3-2随机变量函数的数学期望
3_2性质随机变量函数的数学期望
上页
下页
返回
结束
数学期望性质的应用
(P66例1）
10 11 9 6 0.3 0.5 0.2 0.4 两部件长度分别为ξ及η,相互独立，
7 0.6
求E(ξ+η)及E(ξη)。 E 解： E 9 0.3 10 0.5 11 0.2 9.9( )
2 2
η与其本身不是相互独立的
E E
2 2
上页
下页
返回
结束
E 6 0.4 7 0.6 6.6
x
k 1
k
pk
利用数学期望和的性质有
E ( ) E E 16.5
注意到ξ，η相互独立，故有
E ( ) E E 65.34
上页 下页 返回 结束
6 (P66例2） 0.4
7 0.6
下页
返回
结束
那么是否可以不先求η=f(ξ)的分布而 只根据ξ的分布求得E[f(ξ)]呢？ 下面的基本公式指出，答案是肯定的.
上页
下页
返回
结束
类似引入上述E(ξ)的推理，可得如下的 基本公式: 设ξ是一个随机变量，η=f(ξ)，则
f ( xk ) pk , 离散型 E ( ) E[ f ( )] k 1 f ( x) ( x)dx, 连续型
求Eη2。
f ( xk ) pk , 离散 E[ f ( )] k 1 f ( x) ( x)dx, 连续 43.8
解： E 2 62 0.4 72 0.6 以下解法是错误的
E E E E 6.6 43.56
随机变量的数学期望 ppt课件
第一节 数学期望
离散型随机变量的数学期望 连续型随机变量的数学期望 随机变量函数的数学期望 数学期望的性质 课堂练习
ppt课件
2
在前面的课程中，我们讨论了随机变量及其分 布，如果知道了随机变量X的概率分布，那么X的 全部概率特征也就知道了.
然而，在实际问题中，概率分布一般是较难 确定的. 而在一些实际应用中，人们并不需要知 道随机变量的一切概率性质，只要知道它的某些 数字特征就够了.
分布为pij , i,j=1,2, …，则
E(Z) E[g(X ,Y )]
g(xi , y j ) pij
j1 i1
(2) 如果X、Y是连续型随机变量，联合概
率密度为f(x,y)，则
E(Z ) E[g( X ,Y )] g( x, y) f ( x, y)dxdy
ppt课件
24
例4.6 设 ( X , Y ) 的分布律为
概率
1/6 3/6 2/6
一旅客8:20到车站,求他候车时间的数学期望.
ppt课件
12
解：设旅客的候车时间为X (以分计),其分布率为
X 10 30 50 70 90
pk 3 6
上表中例如
2 11 13 12 6 66 66 66
P{X 70} P(AB) P( A)P(B) 1 3 66
ppt课件
32
例10 设二维连续型随机变量（X ,Y）的概率密度为
f
( x,
y)
Asin( x
y)
0 x
2
0
其它
(1)求系数A, (2)求E( X ), E( XY ).
解：（1）由于
f
( x,
y)dxdy
数学期望的计算公式
数学期望的计算公式数学期望是概率论中的重要概念，用于描述随机变量在大量试验中的平均值。
数学期望常用于统计分析和决策模型的建立。
本文将介绍数学期望的计算公式，并举例说明其应用。
一、离散型随机变量的数学期望计算公式对于离散型随机变量X，其取值有限且可数，其概率分布可以用概率质量函数P(X=x)表示。
则X的数学期望E(X)计算公式如下：E(X) = Σ[xP(X=x)]其中，Σ表示求和运算，x表示随机变量X的取值，P(X=x)表示随机变量X取值为x的概率。
例如，假设有一个骰子，其有6个面，每个面的点数分别为1、2、3、4、5、6，且每个面的点数出现的概率相等。
我们可以通过计算骰子的数学期望来获取平均点数的预期值。
设随机变量X表示骰子的点数，则X取值为1、2、3、4、5、6的概率均为1/6，因此骰子的数学期望E(X)的计算如下：E(X) = (1 * 1/6) + (2 * 1/6) + (3 * 1/6) + (4 * 1/6) + (5 * 1/6) + (6 * 1/6) = 3.5因此，通过计算可得，骰子的数学期望为3.5。
二、连续型随机变量的数学期望计算公式对于连续型随机变量X，其取值在某个区间上，其概率分布可以用概率密度函数f(x)表示。
则X的数学期望E(X)计算公式如下：E(X) = ∫[xf(x)]dx其中，∫表示积分运算，x表示随机变量X的取值，f(x)表示随机变量X的概率密度函数。
例如，假设有一个服从均匀分布的随机变量X，其取值范围在0到1之间。
我们可以通过计算随机变量X的数学期望来预测其取值的平均数。
设随机变量X的概率密度函数为f(x)，则在0到1之间，f(x)的取值为1。
因此，X的数学期望E(X)的计算如下：E(X) = ∫[x * 1]dx = ∫xdx = 1/2因此，通过计算可得，随机变量X的数学期望为1/2。
综上所述，对于离散型随机变量和连续型随机变量，其数学期望的计算公式分别为Σ[xP(X=x)]和∫[xf(x)]dx。
随机变量的期望、方差的计算方法
随机变量的期望、方差的计算方法随机变量的期望、方差的计算方法辛开远～杨玉华与随机变量有关的某些数值，虽然不能完整的描述随机变量，但能描述随机变量在某些方面的重要特征。
这些数学特征在理论与实践上都具有重要的意义，本文介绍一维随机变量的常用数字特征:数学期望、方差。
一、数学期望X 1(设离散型随机变量的分布律为:,,pX,x,px, ， 1，2，… kkk，,，,Xxpxp 如果级数绝对收敛，则称级数的和为随机变量的数学期望，即 ,,kkkkk,1k,1,E(x),xp ,kkk1,，,X 2(设连续型随机变量的概率密度为，若积分绝对收敛，则称积分f(x)xf(x)dx,,,，,X的值为随机变量的数学期望，即 xf(x)dx,,, ，, E(x),xf(x)dx,,,3(数学期望的性质(1)，(为常数) E(C),CCX (2)，(为常数，是随机变量) E(kX),kE(X)kXY (3)，(，是两个随机变量) E(X，Y),E(X)，E(Y)XY (4)若，是相互独立的随机变量，则有 E(XY),E(X)E(Y)二、随机变量的函数的数学期望YX 设是的函数，Y,g(X)。
XX 1(当是离散型随机变量时，的分布律为,,pX,x,p ， 1，2，… k,kk，,Yg(x)p 若级数绝对收敛，则函数的数学期望为 ,kkk,1，,g(x)p E(Y),E[g(X)],,kkk,1，,XX 2(当是连续型随机变量时，的概率密度为f(x)，若积分绝对收g(x)f(x)dx,,,Y敛，则函数的数学期望为，, E(Y),E[g(X)], g(x)f(x)dx,,,三、方差2XX,,E[X,E(X)] 设是一个随机变量，若存在，则称它为的方差，记作D(X)，即2,,E[X,E(X)] D(X),X 则称为的均方差或者标准差。
D(X)X 1(若是离散型随机变量，则，,2[x,E(X)]p D(X),,kkk1,X 2(若是连续型随机变量，则，,2 D(X),[x,E(X)]f(x)dx,,,XX 方差反映了随机变量取值分散的程度，越小，的取值越集中。
随机变量的数学期望
P{ X = xiY = y j } = pij ,i , j = 1,2,
则 E( Z ) = E[ g ( X , Y )] = ∑ ∑ g ( x i , y j ) pij .
j i
型随机变量, (2) 若(X,Y)是连续型随机变量,联合概率密度为 , ) 连续型随机变量 f(x,y),则 ( , )
1 k 1 1 k k E 因此, 因此, ( X ) = q + (1 + ) (1 q ) = 1 q + , k k k
N个人需化验的次数的数学期望为 个人需化验的次数的数学期望为 例如, 例如,
0.9910 0.1 = 0.804 , 1 k 就能减少验血次数. 当 q > 时, 就能减少验血次数.
E( X) = ∫ xf ( x)dx
∞
+∞
13
例5
设随机变量X的概率密度函数为 设随机变量 的概率密度函数为
3 x 2 , 0 < x < 1 f ( x) = 其它 0 , 的数学期望. 求X的数学期望. 的数学期望
解
E( X ) = ∫
+∞ ∞
1 0
xf ( x ) dx
2
=∫
3 x 3 x dx = . 4
+∞
+∞
=∫
+∞ 0
x e dx = 2 .
2
18
x
设随机变量( , ) 例8 设随机变量(X,Y)的联合概率密度为
1 3 3 2 , < y < x, x > 1 y f ( x, y) = 2 x y x 0, else 1 ). 求 E(Y ), E( XY
解 E(Y ) =
3.2概率论——随机变量的期望
X0
100
p 0.25 0.75
Pascal认为甲的所得应为0 0.25 100 0.75 75法郎
这不仅考虑了已赌的局数还包含了对再赌下去的一种
“期望” (Expectation),它比(1)的分法更为合理.
这就是数学期望这个名 称的由来,也称为均值.就上例 而言, 再赌下去的话 ,甲“平均”可以赢 75法郎.
(12 1) 0.3 (22 1) 0.3 3.4
例 8：设随机变量X的密度函数为
f ( x) co2s x 0
求：EX , E(2X 3), EX 2
x 2
else
EX
xf ( x)dx
2 x cos xdx 0
2
2
2
cos x
E(2 X 3) (2x 3) f ( x)dx (2x 3) dx 3
若令g(X,Y)=X,
EX
xf ( x, y)dydx
xf X ( x)dx
类似地，
EY
yf
( x,
y)dxdy
yfY ( y)dy
即可以由联合密度直接求出X, Y的期望
例10：设X ,Y的联合分布为
Y X
1
1
1 0.25 0 0.25
1
0.5 0.25 0.75
0.75 0.25
1
p( qk )
1
p q
1q
p(1 q) pq (1 q)2
1 p
直观理解一致吗? 记住上述两个结果!
定义3.2
设c.r.v.X
的
p.d.f.
为f
(x),
如
果积分
xf
(
x
)dx绝对收敛，
随机变量的数学期望与方差
随机变量的数学期望与方差随机变量在概率论中具有重要地位，它描述了随机事件的变化规律，数学期望和方差是衡量随机变量分布的重要指标。
一、数学期望数学期望是对随机变量取值的平均值的度量，记作E(X)，其中X为随机变量。
数学期望可以理解为长期重复试验中，随机变量取值的平均结果。
对于离散型随机变量，数学期望的计算公式为：E(X) = ∑(x * P(X=x))其中x为随机变量的取值，P(X=x)为该取值发生的概率。
对于连续型随机变量，数学期望的计算公式为：E(X) = ∫(x * f(x))dx其中f(x)为随机变量的概率密度函数。
二、方差方差是随机变量取值分散程度的度量，记作Var(X)或σ^2，其中X为随机变量。
方差描述的是随机变量取值与其数学期望之间的偏离情况。
对于离散型随机变量，方差的计算公式为：Var(X) = ∑((x - E(X))^2 * P(X=x))其中x为随机变量的取值，E(X)为该随机变量的数学期望。
对于连续型随机变量，方差的计算公式为：Var(X) = ∫((x - E(X))^2 * f(x))dx其中f(x)为随机变量的概率密度函数。
三、应用举例为了更好理解数学期望与方差的作用和计算方法，下面以骰子为例进行说明。
假设我们有一个六面骰子，其取值范围为1到6，每个面出现的概率相等。
我们可以定义骰子的随机变量X表示投掷后骰子的结果。
1. 计算数学期望：E(X) = (1 * 1/6) + (2 * 1/6) + (3 * 1/6) + (4 * 1/6) + (5 * 1/6) + (6 * 1/6) = 3.5所以，这个六面骰子的数学期望为3.5，即在长期重复的投掷中，平均每次的点数是3.5。
2. 计算方差：Var(X) = ((1-3.5)^2 * 1/6) + ((2-3.5)^2 * 1/6) + ((3-3.5)^2 * 1/6) + ((4-3.5)^2 * 1/6) + ((5-3.5)^2 * 1/6) + ((6-3.5)^2 * 1/6) ≈ 2.92所以，这个六面骰子的方差为2.92，即在长期重复的投掷中，每次投掷结果与平均值3.5偏离的程度。
4.1.2 随机变量的函数的数学期望及
南 昌 大 学4.1.2 随机变量的函数的数学期望及数学期望的性质一、随机变量的函数的数学期望在理论研究和实际应用中经常遇到求随机变量X的函数Y=g(X)的数学期望的问题，按定义应先求出Y=g(X)的分布，然后再利用Y的分布求E(Y)，这样做显然比较麻烦。
是否可以不求g (X)的分布而只根据X的分布求得E[g(X)]呢？定理4.1：设 Y = g (X ) 为随机变量 X 的函数，其中 g 为连续的实函数。
1()[()]().k k k E Y E g X g xp +∞===∑ (2) X 是连续型随机变量，其概率密度为 f (x )，若积分∞∞∫()()-g x f x dx +绝对收敛，则有()[()]()().E Y E g X g x f x dx +∞-∞==⎰一、随机变量的函数的数学期望(1) X 是离散型随机变量，其分布律为(k =1,2,…)， 若级数1()k k k g x p +∞=∑绝对收敛，则有()k k P X x p ==定理4.2：设 Z = g (X , Y )是二维随机变量 (X , Y ) 的函数，其中 g 为连续的实函数。
(1) 当 (X , Y ) 是二维离散型随机变量时，其分布律为 P ( X = x i , Y = y j ) = p ij , i , j =1,2,…，若级数11(,)i j ij j i g x y p +∞+∞==∑∑绝对收敛，则有11()[(,)](,).ij ij j i E Z E g X Y g x y p +∞+∞====∑∑一、随机变量的函数的数学期望()[(,)](,)(,).E Z E g X Y g x y f x y dxdy +∞+∞-∞-∞==⎰⎰ (2) 当 (X , Y ) 是二维连续型随机变量时，其概率密度为 f ( x , y )，若积分 (,)(,)g x y f x y dxdy +∞+∞-∞-∞⎰⎰绝对收敛，则有例1：设随机变量 X 的分布律为求 E (-2X +1) 。
第二讲 随机变量函数的数学期望、期望的性质
例2 设风速V在(0,a)上服从均匀分布，即密度函数
1 v (0, a ) f (v ) a 0 其它
又设飞机机翼受到的正压力W是V的函数W=kV2, 求W 的数学期望。 解： E (W ) kv 2 f (v )dv
a
0
1 1 2 kv dv ka 3 a
E ( X ) E ( X1 X 2
X10 )
E ( X1 ) E ( X 2 )
E( X10 )
9 20 10 1 8.784 10
即该空港巴士在到达目的地的途中平均停车 8.784次。
例5 求二项分布随机变量 X ~ b( n , p ) 的数学期望 解：二项分布的分布律为
2随机变量函数的数学期望1若离散型随机变量x的分布律为eyegxpgx2若连续型随机变量x的概率密度为fxeyegxgxfxdx设随机变量x的分布律为0202020103102002102201303ex11102002102201303ex35其它又设飞机机翼受到的正压力w是v的函数wkvewkvfvdvkvdv某公司计划开发一种新产品市场并试图确定该产品的产量
（1）若离散ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ随机变量X 的分布律为
P{ X xk } pk
k 1, 2,
k 1
则 E (Y ) E[ g( X )] pk g( xk ) （2）若连续型随机变量X 的概率密度为 f(x) 则 E (Y ) E[ g( X )]
g( x ) f ( x )dx
第三章 随机变量的数字特征
第二讲
随机变量的数学期望（2）
2、随机变量函数的数学期望
随机变量的期望值计算
随机变量的期望值计算随机变量是概率论中的重要概念，用于描述随机事件的数值特征。
期望值是随机变量的一个重要指标，表示随机变量的平均值或中心位置。
本文将介绍随机变量的期望值计算方法。
一、离散型随机变量的期望值计算离散型随机变量是指取有限个或可列个数值的随机变量。
设X是一个离散型随机变量，其取值为x1,x2,...,xn，对应的概率为p1,p2,...,pn。
则X的期望值E(X)的计算公式为：E(X) = x1*p1 + x2*p2 + ... + xn*pn例如，设X表示掷一枚骰子的结果，其可能的取值为1,2,3,4,5,6，对应的概率均为1/6。
则X的期望值为：E(X) = 1*(1/6) + 2*(1/6) + 3*(1/6) + 4*(1/6) + 5*(1/6) +6*(1/6) = 3.5二、连续型随机变量的期望值计算连续型随机变量是指取无限个数值的随机变量。
设X是一个连续型随机变量，其概率密度函数为f(x)，则X的期望值E(X)的计算公式为：E(X) = ∫xf(x)dx其中，积分区间为X的取值范围。
例如，设X表示从0到1之间均匀分布的随机变量，其概率密度函数为f(x) = 1，0<x<1。
则X的期望值为：E(X) = ∫x*1dx (积分区间为0到1)= [x^2/2]0^1= 1/2三、随机变量函数的期望值计算若Y是X的函数，且X是一个随机变量，则Y的期望值E(Y)的计算公式为：E(Y) = E(g(X))其中，g(X)表示X的函数。
例如，设X表示掷一枚骰子的结果，Y表示X的平方。
则Y的期望值为：E(Y) = E(X^2)= 1*(1/6) + 4*(1/6) + 9*(1/6) + 16*(1/6) + 25*(1/6) + 36*(1/6)= 15.1667四、期望值的性质1. 若c是常数，则E(c) = c。
2. 若X和Y是随机变量，a和b是常数，则E(aX + bY) = aE(X) +bE(Y)。
随机变量的数学期望
k qk1 p
qk
k 1
k 1
k1
p
1
1
q2
p
1 p2
1. p
这是因为 kxk1 ( x k )
k 1
k 1
x
1
1
1
x
1
.
常见离散型分布的数学期望小结
分布
分布律
01 分布
X~B(1, p)
二项分布
X~B(n, p)
泊松分布
X ~ Pλ
P{ X k} pk (1 p)1k k0,1
对于二维随机变量而言, 其函数的数学期望 计算方法可以由类似于定理3.1得到.
1. 二维离散型情形 设X,Y为二维离散型随机变量, Z f X, Y为 二元函数, 如果EZ存在,
EZ E f X ,Y f ( xi , y j )pij
i1 j1
其中X, Y的联合概率分布为pij .
2. 二维连续型情形 设X,Y为二维连续型随机变量, Z f X, Y为 二元连续函数, 如果EZ存在, 则
(300x 200a)dx
20 10
20 a
EH X
1
(600
x2
a 100ax)
20
2
10
1
(300
x2
30 200ax)
20
2
a
7.5a2 350a 5250.
因此 7.5a2 350a 5250 9280,
解得 20 2 a 26, 即最少进货量为21单. 3
(二) 二维随机变量函数的数学期望
单调连续, x f 1y为其反函数, 并且可导,
同时 y , 则
f
xpX
数学期望和方差公式
数学期望和方差公式数学期望和方差是概率论和统计学中重要的概念，在许多领域中有广泛的应用。
它们是度量随机变量分布的指标，可以帮助我们了解随机现象的平均值和离散程度。
本文将详细介绍数学期望和方差的定义、性质以及计算公式。
一、数学期望数学期望，也称为均值或平均值，是衡量随机变量平均值的指标。
对于离散型随机变量X，它的数学期望E(X)的定义如下：E(X) = Σx * P(X = x)其中，x代表随机变量X可能取到的值，P(X = x)表示随机变量取到x的概率。
对于连续型随机变量X，它的数学期望E(X)的定义如下：E(X) = ∫x * f(x) dx其中，f(x)表示X的概率密度函数。
数学期望具有以下性质：1. 线性性质：对于任意实数a和b，以及任意两个随机变量X和Y，有E(aX + bY) = aE(X) + bE(Y)。
2. 递推性质：对于离散型随机变量X，可以通过递推公式E(X) = Σx * P(X = x)来计算。
3. 位置不变性：对于随机变量X和常数c，有E(X + c) = E(X) + c。
数学期望的计算公式可以帮助我们求解随机变量的平均值，进而了解随机现象的集中程度。
二、方差方差是衡量随机变量取值的离散程度的指标，它表示随机变量与其均值之间的差异程度。
对于离散型随机变量X，其方差Var(X)的定义如下：Var(X) = Σ(x - E(X))^2 * P(X = x)对于连续型随机变量X，其方差Var(X)的定义如下：Var(X) = ∫(x - E(X))^2 * f(x) dx方差具有以下性质：1. 线性性质：对于任意实数a和b，以及任意随机变量X和Y，有Var(aX + bY) = a^2 * Var(X) + b^2 * Var(Y)。
2. 位置不变性：对于随机变量X和常数c，有Var(X + c) = Var(X)。
3. 零偏性：Var(X) >= 0，当且仅当X是一个常数时，等号成立。
(完整版)随机变量的数学期望与方差
第9讲 随机变量的数学期望与方差教学目的：1.掌握随机变量的数学期望及方差的定义。
2.熟练能计算随机变量的数学期望与方差。
教学重点：1．随机变量的数学期望2．随机变量函数的数学期望3．数学期望的性质4．方差的定义5．方差的性质教学难点：数学期望与方差的统计意义。
教学学时：2学时。
教学过程：第三章 随机变量的数字特征§3.1 数学期望在前面的课程中，我们讨论了随机变量及其分布，如果知道了随机变量X 的概率分布，那么X 的全部概率特征也就知道了。
然而，在实际问题中，概率分布一般是较难确定的，而在一些实际应用中，人们并不需要知道随机变量的一切概率性质，只要知道它的某些数字特征就够了。
因此，在对随机变量的研究中，确定其某些数字特征是重要的，而在这些数字特征中，最常用的是随机变量的数学期望和方差。
1．离散随机变量的数学期望我们来看一个问题：某车间对工人的生产情况进行考察。
车工小张每天生产的废品数X 是一个随机变量，如何定义X 取值的平均值呢？若统计100天，32天没有出废品，30天每天出一件废品，17天每天出两件废品，21天每天出三件废品。
这样可以得到这100天中每天的平均废品数为27.1100213100172100301100320=⨯+⨯+⨯+⨯ 这个数能作为X 取值的平均值吗？可以想象，若另外统计100天，车工小张不出废品，出一件、二件、三件废品的天数与前面的100天一般不会完全相同，这另外100天每天的平均废品数也不一定是1.27。
对于一个随机变量X ，若它全部可能取的值是Λ,,21x x ， 相应的概率为 Λ,,21P P ，则对X 作一系列观察(试验)所得X 的试验值的平均值是随机的。
但是，如果试验次数很大，出现k x 的频率会接近于K P ，于是试验值的平均值应接近∑∞=1k k k p x由此引入离散随机变量数学期望的定义。
定义1 设X 是离散随机变量，它的概率函数是Λ ,2 ,1,)()(====k P x X P x p K K k如果 ∑∞=1||k k k p x 收敛，定义X 的数学期望为∑∞==1)(k k k p x X E也就是说,离散随机变量的数学期望是一个绝对收敛的级数的和。
随机变量函数的数学期望
若级数
g (xi , y j ) pij
绝对收敛 , 则
ij
E(Z )
g(xi , y j ) pij
ij
设连续 r.v. (X ,Y )的联合密度为 f (x ,y)
若广义积分
g(x,
y)
f
( x,
y)dxdy
绝对收敛,
则
E(Z) g(x, y) f (x, y)dxdy
例 设随机变量 X 的分布律为
i1
E(Y ) g(xi ) pi
i1
设连续 r.v. X 的密度为 f (x)
i 1,2,
若广义积分
g
(
x
)
f
(
x)dx
绝对收敛, 则
E(Y
)
g
(
x)
f
(
x)dx
(2) Z = g(X ,Y )的数学期望
设离散 r.v. (X ,Y ) 的概率分布为
P(X xi ,Y yj ) pij, i, j 1,2,
E(Y ) g(xi ) pi
i1
X
-2
0
2
P
0.4 0. 3 0.3
求E(3X 2 5)
E(3X 2 5) [3(2)2 5] 0.4 [3 02 5] 0.3 [3 22 5] 0.3
13.4
例 设随机变量 X 的概率密度为
ex , x 0 f (x)
0 , x 0
E(Y ) g(x) f (x)dx
第四章 随机变量的数字特征 第二讲 随机变量函数的数学期望
主讲教师 叶宏 副教授
第四章第2讲
随机变量函数的数学期望
上一讲我们介绍了数学期望，如果已知随 机变量X的分布，我们可以求出X的期望.
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
1 , Y = 0 , − 1 ,
X >0; X = 0; X < 0.
概率论与数理统计教程（第四版）
目录
上一页
下一页
返回
结束
E[ g ( X )] = ∫ g ( x) f ( x)dx.
−∞
+∞
概率论与数理统计教程（第四版）
目录
上一页
下一页
返回
结束
§3.2 随机变量函数的数学期望
二维情形 若 ( X , Y )为二维离散随机变量， Z = g ( X , Y ) , 则 且
E[ g ( X , Y )] = ∑∑ g ( xi , y j ) p ( xi , y j )
X >0; X = 0; X < 0.
求 E (Y ) . 解：易知 X 的概率密度为
1, f ( x) = 3 0 ,
−1 ≤ x ≤ 2 ; 其它.
概率论与数理统计教程（第四版）
目录
上一页
下一页
返回
结束
§3.2 随机变量函数的数学期望
于是
1 1 P (Y = −1) = P ( X < 0) = ∫ dx = ; −1 3 3 P(Y = 0) = P( X = 0) = 0 ; 21 2 P(Y = 1) = P( X > 0) = ∫0 dx = . 3 3 从而 1 2 1 E (Y ) = (−1) × + 0 × 0 + 1 × = . 3 3 3
（1） 设二维离散随机变量 ( X , Y )的联合概率函数为 p ( xi , y j ) , i = 1 ,2⋯ j = 1 ,2⋯ 则随机变量函数 g ( X , Y ) 的数学期望为
g E[g(X ,Y)]=∑∑ (xi , yj ) p(xi , yj ).
i j
（2） 设二维连续随机变量( X , Y ) 的联合概率密度为
1 π 2 = ∫ sin xdx = . π 0 π
概率论与数理统计教程（第四版）
目录 上一页 下一页 返回 结束
§3.2 随机变量函数的数学期望
说明： 也可以先求出Y = sin X 的概率密度
2 , 2 fY ( y ) = π 1 − y 0 ,
再计算数学期望
1
0 < y < 1; 其它.
= 2.30.
概率论与数理统计教程（第四版）
目录
上一页
下一页
返回
结束
§3.2 随机变量函数的数学期望
（2）设连续随机变量 X的概率密度为 f (x) , 则随机变 量的函数 Y = g ( X ) 的数学期望定义为
. E(Y) = E[g(X)] = ∫ ∞g(x) f (x)dx −
注：假定这个反常积分是绝对收敛的.
i j
若 ( X , Y ) 为二维连续随机变量， Z = g ( X , Y ) ,则 且
E[ g ( X , Y )] = ∫
∫−∞ g ( x , y) f ( x , y)dxdy −∞
+∞ +∞
概率论与数理统计教程（第四版）
目录
上一页
下一页
返回
结束
§3.2 随机变量函数的数学期望
补充例题
第三章 随机变量的数字特征
§3.2 随机变量函数的数学期望
概率论与数理统计教程（第四版）
目录
上一页
下一页
返回
结束
§3.2 随机变量函数的数学期望
1.一维随机变量函数的数学期望 1.一维随机变量函数的数学期望
（1） 设离散随机变量 X 的概率分布为
X
X p ( xi )
x1 p ( x1 )
x2 p ( x2 )
概率论与数理统计教程（第四版）
目录
上一页
下一页
返回
结束
§3.2 随机变量函数的数学期望
另解： 另解：先求随机变量 Y = X 2的概率分布
Y = X2
0
1
4 0.25
9 0.10
p( y j )
于是数学期望
0.25 0.40
E (Y ) = 0 × 0.25 + 1× 0.40 + 4 × 0.25 + 9 × 0.10
概率论与数理统计教程（第四版）
目录 上一页 下一页 返回 结束
§3.2 随机变量函数的数学期望
小结
一维情形 若 X 为一维离散随机变量， Y = g ( X ) , 则 且
E ( g ( X )) = ∑ g ( xi ) p ( xi ).
i
若 X 为一维连续随机变量， Y = g ( X ) , 则 且
= ∫ x e dx + ∫ e
0 0
+∞
−x
+ ∞ −3 x
dx
1 1 4 = Γ(2) + = 1 + = . 3 3 3
概率论与数理统计教程（第四版）
目录 上一页 下一页 返回 结束
§3.2 随机变量函数的数学期望
[例2] 设随机变量 X在区间 [−1 ,2] 上服从均匀分布， 令
1 , Y = 0 , − 1 ,
⋯ ⋯
xn p ( xn )
⋯ ⋯
则随机变量 Y = g ( X ) 的可能值与取得这些值的概率 可列表如下：
Y
g ( x1 ) g ( x2 )
⋯ ⋯
i
g ( xn )
⋯ ⋯
p( y )
则
p ( x1 )
p ( x2 )
p( xn )
E(Y) = E[g(x)] =∑ (xi )p(xi ). g
X −2 −1 0 1 2 3 p ( xi ) 0.10 0.20 0.25 0.20 0.15 0.10
求随机变量函数 Y = X 2的数学期望. 解：直接按公式计算
E (Y ) = (−2) 2 × 0.10 + (−1) 2 × 0.20 + 0 2 × 0.25
+ 12 × 0.20 + 2 2 × 0.15 + 32 × 0.10 = 2.30.
目录 上一页 下一页 返回 结束
概率论与数理统计教程（第四版）
§3.2 随机变量函数的数学期望
说明： 说明 (1) 一般来说,上表不一定是 Y = g ( X ) 的概率分布 表， 但有了这个表格就可以计算 Y 的数学期望. 例如： 例如 设 g ( xi ) = g ( x j ) = yk , 则由加法定理有 P (Y = yk ) = p ( xi ) + p ( x j ), 此时 yk P (Y = yk ) = yk [ p ( xi ) + p ( y j )]
[例3]
设二维随机变量 ( X , Y )的联合概率密度为：
8 , 2 2 3 f ( x , y ) = π( x + y + 1) 0 , x ≥0,y ≥0; 其它.
求随机变量函数 Z = X 2 + Y 2 的数学期望. 解： E ( Z ) = E ( X 2 + Y 2 )
2 2 1 y 2 dy = ∫ dy = . E (Y ) = ∫0 y ⋅ 2 2 π 0 1− y π π 1− y
但这样麻烦， 从例1、例2 知： 计算随机变量函数的 数学期望不必求随机变量函数的分布.
概率论与数理统计教程（第四版）
目录
上一页
下一页
返回
结束
§3.2 随机变量函数的数学期望
2.二维随机变量函数的数学期望 2.二维随机变量函数的数学期望
求 E ( X + e −2 X ) . [例1] 设 X 服从参数为1的指数分布, 解： 已知 X ~ e(1) , 则 X 的概率密度为
则
e − x , f ( x) = 0,
x >0; x ≤ 0.
E( X + e
−2 X
) = ∫ ( x + e −2 x ) e − x dx
0
+∞
=∫
+∞ +∞ 0
∫0
8 (x + y ) ⋅ dxdy 2 2 3 π( x + y + 1)
2 2
8 +∞ +∞ x 2 + y 2 = ∫ ∫ dxdy 2 2 3 π 0 0 ( x + y + 1) π +∞ 8 2 r2 = ∫ dθ ∫ rdr = 8 ⋅ π ⋅ 1 = 1. 0 0 ( r 2 + 1) 3 π π 2 4
= g ( xi ) p ( xi ) + g ( x j ) p ( x j ).
(2) 若 X的可能值为一个可数无穷集合时,公式的右 边为级数. 假定这个级数是绝对收敛的.
概率论与数理统计教程（第四版）
目录 上一页 下一页 返回 结束
§3.2 随机变量函数的数学期望
[例1] 设随机变量 X 的概率分布为 例
f ( x , y ) , 则随机变量函数 g ( X , Y )的数学期望为
E[g(Xx , y)dxdy. −∞
目录 上一页 下一页 返回 结束
+∞ +∞
注：假定上面的级数与反常积分都是绝对收敛的.
概率论与数理统计教程（第四版）
§3.2 随机变量函数的数学期望
+∞
概率论与数理统计教程（第四版）
目录
上一页
下一页
返回
结束
§3.2 随机变量函数的数学期望
[例2] 设随机变量 X 在区间 [0 , π ] 上服从均匀分布， 例 求随机变量函数Y = sin X 的数学期望. 随机变量 X 的概率密度为 解： 1 , 0 ≤ x ≤ π; f ( x) = π 0 , 其它. 所以 π +∞ 1 E (Y ) = ∫−∞ sin xf ( x)dx = ∫0 sin x ⋅ π dx