第五节MATLAB最优化工具箱

min
x
x1 2 x2 3 x3 4 x4
举例2：

s.t. x1 x2 3x3 x4 6 2 x1 3x2 x3 x4 12
则：f = [ -1 2 -3 4]’; x1 2 x3 x4 4 b=[6;12;4]; x1 , x2 , x3 , x4 0 LB=[0 0 0 0]; A= [ 1 1 3 -1; 2 3 -1 1; 1 0 2 1]; 调用语句为： [x,fval,exitflag] = linprog(f,A,b,[ ],[ ],LB) 当有参数没有值时，相当于其值为空。 即 Aeq = [ ] beq = [ ]。 x =[ 0.0000 0.0000 2.0000 0.0000]’ fval = -6.0000 exitflag = 1
二次规划 quadprog

二次规划问题：目标函数为二次 函数，约束函数是线性函数。 求解问题应化为标准形式： 其中：H为正定系数矩阵 f 为系数向量， x 为变量 A为不等式约束系数矩阵 b 为不等式约束值 Aeq为等式约束系数矩阵 beq为等式约束值 LB 为最优解的下限 UB 为最优解的上限
5.2 主要函数




linprog quadprog fminunc fmincon fminimax fminbnd fseminf fsolve lsqnonlin lsqnonneg fgoalattain
线性规划 二次规划 无约束非线性规划 约束非线性规划 最大最小问题 无约束一元函数极小问题 半无穷条件下的非线性规划 非线性方程求解 非线性最小二乘解 非负最小二乘解 目标规划
exitflag<0
没有最优解或算法失败
举例1：

题目：求函数 y = sin(x) + cos(x) 最小值对应的x值。 求解： 1、编辑函数文件myfun.m： function y = myfun(x) y = sin(x) + cos(x); 2、在命令窗口中调用语句： [x,fval,exitflag] = fminunc(‘myfun’,2) 结果：x = 3.9270 fval = -1.4142 exitflag = 1
min 0.5xT Hx f T x
s.t. Ax b
Aeqx beq
x
LB x UB
函数调用格式

(输入参数)



1、最简形式：只有不等式约束: x=quadprog(H,f,A,b) 2、又包含了等式约束: x=quadprog(H,f,A,b,Aeq,beq) 3、又包括了解的上下限的约束: x=quadprog(H,f,A,b,Aeq,beq,LB,UB) 4、定义了搜索点初值 x0: x=quadprog(H,f,A,b,Aeq,beq,LB,UB,x0)


1、 f = [ -5 -4 -6]’; A= [ 1 -1 3; 3 2 4; 3 2 0]; b=[20;42;30]; LB=[1 1 1]; [x,fval,exitflag] = linprog(f,A,b,[ ],[ ],LB)

f = [ -5 -4 -1 -11]’; Aeq = [ 1 0 1 0; 0 1 0 1 ]; beq = [10;20]; LB=[0 0 0 0 ]; [x,fval,exitflag] = linprog(f,[ ],[ ],Aeq,beq,LB)
举例2：



题目：求 y = sin(x) + x1*cos(x) – x2 最小值对应x值。 求解： 1、编辑函数文件myfun1.m： function y = myfun1(x,x1,x2) y = sin(x) + x1*cos(x) – x2; 2、在命令窗口中调用语句： x1= 3;x2 = 4; [x,fval,exitflag] = fminunc(‘myfun1’,2,[ ],x1,x2) 结果：x = 3.4633 fval = -7.1623 exitflag = 1
min
x
x1 2 x2 3 x3 4 x4
2 x1 3 x2 x3 x4 12
举例1：

s.t. x1 x2 3 x3 x4 6
则：f = [ -1 2 -3 4]’; x1 2 x3 x4 4 b=[6;12;4]; x1 x2 x3 x4 2 Aeq=[ 1 1 1 1]; x1 , x2 , x3 , x4 0 beq=[2]; LB=[0 0 0 0]; A= [ 1 1 3 -1;2 3 -1 1; 1 0 2 1]; 调用语句为： [x,fval,exitflag] = linprog(f,A,b,Aeq,beq,LB) x =[ 0.0000 0.0000 2.0000 0.0000]’ fval = -6.0000 exitflag = 1
约束非线性规划 fmincon

约束非线性规划问题： (1) 目标函数为非线性函数， (2) 约束函数包括： 1、线性不等式约束 2、线性等式约束 3、非线性不等式约束 4、非线性等式约束。
x s.t. Ax b
min F ( x)
Aeqx beq
C ( x) 0 Ceq( x) 0
x1 , x2 , x3 , x4
max
5x1 4x2 x3 11x4
s.t. x1 x3 10 x2 x4 20 x1, x2 , x3 , x4 0
线性规划 linprog

min f x
x
T

线性规划问题：目标函数和 约束函数都是线性函数。 s.t. Ax b 求解问题应化为标准形式： Aeqx beq 其中：f 为系数向量，x 为变量 LB x UB A为不等式约束系数矩阵 f1 x1 b 为不等式约束值 f x Aeq为等式约束系数矩阵 f 2 x 2 beq为等式约束值 f n xn LB 为最优解的下限 UB 为最优解的上限
举例：

2 min 0.5 x12 x2 x1 x2 2 x1 6 x2 x s.t. x1 x2 2
x1 2 x2 2
则: H = [1 -1 2 x1 x2 3 -1 2 ]; x1 , x2 0 f = [ -2 -6]’; A= [ 1 1 ; -1 2; 2 1 ]; b=[2;2;3]; LB=[0 0 ]; 调用语句为： [x,fval,exitflag] = quadprog(f,A,b,[ ],[ ],LB) x =[ 0.6667 1.3333 ] fval = -9.3333 exitflag = 1
函数调用格式

(输出参数)
1、最简形式，只有最优解x*输出 x=linprog(f,A,b) 2、添加最优值 fval 输出 ( fval = fTx*) [x,fval]=linprog(f,A,b) 3、添加退出参数输出 exitflag [x,fval,exitflag]=linprog(f,A,b) exitflag>0 存在并收敛到最优解 exitflag=0 达到最大迭代次数未收敛 exitflag<0 没有最优解或算法失败
函数调用格式

(输入参数)



1、最简形式：只有不等式约束: x=linprog(f,A,b) 2、又包含了等式约束: x=linprog(f,A,b,Aeq,beq) 3、又包括了解的上下限的约束: x=linprog(f,A,b,Aeq,beq,LB,UB) 4、定义了搜索点初值 x0: x=linprog(f,A,b,Aeq,beq,LB,UB,x0)
习题：
min
x
5 x1 4 x2 6 x3
s.t. x1 x2 x3 20 3 x1 2 x2 4 x3 42 3 x1 2 x2 30 x1 , x2 , x3 1

1、对上式解出最优解，最优值，并判断此最优解和最优 值是否能被信任。
习题答案：

LB x
1、最简形式： x = fmincon(fun,x0) 2、加入线性不等式约束 x = fmincon(fun,x0,A,b) 3、加入线性等式约束 x = fmincon(fun,x0,A,b,Aeq,beq) 4、加入最有解的上下限 x = fmincon(fun,x0,A,b,Aeq,beq,LB,UB) 5、加入非线性约束，包括非线性等式和不等式约束 x = fmincon(fun,x0,A,b,Aeq,beq,LB,UB,NONLCON) 其中NONLCON为函数，输入x，返回C和Ceq
优化问题：现在有甲，乙两人推销A，B两种货物， 货物单价及利润如下表，问如何销售才能使销售 的总利润最高。
总量 (吨 ) 原价 (每吨) 甲 实际价 格(每吨) 利润 乙 实际价格 利润 (每吨)
A B
10 20
25 39
30 43
5 4
26 50
1 11
数学模型： 设甲卖A和B分别为x1和x2吨,乙分别卖x3和x4吨。
习题：

求最优解和最优值，并判断解的可信度。
2 min 0.3x12 3x2 2.1x1 x2 5 x1 x
s.t. 3x1 x2 5 x1 2 x2 2 2 x1 x2 3 x1 , x2 0
无约束非线性规划 fminunc

非线性规划问题：
min F ( x)