模糊集理论及其应用 第一章汇总
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模糊集的理论及应用-1
1
1.1 经典集合的基本概念
定义
10/26/2018 9:20:19 AM
模 糊 集 的 理 论 及 应 用
集合是确定的、具有一定性质的事物的全体 集合常用大写字母表示 集合中的事物称为集合的元素，常用小写字母表示 集合的元素与集合的关系是：属于∊，或者，不属于∉ 对于给定的问题，所关心的事物的全体组成论域集合 集合的表示方法：
7
1.2 格与代数系统
偏序集的例子
10/26/2018 9:20:19 AM
模 糊 集 的 理 论 及 应 用
整数集合Z关于“≤”做成的集合（Z, ≤）； 集合A的幂集合关于“”做成的集合（P(A), ）； 正整数集合Z+关于“|”（整除）做成的集合（Z+, |）； 整数集合Z关于“mod(k)”做成的集合（Z, mod(k)”） 偏序集合可以做出相应的哈斯（hassen）图，其中要用到 覆盖的概念： ， L，说覆盖，如果<（ 且 ≠ ） 且不存在使得< < 。 若覆盖，则在，间画连线，且保证在上， 在下。 将所有的覆盖连线做出形成的图称为哈斯（hassen）图。
子集（⊆）
模 糊 集 的 理 论 及 应 用
10/26/2018 9:20:19 AM
注意特征函数表示方法：
AB ( x) A ( x) B ( x)
AB ( x) A ( x) B ( x)
相等（=） 并（∪） 交（∩） 余（-,c,’） 差（-） 对称差（）
A ( x) 1 A ( x)
c
上述公式可以推广到任意多 个集合的情况
3
1.1 经典集合的基本概念
运算律
模糊集理论及其应用_第一章
1 μA
11
1.2 模糊集合与隶属函数(1/5)
目录
由此可见，模糊集合 A 是一个抽象的概念， 其元素是不确定的， 我们只能通过隶属函数 A来认识和掌握 A ．A(u)的数值的大小反映 了论域Ｕ 中的元素 u 对于模糊集合 A 的隶属 程度， A(u)的值越接近于1 ，表示u隶属于A 的程度越高；而μＡ(u)的值越接近于０，表示u 隶属于 A 的程度越低．特别地， 若A(u) =１，则认为u完全属于A ； 若A(u) =０，则认为u完全不属于A． 因此, 经典集合可看作是特殊的模糊集合． 换言之，模糊集合是经典集合的推广。
3
模糊数学的概念 处理现实对象的数学模型 确定性数学模型:确定性或固定性,对象间有必 然联系. 随机性数学模型:对象具有或然性或随机性 模糊性数学模型:对象及其关系均具有模糊性. 随机性与模糊性的区别 随机性:指事件出现某种结果的机会. 模糊性:指存在于现实中的不分明现象. 模糊数学:研究模糊现象的定量处理方法.
5
数学建模与模糊数学相关的问题
模糊数学—研究和处理模糊性现象的数学 （概念与其对立面之间没有一条明确的分 界线） 与模糊数学相关的问题（一）
模糊分类问题—已知若干个相互之间不分明的
模糊概念，需要判断某个确定事物用哪一个模 糊概念来反映更合理准确 模糊相似选择 —按某种性质对一组事物或对 象排序是一类常见的问题，但是用来比较的性 质具有边界不分明的模糊性
模糊集理论及其 应用
1
前言：什么是模糊数学
•模糊概念
秃子悖论: 天下所有的人都是秃子
设头发根数n n=1 显然
若n=k 为秃子 n=k+1 亦为秃子
模糊概念：从属于该概念到不属于该概念之间 无明显分界线 年轻、重、热、美、厚、薄、快、慢、大、小、 高、低、长、短、贵、贱、强、弱、软、硬、 阴天、多云、暴雨、清晨、礼品。
11
1.2 模糊集合与隶属函数(1/5)
目录
由此可见，模糊集合 A 是一个抽象的概念， 其元素是不确定的， 我们只能通过隶属函数 A来认识和掌握 A ．A(u)的数值的大小反映 了论域Ｕ 中的元素 u 对于模糊集合 A 的隶属 程度， A(u)的值越接近于1 ，表示u隶属于A 的程度越高；而μＡ(u)的值越接近于０，表示u 隶属于 A 的程度越低．特别地， 若A(u) =１，则认为u完全属于A ； 若A(u) =０，则认为u完全不属于A． 因此, 经典集合可看作是特殊的模糊集合． 换言之，模糊集合是经典集合的推广。
3
模糊数学的概念 处理现实对象的数学模型 确定性数学模型:确定性或固定性,对象间有必 然联系. 随机性数学模型:对象具有或然性或随机性 模糊性数学模型:对象及其关系均具有模糊性. 随机性与模糊性的区别 随机性:指事件出现某种结果的机会. 模糊性:指存在于现实中的不分明现象. 模糊数学:研究模糊现象的定量处理方法.
5
数学建模与模糊数学相关的问题
模糊数学—研究和处理模糊性现象的数学 （概念与其对立面之间没有一条明确的分 界线） 与模糊数学相关的问题（一）
模糊分类问题—已知若干个相互之间不分明的
模糊概念，需要判断某个确定事物用哪一个模 糊概念来反映更合理准确 模糊相似选择 —按某种性质对一组事物或对 象排序是一类常见的问题，但是用来比较的性 质具有边界不分明的模糊性
模糊集理论及其 应用
1
前言：什么是模糊数学
•模糊概念
秃子悖论: 天下所有的人都是秃子
设头发根数n n=1 显然
若n=k 为秃子 n=k+1 亦为秃子
模糊概念：从属于该概念到不属于该概念之间 无明显分界线 年轻、重、热、美、厚、薄、快、慢、大、小、 高、低、长、短、贵、贱、强、弱、软、硬、 阴天、多云、暴雨、清晨、礼品。
模糊集的理论及应用1
模
糊 集
([0,1],,,c)是优软代数
的 理
其中运算定义为:
论 及
=inf{,} =sup{,}，c=1-
应
用
([0,1],,,c)不是布尔代数,因为补余律不成立。
(P(A),,,c)是布尔代数
13
1.2 格与代数系统
代数系统的相互关系
布尔代数软代数, 优软代数软代数
(F(X),,,c)是优软代数
由于 ([0,1],,, c) 是软代数，而模糊集合算律
的验证是通过隶属度来进行的，所以(F(X),,,c)
是软代数很容易验证；(F(X),,,c)的完全性、无
模 限分配律也是显然的；
糊 集
稠密性验证如下：设 A B ，则
的
理 论 及
x X , A(x) B(x),且x0 X , A(x0 ) B(x0 )
A T (A) A
,, c 模
糊
在 {0,1}X 中定义运算：
如下：
集 的 理
A B AB, A B AB, (A)c 1 A
论 及
则T是 (P( X ),,,c) 到 ({0,1}X ,,, c) 的同构映射
应
用 因此，可以把集合和与之对应的特征函数看成等同的对象。
运算及表示
子集（⊆）
相等（=）
模
糊 集
并（∪）
的 理
交（∩）
论 及
余（-,c,’）
应 用
差（-）
对称差（）
注意特征函数表示方法：
AB (x) A (x) B (x)
AB (x) A (x) B (x)
Ac (x) 1 A(x)
第一章模糊集合的一般概念
A B A Bc Ac U A
• 定义1.4 记 AB (A B) (B A)
{u | u A与u B二者有且仅有一成立} 称A与B的对称差。
A- B
AΘB
• 映射：记号f ：U→V u |→ f (u)
表示f从U到V的一个映射。 U： f 的定义域，记
f (U ) {v | u U ,使v f (u)}
~ ~ Zadeh给出年轻 Y 和年老 O 两个模糊集的
隶属函数
O~
(u
)
0 [1
(u
50 5
)
2
]1
当0 u 50 当50 u 200
Y~ (u)
1 [1
(u
25) 5
2
]1
当0 u 25 当0 u 200
三、定义1.6 集合的运算（并、交、补）
C A B A B (u) max(A(u), B (u)) C A B A B (u) min(A(u), B(u)) C Ac Ac (u) 1 A(u)
Ac (u) 1 A (u)
§3 模糊子集的定义及运算
• 定义1.5 ：所谓给定了论域U上的一个模糊
子集~A ，是指对任意 u U ,都指定了一个
~ 数 映射 ~A
(u)
~A
[0,1] ，叫做u
~A :U
对A
[0,1]
的隶属程度。
u ~A(u)
叫做~A 的隶属函数。
• 模 的 函糊值 数子域。~A集={蜕完0，变全1成由}时一其。个隶普属~A 变通函成子数普集所通。刻集画合。的当特征~A
例：设U={1，2，3，4，5，6，7，8，9，
10}， 则：
表~A示“接近5的整数”的模糊子集，
• 定义1.4 记 AB (A B) (B A)
{u | u A与u B二者有且仅有一成立} 称A与B的对称差。
A- B
AΘB
• 映射：记号f ：U→V u |→ f (u)
表示f从U到V的一个映射。 U： f 的定义域，记
f (U ) {v | u U ,使v f (u)}
~ ~ Zadeh给出年轻 Y 和年老 O 两个模糊集的
隶属函数
O~
(u
)
0 [1
(u
50 5
)
2
]1
当0 u 50 当50 u 200
Y~ (u)
1 [1
(u
25) 5
2
]1
当0 u 25 当0 u 200
三、定义1.6 集合的运算（并、交、补）
C A B A B (u) max(A(u), B (u)) C A B A B (u) min(A(u), B(u)) C Ac Ac (u) 1 A(u)
Ac (u) 1 A (u)
§3 模糊子集的定义及运算
• 定义1.5 ：所谓给定了论域U上的一个模糊
子集~A ，是指对任意 u U ,都指定了一个
~ 数 映射 ~A
(u)
~A
[0,1] ，叫做u
~A :U
对A
[0,1]
的隶属程度。
u ~A(u)
叫做~A 的隶属函数。
• 模 的 函糊值 数子域。~A集={蜕完0，变全1成由}时一其。个隶普属~A 变通函成子数普集所通。刻集画合。的当特征~A
例：设U={1，2，3，4，5，6，7，8，9，
10}， 则：
表~A示“接近5的整数”的模糊子集，
模糊理论及应用(1)
27
模糊集合论(Fuzzy 模糊集合论(Fuzzy set)
Fuzzy set
经典集合理论 传统集合理论，通常是以二值化0 表示， 传统集合理论，通常是以二值化0或1表示， 所谓「 不是」两种的决择方式。 所谓「是」与「不是」两种的决择方式。 是一种明确的集合论 例如: 例如:男生和女生的性别 例如:明确集合{1,2,3,4,5}, 定义是1~5 1~5的 例如:明确集合{1,2,3,4,5}, 定义是1~5的 五个正整数，请问集合中有没有3 五个正整数，请问集合中有没有3，答案 是有;而集合中有没有6 答案是没有。 是有;而集合中有没有6，答案是没有。可 以很明确的分辨「 还是「 以很明确的分辨「有」还是「无」。
10
９．对偶律（对偶律也称德摩根定律） 对偶律（对偶律也称德摩根定律）
11
集合的直积（笛卡尔积） 集合的直积（笛卡尔积）
１．序偶：是由两个具有固定的客体组成，序偶中 元素的顺序是不允许改变的。 〈x,y> 三元组序偶〈〈x,y>,z>简写为〈x,y,z> 2. 笛卡尔积:任意给定两个集合Ａ和Ｂ，如果序偶 的第一个元素取自集合Ａ，而第二个元素取自集 合Ｂ，则所有这样的序偶组成的集合被定义为集 合Ａ和Ｂ的直积或笛卡尔积或叉积，记为： Ａ×Ｂ＝｛〈x,y>｜（x∈A）且(y∈B)｝
t∈ T
t∈T
{µ {µ
} ( x )}
(x)
其中， 表示上确界， 是 表示下确界， 其中，SUP是superior表示上确界，inf是inferior表示下确界，在有限的 是 表示上确界 表示下确界 情形下， 有时上、下确界分别用内插符∨ 情形下， SUP=max,inf=min, 有时上、下确界分别用内插符∨、∧来 表示， 有时还可以简化为： 表示，即∨=sup, ∧=inf,有时还可以简化为：∨=+， ∧=· 有时还可以简化为 ，
模糊集合论(Fuzzy 模糊集合论(Fuzzy set)
Fuzzy set
经典集合理论 传统集合理论，通常是以二值化0 表示， 传统集合理论，通常是以二值化0或1表示， 所谓「 不是」两种的决择方式。 所谓「是」与「不是」两种的决择方式。 是一种明确的集合论 例如: 例如:男生和女生的性别 例如:明确集合{1,2,3,4,5}, 定义是1~5 1~5的 例如:明确集合{1,2,3,4,5}, 定义是1~5的 五个正整数，请问集合中有没有3 五个正整数，请问集合中有没有3，答案 是有;而集合中有没有6 答案是没有。 是有;而集合中有没有6，答案是没有。可 以很明确的分辨「 还是「 以很明确的分辨「有」还是「无」。
10
９．对偶律（对偶律也称德摩根定律） 对偶律（对偶律也称德摩根定律）
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集合的直积（笛卡尔积） 集合的直积（笛卡尔积）
１．序偶：是由两个具有固定的客体组成，序偶中 元素的顺序是不允许改变的。 〈x,y> 三元组序偶〈〈x,y>,z>简写为〈x,y,z> 2. 笛卡尔积:任意给定两个集合Ａ和Ｂ，如果序偶 的第一个元素取自集合Ａ，而第二个元素取自集 合Ｂ，则所有这样的序偶组成的集合被定义为集 合Ａ和Ｂ的直积或笛卡尔积或叉积，记为： Ａ×Ｂ＝｛〈x,y>｜（x∈A）且(y∈B)｝
t∈ T
t∈T
{µ {µ
} ( x )}
(x)
其中， 表示上确界， 是 表示下确界， 其中，SUP是superior表示上确界，inf是inferior表示下确界，在有限的 是 表示上确界 表示下确界 情形下， 有时上、下确界分别用内插符∨ 情形下， SUP=max,inf=min, 有时上、下确界分别用内插符∨、∧来 表示， 有时还可以简化为： 表示，即∨=sup, ∧=inf,有时还可以简化为：∨=+， ∧=· 有时还可以简化为 ，
第一章++模糊集合及其运算
于是，一个自然的想法是：用一个“集 合”A 来描述一个模糊概念 A，将这个“集 合”A 与一个映射一一对应；对于 ∀x∈U，通 过相应的映射值来刻画 x 是否属于集合(概念)A， 或者 x 在“属于”或“不属于”之间的过渡状 态。
秃头悖论：任何人都是秃头。 例3 秃头悖论：任何人都是秃头。 公设：若具有n根头发的人是秃头 根头发的人是秃头， 公设：若具有 根头发的人是秃头， 则有n+1根头发的人亦是秃头。 根头发的人亦是秃头。 则有 根头发的人亦是秃头 由数学归纳法: 证 由数学归纳法: (1)仅有一根头发的人自然是秃头。 (1)仅有一根头发的人自然是秃头。 仅有一根头发的人自然是秃头 (2)假设有 根头发的人是秃头。 假设有n根头发的人是秃头 (2)假设有 根头发的人是秃头。 (3)由公设便知有 由公设便知有n+1根头发的人也是秃头。 根头发的人也是秃头。 (3)由公设便知有 根头发的人也是秃头 由数学归纳法知任何人都是秃头。 由数学归纳法知任何人都是秃头。 悖论出现的原因： 悖论出现的原因： 数学归纳法是以普通集合论为基础的数学方法， 数学归纳法是以普通集合论为基础的数学方法，而“秃头 是个模糊概念， 是个模糊概念，用一个精确的数学方法来处理这样的模 糊概念是不合适的。 糊概念是不合适的。
0 A(u ) = u -50 −2 −1 [1 + ( 5 ) ] 1 B (u ) = u -25 2 −1 [1 + ( ) ] 5 0 ≤ u ≤ 50 50 < u ≤ 100
0 ≤ u ≤ 25 25 < u ≤ 100
年轻” 年老” 图1.1“年轻”、“年老”隶属度曲线 年轻
1, u ∈ A χ A (u ) = 0, u ∉ A
模糊集理论及应用讲解
这就是说 模糊子集实际是普通子集的推广 普通子集就是模糊子集的特例。
模糊集合与隶属函数
例 设有论域：U={ 1,2,3,4,5 }，用模糊集表示出模糊概念“大数”。
解：设A表示“大数”的模糊集，μA为其隶属函数。 则有：
A={ 0, 0.1, 0.5, 0.8, 1 } 其中： μA(1)=0，μA(2)=0.1，μA(3)=0.5，μA(4)=0.8， μA(5)=1
经典集合与特征函数
3、特征函数
设A是论域U上的一个集合，对任何u∈U，令
1 当u∈A
CA(u)=
0 当u?A
则称CA(u)为集合A的特征函数。 显然有：
A={ u | CA(u)=1 }
经典集合与特征函数
例 设有论域：U={ 1,2,3,4,5,6 }，A={ 1,3,5 }，求其特征函数。
解：特征函数如下： 1 当u=1,3,5
2、模糊集
设A={ μA (u) | u∈U } ，则称A为论域U上的一个模糊集。 3、隶属度
μA (u)称为u对模糊集A的隶属度。
模糊集合与隶属函数
模糊集合完全由其隶属函数确定，即一个模糊集合与其隶属函数是等 价的。
可以看出 对于模糊集Ａ，当Ｕ中的元素u的隶属度全为0时，则Ａ就是个空 集； 当全为1时，Ａ就是全集Ｕ； 当仅取0和1时，Ａ就是普通子集。
模糊集合与隶属函数
例 设有论域：U={ 张三，李四，王五 } 确定一个模糊集A，以表示他们分别对“学习好”的隶属程度。
解：假设他们的平均成绩分别为： 98分，72分，86分，设映射为平 均成绩除以100。则有隶属度：
μA(张三)=0.98，μA(李四)=0.72，μA(王五)=0.86 模糊集A={ 0.98, 0.72, 0.86 }
模糊集合与隶属函数
例 设有论域：U={ 1,2,3,4,5 }，用模糊集表示出模糊概念“大数”。
解：设A表示“大数”的模糊集，μA为其隶属函数。 则有：
A={ 0, 0.1, 0.5, 0.8, 1 } 其中： μA(1)=0，μA(2)=0.1，μA(3)=0.5，μA(4)=0.8， μA(5)=1
经典集合与特征函数
3、特征函数
设A是论域U上的一个集合，对任何u∈U，令
1 当u∈A
CA(u)=
0 当u?A
则称CA(u)为集合A的特征函数。 显然有：
A={ u | CA(u)=1 }
经典集合与特征函数
例 设有论域：U={ 1,2,3,4,5,6 }，A={ 1,3,5 }，求其特征函数。
解：特征函数如下： 1 当u=1,3,5
2、模糊集
设A={ μA (u) | u∈U } ，则称A为论域U上的一个模糊集。 3、隶属度
μA (u)称为u对模糊集A的隶属度。
模糊集合与隶属函数
模糊集合完全由其隶属函数确定，即一个模糊集合与其隶属函数是等 价的。
可以看出 对于模糊集Ａ，当Ｕ中的元素u的隶属度全为0时，则Ａ就是个空 集； 当全为1时，Ａ就是全集Ｕ； 当仅取0和1时，Ａ就是普通子集。
模糊集合与隶属函数
例 设有论域：U={ 张三，李四，王五 } 确定一个模糊集A，以表示他们分别对“学习好”的隶属程度。
解：假设他们的平均成绩分别为： 98分，72分，86分，设映射为平 均成绩除以100。则有隶属度：
μA(张三)=0.98，μA(李四)=0.72，μA(王五)=0.86 模糊集A={ 0.98, 0.72, 0.86 }
模糊数学基本理论及应用
Y 到 Z 的关系 R2 = (bkj)s×n， 则X 到Z 的关系可表示为矩阵的合成： R1 ° R2 = (cij)m×n， 其中cij = ∨{(aik∧bkj) | 1≤k≤s}. 定义：若R为 n 阶方阵，定义 R 2 = R ° R，R 3 = R 2 ° R …
例 设 X ={1, 2, 3, 4}, Y ={ 2, 3, 4}, Z = {1, 2, 3}, R1 是 X 到 Y 的关系, R2 是Y 到 Z 的关系, R1 ={(x, y) | x + y = 6} = {(2,4), (3,3), (4,2)}, R2 ={(x, y) | y – z = 1} = {(2,1), (3,2), (4,3)}, 则R1与 R2的合成
ห้องสมุดไป่ตู้
关系的三大特性： 设R为 X 上的关系 (1) 自反性：若 X 上的任何元素都与自己有 关系R，即R (x , x) =1，则称关系 R 具有自反性； (2) 对称性：对于X 上的任意两个元素 x , y， 若 x 与y 有关系R 时，则 y 与 x 也有关系R，即 若R (x , y ) =1，则R ( y , x ) = 1，那么称关系R具 有对称性； (3) 传递性：对于X上的任意三个元素x, y, z， 若x 与y 有关系R，y 与z 也有关系R 时，则x与z 也有关系R，即若R (x , y ) = 1，R ( y , z ) =1，则 R ( x , z ) = 1，那么称关系R具有传递性.
第1章 模糊集的基本概念
模糊数学是研究和处理模糊性现象的数学方 法. 众所周知，经典数学是以精确性为特征的.
然而，与精确形相悖的模糊性并不完全是消极的、 没有价值的. 甚至可以这样说，有时模糊性比精确性还 要好. 例如,要你某时到某地去迎接一个“大胡子高个子 长头发戴宽边黑色眼镜的中年男人”. 尽管这里只提供了一个精确信息――男人，而其他 信息――大胡子、高个子、长头发、宽边黑色眼镜、中 年等都是模糊概念，但是你只要将这些模糊概念经过头 脑的综合分析判断，就可以接到这个人. 模糊数学在实际中的应用几乎涉及到国民经济的各 个领域及部门，农业、林业、气象、环境、地质勘探、 医学、经济管理等方面都有模糊数学的广泛而又成功的 应用.
例 设 X ={1, 2, 3, 4}, Y ={ 2, 3, 4}, Z = {1, 2, 3}, R1 是 X 到 Y 的关系, R2 是Y 到 Z 的关系, R1 ={(x, y) | x + y = 6} = {(2,4), (3,3), (4,2)}, R2 ={(x, y) | y – z = 1} = {(2,1), (3,2), (4,3)}, 则R1与 R2的合成
ห้องสมุดไป่ตู้
关系的三大特性： 设R为 X 上的关系 (1) 自反性：若 X 上的任何元素都与自己有 关系R，即R (x , x) =1，则称关系 R 具有自反性； (2) 对称性：对于X 上的任意两个元素 x , y， 若 x 与y 有关系R 时，则 y 与 x 也有关系R，即 若R (x , y ) =1，则R ( y , x ) = 1，那么称关系R具 有对称性； (3) 传递性：对于X上的任意三个元素x, y, z， 若x 与y 有关系R，y 与z 也有关系R 时，则x与z 也有关系R，即若R (x , y ) = 1，R ( y , z ) =1，则 R ( x , z ) = 1，那么称关系R具有传递性.
第1章 模糊集的基本概念
模糊数学是研究和处理模糊性现象的数学方 法. 众所周知，经典数学是以精确性为特征的.
然而，与精确形相悖的模糊性并不完全是消极的、 没有价值的. 甚至可以这样说，有时模糊性比精确性还 要好. 例如,要你某时到某地去迎接一个“大胡子高个子 长头发戴宽边黑色眼镜的中年男人”. 尽管这里只提供了一个精确信息――男人，而其他 信息――大胡子、高个子、长头发、宽边黑色眼镜、中 年等都是模糊概念，但是你只要将这些模糊概念经过头 脑的综合分析判断，就可以接到这个人. 模糊数学在实际中的应用几乎涉及到国民经济的各 个领域及部门，农业、林业、气象、环境、地质勘探、 医学、经济管理等方面都有模糊数学的广泛而又成功的 应用.
第一章模糊集的基本概念
6.集合的运算规律
幂等律： A∪A = A， A∩A = A； 交换律： A∪B = B∪A， A∩B = B∩A； 结合律：( A∪B )∪C = A∪( B∪C )， ( A∩B )∩C = A∩( B∩C )； 吸收律： A∪( A∩B ) = A，A∩( A∪B ) = A； 分配律：( A∪B )∩C = ( A∩C )∪( B∩C )； ( A∩B )∪C = ( A∪C )∩( B∪C )； 0-1律：A∪U = U ， A∩U = A ； A∪ = A ， A∩ = ； 还原律： (Ac)c = A ； 对偶律： (A∪B)c = Ac∩Bc，(A∩B)c = Ac∪Bc； 排中律： A∪Ac = U， A∩Ac = .
§1.2 模糊理论的数学基础
一 经典集合
1.经典集合具有两条基本属性：
元素彼此相异，即无重复性；范围边界分明, 即一个元素x要么属于集合A(记作xA),要么不属 于集合(记作xA)，二者必居其一. 2.集合的表示法 (1)枚举法，A={x1 , x2 ,…, xn}； (2)描述法，A={x | P(x)}.
记R=(rij)n×n, R2 =(rij(2))n×n.
先设R具有传递性.
若rij(2) =0，则有rij(2) ≤ rij .
若rij(2) =1，则由于
rij(2) = ∨{(rik∧rkj) | 1≤k≤n} = 1，
故存在1≤s≤n，使得
(ris∧rsj) = 1，
即ris= 1, rsj= 1.
由于R具有传递性，ris= 1, rsj= 1， 则rij =1. 综上所述 R2≤R. 再设R2≤R，则对任意的 i , j , k，若有 rij =1， rjk = 1，
2.关系的三大特性 定义9 设R为 X 上的关系 (1) 自反性：若 X 上的任何元素都与自己有关 系R，即R (x , x) =1，则称关系 R 具有自反性； (2) 对称性：对于X 上的任意两个元素 x , y， 若 x 与y 有关系R 时，则 y 与 x 也有关系R，即 若R (x , y ) =1，则R ( y , x ) = 1，那么称关系R具 有对称性； (3) 传递性：对于X上的任意三个元素x, y, z， 若x 与y 有关系R，y 与z 也有关系R 时，则x与z 也 有关系R，即若R (x , y ) = 1，R ( y , z ) =1，则R ( x , z ) = 1，那么称关系R具有传递性.
模糊数学 第一章
1.5 模糊模式识别理论模型
一、指标特征值与指标标准特征值 个样本集合X对模糊概念 设n个样本集合 对模糊概念 A 作识别 个样本集合
~
相对隶属度基础理论
r11 r12 K r1n r21 r22 K r2n R= =（ （ M M M r m1 rm2 K rmn
rij ）
相对隶属度基础理论
式中， 为决策j目标 目标i对 的相对隶属度，简称目标相对优属度。 式中， 为决策 目标 对“优”的相对隶属度，简称目标相对优属度。 rij 由于“ 由于“优”，“劣”分别处于参考连续统的两极，则应有： 分别处于参考连续统的两极，则应有： 目标相对劣属度向量： 目标相对劣属度向量： b=（0，0，……，0)T （ ， ， ， 目标相对优属度向量： 目标相对优属度向量： g=(1，1，……，1)T ， ， ，
绪
②层次计算为线性模型，不能反映非线性本质。 结构性决策方面：运筹学
论
遇到自然、社会经济、生态环境等软系统特征时，只能作简化处 理，不能反映定性现象的本质。 研究含有人的因素，特别是决策者因素兼有自然、社会经济、生 态环境的复杂系统优化时，要发展与创立新的模糊识别决策理论、模 型与方法。
相对隶属度基础理论 第一章 相对隶属度基础理论 1.1 概述
一、模糊优选 优与劣存在共维与差异，且处于两个极点，具有中介过渡性， 优与劣存在共维与差异，且处于两个极点，具有中介过渡性，即 是优选的模糊性，故称模糊优选。 是优选的模糊性，故称模糊优选。 特点：优选是针对一定的标准而言，故优选具有相对性。 特点：优选是针对一定的标准而言，故优选具有相对性。 二、优选模型 1、相对优属度矩阵 、 设某复杂系统有几个决策，每个决策有 个目标特征值评价其优 设某复杂系统有几个决策，每个决策有m个目标特征值评价其优 劣，则有目标特征值矩阵： 则有目标特征值矩阵：
第1章模糊集合
第一章模糊集合“模糊”是一种界限不清但又能理解的概念，“模糊”一词用英语表示是Fuzzy，有“模糊”、不分明的意思。
随着科学技术的发展，很多与数学关系不大的学科，都迫切需要定量化和数学化，而现代数学并不都能满足这方面的需要，这就对现代数学提出了挑战，科学技术的发展迫切需要新的数学理论来适应需要。
六十年代，美国著名的控制论专家L.Zadeh教授，为了这方面的需要，重新研究了传统数学的基础—集合论，他发现“集合”这个概念是舍去了大量现实生活中的模糊性而抽象出来的，而舍弃的东西正是现代科学和实际生活中迫切需要解决的问题。
因此，Zadeh于1965年发表了第一篇关于模糊数学的论文《Fuzzy Sets》（模糊集合），提出了处理模糊事物的新概念—模糊子集，并引进“隶属函数”概念，用于描述模糊与不模糊的过渡。
成功地用数学方法描述模糊概念，为数学的发展和应用开辟了一条崭新的道路。
但是，模糊数学并未抛弃其严谨性，而是在模糊数学新理论的基础上，用定量数学方法去研究具有模糊性的现象。
由于Zadeh本人是从事计算机工作，因为工作性质需要，使他经常考虑诸如“人脑思维”、“控制系统”等问题，根据他提出的理论，使得计算机能够利用模糊数学理论去控制大量的模糊现象，经过近30年的发展，利用计算机去进行模糊控制已经成为现实，又如美国著名的工程数学软件Matlab就包含了模糊控制软件部分，受到Zadeh 教授高度赞扬，浙江大学唐启义教授把模糊数学中常用的一些计算方法编制在他设计的软件（DPS2000数据处理系统）之中，这就避免人工繁杂计算，人们只需要把原始数据整理后，输入到计算机中，让计算机去进行计算即可得出结果。
本教材中主要的模糊数学问题可以由DPS2000来完成计算。
第一节普通集合本章主要介绍模糊集合的基础知识，由于现代数学中的集合论也是模糊数学的必备知识，所以我们还是首先介绍普通集合的知识。
一、集合及其表示方法研究集合的性质及其运算规律的一个数学分支称为集合论（set theory）。
第一章 模糊集基本概念
包含：A ⊂ B ⇔ A( x ) ≤ B ( x ), ∀ x ∈ U
并： (AU B)(x) = A(x) ∨ B(x),∀x∈U ∨表示取大；
交： ( A I B)( x) = A( x) ∧ B( x),∀x ∈ U ∧ 表示取小。 余： Ac ( x) = 1 − A( x),∀x ∈ U
2.随机现象：如掷骰子，观看那一面向上，这种现象 的规律性靠概率统计去刻画;
3.模糊现象：如 “今天天气很热”，“小伙子很 帅”，…等等。
随机性与模糊性的区别：随机性:指事件出现某种结果的机会. 模糊性:指 存在于现实中的不分明现象. 模糊现象引发了模糊概念
•模糊概念举例
秃子悖论: 天下所有的人都是秃子
则Ac=“商品质量不好”, Bc=“商品质量不坏”.
Ac= (0.2, 0.45, 1, 0.7, 0). Bc= (0.9, 0.79, 0.14, 0.4, 1).
可见Ac ≠B, Bc ≠A. 又 A∪Ac = (0.8, 0.55, 1, 0.7, 1) ≠U,
A∩Ac = (0.2, 0.45, 0, 0.3, 0) ≠φ .
χ A : U → {0,1} u a χ A(u),
其中
χ A(u)
=
⎧1, ⎩⎨0,
u∈ A u∉ A
非此即彼
函数 χ A称为集合A的特征函数。
二、模糊集合的定义
亦此亦彼
模糊集合 A , 元素 x ~
A
U
若 x 位于 A 的内部， 则用1来记录， 若 x 位于 A 的外部， 则用0来记录， 若 x 一部分位于 A 的内部，一部分位于 A 的外部， 则用 x 位于 A 内部的长度来表示 x 对于 A 的隶属程度。
并： (AU B)(x) = A(x) ∨ B(x),∀x∈U ∨表示取大；
交： ( A I B)( x) = A( x) ∧ B( x),∀x ∈ U ∧ 表示取小。 余： Ac ( x) = 1 − A( x),∀x ∈ U
2.随机现象：如掷骰子，观看那一面向上，这种现象 的规律性靠概率统计去刻画;
3.模糊现象：如 “今天天气很热”，“小伙子很 帅”，…等等。
随机性与模糊性的区别：随机性:指事件出现某种结果的机会. 模糊性:指 存在于现实中的不分明现象. 模糊现象引发了模糊概念
•模糊概念举例
秃子悖论: 天下所有的人都是秃子
则Ac=“商品质量不好”, Bc=“商品质量不坏”.
Ac= (0.2, 0.45, 1, 0.7, 0). Bc= (0.9, 0.79, 0.14, 0.4, 1).
可见Ac ≠B, Bc ≠A. 又 A∪Ac = (0.8, 0.55, 1, 0.7, 1) ≠U,
A∩Ac = (0.2, 0.45, 0, 0.3, 0) ≠φ .
χ A : U → {0,1} u a χ A(u),
其中
χ A(u)
=
⎧1, ⎩⎨0,
u∈ A u∉ A
非此即彼
函数 χ A称为集合A的特征函数。
二、模糊集合的定义
亦此亦彼
模糊集合 A , 元素 x ~
A
U
若 x 位于 A 的内部， 则用1来记录， 若 x 位于 A 的外部， 则用0来记录， 若 x 一部分位于 A 的内部，一部分位于 A 的外部， 则用 x 位于 A 内部的长度来表示 x 对于 A 的隶属程度。
模糊集引论1
0.5 25 30 60
注记： 注记： • 普通集合是模糊集的特例，特征函数即为隶属函数 • 空集 φ 的隶属函数为 φ ( x) ≡ 0 • 全集 X 的隶属函数为 X ( x) ≡ 1 • 模糊集的定义与上下文有关 • 表示法 (i) 论域无限时由隶属函数表出; (ii) 论域有限时表出方法如下：
离散的模糊集表示法
假设给定有限论域 U = {a1 , a2 ,L , an } ，它的模糊子集 A 可以用查德给出的表示法：
%
A= %
µ A ( a1 )
%
a1
+
µ A ( a2 )
%
a2
+L +
µ A ( ai )
%
ai
%
+L +
µ A ( an )
%
an
%
其 中 ai ∈ U （ i = 1, 2,L , n ） 为 论 域 里 的 元 素 ，
连续的模糊集的表示法
当 U 时有限连续域时，Zadeh 给出如下记法
A=∫
~ U
µ A (u )
~
u
同样，
µ A (u )
~
u
并不表示“分数”而表示论域上的元素 u 与隶属度 µ A (u ) 之
~
间的对应关系； ∫ ”既不表示“积分” “ ，也不表示“求和”记号，而是表 示论域 U 上的元素 u 与隶属度 µ A (u ) 对应关系的一个总括。
Ac ( x) = 1 − A( x) A的余定义为： Ac 表示非A
模糊集合运算
(a) 模糊集合 A 与 B ; (b) 模糊集合 A 的补集; (c) 模糊集合 A 与 B 的交集; (d) 模糊集合 A 与 B 的并集
模糊集合及其运算.docx
模糊集合及其运算.docx第 1 章模糊集合及其运算（教材第2章）1.1模糊集合创立背景1.不兼容原理：一个系统的复杂性增大时，我们使它精确化的能力将减小，在达到一定阀值时复杂性与精确性相排斥，即高复杂性与高精度不兼容。
精确性0复杂性图不兼容原理示意图大系统F 逻辑二值逻辑[0 ， 1]{0 ， 1}人脑电脑图人脑、电脑与大系统2.Zadeh 研究大系统遇到的问题他经常徘徊于人脑思维－大系统－计算机三者之间，人脑对复杂大系统中许多模糊概念与模糊信息不是用是、非二值逻辑，而是用模糊逻辑。
线性的计算机是以二值逻辑 {0,1} 为基础，不能处理模糊信息，怎么办为使大脑能像人脑那样处理模糊信息，必须将{0,1} 扩展到[0, 1]闭区间，于是他在 1965 年发表了开创性论文“ Fuzzy sets ”。
举例解释模糊性与随机性两个概念的差异。
1.2经典集合及其运算1.复习经典集合理论定义：基于某种属性的、确定的、彼此可区别的事物全体。
论域：研究对象的全体称为论域（全域、全集、空间、话题）元素与集合之间的关系：属于与不属于集合之间关系：包含与相等集合的基本运算：并、交、补运算集合的三种基本形式如下：定义式： A U B @{x | x A 或 x B } （只用符合字母）描述式：（只用文字）由属于一个集合或另一个集合的元素构成的集合称为这两个集合的并文氏图：（只用图）集合的直积（叉积，笛卡尔积）：两个集合 A,B 的直积：A B {(x, y ) | x A 且 y B }注意几点：(1)序偶不能颠倒顺序（x, y）≠ (y, x),因此A×B≠ B× A；(2)直积可推广到 n 个集合；(3)当R为实数集，即R={x|- <="" <x<y<="" }，r×="">2称R× R=R为二维欧氏空间。
模糊集理论及应用讲解
这就是说 模糊子集实际是普通子集的推广 普通子集就是模糊子集的特例。
模糊集合与隶属函数
例 设有论域：U={ 1,2,3,4,5 }，用模糊集表示出模糊概念“大数”。
解：设A表示“大数”的模糊集，μA为其隶属函数。 则有：
A={ 0, 0.1, 0.5, 0.8, 1 } 其中： μA(1)=0，μA(2)=0.1，μA(3)=0.5，μA(4)=0.8， μA(5)=1
?0.4 0.5 0.1?
例
R1 ? ??0.2 0.6 0.2??
??0.5 0.3 0.2??
?0.2 0.8? R2 ? ??0.4 0.6??
??0.6 0.4??
?0.4 0.5? R ? R1 ?R2 ? ??0.4 0.6??
UR V R的论域为U×V。 特别地，当U=V时，R称为U上的二元模糊关系；若R的论域为n个集合
的直积U1×U2×…×Un，则称R为n元模糊关系。
模糊关系
模糊关系的表示 R= ∫ μR(u, v) / (u, v)
U ×V
例 X={ x1，x2，x3 }表示父辈的3个人x1，x2，x3 的集合，而Y={ y1， y2，y3，y4 }为他们子辈的集合，“相像关系”R∈ δ （ U×V ）是 一模糊关系，则
模糊集理论及应用
1
目录
1 模糊集的基本概念 2 模糊集的基本定理 3 模糊关系与模糊矩阵 4 模糊聚类 5 模糊推理及应用
基本概念——经典集合与特征函数
1、 经典集合
现代数学中一些不同对象的全体称为集合，区别于模糊集合 其最基本的属性是： ? 集合中元素的互异性，即元素彼此相异，范围边界分明 ? 集合中元素的确定性，一个元素x与集合A的关系是，要么x∈ A，要么x? A，二者必居其一 2、 论域 处理某一问题时对有关议题的限制范围称为该问题的论域。
模糊集合与隶属函数
例 设有论域：U={ 1,2,3,4,5 }，用模糊集表示出模糊概念“大数”。
解：设A表示“大数”的模糊集，μA为其隶属函数。 则有：
A={ 0, 0.1, 0.5, 0.8, 1 } 其中： μA(1)=0，μA(2)=0.1，μA(3)=0.5，μA(4)=0.8， μA(5)=1
?0.4 0.5 0.1?
例
R1 ? ??0.2 0.6 0.2??
??0.5 0.3 0.2??
?0.2 0.8? R2 ? ??0.4 0.6??
??0.6 0.4??
?0.4 0.5? R ? R1 ?R2 ? ??0.4 0.6??
UR V R的论域为U×V。 特别地，当U=V时，R称为U上的二元模糊关系；若R的论域为n个集合
的直积U1×U2×…×Un，则称R为n元模糊关系。
模糊关系
模糊关系的表示 R= ∫ μR(u, v) / (u, v)
U ×V
例 X={ x1，x2，x3 }表示父辈的3个人x1，x2，x3 的集合，而Y={ y1， y2，y3，y4 }为他们子辈的集合，“相像关系”R∈ δ （ U×V ）是 一模糊关系，则
模糊集理论及应用
1
目录
1 模糊集的基本概念 2 模糊集的基本定理 3 模糊关系与模糊矩阵 4 模糊聚类 5 模糊推理及应用
基本概念——经典集合与特征函数
1、 经典集合
现代数学中一些不同对象的全体称为集合，区别于模糊集合 其最基本的属性是： ? 集合中元素的互异性，即元素彼此相异，范围边界分明 ? 集合中元素的确定性，一个元素x与集合A的关系是，要么x∈ A，要么x? A，二者必居其一 2、 论域 处理某一问题时对有关议题的限制范围称为该问题的论域。
第一章 模糊集
1.模糊集：设U 是论域，所谓U 上的“模糊集Fuzzy ”A ,是指对任意U x ∈，x 常以某个程度[])1,0(∈u u 属于A ,而非A x ∈或A x ∉。
（即对U A ⊂，若A 的边界也不清楚，则称A 为U 上的模糊集合）2.模糊集的隶属函数⑴论域：将所讨论的对象限制在一定范围内，并称所讨论对象的全体为论域。
记为X ，Y ，U 等。
集合（子集合） 若对U x A x ∈→∈∀，则称A 是X 的子集，记为U A ⊂。
⑵特征函数称下述映射 {}1,0→X 确定的函数()X A μ为X 上集合A 的特征函数： ()X x A μ→1 ，A x ∈()X A μ=0，A x ∉⑶隶属函数设U 是论域，μ：[]1,0→U ，称μ是U 上的隶属函数，记U 上的隶属函数全体为)(U SH ,又记U 上的模糊集的全体为)(U F ，令)(U SH 与)(U F 一一对应。
于是，对任意()U SH ∈μ，有唯一U 上的模糊集)(~U F A ∈与之对应。
记此μ为~A μ，称~A μ为~A 的隶属函数，对任意U x ∈，称)(~x A μ为x 对~A 的隶属度。
注：因为{}[]1,01,0⊂，所以经典集A 的特征函数A μ也是隶属函数，经典集是模糊集的特例。
⑶定义1.所谓给定了论域U 上的一个模糊子集~A ,是指对于任何X x ∈，都给定了一个数[]1,0)(~∈x A μ，称做x 对~A 的隶属度，[]1,0:~→U A μ称作~A 的隶属函数，记为))((~~⎰=uA x x A μ，当U 为有限集{}n x x ,1时，~A 也可记为nn A A x x x x A )()(~~11~μμ++=，如果)(~x A μ的最大值等于1，则称~A 为正则模糊数集。
（4）隶属函数的确定专家评定法（德尔菲方法）：对任何U x ∈，由专家打分，指定)(~x A μ；1） 模糊统计方法：根据所提出的模糊概念进行统计试验，从而确定隶属函数的方法。
模糊数学第一章小结
第一章 模糊集合及其运算小结
1 模糊集合与隶属函数 2 模糊集合的运算 3模糊集合的分解定理与表现定理 模糊集合的分解定理与表现定理 4 模糊性的度量
1
1.模糊集合与隶属函数
为论域， 设Ｕ 为论域，则称由如下实值函数 µA ：Ｕ → [ 0，1 ]， ， ， u → µA ( u ) 上的模糊集合 而称µ 模糊集合， 所确定的集合 A 为Ｕ 上的模糊集合，而称 A 为 模糊集合A 的隶属函数，µA ( u )称为元素 u 对于 模糊集合 隶属函数， 称为元素 A 的隶属度。 隶属度。
14
(2) 设 U ={u1 , u2 , … , un}, A∈F(U) , 则 ∈
Dp ( A) = 2 n
1 p
(∑ A(ui ) − A0.5 (ui )
i =1
n
1 p p
)
是一个模糊度. 是一个模糊度
15
模糊度。 通常称 Dp (A) 为A的Minkowski模糊度。 的 模糊度 特别地， 特别地，当p=1时，称 时 2 n D1 ( A) = (∑ A( xi ) − A0.5 ( xi ) ) n i =1 模糊度， 为A的Hamming模糊度，或称为 的 模糊度 或称为Kaufmann模糊指标 模糊指标 当p=2时，称 时
D2 ( A) =
为A的Euclid模糊度 的 模糊度
2 n
1 2
(∑ A( xi ) − A0.5 ( x1 2
16
(3) 设 U ={u1 , u2 , …, un}, A∈F(U ),则 ∈ 则
1 D( A) = H ( A) = n ln 2
∑ S ( A(u ))
i =1 i
6
目录
(2) 设A∈ F( U ), 则 ∈ (1) ∀λ∈ ∀λ∈[0,1], ASλ ⊆ Aλ ; λ (2) A0=U , AS1 =∅; ∅ (3) ∀λ1 , λ2∈[0,1]且λ1≤λ2 , Aλ2 ⊆ Aλ1 ; 且 λ (4) ∀λ1 , λ2∈[0,1]且λ1≤λ2 , ASλ2 ⊆ ASλ1 . [0,1]且 λ λ λ
1 模糊集合与隶属函数 2 模糊集合的运算 3模糊集合的分解定理与表现定理 模糊集合的分解定理与表现定理 4 模糊性的度量
1
1.模糊集合与隶属函数
为论域， 设Ｕ 为论域，则称由如下实值函数 µA ：Ｕ → [ 0，1 ]， ， ， u → µA ( u ) 上的模糊集合 而称µ 模糊集合， 所确定的集合 A 为Ｕ 上的模糊集合，而称 A 为 模糊集合A 的隶属函数，µA ( u )称为元素 u 对于 模糊集合 隶属函数， 称为元素 A 的隶属度。 隶属度。
14
(2) 设 U ={u1 , u2 , … , un}, A∈F(U) , 则 ∈
Dp ( A) = 2 n
1 p
(∑ A(ui ) − A0.5 (ui )
i =1
n
1 p p
)
是一个模糊度. 是一个模糊度
15
模糊度。 通常称 Dp (A) 为A的Minkowski模糊度。 的 模糊度 特别地， 特别地，当p=1时，称 时 2 n D1 ( A) = (∑ A( xi ) − A0.5 ( xi ) ) n i =1 模糊度， 为A的Hamming模糊度，或称为 的 模糊度 或称为Kaufmann模糊指标 模糊指标 当p=2时，称 时
D2 ( A) =
为A的Euclid模糊度 的 模糊度
2 n
1 2
(∑ A( xi ) − A0.5 ( x1 2
16
(3) 设 U ={u1 , u2 , …, un}, A∈F(U ),则 ∈ 则
1 D( A) = H ( A) = n ln 2
∑ S ( A(u ))
i =1 i
6
目录
(2) 设A∈ F( U ), 则 ∈ (1) ∀λ∈ ∀λ∈[0,1], ASλ ⊆ Aλ ; λ (2) A0=U , AS1 =∅; ∅ (3) ∀λ1 , λ2∈[0,1]且λ1≤λ2 , Aλ2 ⊆ Aλ1 ; 且 λ (4) ∀λ1 , λ2∈[0,1]且λ1≤λ2 , ASλ2 ⊆ ASλ1 . [0,1]且 λ λ λ
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隶属于 A 的程度越低．特别地，
▪若A(u) =１，则认为u完全属于A ； ▪若A(u) =０，则认为u完全不属于A．
▪ 因此, 经典集合可看作是特殊的模糊集合． ▪换言之，模糊集合是经典集合的推广。
6
若记 P ( U )和 F ( U )分别为 U 上的所有经典 集合和所有模糊集合的全体，则
P ( U ) F ( U ). 通常称P ( U )为U 的幂集， 而称F ( U )为U 的模糊幂集。
4
目录
§1.2 模糊集合与隶属函数
1.2.1 模糊集合的定义 为了定量地刻画模糊概念和模糊现象，美国计算机与
控制论专家，California 大学 Buckely 分校Ｌ.Ａ.Ｚadeh 教 授于1965年提出了模糊集合概念，具体定义如下:
定义1.2.1 设Ｕ 为论域，则称由如下实值函数 μA ：Ｕ [ 0，1 ]，
u2 , … , un}，则 A F ( U ) 可表示为
A Au1 Au2 Aun
1 2 1
u1
u2
un
示
u这i 隶里属于Auui Ai
不表示为“分数”，而是表 的程度为A( ui ) ；
符号“+”也不表示加号，而是一种联系
符号。
1.2 模糊集合与隶属函数(3/5)
8
目录
例1.2.1：设U ={u1 , u2 , u3 , u4 , u5 }，则
9
(2) 若论域U 为无限集，则 A F ( U ) 可表示为
A
U
Au
u
1 2 2
这里“ ”不表示为积分号，而是表示 各个元素与隶
属度对应关系的一个总括。
例1.2.2 以年龄作为论域，取U =[0，200]， Zadeh给出
“年轻”这个模糊集合Y 的隶属函数为
1
, 当0 u 25 ;
Y
u
由于A 只取0和1两个值，故经典集合A 只 能用来描述界限分明的研究对象，对界限不分 明的对象却无能为力。比如，对“年轻”这个 模糊概念，用经典集合就无法给出合理的描述。 而在自然界和现实生活中，模糊现象是普遍存 在的。因此，必须把经典集合扩充，使之能够 刻划模糊现象和解决模糊性问题。
1.1 经典集合与特征函数(2/2)
A=(A(u1 ) ，A(u2)， …，A( un))
(1-2-3)
例如，例1.2.1中的模糊集合A也可表示为 A=(0.87 ，0.75， 0.96，0.78，0.56)
由于A( ui ) [0,1](i=1，2，…，n )，故称式(1-2-3) 所示的向量为模糊向量。
1.2 模糊集合与隶属函数(5/5)
u μA ( u )
所确定的集合 A 为Ｕ 上的模糊集合，而称μA 为模糊集合A
的隶属函数，μA ( u )称为元素 u 对于A 的隶属度。
1 μA
1.2 模糊集合与隶属函数(1/5)
5
目录
▪ 由此可见，模糊集合 A 是一个抽象的概念， 其元素是不确定的， 我们只能通过隶属函数
了A来论认域识Ｕ和中掌的握元A素．u 对A(于u)的模数糊值集的合大A 小的反隶映属 程的度程，度越A高(u；)的而值μ越Ａ(接u)的近值于越1 ，接表近示于u０隶，属表于示Au
A 0.87 0.75 0.96 0.78 0.56
u1
u2
u3
u4
u5
表示论域U 上 u1 对于A 的隶属度为0.87 ， u2 对于A 的隶属度为0.75 ， u3 对于A 的隶属度为 0.96 ， u4 对于A 的隶属度为0.78 ， u5 对于A 的隶属度为0.56 的模糊集合 。
11
目录
§1.3 模糊集合的运算
1.3.1 经典集合的运算及其性质 由于经典集合可由其特征函数唯一确定，故经典集 合的运算可通过特征函数的运算来描述，具体定义如 下： 定义1.3.1 设 A,B P ( U )，则
( i ) A B iff uU , A(u) B(u); ( ii) A = B iff uU , A(u) = B(u); (iii) A∪B: uU , A∪B (u) = max {A(u) ,B(u)}; (vi) A∩B: uU , A∩B (u) = min {A(u) ,B(u)}; ( v) A: uU, A(u) = 1﹣A(u) . 利用定义1.3.1不难验证，经典集合关于“∪(并), ∩(交), (补)”这三种运算具有如下九条基本性质.
1
u
25
2
1
,
当25 u 200
.
5
用Zadeh表示法就是
Y
1
1
u
25 5
2
1
u 0,25
[ 25, 200]
u
1.2 模糊集合与隶属函数(4/5)
10
目录
1.2.2 模糊集合的表示方法
2. 向量表示法
当论域U ={u1 , u2 , … , un }时， A F ( U ) 也可用 如下向量来表示：
由于模糊集合A只能由其隶属函数A来表达， 故为方便起见，我们将用记号A(u)来代替A(u) , 即
A(u) ≌ A(u)
这样，模糊集合与其隶属函数的记号将不加
1.2 模糊集合与隶属函数(2/5)
7
目录
1.2.2 模糊集合的表示方法
1. Zadeh 表示法
(1) 若论域U 为有限集，即U ={u1 ,
模糊集理论及其应用
陈水利
厦门 集美大学 理学院
1
第一章 模糊集合及其运算
1.1 经典集合与特征函数( P3~4) 3
1.2 模糊集合与隶属函数( P5~11) 5
1.3 模糊集合的运算( P12~14) 10
1.4 模糊集合的分解定理与表现定理( P15~24)
15
2
第一章 模糊集合及其运算
§1.1 经典集合与特征函数
A ：Ｕ {0，1}，
1， uA
u A( u ) =
0， uA
பைடு நூலகம்
称
A
为集合A的特征函数．反之，给定一个二值函数
A ：Ｕ {0，1}，
u A( u ) ．
可唯一确定一个经典集合 A ，即A = { uＵ， A ( u ) = 1} ．
1.1 经典集合与特征函数(1/2)
3
目录
由此可见，经典集合A 与其特征函数 A 是 一一对应的．
所谓集合，是指具有某种特定属性的对象集体．设Ｕ 为所讨论对
象的全体，称之为论域．显然，论域Ｕ 是一个集合．论域Ｕ 中的每
个对象 u 称为 Ｕ 的元素．如此定义的集合通常称为Cantor 集合or经
典集合.
设 A 为论域Ｕ上的一个集合，则 uＵ， uA or uA ，二
者必居且仅居其一．这种关系可用如下二值函数表示之：
▪若A(u) =１，则认为u完全属于A ； ▪若A(u) =０，则认为u完全不属于A．
▪ 因此, 经典集合可看作是特殊的模糊集合． ▪换言之，模糊集合是经典集合的推广。
6
若记 P ( U )和 F ( U )分别为 U 上的所有经典 集合和所有模糊集合的全体，则
P ( U ) F ( U ). 通常称P ( U )为U 的幂集， 而称F ( U )为U 的模糊幂集。
4
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§1.2 模糊集合与隶属函数
1.2.1 模糊集合的定义 为了定量地刻画模糊概念和模糊现象，美国计算机与
控制论专家，California 大学 Buckely 分校Ｌ.Ａ.Ｚadeh 教 授于1965年提出了模糊集合概念，具体定义如下:
定义1.2.1 设Ｕ 为论域，则称由如下实值函数 μA ：Ｕ [ 0，1 ]，
u2 , … , un}，则 A F ( U ) 可表示为
A Au1 Au2 Aun
1 2 1
u1
u2
un
示
u这i 隶里属于Auui Ai
不表示为“分数”，而是表 的程度为A( ui ) ；
符号“+”也不表示加号，而是一种联系
符号。
1.2 模糊集合与隶属函数(3/5)
8
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例1.2.1：设U ={u1 , u2 , u3 , u4 , u5 }，则
9
(2) 若论域U 为无限集，则 A F ( U ) 可表示为
A
U
Au
u
1 2 2
这里“ ”不表示为积分号，而是表示 各个元素与隶
属度对应关系的一个总括。
例1.2.2 以年龄作为论域，取U =[0，200]， Zadeh给出
“年轻”这个模糊集合Y 的隶属函数为
1
, 当0 u 25 ;
Y
u
由于A 只取0和1两个值，故经典集合A 只 能用来描述界限分明的研究对象，对界限不分 明的对象却无能为力。比如，对“年轻”这个 模糊概念，用经典集合就无法给出合理的描述。 而在自然界和现实生活中，模糊现象是普遍存 在的。因此，必须把经典集合扩充，使之能够 刻划模糊现象和解决模糊性问题。
1.1 经典集合与特征函数(2/2)
A=(A(u1 ) ，A(u2)， …，A( un))
(1-2-3)
例如，例1.2.1中的模糊集合A也可表示为 A=(0.87 ，0.75， 0.96，0.78，0.56)
由于A( ui ) [0,1](i=1，2，…，n )，故称式(1-2-3) 所示的向量为模糊向量。
1.2 模糊集合与隶属函数(5/5)
u μA ( u )
所确定的集合 A 为Ｕ 上的模糊集合，而称μA 为模糊集合A
的隶属函数，μA ( u )称为元素 u 对于A 的隶属度。
1 μA
1.2 模糊集合与隶属函数(1/5)
5
目录
▪ 由此可见，模糊集合 A 是一个抽象的概念， 其元素是不确定的， 我们只能通过隶属函数
了A来论认域识Ｕ和中掌的握元A素．u 对A(于u)的模数糊值集的合大A 小的反隶映属 程的度程，度越A高(u；)的而值μ越Ａ(接u)的近值于越1 ，接表近示于u０隶，属表于示Au
A 0.87 0.75 0.96 0.78 0.56
u1
u2
u3
u4
u5
表示论域U 上 u1 对于A 的隶属度为0.87 ， u2 对于A 的隶属度为0.75 ， u3 对于A 的隶属度为 0.96 ， u4 对于A 的隶属度为0.78 ， u5 对于A 的隶属度为0.56 的模糊集合 。
11
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§1.3 模糊集合的运算
1.3.1 经典集合的运算及其性质 由于经典集合可由其特征函数唯一确定，故经典集 合的运算可通过特征函数的运算来描述，具体定义如 下： 定义1.3.1 设 A,B P ( U )，则
( i ) A B iff uU , A(u) B(u); ( ii) A = B iff uU , A(u) = B(u); (iii) A∪B: uU , A∪B (u) = max {A(u) ,B(u)}; (vi) A∩B: uU , A∩B (u) = min {A(u) ,B(u)}; ( v) A: uU, A(u) = 1﹣A(u) . 利用定义1.3.1不难验证，经典集合关于“∪(并), ∩(交), (补)”这三种运算具有如下九条基本性质.
1
u
25
2
1
,
当25 u 200
.
5
用Zadeh表示法就是
Y
1
1
u
25 5
2
1
u 0,25
[ 25, 200]
u
1.2 模糊集合与隶属函数(4/5)
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1.2.2 模糊集合的表示方法
2. 向量表示法
当论域U ={u1 , u2 , … , un }时， A F ( U ) 也可用 如下向量来表示：
由于模糊集合A只能由其隶属函数A来表达， 故为方便起见，我们将用记号A(u)来代替A(u) , 即
A(u) ≌ A(u)
这样，模糊集合与其隶属函数的记号将不加
1.2 模糊集合与隶属函数(2/5)
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1.2.2 模糊集合的表示方法
1. Zadeh 表示法
(1) 若论域U 为有限集，即U ={u1 ,
模糊集理论及其应用
陈水利
厦门 集美大学 理学院
1
第一章 模糊集合及其运算
1.1 经典集合与特征函数( P3~4) 3
1.2 模糊集合与隶属函数( P5~11) 5
1.3 模糊集合的运算( P12~14) 10
1.4 模糊集合的分解定理与表现定理( P15~24)
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第一章 模糊集合及其运算
§1.1 经典集合与特征函数
A ：Ｕ {0，1}，
1， uA
u A( u ) =
0， uA
பைடு நூலகம்
称
A
为集合A的特征函数．反之，给定一个二值函数
A ：Ｕ {0，1}，
u A( u ) ．
可唯一确定一个经典集合 A ，即A = { uＵ， A ( u ) = 1} ．
1.1 经典集合与特征函数(1/2)
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由此可见，经典集合A 与其特征函数 A 是 一一对应的．
所谓集合，是指具有某种特定属性的对象集体．设Ｕ 为所讨论对
象的全体，称之为论域．显然，论域Ｕ 是一个集合．论域Ｕ 中的每
个对象 u 称为 Ｕ 的元素．如此定义的集合通常称为Cantor 集合or经
典集合.
设 A 为论域Ｕ上的一个集合，则 uＵ， uA or uA ，二
者必居且仅居其一．这种关系可用如下二值函数表示之：