习题课4—导数及其计算

第四次习题课（导数与微分）

一、内容提要

1.导数定义，函数可导与函数连续的关系，

2.导数四则运算、反函数的导数、复合函数求导法则、对数求导方法，

3.导数基本公式，

4.高阶导数概念、高阶导数莱布尼茨公式，参数方程的导数。

一、客观题

1. 设)100)(99()2)(1()(----=x x x x x x f ，则).()0('=f

2.若2)(0-='x f ，则=+--→)

21ln()()2(lim 000h x f h x f h （ ）； 3.设)()()(bx a g bx a g x f --+=，其中)(x g 在),(+∞-∞有定义，且在a x =可导，则)0(f '=（ ）；

4.已知xdx x df 2cos )(= ，则)(x f =（ ）

)(A x 2cos ； )(B x 2sin 2-； )(C x 2sin ； )(D x 2sin 2

1； 5.设⎪⎩⎪⎨⎧=≠+=0

,00 ,1)(1x x e x x f x

，求)0(-'f 及)0(+'f ，又)0(f '是否存在？ 二、解答题

1.设函数设⎪⎩⎪⎨⎧>+≤+=1

,1 ,12)(2x b ax x x x f 在1=x 处可导，求b a ,的值

2.设函数)sin(ln 3x x y -=，求y '

3.设函数x x y tan = ()0>x ，求dy

4.设)(x f 是定义在R 上的函数，且对任何R x x ∈21,都有12()f x x +)()(21x f x f =，若2)0(='f ，试求)(x f '.

5.设()()

21ln 1arctan x x x x f +++=，求()x f '． 6.已知)(x ϕ可导，)](arctan[)(2x x f ϕ=，求)(x f '，)(x f ''

7.求分段函数()⎪⎩

⎪⎨⎧>-≤≤<=1,210,0,23x x x x x x x f 的导数()x f '。

8.设参数方程为()⎩

⎨⎧-=+=t t y t x arctan 1ln 2 ，求22dx y d ． 9.)

1(1x x y -=,求)(n y 10.用微分近似计算公式求05.0e 的近似值．

11. 设arctan .y x =

（1）证明它满足方程2'''(1)20;x y xy ++=（2）求()

0.n x y =

12.（1）举出一个连续函数，它仅在点12,,n a a a 处不可导；（2）举出一个函数，它仅在点12,,n a a a 处不可导.

13.设ψϕ,为可导函数，)

()(arctan x x y ψϕ=，求y '