工程数学1期末试题及参考答案

《工程数学1》综合复习题及参考答案

一、填空题

1.设A ，B 为三阶方阵，4=A ，5-=B ，则____________41=--T B A

2.设向量组T T T k ),3,5( ,)1,3,1( ,)0,1,1(321=-==ααα线性无关，则常数

k 应满足条件________________________

3.若二次型()31212

322

213212233,,x x x tx x x x x x x f ++++=是正定二次型，则t 的 取值范围为_________________________

4.随机事件B A , 相互独立，且

5.0)(=A P ,8.0)(=B A P ，则______)(=AB P 5.设随机变量X 的分布函数2

1

arctan 1

)(+=

x x F π（+∞<<-x ）

，则X 的概率密度函数_____________________)(=x f

6.设随机变量X 与Y 相互独立,且)5,2(~N X 错误!未找到引用源。，)1,0(~N Y ，则____)32(=-Y X D

7. 来自正态总体2~( , 0.9)X N μ容量为9的简单随机样本，测得样本均值5=x ，则未知参数μ的置信度为0.95的置信区间为 (其中30.2)8(,96.1025.0025.0==t z )

二、选择题

1. 设A ，B 均为n 阶可逆矩阵，则下列运算错误的是（ ） (A) ()T

T T AB B A = (B) ()1

11AB B A ---= (C) AB A B =⋅ (D) ()()22A B A B A B +-=-

2.已知21,αα分别为n 阶矩阵A 对应不同特征值21,λλ的特征向量，则（ ） （A ）21,αα线性相关； （B ）21,αα线性无关；

（C ）21αα= （D ）21ααk =

3. 设随机变量)9,2(~N X 错误!未找到引用源。，)(x Φ为标准正态分布函数，错

误!未找到引用源。则=≤)5{X P （ ）

（A ）)3(Φ （B ）)2(Φ （C ）)1(Φ （D ）)3

1

(Φ

4. 对于任意两个随机变量X 和Y ，则下列等式成立的是（ ）

（A ）)()()(Y E X E Y X E +=- （B ）)()()(Y E X E Y X E +=+ （C ）)()()(Y E X E XY E = （D ）)()()(Y D X D Y X D +=+

三、计算行列式 64

164127

9

3

18421111

1=D

四、设方阵B A ,满足B A AB 2=-,若310112104A -⎛⎫ ⎪

=- ⎪ ⎪-⎝⎭

，求矩阵B .

五、仓库中放有甲、乙、丙三个厂生产的电子元件，其产量之比为1:2:3，三个厂的次品率分别为%2， %3，%4. 现在从仓库中随机抽取一件产品进行检测.（1）求抽到次品的概率；（2）求该次品是甲厂生产的概率.

六、求a 、b 为何值时，线性方程组1234234

12341234231223(3)5923(5)4x x x x x x x x x a x x b x x x a x -+-=⎧⎪-+=⎪⎨-++-=+⎪⎪-++-=⎩

（1）无解；（2）有唯一解；（3）有无穷多组解？并求出其通解.

七、设随机变量X 的概率密度()⎪⎩

⎪⎨⎧

<<-=其它02

1)11(2x x

A x f 求（1）常数A ；（2）)(X E 、)(X D ；(3)X 的分布函数)(x F .

八、设总体X 的概率密度为⎪⎩

⎪⎨⎧≤>=--1011)()

1(x x e

x f x θθ，0>θ为未知参数，

n X X X ,,,21 是来自总体X 的简单样本，求θ的极大似然估计量.

九、设二维随机变量()Y X ,的联合概率密度

⎩

⎨⎧≤≤≤≤--=其它 010 ,10

2),(y x y x y x f

求（1）X 、Y 的边缘概率密度，并判断X 与Y 是否相互独立； （2）{}X Y P ≤. 十、（9分）将二次型

()3231212322

21321842112,,x x x x x x x x x x x x f --+++= 化为标准形，写出所作的可逆线性变换，并判断该二次型是否是正定的二次型.

《工程数学1》综合复习题参考答案

一、填空题

1. 80

2. 1k ≠

3.22<<-t

4.0.3

5.

)()

1(1

2+∞<<-∞+x x π 6. 29 7. (0.924, 1.316)

二、选择题

1.(D)

2.(B)

3.(C)

4.(B)

三、计算行列式 64

164127

9

3

18421111

1=D

解: 11

111

3701372

8

2602

8

26

31563

031563

D == 137

212

021212642

0642==

= 四、设方阵B A ,满足B A AB 2=-,若310112104A -⎛⎫ ⎪

=- ⎪ ⎪-⎝⎭

，求矩阵B .

解：由2AB A B -=得：(2)A E B A -= .

()1103101103102,132112022202102104012214A E A ----⎡⎤⎡⎤

⎢⎥⎢⎥-=--→--⎢⎥⎢⎥

⎢⎥⎢⎥----⎣⎦⎣⎦

110310101411100722011101011101010412012214001313001313------⎡⎤⎡⎤⎡⎤

⎢⎥⎢⎥⎢⎥→--→--→-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥----⎣⎦⎣⎦⎣⎦

所以 722412313B -⎡⎤

⎢⎥=-⎢⎥

⎢⎥-⎣⎦