圆锥曲线离心率问题

圆锥曲线的离心率问题离心率是圆锥曲线的一个重要几何性质，一方面刻画了椭圆，双曲线的形状，另一方面也体现了参数,a c 之间的联系。

一、基础知识： 1、离心率公式：ce a=（其中c 为圆锥曲线的半焦距） （1）椭圆：()0,1e ∈ （2）双曲线：()1,+e ∈∞2、圆锥曲线中,,a b c 的几何性质及联系 （1）椭圆：222a b c =+，① 2a ：长轴长，也是同一点的焦半径的和：122PF PF a += ② 2b ：短轴长 ③ 2:c 椭圆的焦距 （2）双曲线：222c b a =+① 2a ：实轴长，也是同一点的焦半径差的绝对值：122PF PF a -= ② 2b ：虚轴长 ③ 2:c 椭圆的焦距3、求离心率的方法：求椭圆和双曲线的离心率主要围绕寻找参数,,a b c 的比例关系（只需找出其中两个参数的关系即可），方法通常有两个方向：（1）利用几何性质：如果题目中存在焦点三角形（曲线上的点与两焦点连线组成的三角形），那么可考虑寻求焦点三角形三边的比例关系，进而两条焦半径与a 有关，另一条边为焦距。

从而可求解（2）利用坐标运算：如果题目中的条件难以发掘几何关系，那么可考虑将点的坐标用,,a b c 进行表示，再利用条件列出等式求解2、离心率的围问题：在寻找不等关系时通常可从以下几个方面考虑：（1）题目中某点的横坐标（或纵坐标）是否有围要求：例如椭圆与双曲线对横坐标的围有要求。

如果问题围绕在“曲线上存在一点”，则可考虑该点坐标用,,a b c 表示，且点坐标的围就是求离心率围的突破口（2）若题目中有一个核心变量，则可以考虑离心率表示为某个变量的函数，从而求该函数的值域即可（3）通过一些不等关系得到关于,,a b c 的不等式，进而解出离心率注：在求解离心率围时要注意圆锥曲线中对离心率围的初始要求：椭圆：()0,1e ∈，双曲线：()1,+e ∈∞ 二、典型例题：例1：设12,F F 分别是椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左、右焦点，点P 在椭圆C 上，线段1PF 的中点在y 轴上，若1230PF F ∠=，则椭圆的离心率为（ ）A．3 B．6 C ．13 D ．16思路：本题存在焦点三角形12PF F ，由线段1PF 的中点在y 轴上，O 为12F F 中点可得2PF y ∥轴，从而212PF F F ⊥，又因为1230PF F ∠=，则直角三角形12PF F 中，答案：A小炼有话说：在圆锥曲线中，要注意O 为12F F 中点是一个隐含条件，如果图中存在其它中点，则有可能与O 搭配形成三角形的中位线。

例2：椭圆(2221012x y b b+=<<与渐近线为20x y ±=的双曲线有相同的焦点12,F F ,P 为它们的一个公共点,且1290FPF ∠=,则椭圆的离心率为________思路：本题的突破口在于椭圆与双曲线共用一对焦点，设122F F c =，在双曲线中，''''1::2:1:2b a bc a =⇒=，不妨设P 在第一象限，则由椭圆定义可得：12PF PF +='122PF PF a -==，因为1290F PF ∠=，222124PF PF c ∴+=而()()2222121212=2PF PF PF PF PF PF ++-+代入可得：22164885c c c +=⇒=6c e a ∴==小炼有话说：在处理同一坐标系下的多个圆锥曲线时，它们共同的要素是联接这些圆锥曲线的桥梁，通常以这些共同要素作为解题的关键点。

例3：如图所示，已知双曲线()222210x y a b a b-=>>的右焦点为F ，过F 的直线l 交双曲线的渐近线于,A B 两点，且直线l 的倾斜角是渐近线OA 倾斜角的2倍，若2AF FB =，则该双曲线的离心率为（ ）思路：本题没有焦半径的条件，考虑利用点的坐标求解，则将所涉及的点坐标尽力用,,a b c2AF FB =转化为3:1:2c =，从答案：B例4：设21F F ，分别为双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的左、右焦点，双曲线上存在一点P使得,49||||,3||||2121ab PF PF b PF PF =⋅=+则该双曲线的离心率为A.34 B.35 C.49D.3 思路：条件与焦半径相关，所以联想到122PF PF a -=，进而与,49||||,3||||2121ab PF PF b PF PF =⋅=+找到联系，计算出,a b 的比例，从而求得e 解：122PF PF a -=()()221212124PF PF PFPF PF PF ∴+--=⋅即22229499940b a ab b ab a -=⇒--=29940b b a a ⎛⎫∴-⋅-= ⎪⎝⎭解得：13b a =-（舍）或43b a =::3:4:5a b c ∴= 53c e a ∴== 答案：B例5：如图，在平面直角坐标系xOy 中，1212,,,A A B B 为椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的四个顶点，F 为其右焦点，直线12A B 与直线1B F 相交于点T ，线段OT 与椭圆的交点M 恰为线段OT 的中点，则该椭圆的离心率为 .思路：本题涉及的条件多与坐标有关，很难联系到参数的几何意义，所以考虑将点的坐标用,,a b c 进行表示，在利用条件求出离心。

首先直线121,A B B F 的方程含,,a b c ，联立方程后交点T 的坐标可用,,a b c 进行表示（()2,b a c ac T a c a c +⎛⎫⎪--⎝⎭），则OT 中点()(),2b a c ac M a c a c ⎛⎫+ ⎪ ⎪--⎝⎭，再利用M 点在椭圆上即可求出离心率e 解：直线12A B 的方程为：1x ya b+=-； 直线1B F 的方程为：1x yc b +=-，联立方程可得：bx ay ab cy bx bc-=-⎧⎨-=-⎩ 解得：2()(,)ac b a c T a c a c+--，则()(,)2()ac b a c M a c a c +--在椭圆22221(0)x y a b a b +=>>上， 2222222()1,1030,1030()4()c a c c ac a e e a c a c ++=+-=+-=-- 解得：275e =- 答案：275e =-例6：已知F 是双曲线2221x a b2y －＝()0,0a b >>的左焦点，E 是该双曲线的右顶点，过点F且垂直于x 轴的直线与双曲线交于,A B 两点，若ABE 是锐角三角形，则该双曲线的离心率e 的取值围为 （ ）A ． ()1,+∞B ． ()1,2C ． ()1,12+D ． ()2,12+思路：从图中可观察到若ABE 为锐角三角形，只需要AEB ∠为锐角。

由对称性可得只需0,4AEF π⎛⎫∠∈ ⎪⎝⎭即可。

且,AF FE 均可用,,a b c 表示，AF 是通径的一半，得：2b AF a =，FE a c =+，所以()2tan 1AFb AEF FE a ac ==<+()22112c a c a e a a c a--⇒<⇒<⇒<+，即()1,2e ∈ 答案：B小炼有话说：（1）在处理有关角的围时，可考虑利用该角的一个三角函数值，从而将角的问题转变为边的比值问题（2）本题还可以从直线AE 的斜率入手，()2,0,,b E a A c a ⎛⎫- ⎪⎝⎭，利用()1,0AE k ∈-即可求出离心率例7：已知椭圆()222210x y a b a b+=>>的左、右焦点分别为()()12,0,,0F c F c -，若椭圆上存在点P 使1221sin sin a cPF F PF F =∠∠，则该椭圆的离心率的取值围为（ ）A. ()1-B. 2⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭C. 2⎛ ⎝⎭D. )1,1-思路：1221,PF F PF F ∠∠为焦点三角形12PF F 的角，且对边为焦半径21,PF PF ，所以利用正弦定理对等式变形：1221sin sin a c PF F PF F =⇒∠∠121122sin sin PF PF F cc PF F a PF a∠=⇒=∠，再由212PF PF a +=解得：222a PF a c=+，再利用焦半径的围为(),a c a c -+可得（由于依题意，P 非左右顶点，所以焦半径取不到边界值,a c a c -+）：22222222222222210a c a a ca a c a c a c a a ac c e e ⎧⎧-<>-⎪⎪-<<+⇒⇒⎨⎨+<+++->⎪⎪⎩⎩，解得)1,1e ∈-答案：D例8：已知12,F F 是椭圆()2222:10x y E a b a b +=>>的左右焦点，若椭圆上存在点P ，使得12PF PF ⊥，则椭圆离心率的取值围是（ ）A. ⎫⎪⎪⎣⎭B. 2⎫⎪⎪⎣⎭C. 5⎛ ⎝⎦D. ⎛ ⎝⎦ 思路一：考虑在椭圆上的点P 与焦点连线所成的角中，当P 位于椭圆短轴顶点位置时，12F PF ∠达到最大值。

所以若椭圆上存在12PF PF ⊥的点P ，则短轴顶点与焦点连线所成的角90θ≥，考虑该角与,,a b c 的关系，由椭圆对称性可知，2452OPF θ∠=≥，所以22tan 1OF c OPF OP b∠==≥，即22222c b c b c a c ≥⇒≥⇒≥-，进而2212c a ≥即212e ≥，解得2e ≥，再由()0,1e ∈可得2e ⎫∈⎪⎢⎪⎣⎭思路二：由12PF PF ⊥可得1290F PF ∠=，进而想到焦点三角形12F PF 的面积：122212tan2F PF F PF Sb b ∠==，另一方面：121212F PF P P S F F y c y =⋅⋅=⋅，从而22P P b c y b y c ⋅=⇒=，因为P 在椭圆上，所以[],P y b b ∈-，即2P b y b b c c=≤⇒≤，再同思路一可解得：2e ⎫∈⎪⎢⎪⎣⎭思路三：12PF PF ⊥可想到120PF PF ⋅=，进而通过向量坐标化，将数量积转为方程。

设()()()12,,,0,,0P x y F c F c -，则有()()12,,,PF c x y PF c x y =---=--，则222120PF PF x y c ⋅=+-=，即P 点一定在以O 为圆心，c 为半径的圆上，所以只需要该圆与椭圆有交点即可，通过作图可发现只有半径r b ≥时才可有交点，所以c b ≥，同思路一可解得2e ⎫∈⎪⎢⎪⎣⎭注：本题对P 在圆上也可由12PF PF ⊥判定出P 在以12F F 为直径的圆上，进而写出圆方程 思路四：开始同思路三一样，得到P 所在圆方程为222x y c +=，因为P 在椭圆上，所以联立圆和椭圆方程：222222222b x a y a b x yc ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩代入消去x 可得：()2222222b c y a y a b -+=，整理后可得：422422b c y b y c =⇒=，由[],y b b ∈-可得：4222b y b c b c=≤⇒≥，同思路一即可解得：2e ⎫∈⎪⎢⎪⎣⎭答案：2e ⎫∈⎪⎪⎣⎭小炼有话说：本题的众多思路重点区别在：一是从条件中想到椭圆的哪些性质与结论，不同的结论得到不同的突破口；二是在解决离心率时是选择用几何特点数形结合去解还是通过坐标方程用代数方式计算求解例9：设点12,A A 分别为椭圆()222210x y a b a b +=>>的左右焦点，若在椭圆上存在异于点12,A A 的点P ，使得2PO PA ⊥，其中O 为坐标原点，则椭圆的离心率e 的取值围是（ ）A. 10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭B. 2⎛ ⎝⎭C. 1,12⎛⎫⎪⎝⎭D. 2⎛⎫ ⎪⎝⎭思路：本题取值围的突破口在“椭圆上存在点P ”，则P 的横纵坐标分别位于()(),,,a a b b --中，所以致力于计算P 的坐标，设()00,P x y ，题目中()2,0A a ，由2PO PA ⊥可得P 也在以2OA 为直径的圆上。