均值、方差、正态分布--学生用

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§ 离散型随机变量的均值与方差、正态分布

1．离散型随机变量的均值与方差 若离散型随机变量X 的分布列为

X x 1 x 2

。

… x i

… x n

P

p 1 p 2

…

-

p i

… p n

(1)均值

称E (X )＝x 1p 1＋x 2p 2＋…＋x i p i ＋…＋x n p n 为随机变量X 的均值或数学期望，它反映了离散型随机变量取值的平均水平． (2)方差

称D (X )＝∑n

i ＝1 (x i －E (X ))2

p i 为随机变量X 的方差，它刻画了随机变量X 与其均值E (X )的平均偏离程度，其算术平方根D

X 为随机变量X 的标准差．

2．均值与方差的性质

，

(1)E (aX ＋b )＝aE (X )＋b .

(2)D (aX ＋b )＝a 2

D (X )．(a ，b 为常数)

3．两点分布与二项分布的均值、方差

(1)若X 服从两点分布，则E (X )＝__p __，D (X )＝p (1－p )． (2)若X ～B (n ，p )，则E (X )＝__np __，D (X )＝np (1－p )． 4．正态分布

(1)正态曲线：函数φμ，σ(x )＝1

2πσ

e －x －μ2

2σ2

，x ∈(－∞，＋∞)，其中μ和σ为参数(σ>0，

μ∈R )．我们称函数φμ、σ(x )的图象为正态分布密度曲线，简称正态曲线．

(2)正态曲线的性质：

、

①曲线位于x 轴上方，与x 轴不相交；

②曲线是单峰的，它关于直线x ＝μ对称；

③曲线在x ＝μ处达到峰值1

σ2π；

④曲线与x 轴之间的面积为__1__；

⑤当σ一定时，曲线的位置由μ确定，曲线随着__μ__的变化而沿x 轴平移，如图甲所示； ⑥当μ一定时，曲线的形状由σ确定，σ__越小__，曲线越“瘦高”，表示总体的分布越集中；σ__越大__，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越分散，如图乙所示．

(3)正态分布的定义及表示

|

如果对于任何实数a ，b (a

a φμ，σ(x )d x ，则称随机变量X 服从正态分布，记作X ～N (μ，σ2

)．

正态总体在三个特殊区间内取值的概率值 ①P (μ－σ

1．判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)

(1)随机变量的均值是常数，样本的平均值是随机变量，它不确定．

( )

|

(2)随机变量的方差和标准差都反映了随机变量取值偏离均值的平均程度，方差或标准差越小，则偏离变量平均程度越小．

( )

(3)正态分布中的参数μ和σ完全确定了正态分布，参数μ是正态分布的期望，σ是正态分布的标准差．

( )

(4)一个随机变量如果是众多的、互不相干的、不分主次的偶然因素作用结果之和，它就服从或近似服从正态分布．

( ) 2．设随机变量ξ的分布列为P (ξ＝k )＝1

5(k ＝2,4,6,8,10)，则D (ξ)等于

( )

A ．5

B ．8

C ．10

D ．16

3．设随机变量X 服从正态分布N (2,9)，若P (X >c ＋1)＝P (X

B ．2

C ．3

D ．4

4．有一批产品，其中有12件正品和4件次品，有放回地任取3件，若X 表示取到次品的件数，则D (X )＝________.

.

5．在篮球比赛中，罚球命中1次得1分，不中得0分．如果某运动员罚球命中的概率为，那么他罚球1次的得分X 的均值是________．

题型一离散型随机变量的均值、方差

例1(2013·浙江)设袋子中装有a个红球，b个黄球，c个蓝球，且规定：取出一个红球得1分，取出一个黄球得2分，取出一个蓝球得3分．

袋中有20个大小相同的球，其中记上0号的有10个，记上n号的有n个(n＝1,2,3,4)．现从袋中任取一球，ξ表示所取球的标号．

(1)求ξ的分布列、期望和方差；

(2)若η＝aξ＋b，E(η)＝1，D(η)＝11，试求a，b的值．

/

题型二二项分布的均值、方差

例2(2012·四川)某居民小区有两个相互独立的安全防范系统(简称系统)A和B，系统A和系统B在

任意时刻发生故障的概率分别为1

10

和p.

(1)若在任意时刻至少有一个系统不发生故障的概率为49

50

，求p的值；

(2)设系统A在3次相互独立的检测中不发生故障的次数为随机变量ξ，求ξ的分布列及数学期望

E(ξ)．

—

假设某班级教室共有4扇窗户，在每天上午第三节课上课预备铃声响起时，每扇窗户或被敞开或被关闭，且概率均为.记此时教室里敞开的窗户个数为X.

(1)求X的分布列；

(2)若此时教室里有两扇或两扇以上的窗户被关闭，班长就会将关闭的窗户全部敞开，否则维持原状不

变．记每天上午第三节课上课时该教室里敞开的窗户个数为Y，求Y的数学期望．

【