专题训练 二次函数图象与a,b,c,b2-4ac等符号问题

专题训练(二)二次函数图象与a，b，c，b2－4ac等符号问题

二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象特征与a，b，c及判别式b2－4ac的符号之间的关系：

一、选择题

1．2016·宁波已知函数y＝ax2－2ax－1(a是常数，a≠0)，下列结论正确的是( ) A．当a＝1时，函数图象过点(－1，1)

B．当a＝－2时，函数图象与x轴没有交点

C ．若a ＞0，则当x ≥1时，y 随x 的增大而减小

D ．若a ＜0，则当x ≤1时，y 随x 的增大而增大

2．二次函数y ＝ax 2

＋bx ＋c 的图象如图2－ZT －1所示，则下列关系式错误的是( )

图2－ZT －1

A ．a ＜0

B ．b ＞0

C ．b 2

－4ac ＞0 D ．a ＋b ＋c ＜0

3．以x 为自变量的二次函数y ＝x 2

－2(b －2)x ＋b 2

－1的图象不经过第三象限，则实数

b 的取值范围是( )

A ．b ≥5

4 B ．b ≥1或b ≤－1

C ．b ≥2

D ．1≤b ≤2

4．2017·威海已知二次函数y ＝ax 2

＋bx ＋c (a ≠0)的图象如图2－ZT －2所示，则正比例函数y ＝(b ＋c )x 与反比例函数y ＝

a －

b －c

x

在同一坐标系中的大致图象是( ) 图2－ZT －2 图2－ZT －3

5．2017·安徽已知抛物线y ＝ax 2

＋bx ＋c 与反比例函数y ＝b

x

的图象在第一象限有一个公共点，其横坐标为1，则一次函数y ＝bx ＋ac 的图象可能是( )

图2－ZT －4

6．2017·烟台二次函数y ＝ax 2

＋bx ＋c (a ≠0)的图象如图2－ZT －5所示，对称轴是直线x ＝1.下列结论：①ab ＜0；②b 2

＞4ac ；③a ＋b ＋2c ＜0；④3a ＋c ＜0.其中正确的是( )

图2－ZT －5

A ．①④

B ．②④

C ．①②③

D ．①②③④

7．2017·鄂州如图2－ZT －6，抛物线y ＝ax 2

＋bx ＋c 的图象交x 轴于点A (－2，0)和

点B ，交y 轴负半轴于点C ，且OB ＝OC .下列结论：①2b －c ＝2；②a ＝12；③ac ＝b －1；④

a ＋b

c ＞0，其中正确的结论有( )

图2－ZT －6

A ．1个

B ．2个

C ．3个

D ．4个

8．2017·齐齐哈尔抛物线y ＝ax 2

＋bx ＋c (a ≠0)的对称轴为直线x ＝－2，与x 轴的一个交点在(－3，0)和(－4，0)之间，其部分图象如图2－ZT －7所示，则下列结论：①4a －b

＝0；②c ＜0；③－3a ＋c ＞0；④4a －2b ＞at 2

＋bt (t 为实数)；⑤点⎝ ⎛⎭⎪⎫－92，y 1，⎝ ⎛⎭⎪⎫－52，y 2，

⎝ ⎛⎭

⎪⎫－12，y 3是该抛物线上的点，则y 1＜y 2＜y 3.正确的结论有( )

图2－ZT －7

A ．4个

B ．3个

C ．2个

D ．1个 二、填空题

9．二次函数y ＝ax 2

＋bx ＋c 的图象的一部分如图2－ZT －8所示，则a 的取值范围是________．

图2－ZT －8

10．2017·天水如图2－ZT －9是抛物线y 1＝ax 2

＋bx ＋c (a ≠0)的图象的一部分，抛物线的顶点坐标是A (1，3)，与x 轴的一个交点是B (4，0)，直线y 2＝mx ＋n (m ≠0)与抛物线交于A ，B 两点，下列结论：

①abc ＞0；②方程ax 2

＋bx ＋c ＝3有两个相等的实数根；③抛物线与x 轴的另一个交点是(－1，0)；④当1＜x ＜4时，有y 2＞y 1；⑤x (ax ＋b )≤a ＋b .其中正确的结论是________．(只填写序号)

图2－ZT －9

11．2017·株洲如图2－ZT －10，二次函数y ＝ax 2

＋bx ＋c 的图象的对称轴在y 轴的右侧，其图象与x 轴交于点A (－1，0)，C (x 2，0)，且与y 轴交于点B (0，－2)，小强得到以下结论：

①0＜a ＜2；②－1＜b ＜0；③c ＝－1；④当|a |＝|b |时，x 2＞5－1.以上结论中，正确的结论序号是________．

图2－ZT －10

12．如图2－ZT －11，二次函数y ＝ax 2

＋bx ＋c (a >0)的图象的顶点为D ，其图象与x 轴

的交点A ，B 的横坐标分别为－1，3，与y 轴负半轴交于点C .在下面五个结论中：①2a －b ＝0；②a ＋b ＋c >0；③c ＝－3a ；④当a ＝1

2时，△ABD 是等腰直角三角形；⑤使△ACB 为等

腰三角形的a 的值可以有四个．其中正确的结论是________(只填序号)．

图2－ZT －11

三、解答题

13．如图2－ZT －12，二次函数y ＝ax 2

＋bx ＋c 的图象与x 轴交于B ，C 两点，交y 轴于点A .

(1)根据图象确定a ，b ，c 的符号；

(2)如果OC ＝OA ＝1

3

OB ，BC ＝4，求这个二次函数的表达式．

图2－ZT －12

14．已知函数y ＝ax 2

＋bx ＋c ，若a ＞0，b ＜0，c ＜0，则这个函数的图象与x 轴交点的情况是怎样的？若无交点，请说明理由；若有交点，请说明有几个交点及交点分别在x 轴的哪个半轴上．

详解详析

专题训练(二) 二次函数图象与a ，b ，c ， b 2

－4ac 等符号问题

1．[答案] D

2．[解析] D 抛物线开口向下，则a ＜0，所以A 选项的关系式正确；

抛物线的对称轴在y 轴的右侧，a ，b 异号，则b ＞0，所以B 选项的关系式正确； 抛物线与x 轴有2个交点，则b 2

－4ac ＞0，所以C 选项的关系式正确； 当x ＝1时，y ＞0，即a ＋b ＋c ＞0，所以D 选项的关系式错误． 3．[答案] A 4．[答案] C

5．[解析] B 由公共点的横坐标为1，且在反比例函数y ＝b

x 的图象上，当x ＝1时，y

＝b ，即公共点的坐标为(1，b)．又点(1，b)在抛物线上，得a ＋b ＋c ＝b ，即a ＋c ＝0.由a≠0

知ac ＜0，一次函数y ＝bx ＋ac 的图象与y 轴的交点在负半轴上，而反比例函数y ＝b

x

的图象