指数函数与对数函数综合运用

6
例 1：对于 0 a 1，给出下列四个不等式：
①
loga
(1
a)
loga
(a
1 a
);
②
loga
(1
a)
loga
(1
1 a
)
；
③ a1a
1 1
a a;
④ a1a
1 1
a a;
其中成立的是（
）
A ①与③ B ①与④ C ②与③ D ②与④
变式 1：已知 a log 2 0.3,b 20.1, c 0.21.3 ，则 a,b, c 的大小关系是（ ）
lg 5 lg 8000 (lg 2 3 )2
பைடு நூலகம்
lg 600 1 lg 0.036 1 lg 0.1
（3）
2
2
变式 1：已知 lg 2 a, lg 3 b, 用 a, b 表示 log12 45
1
1
变式
log 5
2：
4
log 4
5
的结果是
。
题型 5：对数函数的图像及性质应用
主要有以下常见题型： （1）利用对数函数的性质比较大小 （例 1 及其变式）
比较大小常用的方法 ①作差（商）法；②利用函数的单调性；③特殊值法（特别是 1 和 0 为中间值） (2) 求复合函数值域及单调区间 （例 2 及其变式） 先要明确定义域，再要分析复合函数的特征，什么函数作外层，什么函数作内层，最后根据复合函数的单调 性规律进行求解。 （3）指数、对数函数的综合应用 明确指数函数与对数函数的关系，图像上有什么样的关系！这样才会方便解题！
（2）与指数函数有关的复合函数的单调性的求解步骤 ①求复合函数的定义域； ②弄清函数是由哪些基本函数复合而成的； ③分层逐一求解函数的单调性； ④求出复合函数的单调区间（注意“同增异减”）。
常见题型有： 由指数函数的图象判断底数的大小（如重难点突破当中所讲例题）；用函数的单调性求函数的值域（例 1 及其变 式）；与指数函数有关的含参数问题（例 2 及其变式）；以指数函数为 依托考察函数奇偶性（例 3 及其变式）。
②若题目以分数指数幂的形式给出，则结果用分数指数幂表示；
③结果不能同时含有根号和分数指数幂，也不能既有分母又有负指数幂。
4
1
a 3 8a 3b
2
(a 3
23
b)
a3 a2
2
2
例 1：（1）化简： 4b 3 23 ab a 3
a 5 a 3 a
；
[(3
3)
2 3
(5
4
)
0.5
2
(0.008) 3
)
3．若 loga2＜1，则实数 a 的取值范围是( )
A．(1,2)
B．(0,1)∪(2，＋∞)
C．(0,1)∪(1,2)
D．(0，12)
4．设
a＝ log 3
2
，b＝ log6
1 2
，c＝ log 5
6 ，则(
)
A．a＜c＜b
B．b＜c＜a
C．a＜b＜c
D．b＜a＜c
5．已知 a>0 且 a≠1，则函数 y＝ax 与 y＝loga(－x)的图象可能是( )
:例 1：已知函数 y （1）x-1 。 2
（1） 作出图象；
3
（2） 由图象指出其单调 区间； （3） 由图象指出当 x 取什么值时函数有最值。
变式 1：不论 a 为何正实数,函数 y ax1 2 的图象一定通过一定点,则该定点的坐标是_________
y (1)x 1
变式 2：函数
2
的图象关于直线 y=x 对称的图象大致是（
③底的对数等于 1，即 loga a 1 ④ loga b logb c logc d loga d
4.对数的运算性质 如果 a 0且a 1, M 0, N 0 ，那么
（1） loga (MN ) （3） loga M n
；
（2） loga
M N
；
；
（4） logam M n
。
课
题 指数函数与对数函数综合运用
教学目标 重点、难点 考点及考试要求
熟练掌握指数、对数函数的定义、图像、性质等基本知识，在此基础上加强对其涉及到 的问题的解答和理解。 重点：掌握指数函数、对数函数定义、图像和性质。 难点：结合函数定义域值域等知识解答综合问题。 指数函数：掌握指数的图像、定义域、值域，熟练运用各个知识的转换。 对数函数：掌握对数的图像、定义域、值域，熟练运用各个知识的转换，可以和指数综 合解题。
A． a b c B． c a b
C． a c b D． b c a
变式 2：若 x (e1，1)，a ln x，b 2 ln x，c ln3 x ，则（ ）
A． a < b < c ；B． c < a < b ；C． b < a < c ；D． b < c < a
例
2：求函数
教学内容
知识点：指数函数与对数函数
1.对数的概念
如果
,那么数 b 叫做以 a 为底 N 的对数，记作
的
，N 叫做对数的
。
即指数式与对数式的互化： ab N b loga N
，其中 a 叫做对数
2.常用对数：通常将以 10 为底的对数 log10 N 叫做常用对数，记作 lg N 。
自然对数：通常将以无理数 e 2.71828 为底的对数叫做自然对数，记作 ln N 。
变式：函数 f(x)＝ax＋loga(x＋1)在[0,1]上的最大值与最小值之和为 a，则 a 的值为( )
A.14
B.12
C. 2
D. 4
课后作业
试
题
8
批阅
1．函数 f(x)＝lg(x－1)＋ 4－x的定义域为( )
A．(1,4]
B．(1,4)
C．[1,4]
D．[1,4)
2．函数 y＝|xx|log2|x|的大致图象是(
）.
变式 3:若函数 y=2|1-x|+m 的图象与 x 轴有公共点，则 m 的取值范围是( )
A m≤-1 C m≥1
B -1≤m＜0 D 0＜m≤1
题型 3：指数函数的性质及应用
（1）与指数函数有关的复合函数的定义域、值域的求法 ①函数 y=af(x)的定义域与 y=f(x)的定义域相同； ②先确定 f(x)的值域，再根据指数函数的值域、单调性，可确定 y=af(x)的值域；
g(x)＝
e
x
ln x
x x
0 0
,
则
g[g(13)]＝________.
10．f(x)＝log21a＋ －xx的图象关于原点对称，则实数 a 的值为________．
11．函数 f(x)＝log1(3x2－ax＋5)在[－1，＋∞)上是减函数，求实数 a 的取值范围．
2
9
③
画对数函数 y
loga
x 的图像，应抓住三个关键点 (a,1), (1.0), ( 1 , 1) a
题型 1：指数幂的化简与求值
指数幂的化简与求值的原则及结果要求 （1）化简原则 ①化根式为分数指数幂；
例题讲解
2
②化负指数幂为正指数幂；
③化小数为分 数；
④注意运算的先后顺序.
（2）结果要求
①若题目以根式形式给出，则结果用根式表示；
7.同真数的对数值大小关系如图
在第一象限内，图像从左到右相应的底逐渐增大，
即0c d 1 a b
8.对数式、对数函数的理解
① 应重视指数式与对数式的互化关系，它体现了数学的转化思想，也往往是解决“指数、对数”问题的关键。
② 在理解对数函数的概念时，应抓住定义的“形式”，像 y logx 2, y log2 2x, y 3ln x 等函数均不符合形 式 y loga x(a 0且a 1) ，因此，它们都不是对数函数
（1）利用换底公式及
，尽量地转化为同底的和、差、积、商运算；
（2）利用对数的运算法则，将对数的和、差、倍数运算，转化为对数真数的积、商、幂再运算；
5
（3）约分、合并同类项，尽量求出具体值。
例 1：计算：（1） (lg 2)2 lg 2 lg 50 lg 25 ；
（2） (log3 2 log9 2) (log4 3 log8 3) ；
3.对数的性质及对数恒等式、换底公式
（1）对数恒等式：① alogaN =
(a 0且a 1, N 0) ② loga a N =
(a 0且a 1, N 0)
（2）换底公式： loga
N
logb N logb a
（3）对数的性质：①负数和零没有对数
② 1 的对数是零，即 loga 1 0
1
(0.02) 2
1
(0.32) 2 ] 0.0625 0.25
（2）计算： 8
9
3
变式 1：经化简后，
6
a9
6
3
a9
(a
0) 的结果是
。
x2 x2 2
1
1
3
3
:变式 2：已知 x 2 x 2 3 ，求 x 2 x 2 3 的值
题型 2：指数函数的图像
对于此类问题，一是要熟练掌握指数函数的图像特征（如定义域、值域、单调性、过定点）；二是要牢记函数图 像的常见变换技巧与方法。
大小关系为
。
例 2：已知函数 y 4x a 2x 1 在 x ,1上 y 0 恒成立，求 a 的取值范围。
f (x) 2x
变式：已知函数
1
2x
,若 2t
f (2t) mf (t) 0 对于 t [1,2] 恒成立，求实数 m 的取值范围。
题型 4：对数函数的化简与求值
对数的化简与求值的基本 思路：
y
log1
3
x
12
的值域及单调区间。
3
变式 1：已知 f(x)=log a(ax-1)(a>0,a≠1) (1)求 f(x)的定义域； (2)讨论函数 f(x)的单调性.
7
变式 2：已知函数 f (x) lg[(a 2 1)x2 (a 1)x 1] （1）若 f (x) 的定义域为 R ，求实数 a 的取值范围； （2）若 f (x) 的值域为 R ，求实数 a 的取值范围；
例 1：已知 2x2 x ( 1 )x2 ，求函数 y 2x 2x 的值域。 4
4
变式 1：不等式 6 x2 x2 1的解集是___________。
变式 2：若函数 f (x), g(x) 分别是 R 上的奇函数、偶函数，且满足 f (x) g(x) ex ，则 f (3) 、g(0) 、 f (2) 的
1
（5） loga b logb a
；
（6） loga
b
1 logb
a
5.对数函数
函数 y loga x(a 0且a 1) 做对数函数，其定义域为(0，+∞)，值域为(-∞，+∞).、
6.对数函数图像与性质
注：对数函数 y loga x与y log 1 x(a 0且a 1) 的图像关于 x 轴对称。 a
6．函数 y＝log2x 在[1,2]上的值域是( )
A．R
B．[0，＋∞)
C．(－∞，1]
D．[0,1]
7．函数 y＝ log1x－1的定义域是________． 2
8．若函数 f(x)＝logax(0<a<1)在区间[a,2a]上的最大值是最小值的 3 倍，则 a 的值为________．
9．已知