交C-连续偏序集
离散数学第6章 格与布尔代数
6-1 格的概念
5）下面证明 a∧b=aa∨b=b 若a∧b=a 则 a∨b=(a∧b)∨b=b 反之，若a∨b=b 则 a∧b=a∧(a∨b)=a
b用a∨b代替(∵两式中b是相互独立的) ∴a∨(a∧(a∨b))=a 即 a∨a=a. (2)格的等价定理：〈A，∨，∧〉代数系统，∨.∧满足交换性， 结合性，吸收性，则A上存在偏序关系≤，使〈A，≤〉是一个格
从格可引出代数系统〈A，∨，∧〉； 而从满足三个条件的〈A，∨，∧〉也可导出格〈A，≤〉 证明见书：（格中⑻⑼⑾三个性质很重要，决定了格）
(11) 要证 a≤a∨(a∧b) 第一式显然成立
a∨(a∧b)≤a
a≤a
a∧b≤a
∴a∨(a∧b) ≤a
∴a=a∨(a∧b)
6-1 格的概念
6、格的等价原理：格〈A，≤〉 (1)引理6-1.1：〈A，∨，∧〉代数系统，若∨, ∧满足吸收性，
则∨, ∧满足幂等性 证：a,b∈A. a∨(a∧b)=a a∧(a∨b)=a.
第六章 格与布尔代数
格论是近代数学的一个重要分支，由它所引出的布尔 代数在计算机科学中有很多直接应用。
格的概念 分配格 有补格 布尔代数 布尔表达式
6-1 格的概念
1、回忆偏序集〈A，≤〉，≤偏序关系：满足自反性，反对称性， 传递性。有限集合上的偏序集可用哈斯图来表示：
COV (A) {a,c, b,c, c, d, d,e, d, f }
∧也易求得 ∴ A，∨，∧〉是格〈A，|〉 诱导的代数系统
6-1 格的概念
离散数学(第14讲)
Email：fws365@ 2013年7月4日星期四
主要内容
1、偏序关系
1）偏序集的哈斯图
2）偏序集中的特殊元素
2、全序集与良序集
1）全序关系
2）良序关系
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计算机学院
2
§5.2
偏序关系
偏序关系是集合上的自反的、可传递、反 对称关系,它提供比较集合中元素的工具;也提 供了事物之间的顺序关系。 定义5.4
2013-7-4 计算机学院 14
定义5.9
设B A，a∈A
若对任意b∈B,都有b a,则称a为B的上界。
若对任意b∈B,都有a b,则称a为B的下界。
若元素c∈A是B的任何一个上界,若均有a c,则
称a为B的 最小上界。
若元素c∈A是B的任何一个下界,若均有c a,则 称a为B的 最大下界。 注意：上下界均针对于子集而言。
设R是集合A上的自反的、反对称的、可传 递的关系，则称R是A上的偏序关系(记为“ ”, 读作“小于等于”)。序偶<A，R>称为偏序集。
容易证明：偏序 的逆关系 1 也是一个偏 序，我们用“ ”表示，读作“大于等于”。
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例5-2.1
1) 集合A的幂集2A上定义的“”是偏序关系。<2A,>是 偏序集。 2) 实数集合R上定义的“≤”是偏序关系，<R,≤>是偏 序集。 3) 大于零的自然数集合N＋上定义的“整除”关系“|” 也是一个偏序关系,<N＋,|>是偏序集。 4) ALGOL或PL/I等都是块结构语言，设： B＝{b1,b2,b3,…,bn} 是这种语言的一个程序中的块的集合。对所有i和j， 定义关系“ ”如下： bi bj当且仅当bi被bj所包含。 则“ ”也是一个偏序关系,<B, >是偏序集。
偏序关系
偏序关系：同时具有自反、反对称和传递性
4.6 偏序关系
定义4.21
设R为非空集合A 上的一个二元关系，如果R是自反的、反对 称的和传递的，则称R为A 上的偏序关系，记作≤。设≤是 偏序关系，若<x, y>≤，则记作x≤y，读作x“小于或等 于”y。集合A 与A 上的偏序关系≤一起组成的有序对<A, ≤> 叫做偏序集。 如以下关系都是偏序关系： 1 非空集合A 上的恒等关系IA。 2 实数集R上的“”、“”关系。
4.6 偏序关系
定义4.24
设<A, ≤ > 为偏序集，对于任意的x, yA，如果x < y并且不存在z∈A使得 x<z<y，则称y盖住x。作为集合A 上的一个二元关系，盖住关系C O V A 可表示 为：
C O V A={<x, y> |x, y∈A y盖住x} 根据定义4.24，<x, y>，
<x, y > ∈ C O V A y盖住x x ≤y <x, y>∈ ≤ 所以C O V A ≤ 。
4.6 偏序关系
对于偏序集<A, ≤ >，它的盖住关系C O V A 是唯一的，所以可以利用盖住关系 作图，表示该偏序集<A, ≤ > 。这个图叫作哈斯图。 偏序集<A, ≤>的哈斯图的画法如下： 1 用“”表示A 中的每一个元素； 2 x, yA，若x<y，则把x画在y的下面； 3 x, yA，若y盖住x ，则用一条线段连接x和y。
例 33
已知偏序集<A, R > 的哈斯图如下 解： 图,试求出集合A 和关系R的 表达式.
A = {a, b, c,d, e, f,g, h }
拟C-偏序集的若干性质
则存在 Ｆ∈Ｐ … ， Ｈ《 Ｆ《 。 使
收 稿 日期 ：０ ０— ９—１ 。 ２１ ０ ０ 基 金 项 目 ： 家 自然 科 学 基 金 资 助 项 目（ ０ ３ ００，０ ６ ０ ７ ； 等 学 校 全 国优 秀 博 士 学 位 论 文 作 者 专 项 基 金 资 助 项 目 国 １ ３ １ １ １８ １０ ） 高 （ ０ ７ １ ） 江 西 省 自然 科 学基 金 资 助 项 目（０ ７ Ｚ ０ ７ ） ２０ Ｂ ４ ； ２ ０ Ｇ Ｓ １９ 。
（ ｛ ’， 上 ＝ ＋ ’
＜ 凡
则 ∈ Ｐ ≤ ≤ ≤ … ≤ ≤ ＋ ｌ≤ ｉ￡ ｄ 且
命题 ２３ 若 Ｐ为 拟 Ｃ一偏 序集 ， ． 则对 任意 的
∈Ｐ ｔ ＝ｎ ｛ ： （ ｝其中 （ ， Ｔ Ｆ∈ ） ， Ｆ ）＝｛ ： Ｆ
Ｆ ∈ Ｐ ‘ 且 Ｆ《 ｝ （ 。
１ 预 备 知 识
近３ ０年 来 ， 由于计算 机科 学 所 引起 的关 注 和数 学若 干 领域所 取 得 的重 要进 展 ， ｏ ａｎ的结 构 理 论 Ｄｍｉ 成 为计算 机 函数 式语 言 的指称 语 义学 研究 的一个 关
键 点 。Ｄ ｍ ｉ 论 研 究 的一 个 重 要 方 面是 尽 可 能 ｏ ａｎ理
定 存在 ， 样一 类 偏 序集 ， 在 文 ［ ］中称 之 为 Ｃ 这 他 ２
一
偏 序 集 ， 讨论 了它 的代数 性 质 和拓扑 性 质 。 为 并 作
定 义 １２ 设 Ｐ为偏序 集 ， ≠Ａ， Ｐ， ∈ ．Ｈ Ｂ
Ｐ称 Ａ ｗ ｙｂ ｌｗ Ｂ， 作 Ａ《 Ｂ， 对 Ｐ中的 每个定 ａ ｅ 记 ｏ 若
连 续格 最 为 成 功 的 推 广 之 一 ， ｅｚ和 Ｌ ｗ ｏ Ｇｉｒ ａ ｓｎ于 １ ８ 年 在文 ［ ］中引入 了广 义 连续 格 （ ［ ］称 为 ９１ ３ 文 ４ 拟 连续格 ）的概念 ， 基本 思 想是将 “ ”与“ ”之 其 点 点 间 的 ｗ ｙｂ ｌ ａ ｅｏ ｗ关 系 《 推广 至 “ ”与“ ”之情 形 。 集 集
第8节 偏序关系
集合论 与图论
实 例
例9：令A={2,3,6,12,24,36},A在整除关系“”下构成一 个偏序集(A,)。 A中有最大元素和最小元素吗？ A中没有最大元素也没有最小元素。 因为24与36不可比，2与3也不可比。 但是A中没有比24和36更大的元素，也没有比2与 3更小的元素。 称24和36都是极大元素,2与3都是极小元素。
②上界与下界可能有很多元素 6,12,24,36都是子集{2,3}的上界。
12/20
集合论 与图论
最大与最小元素
定义6 设(X,≤)是一个偏序集，BX。如果存在一个 元素aB使得对B中每个元素x有x≤a，则称a是B中的最 大元素。 如果存在一个元素bB，使得对B的每一个元素x有 b≤x，则称b是B中的最小元素。 ①最大元素一定是上界，最小元素一定是下界; ②有上下界不一定有最大与最小元素, 因为上下界不一定在子集中; ③最大元素与最小元素若有一定是唯一的。
3/20
集合论 与图论
实 例
例2：自然数集合N上的整除关系“”是不是偏序关 系? 自然数集合N上的整除关系“”是偏序关系。
(N,)是一个偏序集。
设≤是X上的偏序关系，则≤的逆≤-1也是X上的偏 序关系，以后用“≥”表示≤的逆关系，并读成“大 于或等于”。 若x≥y且xy，则简记为x>y。
4/20
实数间的常用的“小于或等于”关系是不是全序关 系? 是全序关系，相应的偏序集也是全序集。 集合的包含关系与自然数间的整除关系是不是全 序关系? 二者都不是全序关系。
5/20
集合论 与图论
盖住的定义
定义4 设(X,≤)是一个偏序集，称y盖住x，如果 x<y且对每个zX，若x≤z≤y，则x=z或y=z。 如果y盖住x，则y被称为x的后继，而x称为y的前 驱。 例3：偏序集(N,≤)中，称3盖住2，3是2的后继，2是3 的先驱。 {1, 2, 4, 6}集合上的整除关系, 2覆盖1, 4 和 6 覆 盖2；但4不覆盖1.
完全分配格
xsϕ(s) ≥
ϕ∈
s∈ S
ρ(a) = {I ⊆ L| I ≥ a, I 是下集}.
注意很多情况下, ρ(a)都不等于↓a. 定理3 设L是一个完备格, a ∈ L, 则ρ(a)恰是集合{ s∈S xsϕ(s) | ϕ ∈ s∈S Ts }生 成的下集, 其中As = {xst | t ∈ Ts }是所有上确界大于或等于a的L的子集. 证明 设x ∈ ρ(a), 对于每一个s ∈ S , 设Is 是As 生成的下集, 则 Is ≥ a, 从而x ∈ s∈S Is . 于是有ϕ ∈ s∈S Ts 使得x ≤ s∈S xsϕ(s) . 因此x属于集 合{ s∈S xsϕ(s) | ϕ ∈ s∈S Ts }生成的下集. 反过来, 设x属于集合{ s∈S xsϕ(s) | ϕ ∈ s∈S Ts }生成的下集, I 是一个下集且满足 I ≥ a, 则I 是某一个As , 由I 是下 集知, x ∈ I . 由I 的任意性, x ∈ ρ(a). 定理4 设L是一个完备格, 则 (1) ρ : L −→ S(L)保任意并. (2) L是完全分配格当且仅当 ρ(a) = a对任意的a成立. (3) 若L是完全分配格, 则ρ(a) = x∈ρ(a) ρ(x). 证明 (1) 由定义知, ρ保序. 设A ⊆ L, 只需证ρ( A) ⊆ a∈A ρ(a). 设x ∈ a∈A ρ(a)但x ∈ ρ( A), 则x不属于每一个ρ(a). 对于a ∈ A, 由ρ(a)的定义, 存 在下集Ia 满足 Is ≥ a使得x ∈ Ia . 令B = a∈A Ia , 则B 是下集且
第一章 模糊数学预备知识
三、关系的运算 设R, R1, R2 P( X Y ),定义： 并：R1 R2 {(x, y) | (x, y) R1或(x, y) R2} 交：R1 R2 {(x, y) | (x, y) R1且(x, y) R2} 余：Rc {(x, y) | (x, y) R} 逆：R1 {( y, x) | (x, y) R} P(Y X )
在例2.3中，从X到Y的小于关系为 R1, 则： （R1）1 (3,2),(4，3),(4，2)}为从Y到X的大于关系
合成：设R1 P( X Y ), R2 P(Y Z ),则R1与R2的合成 R1 R2 P( X Z )定义为：
R1 R2 {(x, z) | y Y ,(x, y) R1且( y, z) R2} 例2.5 X {1,2,3},Y {a,b,c,d}, Z {甲,乙}
例如: 在例3.1中，f1({1,2}) {a,b}, f2 ({1,2}) {a}.
2. 特殊映射 单射(injection)：x1 x2 f (x1) f (x2 ) 或f (x1) f (x2 ) x1 x2
设R P( X X ),若R满足： (1)自反性(reflexivity)：x X ,(x, x) R;
(2)对称性(symmetry)：(x, y) R,则( y, x) R;
(3)传递性(transitivity)：(x, y) R,( y, z) R 则(x, z) R,
则称是R一个X上的等价关系。
例2.6 X {a,b,c,d,e}， 则X上的关系
R {(a,a),(b,b),(c,c),(d,d ),(e,e),(a,b),(a,c),(b,a),(b,c), (c,a),(c,b),(d,e),(e,d )}
是一个等价关系。
基于偏序集的连续映射
第38卷第1期2024年2月南华大学学报(自然科学版)Journal of University of South China(Science and Technology)Vol.38No.1Feb.2024收稿日期:2023-10-18基金项目:湖南省教育厅科研基金项目(22B0447)作者简介:杨大子(1998 ),男,硕士研究生,主要从事偏序集理论方面的研究㊂E-mail:ydz1344939@㊂∗通信作者:邹志伟(1983 ),男,副教授,博士,主要从事Domain 理论方面的研究㊂E-mail:zouzhiwei1983@DOI :10.19431/ki.1673-0062.2024.01.008基于偏序集的连续映射杨大子,邹志伟∗(南华大学数理学院,湖南,衡阳,421001)摘㊀要:基于实数集R 的经典邻域的概念,引入了一个新的基于偏序集P 的邻域的概念,随后定义了一个从P 到R 的映射的极限和连续的新概念,并在偏序集的背景下验证了连续函数的各种经典结论,例如有界性㊁介值定理等等㊂关键词:偏序集;邻域;极限;连续性中图分类号:O153.1文献标志码:A 文章编号:1673-0062(2024)01-0060-07Continuous Mapping Based on PosetYANG Dazi ,ZOU Zhiwei ∗(School of Mathematics and Physics,University of South China,Hengyang,Hunan 421001,China)Abstract :Different from the classical neighborhood based on real number set R ,this paper introduces we introduce a new notion of neighborhood based on a poset P .Subsequently,the novel notions of limit and continuity of a mapping from P to R are also defined.Various classical results about a continuous functions are verified in the context of poset inthis paper,such as boundness,intermediate value theorem and etc.key words :poset;neighborhood;limit;continuity0㊀引㊀言偏序集作为近代数学三大母结构之一,在数学中是广泛存在的㊂偏序集(P ,ɤ)由一个非空集合P 和满足自反性㊁反对称性和传递性的二元关系 ɤ 组成㊂如果偏序集中任意两个元素都存在上下确界则称为格㊂格论起源于G.Birkhoff在1940年出版的巨著Lattice Theory [1]㊂经过这些年的发展,格论在拓扑学㊁模糊数学㊁组合数学等都得到了广泛的应用[2-8]㊂在微积分中,如果对于定义域中的任一点x ,U (x )⊆R 且f (x )在像集中,存在f (U (x ))⊆U (f (x )),则称函数f 连续㊂连续这一概念是微积分的基础,在微积分理论的发展过程中起到不可第38卷第1期杨大子等:基于偏序集的连续映射2024年2月或缺的作用㊂同时连续性本身也带来了分析中的许多关键性质和定理,如闭区间上的有界性㊁零点存在定理,介值定理和不动点理论[9]等等㊂函数是一个从实数集R 的子集到实数集R 的映射,类似地在偏序集理论中也有从偏序集到偏序集的映射㊂考虑到实数集可以看作是一个特殊的偏序集,那么如何定义和研究从偏序集到实数集的连续映射,推广连续函数的性质成为有意义的?函数的极限和连续性的概念是基于邻域的概念,因此可以首先在偏序集上定义邻域的概念;其次,定义从P 到R 的映射上的极限的概念并推广相关性质;然后给出从P 到R 的映射的连续的概念并着手对其性质进行研究㊂考虑闭区间上连续函数的性质,需要将它们推广到从P 到R 的映射上,由于一般偏序集不具有实数集的完备性,所以不能使这些性质成立,因此,需要完备格来代替一般偏序集㊂最后,才能在此背景下验证数学分析中的各种重要定理㊂1㊀预备知识下文将使用以下基本定义和命题㊂定义1[10]㊀设P 为偏序集,称P 有一个底元,如果存在ʅɪP 且对任意的x ɪP 有ʅɤx ㊂对偶地,P 有一个顶元,如果存在ʅɪP 使得对于任意的x ɪP 有x ɤʅ㊂对于a ,b ɪP ,如果它们满足a ɤb 且a ʂb ,则记为a <b ㊂定义2[10]㊀设P 为偏序集且x ,y ɪP ,称x 被y 覆盖(或y 覆盖x ),并且写作x ≼y 或y ≽x ,如果x <y 且x ɤz <y 蕴含z =x ㊂后一个条件要求不存在z ɪP 使得x <z <y ㊂定义3[10]㊀假设P 和Q 是(不相交的)偏序集㊂P 和Q 的不交并集PQ 是偏序集,在PQ中定义x ɤy 当且仅当x ,y ɪP 且在P 中x ɤy 或者x ,y ɪQ 且在Q 中x ɤy ㊂设P 为偏序集且取Q ⊆P ,那么称a ɪQ 是Q 的一个极大元,如果a ɤx 且x ɪQ 蕴含a =x ,记Q 的极大元的集合为Max Q ㊂如果Q (继承P 中的序)有顶元ʅQ ,那么Max Q ={ʅQ },这种情况下ʅQ 称为Q 中的最大元,写作max Q =ʅQ ;极小元㊁极小元的集合Min Q 和最小元min Q 的定义与上对偶㊂定义4[10]㊀设P 是一个非空偏序集,如果对于所有的S ⊆P ,ᶱS 和ɡS 都存在,那么P 被称为完备格㊂其中用x ᶱy 代替sup{x ,y },x ɡy 代替inf{x ,y },类似地用ᶱS 和ɡS 代替sup S 和inf S (如果它们存在)㊂命题1[11]㊀设P 是一个偏序集,若任意并存在(或者任意交存在),则P 为完备格㊂2㊀主要结论2.1㊀邻域和极限设P 为偏序集且在P 中有a <b ㊂称子集{x ɪP a ɤx ɤb }为闭区间,记为[a ,b ];称子集{x ɪP a <x <b }为开区间,记为(a ,b )㊂定义5㊀设P 为偏序集,对于P 中的点x (1)若存在a ɪP 使得a <x ,则称[a ,x ]为x的一个左邻域,记作U -(x ,a ),简记为U -(x );称[a ,x )为x 的一个去心左邻域,记作U ㊂-(x ,a ),简记为U ㊂-(x );(2)若存在b ɪP 使得x <b ,则称[x ,b ]为x 的一个右邻域,记作U +(x ,b ),简记为U +(x );称(x ,b ]为x 的一个去心右邻域,记作U ㊂+(x ,b ),简记为U ㊂+(x );(3)若存在a ,b ɪP 使得a <x <b ,则称[a ,x ]ɣ[x ,b ]为x 的一个邻域,记作U (x ,a ,b ),简记为U (x );称[a ,x )ɣ(x ,b ]为x 的一个去心邻域,记作U ㊂(x ,a ,b ),简记为U ㊂(x )㊂基于邻域的概念,极限的概念可以如下定义:定义6㊀设P 为偏序集,f :P ңR 为一个映射,x 0ɪP 且A ɪR ㊂(1)对任意的ε>0和a <x 0㊂存在U ㊂-(x 0)⊆[a ,x 0),使得对于任意的x ɪU ㊂-(x 0)有f (x )-A <ε,则称A 为f 在x 0的左极限,记为lim x ңx -0f (x )=A ;(2)对任意的ε>0和x 0<b ㊂存在U ㊂+(x 0)⊆(x 0,b ],使得对于任意的x ɪU ㊂+(x 0)有f (x )-A <ε,则称A 为f 在x 0的右极限,记为lim x ңx +0f (x )=A ;(3)对任意的ε>0和a <x 0<b ㊂存在U ㊂(x 0)⊆U ㊂(x 0,a ,b ),使得对于任意的x ɪU ㊂(x 0)有f (x )-A <ε,则称A 为f 在x 0的极限,记为lim x ңx 0f (x )=A ㊂注1:如果x 0ɪP 没有左(右)邻域但是映射f在x 0处有右(左)极限时,亦称f 在点x 0处有极限㊂命题2㊀假设A 与B 都是f 在点x 0的极限,第38卷第1期南华大学学报(自然科学版)2024年2月则A =B ㊂证明:由极限的定义,可知对任意的ε>0和P 中任意的a <x 0<b ,存在U ㊂1(x 0)⊆U ㊂(x 0,a ,b ),使得对任意的x ɪU ㊂1(x 0),f (x )-A <ε2成立㊂对U ㊂1(x 0)中任意的c <x 0<d ,存在U ㊂2(x 0)⊆U ㊂(x 0,c ,d ),使得对任意的x ɪU ㊂2(x 0),f (x )-B <ε2成立㊂则对于任意的x ɪU ㊂2(x 0),使得|A -B |ɤf (x )-A +f (x )-B <ε由于ε可以无限接近于0,可知A =B ㊂证毕㊂命题3㊀若lim x ңx 0f (x )=A ,lim x ңx 0g (x )=B ,且A >B ,则存在U ㊂(x 0),使得对于任意x ɪU ㊂(x 0),有f (x )>g (x )㊂证明:取ε0=A -B2>0㊂由lim x ңx 0f (x )=A ,对于P中任意的a <x 0<b ,存在U ㊂1(x 0)⊆U ㊂(x 0,a ,b ),使得对任意的x ɪU ㊂1(x 0),有f (x )-A <ε0,从而A +B2<f (x );由lim x ңx 0g (x )=B ,对U ㊂1(x 0)中任意的c <x 0<d ,存在U ㊂2(x 0)⊆U ㊂(x 0,c ,d ),使得对任意的x ɪU ㊂2(x 0),有|g (x )-B |<ε0,从而g (x )<A +B2㊂则对于任意的x ɪU ㊂2(x 0),有g (x )<A +B2<f (x )㊂证毕㊂推论1㊀若lim x ңx 0f (x )=A >0,对P 中任意的a <x 0<b ,存在U ㊂(x 0)⊆U ㊂(x 0,a ,b ),使得对任意的x ɪU ㊂(x 0),f (x )>A2>0成立㊂证明:令g (x )=A2,由命题3可知存在U ㊂(x 0)⊆P ,使得对于任意的x ɪU ㊂(x 0)有f (x )>A2>0㊂证毕㊂对偶地,当A <0时,有f (x )<A2<0㊂推论2㊀如果lim x ңx 0f (x )=A >0,lim x ңx 0g (x )=B ,那么对P 中任意的a <x 0<b 存在U ㊂(x 0)⊆U ㊂(x 0,a ,b ),使得对任意的x ɪU ㊂(x 0)有g (x )ɤf (x ),那么B ɤA ㊂证明:假设B >A ,则由命题3,对U ㊂(x 0)中任意的c <x 0<d ,存在U ㊂1(x 0)⊆U ㊂(x 0,c ,d ),使得对任意的x ɪU ㊂1(x 0)有g (x )>f (x )㊂可知对于任意的x ɪU ㊂1(x 0)既有g (x )ɤf (x )又有g (x )>f (x ),从而产生矛盾㊂证毕㊂推论3㊀令lim x ңx 0f (x )=A >0,对P 中任意的a <x 0<b ,存在U ㊂(x 0)⊆U ㊂(x 0,a ,b ),使得f (x )在U ㊂(x 0)中有界㊂证明:取常数M 和m ,满足m <A <M ,并且令g (x )=m ,h (x )=M 为两个常值映射㊂由命题3可知对P 中任意的a <x 0<b ,存在U ㊂(x 0)⊆U ㊂(x 0,a ,b ),使得对任意的x ɪU ㊂(x 0)有m <f (x )<M ㊂证毕㊂如果f 在x 0有定义,取G =max{|m |,|M |,|f (x )|},则对任意x ɪU (x 0)有f (x )ɤG ㊂命题4㊀如果对P 中任意的a <x 0<b ,存在U ㊂(x 0)⊆U ㊂(x 0,a ,b ),使得对于任意的x ɪU ㊂(x 0)有g (x )ɤf (x )ɤh (x ),并且lim x ңx 0g (x )=lim x ңx 0h (x )=A ,那么lim x ңx 0f (x )=A ㊂证明:对于任意的ε>0和U ㊂(x 0)中任意的a 1<x 0<b 1㊂由lim x ңx 0h (x )=A 可知存在U ㊂1(x 0)⊆U ㊂(x 0,a 1,b 1),使得对于任意的x ɪU ㊂1(x 0)有|h (x )-A |<ε,那么h (x )<A +ε㊂由lim x ңx 0g (x )=A ,对U ㊂1(x 0)中任意的a 2<x 0<b 2可知存在U ㊂2(x 0)⊆U ㊂(x 0,a 2,b 2),使得对于任意的x ɪU ㊂2(x 0)有|g (x )-A |<ε,那么A -ε<g (x )㊂对任意的x ɪU ㊂2(x 0)有A -ε<g (x )ɤf (x )ɤh (x )<A +ε即lim x ңx 0f (x )=A ㊂证毕㊂2.2㊀连续性定义7㊀设P 为偏序集,x 0ɪP 且f :P ңR ㊂(1)若lim x ңx -0f (x )=f (x 0)或者x 0没有左邻域,称f 在x 0处左连续;(2)若lim x ңx +0f (x )=f (x 0)或者x 0没有右邻域,称f 在x 0处右连续;(3)如果f 在x 0处既左连续又右连续,那么f 在x 0处连续;(4)对任意的x ɪP ,如果f 在x 处连续,那么f 在P 上连续㊂第38卷第1期杨大子等:基于偏序集的连续映射2024年2月以lim x ңx -0f (x )=f (x 0)为例㊂由极限的定义,左极限存在且等于f (x 0)当且仅当对于任意的ε>0和a <x 0,存在U ㊂-(x 0)⊆[a ,x 0),使得对于任意的x ɪU ㊂-(x 0)有f (x )-f (x 0)<ε㊂然后称使得f (x )-f (x 0)<ε成立的所有U ㊂-(x 0)的集族为x 0的连续左邻域系并记作U P -(x 0,ε)㊂类似地,连续右邻域系U P +(x 0,ε)和连续邻域系U P (x 0,ε)㊂若P 为一个反链,则映射f :P ңR 连续㊂证明:因为P 是一个反链,所以任意的x ɪP 都没有左右邻域,所以f 在任意x ɪP 上连续,所以f 在P 上连续㊂证毕㊂定义8㊀设P 为偏序集,对于任意的a ,b ɪP ,如果P 中存在一列有限个元素即x 1,x 2, ,x n ,使得序列a ,x 1,x 2, ,x n ,b 任意相邻两个元素之间存在覆盖关系,则称a 与b 有关系,记为a ~b ,反之则称a 与b 没有关系㊂定理1㊀设P 为有限偏序集,f :P ңR 为一个映射,则以下条件等价:(1)f 在P 上连续;(2)∀a ,b ɪP ,若a ≼b ,则f (a )=f (b );(3)∀a ,b ɪP ,若a ~b ,则f (a )=f (b )㊂证明:(1)⇒(2)假设存在a ,b ɪP 且a ≼b ,使得f (a )ʂf (b ),那么对于点a ,存在ε=f (a )-f (b )2>0,有f (a )-f (b )>ε,则映射f 在点a 处不连续,与条件(1)矛盾;(2)⇒(3)由定义8可知对a ~b ,则P 中存在一列有限个元素x 1,x 2, ,x n ,使得序列a ,x 1,x 2, ,x n ,b 任意相邻两个元素之间存在覆盖关系,由条件(2)可知任意两个元素之间如果存在覆盖关系则他们在映射的作用下的像相等,此即f (a )=f (x 1)=f (x 2)= =f (x n )=f (b );(3)⇒(1)由条件(3)可知对任意的a ɪP ,若存在b ɪP ,使得a ~b ,则f (a )=f (b )㊂此即对任意的ε>0,存在U ㊂-(a )ʂØ或U ㊂+(a )ʂØ,使得对任意x ɪU ㊂-(a )或任意x ɪU ㊂+(a )时,有f (x )-f (a )<ε㊂对任意a ɪP ,如果任意U ㊂(a )=Ø,那么映射f 在点a 处连续㊂因为点a 是P 中任意点,所以f 在P 上连续㊂证毕㊂设P 为偏序集,P 1⊆P 且f 是从P 到R 的映射㊂构造一个映射f P 1:P 1ңR 且其满足f P 1(x )=f (x )㊂那么称fP 1是f 的投影㊂定理2㊀假设f 在P 上连续,取P 1⊆P ,映射fP 1在P 1上连续,如果P 1满足以下条件:(1)对任意的a ,x 0ɪP 1且a <x 0,有{x ɪP 1a ɤx <x 0}={x ɪP a ɤx <x 0};(2)对任意的b ,x 0ɪP 1且x 0<b ,有{x ɪP 1x 0<x ɤb }={x ɪP x 0<x ɤb }㊂证明:对任意的x 0ɪP 1,如果x 0在P 1上没有左邻域,那么fP 1在x 0处左连续㊂如果x 0在P 1上有左邻域,因为f 在x 0处连续,所以对于任意的ε>0存在U P -(x 0,ε)㊂由条件(1)对P 1中任意的a <x 0,有{x ɪP 1a ɤx <x 0}={x ɪP a ɤx <x 0},易知存在U ㊂-(x 0)⊆{x ɪP 1a ɤx <x 0},使得U ㊂-(x 0)ɪU P -(x 0,ε)㊂那么f P 1在x 0处左连续㊂对偶地,fP 1在x 0处右连续㊂这能推出fP 1在P 1上连续㊂证毕㊂定理3㊀设P 1,P 2是两个不相交的偏序集,且令P =P 1P 2,则以下条件等价:(1)映射f 在P 上连续;(2)映射f P i 在P i (i =1,2)上连续㊂证明:(1)⇒(2)只需证明fP 1在P 1上连续㊂由条件(1),f 在任意x ɪP 处连续㊂取任意x 0ɪP 1,如果x 0在P 1上有左邻域,因为P 1,P 2是两个不相交的偏序集,所以对P 1中任意的a <x 0,有{x ɪP 1a ɤx <x 0}={x ɪP a ɤx <x 0}㊂对偶地,对P 1中任意的x 0<b ,有{x ɪP 1x 0<x ɤb }={x ɪP x 0<x ɤb }㊂由定理2可知映射f P 1在P 1上连续㊂类似地f P 2在P 2上连续㊂(2)⇒(1)因为fP i在P i (i =1,2)上连续,对任意x ɪP ,x ɪP 1或者x ɪP 2,所以映射f 在P 上连续㊂证毕㊂注2:若存在一族两两不相交的偏序集{P γ}γɪΓ,令P =γɪΓP γ,映射f 在P 上连续当且仅当映射f P γ在任意P γ上连续㊂证明过程与定理3一致㊂2.3㊀连续映射的性质设P 为偏序集㊂对于P 中任意a ɤb ,[a ,b ]是P 上的闭区间㊂定理4㊀设P 为偏序集,f :P ңR 为一个映射㊂对P 中任意的a ɤb ,如果映射f 在P 上连续,那么在f 闭区间[a ,b ]⊆P 上连续㊂证明:若a ≼b ,则f (a )=f (b ),即f 在闭区间[a ,b ]上连续㊂如果(a ,b )ʂØ,对任意的x 0ɪ[a ,b ]㊂容易知道对于[a ,b ]中任意的y <x 0,有{x ɪ[a ,b ]y ɤx <x 0}={x ɪP y ɤx <x 0}㊂对偶的对于[a ,b ]中任意的x 0<z ,有{x ɪ[a ,b ]x 0<第38卷第1期南华大学学报(自然科学版)2024年2月x ɤz }={x ɪP x 0<x ɤz }㊂然后根据定理2,f 在[a ,b ]上连续㊂证毕㊂找到闭区间之后,发现上面的这些性质在偏序集上不一定成立㊂下面是两个反例㊂例2㊀设P 为(R \{0},ɤ),对任意的x ɪP有f (x )=1|x |㊂以闭区间[-1,1]⊆P 为例㊂由定理4,f 在[-1,1]上连续,容易发现lim x ң0f (x )=+ɕ,于是映射f 无界并且没有最大值㊂例3㊀设P 为(R \{0},ɤ),对任意的x ɪP 有f (x )=x ㊂以闭区间[-1,1]⊆P 为例㊂由定理4,f 在[-1,1]上连续,f (-1)=-1<0且f (1)=1>0,但是0在P 中没有原像,所以零点存在定理和介值定理在偏序集上的闭区间上也不一定成立㊂从数学分析中可以看出,如果没有实数集的完备性,就不能建立闭区间上连续函数的性质㊂从以上两个例子可以看出,与实数集相比,一般偏序集缺乏完备性㊂为此,选择了一个特殊的偏序集 完备格,并考虑它的完备性㊂类似于实数理论,首先定义序列及其极限的概念㊂设P 为偏序集,P 中的一列由正整数编号的元素x 1,x 2, ,x n 被称为一个序列,记作{x n }㊂定义9㊀设P 为偏序集,{x n }为P 中的序列且x 0ɪP ㊂如果P 中有一条升链{a n }和一条降链{b n }并且sup {a n }=inf {b n }=x 0㊂对于任意的m ɪN +,存在N >0使得对于任意的n >N 有x n ɪU (x 0,a m ,b m )㊂那么序列{x n }趋近于x 0㊂称x 0为{x n }的极限并记作lim n ң+ɕx n =x 0㊂命题5㊀如果f :P ңR 连续且lim n ң+ɕx n =x 0,则f (lim n ң+ɕx n )=lim n ң+ɕf (x n )=f (x 0)㊂证明:由lim n ң+ɕx n =x 0可知f (lim n ң+ɕx n )=f (x 0)㊂对任意的ε>0,又因为lim n ң+ɕx n =x 0可知P 中有一条升链{a n }和一条降链{b n }并且sup{a n }=inf{b n }=x 0㊂对于任意的m ɪN +,存在N >0使得对于任意的n >N 有x n ɪU (x 0,a m ,b m )㊂因为f 在P 上连续,对a 1<x 0<b 1,存在m >0使得对任意的x ɪU ㊂(x 0,a m ,b m )有f (x )-f (x 0)<ε㊂因为x n ɪU (x 0,a m ,b m ),所以对于任意n >N 有f (x n )-f (x 0)<ε㊂所以lim n ң+ɕf (x n )=f (x 0)㊂证毕㊂设P 为完备格,S 为P 任意非空子集㊂由完备格的定义可知sup S 和inf S 在P 中存在㊂然后通过实数理论研究完备格的一些完备性质㊂实数理论的确界原理在完备格上自然成立㊂然后我们由实数理论来考虑完备格的完备性质㊂命题6㊀设P 为偏序集,对P 1⊆P ,X ⊆P 1,若sup PX ɪP 1,则sup P 1X 存在且sup P 1X =sup PX ㊂证明:令a =sup PX ɪP 1,首先对于任意的x ɪX ,有x ɤa ㊂若存在y ɪP 1,使得对任意的x ɪX 有x ɤy ,则y 在P 中为X 的上界,所以a ɤy ,即a 为X 在P 1的上确界,即sup P 1X =sup PX ㊂证毕㊂命题7㊀设P 为完备格,对于P 中任意的a ɤb ,[a ,b ]也为完备格㊂证明:对任意的X ⊆[a ,b ]⊆P ,sup P X 存在㊂因为对任意的x ɪX 有a ɤx ɤb ,所以sup PX ɪ[a ,b ]㊂由命题6可知,sup [a ,b ]X 存在且sup [a ,b ]X =sup PX ,由命题1,[a ,b ]为完备格㊂证毕㊂注3:由完备格定义可知,完备格自身也为闭区间形如[ʅ,ʅ]㊂如果没有特殊说明,以下的P 为完备格㊂命题8㊀设{x n }为P 中的序列,若{x n }单调递增且有上界,则序列{x n }有极限且极限为上确界㊂证明:设x 0=sup{x n },构造集合E ={x n n =1,2, }⊆P ,所以ᶱE 存在且ᶱE =x 0㊂取{a n }={x n }且取{b n }={x 0,x 0, },则对任意的m ɪN +,存在N >0,使得对任意的n >N ,有x n ɪ[a m ,x 0]ɣ[x 0,b m ]=[a m ,x 0],则lim n ң+ɕx n =x 0㊂证毕㊂对偶地,当{x n }单调递减且有下界时lim n ң+ɕx n =inf{x n }㊂命题9㊀有界序列有收敛子列㊂证明:设{x n }为P 上有界序列㊂首先证明单调子列的存在性㊂如果{x n }中存在单调增子列{x n k },那么证明完毕㊂如果{x n }中不存在单调增子列,那么存在n 1>n 总有x n 1ɤx n ㊂类似地,{x n }(n >n 1)中也不存在单调增子列,存在n 2>n 1总有x n 2ɤx n 1ɤx n ㊂如此无限下去,可以得到一列单调递减子列{x n k }㊂那么有界序列存在单调子列{x n k },又因为它有界由命题8可知{x n k }收敛㊂证毕㊂定理5㊀若映射f :P ңR 在闭区间[a ,b ]⊆P 上连续,则它在[a ,b ]上有界㊂证明:假设f 在[a ,b ]上无界,则对于每个正实数A ,都存在x ɪ[a ,b ],使得f (x )ȡA ;所以对每个n ɪN +,存在x ɪ[a ,b ],使得f (x )ȡn ㊂由命题9,可以找到一个序列{x n }⊆[a ,b ](n ɪN +),使得f (x n )ȡn ㊂由命题9可知{x n }(n ɪ第38卷第1期杨大子等:基于偏序集的连续映射2024年2月N +)有收敛子列{x n k }(k ɪN +)㊂令x 0=lim k ң+ɕx n k 并且构造集合E ={x n k k =1,2, }⊆[a ,b ],那么x 0ɪ[a ,b ]㊂又因为f 在[a ,b ]上连续,由命题5易知f (lim n ң+ɕx n )=lim n ң+ɕf (x n )=f (x 0)且f (x 0)<+ɕ㊂所以lim k ң+ɕf (x n k )<+ɕ㊂对于f (x n k )ȡn k ȡk ,lim k ң+ɕf (x n k )=+ɕ,产生矛盾㊂所以f 在[a ,b ]上有界㊂证毕㊂为了验证最值定理,本文引入了复合映射的概念㊂设映射f :P ңR 和函数g :R ңR ,称g f :P ңR 为复合映射㊂定理6㊀如果u =f (x )在点x 0处连续且u 0=f (x 0)并且y =g (u )在点u 0处连续,则g f :P ңR 在点x 0处连续㊂证明:对任意ε>0,由于lim u ңu 0g (u )=g (u 0),存在U ㊂(u 0)⊂R ,使得对于任意u ɪU ㊂(u 0),有g (u )-g (u 0)<ε㊂因为lim x ңx 0f (x )=f (x 0)=u 0,存在U ㊂(x 0)⊂P ,使得对于任意x ɪU ㊂(x 0),有f (x )ɪU ㊂(u 0)㊂那么对于任意的x ɪU ㊂(x 0)有g f (x )-g f (x 0)=g f (x )-g (u 0)<ε,此即lim x ңx 0g f (x )=g f (x 0)㊂证毕㊂由定理6可知当映射f :P ңR 在P 上连续,函数g :R ңR 在R f 上连续时,复合映射g f :P ңR 在P 上连续㊂定理7㊀如果映射f 在闭区间[a ,b ]⊆P 上连续,则它在[a ,b ]上能取到最大值和最小值,即存在A ,B ɪ[a ,b ],对任意x ɪ[a ,b ]有f (A )ɤf (x )ɤf (B )㊂证明:由定理5,集合R f ={f (x )x ɪ[a ,b ]}是一个有界实数集,所以必有上下确界,记m =inf R f ,M =sup R f ㊂接着需要证明存在B ɪ[a ,b ],使得f (B )=M ㊂假设对于任意x ɪ[a ,b ]有f (x )<M ㊂令g (x )=1M -f (x ),x ɪ[a ,b ]㊂由定理6,复合映射g f :P ңR 在[a ,b ]上连续且值为正的㊂那么g 在[a ,b ]上有上确界并记为G ㊂则有0<g (x )=1M -f (x )ɤG ,x ɪ[a ,b ]㊂从而推得f (x )ɤM -1G,x ɪ[a ,b ]㊂这与M 为f ([a ,b ])的上确界相矛盾,所以必有B ɪ[a ,b ],使得f (B )=M ,即f 在[a ,b ]上有最大值㊂同理可证f 在[a ,b ]上有最小值㊂证毕㊂以下是数学分析中零点存在定理的推广㊂定理8㊀如果映射f 在闭区间[a ,b ]⊆P 上连续且f (a )㊃f (b )<0,则存在c ɪ(a ,b ),使得f (c )=0㊂证明:不失一般性,不妨设f (a )<0,f (b )>0,集合E ={x ɪ[a ,b ]f (x )<0},显然E 有底元a ,且存在极大元集合Max E ⊆E ,因为f (a )<0,所以Max E 和E 非空㊂对任意的c ɪMax E ,c ɪ[a ,b ]㊂假设f (c )ʂ0㊂如果f (c )>0,由推论1,存在U ㊂-(c )⊆[a ,b ],使得对于任意的x ɪU ㊂-(c )有f (x )>0,那么U ㊂-(c )ɘE ʂØ,这与c ɪMax E 矛盾㊂如果f (c )<0,对于f (b )>0且c <b ,由命题3,存在U ㊂+(c )⊆[a ,b ],使得对任意的x ɪU ㊂+(c )有f (x )<0,这与c ɪMax E 矛盾㊂所以f (c )=0㊂证毕㊂定理9㊀如果映射f 在闭区间[a ,b ]⊆P 上连续,存在A ,B ɪ[a ,b ],使得m =f (A )=inf R f ,M =f (B )=sup R f ㊂那么映射f 在[a ,b ]上能取到[m ,M ]中的任意值㊂证明:对于A ,B ɪ[a ,b ]⊆P ,A 和B 不一定比,所以取两个闭区间[a ,A ]和[a ,B ],因为对任意的x ɪ[a ,b ]有f (A )ɤf (x )ɤf (a )或者f (a )ɤf (x )ɤf (B )㊂取任意y ɪ(m ,f (a )),令g (x )=f (x )-y ,易知g (A )<0且g (a )>0,由定理8,存在c ɪ(a ,A ),使得g (c )=0㊂类似地,对于任意地y ɪ(f (a ),M ),存在c ɪ(a ,B ),使得g (c )=0㊂证毕㊂推论4㊀如果映射f 在闭区间[a ,b ]⊆P 上连续,m 是最小值,M 是最大值,则映射的值域是闭区间R f =[m ,M ]㊂参考文献:[1]BIRKHOFF ttice theory[M].Providence:American Mathematical Society,1940:1-20.[2]JIN Q,LI L Q,MA Z M,et al.A note on the relationshipsbetween generalized rough sets and topologies[J].Inter-national journal of approximate reasoning,2021,130(1):292-296.[3]PEI Z,PEI D W,ZHENG L.Topology vs generalizedrough sets[J].International journal of approximate 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[9]JAMES S.Calculus[M].7th ed.Boston:Cengage Learn-ing,2014:108-130.[10]DAVEY B A,PRIESTLEY H A.Introduction to latticesand order[M].2nd ed.Cambridge:Cambridge UniversityPress,2002:1-64.[11]GIERZ G,HOFMANN K H,KEIMEL K,et al.Continu-ous lattices and domains[M].Cambridge:CambridgeUniversity Press,2003:1-47.。
一致连续偏序集的特征和浓度
定义 ３ 设 Ｐ为一致完备偏序集 ， Ｐ满足条件 （） Ｅ Ｐ， （ （ ）Ｎ 若 １Ｖ Ｐ ） Ｐ中的一致集 ； 是 （） ＥＰ， ＝ＶＵ （ ＝Ｖ Ｋ（ ｎ ２Ｖ ， Ｐ） ）则称 Ｐ是一致连续（ ， 代数） 偏序集．
致连续偏序集带上 Ｓｏ 拓扑时的拓 扑空 间的特征 和浓度相 等 ， 们分别小 于一致 连续偏序 集带上 Ｌｗ ｃｔ ｔ 它 ａ．
ｓ 拓扑时拓扑空间的特征和浓度． ｏ ｎ 关键 词 ： 一致连续偏序集； 特征； 浓度； 一致 Ｓ ｔ ｃｔ ｏ 拓扑； Ｌｗｏ 拓扑 一致 ａ ｓ ｎ 中 图分类 号 ： ３１ ０１ ． ５ 文献标 识码 ： Ａ
ｃ Ｂ使 是 Ｐ的一致集 ， ｃＪ ， 且 ｌ
定 义 ５ 设 Ｐ为一 致完 备偏 序集 ， 若 满 足 （） ＝ 十Ｕ；２ 对 于任 意一 致 集 ｜， ． Ｕ ｃ Ｐ， １Ｕ （） ｓ开集． ｃｔ ｔ 令 （ ） ： 是Ｐ的一致 Ｓｏ 开集 ｝称 （ ） Ｐ Ｐ ＝｛ ｃｔ ｔ ， Ｐ 为 上的一致 Ｓｏ ｃｔ ｔ
ｎ
［上 ． ６ ｊ 近年来 ， 由于程序展开理论［８ ７］ － 的研究 ， 在偏序集 中提 出了一致集的概念 ， 它是定 向集 的自然推
广， 并且有 关一 致集 的格论 研究 是程序 展 开理论 的基础 ． 献 Ｅ］ 出 了一 致连 续偏 序集 的若 干性质 ， 文 ９给 沿用 文
献［０ 的思想 ， １］ 本文继续探讨一致连续偏序集的特征与浓度， 并且得到了一致连续偏序集的特征和浓度与一 致连续偏序集带上 Ｓ ｔ ｃｔ ｏ 拓扑时的拓扑空间的特征和浓度相等 ， 它们分别小于一致连续偏序集带上 Ｌｗｏ 拓 ａｓ ｎ
偏序关系
良序 全序 偏序 偏序/全序/良序的逆关系是否仍为偏序/全序/良序？ 良序的逆关系不一定是良序
例如(N， )
链与反链
链与反链
设C是偏序集(P,≼)的一个子集
如果C中任何两个元素均可比，则C构成一个链 如果C中任何两个元素均不可比，则B构成一个反链
链与反链（示例）
a
元素个数最多的反链，含k个元素
注：覆盖P的链数 P中任一反链的元素个数.
等价结论:有限偏序集中存在一个链覆盖和一个反链，它们 大小相等
Dilworth定理的归纳证明
证明. 按照P中元素个数（|P|=1, 2 …）进行归纳证明. 设a为P中的一个极大元素, P’ =P-{a} 设(P’,≼)有一个大小为k的反链{a1, a2, …, ak}，并有一个规模 为k的链覆盖{C1, C2, …, Ck}. 对任意Ci , P’中大小为k的任一反链均有唯一的元素属于Ci， 这些元素有一个最大元，记为xi. A={x1, x2, …, xk}必是反链。否则，不妨假设A中有两个元素 xi≼ xj. 根据xj的定义，P’中必有一个大小为k的反链Aj, xj是Aj 和Cj的公共元素，假设y是Aj和Ci的公共元素，则y≼ xi. 从而 y≼ xj.与Aj是反链矛盾.
离散数学集合论南京大学计算机科学与技术系极大小元最大小元格及其性质partialorder给定有限字符集合若在上有一个偏序关系类似上述办法可以对任意正整数k定义由中字符构成的长度为k的串的集合上的偏序关系
偏序关系
离散数学－关系
南京大学计算机科学与技术系
内容提要
偏序与全序
哈斯图
c在数学中表示什么--常用数学符号大全
1、几何符号⊥∥∠⌒⊙≡≌△2、代数符号∝∧∨～∫≠≤≥≈∞∶3、运算符号如加号（＋），减号（－），乘号（×或·），除号（÷或／），两个集合的并集（∪），交集（∩），根号（√），对数（log，lg，ln），比（：），微分（dx），积分（∫），曲线积分（∮）等。
4、集合符号∪∩∈5、特殊符号∑π（圆周率）6、推理符号|a| ⊥∽△∠∩∪≠≡±≥≤∈←↑→↓↖↗↘↙∥∧∨&; §①②③④⑤⑥⑦⑧⑨⑩ΓΔΘΛΞΟΠΣΦΧΨΩαβγδεζηθικλμνξοπρστυφχψωⅠⅡⅢⅣⅤⅥⅦⅧⅨⅩⅪⅫⅰⅱⅲⅳⅴⅵⅶⅷⅸⅹ∈∏∑∕√∝∞∟ ∠∣∥∧∨∩∪∫∮∴∵∶∷∽≈≌≒≠≡≤≥≦≧≮≯⊕⊙⊥⊿⌒℃指数0123：o1237、数量符号如：i，2+i，a，x，自然对数底e，圆周率π。
8、关系符号如“＝”是等号，“≈”是近似符号，“≠”是不等号，“＞”是大于符号，“＜”是小于符号，“≥”是大于或等于符号（也可写作“≮”），“≤”是小于或等于符号（也可写作“≯”），。
“→ ”表示变量变化的趋势，“∽”是相似符号，“≌”是全等号，“∥”是平行符号，“⊥”是垂直符号，“∝”是成正比符号，（没有成反比符号，但可以用成正比符号配倒数当作成反比）“∈”是属于符号，“??”是“包含”符号等。
9、结合符号如小括号“（）”中括号“［］”，大括号“｛｝”横线“—”10、性质符号如正号“＋”，负号“－”，绝对值符号“| |”正负号“±”11、省略符号如三角形（△），直角三角形（Rt△），正弦（sin），余弦（cos），x的函数（f(x)），极限（lim），角（∠），∵因为，（一个脚站着的，站不住）∴所以，（两个脚站着的，能站住）总和（∑），连乘（∏），从n个元素中每次取出r 个元素所有不同的组合数（C(r)(n) ），幂（A，Ac，Aq，x^n）等。
12、排列组合符号C-组合数A-排列数N-元素的总个数R-参与选择的元素个数!-阶乘，如5！=5×4×3×2×1=120C-Combination- 组合A-Arrangement-排列13、离散数学符号├ 断定符（公式在L中可证）╞ 满足符（公式在E上有效，公式在E上可满足）┐ 命题的“非”运算∧命题的“合取”（“与”）运算∨命题的“析取”（“或”，“可兼或”）运算→ 命题的“条件”运算A<=>B 命题A 与B 等价关系A=>B 命题A与B的蕴涵关系A* 公式A 的对偶公式wff 合式公式iff 当且仅当↑ 命题的“与非” 运算（“与非门” ）↓ 命题的“或非”运算（“或非门” ）□ 模态词“必然”◇模态词“可能”φ 空集∈属于（??不属于）P（A）集合A的幂集|A| 集合A的点数R^2=R○R [R^n=R^(n-1)○R] 关系R的“复合”（或下面加≠）真包含∪集合的并运算∩ 集合的交运算- （～）集合的差运算〡限制[X](右下角R) 集合关于关系R的等价类A/ R 集合A上关于R的商集[a] 元素a 产生的循环群I (i大写) 环，理想Z/(n) 模n的同余类集合r(R) 关系R的自反闭包s(R) 关系的对称闭包CP 命题演绎的定理（CP 规则）EG 存在推广规则（存在量词引入规则）ES 存在量词特指规则（存在量词消去规则）UG 全称推广规则（全称量词引入规则）US 全称特指规则（全称量词消去规则）R 关系r 相容关系R○S 关系与关系的复合domf 函数的定义域（前域）ranf 函数的值域f:X→Y f是X到Y的函数GCD(x,y) x,y最大公约数LCM(x,y) x,y最小公倍数aH(Ha) H 关于a的左（右）陪集Ker(f) 同态映射f的核（或称f同态核）[1，n] 1到n的整数集合d(u,v) 点u与点v间的距离d(v) 点v的度数G=(V,E) 点集为V，边集为E的图W(G) 图G的连通分支数k(G) 图G的点连通度△（G) 图G的最大点度A(G) 图G的邻接矩阵P(G) 图G的可达矩阵M(G) 图G的关联矩阵C 复数集N 自然数集（包含0在内）N* 正自然数集P 素数集Q 有理数集R 实数集Z 整数集Set 集范畴Top 拓扑空间范畴Ab 交换群范畴Grp 群范畴Mon 单元半群范畴Ring 有单位元的（结合）环范畴Rng 环范畴CRng 交换环范畴R-mod 环R的左模范畴mod-R 环R的右模范畴Field 域范畴Poset 偏序集范畴上述符号所表示的意义和读法（中英文参照）＋plus 加号；正号－minus 减号；负号±plus or minus 正负号×is multiplied by 乘号÷is divided by 除号＝is equal to 等于号≠is not equal to 不等于号≡is equivalent to 全等于号≌is approximately equal to 约等于≈is approximately equal to 约等于号＜is less than 小于号＞is more than 大于号≤is less than or equal to 小于或等于≥is more than or equal to 大于或等于％per cent 百分之…∞infinity 无限大号√(square) root 平方根X squared X的平方X cubed X的立方∵since; because 因为∴hence 所以∠angle 角⌒semicircle 半圆⊙circle 圆○circumference 圆周△triangle 三角形⊥perpendicular to 垂直于∪intersection of 并，合集∩union of 交，通集∫the integral of …的积分∑(sigma) summation of 总和°degree 度′minute 分〃second 秒＃number …号＠at 单价。
离散数学 二元关系(3)
则a,b∈A，a≠b，且<a,b>∈R，<b,a>∈R，
因R是传递的，∴<a,a>∈R，<b,b>∈R。
与R是反自反的矛盾。
∴R具有反对称性。
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23
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Discrete Mathematics 有关说明: (1). 由反自反性和传递性可以推出反对称性。
(2). 拟序关系具有反自反性，反对称性和传递性。
最大元不存在，极大元是4、6、15。
(3).B3={2,3,4,6,12,30}，则B3 的最大元、最小元均 不存在；极大元是12、30，极小元是2、3。
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Discrete Mathematics 3、上界、下界、上确界、下确界 定义 设<A,≤>是偏序集，集合BA
系用哈斯图表示。
哈斯图是关系图的简化，其省略方法如下:
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Discrete Mathematics (1). 把所有结点的自回路均省略，只用一个结点
表示A的元素。
(2). 省略所有有向边的方向，通过适当排列A中
元素的位置来确定它们的关系，如a≤b，则a画
在b的下方(向上画)。 (3).如a≤b，b≤c，则必有a≤c。所以，如a到b有 边，b到c有边，则把a到c的有向边省略掉。
④4≤5，5≤4两者均不成立，4、5的位置的高低不 决定两者的序关系。 ⑤该关系图共有14条有向弧，而哈斯图共有6条边， 省略了8条边。 4 6
5 2 1 8 3
西南科技athematics (2).哈斯图为：
(3).A={ａ,ｂ,ｃ}，则包含关系R是ρ(A)上的偏 序关系。则<ρ(A)，R>是偏序集,其哈斯图如下:
离散数学知识点整理
离散数学一、逻辑和证明1.1命题逻辑命题：是一个可以判断真假的陈述句。
联接词：A、V、一、f「。
记住“p仅当q”意思是“如果p,则q"，即p-。
记住“q除非p”意思是“」p-q”。
会考察条件语句翻译成汉语。
构造真1.2语句翻译系统规范说明的一致性是指系统没有可能会导致矛盾的需求，即若pq无论取何值都无法让复合语句为真，则该系统规范说明是不一致的。
1.3命题等价式逻辑等价：在所有可能情况下都有相同的真值的两个复合命题，可以用真值表或者构造新的逻辑等价式。
证逻辑等价是通过p推导出q,证永真式是通过p推导出T。
(p—r)A(q-r) = (pVq)-r(p—q)V(p-r) = p—(qVr)(p—r)V(q-r) = (pAq)-r双条件命题等价式pf = (pfq) A (qfp)pf = -pfqpf Q (pAq) V(-pA-q)「(pf) = pfq1.4量词谓词+量词变成一个更详细的命题，量词要说明论域，否则没有意义，如果有约束条件就直接放在量词后面，如V x>0P(x)。
当论域中的元素可以一一列举，那么V xP(x)就等价于P(x1)AP(x2)...A P(xn)。
同理，3 xP(x)就等价于 P(x1)VP(x2)...VP(xn)。
两个语句是逻辑等价的，如果不论他们谓词是什么，也不论他们的论域是什么，他们总有相同的真值，如V x(P(x)AQ(x))和(V xP(x)) A (V xQ(x))。
量词表达式的否定：「V xP(x) Q 3 x-P(x),「3 xP(x) Q V x-P(x)。
1.5量词嵌套我们采用循环的思考方法。
量词顺序的不同会影响结果。
语句到嵌套量词语句的翻译，注意论域。
嵌套量词的否定就是连续使用德摩根定律，将否定词移入所有量词里。
1.6推理规则一个论证是有效的，如果它的所有前提为真且蕴含着结论为真。
但有效论证不代命题和量化命题的组合使用。
二、集合、函数、序列、与矩阵2.1集合£说的是元素与集合的关系，^说的是集合与集合的关系。
离散数学(一)知识梳理
离散数学（一）知识梳理逻辑和证明部分命题逻辑题型命题符号化问题将自然语言转为符号化逻辑命题用命题变量来表示原子命题用命题联结词来表示连词命题公式的类型判断判断命题公式是否是永真式、矛盾式、可能式利用真值表判断利用已知的公式进行推理判断利用主析取和合取范式判断定理：A为含有n个命题变元的命题公式，若A的主析取范式含有2^n个极小项，则A为重言式，若极小项在0到2^n之间，则为可满足式，若含有0个极小项，则A为矛盾式；若A的主合取范式含有2^n个极大项，则A为矛盾式，若极小项在0到2^n之间，则为可满足式，若含有0个极小项，则A为重言式翻译：一个命题公式化成主范式后，若所有项都分布在主析取范式中（主合取范式为1）则为重言式；若所有项都分布在主合取范式中（主析取范式为0）则为矛盾式；若均有分布，则为可满足式。
【思想来源：真值表法求主范式】一个质析取式是重言式的充要条件是其同时含有某个命题变元及其否定式；一个质合取式是矛盾式的充要条件是其同时含有某个命题变元及其否定式一个析取范式是矛盾式当且仅当它的每项都是矛盾式；一个合取范式是重言式当且仅当它的每项都是重言式求（主）析取或合取范式等值演算法1. 利用条件恒等式消除条件（蕴含和双条件）联结词，化简得到一个范式2. 在缺项的质项中不改变真值地添加所缺项，化简得到一个主范式3. 找出包含所有命题变元排列中剩余项，凑出另一个主范式（思想上类似于真值表法）真值表法1. 画出命题公式真值表2. 根据真值表结果求出主范式主析取范式：真值为1的所有项，每一项按对应01构成极小项主合取范式：真值为0的所有项，每一项按对应01构成极大项形式证明与命题推理利用推理规则构造一个命题公式的序列，证明结论形式证明：命题逻辑的论证是一个命题公式的序列，其中每个公式或者是前提，或者是由它之前的公式作为前提推得的结论，序列的最后一个是待证的结论，这样的论证也称为形式证明。
核心方法把非条件语句全部转为条件语句利用条件的逆否命题和双条件的拆分利用重言式/矛盾式来不改变真值地添项蕴含证明规则：A1,A2, …, An⇒ A → B 等价于A1,A2, …,An,A⇒ B【意义：使用结论的前提时应标为附加前提】（适用：结论为条件语句）反证法：若要证A1,A2, …, An⇒ B，将ØB加入前提，通过证明：A1,A2, …, An, ØB⇒ C, ØC完成证明。
模糊数学第二讲--模糊集合及其运算
A(u)
[1
(
u
50 5
)2
]1
, 50 u 100
1
0 u 25
B(u)
[1
(
u
25 5
)2
]1
25 u 100
A
B A(u) B(u)
1
[1 (u 25)2 ]1
5
[1 (u 50)2 ]1 5
uU
u
u 0u25
25u u*
u
u* u100
u
A
B A(u) B(u)
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五、模糊截集
1. -截集(-cut)
引例：
奴隶社会 1/ 夏 1/ 商 0.9 / 西周 0.7 / 春秋 0.5/战国 0.4 / 秦 0.3/ 西汉 0.1/东汉
若要求至少应达到0.5 水平，则有夏、商、西 周、春秋、战国
若要求至少应达到0.7 水平，则有夏、商、西周、 春秋
(A B) C (A C) (B C)
5、吸收律： (A B) A A, (A B) A A 6、复原律： (Ac )c A 7、对偶律： ( A B)c Ac Bc , ( A B)c Ac Bc 8、0 –1律： A U U , A A
AU A, A
k 1
uk
k 1
uk
u k 1
k
(2) 设论域U为无限集且A A(u), B B(u),
uU u
uU u
则A B A(u) B(u)，A B A(u) B(u)，AC 1 A(u)
uU
u
uU
u
uU
u
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例2 设模糊集A和B的隶属函数为
序关系与序结构
格上是非分配的 当且仅当它包含同构于下面两个格的子格
I
I
a
b
a
o
an back a
lab Nau 0
钻石格
b
c
Mlb Vc M a o MbMane b
五⻆格
谁是有最大社和最忼0的一个有界格 a EL 一个元素 比 淋作的补
定理偏序的有向图中没有比 1大的环
证明 假设含有⻓度加 32的环 那么存在a az anEA使 1互不相同
a tn at
dian anEG
由反对称性得a an 矛盾
J
哈塞图 HasseDiagrams 因为自反性 偏序关系的有自图中每个顶点被包含在⻓度为1的环中 简化去掉
去掉由传递性推出的所有边 用点线表示
a
b
a
b
Sb
屿b的最大下界 不属于Sb则名不是人的格
屿b0的最小上界 不属我 则不是人的子格
是
a
b
0
Sd是上的子格
如果払 红是同构 则山是格心口是格 若 a和b是山的元素 那么 funb famfb和fuvbinfb 如果两个格作为偏序集是同构的
则称它们是同构的格
格的性质
l at avb且 b Nbiavb是a和b的上界 2 若a 且 be 则 avbtcjavb是俰b的最小上界
有限全序集总是线段
拓扑排序 构造如 人 的一个全序
isomorphic
同构 A 二和
fffuiflb
fm A 为是偏序集 A是A与A间的 一 对应 tabtA at
称f是从1A 到到 A 刘的一个同构 哈塞图相同
离散数学第四章(第5讲)
4、分析研究盖住集(盖住关系)定义
定义：在偏序集合〈A，≤〉中，对A上任意元素x和y,若有
x ≤ y和x ≠ y，且没有其它元素z ,满足x ≤z且z ≤y,则称元素 y盖住x.盖住集(盖住关系)记为：
COV A ={<x,y>|x∈A∧ y∈A∧y盖住x} 结论：
(1)盖住集中不存在任何序偶<x,x>且x∈A (2) 若存在其它元素z ，满足x ≤z且z ≤y，可通过复合运算获 得序偶<x,y> (3)通过复合运算获得的序偶<x,y>不属于盖住集。
5、盖住集(盖住关系)的等价定义
定义:设R是集合A上的偏序关系，IA是集合A上的恒等关系，
R1 = R - IA ,则R1 - ( R1 o R1) 为盖住集COV A 。
≤={<1,1><1,2><1,3><2,2><2,3><3,3>}
COV P={<1,2><2,3>}
则哈斯图为：
3
2
1
例：设A={2,3,6,12,24,36},≤定义为A上的整除关系，画出 偏序集<A, ≤ >哈斯图。
≤={<2,2><2,6><2,12><2,24><2,36><3,3><3,6><3,12><3,24> <3,36><6,6><6,12><6,24><6,36><12,12><12,24><12,36> <24,24><36,36>}
相对连续偏序集及其应用
相对连续偏序集及其应用刘东明;姜广浩;李辉【摘要】提出相对定向集和相对定向完备集的概念,并在相对定向完备集上引入相对双小于关系.利用相对way below关系引入相对连续偏序集的概念,探讨了其一些等价条件,并证明了相对连续偏序集具有相对T的遗传性.【期刊名称】《天津师范大学学报（自然科学版）》【年(卷),期】2018(038)004【总页数】4页(P13-16)【关键词】相对定向完备集;相对way below关系;相对连续偏序集;相对遗传性【作者】刘东明;姜广浩;李辉【作者单位】淮北师范大学数学科学学院,安徽淮北235000;淮北师范大学数学科学学院,安徽淮北235000;淮北师范大学数学科学学院,安徽淮北235000【正文语种】中文【中图分类】O153.11 引言与预备知识由于计算机程序语言逻辑的迫切需要，著名数学家Scott于1972年首次引入连续格的概念，并由此创建了比较完整的连续格理论[1].随后相关学者将连续格理论推广到使用更广泛的连续Domain[2]上.Domain理论的一个重要的研究方向是将其推广到一般的偏序集中去，如，连续偏序集[3-5]、拟连续偏序集[6-7]、C-连续偏序集[8-9]等.本文在以往文献的基础上，将定向集和一致集进行推广.首先引入相对定向集和相对定向完备集的概念，并在相对定向完备集上引入相对双小于的概念，研究其在给定的集合T中的一些性质；然后利用相对way below关系引入相对连续偏序集的概念，探讨了它的一些等价条件；最后引入相对遗传性的概念，证明了相对连续偏序集在给定的集合T下具有相对T的遗传性.设P为偏序集，∀X⊆P，记↓X={y∈P：∃x∈X，y≤x}，对偶地，记↑X={y∈P：∃x∈X，x≤y}，并记↓x=↓{x}，↑x=↑{x}.设P为偏序集，X⊆P，则X是下集当且仅当X=↓X，X为上集当且仅当X=↑X.若∀x、y∈X，∃z∈X，使得 x、y≤z，则称X是P的定向集.对偶地，可以定义余定向集.定义1[2] 设P为偏序集，X⊆P，称X为理想，当且仅当X既是下集又是定向集.对偶地，可以定义滤子.记P的所有理想构成的集合为Idl（P），P的所有滤子构成的集合为Filt（P）.定义2[2] 设P为偏序集，若对于任意定向子集D，sup D存在且sup D∈D，则称偏序集P是定向完备的，简记为DCPO.定义3[4] 设P为偏序集，S⊆P，若∀x、y∈S，存在z∈P，使得x≤z，y≤z，则称 S 为 P 的一致集.定义4[4] 设P为偏序集，若对于任意一致集S，sup S存在且sup S∈S，则称偏序集P为一致完备的，简记为UCPO.定义5[4]设P为偏序集，定义P上的waybelow＜＜u关系如下：∀x、y∈P，若对于任意一致集S，当y≤sup S时，存在s∈S，使得x≤s，则称x一致小于 y，记作x＜＜uy.记⇓ux={v：v＜＜ux}.定义6[4] 设P为一致完备偏序集，若对于任意x∈P，x=sup⇓ux，则称P是一致连续偏序集.定义7 设P为偏序集，S、T⊆P，S≠，T≠，若∀x、y∈S，存在t∈T，使得x≤t，y≤t，则称 S 为偏序集P相对于T的定向集.当T明了时，简称S为相对定向集. 例1 设P为偏序集，T⊆P，T≠，∀x∈T，则单点集{x}是P中相对于T的定向集. 定义8 设P为偏序集，T⊆P，T≠，若任意相对于T的定向集都存在最小上界，则称P为相对于T的定向完备集.当T明了时，简称P为相对定向完备集，简记为RDCPO（T）.设P为偏序集，且P具有性质Q，若P的任意非空子集也具有性质Q，则称Q在P中具有遗传性.对于集合T⊆P，T≠，记I（rT）={↓S：S为相对于 T的定向集}，U（T）={S：S 为相对于 T的定向集}，RId（lT）={I：I为相对于T的定向集且为下集}.2 相对way below关系定义9 设P为相对于T的定向完备集，定义P上的相对 way below＜＜T关系如下：∀x、y∈P，若对于任意相对于T的定向集S，当y≤sup S时，存在s∈S，使得x≤s，则称x在P上相对于T小于y，当T明了时，简称 x相对小于 y，记为x＜＜Ty.若 x＜＜Tx成立，则称x为P上相对于T的紧元，当T明了时，简称x 为相对紧元.记⇑Tx={u：x＜＜Tu}，⇓Tx={v：v＜＜Tx}.命题设P为偏序集，T⊆P，T≠，若P为相对于T的定向完备集，则对于任意u、x、y、z∈T，有如下结论成立.（1）x＜＜Ty⇒x≤y.（2）u≤x＜＜Ty≤z⇒u＜＜Tz.（3）⇓Tx∈U（T）.（4）当P有最小元0时，0＜＜Tx.（5）x＜＜Tz，y＜＜Tz，若x∨y存在，则x∨y＜＜Tz.证明（1）∀D∈U（T），由于P为相对于T的定向完备集，则sup D存在，若y≤sup D，则存在d∈D，使得x≤d，取D={y}∈U（T），则x≤sup D=y.（2）∀D∈U（T），sup D存在，若z≤sup D，由条件得y≤sup D，又 x＜＜Ty，从而存在d∈D，使得x≤d，又因为u≤x，所以u≤d，由相对way below的定义得u＜＜Tz.（3）∀a、b∈⇓Tx，有 a＜＜Tx 且 b＜＜Tx，则a≤x，b≤x，而x∈T，所以⇓Tx∈U（T）.（4）∀D∈U（T），若x≤sup D，则存在d∈D，使得x≤d，又由于0是P的最小元，故0≤d，所以0＜＜Tx.（5）∀D∈U（T），则 sup D 存在且sup D∈D，若z≤sup D，因为 x＜＜Tz，y＜＜Tz，故存在 d1、d2∈D，使得x≤d1≤sup D 且y≤d2≤sup D，进而x∨y≤sup D，所以x∨y＜＜Tz.由命题易得推论1和推论2.推论1 设P为偏序集，T⊆P，T≠，若P为相对于T的定向完备集，则∀x∈T，有⇓Tx⊆↓x，⇑Tx⊆↑x.推论2 设P为偏序集，T⊆P，T≠，若P为相对于T的定向完备集，则∀x、y∈T 且x≤y，有⇓Tx⊆⇓Ty.推论3 设P为偏序集，T⊆P，T≠，若P为相对于T的定向完备集，x∈T，则有⇓Tx∈RId（lT）.证明由命题的（3）知⇓Tx∈U（T），下证⇓Tx为下集.任意取a∈⇓Tx，则 a＜＜Tx，任意取b∈P，若b≤a，再由命题的（2）得 b＜＜Tx，因此⇓Tx为下集，故⇓Tx∈RId（lT）.引理设P为偏序集，T⊆P，T≠，则I（rT）⊆U（T）.证明∀M∈I（rT），则存在S∈U（T），使得M=↓S.∀x、y∈M，则有 x、y∈↓S，从而存在 s1、s2∈S，使得x≤s1，y≤s2，又 S 为相对于 T 的定向集，故存在t∈T，使得s1≤t，s2≤t，进而有x≤t，y≤t，所以 M 为相对于T的定向集.定理1 设P为偏序集，T⊆P，T≠，P为相对于T的定向完备集.∀x、y∈T，x＜＜Ty当且仅当∀I∈I（rT），若y≤sup I，则x∈I.证明必要性∀I∈I（rT），由引理得I⊆U（T），故I相对于T定向且为下集，若x＜＜Ty且y≤sup I，则存在d∈I，使得x≤d，进而x∈I.充分性∀I∈I（rT），有I∈RId（lT），对于任意x∈I，则存在d∈I，使得x≤d，即对于任意相对于T定向的I，若y≤sup I，则存在d∈I，使得x≤d，故有x＜＜Ty.定理2 设P为一致完备集，T⊆P，T，∀x∈T，则有⇓ux⊆⇓Tx.证明∀a∈⇓ux，有 a＜＜ux，下证a∈⇓Tx，任意取D⊆U（T），则D为P中的一致集，因为P为一致完备集，所以sup D存在，若x≤sup D，则存在d∈D，使得a≤d，由相对way below关系的定义得a＜＜Tx，从而a∈⇓Tx，故⇓ux⊆⇓Tx.3 相对连续偏序集定义10 设P为偏序集，T⊆P，T≠，且P为相对于T的定向完备集，若∀x∈T，x=sup⇓Tx，则称P为相对于T的连续偏序集.当T明了时，简称P为相对连续偏序集.注1 相对连续偏序集未必为一致连续偏序集.例2 设偏序集P=M∪N，见图 1.N={a，b，c，d}，规定P的序：若x、y∈M，则x≤y当且仅当x=y；若x∈N，y∈M,则x≤y；若 x、y∈N，N 上的序如图 1所示.令T={b，c，d}，则P为相对于T的连续偏序集.然而，对于一致集N，sup N∉N，P不为一致完备集，从而P不是一致连续偏序集.图1 偏序集P=M∪NFig.1 Poset P=M∪N注2 相对连续偏序集未必为连续偏序集，连续偏序集也未必为相对连续偏序集.例3 设 P=[0，1），T=[0，1/2]，则 P 为相对于T的连续偏序集，但由supP∉P知P不为定向完备偏序集，故P不为连续偏序集.定理3 设P为一致连续偏序集，则∀T⊆P，T≠，P为相对于T的连续偏序集.证明若P为一致连续偏序集，则P为一致完备集，从而P为相对于T的定向完备集.∀x∈T，由定理1知⇓Tx∈U（T）.下证x=sup⇓Tx.首先，易知x为⇓Tx的一个上界，从而sup⇓Tx≤x；其次，由定理2得⇓ux⊆⇓Tx，又P为一致连续偏序集，故有x=sup⇓ux≤sup⇓Tx，进而x=sup⇓Tx.所以P为相对于T的连续偏序集.定理4 设P为偏序集，T1⊆T2⊆P，T1、T2≠，若P为相对于T2的连续偏序集，则P为相对于T1的连续偏序集.证明设P为相对于T2的连续偏序集，则P为相对于T2的定向完备集.首先证P 为相对于T1的定向完备集.∀D∈U（T1），∀a、b∈D，存在t∈T1⊆T2，使得a≤t且b≤t，从而D∈U（T2），又P为相对于 T2的定向完备集，故sup D存在且sup D∈D，进而P为相对于T1的定向完备集.∀x∈T1，由定理1知.下面证易知的一个上界，从而下证，则有，，有，因P为相对于T1的定向完备集，故sup D存在且sup D∈D，若x≤sup D，又，故存在d∈D，使得y≤d，由相对way below的定义可知，进而，所以，又因P为相对于T2的连续偏序集，进而有，故综上可知P为相对于T1的连续偏序集.定义11 设P为偏序集，T⊆P，T≠，若P具有性质Q，且T中的任意子集D都具有性质Q，则称Q在P中具有相对于T的遗传性.当T明了时，简称相对遗传性. 注3 若某种性质具有遗传性，则必具有相对遗传性.注4 若某种性质具有相对遗传性，则未必具有遗传性.例4 设偏序集 P={a，b，c，d，e，f}，见图 2.设T={b，d，e}，易知P为定向的，且对于任意T中的非空子集D，D都是定向的，但显然P中的子集不都是定向的.故定向性质具有相对于T的遗传性，但不具有遗传性.图2 偏序集 P={a，b，c，d，e，f}Fig.2 Poset P={a，b，c，d，e，f}定理5 设P为相对于T的连续偏序集，T⊆P，T≠，则对于T的任一非空子集D，P为相对于D的连续偏序集.【相关文献】[1]GIERZG.ACompendiumofContinuousLattice[M].NewYork：Springer-Verlag，1980.[2]GIERZ G，HOFMANN K H，KEIMEL K，et al.Continuous Lattices andDomains[M].Cambridge：Cambridge University Press，2003.[3]徐罗山.相容连续偏序集及其定向完备化[J].扬州大学学报（自然科学版），2000，3（1）：1-10.XULS.Consistentlycontinuousposetsandtheirdirected completions[J].Journal of Yangzhou University（Natural Science Edition），2000，3（1）：1-10（in Chinese）.[4]白仲林.一致连续偏序集理论[J].西北师范大学学报（自然科学版），1996，32（2）：31-32. BAI Z L.Theories of uniform continuous partial order sets[J].Journal of Northwest Normal University（Natural Science），1996，32（2）：31-32（in Chinese）.[5]阮小军，徐晓泉.一致极小集及其对一致连续偏序集的应用[J].模糊系统与数学，2014，28（4）：80-83.RUAN X J，XU X Q.Uniform minimal sets and their applications to uniform continuous posets[J].Fuzzy Systems and Mathematics，2014，28（4）：80-83（in Chinese）.[6]陈秋燕，寇辉.拟连续domain的网式刻画[J].四川大学学报（自然科学版），2014，51（3）：433-435.CHEN Q Y，KOU H.A characterization of quasi-continuous domains by nets[J].Journal of Sichuan Normal University（Natural Science Edition），2014，51（3）：433-435（in Chinese）.[7]张颖，杨金波.可数S2拟连续偏序集上的收敛[J].模糊系统与数学，2017，31（3）：131-135. ZHANG Y，YANG J B.Convergence in countably S2-quasicontinuous posets[J].Fuzzy Systems and Mathematics，2017，31（3）：131-135（in Chinese）.[8]何青玉，徐罗山.C-连续偏序集的性质及等价刻画[J].模糊系统与数学，2015，29（3）：8-12. HE Q Y，XU L S.Properties and characterizations of C-continuousposets[J].FuzzySystemsandMathematics，2015，29（3）：8-12（inChinese）.[9]毛徐新，徐罗山.交C-连续偏序集[J].高校应用数学学报：A辑，2017，32（1）：103-108. MAO X X，XU L S.Meet C-continuous posets[J].Applied Mathematics A Journal of Chinese Universities：Series A，2017，32（1）：103-108（in Chinese）.。
ψ—连续偏序集与完全分配格的刻划
ψ—连续偏序集与完全分配格的刻划
李雷
【期刊名称】《淮北煤师院学报：自然科学版》
【年(卷),期】1996(017)004
【摘要】本文引入了ψ－连续偏序集的概念在讨论其性质的基础上给出完全分配格的一个刻划定理。
【总页数】4页(P15-18)
【作者】李雷
【作者单位】数学系
【正文语种】中文
【中图分类】O154
【相关文献】
1.完全分配格是完备集环的刻划定理 [J], 张玉琦
2.关于完全分配格的分子刻划 [J], 张立国
3.偏序集到完全分配格的并稠嵌入 [J], 徐晓泉;
4.偏序集的完备化与完全分配格 [J], 李永明
5.Z-拟连续偏序集基的刻划 [J], 刘富春
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＠ ｚ （ １ ５ ＫＪ Ｄ１ １ ０ ０ ０ ６ ） ； 江苏
１ ０ ４
高 校 应 用 数 学 学 报
第３ ２ 卷第１ 期
有 的表现 ．比如有界 完备偏 序集 是 交Ｃ ． 连续 的当且仅 当 的有 限交对 非空有界Ｓ ｃ ｏ ｔ ｔ闭集 的并 是分配 的 而有界完备偏序集是 Ｃ 一 连续的当且 仅当它 是交Ｃ 一 连续且 拟Ｃ 一 连续的．
中图分类号： ０ ห้องสมุดไป่ตู้ ５ ３ ． １ ； ０ １ ８ ９ ． １
文献标识码 ： Ａ
文章编号 ： １ ０ ０ ０ — ４ ４ ２ ４ （ ２ ０ １ ７ ） ０ １ — ０ １ ０ ３ — ０ ６
§ １ 引 言
Ｄｏ ｍａ ｉ ｎ 理论【 １ 】 的建立 旨在为计算机高级程序设计语言 的指称语义提供数学模型， 受到计算 机科 学和数 学领域诸 多学者 的关注， 且不 断向信 息科 学， 逻辑 学， 分析 学及 各种应用 学科渗透． Ｄｏ ｍａ ｉ ｎ 理 论或更为一般 的连续偏序集理论体现 了序与拓扑 的相互结合， 其 中一个基本而重要的
高校应用数学学报 ２ ０ １ ７ ， ３ ２ （ １ ） ： １ ０ ３ — １ ０ ８
交Ｃ 一 连续偏序集
毛 徐 新 ， 徐 罗 山
（ １ ．南京航 空航 天大学 理学院，江苏 南京 ２ １ ０ ０ １ ６
２ ．扬 州 大学 数 学 科 学 学 院 ， 江 苏扬 州 ２ ２ ５ ０ ０ ２ ）
§ ２ 预备知识
下面是一些预备知识， 大多采自文献『 １ ， ４ － ６ ］ ． 设（ Ｌ ≤） 是偏序集 ， 其对 偶偏序集 （ ≥） 记为 ．设 ） ， Ｘ ：｛ ∈Ｌ：
， 记Ｔ Ｘ ＝｛ ∈Ｌ： Ｘ∈Ｘ， Ｘ≤
∈Ｘ， Ｙ ≤ ） ， 分别称为ｘ的上集和下集． 用ｓ ｕ ｐ Ｘ 或Ｖ Ｘ表示ｘ的上确界．
偏序集是Ｃ 一 连 续 的 当且 仅 当 它是 交Ｃ 一 连续且拟Ｃ 一 连 续 的； （ ５ ）获 得 了反 例 说 明 分 配 的
完 备格 可 以不是 交Ｃ一 连 续 格 ，交Ｃ一 连 续格 也 可 以 不是 交连 续 格 ．
关键词： Ｓ ｃ ｏ ｔ ｔ Ｃ 集； 交Ｃ ． 连 续 偏 序 集 ；Ｃ ． 连 续偏 序 集； 分 配 格
结果 是： 一个偏序集是连续 的当且仅 当它上面的Ｓ ｃ ｏ ｔ ｔ 闭集格 是完全分配格［ ２ ． ３ １ ． 为进一步研究一
般（ 非连 续） 偏 序集上 的Ｓ ｃ ｏ ｔ ｔ 闭集 格， 文 献『 ４ 】 引入 了Ｃ ． 连续偏 序集 的概 念， 证 明了任一偏序 集上
的Ｓ ｃ ｏ ｔ ｔ 闭集格都是Ｃ 一连续格． 借助Ｃ 一 连续性， 得到 了偏序集是连续 的当且仅当它上面 的Ｓ ｃ ｏ ｔ ｔ 闭 集格是连续 的． 文献 则将Ｃ 一 连续性加 以推广， 引入拟Ｃ 一 连续偏序集 的概念， 并证 明了偏序集是 拟连续 的当且仅 当它上面 的Ｓ ｃ ｏ ｔ ｔ 闭集格也是拟连 续的． 在上 述研 究工作 的基础上 ， 由于通 常的连续性 可 以刻 画成 拟连续且 交连 续， 所 以人们 自然
称Ｌ 是有界完 备偏序集， 简 称ｂ ｅ — ｐ ｏ ｓ ｅ ｒ ．容 易验证Ｌ 是有界完 备偏序集 当且仅 当Ｌ 的任 意非空子 集都有下确界． 有界完备的ｄ ｃ ｐ ｏ 简称为ｂ ｃ — ｄ ｃ ｐ ｏ ． 若 中任意子集都有上确界 则称 是完备格．
设 是完备格， 称 是交连续格， 若对任意Ｘ∈Ｌ 及定向集Ｄ， 有Ｘ八Ｖ Ｄ ＝ｖ ｛ ｘ ／ ｘ ｄ： ｄ∈Ｄ｝ ． 称 是完备Ｈ ｅ ｙ ｔ ｉ ｎ ｇ 代数（ 简称ｅ ｌ ａ ） ， 若对任意Ｘ∈Ｌ 及子集ｙ， 有 Ａ Ｖ Ｙ＝ｖ ｛ ｘ 八Ｙ： Ｙ∈ｙ） ． 显
设（ Ｌ ≤） 是偏 序 集， Ｊ ［ ） 为 的非空 子 集．若 对 任 意ａ ， ｂ∈ Ｄ， 存 在ｃ∈ Ｄ使ａ≤ ｃ ｆ ￣ ｔ ． ｂ≤ ｃ ， 则 称Ｄ为 的定 向集．若 的任 意定 向集Ｄ都存 在上确 界， 则称 是定 向完备偏序 集， 简称ｄ ｃ ｐ ｏ ．
若 中任 意有 限子集 都有上 确界和 下确界， 则称 是格． 若 中任 意有上界的子集都有上确界 ， 则
希望 有对应 于交连续 的交Ｃ 一 连续性概念， 使得Ｃ 一 连续 性也能至少在一定范 围内刻 画成拟Ｃ 一 连续
且 交Ｃ 一 连续． 本 文将利 用偏序集 上的半拓 扑结构 引入 交Ｃ 一 连续偏 序集概念， 然后探讨交Ｃ 一 连续
性与 交连续性， Ｃ 一 连续性， 拟Ｃ 一 连续性之 间的关系． 结果表 明， 这种 交Ｃ 一 连续确有人们期 望的应
摘
要 ： 利 用偏 序 集 上 的 半 拓 扑 结 构 ， 引 入 了 交Ｃ 一 连续偏序集概 念， 探 讨 了交Ｃ 一 连 续
偏序 集的性 质 、刻画 及与Ｃ 一 连 续偏序 集 、拟Ｃ 一 连 续偏序 集等之 间的 关 系． 主要 结果
有 ：（ １ ）交Ｃ ． 连续的格 一定是分 配格； （ ２ ）有界 完备偏 序集（ 简记为ｂ ｃ — ｐ ｏ ｓ ｅ ｔ ） Ｌ 是 交Ｃ 一 连续的 当且仅 当对任 意 ∈Ｌ 及非 空Ｓ ｃ ｏ ｔ ｔ 闭集Ｓ ， 当ｖ Ｓ 存在 时有Ｘ Ａｖ ＝ｖ ｆ Ａ ｓ ： ｓ∈ Ｓ ｝ ： （ ３ ）完备格是 完备Ｈ ｅ ｙ ｔ ｉ ｎ ｇ 代数 当且 仅 当它是 交连续且 交Ｃ ． 连 续的； （ ４ ）有界 完备
然， ｃ Ｈ ａ 就是分配的交连续格． 设Ｌ是偏序集， Ｌ ． 若Ｕ 满足条件： （ １ ） Ｕ ＝Ｔ ｕ； （ ２ ） 对Ｌ 中任 一定向集Ｄ， 当ｓ ｕ ｐＤ 存在
收稿 日期 ： ２ ０ １ ６ — ０ ６ ０ ２
基 金项 目：国家 自然 科￣ （ １ １ ６ ７ １ ０ ０ ８ ； １ １ １ ０ １ ２ １ ２ ； ６ １ ４ ７ ２ ３ ４ ３ ） ； 江苏省高校 自 然 科￣ 高校品牌专业建设工程（ Ｐ Ｐ ｚ Ｙ２ Ｏ １ ５ Ｂ １ ０ ９ ）