最优控制第 章 极小值原理

则伴随方程 λ& = −∂H / ∂x为：
λ& = − ∂H = −1 − λ ∂x
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λ(t f
)
满足的横截条件
λ(t f
)
=
∂θ[x(t ∂x(t f
f )] )
为：
λ (1) = ∂θ = 0 ∂x(1)
求解得到：
λ (t) = e1−t − 1
H = (1 + λ )x + (1 − λ )u
e t −1 H
=
λT
f
(.)
=
λ1(− x1
+
u)
+
λ2 x1
由极小值原理，最优控制应使哈密顿函数取极小值：
H ( x* , u* , λ* , t ) = min H[ x* , u, λ* , t] u∈U
= -m1≤uin≤1{λ1(− x1* + u) + λ2 x1* }
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考虑鲍尔扎型性能指标:
∫ J = θ[ x(t f ), t f ] +
t f L( x,u,t) d t
t0
(3)
目标：寻求最优容许控制使系统从 x(t0) 转移到 x(tf )，
并使J 取极小值。
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定理１（极小值原理）对于上述最优控制问题，选取哈密 顿函数为：
H = L( x,u,t) + λT (t) f [x(t), u(t), t]
间t和tf时，条件(4)简化为H(tf)=0；
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极极小小值值原原理理的的其其它它形形式式：：
¾ 最优控制u*(t)保证哈密顿函数取全局极小值，所谓“极小 值原理”一词正源于此。因为求性能指标J的极小值与求 －J的极大值等价，因此在有些文献中亦称“极大值原理”。
1. 终态自由、性能指标为终端型（梅耶型）： J = θ[ x(t f )]
哈密尔顿函数为：
¾ 极小值原理给出的只是最优控制应该满足的必要条件。亦
H = λT (t) f [ x(t ), u(t), t]
即，满足极小值原理的控制是否真能使性能指标泛函J取最 小值，尚待进一步判定。如果由实际问题的物理意义已经 能够判定所论问题的解是存在的，而由极小值原理求出的
则实现最优控制的必要条件为: (1) 最优状态x*和最优协态 λ* 满足正则方程:
∫ J = t f u2 (t) d t 0
为极小的最优控制u*(t)和最优状态x*(t)。
终端时刻自由、末态固定、有约束的最优控制问题。
解：构造哈密顿函数：
条件(4) 起作用，条件(3)不成立
H = u2 + λ1x2 + λ2u = (u + 0.5λ2 )2 + λ1x2 − 0.25λ22
由极小值原理，最优控制应使哈密顿函数取极小值：
¾ 条件(2)表明：对 ∀t ∈[t0,t f ]，u(t)取遍控制域 Ω中的所有可行 解，能使哈密顿函数H取全局极小值的容许控制u*(t)就是 所求的最优控制；
¾ 条件(3)仅当末态x(tf)自由时使用；
¾ 条件(4)仅当终端时刻tf自由时使用；
¾ 当系统为定常系统，即问题中所涉及的相应函数不显含时
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因此，该问题的最优控制和最优轨线为：
⎧ u*(t) = −1
⎪ ⎨
x1*
=
2e−t
−1
⎪ ⎩
x2*
=
−2e−t
−
t
+
2
最优性能指标为：
J* = x * (1) = 0.2642
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例2. 设系统的状态方程为：
x& (t) = x(t) − u(t), x(0) = 5
控制约束为：0.5 ≤ u ≤ 1，试求使性能指标：
= −λ1 x1* + λ2 x1* + -m1≤uin≤1(λ1u)
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分分析析::
-m1≤uin≤1(λ1u)
由于u的上界为1，下界为-1，因此，当 λ1 > 0时应取 u*(t) = −1 当 λ1 < 0 时应取 u*(t) = 1 。由于 λ1(t ) = 1 − et−1 > 0 , 所以有：
+ +
1, 0.5,
t
∈[0, 0.307] t ∈[0.307, 1]
由x(0)=5，得c1=4，从而： x * (t) = 4et + 1, t ∈[0, 0.307]
再由状态的连续性可求出c2=4.37，于是得到最优状态轨线：
x
*
(t
)
=
⎧⎪ 4et + 1, t ∈ ⎨⎪⎩4.37et + 0.5,
u*
,
λ
*,
t
* f
)
=
− ∂θ [x(t)] ∂t f
t
* f
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2. 终态自由、性能指标为积分型（拉格朗日型）：
∫ J = t f φ( x,u,t )d t t0
哈密尔顿函数为：
H = φ( x, u, t) + λT (t) f [ x(t ), u(t), t]
则实现最优控制的必要条件：
则实现最优控制的必要条件：
(1) 最优状态x*和最优协态 λ* 满足正则方程:
x&(t) =
∂H ∂λ
=
f [ x(t), u(t), t]
λ& = − ∂H ∂x
(2) 在最优状态x*和最优控制u*上哈密顿函数取极小值：
H
(
x
*
(t ),
u
*
(t ),
λ*(t),
t)
=
min
u∈U
H[x
*
(t ),
H
(
x
*
(t
),
u
*
(t ),
λ*(t),
t)
=
min
u∈U
H[x
*
(t ),
u(t ),
λ*(t),
t ],
∀t
∈[t0
,
t
f
]
(3)协态 λ(t f )满足横截条件:
λ(t
f
)
=
∂θ [ x(t ∂x(t f
f )] )
(4) 当tf自由时，H函数在最优终端时刻 t*f满足的横截条件:
H
( x* ,
u(t
),
λ*(t),
t ],
∀t
∈[t0
,
t
f
]
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(3)协态 λ(t f )满足横截条件（当末态固定时无这个条件）:
λ(t f
)
=
∂θ ∂x(t f
)
+νT
∂N ∂x(t f
)
其中 v是另一个拉格朗日乘子。
(4) 当tf自由时，H函数在最优终端时刻 t*f满足的横截条件:
H
(t
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u
*
(t
)
=
⎧ −1, ⎪⎨−0.5λ2
(t
λ2 (t ), | λ2
)> (t)
2 |≤
2
(∗)
⎪⎩ 1, λ2 (t) < −2
由伴随方程 λ& = −∂H / ∂x 得到：
求解得到：
λ&1(t) = 0, λ&2 (t) = −λ1(t)
λ1(t) = c1, λ2 (t) = −c1t + c2 本例tf自由，因此H函数在最优终端时刻 t*f满足横截条件:
= =
− x1 x1
+
u ,
x(0) = (1, 0)T
终端型
控制约束为：−1 ≤ u ≤ 1 ，求u(t)使：min J = x2 (1) （梅耶型）
终端时刻固定、末态自由、有约束的最优控制问题。
解： 构造哈密顿函数：
条件(4)不起作用
H = λT f (.) = λ1(− x1 + u) + λ2 x1 则伴随方程 λ& = −∂H / ∂x 为：
J = ∫01[ x(t) + u(t)]d t 积分型(拉格朗日型)
为极小的最优控制u*(t)和最优状态x*(t)。
终端时刻固定、末态自由、有约束的积分型最优控制问题
解： 构造哈密顿函数：
条件(4)不起作用
H = x + u + λ ( x − u) = (1 + λ ) x + (1 − λ )u
λ*(t),
t ],
∀t
∈[t0
,
t
f
]
(3)协态 λ(t f )满足横截条件: λ(t f ) = 0
(4) H函数在最优轨线终点处的值满足:
H
(
x*
,
u*
,
λ*
,
t
f
)
=
⎧ 0, ⎩⎨const,
当t f自由时 当t f 固定时
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例1. 设系统的状态方程为：
⎧ ⎨ ⎩
x&1 x& 2
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分分析析::
要使 H[x*, u, λ*, t] 达到极小，就要 (1 − λ*)u达到极小 。由控 制约束 0.5 ≤ u ≤ 1 可得，最优控制为：
u *(t)
=
⎧ 1, ⎨⎩0.5,
λ >1 λ <1