测量数据处理理论与方法-3详解

V1T P1V1 及
σ σ V2T P2V2 来估计
、 2
2
01
02
，使之达到
σ2 01
=
σ
2 02
寻找：残差平方和 V1T P1V1 、V2T P2V2
与
σ2 01
、σ
2 02
之间的关系式。
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第三章 平差随机模型的验后估计
第二节 赫尔默特方差估计法
一、严密估计公式 1、出发公式： 二次型的数学期望（定理）
= B1N −1(B1T P1L1 + B2T P2 L2 ) − L1
Βιβλιοθήκη Baidu
= [ B1 N
B −1 T 1
P1
−
E ]L1
+
B1N
B −1 T 2
P2 L2
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第三章 平差随机模型的验后估计
V1 = [B1N −1B1T P1 − E]L1 + B1N −1B2T P2 L2
D (V1 )
令
N1 = B1T P1B1
N2 = B2T P2 B2
N = N1 + N2
W1 = B1T P1L1
W2 = B2T P2 L2
W = W1 + W2
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第三章 平差随机模型的验后估计
假定第一次平差权阵不恰当，则
D ( L1 )
=
σ
P 2 −1
01 1
D ( L2
)
=
σ
2 02
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第三章 平差随机模型的验后估计
2、间接平差方差分量估计模型
设有两类独立的观测量 L1 、L2 权阵为
n1 ,1 n2 ,1
P
=
⎡P1
⎢ ⎣
0
0⎤
P2
⎥ ⎦
误差方程：
⎡V1 ⎤
⎢⎣V2
⎥ ⎦
=
⎡ ⎢ ⎣
B1 B2
⎤ ⎥ ⎦
Xˆ
−
⎡ L1 ⎤
⎢ ⎣
L2
⎥ ⎦
法方程： (B1T P1B1 + B2T P2 B2 ) Xˆ = B1T P1L1 + B2T P2 L2
P2−1
σ2 01
≠
σ2 02
考虑二次型 E(V1T P1V1) E(V2T P2V2 )
∴ E(V1) = 0 E(Y T MY ) = tr(MΣ) +η T Mη
∵ E(V1T P1V1) = tr(P1D(V1)) = tr(D(V1)P1)
V1 = B1 Xˆ − L1 = B1N −1(W1 + W2 ) − L1
1 si
9 不同类型独立观测值（导线网）
σ
2 i
=
siσ
2
pβ
=
σ
2 0
σ
2 β
ps
=
σ
2 0
σ
2 s
权不正确可视为采用了不同的单位权方差因子
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第三章 平差随机模型的验后估计
二、先验方差阵对平差结果的影响 Xˆ ' = [BT (P + ΔP)B]−1 BT (P + ΔP)L ≠ Xˆ V ' = BXˆ ' − L ≠ V
(V ' )T (P + ΔP)V ' ≠ V T PV 参阅黄维彬：《近代平差理论及其应用》P359 三、随机模型验后估计方法
基本思想：
定初权
平差
方差、协方差因子估计
修正权
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第三章 平差随机模型的验后估计
目的：
1. 检验不同类观测值权是否合理；
2. 通过重复平差 V
9 独立观测值：
pi
=
σ
2 0
σ
2 i
9 相关观测值： P = Q−1
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第三章 平差随机模型的验后估计
定权时存在的问题： 9 同类型独立观测值（水准测量）
设每公里观测高差中误差为 σ 2
路线长度为 si 观测高差中误差
取
σ
2 0
=σ2
pi
=
σ
2 0
σ
2 i
=
σ2 siσ 2
=
测量数据处理理论与方法
（现代测量数据处理理论）
黄海兰
武汉大学测绘学院
2015年1武2汉月大学0测6绘日学院 孙
海燕
第三章 平差随机模型的验后估计
第一节 概述
平差准则： V T PV = min
平差的数学模型 函数模型： L = BX + Δ
随机模型： E(Δ) = 0, DΔ = σ 02Q
函数模型不合理
σˆ
2 0i
的过程，
使
σˆ
2 01
=
σˆ
2 02
=
...σˆ
2 0n
，使不合理的权得以修正。
两类观测值：
⎡ L1 ⎤
⎢ ⎣
L2
⎥ ⎦
⎡⎢⎣σσ11222QQ1211
σ
Q 2
12 12
σ
Q 2
2 22
⎤ ⎥ ⎦
9 估计参数：
σ
2 1
,σ
2 2
,
方差分量，
σ2 12
协方差分量
赫尔默特法
9 估计方法
二次无偏估计法
∴ E(YY T ) = D(Y ) +ηη T = Σ +ηη T
E(Y T MY ) = E[tr(Y T MY )] = E[tr(MYY T )] = tr[E( MYY T )] = tr[ME(YY T )]
= tr[M (Σ +ηη T )] = tr(MΣ) + tr(Mηη T ) = tr(MΣ) + tr(ηT Mη) = tr(MΣ) +ηT Mη
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第三章 平差随机模型的验后估计
第二节 赫尔默特方差估计法
通常，第一次平差给定的两类观测值的权 P1 , P2
n1×n1
n2 ×n2
是不适当的，即对应的单位权方差不相等：σ
2 01
≠
σ
2 02
因此有：
σ D = P 2 − 1
L1
01 1
σ D = P 2 −1
L2
02 2
方差分量估计：利用平差后各类改正数平方和
闭合差、单位权方差
平差结果精度下降
随机模型不合理
原因？现象？ 引起的后果？
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第三章 平差随机模型的验后估计
一、验前随机模型 Δ = Δn + Δs + Δ g Δs = 0, Δ g = 0
E(Δ) = 0, D(Δ) = DΔ = σ 02Q
DΔ 或 Q (P) 已知
随机模型归结为权的确定，定权公式：
= [B1N −1B1T P1
−
E
]σ
2 01
P1−1[
P1
B1
N
−1
B1T
−
E]
+
B1N
B −1 T 2
P2σ
2 02
P2−1P2
B2
N
B −1 T 1
=
σ
021[
B1
N
B −1 T 1
P1
B1
N
B −1 T 1
− B1N −1B1T
− B1N −1B1T
+
P1−1 ]
+
σ
2 02
设随机变量 Y 的数学期望为 η 、方差为 Σ
则二次型 Y T MY 的数学期望为
E(Y T MY ) = tr(MΣ) +ηT Mη
式中 M 为正定矩阵
ViT PVi
⇒
σˆ
2 0i
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第三章 平差随机模型的验后估计
证明： Σ = D(Y ) = E{(Y −η)(Y −η)T } = E{YY T −Yη T −ηY T +ηη T } = E(YY T ) −ηη T −ηη T +ηη T