有理数的减法法则2

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有理数的减法

简写
既然算式可以简写，那运算过程能简写吗？ (-20)+(+3)-(-5)-(+7)
=-20+3+5-7
=-20-7+3+5 =-27+8 =-19
每个数都可以带上前面的符号左右移动简称：带着符号搬家
练习
把下式写成省略加号的和，并把它读出来：（+3）+（-8）-（-6）+（-7）解：省略加号的和为 3-8+6-7
大胆探究：在符号简写这个环节，有什么小窍门么？这种几个数相加的式子，就叫做
这个数的代数和
代数和的读法
这个式子应该怎么读呢？
- 20 + 3 + 5 - 7
方法1、按性质符号读成代数式的和. -20 + 3 + 5 - 7 读为：负20、正3、正5、负7的和方法2、按运算符号读. 读为：负 20 加 3 加 5 减 7 让每个数都带上前面的符号
=（-27）+（+8）
=-19
归纳
引入相反数后，加减混合运算可以统一为加法运算.
a + b－c= a + b+（－c ）
代数和的概念
算式 (-20)+(+3)-(-5)-(+7) =(-20)+(+3)+(+5)+(-7) 这是-20，3，5，-7 这四个数的和．为书写简单，可以省略算式中的括号和加号，把它写为 -20+3+5-7 同号为正，异号为负
我们还知道
0－(－3)＝3 ①
0 + (＋3)＝3 __ ②
探究
减是加的逆运算

第二章有理数的运算考点2 有理数的减法(解析版)

第二章有理数的运算（解析板）2、有理数的减法知识点梳理有理数的减法（1）有理数减法法则：减去一个数，等于加上这个数的相反数．即：a﹣b＝a+（﹣b）（2）方法指引：①在进行减法运算时，首先弄清减数的符号；②将有理数转化为加法时，要同时改变两个符号：一是运算符号（减号变加号）；二是减数的性质符号（减数变相反数）；【注意】：在有理数减法运算时，被减数与减数的位置不能随意交换；因为减法没有交换律．减法法则不能与加法法则类比，0加任何数都不变，0减任何数应依法则进行计算同步练习一．选择题（共14小题）1．有理数a、b在数轴上的对应的位置如图所示，则（）A．a+b＜0B．a+b＞0C．a﹣b＝0D．a﹣b＞0【考点】数轴；有理数的加法；有理数的减法．【分析】先根据数轴判断出a、b的正负情况，以及绝对值的大小，然后对各选项分析后利用排除法求解．【解答】解：根据图形可得：a＜﹣1，0＜b＜1，∴|a|＞|b|，A、a+b＜0，故A选项正确；B、a+b＞0，故B选项错误；C、a﹣b＜0，故C选项错误；D、a﹣b＜0，故D选项错误．故选：A．【点评】本题考查了有理数的加法、减法，根据数轴判断出a、b的情况，以及绝对值的大小是解题的关键．2．某地一天的最高气温是8℃，最低气温是﹣2℃，则该地这天的温差是（）A．10℃B．﹣10℃C．6℃D．﹣6℃【考点】有理数的减法．【分析】根据题意算式，计算即可得到结果．【解答】解：根据题意得：8﹣（﹣2）＝8+2＝10，则该地这天的温差是10℃，故选：A．【点评】此题考查了有理数的减法，熟练掌握减法法则是解本题的关键．3．比﹣1小2的数是（）A．3B．1C．﹣2D．﹣3【考点】有理数的减法．【分析】根据题意可得算式，再计算即可．【解答】解：﹣1﹣2＝﹣3，故选：D．【点评】此题主要考查了有理数的减法，关键是掌握减去一个数，等于加上这个数的相反数．4．计算﹣﹣（﹣）的结果为（）A．﹣B．C．﹣D．【考点】有理数的减法．【分析】根据有理数的减法法则计算即可．【解答】解：﹣﹣（﹣）＝＝﹣．故选：A．【点评】本题主要考查了有理数的减法，熟记运算法则是解答本题的关键．减去一个数，等于加上这个数的相反数．5．我市2018年的最高气温为39℃，最低气温为零下7℃，则计算2018年温差列式正确的（）A．（+39）﹣（﹣7）B．（+39）+（+7）C．（+39）+（﹣7）D．（+39）﹣（+7）【考点】有理数的减法．【分析】根据题意列出算式即可．【解答】解：根据题意得：（+39）﹣（﹣7），故选：A．【点评】此题考查了有理数的加减混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．6．若|a|＝3，|b|＝2，且a+b＞0，那么a﹣b的值是（）A．5或1B．1或﹣1C．5或﹣5D．﹣5或﹣1【考点】绝对值；有理数的加法；有理数的减法．【分析】先根据绝对值的性质，判断出a、b的大致取值，然后根据a+b＞0，进一步确定a、b的值，再代入求解即可．【解答】解：∵|a|＝3，|b|＝2，∴a＝±3，b＝±2；∵a+b＞0，∴a＝3，b＝±2．当a＝3，b＝﹣2时，a﹣b＝5；当a＝3，b＝2时，a﹣b＝1．故a﹣b的值为5或1．故选：A．【点评】此题主要考查了绝对值的性质，能够根据已知条件正确地判断出a、b的值是解答此题的关键．7．﹣3﹣（﹣2）的值是（）A．﹣1B．1C．5D．﹣5【考点】有理数的减法．【分析】直接利用有理数的减法运算法则计算得出答案．【解答】解：﹣3﹣（﹣2）＝﹣3+2＝﹣1．故选：A．【点评】此题主要考查了有理数的减法运算，正确掌握运算法则是解题关键．8．下列算式正确的是（）A．（﹣14）﹣5＝﹣9B．|6﹣3|＝﹣（6﹣3）C．（﹣3）﹣（﹣3）＝﹣6D．0﹣（﹣4）＝4【考点】有理数的减法．【分析】分别求出每个式子的每一部分的值，再根据结果判断即可．【解答】解：A、（﹣14）﹣5＝（﹣14）+（﹣5）＝﹣14﹣5＝﹣19，故本选项错误；B、|6﹣3|＝3，﹣（6﹣3）＝﹣3，即|6﹣3|和﹣（6﹣3）不相等，故本选项错误；C、（﹣3）﹣（﹣3）＝0，故本选项错误；D、0﹣（﹣4）＝0+（+4）＝4，故本选项正确．故选：D．【点评】本题考查了有理数的加减混合运算和绝对值，相反数等知识点，主要考查学生的计算能力和辨析能力．9．已知数a，b在数轴上表示的点的位置如图所示，则下列结论正确的是（）A．a+b＞0B．a﹣b＞0C．﹣a＞﹣b＞a D．a•b＞0【考点】数轴；有理数的加法；有理数的减法．【分析】根据数轴得出a＜0＜b，|a|＞|b|，再根据有理数的加法、减法、乘法法则进行判断即可．【解答】解：从数轴可知：a＜0＜b，|a|＞|b|，A、a+b＜0，不正确；B、a﹣b＜0，不正确；C、﹣a＞﹣b＞a，正确；D、a•b＜0，不正确；故选：C．【点评】本题考查了数轴，有理数的大小比较，有理数的加法、减法、乘法法则的应用，主要考查学生对法则的理解能力，难度不是很大．10．某地一周前四天每天的最高气温与最低气温如表，则这四天中温差最大的是（）星期一二三四最高气温10℃12℃11℃9℃最低气温3℃0℃﹣2℃﹣3℃A．星期一B．星期二C．星期三D．星期四【考点】有理数的减法．【分析】用最高温度减去最低温度，结果最大的即为所求；【解答】解：星期一温差10﹣3＝7℃；星期二温差12﹣0＝12℃；星期三温差11﹣（﹣2）＝13℃；星期四温差9﹣（﹣3）＝12℃；故选：C．【点评】本题考查有理数的减法；能够理解题意，准确计算有理数减法是解题的关键．11．已知a＝5，|b|＝8，且满足a+b＜0，则a﹣b的值为（）A．3B．﹣3C．﹣13D．13【考点】绝对值；有理数的加法；有理数的减法．【分析】根据绝对值的性质和有理数的加法法则确定b的值，再代入计算可得．【解答】解：∵|b|＝8，∴b＝±8，又∵a＝5，a+b＜0，∴b＝﹣8，则a﹣b＝5﹣（﹣8）＝13，故选：D．【点评】本题主要考查有理数的加法，解题的关键是掌握有理数的加法法则和绝对值的性质．12．若a＞0，b＜0，那么a﹣b的值（）A．大于零B．小于零C．等于零D．不能确定【考点】有理数的减法．【分析】原式利用有理数的减法法则判断即可．【解答】解：∵a＞0，b＜0，∴a﹣b＞0，故选：A．【点评】此题考查了有理数的减法，熟练掌握运算法则是解本题的关键．13．若x的相反数是5，|y|＝8，且x+y＜0，那么x﹣y的值是（）A．3B．3或﹣13C．﹣3或﹣13D．﹣13【考点】绝对值；有理数的加法；有理数的减法．【分析】由相反数的定义可知x＝﹣5，由绝对值的性质可知y＝±8，由x+y＜0可知x ＝﹣5，y＝﹣8，最后代入计算即可．【解答】解：∵﹣5的相反数是5，∴x＝﹣5．∵|y|＝8，∴y＝±8．∵x+y＜0，∴x＝﹣5，y＝﹣8．∴x﹣y＝﹣5﹣（﹣8）＝﹣5+8＝3．故选：A．【点评】本题主要考查的是有理数的减法、绝对值、相反数，根据题意确定出x、y的值是解题的关键．14．已知a，b是有理数，若a在数轴上的对应点的位置如图所示，且a+b＜0，有以下结论：①b＜0；②a﹣b＜0；③b＜﹣a＜a＜﹣b；④|a|＜|b|，其中结论正确的个数是（）A．4个B．2个C．3个D．1个【考点】数轴；绝对值；有理数的加法；有理数的减法．【分析】根据图示，可得：a＞0，然后根据a+b＜0，逐项判断即可．【解答】解：∵a＞0，a+b＜0，∴b＜0，∴①符合题意；∵a＞0，a+b＜0，∴b＜0，∴a﹣b＞0，∴②不符合题意；∵a＞0，a+b＜0，∴b＜﹣a＜a＜﹣b，∴③符合题意；∵a＞0，a+b＜0，∴|a|＜|b|，∴④符合题意，∴结论正确的有3个：①、③、④．故选：C．【点评】此题主要考查了有理数加减法的运算方法，以及数轴的特征和应用，要熟练掌握．二．填空题（共17小题）15．已知，|a|＝﹣a，＝﹣1，|c|＝c，化简|a+b|﹣|a﹣c|﹣|b﹣c|＝﹣2c．【考点】绝对值；有理数的减法．【分析】根据题意，利用绝对值的代数意义判断出a，b，c的正负，原式利用绝对值的代数意义化简即可得到结果．【解答】解：∵|a|＝﹣a，＝﹣1，|c|＝c，∴a为非正数，b为负数，c为非负数，∴a+b＜0，a﹣c≤0，b﹣c＜0，则原式＝﹣a﹣b+a﹣c+b﹣c＝﹣2c，故答案为：﹣2c【点评】此题考查了有理数的减法，以及绝对值，熟练掌握绝对值的代数意义是解本题的关键．16．已知a、b互为相反数，且|a﹣b|＝6，则b﹣1＝2或﹣4．【考点】相反数；绝对值；有理数的减法．【分析】由a、b互为相反数，可得a+b＝0；由于不知a、b的正负，所以要分类讨论b 的正负，才能利用|a﹣b|＝6求b的值，再代入所求代数式进行计算即可．【解答】解：∵a、b互为相反数，∴a+b＝0即a＝﹣b．当b为正数时，∵|a﹣b|＝6，∴b＝3，b﹣1＝2；当b为负数时，∵|a﹣b|＝6，∴b＝﹣3，b﹣1＝﹣4．故答案填2或﹣4．【点评】本题主要考查了代数式求值，涉及到相反数、绝对值的定义，涉及到绝对值时要注意分类讨论思想的运用．17．若|a|＝8，|b|＝5，且a+b＞0，那么a﹣b＝3或13．【考点】绝对值；有理数的减法．【分析】先根据绝对值的性质，判断出a、b的大致取值，然后根据a+b＞0，进一步确定a、b的值，再代入求解即可．【解答】解：∵|a|＝8，|b|＝5，∴a＝±8，b＝±5；∵a+b＞0，∴a＝8，b＝±5．当a＝8，b＝5时，a﹣b＝3；当a＝8，b＝﹣5时，a﹣b＝13；故a﹣b的值为3或13．【点评】此题主要考查了绝对值的性质，能够根据已知条件正确地判断出a、b的值是解答此题的关键．18．计算：﹣1﹣2＝﹣3．【考点】有理数的减法．【分析】根据有理数的减法运算法则，减去一个是等于加上这个数的相反数进行计算．【解答】解：﹣1﹣2＝﹣1+（﹣2）＝﹣3．故答案为﹣3．【点评】本题考查了有理数的减法，熟记减去一个是等于加上这个数的相反数是解题的关键．19．已知|x|＝3，|y|＝7，且x+y＞0，则x﹣y的值等于﹣4或﹣10．【考点】绝对值；有理数的加法；有理数的减法．【分析】先根据绝对值的化简法则得出x与y的值，再根据x+y＞0，分类讨论计算即可．【解答】解：∵|x|＝3，|y|＝7∴x＝3或x＝﹣3；y＝7或y＝﹣7，又∵x+y＞0，∴当x＝3，y＝7时，x﹣y＝3﹣7＝﹣4；故答案为：﹣4或﹣10．【点评】本题考查了有理数的加减法和绝对值的化简，熟练掌握相关运算法则并分类讨论是解题的关键．20．|﹣7﹣3|＝10．【考点】绝对值；有理数的减法．【分析】根据有理数的减法运算法则和绝对值的性质进行计算即可得解．【解答】解：|﹣7﹣3|＝|﹣10|＝10．故答案为：10．【点评】本题考查了有理数的减法运算法则和绝对值的性质，是基础题，熟记法则和性质是解题的关键．21．已知|x|＝5，y2＝9，且|x﹣y|＝y﹣x，则x﹣y＝﹣8或﹣2．【考点】绝对值；有理数的减法．【分析】根据绝对值的性质和有理数的乘方求出x、y，再根据负数的绝对值等于它的相反数判断出x﹣y＜0，然后求解即可．【解答】解：∵|x|＝5，y2＝9，∴x＝±5，y＝±3，∵|x﹣y|＝y﹣x，∴x﹣y＜0，∴x﹣y＝﹣5﹣3＝﹣8，或x﹣y＝﹣5﹣（﹣3）＝﹣5+3＝﹣2，综上所述，x﹣y＝﹣8或﹣2．故答案为：﹣8或﹣2．【点评】本题考查了有理数的减法，绝对值的性质，有理数的乘方，熟记运算法则和性质是解题的关键．22．若|a|＝3，|b|＝2，则a﹣b的绝对值为5或1．【考点】绝对值；有理数的减法．【分析】根据绝对值的性质求出a、b的值，将a、b的值代入求出|a﹣b|的值即可．【解答】解：∵|a|＝3，|b|＝2，∴a＝±3，b＝±2，当a＝﹣3，b＝2时，|a﹣b|＝|﹣3﹣2|＝5；当a＝3，b＝2时，|a﹣b|＝|﹣2|＝1；当a＝3，b＝﹣2时，|a﹣b|＝|3+2|＝5；a﹣b的绝对值为5或1．故答案为：5或1．【点评】主要考查了绝对值的性质，要求会灵活运用该性质解题．要牢记以下规律：（1）一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0．（2）|a|＝﹣a时，a≤0；|a|＝a时，a≥0．（3）任何一个非0的数的绝对值都是正数是解题的关键．23．甲、乙、丙三地的海拔高度分别为20m、﹣15m和﹣10m，那么最高的地方比最低的地方高35m．【考点】正数和负数；有理数的减法．【分析】根据正负数的意义判断出最高和最低的地方，然后根据减去一个数等于加上这个数的相反数进行计算即可得解．【解答】解：甲地最高的，乙地最低，20﹣（﹣15），＝20+15，＝35（m）．故答案为：35．【点评】本题考查了有理数的减法，正负数的意义，熟记运算法则是解题的关键．24．若a＜0，b＜0，|a|＜|b|，则a﹣b＞0．【考点】有理数的减法．【分析】根据有理数的减法运算法则进行计算，结合绝对值的性质确定运算符号，再比较大小．【解答】解：∵a＜0，b＜0，|a|＜|b|∴a﹣b＞0．【点评】本题考查了有理数的减法运算，要会熟练运用法则进行计算，并掌握绝对值的性质及其运用．有理数的减法法则：减去一个数等于加上这个数的相反数．有理数加法法则：两个数相加，取较大加数的符号，并把绝对值相加．25．某天的最高气温为8℃，最低气温为﹣2℃，则这天的温差是10℃．【考点】有理数的减法．【分析】求这天的温差，即最高温度减去最低温度，再进一步根据有理数的减法法则进行计算．【解答】解：根据题意，得8﹣（﹣2）＝10（℃）．故答案为10．【点评】此题考查了有理数的减法法则，即减去一个数等于加上这个数的相反数．26．|a|＝4，|b|＝6，则|a+b|﹣|a﹣b|＝±8．【考点】绝对值；有理数的加法；有理数的减法．【分析】根据|a|＝4，|b|＝6，可以得到a、b的值，然后即可求得所求式子的值．【解答】解：∵|a|＝4，|b|＝6，∴a＝±4，b＝±6，当a＝4，b＝6时，|a+b|﹣|a﹣b|＝|4+6|﹣|4﹣6|＝10﹣2＝8；当a＝4，b＝﹣6时，|a+b|﹣|a﹣b|＝|4+（﹣6）|﹣|4﹣（﹣6）|＝﹣8；当a＝﹣4，b＝6时，|a+b|﹣|a﹣b|＝|﹣4+6|﹣|﹣4﹣6|＝﹣8；当a＝﹣4，b＝﹣6时，|a+b|﹣|a﹣b|＝|﹣4+（﹣6）|﹣|（﹣4）﹣（﹣6）|＝8；由上可得，|a+b|﹣|a﹣b|＝±8，故答案为：±8．【点评】本题考查有理数的加减法和绝对值，解答本题的关键是明确它们各自的计算方法．27．计算：|﹣1|＝．【考点】绝对值；有理数的减法．【分析】首先根据有理数的减法法则，求出﹣1的值是多少；然后根据一个负数的绝对值等于它的相反数，求出|﹣1|的值是多少即可．【解答】解：|﹣1|＝|﹣|＝．故答案为：．【点评】（1）此题主要考查了有理数的减法，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：①在进行减法运算时，首先弄清减数的符号；②将有理数转化为加法时，要同时改变两个符号：一是运算符号（减号变加号）；二是减数的性质符号（减数变相反数）．（2）此题还考查了绝对值的含义和应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：①当a是正有理数时，a的绝对值是它本身a；②当a是负有理数时，a的绝对值是它的相反数﹣a；③当a是零时，a的绝对值是零．28．（﹣38）﹣（﹣24）﹣（+65）＝﹣79【考点】有理数的减法．【分析】先去括号，再算加减．【解答】解：（﹣38）﹣（﹣24）﹣（+65）＝﹣38+24﹣65＝（﹣38﹣65）+24＝﹣103+24＝﹣79故答案为：﹣79【点评】本题考查了有理数的加减法．掌握去括号法则和有理数的加减法法则是解决本题的关键．29．在数轴上与表示﹣2的点距离3个单位长度的点表示的数是1或﹣5．【考点】数轴；有理数的减法．【分析】此题注意考虑两种情况：要求的点在已知点的左侧或右侧．【解答】解：在数轴上与表示﹣2的点距离3个单位长度的点表示的数是﹣2+3＝1或﹣2﹣3＝﹣5．【点评】注意数轴上距离某个点是一个定值的点有两个，左右各一个，不要漏掉任一种情况．把数和点对应起来，也就是把“数”和“形”结合起来，二者互相补充，相辅相成，把很多复杂的问题转化为简单的问题，在学习中要注意培养数形结合的思想．30．若a＜0，b＜0，|a|＞|b|，则a﹣b＜0．（填“＞”“＜”或“＝”）【考点】绝对值；有理数的减法．【分析】根据a＜0，b＜0，|a|＞|b|，先判断a、b的符号和它们的绝对值的大小，再把减法转化为加法，根据加法法则确定和的符号．【解答】解：∵a＜0，b＜0，∴﹣b＞0|a|＞|b|，即|a|＞|﹣b|∴a﹣b＝a+（﹣b）＜0【点评】本题考查了有理数的绝对值及有理数的减法．先把减法转化为加法，利用加法法则判断和的符号．31．计算：3﹣|﹣5|＝﹣2．【考点】绝对值；有理数的减法．【分析】根据负数的绝对值是它的相反数，可得负数的绝对值表示的数，根据有理数的减法，可得答案．【解答】解：3﹣|﹣5|＝3﹣5＝3+（﹣5）＝﹣2，故答案为﹣2．【点评】本题考查了有理数的减法，先求绝对值，再求有理数的减法．三．解答题（共10小题）32．计算：﹣（+9）﹣12﹣（﹣）．【考点】有理数的减法．【分析】根据有理数的减法的运算方法，应用加法交换律和加法结合律，求出算式的值是多少即可．【解答】解：﹣（+9）﹣12﹣（﹣）＝﹣（﹣）﹣9﹣12＝1﹣21＝﹣20【点评】此题主要考查了有理数的减法，要熟练掌握，注意加法交换律和加法结合律的应用．33．已知|a|＝5，|b|＝3，且|a﹣b|＝b﹣a，求a+b的值．【考点】绝对值；有理数的加法；有理数的减法．【分析】根据绝对值的性质求出a、b，再判断出a、b的对应情况，然后相加即可得解．【解答】解：∵|a|＝5，|b|＝3，∴a＝±5，b＝±3，∵|a﹣b|＝b﹣a，∴a＝﹣5时，b＝3或﹣3，∴a+b＝﹣5+3＝﹣2，或a+b＝﹣5+（﹣3）＝﹣8，所以，a+b的值是﹣2或﹣8．【点评】本题考查了有理数的减法，有理数的加法和绝对值的性质，难点在于确定a、b 的值的对应情况．34．观察下面的等式：﹣1＝﹣|﹣+2|+3；3﹣1＝﹣|﹣1+2|+3；1﹣1＝﹣|1+2|+3；（﹣）﹣1＝﹣|+2|+3；（﹣2）﹣1＝﹣|4+2|+3回答下列问题：（1）填空：﹣3﹣1＝﹣|5+2|+3；（2）已知2﹣1＝﹣|x+2|+3，则x的值是0；（3）设满足上面特征的等式最左边的数为y，求y的最大值，并写出此时的等式．【考点】绝对值；有理数的减法．【分析】（1）根据a﹣1＝﹣|2﹣a+2|+3即可求解；（2）由（1）的规律即可求解；（3）由（1）可得|4﹣a|＝4﹣a，根据非负数的性质即可求解．【解答】解：观察可知：a﹣1＝﹣|2﹣a+2|+3，则（1）﹣3﹣1＝﹣|5+2|+3；（2）已知2﹣1＝﹣|x+2|+3，则x的值是﹣4或0；（3）由a﹣1＝﹣|2﹣a+2|+3，可得|4﹣a|＝4﹣a，则4﹣a≥0，解得a≤4，即y的最大值是4，此时的等式是4﹣1＝﹣|﹣2+2|+3．故答案为：﹣3；0．【点评】考查了有理数的减法，非负数的性质，关键是得到算式的特征是a﹣1＝﹣|2﹣a+2|+3．35．已知|m|＝4，|n|＝6，且|m+n|＝m+n，求m﹣n的值．【考点】绝对值；有理数的加法；有理数的减法．【分析】首先根据绝对值的性质得到m、n的值，然后再根据绝对值的性质确定m、n的值，进而可得m﹣n的值．【解答】解：∵|m|＝4，|n|＝6，∴m＝±4，n＝±6，∵|m+n|＝m+n，∴m+n≥0，∴m＝±4，n＝6，∴当m＝4，n＝6时，m﹣n＝﹣2，当m＝﹣4，n＝6时，m﹣n＝﹣10，综上：m﹣n＝﹣2或﹣10．【点评】此题主要考查了有理数的减法，以及绝对值的性质，关键是掌握绝对值等于一个正数的数有两个，它们互为相反数．36．已知|a|＝3，|b|＝5，且a＜b，求a﹣b的值．【考点】绝对值；有理数的减法．【分析】计算绝对值要根据绝对值的定义求解，注意在条件的限制下a，b的值剩下2组．a ＝3时，b＝5或a＝﹣3时，b＝5，所以a﹣b＝﹣2或a﹣b＝﹣8．【解答】解：∵|a|＝3，|b|＝5，∴a＝±3，b＝±5．∵a＜b，∴当a＝3时，b＝5，则a﹣b＝﹣2．当a＝﹣3时，b＝5，则a﹣b＝﹣8．故a﹣b的值是﹣8或﹣2．【点评】考查了有理数的减法，绝对值，本题是绝对值性质的逆向运用，此类题要注意答案一般有2个．两个绝对值条件得出的数据有4组，再添上a，b大小关系的条件，一般剩下两组答案符合要求，解此类题目要仔细，看清条件，以免漏掉答案或写错．37．若|a|＝5，|b|＝3，（1）求a+b的值；（2）若|a+b|＝a+b，求a﹣b的值．【考点】绝对值；有理数的减法．【分析】（1）由|a|＝5，|b|＝3可得，a＝±5，b＝±3，可分为4种情况求解；（2）由|a+b|＝a+b可得，a＝5，b＝3或a＝5，b＝﹣3，代入计算即可．【解答】解：（1）∵|a|＝5，|b|＝3，∴a＝±5，b＝±3，当a＝5，b＝3时，a+b＝8；当a＝5，b＝﹣3时，a+b＝2；当a＝﹣5，b＝3时，a+b＝﹣2；当a＝﹣5，b＝﹣3时，a+b＝﹣8．（2）由|a+b|＝a+b可得，a＝5，b＝3或a＝5，b＝﹣3．当a＝5，b＝3时，a﹣b＝2，当a＝5，b＝﹣3时，a﹣b＝8．【点评】此题主要用了分类讨论的方法，各种情况都有考虑，不能遗漏．38．计算题﹣5﹣（﹣3）﹣（﹣4）﹣[﹣（﹣2）]【考点】相反数；有理数的减法．【分析】先去括号，再根据有理数的加减法法则计算即可．【解答】解：原式＝﹣5+3+4﹣2＝（3+4）﹣（5+2）＝7﹣7＝0．【点评】本题主要考查了有理数的减法，熟记有理数减法法则是解答本题的关键．减去一个数，等于加上这个数的相反数．39．有理数a，b，c位置如图所示：（1）填空：a+b＜0，b﹣1＜0，a﹣c＜0，1﹣c＞0（2）计算：|a+b|﹣|b﹣1|﹣|a﹣c|﹣|1﹣c|【考点】绝对值；有理数的加法；有理数的减法．【分析】（1）根据图示，可得：b＜a＜0＜c＜1，据此逐项判断即可．（2）根据绝对值的含义和求法，求出|a+b|﹣|b﹣1|﹣|a﹣c|﹣|1﹣c|的值是多少即可．【解答】解：（1）∵b＜a＜0＜c＜1，∴a+b＜0，b﹣1＜0，a﹣c＜0，1﹣c＞0．（2）|a+b|﹣|b﹣1|﹣|a﹣c|﹣|1﹣c|＝﹣（a+b）+（b﹣1）+（a﹣c）﹣（1﹣c）＝﹣2故答案为：＜、＜、＜、＞．【点评】此题主要考查了有理数的加减法的运算方法，以及绝对值的含义和求法，要熟练掌握．40．若a、b、c是有理数，|a|＝3，|b|＝10，|c|＝8，且a，b同号，b，c异号，求a﹣b﹣（﹣c）的值．【考点】绝对值；有理数的减法．【分析】根据绝对值的意义，可得到a、b、c取值的可能情况，再根据a，b同号，b，c 异号，确定出a，b，c的值，代入原式计算即可得出结果．【解答】解：∵|a|＝3，|b|＝10，|c|＝8，∴a＝±3，b＝±10，c＝±8，∵a，b同号，b，c异号，∴a＝3，b＝10，c＝﹣8或a＝﹣3，b＝﹣10，c＝8，①当a＝3，b＝10，c＝﹣8时，a﹣b﹣（﹣c）＝a﹣b+c＝﹣15；②当a＝﹣3，b＝﹣10，c＝8时，a﹣b﹣（﹣c）＝a﹣b+c＝15；综上，a﹣b﹣（﹣c）的值是15或﹣15．【点评】此题考查绝对值、有理数减法的意义及计算法则，熟练掌握运算法则是解本题的关键．41．有一只青蛙，坐在深井底，井深4m，青蛙第一次向上爬了1.2m，又下滑了0.4m；第二次向上爬了1.4m，又下滑了0.5m；第三次向上爬了1.1m，又下滑了0.3m；第四次向上爬了1.2m，又下滑了0.2m…（1）青蛙爬了四次后，距离爬出井口还有多远？（2）青蛙爬了四次之后，一共经过多少路程？（3）若青蛙第五次向上爬的路程与第一次相同，问能否爬出井？【考点】有理数的加法；有理数的减法．【分析】（1）首先把青蛙四次向上爬的路程相加，求出青蛙爬了四次后，一共向上爬的路程是多少；然后用井深减去青蛙爬了四次后，一共向上爬的路程，求出距离爬出井口还有多远即可．（2）把青蛙四次向上爬和下滑的距离相加，求出青蛙第四次之后，一共经过多少路程即可．（3）用青蛙爬了四次后，一共向上爬的路程加上青蛙第五次向上爬的路程，再把它和井深比较大小，判断出能否爬出井即可．【解答】解：（1）1.2﹣0.4+1.4﹣0.5+1.1﹣0.3+1.2﹣0.2＝3.5（m）4﹣3.5＝0.5（m）答：青蛙爬了四次后，离井口还有0.5m．（2）1.2+0.4+1.4+0.5+1.1+0.3+1.2+0.2＝6.3（m）答：青蛙第四次之后，一共经过6.3m．（3）3.5+1.2＝4.7（m）∵4.7＞4，∴能爬出井．答：能爬出井．【点评】此题主要考查了有理数的加法的运算方法，以及有理数的减法的运算方法，要熟练掌握。

有理数加减法法则巧记口诀

有理数加减法法则巧记口诀有理数加减法是我们初中数学中的基础知识，掌握好有理数加减法法则，对于我们解决实际问题是非常有帮助的。

下面我为大家介绍一种巧记口诀，帮助大家快速记住有理数加减法法则。

口诀一：正加正得正，负加负得负，正加负看绝对值，大减小方向负。

这个口诀的意思是，当两个正数相加时，结果也是正数；当两个负数相加时，结果也是负数；当一个正数和一个负数相加时，我们需要比较它们的绝对值，绝对值大的减去绝对值小的，结果的符号取决于绝对值大的数的符号。

举个例子来说明，假设我们要计算 3 + 5，根据口诀，两个正数相加，结果也是正数，所以 3 + 5 = 8。

再来看一个例子，-4 + (-6)，根据口诀，两个负数相加，结果也是负数，所以-4 + (-6) = -10。

最后一个例子，2 + (-7)，根据口诀，我们需要比较2和7的绝对值，7的绝对值大于2的绝对值，所以结果的符号取决于7的符号，即负号，所以2 + (-7) = -5。

接下来，我们来看看巧记口诀的第二部分。

口诀二：减法转化为加法，被减数不变，加上相反数，正数变负，负数变正。

这个口诀的意思是，当我们遇到减法时，可以将减法问题转化为加法问题，即将被减数不变，加上减数的相反数。

对于正数来说，相反数即为它的负数；对于负数来说，相反数即为它的正数。

举个例子来说明，假设我们要计算7 - 5，根据口诀，我们可以将减法转化为加法，即7 + (-5)。

根据口诀的第一部分，我们需要比较7和5的绝对值，7的绝对值大于5的绝对值，所以结果的符号取决于7的符号，即正号，所以7 - 5 = 7 + (-5) = 2。

再来看一个例子，-8 - (-3)，根据口诀，我们可以将减法转化为加法，即-8 + 3。

根据口诀的第一部分，两个正数相加，结果也是正数，所以-8 - (-3) = -8 + 3 = -5。

通过这两个口诀，我们可以快速记住有理数加减法的法则，提高我们解决实际问题的效率。

有理数的加减混合运算法则

有理数的加减混合运算法则1.有理数的加法法则⑴同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加；⑵绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值；⑶互为相反数的两数相加，和为零；⑷一个数与零相加，仍得这个数。

2.有理数加法的运算律⑴加法交换律：a+b=b+a⑵加法结合律：(a+b)+c=a+(b+c)在运用运算律时，一定要根据需要灵活运用，以达到化简的目的，通常有下列规律：①互为相反数的两个数先相加——“相反数结合法”；②符号相同的两个数先相加——“同号结合法”；③分母相同的数先相加——“同分母结合法”；④几个数相加得到整数，先相加——“凑整法”；⑤整数与整数、小数与小数相加——“同形结合法”。

3.加法性质一个数加正数后的和比原数大；加负数后的和比原数小；加0后的和等于原数。

即：⑴当b>0时，a+b>a⑵当b<0时，a+b<a⑶当b=0时，a+b=a4.有理数减法法则减去一个数，等于加上这个数的相反数。

用字母表示为：a-b=a+(-b)。

5.有理数加减法统一成加法的意义在有理数加减法混合运算中，根据有理数减法法则，可以将减法转化成加法后，再按照加法法则进行计算。

在和式里，通常把各个加数的括号和它前面的加号省略不写，写成省略加号的和的形式。

如：(-8)+(-7)+(-6)+(+5)=-8-7-6+5.和式的读法：①按这个式子表示的意义读作“负8、负7、负6、正5的和”②按运算意义读作“负8减7减6加5”6.有理数加减混合运算中运用结合律时的一些技巧：Ⅰ.把符号相同的加数相结合（同号结合法）(-33)-(-18)+(-15)-(+1)+(+23)原式=-33+(+18)+(-15)+(-1)+(+23)（将减法转换成加法）=-33+18-15-1+23（省略加号和括号）=(-33-15-1)+(18+23)（把符号相同的加数相结合）=-49+41（运用加法法则一进行运算）=-8（运用加法法则二进行运算）Ⅱ.把和为整数的加数相结合（凑整法）(+6.6)+(-5.2)-(-3.8)+(-2.6)-(+4.8)原式=(+6.6)+(-5.2)+(+3.8)+(-2.6)+(-4.8)（将减法转换成加法）=6.6-5.2+3.8-2.6-4.8（省略加号和括号）=(6.6-2.6)+(-5.2-4.8)+3.8（把和为整数的加数相结合）=4-10+3.8（运用加法法则进行运算）=7.8-10（把符号相同的加数相结合，并进行运算）=-2.2（得出结论）Ⅲ.把分母相同或便于通分的加数相结合（同分母结合法）--+-+-原式=(--)+(-+)+(+-)=-1+0-=-1Ⅳ.既有小数又有分数的运算要统一后再结合（先统一后结合）(+0.125)-(-3)+(-3)-(-10)-(+1.25)原式=(+)+(+3)+(-3)+(+10)+(-1)=+3-3+10-1=(3-1)+(-3)+10=2-3+10=-3+13=10Ⅴ.把带分数拆分后再结合（先拆分后结合）-3+10-12+4原式=(-3+10-12+4)+(-+)+(-)=-1++=-1++Ⅵ.分组结合2-3-4+5+6-7-8+9…+66-67-68+69原式=(2-3-4+5)+(6-7-8+9)+…+(66-67-68+69)=0Ⅶ.先拆项后结合（1+3+5+7...+99）-（2+4+6+8 (100)有理数的乘除法1.有理数的乘法法则法则一：两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘；（“同号得正，异号得负”专指“两数相乘”的情况，如果因数超过两个，就必须运用法则三）法则二：任何数同0相乘，都得0；法则三：几个不是0的数相乘，负因数的个数是偶数时，积是正数；负因数的个数是奇数时，积是负数；法则四：几个数相乘，如果其中有因数为0,则积等于0.2.倒数乘积是1的两个数互为倒数，其中一个数叫做另一个数的倒数，用式子表示为a·=1（a≠0），就是说a和互为倒数，即a是的倒数，是a的倒数。

人教版七年级上册有理数的减法(二)

1.3.2 有理数的减法（二）
学习目标
1．能熟练地运用有理数加法法则、减法法则进行有理数的加减混合运算．能熟练地运用有理数加法的运算律简化运算． 2．能依据有理数减法法则将有理数的减法运算转化为加法运算，进而写成省略括号和加号的和的形式． 3．会运用有理数的加法、减法解决实际问题．
复习回顾，引出新课
拓展提高
例4 计算下列各式的值：
(-2)+(-2)=_-_4__
你能进一步猜出负数乘正数的法则吗？
(-2)+(-2)+(-2)=__-6__
(-2)+(-2)+(-2)+(-2)=_-_8__
(-2)+(-2)+(-2)+(-2)+(-2)=_-_1_0_
猜想下列各式的值：
(-2)×2= -4 (-2)×4= -8
巩固应用
解（1）(-8)+7+(-3)+9+(-6)+(-4)+10 = -8+7-3+9-6-4+10 = -8-3-6-4+7+9+10 = -21+26 = 5
所以乌龟最后距离出发点5m，在出发点的北边．（2）|-8|+|7|+|-3|+|9|+|-6|+|-4|+|10|=47．所以乌龟在整个过程中一共爬行了47米．
42 6 3
巩固应用
例2（1）在数轴上，点A，B分别表示数a，b．利用有理数减法，分别计算下列情况下点A， B之间的距离：
a=2，b=6； a=0，b=6； a=2，b=-6； a=-2，b=-6．
巩固应用

有理数的减法法则

有理数的减法法则1.有理数的减法公式：a-b=a+(-b)有理数a减去有理数b，等于a加上b的相反数。

相反数表示一个数的正负关系的相反数，例如，3的相反数为-3，-5的相反数为52.减一个负数等于加一个正数：a-(-b)=a+b当要减去一个负数时，可以将减法转化为加法，即减去一个数的相反数等于加上这个数的绝对值。

3.移项法则：a-b=c，可以变形为a=b+c如果已知减法等式中的两个数和差，可以通过移项将减法转化为加法，从而求得未知数。

4.有理数相减的计算步骤：a.确定被减数和减数：找到要进行减法运算的被减数和减数。

b.转化为加法运算：将减法转化为加法，即将减法运算转为被减数加上减数的相反数。

c.加减法运算：计算得出结果。

5.分数相减的计算步骤：a.找到分数的最小公倍数：确定分子和分母的最小公倍数。

b.公倍数转化分数为相同分母：将原来的分数转化为相同分母的分数。

c.分子相减：将转化后的两个分数的分子进行减法运算。

d.化简分数：将得到的结果化简为最简分数形式。

例如，计算2/3-1/4的步骤如下：a.找到2/3和1/4的最小公倍数为12b.将2/3转化为相同分母的分数，变为8/12、将1/4转化为相同分母的分数，变为3/12c.8/12-3/12=5/12d.结果5/12已经是最简分数形式，所以答案为5/12在实际应用中，有理数的减法法则被广泛应用于数学运算、统计分析、经济学和物理学等领域。

通过减法的运算规则和步骤，可以对数值进行准确和有效的运算，帮助人们解决各种实际问题。

减法法则的掌握对数学学习和实际应用具有重要意义。

有理数加减法法则

有理数的加减法法则
一、有理数的加法
（1）有理数的加法法则：
同号相加，取相同符号，并把绝对值相加；
绝对值不等的异号相加，取绝对值较大的加数符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值，互为相反数的两个数相加得0.
一个数同0相加，仍得这个数。

（在进行有理数加法运算时，首先判断两个加数符号；是同号还是异号，是否有0，从而确定用哪一条法则，在运算过程中，要记住“先符号，后绝对值”）
（2）相关运算律
交换律：a+b=b+a; 结合律：（a+b）+c=a+（b+c）；
二、有理数的减法
（1）有理数的减法法则：减去一个数等于加上这个数的相反数，即a-b=a+（-b）
（2）方法指引：
在进行减法运算时，首先弄清减数的符号；
讲有理数转换为加法时，要同时改变两个符号：一是运算符号（减号变加号）；二是减数的性质符号（减数变相反数）；
【注意】：在有理数减法运算时，被减数与减数的位置不能随意交换；因为减法没有交换
律；减法法则不能与加法法则类比，0加任何数都不变，0减任何数应依法则进行计算；。

有理数加减法法则

有理数加减法法则
要点一、有理数的加法
1.定义：把两个有理数合成一个有理数的运算叫作有理数的加法．
2.法则：（1）同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加；
（2）绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值．互为相反数的两个数相加得0；
（3）一个数同0相加，仍得这个数．
要点诠释：利用法则进行加法运算的步骤：
(1)判断两个加数的符号是同号、异号，还是有一个加数为零，以此来选择用哪条法则．
(2)确定和的符号(是“+”还是“－”)．
(3)求各加数的绝对值，并确定和的绝对值(加数的绝对值是相加还是相减)．
要点诠释：交换加数的位置时，不要忘记符号．
要点二、有理数的减法
1.定义：已知两个数的和与其中一个加数，求另一个加数的运算，叫做减法，例如：(-5)+?＝7，求？，减法是加法的逆运算．
要点诠释：（1）任意两个数都可以进行减法运算．
（2）几个有理数相减，差仍为有理数，差由两部分组成：①性质符号；②数字即数的绝对值．
2.法则：减去一个数，等于加这个数的相反数，即有：．
要点诠释：将减法转化为加法时，注意同时进行的两变，一变是减法变加法；二变是把减数变为它的相反数”．
要点三、有理数加减混合运算
将加减法统一成加法运算，适当应用加法运算律简化计算.。

有理数加减法法则(含乘除法法则)

有理数加减法法则
有理数加法法则：
同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加；
绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值；
一个数同零相加，仍得这个数。

有理数减法法则：减去一个数，等于加上这个数的相反数。

其中：两变：减法运算变加法运算，减数变成它的相反数。

一不变：被减数不变。

可以表示成：a－b=a+（－b）。

乘法：两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘，任何数同零相乘都得零。

几个不为零的有理数相乘，负因数有偶数个时积为正，负因数有奇数个时积为负，如果有一个因数为零，积就为零。

除法：除以一个不为零的数，等于乘以这个数的倒数；两数相除，同号得正，异号为负；零除以任意非零的数都得零。

专题02 有理数加减法(知识点串讲)(解析版)

专题02 有理数加减知识网络重难突破知识点一有理数的加法(基础)有理数的加法法则：(先确定符号，再算绝对值) ◆ 同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加；◆ 异号两数相加，绝对值不相等时，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值； ◆ 互为相反数的两个数相加得0；(如果两个数的和为0，那么这两个数互为相反数) ◆ 一个数同0相加，仍得这个数。

有理数的加法运算律：◆ 两个数相加，交换加数的位置，和不变。

即a b b a +=+；◆ 三个数相加，先把前两个数相加，或者先把后两个数相加，和不变。

即()()a b c a b c ++=++。

典例1 (2018春南平市期末)已知：|a |＝2，|b |＝5，那么|a +b |的值等于( ) A ．7 B ．3C ．7或3D ．±7或±3【答案】C【详解】已知|a |＝2，|b |＝5，则a ＝±2，b ＝±5；当a ＝2，b ＝5时，|a +b |＝7；当a ＝2时，b ＝﹣5时，|a +b |＝3；当a ＝﹣2时，b ＝5时，|a +b |＝3．当a ＝﹣2时，b ＝﹣5时，|a +b |＝7．综上可知|a +b |的值等于7或3．故选：C ．典例2 (2018春恩施市期末)如果a+b+c ＝0，且|a|＞|b|＞|c|，则下列说法中可能成立的是( ) A ．a 、b 为正数，c 为负数 B ．a 、c 为正数，b 为负数 C ．b 、c 为正数，a 为负数 D ．a 、c 为负数，b 为正数【答案】C【详解】解：a+b+c ＝0，且|a|＞|b|＞|c|， |a|＝|b|+|c|．故选：C ．典例3 (2018春厦门市期末)a 是最小的正整数，b 是最大的负整数，c 是绝对值最小的有理数，请问：a ，b ，c 三数之和是( ) A ．﹣1 B ．0C ．1D ．2【答案】B解：a 是最小的正整数，b 是最大的负整数，c 是绝对值最小的有理数， a ＝1，b ＝﹣1，c ＝0， ∴a +b +c ＝1+(﹣1)+0＝0，故选：B ．知识点二有理数的减法(基础) 有理数的减法法则：减去一个数等于加上这个数的相反数。

有理数加减法法则

七年级上册数学有理数加法法则：（1）同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加。

（-8）+（-3）=-（8+3）=-11（2）异号两数相加，取绝对值较大的数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值.（-8）+3=-（8-3）；8+（-3）=5（3）互为相反数相加得0. 8+（-8）=0；（-5）+5=0有理数减法法则：减去一个数，等于加这个数的相反数。

（把减法转化为加法）a-b=a+(-b);例：-9-(-5)=-9+5=-4有理数加法口诀速记法：同号相加一边“倒”；异号相加“大”减“小”，符号跟着“大”的跑；绝对值相等“零”正好；数零相加变不了。

备注：“大”“小”是指加数的绝对值的大小。

有理数乘法法则：两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘；任何数同0相乘，都得零。

有理数除法法则：（一）、除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数。

（二）、两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除；0除以任何一个不等于0的数，都得0.（0不能做除数）有理数除法技巧方法：（1）直接应用有理数除法的法则进行计算。

（2）有分数除法，先确定结果的符号，再把除法转化为乘法，使用简便运算更合理。

有理数运算时要按照步骤：一观察、二确定、三求和。

（第一步观察两数的符号，是同号还是异号；第二步确定用哪条法则；第三步求出结果）有理数加减混合运算几种方法：（1）减法统一转化成加法；（2）省略加号和括号；（3）运用加法运算律进行计算；（一）在计算过程中的技巧：（1）同号结合法（运用运算律将正负数分别相加）（2）同分母结合法（分母相同或哟倍数关系的数结合在一起）（3）凑整法（把某些能相加得整数的结合在一起）（4）相反数结合法（互为相反数的两数可现加）（5）统一法（算式中既有分数又有小数，要把分数统一成小数或把小数统一成分数）（6）拆项法（算式中有带分数时，可先把带分数拆成整数和真分数，拆开后相加，运算就简便）拆项后注意：（1）分开的整数部分与分数部分必须保留原带分数的符号。

人教版(2024)数学七年级上册2.1.2 有理数的减法

3-(-3)=6
①
另一方面，我们知道
3+(+3)=6
②
由①②，有
3-(-3)=3+(+3) ③
新知探究
探究从③式能看出减-3相当于加哪个数吗？把3换成0， -1，-5，用上面的方法考虑0-(-3)，(-1)-(-3)，(-5)-(-3). 这些数减-3的结果与它们加+3的结果相同吗？ 0-(-3)=0+3=3，(-1)-(-3)=(-1)+3=2，(-5)-(-3)=(-5)+3=-2 计算9-8，9+(-8)；15-7，15+(-7).从中又能有什么发现吗？
(2)0-7=0+(-7)=-7；
(3)2-5=2+(-5)=-3；
(4)7.2-(-4.8)=7.2+4.8=12；
(5)
3
1 2
5
1 4
=
3
1 2
+
5
4
=
8
3 4
.
新知探究
思考在小学，只有当a大于或等于b时，我们才会做 a-b(例如2-1，1-1).现在，当a小于b时，你会做a-b(例如1-2，(-1)-1)吗？
新知探究
在数轴上，点A,B分别表示数a,b.对于下列各组数a,b: a=2，b=6；a=0，b=6；a=2，b=-6；a=-2，b=-6. (1)观察点A,B在数轴上的位置，你能得出它们之间的距离吗? (2)利用有理数的运算，你能用含有a,b的算式表示上述各组点 A,B之间的距离吗? 一般地，你能发现点 A,B之间的距离与数a,b之间的关系吗?
一般地，在有理数范围内，较小的数减较大的数，所得的差是__负___数. 当a≥b时，a-b≥0；当a<b时，a-b<0

七年级数学2.5有理数的加法与减法知识点解读有理数的减法

知识点解读：有理数的减法知识点一：有理数减法法则1．有理数减法的意义：就是已知两个数的和与其中一个加数求另一个加数的运算．2．有理数减法法则：减去一个数等于加上这个数的相反数，即：a-b=a+(-b)归纳总结：(1)进行有理数减法运算时，关键是把减法运算转化为加法运算，再按有理数的加法法则和运算律进行计算，体现了数学的转化思想．(2)把减法运算转化为加法运算要注意：将减号变为加号，同时减数变成原来的相反数．(3)数轴上A 、B 两点间的距离实际就是它们表示的数a 、b 差的绝对值即：AB=|a-b|．(4)一个数减去0比较容易，而减去一个数，一定要按法则，写成加上这个数的相反数．例1：计算2-（-3）=_____．分析：先把减法转化为加法运算，再进行有理数的加法运算，即2-（-3）=2+3=5．变式练习：计算：-3-（-7）= ．参考答案：4知识点二：有理数加减混合运算1．有理数加减混合运算的方法：(1)将减法统一成加法，并写成省略加号的形式．(2)运用加法的交换律和结合律，简化运算．(3)计算出结果．2．有理数加减混合运算的技巧：(1)把互为相反数的两个数先加．(2)几个数相加的结果是整数时可以先加．(3)同分母分数先加．(4)正数与正数、负数与负数分别先加．归纳总结：在进行有理数运算时，我们可以根据有理数减法法则将减法转化为加法，这样就可将混合运算统一为加法运算，统一后的式子是几个正数或负数的和的形式，这样的式子叫做代数和．例2：计算下列各式(1)（-7）+5-（+3）-（-4）；(2)（-4）-⎪⎭⎫ ⎝⎛+-⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-32221322．分析：对于有理数的加减混合运算，先按照有理数减法法则，先把减法化成加法，然后按照有理数的加法法则运算，在解决问题时，要先进行全面分析，找出特点，采用适当的步骤，才能计算正确、简便和迅速．根据题目特点，若能应用加法交换律或结合律的一定要尽量先用这些运算律，这样不但可以简便运算，而且还能防止出错．解：(1)原式=-7+5-3+4=（-7-3）+（5+4）=（-10）+9=-1；(2)原式=214214322322214322213224-=--=⎪⎭⎫⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛--=--+-．变式练习：计算下列各式：(1)9-（-4）+（-3）-（+1）；(2)5-（124-）+12+（124-）.参考答案：(1)9；(2) 152.七年级下学期期末数学试卷一、选择题（每题只有一个答案正确）1．下列说法：①10；②-2是4的一个平方根；③49的平方根是23；④0.01的算术平方根是0.12a =±.其中正确的有（）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】C【解析】试题解析：①10②-2是4的一个平方根，正确； ③49的平方根是±23，故错误； ④0.01的算术平方根是0.1，故正确；2，故错误，其中正确的是①②④．故选C.2．若关于x 的方程212x m x +=-+的解是负数，则m 的取值范围是：（） A ．2m <-B ．2m >-C ．2m <-且4m ≠D ．2m >-且4m ≠ 【答案】D【解析】先解分式方程，根据方程的解为负数列出关于m 的不等式，解不等式求出m 的取值范围，根据当分式的分母为0时分式方程无解，将2x =-代入分式方程去分母后的方程中求出m 的值，将此值排除即可求出m 的取值范围. 【详解】解：212x m x +=-+ 去分母得22x m x +=--，移项得22x x m +=--，合并同类项得32x m =--，系数化为1得23m x --=，∵方程的解为负数， ∴203m --< 去分母得20m --<，移项得2m -<，系数化为1得2m >-，又∵当2x =- 时，分式方程无解将2x =-代入22x x m +=--，解得4m =，∴4m ≠，故2m >-且4m ≠选D.【点睛】本题考查分式方程的解，解一元一次不等式，解决本题时一定要考虑到方程无解时的情况，将这种情况下解出来的m 排除.3．-2019的相反数是（）A ．2019B ．-2019C ．12019D ．12019- 【答案】A【解析】根据只有符号不同的两个数是互为相反数解答即可.【详解】解：1的相反数是﹣1．故选B ．【点睛】本题考查了相反数的定义，解答本题的关键是熟练掌握相反数的定义，正数的相反数是负数，0的相反数是0，负数的相反数是正数.4．如图，已知：AB ∥CD ，EG 平分∠AEF ，EH ⊥EG ，EH ∥GF ，则下列结论：①EG ⊥GF ；②EH 平分∠BEF ；③FG 平分∠EFC ；④∠EHF=∠FEH+∠HFD ；其中正确的结论个数是（）A．4个B．3个C．2个D．1个【答案】A【解析】根据平行线的性质，等角的余角相等，角平分线的定义逐一判断即可．【详解】解：∵EG平分∠AEF，∴∠AEG=∠FEG，∵EH⊥EG，∴∠HEG=90°，∴∠AEG+∠BEH=90°，∠FEG+∠FEH=90°，∴∠BEH=∠FEH，∴EH平分∠BEF，故②正确，∵EH∥FG，∴∠GFE=∠FEH，∴∠GFE+∠GEF=∠FEH+∠GEF=90°，∴∠G=90°，∴EG⊥FG，故①正确，∵AB∥CD，∴∠AEF+∠CFE=180°，∵∠GFE+∠GEF=90°，∴∠AEG+∠CFG=90°，∵∠AEG=∠GEF，∴∠GFC=∠GFE，∴FG 平分∠CFE，故③正确．∵∠EHF+∠HEF+∠HFE=180°，∠BFE+∠HEF+∠HFE+∠HFD=180°，∴∠EHF=∠BEH+∠DFH，∵∠EHF=∠BEH，∴∠EHF=∠FEH+∠HFD，故④正确，故选：A ．【点睛】本题考查三角形内角和定理，等角的余角相等，角平分线的定义等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．5．下列各式中，正确的是（）A ．32x x x ÷=B ．325x x x +=C ．326x x x ⋅=D ．222(x y)x y +=+ 【答案】A【解析】根据同底数幂的除法、合并同类项法则、同底数幂的乘法及完全平方公式逐一计算可得【详解】解：A 、x 3÷x 2=x ，正确；B 、x 3与x 2不是同类项，不能合并，错误；C 、x 3•x 2=x 5，错误；D 、（x+y ）2=x 2+2xy+y 2，错误；故选：A ．【点睛】本题主要考查幂的运算，解题的关键是掌握同底数幂的除法、合并同类项法则、同底数幂的乘法及完全平方公式．637-，3.5，0，3.02002 ） A ．4个B ．5个C ．6个D ．7个【答案】A【解析】根据无理数的定义进行解答即可．【详解】解：在实数3，π，37-，3.5，316，0，3.02002，8中，无理数有3，π，316，8，共有4个．故选：A．【点睛】本题考查的是无理数的定义，注意带根号的要开不尽方才是无理数，无限不循环小数为无理数，含有π的绝大部分数，如2π．注意：判断一个数是否为无理数，不能只看形式，要看化简结果，是解题的关键．7．下列各点中，位于第四象限的点是（）A．(3,-4) B．(3,4) C．(-3,4) D．(-3,-4)【答案】A【解析】根据平面直角坐标系中点的坐标特征解答即可，第四象限内点的横坐标大于0，纵坐标小于0. 【详解】∵第四象限内点的横坐标大于0，纵坐标小于0，∴(3,-4) 位于第四象限.故选A.【点睛】本题考查了平面直角坐标系中点的坐标特征.第一象限内点的坐标特征为（+，+），第二象限内点的坐标特征为（-，+），第三象限内点的坐标特征为（-，-），第四象限内点的坐标特征为（+，-），x轴上的点纵坐标为0，y轴上的点横坐标为0.8．如图所示的四个图案是我国几家国有银行的图标，其中图标属于中心对称的有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【答案】B【解析】根据中心对称图形的概念求解．【详解】第一个是是中心对称图形，故符合题意；第二个是中心对称图形，故符合题意；第三个不是中心对称图形，故不符合题意；第四个不是中心对称图形，故不符合题意．所以共计2个中心对称图形.故选：B.【点睛】考查了中心对称图形的概念：中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．9．下列说法正确的个数是（）.①连接两点的线中，垂线段最短；②两条直线相交，有且只有一个交点；③若两条直线有两个公共点，则这两条直线重合；④若AB+BC=AC，则A、B、C三点共线．A．1B．2C．3 D．4【答案】C【解析】线段的基本性质是：所有连接两点的线中，线段最短．故①错误；②任意两个点可以通过一条直线连接，所以，两条直线相交，有且只有一个交点，故②正确；③任意两个点可以通过一条直线连接，若两条直线有两个公共点，则这两条直线重合；故③正确；④根据两点间的距离知，故④正确；综上所述，以上说法正确的是②③④共3个．故选C.10．将50个数据分成5组列出频数分布表，其中第一组的频数为6，第二组与第五组的频数之和为20，第三组的频率为0.2，则第四组的频率为（）A．0.28 B．0.3 C．0.4 D．0.2【答案】A【解析】首先求得第三组的频数，则利用总数减去其它各组的频数就可求得，利用频数除以总数即可求解．【详解】解：第三组的频数是：50×0.2=10，则第四组的频数是：50-6-20-10=14，则第四组的频率为：1450=0.1．故选：A．【点睛】本题考查了频率的公式：频率=频数÷总数即可求解.二、填空题题11．一个三角形的三个内角的度数之比为2:3:4，则该三角形最大角为______度.【答案】80【解析】已知三角形三个内角的度数之比，可以设一份为x°，则三个内角的度数分别为2x°，3x°，4x°，根据三角形的内角和等于180°列方程求三个内角的度数．【详解】设一份为x∘,则三个内角的度数分别为2x°,3x°,4x°，2x+3x+4x=180，解得；x=20，∴4×20°=80°，故答案为：80°.【点睛】此题考查三角形内角和定理，解题关键在于利用内角和等于180°.12．已知，则______．【答案】【解析】根据完全平方公式可得n为25的平方根.【详解】∵，∴.故答案为：.【点睛】本题主要考查完全平方公式，解此题的关键在于考虑正负两种情况.13．已知如图是关于x的不等式2x﹣a＞﹣3的解集，则a的值为_____．【答案】1【解析】先解出不等式2x﹣a＞﹣3，得x＞32a-；再根据数轴上的解集为x＞-1从而得到一个一元一次方程32a-=-1，再解出a的值即可【详解】解不等式2x﹣a＞﹣3，得x＞32a-；数轴上的解集为x＞-1∴32a-=-1解得a=1【点睛】当题中有两个未知字母时，应把关于某个字母的不等式中的字母当成未知数，求得解集，再根据解集进行判断，求得另一个字母的值．本题需注意，在不等式两边都除以一个负数时，应只改变不等号的方向，余下运算不受影响，该怎么算还怎么算．14．如图，一个点在第一象限及轴、轴上运动，在第一秒钟，它从原点运动到，然后接着按图中箭头所示方向运动，即→→→，…，且每秒移动一个单位．．．．．．．．，到用时2秒，到点用时6秒，到点用时12秒，…，那么到点用时________秒，第931秒时这个点所在位置坐标是_________.【答案】42，（29，30）【解析】由题目中所给的点运动的特点找出规律，即可解答．【详解】解：由题意可知这点移动的速度是1个单位长度/秒，设这点为（x，y）到达（1，0）时用了3秒，到达（2，0）时用了4秒，从（2，0）到（0，2）有四个单位长度，则到达（0，2）时用了4＋4＝8秒，到（0，3）时用了9秒；从（0，3）到（3，0）有六个单位长度，则到（3，0）时用9＋6＝15秒；依此类推到（4，0）用16秒，到（0，4）用16＋8＝24秒，到（0，5）用25秒，到（6，0）用36秒，到（6，6）时用36＋6＝42秒…可得在x 轴上，横坐标为偶数时，所用时间为x 2秒，在y 轴上时，纵坐标为奇数时，所用时间为y 2秒， ∵30×30＝900∴第931秒时这个点所在位置的坐标为（29，30）故答案为：42，（29，30）.【点睛】本题主要考查了点坐标的变化规律，得出运动变化的规律是解决问题的关键．15．如图所示，把一张长方形纸片沿EF 折叠后，点D C ，分别落在点D C ''，的位置．若65EFB ︒∠=，则AED '∠等于________．【答案】50°【解析】先根据平行线的性质得出∠DEF 的度数，再根据翻折变换的性质得出∠D′EF 的度数，根据平角的定义即可得出结论．【详解】∵AD ∥BC,∠EFB=65°，∴∠DEF=65°，又∵∠DEF=∠D′EF，∴∠D′EF=65°，∴∠AED′=50°.【点睛】本题考查翻折变换（折叠问题）和平行线的性质，解题的关键是掌握翻折变换（折叠问题）和平行线的性质.16．在边长为a 的正方形纸片中剪去一个边长为b 的小正方形()a b >（如图()1），把余下的部分沿虚线剪开，拼成一个矩形（如图()2），分别计算这两个图形阴影部分的面积，可以验证的乘法公式是________．（用字母表示）【答案】()()22a b a b a b -=+-或()()22a b a b a b +-=-．【解析】分别表示出两种情况下的阴影部分的面积，而面积是相等的，故可得到结果．【详解】解：在图(1)中，大正方形面积为a 2，小正方形面积为b 2，所以阴影部分的面积为a 2-b 2，在图(2)中，阴影部分为一长方形，长为a+b ，宽为a-b ，则面积为(a+b)(a-b)，由于两个阴影部分面积相等，所以有a 2-b 2=(a+b)(a-b)成立．故答案为a 2-b 2=(a+b)(a-b)或(a+b)(a-b)=a 2-b 2.【点睛】本题考查了平方差公式几何意义的理解，将整式运算与几何图形结合，注意各个量的变化．17．分解因式：x 2-1=______________.【答案】（x+1）（x-1）．【解析】分解因式x 2-1中，可知是2项式，没有公因式，用平方差公式分解即可．【详解】x 2-1=（x+1）（x-1）．故答案为：（x+1）（x-1）．【点睛】本题考查了公式法分解因式，熟练掌握平方差公式的结构特点是解题的关键．三、解答题18．如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，格点三角形ABC (顶点为网格线的交点)的顶点A ，C 的坐标分别为(2,4)，(4,3)．(1)请在网格图中建立平面直角坐标系；(2)将ABC △先向左平移5个单位长度，再向下平移6个单位长度，请画出两次平移后的111A B C △，并直接写出点B 的对应点1B 的坐标；(3)若(),P a b 是ABC △内一点，直接写出111A B C △中的对应点1P 的坐标．【答案】 (1)见解析；(2)()14,3B --；(3)()15,6P a b --.【解析】（1）根据A 、C 两点坐标根据平面直角坐标系即可；（2）首先确定A 、B 、C 三点向左平移5个单位长度，再向下平移6个单位长度的对应点位置，然后再连接即可；；（3）利用此平移规律可得()15,6P a b --．【详解】解：（1）如图所示；（2）如图所示：点B 坐标为：（1，3）；将ABC △先向左平移5个单位长度，再向下平移6个单位长度，画出两次平移后的111A B C △，即为所求，点B 的对应点1B 的坐标()4,3--；（3）(),P a b 先向左平移5个单位长度，再向下平移6个单位长度，可得()15,6P a b --．【点睛】本题考查了平移变换：确定平移后图形的基本要素有两个：平移方向、平移距离．作图时要先找到图形的关键点，分别把这几个关键点按照平移的方向和距离确定对应点后，再顺次连接对应点即可得到平移后的图形．19．解下列方程组(1)33814x y x y =+⎧⎨-=⎩(2)43165320x y x y +=⎧⎨+=⎩【答案】 (1)21x y =⎧⎨=-⎩；(2)40xy =⎧⎨=⎩. 【解析】（1）利用代入消元法求解可得；（2）利用加减消元法求解可得．【详解】解：(1)3{?3814x y x y =+-=①②，将①代入②，得：3(y+3)﹣8y ＝14，解得：y ＝﹣1，将y ＝﹣1代入①，得：x ＝2，所以方程组的解为2{ 1x y ==-；(2)4316 5320x y x y +=⎧⎨+=⎩①②，②﹣①，得：x ＝4，将x ＝4代入①，得：16+3y ＝16，解得：y ＝0，所以方程组的解为4{?0x y ==．【点睛】本题考查解二元一次方程组，解题关键是掌握方程组解法中的加减消元法和代入消元法．20．解二元一次不等式组：()26,21 4.x y x y +=⎧⎨+-=⎩【答案】22x y =⎧⎨=⎩【解析】利用加减消元法求解即可.【详解】()26,21 4.x y x y +=⎧⎪⎨+-=⎪⎩①② ②整理得：22x y -=③2①×得：2412x y +=④-④③得：510y =把2y =代入①中，解得：2x =所以这个方程组的解是22x y =⎧⎨=⎩【点睛】本题考查了解二元一次方程组，解题的关键是熟练掌握解题步骤.21．解不等式组240330x x +>⎧⎨-≥⎩，并写出满足条件的整数解．【答案】﹣2＜x ≤1，整数解为﹣1、0、1．【解析】分别求出每一个不等式的解集，根据“大小小大中间找”确定不等式组的解集．【详解】解：解不等式2x+4＞0，得：x ＞﹣2，解不等式3﹣3x≥0，得：x≤1，则不等式组的解集为﹣2＜x≤1，所以不等式组的整数解为﹣1、0、1．【点睛】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．22．如图，为原点，数轴上两点所对应的数分别为，且满足关于的整式与之和是是单项式，动点以每秒个单位长度的速度从点向终点运动.（1）求的值.（2）当时，求点的运动时间的值.（3）当点开始运动时，点也同时以每秒个单位长度的速度从点向终点运动，若，求的长.【答案】 (1) m=-40，n=30.(2)t=5.（3）AP=或AP=70.【解析】(1)根据单项式的次数相同，列方程即可得到答案；(2) 分情况讨论：当点P在O的左侧时：当点P在O的右侧时.即可得到答案.（3）结合题意分别计算：①如图1,当点P在点Q左侧时，如图2，当点P在点Q右侧时.【详解】(1)因为m、n满足关于x、y的整式-x41+m y n+60与2xy3n之和是单项式所以所以m=-40，n=30.(2)因为A、B所对应的数分别为-40和30，所以AB=70,AO=40,BO=30，当点P在O的左侧时：则PA+PO=AO=40，因为PB-(PA+PO)=10, PB=AB-AP=70-4t所以70-4t-40=10所以t=5.当点P在O的右侧时:因为PB<PA所以PB-(PA+PO)<0,不合题意，舍去（3）①如图1,当点P 在点Q 左侧时，因为AP=4t,BQ=2t,AB=70所以PQ=AB-(AP+BQ)=70-6t又因为PQ=AB=35所以70-6t=35所以t=,AP==,②如图2，当点P 在点Q 右侧时，因为AP=4t ，BQ=2t ，AB=70，所以PQ=（AP+BQ ）-AB=6t-70，又因为PQ=AB=35所以6t-70=35所以t=所以AP==70.【点睛】本题考查二元一次方程组的实际应用和单项式，解题的关键是掌握二元一次方程组的实际应用.23．如图，ABC ∆中，90C ∠=︒，58B ∠=︒，点D 为线段AC 上一点，DE AB ⊥于点E ，DF 平分ADE ∠交AB 于F ，求DFE ∠的度数．【答案】61°【解析】先根据三角形内角和定理计算出∠A、ADE ∠的度数，再根据角平分线的性质和三角形的外角性质计算即可得到答案；【详解】解：∵90C ∠=︒，58B ∠=︒，∴180589032A ∠=︒-︒-︒=︒（三角形内角和定理），∵DE AB ⊥于点E ，∴90DEA ∠=︒，∴180903258ADE ∠=︒-︒-︒=︒（三角形内角和定理），∵DF 平分ADE ∠交AB 于F ， ∴158292ADF EDF ∠=∠=⨯︒=︒， ∴293261DFE ∠=︒+︒=︒（三角形的外角性质）．【点睛】本题主要考查了角平分线的性质以及三角形内角和定理、三角形的外角性质，熟练掌握各知识点并灵活运用是解题的关键．24．如图，在方格纸中（小正方形的边长为1），△ABC 的三个顶点均为格点，将△ABC 沿x 轴向左平移5个单位长度，根据所给的直角坐标系（O 是坐标原点），解答下列问题：（1）画出平移后的△A′B′C′，并直接写出点A′、B′、C′的坐标；（2）求出在整个平移过程中，△ABC 扫过的面积．【答案】解：（1）点A′、B′、C′的坐标分别为（-1，5）、（-4，0）、（-1，0）；（2）【解析】试题分析：（1）根据网格结构找出点A′、B ′、C′的位置，然后顺次连接即可，再根据平面直角坐标系写出坐标即可.（2）观图形可得△ABC 扫过的面积为四边形AA'B'B 的面积与△ABC 的面积的和，然后列式进行计算即可得解.【详解】解：（1）平移后的△A′B′C′如图所示：点A′、B′、C′的坐标分别为（-1，5）、（-4，0）、（-1，0）；（2）由平移的性质可知，四边形AA′B′B 是平行四边形，∴△ABC 扫过的面积=S 四边形AA'B'B +S △ABC =B′B•AC+BC•AC=5×5+×3×5=25+=.25．如图，线段AB ，CD 交于E ，且ACE AEC ∠=∠，过点E 在CD 上方作射线EF ∥AC ，求证：ED 平分BEF ∠.【答案】详见解析【解析】已知EF ∥AC ，由平行线的性质可得DEF ACE ∠=∠.即可得到DEF AEC ∠=∠，由对顶角相等可得AEC BED ∠=∠，所以DEF BED ∠=∠，即可证得ED 平分BEF ∠.【详解】证明：∵EF ∥AC ，∴DEF ACE ∠=∠.∵ACE AEC ∠=∠，∴DEF AEC ∠=∠，又AEC BED ∠=∠，∠=∠，∴DEF BED∴ED平分BEF∠.【点睛】∠=∠本题考查了平行线的性质及角平分线的定义，根据平行线的性质，结合已知条件证得DEF BED 是解决问题的关键.七年级下学期期末数学试卷一、选择题（每题只有一个答案正确）1．甲、乙两车从A城出发匀速行驶至B城．在整个行驶过程中，甲、乙两车离开A城的距离y（千米）与甲车行驶的时间t（小时）之间的函数关系如图所示．则下列结论：①A，B两城相距300千米；②乙车比甲车晚出发1小时，却早到1小时；③乙车出发后1.5小时追上甲车；④当甲、乙两车相距50千米时，t=54或154．其中正确的结论有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【答案】C【解析】由图象可知A、B两城市之间的距离为300km，甲行驶的时间为5小时，而乙是在甲出发2小时后出发的，且用时3小时，即比甲早到2小时，∴①②都正确；设甲车离开A城的距离y与t的关系式为y甲=kt，把（5，300）代入可求得k=60，∴y甲=60t，设乙车离开A城的距离y与t的关系式为y乙=mt+n，把（2，0）和（4，300）代入可得m+n=04m+n=300⎧⎨⎩，解得m=100{100n=-，∴y乙=200t-200，令y甲=y乙可得：60t=200t-200，解得t=2．5，即甲、乙两直线的交点横坐标为t=2．5，此时乙出发时间为2．5小时，即乙车出发2．5小时后追上甲车，∴③正确；令|y甲-y乙|=50，可得|60t-200t+200|=50，即|200-40t|=50，当200-40t=50时，可解得t=54，当200-40t=-50时，可解得t=154，又当t=56时，y甲=50，此时乙还没出发，当t=256时，乙到达B城，y甲=250；综上可知当t的值为54或154或56或t=256时，两车相距50千米，∴④不正确；综上可知正确的有①②③共三个，故选C．考点：一次函数的应用．2．下列事件中，必然事件是（）A．2a一定是正数B．八边形的外角和等于360C．明天是晴天D．中秋节晚上能看到月亮【答案】B【解析】根据事件发生的可能性大小判断相应事件的类型即可．【详解】A、a2一定是非负数，则a2一定是正数是随机事件；B、八边形的外角和等于360°是必然事件；C、明天是晴天是随机事件；D、中秋节晚上能看到月亮是随机事件；故选B．【点睛】本题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．3．如图，点E在AC的延长线上，下列条件中能判断AB∥CD的是（）A．∠3=∠4 B．∠D=∠DCE C．∠D+∠ACD=180°D．∠1=∠2【答案】D【解析】根据平行线的判定分别进行分析可得答案．【详解】A. ∠3=∠4,根据内错角相等，两直线平行可得：BD∥AC，故此选项错误；B. ∠D=∠DCE,根据内错角相等，两直线平行可得：BD∥AC，故此选项错误；C. ∠D+∠ACD=180°,根据同旁内角互补，两直线平行可得：BD∥AC，故此选项错误；D. ∠1=∠2,根据内错角相等，两直线平行可得：AB∥CD，故此选项正确；故选：D．【点睛】此题主要考查了平行线的判定，关键是掌握平行线的判定定理.平行线的判定方法：①同位角相等，两直线平行；②内错角相等，两直线平行；③同旁内角互补，两直线平行；④平行于同一直线的两条直线互相平行；同一平面内，垂直于同一直线的两条直线互相平行.4．在“绿水青山就是金山银山”这句话中任选一个汉字，这个字是“绿”的概率为（）A．310B．110C．19D．18【答案】B【解析】分析：直接利用概率公式求解．详解：这句话中任选一个汉字，这个字是“绿”的概率=1 10．故选B．点睛：本题考查了概率公式：随机事件A的概率P（A）=事件A可能出现的结果数除以所有可能出现的结果数．5．若23xy=⎧⎨=-⎩是关于x、y的方程组2x y mx y n+=⎧⎨-=⎩的解，则m－n的值为（）A．4 B．－4 C．－8 D．8【答案】C【解析】分析: 将x 与y 的值代入已知的方程组中，求出m 与n 的值，代入m-n 即可求出值.详解: 将x=2，y=-3代入方程组得：()2343m n -⎧⎨--⎩＝＝，可得：m=-1，n=7，则m-n=-1-7=-1．故选：C.点睛: 此题考查了二元一次方程组的解，方程组的解即为能使方程组中两方程成立的未知数的值.6．等腰三角形的两边长为4、9，则它的周长是( )A ．17B ．17或22C ．20D ．22【答案】D【解析】解：根据题意可知等腰三角形的三边可能是4，4，9或4，9，9∵4+4＜9，故4，4，9不能构成三角形，应舍去4+9＞9，故4，9，9能构成三角形∴它的周长是4+9+9=22故选D ．7．为了了解某市去年中考数学学科各分数段成绩分布情况，从中抽取500名考生的中考数学成绩进行统计分析，在这个问题中，下列说法正确的是( )A ．样本是500B ．被抽取的500名考生的中考数学成绩是样本容量C ．被抽取的500名考生是个体D ．全市去年中考数学成绩是总体【答案】D【解析】我们把所要考察的对象的全体叫做总体；把组成总体的每一个考察对象叫做个体；从总体中取出的一部分个体叫做这个总体的一个样本；一个样本包括的个体数量叫做样本容量．【详解】解：A ．样本是抽取的500名考生的中考数学成绩，故本选项错误；B ．样本容量是500，故本选项错误；C ．被抽取的每名考生的数学成绩是个体，故本选项错误；D ．全市去年中考数学成绩是总体，故本选项正确；故选：D ．【点睛】此题主要考查了总体、个体、样本、样本容量的定义，正确把握定义是解题关键．8．平方根和立方根都是本身的数是（）A ．0B ．1C ．±1D ．0和±1 【答案】A【解析】根据平方根和立方根的定义，求出平方根和立方根都是本身数是1．【详解】解：平方根是本身的数有1，立方根是本身的数有1，-1，1；所以平方根和立方根都是本身的数是1．故选：A ．【点睛】本题考查平方根和立方根的计算，关键是考虑特殊值．9．若点P(21m +，312m -）在第四象限，则m 的取值范围是（） A ．14m < B ．12m > C ．1123m -<< D ．1123m -≤≤ 【答案】C【解析】∵点P(2m 1+，3m 12-）在第四象限， ∴2103102m m +⎧⎪⎨-<⎪⎩＞解得11m 23-<<. 故选C ．【点睛】坐标平面被两条坐标轴分成了四个象限，每个象限内的点的坐标符号各有特点，该知识点是中考的常考点，常与不等式、方程结合起来求一些字母的取值范围，比如本题中求m 的取值范围．10．如图，PO OR ⊥，OQ PR ⊥，则点O 到PR 所在直线的距离是线段（）的长．A ．OQB ．ORC ．OPD ．PQ【答案】A 【解析】根据点到直线的距离的定义：从直线外一点到这条直线的垂线段长度，叫点到直线的距离，结合图形判断即可．【详解】解：∵OQ ⊥PR ，∴点O 到PR 所在直线的距离是线段OQ 的长．故选A ．【点睛】本题考查了点到直线的距离，熟记概念并准确识图是解题的关键．二、填空题题11．如果点P （﹣5，m ）在第三象限，则m 的取值范围是_____．【答案】m<0【解析】直接利用第三象限点的性质得出m 的取值范围. 【详解】点()5,P m -在第三象限，∴m 的取值范围是：0m <.故答案为：0m <.【点睛】此题主要考查了点的坐标，正确把握第三象限内点的符号是解题关键.12．已知关于x 的不等式310x m -+>，若1m =，则不等式的解集为__________；若不等式的最小整数解为2，则实数m 的取值范围是__________。

有理数加减法法则

有理数减法法则有理数减法法则：减去一个数，等于加上这个数的相反数。

其中：两变：减法运算变加法运算，减数变成它的相反数。

一不变：被减数不变。

可以表示成：a－b=a+（－b）。

有理数加法法则有理数的加法与小学的加法大有不同,小学的加法不涉及到符号的问题,而有理数的加法运算总是涉及到两个问题:一是确定结果的符号;二是求结果的绝对值.在进行有理数加法运算时,首先判断两个加数的符号:是同号还是异号,是否有0.从而确定用那一条法则.在应用过程中,一定要牢记"先符号,后绝对值",熟练以后就不会出错了.多个有理数的加法,可以从左向右计算,也可以用加法的运算定律计算,但是在下笔前一定要思考好,哪一个要用定律哪一个要从左往右计算.法则1.同号相加,取相同符号,并把绝对值相加.2.绝对值不等的异号加减,取绝对值较大的加数符号,并用较大的绝对值减去较小的绝对值.互为相反数的两个数相加得0.3.一个数同0相加,仍得这个数.定律Ⅰ.同号相加,取相同符号,并把绝对值相加.Ⅱ.绝对值不相等的异号两数加减,取绝对值较大的符号,并用较大的绝对值减去较小的绝对值.互为相反数的两个数相加得0.Ⅲ.一个数同0相加,仍得这个数.4．相反数相加结果一定得0交换律和结合律有理数的加法同样拥有交换律和结合律(和整数得交换律和结合律一样)用字母表示为:交换律:a+b=b+a 两个数相加，交换加数的位置，和不变。

结合律:a+b+c=(a+b)+c=a+(b+c)三个数相加，先把前两个数相加，或者先把后两个数相加，和不变。

有理数减法法则有理数减法法则：减去一个数，等于加上这个数的相反数。

其中：两变：减法运算变加法运算，减数变成它的相反数。

一不变：被减数不变。

可以表示成：a－b=a+（－b）。

有理数加减乘除、乘方、科学计数法

一、（一）有理数的加法法则：1、同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加，如：(3)(9)(________)_______+++=+= (2)(5)(________)_______-+-=-=2、绝对值不等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值，如：(5)(7)__________________-++== (10)(8)__________________-++==3、互为相反的两个数相加得零。

如：(4)(4)_______-++=4、一个数与零相加，仍得这个数。

如：(6)0_______-+=（二）有理数加法仍然可以灵活运用加法运算律进行简化运算。

1、加法交换律：可用字母表示为：a ＋b ＝b ＋a 。

如：由(5)(7)______-+-=，(7)(5)______-+-=，所以：(5)(7)____(7)(5)-+--+-2、加法结合律：可用字母表示为：(a ＋b )＋c ＝a ＋(b ＋c )。

如：[][](2)(4)(9)(2)(4)(9)(2)(4)(9)__________-+-++=-+-++=-+-++=二、经典归纳考点一有理数加法【例1】计算：（1）)12()1(+++（2）)19()4(-+-（3）)9()4(++-【例2】41-的相反数与绝对值等于41的数的和应等于（）。

A ．21B ．0C ．21-D ．21或0【例3】若x 是-3的相反数，y =5，求x +y 的值。

【例4】若320a b ++-=，则a+b 的值为（） A ．5B ．-1C ．1D ． -5考点二简便计算【例1】利用运算律，用简便方法计算下列各题：（1）(6)539(4)(7)+++++---解：原式=[])935()7()4()6(+++-+-+-（2）4)5.0()5.2()7.3()5.2(+-+++-+-解：原式=考点三实际应用【例】出租车司机小张某天下午营运全是在东西走向的大道上行驶的，如果规定向东为正，向西为负，这天下午行车里程如下：（单位：千米）＋11， -2，＋15， -12，＋10， -11，＋5， -15，＋18， -16 （1）当最后一名乘客送到目的地时，距出车地点的距离为多少千米？（2）若每千米的收费标准为7元，这天下午的营业额为多少？（与路程有关，与方向无关）（3）若成本为1.5元/千米，这天下午他盈利为多少元？有理数减法和加减混合运算一、知识清单（一）探索新知在上一讲中，同学们已经学习了有理数的加法。

有理数的减法法则2

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