平行移动而形成，这里的平行移动，就是平移变换．2．一般地，把图形F 上的所有点都按照一定的方向移动一定距离形成图形F ′．则由F 到F ′的变换叫做平移变换，简称平移．由此可知，线段平移可以保持长短、方向不变，角、三角形等图形平移保持大小不变．将平面图形F 变到关于直线l 成轴对称的图形F ′，这样的几何变换简称为对称；它可使线段、角大小不变．3．将平面图形F 绕着平面内的一个定点O 旋转一个定角α到图形F ′，由F 到F ′的变换简称为旋转．旋转变换下两点之间的距离不变，两直线的夹角不变，且对应直线的夹角等于旋转角．4．运用平移、对称或旋转变换，能够集中图形中的已知条件，沟通各条件间的联系．例题求解【例1】已知：如图，△ABC 中，AD 平分∠CAB ，交BC 于D ，过BC 中点E 作AD 的平行线交AB 于F ，交CA 的延长线于G ．求证：BF CG ACAB ==+2．思路点拨直接证三角形全等或者用角平分线定理显然不能解决问题．注意到要证式的形式，条件中又有角平分线和中点，如果能切分BF 、CG ，使分出的两部分一部分是AB 的一半，余下的是AC 的一半，问题就解决了．由中点，我们不难想到中位线，两条有推论效力的辅助线(EH 和EI)就产生了，H 、I 切分了BF 、CG ，由平行线性质∠1=∠2=∠3=∠4=∠6，再由中位线定理，等腰三角形的判定定理，切分后的结论不难证明．【例2】如图，E 是正方形ABCD 的BC 边上的一点，F 是∠DAE 的平分线与CD 的交点，求证：AE=FD+BE ．思路点拨表面上看所要证等式的各边分布在正方形不同的边上，欲证它们之间的关系，似乎不可能．但我们可以将某一条边作适当的延伸，使等量关系转移(比如证某两个三角形全等，中位线的关系等)．此题中可将FD延长至G，使得DG=BE，于是易证△AGD≌△AEB，则将AE与AG，BE与GD联系了起来，转而只需证明AG=GF，即只要证明△AGF为等腰三角形即可，由∠1=∠2，∠3=∠4及AB∥CD即证得．【例3】已知∠MON=40°，P为∠MON内一点，A为OM上一点，B为ON上的点，则△PAB的周长取最小值时，求∠APB的度数．思路点拨如图18-4，若在OM上A点固定，不难在ON上找出点B(B为P关于ON 的对称点P''与A点的连线与ON的交点)，同样若在ON上B点巳固定，则点P关于OM'与OM、ON的交点，这时的对称点P'与B点的连线与OM交于A，，因此A、B应为PP''可求得∠A．【例4】如图，在△ABC中，BC=h，AB+AC=l，由B、C向∠BAC外角平分线作垂线，垂足为D、E，求证：BD×CE=定值．思路点拨BC=h是定值，AB+AC=l是定值，要证BD×CE是定值，设法使BD×CE 用h、l的代数式来表示，充分利用DE是∠BAC的外角平分线，构造对称图形，再利用勾股定理．【例5】已知：如图，△ABC中，AB=AC，P是形内一点，且有∠APB=∠APC．求证：∠PBC=∠PCB．思路点拨欲证∠PBC=∠PCB ，只需证PB=PC ，考察一下PB 与PC 便知，PB 、PC 分布在△ABP 和△ACP 中，且有AB=AC ，AP=AP ，∠APB=∠APC ，两三角形有两边和一边的原图难以奏效，这时我们联想到将原图的某些部分旋转，一般地，若条件中有等腰三角形，需要对图形进行变换，常以等腰三角形的顶点为旋转中心，顶角为旋转角，进行旋转变换．设∠BAC=α，以A 为旋转中心，将△ABP 绕A 点向右旋转α角至△ACS 的位置，连PS ，则∠APS=∠ASP ，∵∠APC=∠APB=∠ASC ，∴∠CPS=∠CSP ，∴CP=BP ，∴∠PBC=∠PCB ．【例6】如图，P 是正方形ABCD 内一点，PA=2，PB=1，PD=3，求∠APB 的度数．思路点拨 PA 、PB 、PD 条件不在同一个三角形内，而要求∠APB ，则∠APB 与三个条件无直接联系，因此考虑将△APB 绕点A 沿逆时针方向旋转90°，则AP 至AP ′，BP 与P ′D 重合，连P ′P ，则P P AP '=2，这样边PB 、AP 2、PD 在同一个三角形内，再由条件可得∠DP ′P=90°，则∠AP ′D 的度数即可求得．【例7】 (1998年山东竞赛题)如图，四边形ABCD 是矩形，甲、乙两人分别从A 、B 同时出发，沿矩形按逆时针方向前进，即按A →B →C →D →…顺序前进，乙至少在跑第几圈时才有可能第一次追上甲?又乙至多在跑第几圈时一定能追上甲?请说明理由．思路点拨设ABCD 边长AD=BC=am ，AB=BC=bm ，由题意得：乙的速度比甲的速度快，所以乙第一次追上甲的时间是在出发后的92ba +min ，乙第一次追上甲所走的路程为7492⨯+ba (m)，设这时乙的绝对路程为p ，则)(94479)(9384)22(9)2(74b a b a b a b a b a b a p ++-=+++=++=，从而得：4<p<9．又当38a+b<9(a+b)，即b a 298<时，1)(938<++b a b a ，所以，乙至少在跑第五圈时，才能第一次追上甲，当7a+44b<9(a+b)．即b a 235>时，1)(9447<++b a b a ，所以乙至多在跑第九圈时一定能追上甲．【例8】如图，D 为锐角△ABC 内部一点，满足AC ×BD=AD ×BC ，及∠ADB=∠ACB+90°，试计算比值BDAC CDAB ⋅⋅．思路点拨将线段BD 绕B 点顺时针旋转90°至BE ，连接DE 、GE ．由∠ADB=∠1+∠2+∠ACB ，及∠ADB=ACB+90°，∠1+∠=90°．由∠2+∠3=90°，则∠1=∠3．而AC ×BD=AD ×BC ，BD=BE ，即BEADBC AC =，故△ADC ∽△BEC ，∠4=∠6，ECDCBC AC =从而有∠ACB=∠4+∠6=∠5+∠6=∠DCE ．故△ABC ∽△DCE ．于是有DC AC DE AB =，在Rt △BDE 中，BD=BE ，DE=2BD ，所以2=⋅⋅BDAC CDAB ．学历训练1．如图，求图中阴影部分面积S=（）2．如图，以△ABC的AB、AC边为斜边向外作直角当形ABD和ACE，且使∠ABD=∠ACE，M是BC的中点．求证：DM=EM．3．如图，已知矩形ABCD中，有一个内接平行四边EFGH，它的各边平行于长方形的对角线，若矩形的对角线长12cm，则平行四边EFGH的周长为( )cm．4．(2001年济南市) 同学们曾玩过万花筒，它是由三块等宽等长的玻璃片围成的．如图是看到万花筒的—个图案，图中所有小三角形均是全等的等边三角形，其中的菱形AEFG 可以看成是把菱形ABCD以A中心( )A．顺时针旋转60°得到B．顺时针旋转120°得到C．逆时针旋转60°得到D．逆时针旋转120°得到5．(2001年山西省)如图，AD是△ABC的中线，∠ADC=45°，把△ADC沿AD对折，点C落在点C′的位置，则BC′与BC之间的数量关系是．6．如图，在△ABC中，AB=3AC，AE是∠A的平分线，BD⊥AE交AE廷长线于D，求证：AE=ED．7．(南京市中考题)(1)阅读下面材料：如图18-14(1)，把△ABC沿直线BC平行移动线段BC的长度，可以变到△EDC的位置；如图18-14（2），以BC为轴把△ABC翻折180°，可以变到△DBC的位置；如图18-14(3)，以点A为中心，把△ABC旋转180°，可以变到△AED的位置．象这样，其中一个三角形是由另一个三角形按平行移动、翻折、旋转等方法变成的．这种只改变位置；不改变形状大小的图形变换，叫做三角形的全等变换．(2)回答下列问题：①在图18-15中，可以通过平行移动、翻折、旋转中的哪一种方法，使△ABE变到△ADF的位置?②指出图18-15中线段BE与DF之间的关系．8．(1999年江苏省未面世竞赛试题) 如图，一个三角形的三条中线长分别为5、12、13，则该三角形的面积S=( )9．(1996年希望杯竞赛题)如图，在△ABC中，∠B=2AC，AD⊥BC，交BC于D，M 为BC的中点，AB=10，则DM的长为( )10．(第十五届江苏省数学竞赛试题)如图，AD是△ABC的中线，E、F分别在AD、AC上，且DE⊥DF，则( )A．BE+CF>EF B．BE+CF=EFC．BE+CF<EF D．BE+CF与EF的大小关系不确定11．(1998年全国初中数学竞赛题)如图，在矩形ABCD中已知AB=5，AD=12，P是AD上任一点，PF⊥BD，PE⊥AC，E、F分别为垂足，那么PE+PF=( )12．(2000年希望杯数学竞赛培训题)如图，平行四边形ABCD中，AE⊥BC，AF⊥CD，∠EAF=45°，且AE+AF=22，则平行四边形ABCD的周长是( )13．已知：如图，△ABC为等腰三角形，AH为高，BD为∠B的平分线，DE⊥BC于E，DF⊥BD交BC于F．求证：BF=4HE．14．在矩形ABCD内任取一点M，求证：存在一个四边形，它的边长等于MA、MB、MC、MD，且它的对角线互相垂直且长度分别等于AB、BC．15．如图所示，E、F分别是正方形ABCD的边BC、CD上的点，且BE+DF=EF，求∠EAF 的大小．16．如图所示，在平行四边形ABCD中，BC=2AB，CE⊥AB，F为AD的中点，且∠DFE=n ∠AEF．求n的值．17．在△ABC中，∠A=20°，AB=AC=a，BC=b．求证：a3+b3=3a2b．18．如图，已知△ABC内有一点M，沿着平行于边BC的直线运动到CA边上时，再沿着平行于AB的直线运动到BC边时，又沿着平行于AC直线运动到AB边时，再重复上述运动．试证：点M最后必能再经过原来的出发点．。

重点高中自招必备八年级专题26 相对相称—对称分析法

专题26 相对相称—对称分析法阅读与思考当代美国数学家赫尔曼·韦尔指出：对称尽管你可以规定其含义或宽或窄，然而从古到今都是人们用来理解和创造秩序、美妙以及尽善尽美的一种思想. 许多数学问题所涉及的对象具有对称性（不仅包括几何图形中的对称，而且泛指某些对象在某些方面如图形、关系、地位等彼此相对又相称）. 对称分析法就是在解题时，充分利用自身条件的某些对称性辅助解题的一种分析方法，初中阶段主要研究下面两种类型的对称：1.代数中的对称式如果把一个多项式的任意两个字母互换后，所得的多项式不变就称这个多项式为对称式，对称式的本质反应的是多元多项式中字母地位相同，任何一个复杂的二元对称式，都可以用最简单对称多项式b a +，ab 表示，一些对称式的代数问题，常用最简对称式表示将问题解决.2.几何图形的对称几何图形的对称指的是轴对称和中心对称，一些几何问题，如果我们作出图形的对称轴，或者作出已知点关于某线（某点）的对称点，构造出轴对称图形、中心对称图形，那么就能将分散的条件集中起来，容易找到解题途径.例题与求解【例l 】如图，菱形ABCD 的两条对角线分别长6和8，点P 是对角线AC 上的一个动点，点M 、N 分别是边AB ，BC 的中点，则PM +PN 的最小值是 . (荆门市中考试题)解题思路：作M 关于AC 的对称点M '，连MN 交AC 于点P ，则PM +PN 的值最小.BCA【例2】已知a ，b 均为正数，且2=+b a ，求W =1422+++b a 的最小值.（北京市竞赛试题）解题思路：用代数的方法求W 的最小值较繁，22b a +的几何意义是以a ，b 为边的直角三角形的斜边长，构造图形，运用对称分析法求出W 的最小值.【例3】已知11122=-+-a b b a ，求证：122=+b a （四川省竞赛试题）解题思路：解决根式问题的基本思路是有理化，有理化的主要途径是：乘方、配方、换元和引入有理化因式，引入与已知等式地位相对相称的有理化因式，本例可获得简证．【例4】如图，凸四边形ABCD 的对角线AC ，BD 相交于O ，且AC ⊥BD ，已知OA ＞OC ，OB ＞OD ，求证：BC ＋AD ＞AB ＋CD .（“祖冲之杯”邀请赛试题）解题思路：解题的关键是将有关线段集中到同一三角形中去，以便运用三角形三边关系定理，以AC 为对称轴，将部分图形翻折．DBC【例5】如图，矩形ABCD 中，AB ＝20厘米，BC ＝10厘米，若在AC 、AB 上各取一点M ，N ，使BM ＋MN 的值最小，求这个最小值. （北京市竞赛试题）解题思路：要使BM ＋MN 的值最小，应该设法将折线BM ＋MN 拉直，不妨从作出B 点关于AC 的对称点入手.A N能力训练1.如图，六边形ABCDEF 是轴对称图形，CF 所在的直线是它的对称轴. 若∠AFC ＋∠BCF ＝0150，则∠AFE ＋∠BCD 的大小是 . (武汉市中考试题)A BO(第1题图) （第2题图）（第3题图）2.如图，矩形纸片ABCD 中，AB ＝2，点E 在BC 上，且AE ＝EC ，若将纸片沿AE 折叠，点B 恰好落在AC 上，则AC 的长是 .(济南市中考试题) 3. 如图，∠AOB ＝045，P 是∠AOB 内一点，PO ＝10，Q ，P 分别是OA 、OB 上的动点，则△PQR 周长最小值是 .4. 比6)56(+大的最小整数是 . （西安交通大学少年班入学试题）5.如图，已知正方形ABCD 的边长为3，E 在BC 上，且BE ＝2，P 在BD 上，则PE ＋PC 的最小值为（）. A ．32 B ．13 C ．14 D ．156. 观察下列平面图形，其中是轴对称图形的有( ) .A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个(南京市中考试题)7.如图，一个牧童在小河南4英里处牧马，河水向正东方流去，而他正位于他的小屋西8英里北7英里处，他想把他的马牵到小河边去饮水，然后回家，他能够完成这件事情所走的最短距离是（）. A ．)1854(+英里 B ．16英里 C ．17英里 D ．18英里（美国中学生竞赛试题）AE P(第5题图) （第7题图）（第8题图）8.如图，等边△ABC的边长为2，M为AB中点，P为BC上的点，设PA＋PM的最大值和最小值分别为S 和L，则22LS-等于（）A．24B．34C．23D．339.一束光线经三块平面镜反射，反射的路线如图所示，图中字母表示相应的度数，已知c=060，求ed+与x的值. （江苏省竞赛试题）10. 求代数式9)12(422+-++xx的最小值.（“希望杯”邀请赛试题）11. 在一平直河岸l 同侧有A B ，两个村庄，A B ，到l 的距离分别是3km 和2km ，km AB a =(1)a >．现计划在河岸l 上建一抽水站P ，用输水管向两个村庄供水．方案设计某班数学兴趣小组设计了两种铺设管道方案：图1是方案一的示意图，设该方案中管道长度为1d ，且1(km)d PB BA =+（其中BP l ⊥于点P ）；图2是方案二的示意图，设该方案中管道长度为2d ，且2(km)d PA PB =+（其中点A '与点A 关于l 对称，A B '与l 交于点P ）．观察计算（1）在方案一中，1d = km （用含a 的式子表示）；（2）在方案二中，组长小宇为了计算2d 的长，作了如图13-3所示的辅助线，请你按小宇同学的思路计算，2d = km （用含a 的式子表示）．探索归纳（1）① 当4a =时，比较大小：12_______d d （填“＞”、“＝”或“＜”）； ② 当6a =时，比较大小：12_______d d （填“＞”、“＝”或“＜”）；（2）对a （当1a >时）的所有取值情况进行分析，要使铺设的管道长度较短，应选择方案一还是方案二？(河北省中考试题)图1 图2图312．如图，已知平面直角坐标系中，A ，B 两点的坐标分别为A （2，－3），B （4，－1）（1）若P （x ，0）是x 轴上的一个动点，当△PAB 的周长最短时，求x 的值；（2）若C （a ，0），D （3+a ，0）是x 轴上的两个动点，当四边形ABDC 的周长最短时，求a 的值；（3）设M ，N 分别为x 轴和y 轴上的动点，问：是否存在这样的点M （m ，0）、N （0，n ），使四边形ABMN 的周长最短？若存在，求出m ，n 的值；若不存在，请说明理由．x13.在△ABC 中，∠BAC ＝45°，AD ⊥BC 于D ，将△ABD 沿AB 所在的直线折叠，使点D 落在点E 处；将△ACD 沿AC 所在的直线折叠，使点D 落在点F 处，分别延长EB 、FC 使其交于点M ．（1）判断四边形AEMF 的形状，并给予证明；（2）若BD ＝1，CD ＝2，试求四边形AEMF 的面积．(宁夏中考试题)14. 阅读下列材料：小贝遇到一个有趣的问题：在矩形ABCD 中，AD ＝8cm ，AB ＝6cm ，现有一动点P 按下列方式在矩形内运动：它从A 点出发，沿着AB 边夹角为45︒的方向作直线运动，每次碰到矩形的一边，就会改变运动方向，沿着与这条边夹角为45︒的方向作直线运动，并且它一直按照这种方式不停地运动，即当P 点碰到BC 边，沿着BC 边夹角为45︒的方向作直线运动，当P 点碰到CD 边，再沿着与CD 边夹角为45︒的方向作直线运动…如图1所示，问P 点第一次与D 点重合前与边相碰几次，P 点第一次与D 点重合时所经过的路线的总长是多少？小贝的思考是这样开始的：如图2，将矩形ABCD 沿直线CD 折叠，得到矩形A 1B 1CD ，由轴对称的知识，发现P 2P 3＝P 2E ，P 1A ＝P 1E ．请你参考小贝的思路解决下列问题：(1) P 点第一次与D 点重合前与边相碰次，P 点从A 点出发到第一次与D 点重合时所经过的路径的总长是 cm ．(2) 进一步探究：改变矩形ABCD 中AD 、AB 的长，且满足AD ＞AB ，动点P 从A 点出发，按照阅读材料中动点的运动方式，并满足前后连续两次与边相碰的位置在矩形ABCD 相邻的两边上．若P 点第一次与B 点重合前与边相碰7次，则AB ：AD 的值为．专题26 相对相称————对称分析法例1 5例2 提示：将b=2-a 代入 W 得W ，构造图形如下图，可得 W 的最小值为AP PB AB +=.例3 提示：设，则22a b =m -，22b -即(2=0 ，可得例4 证明以AC 为对称轴，将△ADO 翻转，D 点必落在BO 上，设为D '，则AD ' =AD ，OD '=OD ；同理，将△BCO 翻转，C 点必落在AO 上，设为C '，则,B C B C O C O C ''==,连接C D ''、BC '、AD '，交于E ，则C D CD ''=，在△ABE 和△C D E ''中，有C E D E C D BE AE AB ''''+>⎧⎨+>⎩① +②得，BC AD AB C D ''''+>+，即AD+BC>AB+CD.例5 作B 关于AC 的对称点B '，连AB '，则N 关于AC 的对称点在AB '上的N '，这时，B 到M 的最小值等于B M N '→→ 的最小值,等于B 到AB '的距离BH '，即BM +MN 的最小值为BH ’。

对称式与轮换对称式

竞赛专题-------对称式与轮换对称式1．基本概念【定义1】一个n 元代数式12()n f x x x ，，，，如果交换任意两个字母的位置后，代数式不变，即对于任意的i j ，（1i j n ≤<≤），都有11()()i j n j i n f x x x x f x x x x =，，，，，，，，，，，，那么，就称这个代数式为n 元对称式，简称对称式。

例如，222x yx y xy x y z xy yz zx xy++++++，，，，都是对称式。

如果n 元对称式是一个多项式，那么称这个代数式为n 元对称多项式。

由定义1知，在对称式中，必包含任意交换两个字母所得的一切项，例如，在对称多项式()f x y z ，，中，若有3ax 项，则必有33ay az ，项；若有2bx y 项，则必有2bx z ，2222by z by x bz x bz y ，，，项，这些项叫做对称式的同形项，同形项的系数都相同。

根据对称多项式的定义，可以写出含n 个字母的对称多项式的一般形式，例如，含有三个字母x y z ，，的二次对称多项式的般形式是：222()()()a x y z b xy yz zx c x y z d +++++++++【定义2】如果一个n 元多项式的各项的次数均等于同一个常数r ，那么称这个多项式为n 元r 次齐次多项式。

由定义2知，n 元多项式12()n f x x x ，，，是r 次齐次多项式，当且仅当对任意实数t 有1212()()r n n f tx tx tx t f x x x =，，，，，，。

例如，含三个字母的三元三次齐对称式为：333222222()()a x y z bx y x zy xy zz x z y c x y z+++++++++。

【定义3】一个n 元代数式12()n f x x x ，，，，如果交换任意两个字母的位置后，代数式均改变符号，即对于任意的i j ，()1i j n ≤<≤，都有11()()i j n j i n f x x x x f x x x x =-，，，，，，，，，，，，那么就称这个代数式为n 元交代式。

初中数学竞赛中的“轴对称”

．
证明：Ｑ＝Ｃ．ＢＰ证明由题意
Ｐ
作Ｄ上ＢＨＥ于点Ｈ，Ｋ上于点ＫＧ．
易证 △ ＩＨ丝 △ ＩＫ．ＤＧ
进而，Ｋ＝ＤＧＨ．
网４
知
ＢＣ＋ＣＢＱＰ
＝Ａ＋一１
一
故Ｉ－Ｈ：Ｉ．Ｋ，ＥＤＦＧ即
上分别取点Ｑ、Ｐ，
使得
ＰＢＣ
＝
ＡＥ：ｔＡＦ＝ＩＢＤ＝ＩＢＧ＝４Ｉ５．Ｏ
ＱＢＣ
Ｂ
故ＦＧ＝ＡＢ一ＭＦ一ＢＧＩＩＩ
Ｃ
＝１５３。一４一４５。５。＝５ＢＤ．４。＝Ｉ
：
收稿日期：０１８— １２１ —０３
２１０２年第１期
３
２求线段的长度，明线段相等证
例３如图３在矩形ＡＣ中，，ＢＤ已知对
ＢＣ＋Ｂ１０．Ｃ＝ＱＰＣ＝８。ＰＰＣ
Ｂ、Ｃ、Ｐ、Ｑ四点共圆＝ＰＢＰＣ＝ＱＢ＝＞Ｃ＝ＢＣ
（本讲适合初中）
又ＯＡ：Ｏ则Ａ，
△ＡＯ △Ａ．ＢＭ０
许多数学问题所涉及的对象具有对称
性，轴对称就是常见的形式之一．轴对称的性质在探求几何最值、解决生活实际问题等方
面有着奇妙的作用．
１计算角的度数
于是，Ｂ＝Ｍ．ＯＯ
例４如图４在 △ ＡＣ的边ＡＡ，ＢＢ、Ｃ
的对称点Ｆ、．Ｆ、Ｇ则Ｇ

轮换对称式与多项式和应用(初中数学竞赛)

x x
z y
y z
c xyz 1c x y z
所以
a b c x y z 1 1 a 1b 1c x y z
本题具有轮换对称式的特征，所以只需对其中一个式子化简，就可以得出相同规律.
1
例４设 a
11 bc

1 abc
，证明
(1)a、b、c三数中必有两个数之和为零；
=(b+c) (a2+bc+ca+ab) =(a+b)(b+c)(c+a)
∴(a+b)(b+c)(c+a)=0，这就是说，在a+b、b+c、c+a 中至少有一个为零，即a、b、c三数中必有两个数之和为零。
例４
111 1 a b c abc
，证明(2)对任何奇数n，有
111
1

an bn cn an bn cn
xz yz z 2 z ③
yz zx xy
由①+②+③ 得
x2 y 2 z 2 ( xy xz ) ( xy yz ) ( xz yz ) yz zx xy yz yz zx zx xy xy
x y z
所以
x2 y2 z2 x y z x y z yz zx xy

c)(c c)(c

a) a)

1
例７.
已知x、y、z满足关系式
y
x
z

y z
x

z z zx xy
证明：将已知等式分别乘以x、y、z得
x2 xy xz x ①

初中数学竞赛专题选讲换元法(含答案)

初中数学竞赛专题选讲（初三.8）换元法一、内容提要1. 换元就是引入辅助未知数.把题中某一个（些）字母的表达式用另一个（些）字母的表达式来代换，这种解题方法，叫做换元法，又称变量代换法.2. 换元的目的是化繁为简，化难为易，沟通已知和未知的联系.例如通过换元来降次，或化分式、根式为整式等.换元的关鍵是选择适当的式子进行代换.3. 换元要注意新旧变元的取值范围的变化.要避免代换的新变量的取值范围被缩小；若新变量的取值范围扩大了，则在求解之后要加以检验.4. 解二元对称方程组，常用二元基本对称式代换.5. 倒数方程的特点是：按未知数降幂排列后，与首、末等距离的项的系数相等. 例如：一元四次的倒数方程ax 4+bx 3+cx 2+bx+a=0.两边都除以x 2,得a(x 2+21x )+b(x+x 1)+c=0. 设x+x 1=y, 那么x 2+21x = y 2－2, 原方程可化为ay 2+by+c －2=0.对于一元五次倒数方程 ax 5+bx 4+cx 3+cx 2+bx+a=0，必有一个根是－1.原方程可化为 (x+1)(ax 4+b 1x 3+c 1x 2+b 1x+a)=0.ax 4+b 1x 3+c 1x 2+b 1x+a=0 ，这是四次倒数方程.形如 ax 4－bx 3+cx 2＋bx+a=0 的方程，其特点是：与首、末等距离的偶数次幂项的系数相等，奇数次幂的系数是互为相反数. 两边都除以x 2, 可化为a(x 2+21x)－b(x －x 1)+c=0. 设x －x 1=y, 则x 2+21x=y 2+2, 原方程可化为 ay 2－by+c+2=0.二、例题例1. 解方程1112---++x x x =x. 解：设11-++x x =y, 那么y 2=2x+212-x .原方程化为： y －21y 2=0 . 解得 y=0；或y=2.当y=0时，11-++x x =0 (无解) 当y=2时， 11-++x x =2，解得，x=45. 检验（略）. 例2. 解方程：x 4+(x －4)4=626.解：（用平均值24-+x x 代换，可化为双二次方程.）设 y= x －2 ，则x=y+2.原方程化为 (y+2)4+(y －2)4=626.［((y+2)2－(y －2)2)2＋2(y+2)2(y －2)2－626=0整理，得 y 4+24y 2－297=0. (这是关于y 的双二次方程).(y 2+33)(y 2－9)=0.当y 2+33=0时，无实根；当y 2－9=0时， y=±3.即x －2=±3，∴x=5；或x=－1.例3. 解方程：2x 4+3x 3－16x 2+3x+2=0 .解：∵这是个倒数方程，且知x ≠0，两边除以x 2,并整理得2(x 2+21x )+3(x+x 1)－16=0. 设x+x 1=y, 则x 2+21x =y 2－2. 原方程化为 2y 2+3y －20=0.解得 y=－4；或y=25. 由y=－4得 x=－2+3；或x=－2－3.由y=2.5得 x=2；或x=21. 例4 解方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+++++=+++++01012124012522222y x y xy x y x y xy x解：（这个方程组的两个方程都是二元对称方程，可用基本对称式代换.）设x+y=u, xy=v. 原方程组化为：⎪⎩⎪⎨⎧=+++=+++010********v u u v u u . 解得⎩⎨⎧-==374v u ；或⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=91132v u . 即⎩⎨⎧-==+374xy y x ；或⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=+91132xy y x . 解得：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧--=+-=33213321y x ；或⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-=--=33213321y x ；或⎪⎩⎪⎨⎧-=+=412412y x ；或⎪⎩⎪⎨⎧+=-=412412y x .三、练习解下列方程和方程组：（1到15题）： 1. =++++)7(27x x x x 35－2x.2. (16x 2－9)2+(16x 2－9)(9x 2－16)+(9x 2－16)2=(25x 2－25)2.3. (2x+7)4+(2x+3)4=32 .4. (2x 2－x －6)4+(2x 2－x －8)4=16.5. (2115-+x )4+(2315-+x )4=16.6. x x x x 112+++=223. 7. 2x 4－3x 3－x 2－3x+2=0. 8. ⎪⎩⎪⎨⎧=++=+++19182222xy y x y x y x 9. ⎪⎩⎪⎨⎧=+=+160311122y x y x . 10. 563964467222+-=+-+--x x x x x x . 11. (6x+7)2(3x+4)(x=1)=6.12. ⎪⎩⎪⎨⎧=+=-++13511y x y x . 13. ⎪⎩⎪⎨⎧=+=+1025y x x y y x .14. ⎪⎩⎪⎨⎧=+-+=-+++01823312y xy y y x y x . 15x xx x =-+-111. 16. 分解因式： ①(x+y －2xy)(x+y －2)+(1－xy)2； ②a 4+b 4+(a+b)4 .17. 已知：a+2=b －2=c ×2=d ÷2, 且a+b+c+d=1989.则a=___,b= ____,c=_____,d=____18. ［a ］表示不大于a 的最大整数，如［2］=1，［－2］=－2，那么方程［3x+1］=2x －21 的所有根的和是_____.参考答案 1. 221229 2. ±43±34 3. －25 4. 2,－23,4651± 5.3231-32211， 6. 1 7.21,2 8.⎪⎩⎪⎨⎧+-=--=⎪⎩⎪⎨⎧--=+-=⎩⎨⎧==⎩⎨⎧==727272722332y x y x y x y x 9. ⎪⎩⎪⎨⎧+-=--=⎪⎩⎪⎨⎧--=+-=⎩⎨⎧==⎩⎨⎧==555555555555412124y x y x y x y x 10. 7,－111.－32,－3512.⎩⎨⎧==⎩⎨⎧==10358y x y x 13.⎩⎨⎧==⎩⎨⎧==8228y x y x 14. ⎪⎩⎪⎨⎧+=-=⎪⎩⎪⎨⎧-=+=⎩⎨⎧-==⎩⎨⎧==1031041031041513y x y x y x y x 15. x=251± 16.①设x+y=a,xy=b ②设a 2+b 2=x,ab=y17.设原式=k, k=44218. –2可设2x －21=t, x=21t+41代入[3x+1]。

初中数学九年级《基本对称式》培优竞赛辅导导学讲义

初中数学比赛指导资料（ 6）基本对称式甲内容概要1. 上一讲介紹了对称式和轮换式的定义和性质 . 形如 x+y 和 xy 是两个变量 x, y 的基本对称式 .2. 含两个变量的全部对称式，都能够用同样变量的基本对称式来表示.比如 x 2+y 2,x 3+y 3,(2x － 5)(2y － 5), － 22 ， yx都是含两个变量的对称式，它们都3x 3y xy能够用同样变量 x,y 的基本对称式来表示：b5E2RGbCAPx 2+y 2＝（ x+y ） 2－ 2xy ，x 3+y 3＝（ x+y ） 3－ 3xy(x+y)，(2x － 5)(2y － 5)＝4xy － 10(x+y)+25, －2 2=－（2 x y)3x 3y ,3xyy x y 2x 2 ( x y) 2 2xy.xy =xy=xy3.设 x+y=m, xy=n.则 x 2+y 2＝（ x+y ） 2－ 2xy ＝ m 2－ 2n ； x 3+y 3＝（ x+y ）3 －3xy(x+y)=m 3－ 3mn ； x 4+y 4＝（ x 2+y 2） 2－ 2x 2y 2 ＝m 4－ 4m 2n+2n 2；x 5+y 5＝（ x 2+y 2） (x 3+y 3)－ x 2y 2(x+y)=m 5－ 5m 3n+5mn 2；n n一般地， x +y (n 为正整数 )用基本对称式表示可成立递推公式：k+1 k+1k kk － 1 k －1) (k 为正整数 ).x +y =( x +y )(x+y)－xy(x +y 4. 含 x, y 的对称式， x+y, xy 这三个代数式之间，随意知道两式，可求第三式. 乙例题例 1.1 1 3－1）求以下代数式的值：已知 x=( 3 +1), y= （22① x 3 +x 2y+xy 2+y 3 ；② x 2 (2y+3)+y 2(2x+3).解：∵含两个变量的对称式都能够用同样变量的基本对称式来表示.∴先求出x+y=3 , 1 .xy=2① 322 33x +x y+xy +y ＝（ x+y ）－ 2xy(x+y)=( 3 )3－2×132=23 ；②x 2 (2y+3)+y 2(2x+3)＝ 2x 2 y+3x 2+2xy 2 +3y 2=3(x 2+y 2)+2xy(x+y)=3［（ x+y ） 2－ 2xy ］+2xy(x+y)=3［（21 1 3）－2） 2×322＝3 －6.例 2.x 3 y 335①解方程组x y 5②剖析：可由 x 3+y 3, x+y 求出 xy ，再由基本对称式，求两个变量x 和 y.解：∵ x 3+y 3,＝（ x+y ） 3－ 3xy(x+y) ③把①和②代入③，得35＝ 53－ 15xy.∴ xy=6.x y 5解方程组xy 6x 2x 3得y 3或.y 2例 3.化简32014 2＋3 20 14 2 .解：设 3 2014 2 ＝ x,320 14 2 =y.那么 x 3+y 3=40,xy= 3400－196 2 =2.∵ x 3 +y 3＝（ x+y ）3 －3xy(x+y)，∴ 40＝（ x+y ） 3－ 6（ x ＋ y ） . 设 x+y=u, 得u 3－ 6u － 40=0 .(u － 4)(u 2+4u+10)=0.∵ u 2+4u+10=0 没有实数根， ∴ u － 4＝0, u ＝ 4 .∴ x+y=4.即320 14 2＋3 2014 2 ＝4.例 4.a 取什么值时，方程 x 2 －ax+a － 2=0 的两根差的绝对值最小？其最小值是什么？解：设方程两根为 x 1, x 2 . 依据韦达定理，x 1 x 2 a得a2x 1 x 2∵ x 1 x 2(x 1 x 2 ) 2 ＝（ x 1 x 2 ) 2 4x 1x 2 ＝ a 24a 8＝ (a 2)2 4 ，∴当 a=2 时， x 1 x 2有最小值是 2.丙练习 501. 已知 x － y=a, xy=b.则 x 2+y 2=______ ； x 3－ y 3=______.p1EanqFDPw 2. 若 x+y=1, x 2+y 2=2.则 x 3+y 3=_______；x 5+y 5=______.DXDiTa9E3d3. 假如 x+y=－ 2k, x y则 k=_____. xy=4,3 .y x4. 1 =4,那么 x －1=____ 21已知 x+x ，x x 2 =＿＿＿ .x5. 若 x1 .＝ a, 那么 x+ 1 =______, x21=＿＿＿ .x xx 26. 已知： a=1, b=1.2－ 3 23求： ①7a 2+11ab+7b 2；② a 3+b 3－ a 2－ b 2－ 3ab+1.7. 已知 x1 ＝ 8，则 x2 x 1＝＿＿＿＿ .（ 1990 年全国初中数学联赛题）x8. 已知 231 =＿＿＿＿＿ .(1987 年泉州市初二数学双基赛 )a +a － 1=0 则 a － a 39. 已知一元二次方程的两个根的平方和等于5，两根积是 2，则这个方程可写成为：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ .（1990 年泉州市初二数学双基赛）10. 化简： ① 3 2＋ 5＋3 2－5 ；②3 5 2＋7－3 5 2－7.11. 已知： α ，β 是方程 ax 2+bx+c=0(a ≠ 0) 的两个根 .2求证： α 2（ b β +c ） +β 2(b α +c)=－2c.a。

初中数学竞赛辅导资料(35)—两种对称

初中数学竞赛辅导资料（35）两种对称甲内容提要1. 轴对称和中心对称定义把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够和另一个图形重合，那么这两个图形关于这条直线对称．这条直线叫做对称轴把一个图形绕着某一点旋转180 ，如果它能够和另一个图形重合，那么这两个图形关于这点对称，这点叫做对称中心2. 轴对称图形和中心对称图形的定义如果一个图形沿着某一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形中叫做轴对称图形，这条直线就是它的对称轴一个图形绕着某一点旋转180 ，如果旋转后的图形能够和原来的图形互相重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心．3. 性质：①成轴对称或中心对称的两个图形是全等形②对称轴是对称点连线的中垂线；对称中心是对称点连线的中点③两个图形关于某条直线对称，如果它们的对应线段或延长线相交，那么交点在对称轴上4. 常见的轴对称图形有：线段，角，等腰三角形，等腰梯形，矩形，菱形，正多边形，圆等；中心对称图形有：线段，平行四边形，边数为偶数的正多边形，圆等乙例题例1 求证：若等腰梯形的两条对角线互相垂直，则它的中位线与高相等证明：∵等腰梯形是轴对称图形，底边的中垂线MN 是它的对称轴，对应线段AC 和BD的交点O ，在对称轴MN 上∵AC ⊥BD D N C∴△AOB 和△COD 都是等腰直角三角形，OM 和ON 是它们的斜边中线 O∴OM ＝21AB ，ON ＝21CD ∴MN ＝21（AB ＋CD ） A M B ∴梯形中位线与高相等．例2 已知矩形ABCD 的边AB ＝6，BC ＝8，将矩形折叠，使点C 和点A 重合，求折痕EF 的长．解：∵折痕EF 是对称点连线AC 的中垂线连结AE ，AE ＝CE ，设AE ＝x ，则BE ＝8－x 在R △ABE 中，x 2=(8－x )2+62解得x =425，即AE ＝425 在Rt △AOE 中，OE ＝225)425(＝415 A B C D O F EEF ＝2OE ＝7.5例3 已知：△ABC 中，AB ＝AC ，过点A 的直线MN ∥BC ，点P 是MN 上的任意点求证：PB ＋PC ≥2AB证明：当点P 在MN 上与点A 重合时， PB ＋PC ＝AB ＋AC ，即PB ＋PC ＝2AB当P 不与A 重合时作点C 关于直线MN 的对称点C ′则PC ′＝PC ，AC ′＝AC ＝AB ∠P AC ′＝∠P AC ＝∠ACB ∴∠P AC ′＋∠P AC ＋∠BAC ＝180∴B ，A ，C ′三点在同一直线上∵PB ＋PC ′＞BC ′，即PB ＋PC ＞2AB∴PB ＋PC ≥2AB例4 已知：平行四边形ABCD 外一点P 0，点P 0关于点A 的对称点P 1，P 1关于点B 的对称点P 2，P 2关于点C 的对称点P 3，P 3关于点D 的对称点P 4求证：P 4与P 0重合证明：（用同一法）顺次连结P 0，P 1，P 2，P 3，P 4，根据中心对称图形性质，点A ，B ，C ，D 分别为P 0P 1，P 1P 2，P 2P 3，P 3P 4的中点AB ∥P 0P 2∥CD连结P 0P 3，取P 0P 3的中点D ′，连结D ′C ，则D ′C ∥P 0P 2 ∴CD ′和CD 重合，∴P 4和P 0重合．例5 正方形ABCD 的边长为a ，求内接正三角形AEF 的边长．解：∵正方形ABCD 和等边三角形AEF 都是轴对称图形，直线AC 是它的公共对称轴，可知△ABE ≌△ADF ．∴BE ＝DF ，CE ＝CF ．设等边三角形AEF 边长为x ，根据勾股定理得CE 2＋CF 2＝x 2，CE =x 22，BE=a －x 22 在Rt △ABE 中，x 2=( a －x 22)2+a 2 x 2+22ax －4a 2=0由根公式舍去负根，得x =(62-) a 答：等边△AEF 的边长是(62-)a丙练习1. 下列图形属轴对称而不是中心对称图形的有＿＿＿＿＿＿＿＿属中心对称而不是轴对D ,P 4P 3P 2P 1P 0A B CD a-2x 2x a A B C DE F C ,A B C N M P称图形的有＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿既是轴对称又是中心对称的图形有＿＿＿＿①线段 ②角 ③等腰三角形 ④等腰梯形 ⑤矩形 ⑥菱形⑦平行四边形 ⑧正三角形 ⑨正方形 ⑩圆2. 坐标平面内，点A 的坐标是（x ＋a ，y －b ）那么①点A 关于横轴的对称点B 的坐标是（）②点A 关于纵轴的对称点C 的坐标是（）③点A 关于原点的对称点D 的坐标是（）3. 坐标平面内，点M （a ，－b ）与点N （－a ，b ）是关于＿＿＿的对称点点P （m －3，n ）与点Q （3－m ，n ）是关于＿＿＿的对称点4. 已知：直线m 的同一侧有两个点A 和B ，求作：在m 上一点P ，使P A ＋PB 为最小．5．已知：等边△ABC求作：点P ，使△P AB ，△PBC ，△P AC 都是等腰三角形（本题有10个解，至少作出4个点P ）6．求证：等腰梯形两腰的延长线的交点，对角线的交点，两底中点，这四点在同一直线上（用轴对称性质）7．已知：△ABC 中，BC ＞AC ，从点A 作∠C 平分线的垂线段AD ，点E 是AB 的中点求证：DE ＝21（BC －AC ） 8．已知：△ABC 中，AB ＝AC ，BD 是角平分线，BC ＝AB ＋AD ．求：∠C 的度数．9．已知：正方形ABCD 中，AB ＝12，P 在BC 上，且BP ＝5，把正方形折叠使点A 和点P 重合，求：折痕EF 的长10．平行四边形ABCD 的周长是18cm ，∠A 和∠B 的平分线相交于M ，点O 是对称中心，OM ＝1cm ，求各边长．11．△ABC 中，∠B ＝2∠C ，AD 是角平分线，E 是BC 的中点，EF ⊥AD 和AB 的延长线交于点F ，求证BD ＝2BF ．（创建轴对称图形，过点C 作C G ∥BC 交AB 延长线于G ）12．正方形ABCD 的边长为a ，形内一点P ，P 到AB 两端及边BC 的距离都相等，求这个距离．13．求证一组对角相等且这组对角顶点所连结的对角线平分另一条对角线的四边形是平行四边形．提示：用反证法，作△ABD 关于点O （对角线交点）的对称三角形14．矩形ABCD 中，边AB ＝3，对角线AC =2，在矩形内⊙O 1和BC 、AC 分别切于点E ，F ，⊙O 2与AD ，AC 分别切于M ，N① 求：∠ACB 与∠O 2AN 的度数② 如果折叠矩形后(折痕为AC )，点O 2落在AB 边上的点K 处：⑪在图上画出点K 确切位置，并说明理由；m AB A B C⑫设⊙O1，⊙O2的半径都等于R，试求折叠矩形后，两圆外离时的圆心距与R的取值范围．15．已知：AD是△ABC的外角平分线，点这P在射线AD上．求证：PB+PC≥AB+AC．16．已知：坐标平面内，点A关于横轴的对称点为B，点A关于原点的对称点为C，求证：点B和点C是关于纵轴的对称点．17．已知：AD是等腰直角三角形ABC斜边上的高，BM，BN三等分∠ABC并和AD顺次交于M，N，连结并延长CN交AB于E．求证：EM∥BN．。

(完整word版)对称式与轮换对称式

八年级实验班竞赛专题-------对称式与轮换对称式1．基本概念【定义1】一个n 元代数式12()n f x x x g g g ，，，，如果交换任意两个字母的位置后，代数式不变，即对于任意的i j ，（1i j n ≤<≤），都有11()()i j n j i n f x x x x f x x x x =g g g g g g g g g g g g g g g g g g ，，，，，，，，，，，，那么，就称这个代数式为n 元对称式，简称对称式。

例如，222x yx y xy x y z xy yz zx xy++++++，，，，都是对称式。

如果n 元对称式是一个多项式，那么称这个代数式为n 元对称多项式。

由定义2知，n 元多项式12()n f x x x g g g ，，，是r 次齐次多项式，当且仅当对任意实数t 有1212()()r n n f tx tx tx t f x x x =g g g g g g ，，，，，，。

例如，含三个字母的三元三次齐对称式为：333222222()()a x y z b x y x z y x y z z x z y cxyz +++++++++。

初中数学竞赛精品标准教程及练习49对称式

初中数学竞赛精品标准教程及练习49对称式对称式是指具有对称性质的数学表达式或等式。

在初中数学竞赛中，对称式经常出现在各类题型中，如代数运算、方程求解、函数图像等。

理解并掌握对称式的特点和性质，能够帮助我们更好地解题，提高数学竞赛的成绩。

一、对称式的定义和概念对称式是指在变量交换下保持不变的表达式或等式。

具体来说，一个对称式应满足以下两个条件：1.变量交换：对称式中的变量可以互相交换位置，而表达式整体不受影响。

2.不变性：对称式中的每一项与其在原位置的对应项相等。

例如，对于一个二次方程ax^2+bx+c=0，如果它满足b^2-4ac=0，则可以称为对称式。

因为在这个等式中，交换b和c的位置，将不影响等式的成立，且交换a和c的位置也不影响等式的成立。

二、对称式的特点和性质1.对称式的交换律：对称式中的各项可以互相交换位置，而保持整体不变。

这可以帮助我们在计算过程中简化运算，找到更好的解题思路。

2. 对称式的简化法：对称式中可能存在的同类项可以进行合并简化。

例如，x^3+3x^2y+3xy^2+y^3可以合并简化为(x+y)^33.对称式的分解和因式分解：对称式可以利用分解法或因式分解法将其分解成更简单的形式。

例如，x^2+y^2可以分解为(x+y)(x-y)。

4.对称式的对称性：对称式具有对称性质，即每一项与其在原位置的对应项相等。

这一特点可以帮助我们找到方程的解，或在绘制函数图像时更好地理解其特性。

三、对称式的应用举例1. 计算运算结果：对称式的交换律可以帮助我们简化计算过程，找到更好的解题方法。

例如，计算a^3+b^3+c^3-3abc时，可以利用对称式交换法将其变形为(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-ac-bc)。

2.解方程：对称式的对称性质可以帮助我们在解方程时找到方程的根。

例如，当方程x^3-3x^2+3x-1=0时，可以利用对称式的对称性质，将其变形为(x-1)^3=0，从而得到解x=13.绘制函数图像：对称式的对称性质可以帮助我们更好地理解函数图像的形态。

对称式和轮换对称式的性质及其应用

f=
- ( b - c) a4 - ( c ( a - b) ( b 2 = k ( a + b2 + c2 ) +
4 4 a) b - ( a - b) c c) ( c - a)
故
a b c + + + b+ c+ d c+ d+ a d+ a+ b d a+ b+ c
2
2
2
2
p ( ab + bc + ca) .
c3 d3 + = 49 B - 68 . d+ a+ b a+ b+ c
2. 5 解对称方程组
解对称方程组时 , 可以通过对称替换把原方程组化简 . 例 8 求方程组数解 .
故
1
xy + 2 z
+
1
yz + 2 x
+
1
zx + 2 y

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4
中等数学
=
1
( x - 2) ( y - 2) ( y - 2) ( z - 2) ( z - 2) ( x - 2) z- 2+ x- 2+ y- 2 = ( x - 2) ( y - 2) ( z - 2 ) x+y+z- 6 = xyz - 2 ( xy + yz + zx ) + 4 ( x + y + z) - 8

初中八年级数学竞赛培优讲义全套专题26 相对相称—对称分析法

..专题 26 相对相称—对称分析法阅读与思考当代美国数学家赫尔曼·韦尔指出：对称尽管你可以规定其含义或宽或窄，然而从古到今都是人们用来理解和创造秩序、美妙以及尽善尽美的一种思想. 许多数学问题所涉及的对象具有对称性（不仅包括几何图形中的对称，而且泛指某些对象在某些方面如图形、关系、地位等彼此相对又相称）对称分析法就是在解题时，充分利用自身条件的某些对称性辅助解题的一种分析方法，初中阶段主要研究下面两种类型的对称：1.代数中的对称式如果把一个多项式的任意两个字母互换后，所得的多项式不变就称这个多项式为对称式，对称式的本质反应的是多元多项式中字母地位相同，任何一个复杂的二元对称式，都可以用最简单对称多项式a +b ， ab 表示，一些对称式的代数问题，常用最简对称式表示将问题解决2.几何图形的对称几何图形的对称指的是轴对称和中心对称，一些几何问题，如果我们作出图形的对称轴，或者作出已知点关于某线（某点）的对称点，构造出轴对称图形、中心对称图形，那么就能将分散的条件集中起来，容易找到解题途径.例题与求解【例 l 】如图，菱形 ABCD 的两条对角线分别长 6 和 8，点 P 是对角线 AC 上的一个动点，点 M 、N分别是边 AB ，BC 的中点，则 PM +PN 的最小值是. (荆门市中考试题)解题思路：作 M 关于 AC 的对称点 M ' ，连 MN 交 AC 于点 P ，则 PM +PN 的值最小.DAPCMNB【例 2】已知 a ， b 均为正数，且 a + b = 2 ，求 W = a 2 + 4 + b 2 + 1 的最小值.（北京市竞赛试题）解题思路：用代数的方法求 W 的最小值较繁， a 2 + b 2 的几何意义是以 a ，b 为边的直角三角形的斜边长，构造图形，运用对称分析法求出W的最小值.【例3】已知a1-b2+b1-a2=1，求证：a2+b2=1（四川省竞赛试题）解题思路：解决根式问题的基本思路是有理化，有理化的主要途径是：乘方、配方、换元和引入有理化因式，引入与已知等式地位相对相称的有理化因式，本例可获得简证．【例4】如图，凸四边形ABCD的对角线AC，BD相交于O，且AC⊥BD，已知OA＞OC，OB＞O D，求证：BC＋AD＞AB＋CD.（“祖冲之杯”邀请赛试题）解题思路：解题的关键是将有关线段集中到同一三角形中去，以便运用三角形三边关系定理，以AC为对称轴，将部分图形翻折．ABD OC【例5】如图，矩形ABCD中，AB＝20厘米，BC＝10厘米，若在AC、AB上各取一点M，N，使BM ＋MN的值最小，求这个最小值.（北京市竞赛试题）解题思路：要使BM＋MN的值最小，应该设法将折线BM＋MN拉直，不妨从作出B点关于AC的对称点入手.D CMA N BE P .能力训练1.如图，六边形 ABCDEF 是轴对称图形，CF 所在的直线是它的对称轴. 若∠AFC ＋∠BCF ＝150 0，则∠AFE ＋∠BCD 的大小是. (武汉市中考试题)FAEA DBPBDCB ECOA(第 1 题图)（第 2 题图）（第 3 题图）2.如图，矩形纸片 ABCD 中，AB ＝2，点 E 在 BC 上，且 AE ＝EC ，若将纸片沿 AE 折叠，点 B 恰好落在AC 上，则 AC 的长是.(济南市中考试题)3. 如图，∠AOB ＝ 45 0 ，P 是∠AOB 内一点，PO ＝10，Q ，P 分别是 OA 、OB 上的动点，则△PQR 周长最小值是.4. 比 ( 6 + 5)6 大的最小整数是.（西安交通大学少年班入学试题）5.如图，已知正方形 ABCD 的边长为 3，在 BC 上，且 BE ＝2，在 BD 上，则 PE ＋PC 的最小值为（）A ． 2 3B ． 13C ． 14D ． 156. 观察下列平面图形，其中是轴对称图形的有() .A ．1 个B ．2 个C ．3 个D ．4 个(南京市中考试题)7.如图，一个牧童在小河南 4 英里处牧马，河水向正东方流去，而他正位于他的小屋西 8 英里北 7 英里处，他想把他的马牵到小河边去饮水，然后回家，他能够完成这件事情所走的最短距离是（）.A ． (4 + 185 ) 英里B ．16 英里C ．17 英里D ．18 英里A（美国中学生竞赛试题）D APBME C B P C (第5题图)（第7题图）（第8题图）8.如图，等边△ABC的边长为2，M为AB中点，P为BC上的点，设P A＋PM的最大值和最小值分别为S和L，则S2-L2等于（）A．42B．43C．32D．339.一束光线经三块平面镜反射，反射的路线如图所示，图中字母表示相应的度数，已知c=600，求d+e 与x的值.（江苏省竞赛试题）110°d a bec c f xf10.求代数式x2+4+(12-x)2+9的最小值.（“希望杯”邀请赛试题）现11.在一平直河岸l同侧有A，B两个村庄，A，B到l的距离分别是3km和2km，AB=akm(a>1)．计划在河岸l上建一抽水站P，用输水管向两个村庄供水．方案设计某班数学兴趣小组设计了两种铺设管道方案：图1是方案一的示意图，设该方案中管道长度为d，1且d=PB+BA(km)（其中BP⊥l于点P）；图2是方案二的示意图，设该方案中管道长度为d，且12d=P A+P B(km)（其中点A'与点A关于l对称，A'B与l交于点P）．2A AB B AK BP lC PlC Pl图1A'A'图2图3观察计算（1）在方案一中，d=km（用含a的式子表示）；1（2）在方案二中，组长小宇为了计算d的长，作了如图13-3所示的辅助线，请你按小宇同学的思路计2算，d=km（用含a的式子表示）．2探索归纳（1）①当a=4时，比较大小：d_______d（填“＞”、“＝”或“＜”）；12②当a=6时，比较大小：d_______d（填“＞”、“＝”或“＜”）；12（2）对a（当a>1时）的所有取值情况进行分析，要使铺设的管道长度较短，应选择方案一还是方案二？(河北省中考试题)12．如图，已知平面直角坐标系中，A，B两点的坐标分别为A（2，－3），B（4，－1）（1）若P（x，0）是x轴上的一个动点，当△P AB的周长最短时，求x的值；（2）若C（a，0），D（a+3，0）是x轴上的两个动点，当四边形ABDC的周长最短时，求a的值；（3）设M，N分别为x轴和y轴上的动点，问：是否存在这样的点M（m，0）、N（0，n），使四边形ABMN的周长最短？若存在，求出m，n的值；若不存在，请说明理由．yO xBA13△.在ABC中，∠BAC＝45°，AD⊥BC于D，将△ABD沿AB所在的直线折叠，使点D落在点E处；将△ACD沿AC所在的直线折叠，使点D落在点F处，分别延长EB、FC使其交于点M．（1）判断四边形AEMF的形状，并给予证明；（2）若BD＝1，CD＝2，试求四边形AEMF的面积．AB D C(宁夏中考试题)14.阅读下列材料：小贝遇到一个有趣的问题：在矩形ABCD中，AD＝8cm，AB＝6cm，现有一动点P按下列方式在矩形内运动：它从A点出发，沿着AB边夹角为45︒的方向作直线运动，每次碰到矩形的一边，就会改变运动方向，沿着与这条边夹角为45︒的方向作直线运动，并且它一直按照这种方式不停地运动，即当P 点碰到BC边，沿着BC边夹角为45︒的方向作直线运动，当P点碰到CD边，再沿着与CD边夹角为45︒的方向作直线运动…如图1所示，问P点第一次与D点重合前与边相碰几次，P点第一次与D点重合时所经过的路线的总长是多少？P小贝的思考是这样开始的：如图 2，将矩形 ABCD 沿直线 CD 折叠，得到矩形 A 1B 1CD ，由轴对称的知识，发现 P 2P 3＝P 2E ，P 1A ＝P 1E ．请你参考小贝的思路解决下列问题：(1) P 点第一次与 D 点重合前与边相碰次，点从 A 点出发到第一次与 D 点重合时所经过的路径的总长是cm ．(2) 进一步探究：改变矩形 ABCD 中 AD 、AB 的长，且满足 AD ＞AB ，动点 P 从 A 点出发，按照阅读材料中动点的运动方式，并满足前后连续两次与边相碰的位置在矩形 ABCD 相邻的两边上．若 P 点第一次与 B 点重合前与边相碰 7 次，则 AB ：AD 的值为．。

八年级数学竞赛讲座第二十八讲奇妙的对称新版

第二十八讲奇妙的对称对称是一种客观存在，一朵红花、一片绿叶、一只色彩魔斓的蝴蝶等，最令人惊奇的就是它们外形的几何对称性，自然界的对称性可以在从亚原子粒子的结构到整个宇宙的结构的每一个尺度上找到．对称是一种美的标准，人类心智中的某种东西受对称的吸引，对称对我们的视觉有感染力，影响我们对美的感受，建筑、绘画广泛地应用对称．对称是一个数学概念，我们熟悉的有代数中的对称式、几何中的轴对称、中心对称等，更一般情况是，许多数学问题所涉及的对象具有对称性，不仅包括几何图形中的对称，而且泛指某些对象在有些方面如图形、关系、地位等同彼此相对又相称．对称是一种解题方法，即解题时充分利用问题自身条件的某些对称性分析问题，在探求几何最值、代数式的化简求值等方面有广泛的应用．例题求解【例1】如图，△ABC中，AC=BC=5，∠ACB=80°，O为△AB C中一点，∠OAB=10°，∠OBA=30°，则线段AO的长是．( “希望杯”邀请赛试题)思路点拨△OAB是一般三角形，作∠ACB的平分线，与BO延长线交于D，连AD，OC，通过全等寻找与AO相等的线段，促使问题的解决．注物理学家皮埃尔·居里曾说，“结果与其原因一样对称．”大干世界，许多事物都具有某种对称性．许多化学分子是对称的，细胞结构是对称的，病毒往往也是对称的，……对称给人们以和谐均衡的羌感，完全的对称是重复性的可预言的，人类在漫长的岁月里，体验着对称，享受着对称．求几何量的最值问题常用方法有：(1)应用几何中的不等式性质，定理；(2)对称分析；(3)代数法．即着眼于揭示问题中变动元素的代数关系．【例2】如图，正方形ABCD的边长为3，E在BC上，且BE=2，P在BD上，则PE+PC 的最小值为( )A．23 B．13 C．14 D．15 (“新蕾杯”数学竞赛题)思路点拨 C、E两点位置固定，从对称性考虑，确定P点位置．【例3】现有一块形如母子正方形的板材，木工师傅想先把它割成几块，然后适当拼接，制成某种特殊形状的板面(要求板材不能有剩余，拼接时不重叠、无空隙)，请你按下列要求帮助木工师傅分别设计一种方案：(1)板面形状为非正方形的中心对称图形；(2)板面形状为等腰梯形；(3)板面形状为正方形．思路点拨问题(1)，由“中心对称的四边形是平行四边形”想象出中心对称的多边形的大致形状；问题(2)，先计算等腰梯形面积为5，猜想等腰梯形的高，可能为2，因此，上、下底的和应为5；问题(3)，由正方形的面积为5，计算出它的边长应为5．【例4】已知11122=-+-a b b a ，试确定a 、b 的关系．(江苏省竞赛题)思路点拨有理化是解根式问题的基本思路，乘方、配方、换元、引入有理化因式等是有理化的常用方法．本例是一道脍炙人口的名题，引入与已知等式地位相对相称的有理化因式，本例可获得简解．注数学中的对称，不仅指几何图形中的对称，代数表示式中，若各个宇母互相替代，表示式不变，也称这个表示式关于这些字母是对称的，一个复杂的二元对称式．都可以用最简单对称式b a +，ab 表示．许多数学问题有着和谐的对称美．对原题匹配一个与之相对的数学式，然后一起参与运算，这就是常说的“对称性地处理具有对称性的问题”，是数学解题中的一个一般性原则．用对称法解几何题的常见的方式有：(1)作出常见轴对称图形的对称轴，或利用题设条件中的垂线、角平分线翻折造全等；(2)利用中点构造中心对称图形．【例5】如图，凸四边形ABCD 的对角线AC 、BD 相交于O ，且AC ⊥BD ，已知OA ＞OC ，OB ＞~OD ，比较BC+AD 与AB+CD 的大小． (“祖冲之杯”邀请赛试题)思路点拨以AC 为对称轴，将部分图形翻折，把相关线段集中到同一个三角形中去，以便运用三角形三边关系定理，这是解本例的关键．【例6】如图，在△ABC 中，AD 是BC 边的中线，点M 在AB 边上，点N 在AC 边上，并且∠MDN=90°，如果BM 2+CN 2＝DM 2+DN 2，求证：AD 2=)(4122AC AB +．(北京市竞赛题)思路点拨易想到勾股定理，需要把分散的条件加以集中，利用中点，构造中心对称全等三角形．学力训练1．下面四个图形中，从几何图形的性质考虑，哪一个与其他三个不同?请指出这个图形，并简述你的理由．答：图形；理由是：． (吉林省中考题)2．如图，两点A、B在直线MN外的同侧，A到MN的距离AC=8，B到MN的距离BD=5，CD＝4，P在直线MN上运动，则PBPA 的最大值等于．( “希望杯”邀请赛试题)3．如图，在等腰三角形ABC中，∠C=90°，BC=2㎝，如果以AC的中点O为旋转中心，将这个三角形旋转180°，点B落在点B′处，那么B′点与B点的原来位置相距 cm．4．如图，∠AOB=45°，角内有点P，PO=10，在角的两边上有两点Q，R(均不同于O点)，则△PQR的周长的最小值为． (黄冈市中考题)5．设将一张正方形纸片沿右图中虚线剪开后，能拼成下列四个图形，则其中是中心对称图形的是( ) (2003平龙岩市中考题)6．如图，一牧童在A处牧马，牧童家在B处，A、B处距河岸的距离AC、BD的长分别为500m 和700m，且C、D两地的距离为500m，天黑前牧童从A点将马牵引到河边去饮水后，再赶回家，那么牧童至少要走( )A．10029m B．1200m C ．1300m D．1700m7．如图，在菱形ABCD中，AB=4a，E在BC上，BE=2 a ，∠BAD=120°，P点在BD上，则PE+PC的最小值为( )A．6 a0 B．5 a C．4 a D． 23 a8．如图，一辆汽车在直线形的公路AB上由A向B行驶，M、N分别是位于公路AB两侧的村庄．(1)设汽车行驶到公路AB上点P位置时，距离村庄M最近；行驶到点Q位置时，距离村庄N 最近，请在图中的公路AB上分别画出点P、Q的位置(保留画图痕迹)．(2)当汽车从A出发向B行驶时，在公路AB的哪一段路上距离M、N两村庄都越来越近?在哪一段路上距离村庄N越来越近，而离村庄M却越来越远?(分别用文字表述你的结论，不必证明)(3)在公路AB 上是否存在这样一点H ，使汽车行驶到该点时，与村庄M 、N 的距离相等?如果存在，请在图中的AB 上画出这一点(保留画图痕迹，不必证明)：如果不存在，请简要说明理由． (2001年浙江省嘉兴市中考题)9．(1)用四块如图I 所示的黑白两色正方形瓷砖拼成一个新的正方形，使之形成轴对称图案，请至少给出三种不同的拼法(在①②③中操作)；(2)请你任意改变图I 瓷砖中黑色部分的图案，然后再用四块改变图案后的正方形瓷砖拼出一个中心对称图案(在④中操作)． (仙桃、潜江、天门、江汉油田中考题)10．如图，在△ABC 中，AD 平分∠BAC ，AD 的垂直平分线交AD 于E ，交BC 的延长线于F ，求证：FD 2=FB ×FC ．11．如图，设L l 和L 2，是镜面平行且镜面相对的两面镜子，把一个小球放在之间，小球放在镜L l 中的像为A ′，A ′在镜L 2中的像为A ″，若L l 、L 2的距离为7，则AA ″ ．(江苏省竞赛题)12．如图，设M 是△ABC 的重心，且AM=3，BM=4，CM=5，则△ABC 的面积为． 13．如图，ABCD —A'B'C'D'为长方体，AA'=50cm ，AB=40cm ，AD=30cm ，把上、下底面都等分成3× 4个小正方形，其边长均为l0cm ，得到点E 、F 、G 、H 和E'，、F'，、G'，、H'，假设一只蚂蚁每秒爬行2cm ，则它从下底面E 点沿表面爬行至上底面G'，点至少要花时间秒．14．无理数4)21(+的整数部分是． ( “希望杯”邀请赛试题)15．当x 等于19931，19921，…，21，1，2，…，1992，1993时，计算代数式221x x +的值，再将所得的结果全部加起来，总和等于．16．一束光线经3块平面镜反射，反射的路线如图所示，图中字母表示相应的度数，已知c=60°，求d+e 与x 的值． 17．如图，在△ABC 中，AD ∥BC ，已知∠ABC>∠ACB ，P 是AD 上的任一点，求证：AC+BP ＜AB+PC ．18．如图，矩形ABCD中，AB=20cm，BC=l0cm，若在AC、AB上各取一点M、N，使BM+MN的值最小，求这个最小值．19．如图，在△ABC中，D、E分别为BC、AC的中点，AD、BE相交于P，若∠BPD=∠C，求证：以△ABC三条中线为边构成的三角形与△ABC相似． (2004年武汉市选拔赛试题)。