塑性力学第五章(2)-简单的弹塑性问题(二)

σs
E
不变， ，保持 ε s不变，再加扭矩至 γ s =
τs
G
γ 同时拉扭进入塑性状态， 不变， （3）同时拉扭进入塑性状态，保持 ε 不变，到
ε s ,γ s
求应力分量
σ ,τ = ?
τ σ
Mises条件： 条件： 条件
σ 2 + 3τ 2 = σ s2
τ
σ
3
s
B
C A
O
σ
σ
s
γ
ε = σs
E =
应变分量（体积不可压缩）： 应变分量（体积不可压缩）：
σ
1 de z = d ε , de r = deθ = − d ε 2
d γ zθ = d γ
γ θr = γ rz = 0
塑性功增量： 塑性功增量：
dW d = sij deij
= s z de z + s r de r + sθ deθ + τ θz d γ θz + τ θr d γ θr + τ rz d γ rz
th
σs
σs
σ =
ch
σs
3G γ
σs
γ =
σs
3G
⇒
σ = 0 .648 σ s , τ = 0 .439 σ s
（2）先扭后拉 ）
γ
σs
3G
τ
B C
σ
3
A
s
B
C A
O
σs
3G
ε
O
σ
σ
s
dγ = 0
dW d = σ d ε + τd γ = σ d ε
3Gd ε = dσ 1−
dσ σ 2 dε dε = + 3G σ s2
简 单 的 弹 塑 性 问 题(二) 二
薄壁圆筒的拉扭联合变形 增量理论 全量理论
不可压缩（v=0.5）理想弹塑性材料的薄壁圆管受轴向拉力和扭矩作用， 不可压缩（v=0.5）理想弹塑性材料的薄壁圆管受轴向拉力和扭矩作用， 使用Mises条件。 使用Mises条件。 条件 应力路径：（1）先拉至 ε s = ：（1 应力路径：（ （2）先扭后拉。 先扭后拉。
= σ d ε + τd γ
1 3dW d deij = ds ij + sij 2 2G 2σ s
d σ (σdε + τdγ ) + σ 2 3G σs
d τ 3(σd ε + τd γ ) + τ 2 G σs
P－ 塑性功增量表示的 P－R 理论
dε z =
3dW d 1 ds z + sz 2 2G 2σ s
e de ij
1 de ij = ds ij + dλ ⋅ s ij 2G
dλ 的计算
1 de ij = ds ij + d λ ⋅ s ij 2G
1 s ij de ij = s ij ds ij + d λ s ij ⋅ s ij 2G
s ij ⋅ ds ij = 0
s ij de ij = d λ s ij ⋅ s ij
σ σ s2
2
σ = σ s th
3G ε
σs
ε =
σs
3G
⇒
σ = 0 .762 σ s , τ = 0 .374 σ s
（3）同时拉扭进入塑性状态（保持 ）同时拉扭进入塑性状态（
γ
γ ε
C
不变） 不变）
τ
σ
3
s
σs
3G
B
B
C A
O
σs
3G
A
ε
O
σ
σ
s
γ = 3 ε
3 τ Gγ = = σ Eε 3
γ xy = γ yx = γ zx
3ε
σ
3ε
s xy s yz
σ 3ε s zx = σ
Hencky -Iliushin 理论
1 − 2ν ε kk = σ kk E 3ε e ij = s ij 2σ σ = Φ (ε )
Байду номын сангаас
dW d = s ij de ij
dW d = dλ 2 2 σs 3
s ij ⋅ s ij =
2 2 σs 3
3 dW d dλ = 2σ s2
比例因子与材料的屈服 极限及变形程度有关。 极限及变形程度有关。
Prandtl — Reuss理论 Reuss理论
1 − 2ν ε kk = σ kk E 3dW d 1 de ij = ds ij + s ij 2 2G 2σ s
σ = 0 .707 σ s τ = 0 .408 σ s
σ 2 + 3τ 2 = σ s2
全量理论
σ z = σ , τ θz = τ , σ r = σ θ = τ rθ = τ rz = 0
2σ σ sz = , s r = sθ = − 3 3
体积不可压缩： 体积不可压缩：
1 − 2ν ε kk = σ kk E 3ε e ij = s ij 2σ σ = Φ (ε )
σs
3G
σs
3G
B
C
γ =
τs
G
=
σs
3G
O
σs
3G
A
ε
应力分量
σz =
P T , τ zθ = 2π Rh 2π R 2 h
σ z = σ , τ θz = τ , σ r = σ θ = τ rθ = τ rz = 0
2σ σ σ 0 = ⇒ sz = , s r = sθ = − 3 3 3
e s ij = 2Ge ij
s ij = 2G ′e ij
σ =
3 s ij s ij 2
ε =
2 eij eij 3
s ij = 2G ′e ij
σ = 3G ′ε
G′ =
σ 3ε
2σ s ij = e ij 3ε
3ε eij = sij 2σ
2σ ex = sx 3ε 2σ ey = sy 3ε 2σ ez = sz 3ε
附二： 附二：
形变理论（ 理论） 形变理论（ Hencky — Iliushin 理论）
体积变化是弹性的，且与平均应力成正比。 1. 体积变化是弹性的，且与平均应力成正比。
E σm = εm (1 − 2 µ )
应变偏量与应力偏量成比例。 2. 应变偏量与应力偏量成比例。
弹性阶段： 弹性阶段： 塑性阶段： 塑性阶段：
e d ε ij = d ε ij + d ε ijp p e de ij = de ij + de ij
ε
de ij =
e de ij
+
p de ij
1 de = ⋅ dsij 2G
e ij
deijp = dλ ⋅ sij
屈服条件满足 Mises 屈服条件
1 ds ij = 2G p de ij = dλ ⋅ s ij
2
ε = 0.707σ s
1 τ= 3
σs ε2 + γ2
1 3
γ = 0.408σ s
附一： 附一：
理想弹塑性材料的 Prandtl
理想弹塑性力学模型
— Reuss 理论
σ σs
Eε σ = σ s
ε ≤ εs ε > εs
εs εp εe ε
在塑性区， 在塑性区，应变增量由弹性和塑 性两部分组成。 性两部分组成。
eij = ε ij
εz =
3 ε 2σ z 2σ 3
ε ε= σ σ ε γ =3 τ σ
σ σ= ε ε σ τ= γ 3ε
1 3ε γ zθ = τ zθ 2 2σ
ε =
′ I2 =
4 ′ I2 3
1 2 2 2 [(ε 11 − ε 22 ) 2 + (ε 22 − ε 33 ) 2 + (ε 33 − ε 11 ) 2 + 6 (ε 12 + ε 23 + ε 31 )] 6
1 1 1 γ ε r = ε θ = − ε z = − ε , ε zθ = γ zθ = 2 2 2 2
1 2 ε= ε + γ 3
2
σ =σs
σ=
σs ε2 + γ2
1 3
ε
1 τ= 3
σs
1 2 ε + γ 3
2
γ
最终应变值
ε =
γ =
σs
σs
E
=
σs
3G
3G
最终应力值
σ=
σs
1 2 ε + γ 3
dε =
d γ θz
1 3dW d = d τ θz + τ θz 2 G σs
dγ =
（1）先拉再扭 ）
γ
σs
3G
τ
B C
σ
3
A
s
B
C A
O
σs
3G
ε
O
σ
σ
s
dε = 0
Gd γ = dτ 3τ 2 1− 2
dW d = σ d ε + τd γ = τd γ
τ= σs
3 3G γ
dτ 3τ 2 dγ + dγ = G σ s2