第6章状态反馈和状态观测器习题与解答

第6章 “状态反馈和状态观测器”习题与解答6.1 判断下列系统能否用状态反馈任意地配置特征值。

1) 121310⎡⎤⎡⎤=+⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦x x u 2) 100100210100200⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=-+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦x x u解 1) []1103⎡⎤==⎢⎥⎣⎦c u b Ab ，秩2c u =，系统完全能控，所以可以用状态反馈任意配置特征值。

2) 2101010010204000000⎡⎤⎢⎥⎡⎤==-⎣⎦⎢⎥⎢⎥⎣⎦c u bAbA b ，秩2c =u ，系统不完全能控，所以不能通过状态反馈任意配置特征值。

6.2 已知系统为122331233x x x x x x x x u===---+试确定线性状态反馈控制律，使闭环极点都是3-，并画出闭环系统的结构图。

解 根据题意，理想特征多项式为 *332()(3)92727s s s s s α=+=+++010*********u ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥---⎣⎦⎣⎦x =x +令[]123u k k k =-x ，并带入原系统的状态方程，可得12301001131313k k k ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥------⎣⎦x x 其特征多项式为32321()(13)(13)(13)s s k s k s k α=++++++，通过比较系数得3139,k += 21327,k += 31327,k += 即，1263k =，2263k =，183k =，26268333u x ⎡⎤=-⎢⎥⎣⎦。

闭环系统的结构图：6.3 给定系统的传递函数为1()(4)(8)G s s s s =++试确定线性状态反馈律，使闭环极点为2 4 7---，，。

解 根据题意，理想特征多项式为*32()(2)(4)()1350567s s s s s s s α=+++=+++由传递函数3211()(4)(8)1232g s s s s s s s==++++可写出原系统的能控标准形01000010032121u ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦x =x +令[]123u k k k =-x ，并带入原系统的状态方程，可得123010013212k k k ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥-----⎣⎦x x 其特征多项式为32321()(12)(32)3s s k s k s k α=+++++通过比较系数得156,k = 23250,k += 31213,k +=即 156,k =218,k =31k =。

6.4 给定单输入线性定常系统为：0001160001120u ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=-+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦x x试求出状态反馈u kx =-使得闭环系统的特征值为***1232, 1, 1 j j λλλ=-=-+=--。

解 易知系统为完全能控，故满足可配置条件。

系统的特征多项式为2200det()det 16018720112ss s s s s s ⎡⎤⎢⎥-=-+=++⎢⎥⎢⎥-+⎣⎦I A进而计算理想特征多项式**3231()()(2)(1)(1)464i i s s s s j s j s s s αλ==-=++-++=+++∏于是，可求得[]***001122,,4,66,14αααααα⎡⎤=---=--⎣⎦k再来计算变换阵1222110072181100161810100001100721811210100ααα⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎡⎤==-⎣⎦⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦P b Ab A b并求出其逆10010112118144-⎡⎤⎢⎥==-⎢⎥⎢⎥-⎣⎦Q P从而，所要确定的反馈增益阵k 即为：[][]0014,66,14011214,186,1220118144⎡⎤⎢⎥==---=--⎢⎥⎢⎥-⎣⎦k kQ6.5 给定系统的传递函数为(1)(2)()(1)(2)(3)s s g s s s s -+=+-+试问能否用状态反馈将函数变为：(1)()(2)(3)k s g s s s -=++和(2)()(1)(3)k s g s s s +=++若有可能，试分别求出状态反馈增益阵k ，并画出结构图。

解 当给定任意一个有理真分式传递函数()G s 时，都可以得到它的一个能控标准形实现，利用这个能控标准形可任意配置闭环系统的极点。

对于传递函数(1)(2)()(1)(2)(3)s s G s s s s -+=+-+，所对应的能控标准型为010*********u ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦x x利用上面两题中方法可知，通过状态反馈[]18215u x =-能将极点配置为2,2,3---，此时所对应的闭环传递数为(1)()(2)(3)k s g s s s -=++。

通过状态反馈[]341u x =-能将极点配置为1,1,3--，此时所对应的闭环传递数为(2)()(1)(3)k s g s s s +=++。

从而，可看出状态反馈可以任意配置传递函数的极点，但不能任意配置其零点。

闭环系统结构图6.6 判断下列系统能否用状态反馈和输入变换实现解耦控制。

1) 2223221()41121s s s s s s s s ⎡⎤⎢⎥+++=⎢⎥+⎢⎥⎢⎥++⎣⎦G 2) 310000*********⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥-+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦x =x u 211021y -⎡⎤=⎢⎥⎣⎦x解1) 1min{2,2}11d =-=，[]132E =，2min{1,1}10d =-=，[]241E =， 123241⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦E E E 非奇异，所以能用状态反馈和输入变换实现解耦控制。

2) 因为[][]100211101101⎡⎤⎢⎥=-=-⎢⎥⎢⎥⎣⎦c B ， [][]200021102101⎡⎤⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎣⎦c B 所以120d d ==，121121-⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦E E E 。

又因为E 非奇异，所以能用状态反馈和输入变换实现解耦控制。

6.8 给定双输入－双输出的线性定常受控系统为010********000010002000110000010⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎡⎤=⎢⎥⎣⎦x x u y x 试判定该系统用状态反馈和输入变换实现解耦？若能，试定出实现积分型解耦的K 和L 。

最后将解耦后子系统的极点分别配置到****111221222, 4;2, 2j j λλλλ=-=-=-+=--。

解 易知该系统完全能控能。

1) 判定能否解耦因为[][]1001010********⎡⎤⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎣⎦c B [][]1010000300210100010000100020001⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦c AB[][]200100010000001⎡⎤⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎣⎦c B [][]2010000300210001001000100020001⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦c AB 于是可知 [][]12121, 1;10, 01d d E E ====。

因为121001⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦E E E 非奇异，因此可进行解耦。

2) 导出积分型解耦系统 计算21122103002,010200-⎡⎤⎡⎤⎡⎤===⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦c A E F c A 取11103002,010200--⎡⎤⎡⎤====⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦L E K E F -11010000000010,00010000000110000010-⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=-===⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎡⎤==⎢⎥⎣⎦A A BE FB BEC C 3) 确定状态反馈增益矩阵K令10112021000⎡⎤=⎢⎥⎣⎦k k K k k 则可得101120210101k k k k ⎡⎤⎢⎥--⎢⎥-=⎢⎥⎢⎥--⎣⎦A BK 对解耦后的两个子系统分别求出理想特征多项式*21*22()(2)(4)68()(2)(2)45f s s s s s f s s j s j s s =++=++=+-++=++进而，可求出 101120218, 6;8, 4k k k k ====从而86000054⎡⎤=⎢⎥⎣⎦K 4) 确定受控系统实现解耦控制和极点配置的控制矩阵对{,}L K11001-⎡⎤==⎢⎥⎣⎦L E 113002860011602020000540254--=+=+⎡⎤⎡⎤⎡⎤=+=⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦⎣⎦K E F E K F K5) 确定出解耦后闭环系统的状态空间方程和传递函数矩阵010********0()00010000540110000010⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥--⎢⎥⎢⎥=-+=+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦⎡⎤==⎢⎥⎣⎦x A BK x BLv x v y Cx x 传递函数矩阵则为：2121068()()1045s s s s s s -⎡⎤⎢⎥++=-+=⎢⎥⎢⎥⎢⎥++⎣⎦KL G C I A BK BL6.9 给定系统的状态空间表达式为[]123201101011110u y ---⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=-+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦=x x x1) 设计一个具有特征值为3 4 5---，，的全维状态观测器； 2) 设计一个具有特征值为3 4--，的降维状态观测器； 3) 画出系统结构图。

解1) 设计全维状态观测器 方法1T32101det()210366311s s s s s s s +--=+=+++-+I A 13,a = 26a =，36a =观测器的期望特征多项式为*32()(3)(4)(5)124760s s s s s s s α=+++=+++*112a =，*247a =，*360a =[]T ***33221154419a a a a a a ⎡⎤=---=⎣⎦E21TT TT 2T 11()10100a a a ⎡⎤⎢⎥⎡⎤=⎣⎦⎢⎥⎢⎥⎣⎦Q CA C A C 111631221135310201022100420--⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=-=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥---⎣⎦⎣⎦⎣⎦11114442221114400822444111222-⎡⎤--⎢⎥-⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥==--=-⎢⎥⎢⎥⎢⎥---⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎢⎥⎣⎦P QT T235922⎡⎤==--⎢⎥⎣⎦E E P 状态观测器的状态方程为ˆˆ()=-++xA EC x Bu Ey []232322123255ˆ011110022101199x u y ⎧⎫⎡⎤⎡⎤⎪⎪⎢⎥⎢⎥---⎡⎤⎡⎤⎪⎪⎢⎥⎢⎥⎪⎪⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=---++-⎨⎬⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎪⎪⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦--⎪⎪⎢⎥⎢⎥⎪⎪⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎩⎭25272332222535ˆ10222110919x u y ⎡⎤⎡⎤---⎢⎥⎢⎥⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=++-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦--⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦方法2[][]123123det ()det 011110101000000E E E λλλλ⎧---⎫⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎪⎪⎢⎥⎢⎥⎢⎥--=--+⎨⎬⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎪⎪⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎩⎭I A EC 122233123det 1111E E E E E E λλλ+++⎡⎤⎢⎥=++-⎢⎥⎢⎥-+⎣⎦321213123(3)(226)(2246)E E E E E E E λλλ=++++-+++-+与期望特征多项式比较系数得1212E E += 1322647E E -+= 123224660E E E +-+=解方程组得 T235922⎡⎤=--⎢⎥⎣⎦E 。