构造函数证明数列不等式

数列不等式求证

题目1：求证2

1+31+41+…+11+n <+<)1ln(n 1+21+31+41+…+n

1

题目2：求证<+)

1(2

n n n

ln 4ln 3ln 2ln •⋯⋯•••

题目3：求证

n

n n 1

ln 44ln 33ln 22ln <•⋯⋯•••

题目4：求证3ln 31

21112ln <⋯⋯++++<

n

n n

题目5：求证 对于任意正整数n ，均有1＋12＋13＋…＋1n ≥ln !

n e n

.

构造函数法证特殊数列不等式

题目1：求证

2

1+31+41+…+11+n <+<)1ln(n 1+21+31+41+…+n

1

(一)构造函数①)0(1)1ln()(>+-+=x x

x

x x f 分析：2)1()1(11)(x x x x x f +-+-+=

'=2

)

1(x x +>0,函数)(x f 在(0,+∞)上单调递增。 所以当0>x 时，有)(x f >f(0)=0，即有)0(1)1ln(>+>

+x x

x

x 因而有21111)111ln(=+>+,31

2

1121

)211ln(=+

>+,4131131)311ln(=+>+，……

11111)11ln(+=+>+n n n n

故：)111ln(++)211ln(++)311ln(++……+)11ln(n +>21+31+41+……+11

+n

即>+)1ln(n 21+31+41+……+1

1

+n

（二）构造函数②)0()1ln()(>-+=x x x x f 分析：111)(-+=

'x x f =

x

x

+-1<0,函数)(x f 在(0,+∞)上单调递减。 所以当0>x 时，有)(x f <+x x x

因而有1)111ln(<+,21)2

11ln(<+,31)311ln(<+,……, n

n 1

)11ln(<+

故：)111ln(++)211ln(++)311ln(++……+)11ln(n +<1+21+31+41+……+n

1

即<+)1ln(n 1+21+31+41+……+n

1

综上有：

21+31+41+…+11+n <+<)1ln(n 1+21+31+41+…+n

1

小结：记住函数不等关系㈠x

x

+1<)0()1ln(><+x x x 题目2：求证

<+)

1(2

n n n

ln 4ln 3ln 2ln •⋯⋯•••

(三)构造函数③)0(1

1

ln )(>+--

=x x x x x f 分析：2)1()1()1(1)(+--+-='x x x x x f =2

2)

1(1

++x x x >0,函数)(x f 在(0,+∞)上单调递增。 所以当1>x 时，有)(x f >f(1)=0，即有)1(1

1

ln >+->

x x x x 因而有3112122ln =+->,4213133ln =+->,5

3

14144ln =+->，……

1

1

ln +->

n n n 故：n ln 4ln 3ln 2ln •⋯⋯•••>31x 42x 53x 64x ……x n n 2-x 11

+-n n =)

1(2+n n 综上有

<+)

1(2

n n n

ln 4ln 3ln 2ln •⋯⋯••• 小结：记住函数不等关系㈡

1

1

+-x x )1(ln >

n n 1

ln 44ln 33ln 22ln <

•⋯⋯•••

构造函数④)1)(1(ln )(>--=x x x x f （注：此函数实质和构造函数二一样） 分析：11)(-='x

x f =

x

x

-1<0,函数)(x f 在(1,+∞)上单调递减。 所以当1>x 时，有)(x f -

)

1()24321ln 4ln 3ln 2ln -⨯-⋯⋯⨯⨯⨯<•⋯⋯•••n n n （

即有n

n

n n n ⨯-⨯-⋯⋯⨯⨯<•⋯⋯•••)1()2432ln 4ln 3ln 2ln （

故有：

n

n n 1

ln 44ln 33ln 22ln <•⋯⋯•••

小结：记住函数不等关系㈢)1(1ln >-

题目4：求证3ln 31

21112ln <⋯⋯++++<

n

n n 构造函数⑤)0(1

ln )(>--=x x

x x x f

分析：211)(x x x f -='=21

x

x -,函数)(x f 在(1,+∞)上单调递增，在（0，1）上单调递减。

所以有0)1(1ln )(=≥--

=f x x x x f ，即x ln ≥

x

x 1

-)0(>x 因而有k k k 11ln ->+，即k k k ln )1ln(1

-+>

所以有2ln 11

3ln )3ln()13ln(312111≥++=-+>⋯⋯++++n n n n n n n

同理有111ln +>+k k k ，即k k k ln )1ln(11

-+<+

所以有3ln ln )3ln(31

2111=-<⋯⋯++++n n n

n n

故有：3ln 31

21112ln <⋯⋯++++

n n

构造函数⑥函数f(x)＝lnx －x

x 1

-)0(>x

分析：211)(x x x f -='=21

x

x -,函数)(x f 在(1,+∞)上单调递增，在（0，1）

上单调递减。 所以有0)1(1

ln )(=≥--

=f x

x x x f ， 故1x ≥1－lnx ＝ln e x ，

取x ＝1,2,3…，则1＋12＋13＋…＋1n ≥ln !n e n

识记重要不等式关系

)0(1)1ln(>+>

+x x

x

x

)0()1ln(><+x x x