北师大版高中数学必修五全册同步分层练习

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高中数北师大必修五课时分层作业5

课时分层作业(五)(建议用时：40分钟)[学业达标练]一、选择题1．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若2a 6＝a 8＋6，则S 7等于( ) A ．49 B ．42 C ．35D ．28B [2a 6－a 8＝a 4＝6，S 7＝72(a 1＋a 7)＝7a 4＝42.]2．等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且S 2 018＝a 2 018＝2 018，则a 1等于( )【导学号：91022055】A ．－2 016B ．2 016C ．－2 018D ．2 018A [S 2 018＝2 018(a 1＋a 2 018)2＝2 018，故a 1＋a 2 018＝2，又a 2 018＝2 018，所以a 1＝－2 016.]3．在小于100的自然数中，所有被7除余2的数之和为( ) A ．765 B ．665 C ．763D ．663B [∵a 1＝2，d ＝7,2＋(n －1)×7＜100，∴n ＜15，∴n ＝14，S 14＝14×2＋12×14×13×7＝665.]4．设S n 是等差数列{a n }的前n 项和，若S 3S 6＝13，则S 6S 12等于( )【导学号：91022056】A.310 B ．13 C.18D ．19A [由题意S 3，S 6－S 3，S 9－S 6，S 12－S 9成等差数列．∵S 3S 6＝13.不妨设S 3＝1，S 6＝3，则S 6－S 3＝2，所以S 9－S 6＝3，故S 9＝6，∴S 12－S 9＝4，故S 12＝10，∴S 6S 12＝310.]5．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 1＝－11，a 4＋a 6＝－6，则当S n 取得最小值时，n 等于( )A ．6B ．7C ．8D ．9A [设公差为d ，由a 4＋a 6＝2a 5＝－6，得a 5＝－3＝a 1＋4d ，解得d ＝2， ∴S n ＝－11n ＋n (n －1)2×2＝n 2－12n ， ∴当n ＝6时，S n 取得最小值．] 二、填空题6．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且6S 5－5S 3＝5，则a 4＝________.【导学号：91022057】[解析] 设等差数列{a n }的首项为a 1，公差为d ，由6S 5－5S 3＝5，得3(a 1＋3d )＝1，所以a 4＝13.[★答案★] 137．已知等差数列{a n }，S n 是其前n 项和，S 4＝8，S 12＝20，则S 8＝________. [解析] 因为S 4，S 8－S 4，S 12－S 8成等差数列，所以2(S 8－S 4)＝S 4＋S 12－S 8，即2(S 8－8)＝8＋20－S 8，解得S 8＝443. [★答案★] 4438．某渔业公司年初购进一艘渔船用于捕捞，第一年需要维修费12万元，从第二年起维修费比上一年增加4万元，则前10年维修费总和为________万元.【导学号：91022058】[解析] 由题意，从第二年起维修费比上一年增加4万元，即每年的维修费成等差数列．设从第二年起，每年的维修费构成的等差数列为{a n }，则a n ＝12＋4(n －1)＝4n ＋8，S 10＝10×12＋12×10×9×4＝300(万元)． [★答案★] 300 三、解答题9．在等差数列{a n }中．(1)a 1＝105，a n ＝994，d ＝7，求S n ； (2)d ＝2，a n ＝11，S n ＝35，求a 1和n .[解] (1)d ＝a n －a 1n －1＝994－105n －1＝889n －1＝7，解得n ＝128.∴S n ＝n (a 1＋a n )2＝128×(105＋994)2＝7 0336.(2)由⎩⎪⎨⎪⎧a n ＝a 1＋(n －1)d ，S n ＝na 1＋n (n －1)2d ，得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋2(n －1)＝11，na 1＋n (n －1)2×2＝35，解方程组得⎩⎨⎧ n ＝5，a 1＝3或⎩⎨⎧n ＝7，a 1＝－1.10．已知等差数列{a n }中，a 1＝9，a 4＋a 7＝0.【导学号：91022059】(1)求数列{a n }的通项公式；(2)当n 为何值时，数列{a n }的前n 项和取得最大值． [解] (1)由a 1＝9，a 4＋a 7＝0，得a 1＋3d ＋a 1＋6d ＝0，解得d ＝－2， ∴a n ＝a 1＋(n －1)d ＝11－2n . (2)a 1＝9，d ＝－2，S n ＝9n ＋n (n －1)2·(－2)＝－n 2＋10n ＝－(n －5)2＋25，∴当n ＝5时，S n 取得最大值．[冲A 挑战练]1．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 1＞0，S 4＝S 8，则S n 取最大值时n 的值为( )A ．4B ．5C ．6D ．7C [因为a 1＞0，S 4＝S 8，所以d ＜0. 由S 4＝S 8，得a 1＝－112d .所以a n ＝－112d ＋(n －1)d ＝nd －132d . 由⎩⎨⎧a n ≥0，a n ＋1≤0，得⎩⎪⎨⎪⎧nd －132d ≥0，(n ＋1)d －132d ≤0.解得5 12≤n ≤6 12，又因为n ∈N ＋，所以n ＝6时，S n 取得最大值．]2．含2n ＋1项的等差数列，其奇数项的和与偶数项的和之比为( ) A.2n ＋1nB ．n ＋1n C.n －1nD ．n ＋12nB [法一：设原数列为a 1，a 2，a 3，…，a 2n ＋1，公差为d ，则a 1，a 3，a 5，…，a 2n ＋1和a 2，a 4，a 6，…，a 2n 也分别为等差数列，公差都为2d .故S 奇＝a 1＋a 3＋a 5＋…＋a 2n ＋1＝(n ＋1)a 1＋(n ＋1)[(n ＋1)－1]2×2d ＝(n ＋1)(a 1＋nd )，S 偶＝a 2＋a 4＋a 6＋…＋a 2n ＝na 2＋n (n －1)2×2d ＝n (a 1＋d )＋n (n －1)d ＝n (a 1＋nd )．故S 奇S 偶＝(n ＋1)(a 1＋nd )n (a 1＋nd )＝n ＋1n . 法二：同法一得S 奇＝a 1＋a 3＋…＋a 2n ＋1＝(n ＋1)(a 1＋a 2n ＋1)2，S 偶＝a 2＋a 4＋…＋a 2n ＝n (a 2＋a 2n )2，因为a 1＋a 2n ＋1＝a 2＋a 2n ，所以S 奇S 偶＝n ＋1n .] 3．已知两个等差数列{a n }与{b n }的前n 项和分别为A n 和B n ，且A n B n ＝7n ＋45n ＋3，则使得a nb n为整数的正整数n 的个数是________.【导学号：91022060】[解析] a n b n ＝A 2n －1B 2n －1＝14n ＋382n ＋2＝7n ＋19n ＋1＝7(n ＋1)＋12n ＋1＝7＋12n ＋1，所以n ＝1,2,3,5,11，共5个． [★答案★] 54．在等差数列{a n }中，a 1＞0，a 10·a 11＜0，若此数列的前10项和S 10＝36，前18项和S 18＝12，则数列{|a n |}的前18项和T 18的值是________．[解析] 由a 1＞0，a 10·a 11＜0可得d ＜0，a 10＞0，a 11＜0，所以T 18＝a 1＋…＋a 10－a 11－…－a 18 ＝S 10－(S 18－S 10)＝60. [★答案★] 605．某公司决定给员工增加工资，提出了两个方案，让每位员工自由选择其中一种．甲方案是公司在每年年末给每位员工增资1 000元；乙方案是每半年末给每位员工增资300元.【导学号：91022061】(1)你会怎样选择增资方案？请说明你的理由；(2)若保持方案甲不变，而方案乙中每半年末的增资额改为a 元，问a 为何值时，方案乙总比方案甲增资多？(说明：①方案的选择应以让自己获得更多增资总额为准；②假定员工工作年限均为整数)[解] (1)设甲方案第n 次的增资额为a n ，则a n ＝1 000n ，第n 年末的增资总额为T n ＝n (1 000＋1 000n )2＝500n (n ＋1)．乙方案第n 年末的增资总额为S 2n ＝2n (300＋300×2n )2＝300n (2n ＋1)．∵T n －S 2n ＝100n (2－n )，当n ＝1时，T n ＞S 2n ；当n ＝2时，T n ＝S 2n ；当n ≥3时，T n ＜S 2n .∴只工作一年选择甲方案；只工作两年，随便选；工作两年以上选择乙方案． (2)T n ＝500n (n ＋1)，S 2n ＝an (2n ＋1)，由已知条件得S 2n ＞T n ，即a ＞500·n ＋12n ＋1＝250⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12n ＋1. 经分析知⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫250⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12n ＋1为递减数列，当n ＝1时，取到最大值1 0003.∴当a ＞1 0003时，方案乙总比方案甲增资多．。

高中数学北师大版必修五学业分层测评第一章数列 9 Word版含解析

学业分层测评(九)(建议用时：分钟)[学业达标]一、选择题．数列{＋－}的前项和为( )．＋．＋．＋－．＋＋【解析】＝＋＝＋－.【答案】．若数列{}的通项公式是＝(－)(－)，则＋＋…＋＝( )．．．－．－【解析】设＝－，则数列{}是以为首项，为公差的等差数列，所以＋＋…＋＋＝(－)＋＋…＋(－)＋＝(－)＋(－)＋…＋(－)＝×＝.【答案】．数列，，，，…的前项和为( )．＋－．＋－．＋－．＋－【解析】由题意知数列的通项为＝－＋，则＝＋＝＋－.【答案】．已知数列{}的通项公式是＝，若前项和为，则项数为( )．．．．【解析】∵＝＝－，∴＝＋＋…＋＝(－)＋(－)＋…＋(－)＝－.令－＝，得＝.【答案】．数列，，，…，的前项和为( )．．【解析】该数列的通项为＝，分裂为两项差的形式为＝，则＝，∴＝＝.【答案】二、填空题．某住宅小区计划植树不少于棵，若第一天植棵，以后每天植树的棵树是前一天的倍，则需要的最少天数(∈*)的值为．【解析】由题意可得，第天种树的棵数是以为首项，以为公比的等比数列，＝＝＋－≥，∴＋≥.∵∈*，∴＋≥，∴≥，即的最小值为.【答案】．已知数列{}的前项和为且＝·，则＝.【解析】∵＝·，∴＝＋＋…＋＝·＋·＋·＋…＋·，①∴＝·＋·＋·＋…＋(－)·＋·＋，②①－②得－＝＋＋＋…＋－·＋＝－·＋＝＋－－·＋.∴＝(－)·＋＋.【答案】(－)·＋＋．已知等比数列{}中，＝，＝，若数列{}满足＝，则数列的前项和＝.【解析】设等比数列{}的公比为，则＝＝，解得＝，所以＝－＝×－＝，故＝＝，所以＝＝－，则＝－＋－＋…＋－＝－＝.【答案】三、解答题．已知等差数列{}的前项和为，前项和为－.()求数列{}的通项公式；。

新教材高中数学北师大版必修5同步精练：1.2.1等差数列 Word版含答案

（新教材）北师大版精品数学资料第一课时基础巩固1下列说法中正确的是( )A ．一个数列的每一项与它的前一项的差都等于常数，这个数列就叫等差数列B ．一个数列的每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，这个数列就叫等差数列C ．一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的和都等于常数，这个数列就叫等差数列D ．一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，这个数列就叫等差数列2已知等差数列{a n }的通项公式a n ＝3－2n ，则它的公差为( )A ．2B ．3C ．－2D ．－33已知等差数列{a n }中，首项a 1＝4，公差d ＝－2，则通项公式a n 等于( )A ．4－2nB ．2n －4C ．6－2nD ．2n －64已知{a n }为等差数列，a 1＋a 3＋a 5＝105，a 2＋a 4＋a 6＝99，则a 20等于( )A ．－1B ．1C ．3D ．75在数列{a n }中，a 1＝1，a n ＋1＝a n ＋1，则a 2 009等于( )A ．2 007B ．2 008C ．2 009D ．不确定 6已知{a n }为等差数列，且a 7－2a 4＝－1，a 3＝0，则公差d 等于( )A ．－2B ．－12 C.12D ．2 7已知数列{a n }的通项公式是a n ＝7n ＋2，求证：数列{lg a n }是等差数列． 8夏季高山上的温度从山脚起，每升高100米，降低0.7 ℃，已知山顶处的温度是14.8 ℃，山脚处的温度为26 ℃，问此山相对于山脚处的高度是多少米？综合过关9已知关于x 的方程(x 2－2x ＋m )(x 2－2x ＋n )＝0的四个根组成一个首项为14的等差数列，则|m －n |等于 ( )A ．1 B.34 C.12 D.3810有一正四棱台形楼顶，其中一个侧面中最上面一行铺瓦30块，总共需要铺瓦15行，并且下一行比其上一行多铺3块瓦，求该侧面最下面一行铺瓦多少块？11已知函数f (x )＝3x x ＋3，数列{x n }的通项由x n ＝f (x n －1)(n ≥2且n ∈N ＋)确定． (1)求证：{1x n}是等差数列； (2)当x 1＝12时，求x 100. 12一个等差数列首项为125，公差d ＞0，从第10项起每一项都比1大，求公差d 的范围．能力提升13某小朋友用手指按如图所示的规则练习数数，数到2 009 时对应的指头是______．(填出指头名称：各指头对应依次为大拇指、食指、中指、无名指、小拇指)14设{a n }为a 1＝4的递增数列，且满足a 2n ＋1＋a 2n ＋16＝8(a n ＋1＋a n )＋2a n ＋1a n ，则a n ＝__________.参考答案1解析：仅有D 是等差数列的定义．答案：D2解析：可得a n ＋1－a n ＝－2或a 2－a 1＝(3－4)－(3－2)＝－2.答案：C3解析：通项公式a n ＝a 1＋(n －1)d ＝4＋(n －1)×(－2)＝6－2n .答案：C4解析：设公差为d ，则⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋a 1＋2d ＋a 1＋4d ＝105，a 1＋d ＋a 1＋3d ＋a 1＋5d ＝99，解得a 1＝39，d ＝－2，∴a 20＝a 1＋(20－1)×d ＝1.答案：B5解析：由于a n ＋1－a n ＝1，则数列{a n }是等差数列，则a n ＝a 1＋(n －1)d ＝n ，∴a 2 009＝2 009.答案：C6解析：由题意得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋6d －2(a 1＋3d )＝－1，a 1＋2d ＝0，解得d ＝－12. 答案：B7分析：转化为证明lg a n ＋1－lg a n 是一个与n 无关的常数．证明：设b n ＝lg a n ，则b n ＋1－b n ＝lg a n ＋1－lg a n ＝(n ＋3)lg7－(n ＋2)lg7＝lg7＝常数．所以数列{b n }是等差数列，即数列{lg a n }是等差数列．8解：∵每升高100米温度降低0.7 ℃，∴该处温度的变化是一个等差数列问题．山脚温度为首项a 1＝26，山顶温度为末项a n ＝14.8，∴26＋(n －1)×(－0.7)＝14.8，解之可得n ＝17，故此山相对于山脚处的高度为(17－1)×100＝1 600(米)．9解析：设这四个根组成的等差数列为{a n }，则a 1＝14，设公差为d ，方程x 2－2x ＋m ＝0的两根之和为2，方程x 2－2x ＋n ＝0的两根之和也为2，则a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝a 1＋a 1＋d ＋a 1＋2d ＋a 1＋3d ＝4a 1＋6d ＝4，则1＋6d ＝4，所以d ＝12.则这四个根是14，34，54，74.又14＋74＝2，34＋54＝2，则m ＝14×74＝716，n ＝34×54＝1516或n ＝14×74＝716，m ＝34×54＝1516，则|m －n |＝|716－1516|＝12. 答案：C10分析：转化为求等差数列的第15项．解：设从上面开始第n 行铺瓦a n 块，则数列{a n }是首项为30，公差为3的等差数列．则a 15＝a 1＋14d ＝30＋14×3＝72(块)，即该侧面最下面一行铺瓦72块．11(1)证明：x n ＝f (x n －1)＝3x n －1x n －1＋3(n ≥2且n ∈N ＋)， ∴1x n ＝x n －1＋33x n －1＝13＋1x n －1， 1x n －1x n －1＝13(n ≥2且n ∈N ＋)， ∴{1x n}是等差数列． (2)解：1x n ＝1x 1＋(n －1)×13＝2＋n －13＝n ＋53. ∴1x 100＝100＋53＝35. ∴x 100＝135. 12分析：转化为解不等式组．解：∵d ＞0，设等差数列为{a n }，则a 1＜a 2＜…＜a 9＜a 10＜a 11…，依题意有⎩⎪⎨⎪⎧ 1<a 10<a 11<…，a 1<a 2<…<a 9≤1，即⎩⎪⎨⎪⎧ a 10>1a 9≤1⇔⎩⎨⎧ 125＋(10－1)d >1，125＋(9－1)d ≤1，解得875＜d ≤325. 13解析：把这些数分成“层”，则第1层有5个数，其他层都是有4个数，奇数层小拇指对应的数最大，偶数层大拇指对应的数最大，则2 009＝5＋2 004＝5＋4×501，则2 009在第502层，并且是该层最大的数，所以2 009位于大拇指的位置上．答案：大拇指14解析：a2n＋1＋a2n＋16＝8(a n＋1＋a n)＋2a n＋1a n ⇔(a n＋1＋a n)2－8(a n＋1＋a n)＋16＝4a n＋1a n⇔(a n＋1＋a n－4)2＝4a n＋1a n⇔a n＋1＋a n－4＝2a n＋1a n(由题意可知取正号) ⇔(a n＋1－a n)2＝4⇔a n＋1－a n＝2，因此，{a n}是公差为2的等差数列．则a n＝a1＋(n－1)×2＝2n，从而可得a n＝4n2.答案：4n2第二课时基础巩固1a＝13＋2，b＝13－2，则a、b的等差中项为()A.3B.2C.33 D.222等差数列{a n}的公差为d，则数列{ca n}(c为常数，且c≠0)是()A．公差为d的等差数列B．公差为cd的等差数列C．不是等差数列D．以上都不对3在a和b(a≠b)两个数之间插入n个数，使它们与a、b组成等差数列，则该数列的公差为______．4等差数列{a n}中，a5＝10，a20＝7，则a2＋a23＝______.5已知a，b，c成等差数列，请问b＋c，c＋a，a＋b是否构成等差数列，为什么？6在－1与7之间顺次插入三个数a，b，c，使这5个数成等差数列，求这5个数．7四个数成等差数列，其四个数的平方和为94，第一个数与第四个数的积比第二个数与第三个数的积少18，求此四个数．综合过关8已知1a 、1b 、1c成等差数列，并且a ＋c 、a －c 、a ＋c －2b 均为正数，试证：lg(a ＋c )，lg(a －c )，lg(a ＋c －2b )也成等差数列．9在数列{a n }中，相邻两项a n 和a n ＋1是相应的二次方程x 2＋3nx ＋b n ＝0(n ∈N ＋)的两根．若a 1＝2，试求b 100的值．能力提升10在等差数列{a n }中，已知a 1＝83，a 4＝98，则这个数列有多少项在300到500之间？参考答案1答案：A2解析：设b n ＝ca n ，则b n ＋1－b n ＝ca n ＋1－ca n ＝c (a n ＋1－a n )＝cd .答案：B3解析：b ＝a ＋(n ＋2－1)d ，则d ＝b －a n ＋1. 答案：b －a n ＋14答案：175分析：要证明三个数成等差数列，可用等差中项的性质去说明．解：b ＋c ，c ＋a ，a ＋b 构成等差数列．∵a ，b ，c 成等差数列，∴2b ＝a ＋c .又∵(b ＋c )＋(a ＋b )＝(a ＋c )＋2b ＝2(a ＋c )，∴b ＋c ，c ＋a ，a ＋b 成等差数列．6分析：此题可求出公差后，再逐项求解，也可以利用等差数列的性质求解．解法一：设这5个数构成的等差数列为{a n }，公差是d ，由已知，有a 1＝－1，a 5＝7，则7＝－1＋(5－1)d .解得d ＝2.∴所求数列为－1,1,3,5,7.解法二：∵－1，a ，b ，c,7成等差数列，∴b 是－1与7的等差中项，a 是－1与b 的等差中项，c 是b 与7的等差中项，即b ＝－1＋72＝3，a ＝－1＋b 2＝1，c ＝b ＋72＝5. ∴所求数列为－1,1,3,5,7.7解：设四个数为a －3d ，a －d ，a ＋d ，a ＋3d ，据题意得(a －3d )2＋(a －d )2＋(a ＋d )2＋(a ＋3d )2＝94，即4a 2＋20d 2＝94. ①又(a －3d )(a ＋3d )＝(a －d )(a ＋d )－18，即8d 2＝18，∴d ＝±32. 代入①得a ＝±72， ∴所求四个数为8,5,2，－1或1，－2，－5，－8或－1,2,5,8或－8，－5，－2,1. 8分析：转化为证明2lg(a －c )＝lg(a ＋c )＋lg(a ＋c －2b )．证明：∵1a 、1b 、1c成等差数列， ∴2b ＝1a ＋1c. ∴2b ＝a ＋c ac. ∴2ac ＝ab ＋bc .∴－2ac ＝2ac －2b (a ＋c )．∴－2ac ＋a 2＋c 2＝2ac －2b (a ＋c )＋a 2＋c 2.∴(a －c )2＝(a ＋c )(a ＋c －2b )．又a －c ，a ＋c ，a ＋c －2b 都是正数，∴2lg(a －c )＝lg(a ＋c )＋lg(a ＋c －2b )．∴lg(a ＋c )，lg(a －c )，lg(a ＋c －2b )成等差数列．9分析：依题意有：a n ＋a n ＋1＝－3n 且a n ·a n ＋1＝b n ，欲求b 100，需求a 100和a 101的值，可由递推或a n ＋a n ＋1＝－3n ，找到a n 的通项公式，进而求出a 100和a 101.解：依题意得：a n ＋a n ＋1＝－3n ， ① a n ·a n ＋1＝b n (n ∈N ＋)， ② 由②知：b 100＝a 100·a 101.∵a n ＋a n ＋1＝－3n ， ① ∴a n ＋1＋a n ＋2＝－3(n ＋1)， ③ ③－①得：a n ＋2－a n ＝－3.∴a 1，a 3，a 5，…，a 99，a 101构成公差为－3的等差数列． ∴a 101＝a 2×51－1＝a 1＋(51－1)d ＝2＋50×(－3)＝－148，代入a 100＋a 101＝－3×100得a 100＝－152.∴b 100＝a 100·a 101＝(－152)×(－148)＝22 496.10分析：可先利用a 1＝83，a 4＝98求出首项和公差，确定通项公式后再求解．解：公差d ＝a 4－a 13＝98－833＝5， ∴a n ＝a 1＋(n －1)d ＝83＋5(n －1)＝5n ＋78.令300＜a n ＜500得300＜5n ＋78＜500，解得44.4＜n ＜84.4.∴从第45项到第84项，共有40项在300到500之间．。

课堂新坐标高中数学北师大必修五学业分层测评：第一章数列 6 含解析

学业分层测评(六)(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1．若等比数列的首项为98，末项为13，公比为23，则这个数列的项数为()A．3B．4 C．5 D．6【解析】因为98·⎝⎛⎭⎪⎫23n－1＝13，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫23n－1＝827＝⎝ ⎛⎭⎪⎫233，所以n＝4. 【答案】 B2．已知a，b，c，d是公比为2的等比数列，则2a＋b2c＋d＝()A．1 B．1 2C.14D．18【解析】由题意知b＝2a，c＝4a，d＝8a，所以2a＋b2c＋d＝2a＋2a2×4a＋8a＝14.【答案】 C3．(2016·淮安高二检测)设等比数列的前三项依次为2，32，62，则它的第四项是()A．1 B．8 2C.92 D．1212【解析】∵a1＝2，a2＝32，则q＝322，∴a4＝a1·q3＝2·222＝1.【答案】 A4．(2016·吉安高二检测)已知等比数列{a n}满足a1＋a2＝3，a2＋a3＝6，则a7＝()A．64 B．81C．128 D．243【解析】∵{a n}是等比数列，a1＋a2＝3，a2＋a3＝6，∴设等比数列的公比为q，则a2＋a3＝(a1＋a2)q＝3q＝6，∴q＝2，∴a1＋a2＝a1＋a1q＝3a1＝3，∴a1＝1，∴a7＝a1q6＝26＝64.【答案】 A5．若等比数列{a n}满足a n·a n＋1＝16n，则公比为()A．2 B．4C．8 D．16【解析】令n＝1，得a1a2＝16①，令n＝2，得a2a3＝162②，②①得a3a1＝16，所以q2＝16，所以q＝±4，又由①知q＞0，∴q＝4.【答案】 B二、填空题6．三个数a，b，c成等比数列，公比q＝3，又a，b＋8，c成等差数列，则这三个数依次为________．【解析】由题意知b＝3a，c＝9a，又a，b＋8，c成等差数列所以2(b＋8)＝a＋c，即2(3a＋8)＝a＋9a，解得a＝4，∴b＝12，c＝36.【答案】 4,12,367．已知数列{a n }为等比数列，若a 5－a 1＝15，a 4－a 2＝6，则a 3＝________.【解】由已知得⎩⎪⎨⎪⎧a 1q 4－a 1＝15， ①a 1q 3－a 1q ＝6， ②由①②得q 2＋1q ＝52，∴q ＝12或q ＝2.当q ＝12时，a 1＝－16，a 3＝a 1q 2＝－4；当q ＝2时，a 1＝1，a 3＝a 1q 2＝4. 【答案】 4或－48．各项都是正数的等比数列{a n }中，a 2，12a 3，a 1成等差数列，则a 4＋a 5a 3＋a 4＝________. 【导学号：67940014】【解析】设{a n }公比为q ，∵a 2，12a 3，a 1成等差数列， ∴a 3＝a 1＋a 2， ∴a 1q 2＝a 1＋a 1q ， ∵a 1≠0， ∴q 2－q －1＝0，解得q ＝1±52.∵数列各项都是正数，∴q ＞0，∴q ＝1＋52， ∴a 4＋a 5a 3＋a 4＝q ＝1＋52.【答案】1＋52三、解答题9．已知等比数列{a n }中，a 1＝127，a 7＝27，求a n .【解】由a 7＝a 1q 6，得27＝127·q 6， ∴q 6＝272＝36，∴q ＝±3.当q ＝3时，a n ＝a 1q n －1＝127×3n －1＝3n －4；当q ＝－3时，a n ＝a 1q n －1＝127×(－3)n －1 ＝－(－3)－3·(－3)n －1＝－(－3)n －4. 故a n ＝3n －4或a n ＝－(－3)n －4.10．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，S n ＝14(a n ＋1)(n ∈N ＋)． (1)求a 1，a 2；(2)求证：数列{a n }是等比数列．【解】 (1)由S 1＝14(a 1＋1)，得a 1＝14(a 1＋1) ∴a 1＝13.又S 2＝14(a 2＋1)，即a 1＋a 2＝14(a 2＋1)，解得a 2＝－19.(2)证明：当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝14(a n ＋1)－14(an －1＋1)，解得34a n ＝－14a n －1，即a n a n －1＝－13，当n ＝1时a 1＝13，a 2＝－19，∴a 2a 1＝－13，故{a n }是以13为首项，公比为－13的等比数列．[能力提升]1．(2014·天津高考)设{a n }是首项为a 1，公差为－1的等差数列，S n 为其前n 项和．若S 1，S 2，S 4成等比数列，则a 1＝( )A ．2B ．－2C.12 D ．－12【解析】因为等差数列{a n }的前n 项和为S n ＝na 1＋n (n －1)2d ，所以S 1，S 2，S 4分别为a 1,2a 1－1,4a 1－6.因为S 1，S 2，S 4成等比数列，所以S 22＝S 1·S 4，即(2a 1－1)2＝a 1()4a 1－6，解得a 1＝－12.【答案】 D2．已知数列{x n }满足lg x n ＋1＝1＋lg x n (n ∈N ＋)，且x 1＋x 2＋x 3＋…＋x 100＝1，则lg(x 101＋x 102＋…＋x 200)＝( )A ．200B ．100C ．－200D ．－100【解析】由lg x n ＋1＝1＋lg x n (n ∈N ＋)得lg x n ＋1－lg x n ＝1，所以x n ＋1x n ＝10，所以数列{x n }是公比为10的等比数列，所以x n ＋100＝x n ·10100，所以x 101＋x 102＋…＋x 200＝10100(x 1＋x 2＋…＋x 100)＝10100，所以lg(x 101＋x 102＋…＋x 200) ＝lg10100＝100. 【答案】 B3．(2016·苏州高二检测)在数列{a n }中，a 1＝2，a n ＋1＝4a n －3n ＋1(n ∈N ＋)，则数列{a n }的通项公式为________．【解析】由题设a n ＋1＝4a n －3n ＋1，得a n ＋1－(n ＋1)＝4(a n －n )(n ∈N ＋)．又a 1－1＝1，所以数列{a n －n }是首项为1，且公比为4的等比数列，所以a n －n ＝4n －1，于是数列{a n }的通项公式为a n ＝4n －1＋n . 【答案】 a n ＝4n －1＋n4．(2016·南昌高二检测)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，数列{b n }中，b 1＝a 1，b n ＝a n －a n －1(n ≥2)，且a n ＋S n ＝n .(1)设c n ＝a n －1，求证：{c n }是等比数列； (2)求数列{b n }的通项公式．【解】 (1)证明：∵a n ＋S n ＝n ，① ∴a n ＋1＋S n ＋1＝n ＋1.② ②－①得a n ＋1－a n ＋a n ＋1＝1，∴2a n ＋1＝a n ＋1，∴2(a n ＋1－1)＝a n －1， ∴a n ＋1－1a n －1＝12，∴{a n －1}是等比数列．∵首项c 1＝a 1－1，又a 1＋a 1＝1， ∴a 1＝12，∴c 1＝－12，公比q ＝12. 又c n ＝a n －1，∴{c n }是以－12为首项，公比为12的等比数列． (2)由(1)可知c n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12·⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ， ∴a n ＝c n ＋1＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ，∴当n ≥2时，b n ＝a n －a n －1 ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12n. 又b 1＝a 1＝12代入上式也符合， ∴bn ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12n.。

2020学年高中数学课时分层作业18基本不等式(含解析)北师大版必修5(2021-2022学年)

课时分层作业(十八)(建议用时:６0分钟）［基础达标练]一、选择题1.不等式（x－2ｙ)＋错误!≥2成立的条件为( )A.x≥2ｙ,当且仅当x-2y=1时取等号B.x>2y,当且仅当x-2ｙ＝１时取等号Ｃ．x≤2y，当且仅当x－2y＝1时取等号D．x〈2y,当且仅当ｘ-２y=1时取等号B [因为不等式成立的前提条件是各项均为正，所以x－2ｙ〉０,即x〉２ｙ，且等号成立时(x-2y)2=1，即ｘ－2y=１,故选B.]2.已知m＝a＋错误!未定义书签。

(a>２),n=22-b2（b≠0）,则m,n之间的大小关系是( )A.ｍ〉n B．m<nC.m＝nﻩD.不确定Ａ[因为a〉2,所以ａ－2＞0。

又因为m＝ａ+错误!未定义书签。

=(a-2)＋＼f（1，a-2）+2≥２错误!未定义书签。

＋2=４(当且仅当a－2=＼f(1，a－2)，即a＝3时,“=”成立)．即ｍ∈[４，＋∞]，由b≠0得b2≠0,所以2－b2〈2。

所以22－b2＜４，即n〈４.所以ｎ∈(0,4),综上易知m>ｎ.］３．下列不等式中正确的是( )A．a+＼ｆ(4,a)≥4Ｂ.a2＋b２≥４ａｂC.错误!未定义书签。

≥错误!未定义书签。

D.x2+错误!≥２错误!D[若a＜0,则a＋错误!未定义书签。

ﻬ≥4不成立,故A错误．取a＝1，b=１，则a2＋ｂ2<4ab，故B错误.取ａ=4，b=16,则错误!未定义书签。

<错误!未定义书签。

，故C错误.由基本不等式可知选项D正确．］4.某厂产值第二年比第一年增长p%，第三年比第二年增长ｑ％,又这两年的平均增长率为ｓ％，则s与ｐ+q２的大小关系是（ )Ａ．ｓ＝错误!Ｂ．s≤错误!未定义书签。

Ｃ．s>错误!未定义书签。

D．s≥错误!未定义书签。

Ｂ[由已知得(1+s％)2＝(1＋p%）（1+ｑ%)≤错误!2=错误!2，于是1＋ｓ%≤１＋错误!未定义书签。

故s≤错误!未定义书签。

2019_2020学年高中数学课时分层作业18基本不等式含解析北师大版必修5

2019_2020学年高中数学课时分层作业18基本不等式含解析北师大版必修5(建议用时：60分钟)[基础达标练]一、选择题 1．不等式(x －2y )＋1x －2y≥2成立的条件为( ) A ．x ≥2y ，当且仅当x －2y ＝1时取等号 B ．x >2y ，当且仅当x －2y ＝1时取等号 C ．x ≤2y ，当且仅当x －2y ＝1时取等号 D ．x <2y ，当且仅当x －2y ＝1时取等号B [因为不等式成立的前提条件是各项均为正，所以x －2y >0，即x >2y ，且等号成立时(x －2y )2＝1，即x －2y ＝1，故选B.]2．已知m ＝a ＋1a －2(a >2)，n ＝22－b2(b ≠0)，则m ，n 之间的大小关系是( ) A ．m >n B ．m <n C ．m ＝nD ．不确定A [因为a >2，所以a －2>0. 又因为m ＝a ＋1a －2＝(a －2)＋1a －2＋2≥2(a －2)×1a －2＋2＝4(当且仅当a －2＝1a －2，即a ＝3时，“＝”成立)．即m ∈[4，＋∞]，由b ≠0得b 2≠0，所以2－b 2<2.所以22－b2<4，即n <4.所以n ∈(0,4)，综上易知m >n .] 3．下列不等式中正确的是( ) A ．a ＋4a≥4B ．a 2＋b 2≥4ab C ．ab ≥a ＋b2D ．x 2＋3x2≥2 3D [若a <0，则a ＋4a≥4不成立，故A 错误．取a ＝1，b ＝1，则a 2＋b 2<4ab ，故B 错误．取a ＝4，b ＝16，则ab <a ＋b2，故C 错误．由基本不等式可知选项D 正确．]4．某厂产值第二年比第一年增长p %，第三年比第二年增长q %，又这两年的平均增长率为s %，则s 与p ＋q2的大小关系是( )A ．s ＝p ＋q2B ．s ≤p ＋q2 C ．s >p ＋q2D ．s ≥p ＋q2B [由已知得(1＋s %)2＝(1＋p %)(1＋q %)≤⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋p %＋1＋q %22＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋p %＋q %22，于是1＋s %≤1＋p %＋q %2.故s ≤p ＋q2.]5．设M ＝3x＋3y2，N ＝(3)x ＋y，P ＝3(x ，y >0，且x ≠y )，则M ，N ，P 大小关系为( )A ．M <N <PB ．N <P <MC ．P <M <ND ．P <N <MD [由基本不等式可知3x ＋3y2≥3x 3y ＝(3)x ＋y＝3≥3，因为x ≠y ，所以等号不成立，故P <N <M .]二、填空题 6．若a <1，则a ＋1a －1与－1的大小关系是________． a ＋1a －1≤－1 [因为a <1，即a －1<0，所以－⎝⎛⎭⎪⎫a －1＋1a －1＝(1－a )＋11－a≥2(1－a )·11－a ＝2.即a ＋1a －1≤－1.]7．已知a >b >c ，则(a －b )(b －c )与a －c2的大小关系是________．(a －b )(b －c )≤a －c2[因为a >b >c ，所以a －b >0，b －c >0.(a －b )(b －c )≤a －b ＋b －c 2＝a －c2.当且仅当a －b ＝b －c ，即a ＋c ＝2b 时，等号成立．所以(a －b )(b －c )≤a －c2.]8．设正数a ，使a 2＋a －2>0成立，若t >0，则12log a t ________log a t ＋12(填“>”“≥”“≤”或“<”)．≤ [因为a 2＋a －2>0，所以a <－2或a >1，又a >0，所以a >1，因为t >0，所以t ＋12≥t ，所以log at ＋12≥log a t ＝12log a t .] 三、解答题9．设x >0，求证：x ＋22x ＋1≥32.[证明] 因为x >0，所以x ＋12>0，所以x ＋22x ＋1＝x ＋1x ＋12＝x ＋12＋1x ＋12－12≥2(x ＋12)·1x ＋12－12＝32.当且仅当x ＋12＝1x ＋12，即x ＝12时，等号成立．所以x ＋22x ＋1≥32.10．已知a ，b ，c 为不全相等的正实数，则abc ＝1. 求证：a ＋b ＋c <1a ＋1b ＋1c.[证明] 因为a ，b ，c 都是正实数，且abc ＝1，所以1a ＋1b ≥21ab＝2c ，1b ＋1c ≥21bc＝2a ， 1a ＋1c≥21ac＝2b ，以上三个不等式相加，得2⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b ＋1c ≥2(a ＋b ＋c )，又因为a ，b ，c 不全相等的正实数，所以a ＋b ＋c <1a ＋1b ＋1c.[能力提升练]1．设f (x )＝ln x,0＜a ＜b ，若p ＝f (ab )，q ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 2，r ＝12(f (a )＋f (b ))，则下列关系式中正确的是( )A ．q ＝r ＜pB ．q ＝r ＞pC ．p ＝r ＜qD ．p ＝r ＞qC [∵0＜a ＜b ，∴a ＋b2＞ab ，又∵f (x )＝ln x 在(0，＋∞)上为增函数，故f ⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 2＞f (ab )，即q ＞p .又r ＝12(f (a )＋f (b ))＝12(ln a ＋ln b )＝12ln a ＋12ln b ＝ln(ab )12＝f (ab )＝p .故p ＝r ＜q .选C.]2．给出下面四个推导过程： ①∵a 、b 为正实数，∴b a ＋ab ≥2b a ·ab＝2； ②∵x 、y 为正实数，∴lg x ＋lg y ≥2lg x ·lg y ； ③∵a ∈R ，a ≠0，∴4a＋a ≥24a·a ＝4；④∵x 、y ∈R ，xy ＜0，∴x y ＋yx＝－⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫－x y ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－y x ≤－2⎝ ⎛⎭⎪⎫－x y ⎝ ⎛⎭⎪⎫－y x ＝－2.其中正确的推导为( ) A ．①② B ．②③ C ．③④D ．①④D [①∵a 、b 为正实数，∴b a 、a b为正实数，符合基本不等式的条件，故①的推导正确． ②虽然x 、y 为正实数，但当x ∈(0,1)或y ∈(0,1)时，lg x 或lg y 是负数，故②的推导过程是错误的．③∵a ∈R ，a ≠0，不符合基本不等式的条件， ∴4a ＋a ≥24a·a ＝4是错误的．④由xy ＜0，得x y 、yx 均为负数，但在推导过程中将整体x y ＋y x提出负号后，⎝ ⎛⎭⎪⎫－x y 、⎝ ⎛⎭⎪⎫－y x 均变为正数，符合均值不等式的条件，故④正确．]3．若0<a <b ，且a ＋b ＝1，则a ，12，2ab ，a 2＋b 2中最大的是________．a 2＋b 2[因为0<a <b ，且a ＋b ＝1，所以a <12，a 2＋b 2>(a ＋b )22＝12，2ab ＝2a (1－a )＝－2(a－12)2＋12<12，所以a ，12，2ab ，a 2＋b 2中最大的是a 2＋b 2.] 4．已知函数f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ，a ，b ∈(0，＋∞)，A ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 2，B ＝f (ab )，C ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2ab a ＋b ，则A ，B ，C 的大小关系是___________________________________________．C ≥B ≥A [2ab a ＋b ≤2ab 2ab ≤ab ≤a ＋b 2，又∵f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x为减函数，∴f ⎝⎛⎭⎪⎫2ab a ＋b ≥f (ab )≥f ⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 2，即C ≥B ≥A .] 5．设实数x ，y 满足y ＋x 2＝0，且0＜a ＜1，求证：log a (a x ＋a y)＜18＋log a 2.[证明] ∵a x＞0，a y＞0，∴a x＋a y≥2a x ＋y，又∵0＜a ＜1， ∴log a (a x＋a y)≤log a 2ax ＋y＝12log a a x ＋y＋log a 2＝12(x ＋y )＋log a 2. ∵y ＋x 2＝0，∴log a (a x ＋a y )≤12(x －x 2)＋log a 2＝－12⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋18＋log a 2≤18＋log a 2，又上式中等号不能同时取到，所以原不等式得证.。

2020-2021学年北师大版高中数学必修五同步练测：1.2等差数列(含答案解析)

（新课标）最新北师大版高中数学必修五§2 等差数列（北京师大版必修5）1.在100至500之间的正整数能被11整除的个数为( )A.34B.35C.36D.372.等差数列｛a n ｝中，a 4+a 7+a 10=57,a 4+a 5+…+a 14=275,a k =61,则k 等于( )A.18B.19C.20D.213.已知{a n }是等差数列，其前10项和S 10＝70，a 10=10，则其公差d 等于( )A.−23B.−13C.13D.234.设数列{a n }、{b n }都是等差数列，且a 1=25,b 1=75,a 2+b 2=100,那么由a n +b n 所组成的数列的第37项为( )A.0B.37C.100D.－375.在等差数列{a n }中，a 1+a 2+…+a 50=200，a 51+a 52+⋯+a 100=2 700，则a 1为( )A.－20B.－20.5C.－21.5D.－22.5二、填空题（每小题5分，共25分）6.一个首项为23，公差为整数的等差数列，如果前六项均为正数，从第七项起为负数，则它的公差是.7.在等差数列{a n }中，若a 1+3a 8+a 15=120,则2a 9－a 10=________.8.设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，4S ＝14，S 10－7S ＝30，则S 9＝ .9.等差数列{a n }中，a 1+a 2+a 3=－24,a 18+a 19+a 20=78,则此数列前20项的和等于.10.设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若39S =，636S =，则789a a a ++=.三、解答题（本大题共4小题，共50分）11．（12分）设f （x ）=2x x+2，f （x 0）=11005，f （x n−1）=x n ，n=1，2，3，….（1）数列{1x n }是否是等差数列？（2）求x 2011的值.12.（12分）设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知312a =，120S >，130S <.（1）求公差d 的取值范围；（2）指出1S ，2S ，…，12S 中哪一个值最大，并说明理由.13.（13分）在等差数列{a n }中，a 1=－60,a 17=－12.(1)求通项a n ;(2)求此数列前30项的绝对值的和.14．（13分）已知数列{}n a 的首项为1a =3，通项n a 与前n 项和S n 之间满足2n a =S n ·S n 1-（n ≥2）.(1)求证：⎭⎬⎫⎩⎨⎧n S 1是等差数列，并求公差；(2)求数列{}n a 的通项公式.§2等差数列（北京师大版必修5）参考答案一、选择题1.C 解析：观察发现100至500之间能被11整除的数为110，121，132，…，它们构成一个等差数列，公差为11，a n =110+(n －1)·11=11n+99,由a n ≤500,得n ≤36511,∵ n ∈N *,∴n ≤36.2.D 解析：∵ 3a 7=a 4+a 7+a 10=57,∴a 7=19.由a 4+a 5+…+a 14=275,可得a 9=25.∴公差d=3.∵a k =a 9+(k －9)·d,∴61=25+(k －9)×3,解得k=21.3.D 解析：∵S 10＝10a 1+10×92d=10a 1+45d ，①a 10=a 1+9d=10，②∴由①②解得a 1=4，d=23. 4.C 解析：∵{a n }、{b n }为等差数列，∴{a n +b n }也为等差数列.设c n =a n +b n ,则c 1=a 1+b 1=100,而c 2=a 2+b 2=100,故d=c 2－c 1=0，∴c 37=100.5. B 解析：由（a 51+a 52+…+a 100）－（a 1+a 2+…+a 50）=2700-200=2500d ，得d=1.又200=a 1+a 2+…+a 50=50a 1+50×492×1，故a 1=－20.5.二、填空题6.－4 解析：设该数列的公差为d ，则由题设条件知{a 6=a 1+5d >0，a 7=a 1+6d <0，又∵a 1=23，∴{d >−235，d <−236，即－235<d<－236. 又∵d 是整数，∴d=－4.7.24解析：∵{a n }是等差数列，∴a 1+3a 8+a 15=5a 8=120,即a 8=24.又∵a 8+a 10=2a 9.∴2a 9－a 10=a 8=24.8.54 解析：设等差数列{}n a 的首项为a 1，公差为d ，由题意得,142)14(441=-+d a 30]2)17(77[]2)110(1010[11=-+--+d a d a ，联立以上两式解得a 1=2,d=1，所以S 9＝9(91)921542-⨯+⨯=. 9.180 解析：由a 1+a 2+a 3=－24,可得3a 2=－24;由a 18+a 19+a 20=78,可得3a 19=78,即a 2=－8,a 19=26，∴S 20=2)(20201a a +=10(a 2+a 19)=10(－8+26)=180. 10.45解析：因为数列{a n }是等差数列，所以3S 、63S S -、96S S -也成等差数列，从而()78996633632232363945a a a S S S S S S S ++=-=--=-=⨯-⨯=.三、解答题11.解：（1）因为f （x ）=2x x+2，所以x n =f （x n−1）=2x n−1x n−1+2，所以1x n =12+1x n−1，所以1x n -1x n−1=12. 又因为x 1=f （x 0）=11005，所以{1x n}是首项为1005，公差为12的等差数列. （2）由（1）知1x n =1005+12（n-1）=2009+n 2，所以x n =22009+n .所以x 2011=22009+2011=12010.12.解：（1）{S 12>0，S 13<0,∴{12a 1+12×112d >0,13a 1+13×122d <0,即{2a 1+11d >0,a 1+6d <0. ① 而31212a a d =+=，得1122a d =-.② 2470243307d d d +>⎧∴⇒-<<-⎨+<⎩，将②代入①得，故公差d 的取值范围为24,37⎛⎫-- ⎪⎝⎭. （2）由等差数列的通项公式得21(1)(1)124(122)52222n n n n n d S na d n d d n d ⎡⎤--⎛⎫=+=-+=-- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦2124522d d ⎡⎤⎛⎫-- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦， 0d <Q ，∴当212452n d ⎡⎤⎛⎫-- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦最小时n S 最大.而24,37d ⎛⎫∈-- ⎪⎝⎭，124136522d ⎛⎫∴<-< ⎪⎝⎭， ∴ 当n =6时，n S 最大.6S ∴最大.13. 解：(1)a 17=a 1+16d,即－12=－60+16d,∴d=3.∴a n =－60+3(n －1)=3n －63.(2)由a n ≤0,得3n －63≤0，∴ n ≤21.∴|a 1|+|a 2|+…+|a 30|=－(a 1+a 2+…+a 21)+(a 22+a 23+…+a 30)=(3+6+9+…+60)+(3+6+…+27)=2)603(+×20+2)273(+×9=765. 14.(1)证明：由条件得2（1--n n S S ）=1-⋅n n S S ，∴11112n n S S --=-, ∴⎭⎬⎫⎩⎨⎧n S 1是等差数列，且公差为－21. (2)解：由（1）知nS n S n n 356)21)(1(311-=⇒--+= . 当n =1时，a 1=3；当n ≥2时，a n =S n －S n-1=)83)(53(18--n n . ∴a n =3(1),18(2).(35)(38)n n n n =⎧⎪⎨⎪--⎩≥。

高中数学北师大版必修五学业分层测评：第一章数列 3 含解析

学业分层测评(三)(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1．(2016·西安高二检测)等差数列32，－12，－52，…的第10项为( ) A ．－372B ．－332 C.372D ．332 【解析】由a 1＝32，d ＝－12－32＝－2，得a n ＝32＋(n －1)(－2)＝－2n ＋72. 当n ＝10时，a 10＝－2×10＋72＝－332. 【答案】 B2．等差数列的前三项依次是x －1，x ＋1,2x ＋3，则其通项公式为( )A ．a n ＝2n －5B ．a n ＝2n －3C ．a n ＝2n －1D ．a n ＝2n ＋1【解析】 ∵x －1，x ＋1,2x ＋3是等差数列的前三项，∴2(x ＋1)＝x －1＋2x ＋3，解得x ＝0.∴a 1＝x －1＝－1，a 2＝1，a 3＝3，∴d ＝2，∴a n ＝－1＋2(n －1)＝2n －3.【答案】 B3．(2015·重庆高考)在等差数列{a n }中，若a 2＝4，a 4＝2，则a 6＝( )A ．－1B ．0C ．1D ．6 【解析】由题意有⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＋d ＝4，a 1＋3d ＝2，∴⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＝5，d ＝－1，∴a 11＝5＋(n －1)(－1)＝6－n ，∴a 6＝6－6＝0.【答案】 B 4．一个首项为23，公差为整数的等差数列，如果前6项均为正数，第7项起为负数，则它的公差为( )【67940007】A ．－2B ．－3C ．－4D ．－6【解析】设a n ＝23＋(n －1)d ，则⎩⎪⎨⎪⎧ a 6＞0a 7＜0，即⎩⎪⎨⎪⎧ 23＋5d ＞023＋6d ＜0，解得－435＜d ＜－356，又因为d ∈Z ，所以d ＝－4.【答案】 C5．已知{a n }为等差数列，a 2＋a 3＋a 4＝105，a 2＋a 4＋a 6＝99，则a 20等于( )A ．－1B ．1C ．3D ．7【解析】由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧ 3a 1＋6d ＝1053a 1＋9d ＝99，即⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＋2d ＝35，a 1＋3d ＝33，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＝39，d ＝－2，所以a n ＝a 1＋(n －1)d ＝39＋(－2)(n －1)＝41－2n ，故a 20＝41－2×20＝1.【答案】 B二、填空题6．已知{a n }为等差数列，a 3＋a 8＝22，a 6＝7，则a 5＝________.【解析】由题意知⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＋2d ＋a 1＋7d ＝22，a 1＋5d ＝7，即⎩⎪⎨⎪⎧ 2a 1＋9d ＝22，a 1＋5d ＝7，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＝47，d ＝－8，∴a 5＝a 1＋4d ＝47－32＝15.【答案】 15 7．(2016·苏州高二检测)已知数列{a n }为等差数列，且a 9－2a 5＝－1，a 3＝0，则公差d ＝________.【解析】 a 9－a 5＝4d ，a 5＝a 3＋2d ，。

北师大版高中数学必修5同步练习：课时分层作业2 数列的函数特性

课时分层作业(二)(建议用时：40分钟)[学业达标练]一、选择题1．已知a n ＝3n －2,n∈N ＋,则数列{a n }的图像是( )【导学号：91022015】A ．一条直线B ．一条抛物线C ．一个圆D ．一群孤立的点D [∵a n ＝3n －2,n∈N ＋,∴数列{a n }的图像是一群孤立的点．] 2．已知数列{a n }满足a 1＞0,2a n ＋1＝a n ,则数列{a n }是( ) A ．递增数列 B ．递减数列 C ．常数列D ．以上都不对B [∵a 1＞0,a n ＋1＝12a n ,∴a n ＞0,∴a n ＋1a n ＝12＜1,∴a n ＋1＜a n .]3．一给定函数y ＝f(x)的图像在下列图中,并且对任意a 0∈(0,1),由关系式a n ＋1＝f(a n )得到的数列{a n }满足a n ＋1＞a n ,则该函数的图像是( )A [由a n ＋1＝f(a n ),a n ＋1＞a n ,得f(a n )＞a n ,即f(x)＞x,结合图像知A 正确．] 4．设a n ＝－n 2＋10n ＋11,则数列{a n }中第几项最大( ) A ．第6项 B ．第7项 C ．第6项或第7项D ．第5项D [a n ＝－n 2＋10n ＋11＝－(n 2－10n ＋25)＋36 ＝－(n －5)2＋36,所以当n ＝5时,a n 最大．]5．数列{a n }的通项公式是a n ＝anbn ＋1,其中a,b 都为正实数,则a n 与a n ＋1的大小关系是( )A ．a n ＞a n ＋1B ．a n ＜a n ＋1C ．a n ＝a n ＋1D ．与n 有关B [a n ＋1－a n ＝a n ＋1b n ＋1＋1－anbn ＋1＝abn 2＋abn ＋an ＋a －abn 2－abn －an bn ＋1[b n ＋1＋1]＝abn ＋1[b n ＋1＋1].因为a,b∈R ＋,n∈N ＋,所以a n ＋1－a n ＞0, 即a n ＋1＞a n .] 二、填空题6．若数列{a n }为递减数列,则{a n }的通项公式可能为________(填序号).【导学号：91022016】①a n ＝－2n ＋1；②a n ＝－n 2＋3n ＋1；③a n ＝12n ；④a n ＝(－1)n.[解析] 可以通过画函数的图像一一判断．②中第一、二项相等,④是摆动数列． [答案] ①③7．已知数列{a n }的通项公式为a n ＝(n ＋2)⎝ ⎛⎭⎪⎫78n. 则当a n 取最大值时,n 等于________．[解析] 由题意知⎩⎪⎨⎪⎧a n ≥a n －1，a n ≥a n ＋1，解得⎩⎪⎨⎪⎧n≤6，n≥5.所以n ＝5或6. [答案] 5或68．已知数列{a n }的通项公式为a n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫49n －1－⎝ ⎛⎭⎪⎫23n －1.下列说法： ①有最大项；②有最小项；③没有最大项；④没有最小项．其中正确的是________(填序号).【导学号：91022017】[解析] 令t ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫23n －1,t∈(0,1],t 是关于n 的减函数,则a n ＝t 2－t ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫t －122－14,由复合函数的单调性知a n 既有最大项又有最小项,故①②正确．[答案] ①② 三、解答题9．已知数列{a n }的通项公式为a n ＝n 2－21n ＋20.(1)－60是否是该数列中的项,若是,求出项数；该数列中有小于0的项吗？共有多少项？ (2)n 为何值时,a n 有最小值？并求出最小值．[解] (1)由n 2－21n ＋20＝－60得n ＝5或n ＝16；所以数列的第5项,第16项都为－60.由n 2－21n ＋20＜0,得1＜k ＜20,所以共有18项小于0的项．(2)因为a n ＝n 2－21n ＋20＝⎝⎛⎭⎪⎫n －2122－3614,可知对称轴方程为n ＝212＝10.5.又因n∈N ＋,故n ＝10或n＝11时,a n 有最小值,其最小值为－90.10．已知函数f(x)＝2x－2－x,数列{a n }满足f(log 2a n )＝－2n.【导学号：91022018】(1)求数列{a n }的通项公式； (2)证明：数列{a n }是递减数列．[解] (1)∵f(x)＝2x－2－x ,f(log 2a n )＝－2n, ∴2log 2a n －2－log 2a n ＝－2n,即a n －1a n ＝－2n(看成关于a n 的方程)．∴a 2n ＋2na n －1＝0,解得a n ＝－n±n 2＋1.∵a n ＞0, ∴a n ＝n 2＋1－n.(2)证明：作商比较,∵a n ＋1a n＝n ＋12＋1－n ＋1n 2＋1－n＝n 2＋1＋n n ＋12＋1＋n ＋1＜1.又a n ＞0,∴a n ＋1＜a n ,故数列{a n }是递减数列．[冲A 挑战练]1．设f(x)是定义在实数集R 上的函数,且f(x ＋2)＝f(x ＋1)－f(x),对数列f(n)(n∈N ＋),若f(1)＝lg 32,f(2)＝lg 15,则f(2 018)等于( ) A ．lg 32B ．lg 15C ．1D ．－1B [f(3)＝f(2)－f(1)＝lg 15－lg 32＝lg 10＝1,f(4)＝f(3)－f(2)＝1－lg 15＝lg 23,f(5)＝f(4)－f(3)＝lg 23－1＝lg 115,f(6)＝f(5)－f(4)＝lg 115－lg 23＝lg 110＝－1,f(7)＝f(6)－f(5)＝－1－lg115＝－1＋lg 15＝lg 32＝f(1), f(8)＝f(7)－f(6)＝lg 32＋1＝lg 15＝f(2),所以f(n)是周期为6的数列．故f(2 018)＝f(336×6＋2)＝f(2)＝lg 15.]2．已知数列{a n }的通项公式为a n ＝n ＋kn,若对任意n∈N ＋,都有a n ≥a 3,则实数k 的取值范围为( )【导学号：91022019】A ．[6,12]B ．(6,12)C ．[5,12]D ．(5,12)A [由题意知n ＋k n ≥3＋k3对任意n∈N ＋恒成立．所以k ⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －13≥3－n,即k ⎝ ⎛⎭⎪⎫3－n 3n ≥3－n,当n≥4时,k≤3n ,所以k≤12, 当n ＝1时,k≥3,当n ＝2时,k≥6, 以上三式都成立,故取交集得6≤k≤12.]3．数列{a n }中,a 1＝2,a n ＝2a n －1(n∈N *,2≤n≤10),则数列{a n }的最大项为________．[解析] ∵a 1＝2,a n ＝2a n －1,∴a n ≠0,∴a na n －1＝2＞1,∴a n ＞a n －1,即{a n }单调递增,∴{a n }的最大项为a 10＝2a 9＝4a 8＝…＝29·a 1＝29·2＝210＝1 024.[答案] 1 0244．若数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫nn ＋4⎝ ⎛⎭⎪⎫23n中的最大项是第k 项,则k ＝________.【导学号：91022020】[解析] 由a k ＋1≤a k 且a k ≥a k －1,得k(k ＋4)⎝ ⎛⎭⎪⎫23k ≥(k＋1)(k ＋5)⎝ ⎛⎭⎪⎫23k ＋1且k(k ＋4)⎝ ⎛⎭⎪⎫23k ≥(k－1)(k ＋3)⎝ ⎛⎭⎪⎫23k －1. 化简得k 2≥10且k 2－2k －9≤0,解得10≤k≤10＋1, 由于k∈N ＋,所以k ＝4. [答案] 45．数列{a n }的通项公式为a n ＝n 2＋kn ＋2.【导学号：91022021】(1)若a 2＝a 7,求数列{a n }的最小项；(2)若不等式a n ≥a 4恒成立,求实数k 的取值范围．[解] (1)由a 2＝a 7得k ＝－9,即a n ＝n 2－9n ＋2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫n －922－734.因为n∈N ＋,所以当n ＝4或5时,{a n }的最小项为a 4＝a 5＝－18. (2)a n ＝n 2＋kn ＋2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫n ＋k 22＋2－k 24, 因为不等式a n ≥a 4恒成立,所以3.5≤－k2≤4.5,解得－9≤k≤－7.。

北师大版高中数学必修5同步练习：课时分层作业22 简单线性规划的应用

课时分层作业(二十二)(建议用时：40分钟)[学业达标练]一、选择题1．车间有男工25人,女工20人,要组织甲、乙两种工作小组,甲组要求有5名男工,3名女工,乙组要求有4名男工,5名女工,并且要求甲种组数不少于乙组,乙种组数不少于1组,则最多各能组成工作小组为( )A ．甲4组、乙2组B ．甲2组、乙4组C ．甲、乙各3组D ．甲3组、乙2组D [设甲、乙两种工作小组分别有x 、y 人,依题意有⎩⎪⎨⎪⎧5x ＋4y≤25，3x ＋5y≤20，x≥y，y≥1.作出可行域可知(3,2)符合题意,即甲3组,乙2组．]2．某厂拟用集装箱托运甲、乙两种货物,集装箱的体积、质量、可获利润和托运能力限制数据列在下表中,那么为了获得最大利润,甲、乙两种货物应各托运的箱数为( )【导学号：91022290】体积(m 3/箱)质量(50 kg/箱)利润(102元/箱)甲 5 2 20 乙 4 5 10 托运能力 2413C ．1,4D ．2,4A [设托运货物甲x 箱,托运货物乙y 箱,由题意,得⎩⎪⎨⎪⎧5x ＋4y≤24，2x ＋5y≤13，x ，y∈N，利润为z ＝20x ＋10y.由线性规划知识可得x ＝4,y ＝1时利润最大,故选A.]3．某公司有60万元资金,计划投资甲、乙两个项目,按要求对项目甲的投资不小于对项目乙投资的23倍,且对每个项目的投资不能低于5万元,对项目甲每投资1万元可获得0.4万元的利润,对项目乙每投资1万元可获得0.6万元的利润,该公司正确规划投资后,在这两个项目上共可获得的最大利润为( )A ．36万元B ．31.2万元C ．30.4万元D ．24万元B [设投资甲项目x 万元,投资乙项目y 万元,可获得利润为z 万元,则⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y≤60，x ≥23y ，x≥5，y≥5，z ＝0.4x ＋0.6y.由图像知,目标函数z ＝0.4x ＋0.6y 在A 点取得最大值． ∴y max ＝0.4×24＋0.6×36＝31.2(万元)．]4．某同学拿50元钱买纪念邮票,票面8角的每套5张,票面2元的每套4张,如果每种至少买2套,问共有买法种数为( )A ．14B ．15C ．16D ．17C [设票面8角的买x 套,票面2元的买y 套,由题意得⎩⎪⎨⎪⎧x≥2，y≥2，0.8×5x＋2×4y≤50，x∈N ＋，y∈N ＋，即⎩⎪⎨⎪⎧x≥2，x∈N ＋，y≥2，y∈N ＋，2x ＋4y≤25.由25－2x≥4y≥8,得2x≤17,所以2≤x≤8,x∈N ＋.当y ＝2时,2≤x≤8,共7种；当y ＝3时,2≤x≤6,有5种；当y ＝4时,2≤x≤4,共3种；当y ＝5时,x ＝2,有一种．故共有7＋5＋3＋1＝16(种)不同的买法．]5．在“家电下乡”活动中,某厂要将100台洗衣机运往邻近的乡镇．现有4辆甲型货车和8辆乙型货车可供使用．每辆甲型货车运输费用400元,可装洗衣机20台；每辆乙型货车运输费用300元,可装洗衣机10台．若每辆车至多只运一次,则该厂所花的最少运输费用为( )A ．2 000元B ．2 200元C ．2 400元D ．2 800元B [设需用甲型货车x 辆,乙型货车y 辆,由题目条件可得约束条件为⎩⎪⎨⎪⎧20x ＋10y≥100，0≤x≤4，0≤y≤8，目标函数z ＝400x ＋300y,画图可知(图略),当平移直线400x ＋300y ＝0至经过点(4,2)时,z 取得最小值2 200,故选B.]二、填空题6．铁矿石A 和B 的含铁率为a,冶炼每万吨铁矿石的CO 2的排放量b 及每万吨铁矿石的价格c 如下表：2________(百万元).【导学号：91022291】[解析] 设购买铁矿石A 、B 分别为x,y 万吨,购买铁矿石的费用为z(百万元), 则⎩⎪⎨⎪⎧0.5x ＋0.7y≥1.9，x ＋0.5y≤2，x≥0，y≥0.目标函数z ＝3x ＋6y,由⎩⎪⎨⎪⎧0.5x ＋0.7y ＝1.9，x ＋0.5y ＝2，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝2.可行域如图中阴影部分所示．记P(1,2),画出可行域可知,当目标函数z ＝3x ＋6y 过点P(1,2)时,z 取得最小值15. [答案] 157．某农户计划种植黄瓜和韭菜,种植面积不超过50亩,投入资金不超过54万元,假设种植黄瓜和韭菜的产量、成本和售价如下表：年产量/亩年种植成本/亩每吨售价黄瓜 4 t 1.2万元 0.55万元韭菜6 t0.9万元0.3万元为使一年的种植的总利润最大,那么黄瓜和韭菜的种植面积分别为________． [解析] 设黄瓜、韭菜的种植面积分别为x 、y,则总利润z ＝(4×0.55－1.2)x ＋(6×0.3－0.9)y ＝x ＋0.9y, 此时x 、y 满足条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y≤50，1.2x ＋0.9y≤54，x≥0，y≥0，画出可行域知(略),最优解为(30,20)．[答案] 30亩,20亩8．物流行业最近几年得到迅猛发展,某货运公司最近接了一批货物,决定采用厢式货车托运甲、乙两种货物,已知某辆厢式货车所装托运货物的总体积不能超过40 m 3,总质量不能超过2 t ．甲、乙两种货物每袋的体积、质量和可获得的利润,列表如下：货物每袋体积/m 3每袋质量/t每袋利润/元甲 5 0.2 300 乙40.3400经过适当的调配,该厢式货车可获得最大利润为________元．[解析] 设该辆厢式货车托运甲、乙两种货物的袋数分别为x,y,则其利润为z ＝300x ＋400y. 由题意可得x,y 所满足的条件如下：⎩⎪⎨⎪⎧5x ＋4y≤40，0.2x ＋0.3y≤2，x≥0，y≥0，x ，y∈N，即⎩⎪⎨⎪⎧5x ＋4y≤40，2x ＋3y≤20，x≥0，y≥0，x ，y∈N.作出不等式组所表示的可行域如图中阴影部分(包括边界)内的整数点所示,作出目标函数对应的直线300x ＋400y －z ＝0.易知当直线经过点B 时, 目标函数取得最大值．由⎩⎪⎨⎪⎧5x ＋4y ＝40，2x ＋3y ＝20，可求得B ⎝ ⎛⎭⎪⎫407，207.显然点B 的坐标不是整数,故目标函数在可行域内该点附近的某整点处取得最大值．如图,将平面区域网络化,找出可行域内的整点,显然点B 附近的整点为C(4,4),D(5,3),E(6,2),F(7,1)．则目标函数在C 点处的值z 1＝300×4＋400×4＝2 800；目标函数在D 点处的值z 2＝300×5＋400×3＝2 700；目标函数在E 点处的值z 3＝300×6＋400×2＝2 600；目标函数在F 点处的值z 4＝300×7＋400×1＝2 500.显然z 1最大,即该辆厢式货车托运甲种货物4袋,乙种货物4袋时,可获得最大利润．最大利润为2 800元． [答案] 2 800 三、解答题9．制造甲、乙两种烟花,甲种烟花每枚含A 药品3 g 、B 药品4 g 、C 药品4 g,乙种烟花每枚含A 药品2 g 、B 药品11 g 、C 药品6 g ．已知每天原料的使用限额为A 药品120 g 、B 药品400 g 、C 药品240 g ．甲种烟花每枚可获利2元,乙种烟花每枚可获利1元,问每天应生产甲、乙两种烟花各多少枚才能获利最大.【导学号：91022292】[解] 设每天生产甲种烟花x 枚,乙种烟花y 枚,获利为z 元,则目标函数为：z ＝2x ＋y.线性约束条件为⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋2y≤120，4x ＋11y≤400，4x ＋6y≤240，x≥0，y≥0，作出可行域如图所示．作直线l ：2x ＋y ＝0,将直线l 向右上方平移至l 1的位置时,直线经过可行域上的点A 时纵截距z 最大,即z ＝2x ＋y 取最大值．解方程组⎩⎪⎨⎪⎧4x ＋6y －240＝0，3x ＋2y －120＝0得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝24，y ＝24.故每天生产甲、乙两种烟花各24枚才能使获利最大．10．医院用甲、乙两种原料为手术后的病人配营养餐．甲种原料每10 g 含5单位蛋白质和10单位铁质,售价3元；乙种原料每10 g 含7单位蛋白质和4单位铁质,售价2元．若病人每餐至少需要35单位蛋白质和40单位铁质．试问：应如何使用甲、乙原料,才能既满足营养,又使费用最省？[解] 将已知数据列成下表：原料/10 g蛋白质/单位铁质/单位甲 5 10 乙 7 4 费用32设甲、乙两种原料分别用10x g 和10y g,总费用为z,那么⎩⎪⎨⎪⎧5x ＋7y≥35，10x ＋4y≥40，x≥0，y≥0，目标函数为z ＝3x ＋2y,作出可行域如图所示：把z ＝3x ＋2y 变形为y ＝－32x ＋z 2,得到斜率为－32,在y 轴上的截距为z2,随z 变化的一簇平行直线．由图可知,当直线y ＝－32x ＋z 2经过可行域上的点A 时,截距z2最小,即z 最小．由⎩⎪⎨⎪⎧10x ＋4y ＝40，5x ＋7y ＝35，得A ⎝⎛⎭⎪⎫145，3,∴z min＝3×145＋2×3＝14.4.∴甲种原料145×10＝28(g),乙种原料3×10＝30(g),费用最省．[冲A 挑战练]1．为支援灾区人民,某单位要将捐献的100台电视机运往灾区,现有4辆甲型货车和8辆乙型货车可供使用．每辆甲型货车运输费用400元,可装电视机20台；每辆乙型货车运输费用300元,可装电视机10台,若每辆车至多只运一次,则该厂所花的最少运输费用为( )【导学号：91022293】A ．2 800 元B ．2 400 元C ．2 200 元D ．2 000 元C [设调用甲型货车x 辆,乙型货车y 辆,则0≤x≤4,0≤y≤8,20x＋10y≥100,即2x ＋y≥10,设运输费用为t,则t ＝400x ＋300y,线性约束条件为⎩⎪⎨⎪⎧0≤x≤4，0≤y≤8，2x ＋y≥10，作出可行域如图,则当直线y ＝－43x ＋t300经过可行域内点A(4,2)时,t 取最小值2 200,故选C.]2．某加工厂用某原料由甲车间加工出A 产品,由乙车间加工出B 产品．甲车间加工一箱原料需耗费工时10小时,可加工出7千克A 产品,每千克A 产品获利40元．乙车间加工一箱原料需耗费工时6小时,可加工出4千克B 产品,每千克B 产品获利50元,甲、乙两车间每天共能完成至多70箱原料的加工,每天甲、乙两车间耗费工时总和不得超过480小时,甲、乙两车间每天总获利最大的生产计划为( )A ．甲车间加工原料10箱,乙车间加工原料60箱B ．甲车间加工原料15箱,乙车间加工原料55箱C ．甲车间加工原料18箱,乙车间加工原料50箱D ．甲车间加工原料40箱,乙车间加工原料30箱B [设甲车间加工x 箱原料,乙车间加工y 箱原料,总获利为z, 则⎩⎪⎨⎪⎧x∈N ＋，y∈N ＋，x ＋y≤70，10x ＋6y≤480，目标函数z ＝280x ＋200y,画出可行域,平移7x ＋5y ＝0,知z 在点A 处取得最大值,联立⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝70，5x ＋3y ＝240，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝15，y ＝55.故计划甲车间15箱,乙车间55箱时,每天获利最大．]3．如图344,△ABC 及其内部的点组成的集合记为D,P(x,y)为D 中任意一点,则z ＝2x ＋3y 的最大值为________．图344[解析] 把z ＝2x ＋3y 变形为y ＝－23x ＋13z,通过平移直线y ＝－23x 知,当过点A(2,1)时,z ＝2x ＋3y 取得最大值为z max ＝2×2＋3×1＝7. [答案] 74．某高科技企业生产产品A 和产品B 需要甲、乙两种新型材料．生产一件产品A 需要甲材料1.5 kg,乙材料1 kg,用5个工时；生产一件产品B 需要甲材料0.5 kg,乙材料0.3 kg,用3个工时,生产一件产品A 的利润为2 100元,生产一件产品B 的利润为900元．该企业现有甲材料150 kg,乙材料90 kg,则在不超过600个工时的条件下,生产产品A,产品B 的利润之和的最大值为________元．[解析] 设生产A 产品x 件,B 产品y 件,根据所耗费的材料要求、工时要求等其他限制条件,得线性约束条件为⎩⎪⎨⎪⎧1.5x ＋0.5y≤150，x ＋0.3y≤90，5x ＋3y≤600，x≥0，y≥0，x∈N *，y∈N *，目标函数z ＝2 100x ＋900y.图341作出可行域为图中的四边形,包括边界,顶点为(60,100),(0,200),(0,0),(90,0),在(60,100)处取得最大值,z max ＝2 100×60＋900×100＝216 000(元)．[答案] 216 0005．某人有楼房一幢,室内面积共180 m 2,拟分隔成两类房间作为旅游客房,大房间每间面积为18 m 2,可住游客5名,每名游客每天住宿费为40元,小房间每间面积为15 m 2,可住游客3名,每名游客每天住宿费为50元,装修大房间每间需要1 000元,装修小房间每间需要600元,如果此人只能筹8 000元用于装修,且游客能住满客房,他应隔出大房间和小房间各多少间,能获最大利益？【导学号：91022294】[解] 设应隔出大房间x 间和小房间y 间,则 ⎩⎪⎨⎪⎧18x ＋15y≤180，1 000x ＋600y≤8 000，x≥0，y≥0，x ，y∈N，即⎩⎪⎨⎪⎧6x ＋5y≤60，5x ＋3y≤40，x≥0，y≥0，x ，y∈N，目标函数为z ＝5×40x＋3×50y , 作出约束条件可行域：根据目标函数z ＝200x ＋150y, 作出一组平行线200x ＋150y ＝t,当此线经过直线18x ＋15y ＝180和直线1 000x ＋600y ＝8 000的交点C ⎝ ⎛⎭⎪⎫207，607时,目标函数取最大值为13 0007, 由于⎝ ⎛⎭⎪⎫207，607不是整数,所以经过整点(3,8)时,才是它的最优解,同时经过整点(0,12)也是最优解,即应隔大房间3间,小房间8间,或者隔大房间0间,小房间12间,所获利益最大．如果考虑到不同客人的需要,应隔大房间3间,小房间8间.。

高中数学北师大版必修五学业分层测评第一章数列 7 Word版含解析

学业分层测评(七)(建议用时：分钟)[学业达标]一、选择题．在正项等比数列{}中，·＝，则······＝( )．．．．【解析】·＝·＝·＝＝，∵＞，∴＝，∴······＝()·＝＝＝.【答案】．公差不为零的等差数列{}中，－＋＝，数列{}是等比数列，且＝，则·＝( )．．．．【解析】∵－＋＝(＋)－＝－＝，∵＝≠，∴＝＝，∴·＝＝.【答案】．(·福建高考)若，是函数()＝－＋(>，>)的两个不同的零点，且，，－这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，则＋的值等于( )．．．．【解析】不妨设>，由题意得(\\(＋＝>，＝>，))∴>，>，则，－，成等比数列，，，－成等差数列，∴(\\(＝(－(，－＝，))∴(\\(＝，＝，))∴＝，＝，∴＋＝.【答案】．等比数列{}的各项均为正数，且·＋·＝，则＋＋…＋等于( )．．．．＋【解析】因为·＝·，又·＋·＝所以·＝，∴·＝·＝·＝·＝，＋＋…＋＝…＝(·········)＝＝＝.【答案】．(·福州高二检测)在等比数列{}中，＝，＋＝，则＝( )．．．－或－．或【解析】∵＝＝，又＋＝，∴(\\(＝＝))或(\\(＝＝))，又＝＝，∴的值为或.【答案】二、填空题．(·广东高考)若三个正数，，成等比数列，其中＝＋，＝－，则＝.【解析】∵，，成等比数列，∴＝·＝(＋)(－)＝.又>，∴＝.【答案】．(·南昌高二检测)已知{}为等差数列，其公差为－，且是与的等比中项，为{}的前项和，∈＋，则的值为．【解析】由＝，＝－，可得[＋×(－)]＝[＋×(－)]·[＋×(－)]，即(－)＝(－)(－)，解得＝，所以＝×＋×(－)＝.【答案】．已知{}是公差不为零的等差数列，且，，是等比数列{}的连续三项，若＝，则＝.。

高中数北师大必修五课时分层作业1

课时分层作业(一)(建议用时：40分钟)[学业达标练]一、选择题1．下列说法：①如果已知数列的通项公式，可求出数列中的任何一项；②数列1，－1,1，－1，…与数列－1,1，－1,1，…是同一数列；③所有的数列都有通项公式，且只有一个；④数列1,2,3，…，n是无穷数列．其中正确说法的个数是()A．1B．2C．3 D．4A[①正确；②不正确，数列1，－1,1，－1，…与数列－1,1，－1,1，…不是同一数列；③不正确，有的数列没有通项公式，有的数列的通项公式不止一个；④不正确，数列1,2,3，…，n是有穷数列，共n项，故选A.]2．已知数列{a n}的通项公式是a n＝n2＋2，则其第3,4项分别是()【导学号：91022005】A．11,3 B．11,15C．11,18 D．13,18C[a3＝32＋2＝11，a4＝42＋2＝18.]3．已知数列{a n}的通项公式为a n＝25－2n，下列数中不是数列{a n}的项的是()A．1 B．－1C．2 D．3C[由a n＝25－2n，知a11＝3，a12＝1，a13＝－1，所以2不是数列{a n}中的项．]4．下列解析式中不是数列1，－1,1，－1,1，…的通项公式的是()A．a n＝(－1)n B．a n＝(－1)n＋1C ．a n ＝(－1)n －1D ．a n ＝⎩⎨⎧1 ， n 为奇数－1， n 为偶数A [A 中当n ＝1时，a 1＝－1，n ＝2时，a 2＝1，显然不是数列1，－1,1，－1,1，…的通项公式．]5．已知数列{a n }的通项公式为a n ＝⎩⎨⎧3n 2－1，n 为奇数，2n ＋1，n 为偶数，则a 3a 2等于( )【导学号：91022006】A ．77B ．130C ．78D ．132B [a 3a 2＝(3×32－1)·(2×2＋1)＝26×5＝130.] 二、填空题6．数列12，15，110，117，…的一个通项公式为________．[解析] 因为2＝12＋1,5＝22＋1,10＝32＋1,17＝42＋1，故a n ＝1n 2＋1(n ∈N ＋)．[★答案★] a n ＝1n 2＋1(n ∈N ＋)7．已知数列{a n }的通项公式为a n ＝kn 2－1，且a 2＝3，则a 8＝________. [解析] a 2＝4k －1＝3，故k ＝1，a n ＝n 2－1，所以a 8＝82－1＝63. [★答案★] 638．数列{a n }的通项公式为a n ＝1n ＋n ＋1，则10－3是此数列的第________项.【导学号：91022007】[解析] 令a n ＝1n ＋n ＋1＝10－3，解得n ＝9.[★答案★] 9 三、解答题9．根据数列的前几项，写出下列各数列的一个通项公式． (1)－1,7，－13,19，… (2)0.8,0.88,0.888，…(3)12，14，－58，1316，－2932，6164，…[解] (1)符号可通过(－1)n 表示，后面的数的绝对值总比前面的数的绝对值大6，故通项公式为a n ＝(－1)n ·(6n －5)．(2)将数列变形为89(1－0.1)，89(1－0.01)，89(1－0.001)，…，所以a n ＝89⎝ ⎛⎭⎪⎫1－110n . (3)各项的分母分别为21,22,23,24，…，易看出第2,3,4项的分子分别比分母少3.因此把第1项变为－2－32.原数列可化为－21－321，22－322，－23－323，24－324，…，所以a n ＝(－1)n ·2n －32n .10．已知数列{a n }中，a 1＝2，a 17＝66，通项公式是项数n 的一次函数.【导学号：91022008】(1)求数列{a n }的通项公式； (2)88是否是数列{a n }中的项？[解] (1)设a n ＝an ＋b .∴a 1＝a ＋b ＝2， ① a 17＝17a ＋b ＝66. ② ②－①，得16a ＝64，∴a ＝4，b ＝－2. ∴a n ＝4n －2(n ∈N ＋)．(2)令4n －2＝88⇒4n ＝90，n ＝452∉N ＋. ∴88不是数列{a n }中的项．[冲A 挑战练]1．数列23，45，67，89，…的第10项是( ) A ．1617 B ．1819 C ．2021D ．2223C [由数列的前四项，观察可知其通项公式为a n ＝2n2n ＋1，则a 10＝2×102×10＋1＝2021.]2．在数列1,2,2,3,3,3,4,4,4,4，…中第25项为( )【导学号：91022009】A ．6B ．7C ．8D ．9B [数字共有n 个，当数字n ＝6时，有1＋2＋3＋4＋5＋6＝21项，故第22项起数字为7至28项为止，故第25项为7.]3．如图1是第七届国际数学教育大会(简称ICME-7)的会徽图案，会徽的主体图案是由如图2的一连串直角三角形演化而成的，其中OA 1＝A 1A 2＝A 2A 3＝…＝A 7A 8＝1，如果把图2中的直角三角形继续作下去，记OA 1，OA 2，…，OA n ，…的长度构成数列{a n }，则此数列的通项公式为a n ＝________(n ∈N ＋)．图1 图2[解析] 因为OA 1＝A 1A 2＝A 2A 3＝…＝A 7A 8＝1， ∴OA 1＝1，OA 2＝2，OA 3＝3，…，OA n ＝n ，即a 1＝1，a 2＝2，a 3＝3，…，a n ＝n . [★答案★] n4．数列53，108，17a ＋b，a －b 24，…中，有序数对(a ，b )可以是________. 【导学号：91022010】[解析] 从上面的规律可以看出分母呈现以下特点：3＝22－1,8＝32－1,24＝52－1，即a ＋b ＝42－1＝15，又被开方数5,10,17，a －b 后一项比前一项多5,7,9，故a －b ＝17＋9＝26，∴⎩⎨⎧a ＋b ＝15，a －b ＝26，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝412，b ＝－112.[★答案★] ⎝ ⎛⎭⎪⎫412，－1125．已知无穷数列45，910，1617，2526，… (1)求出这个数列的一个通项公式；(2)该数列在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤910，3637内有没有项？若有，有几项？若没有，请说明理由．[解] (1)因为数列的分子依次为4,9,16,25，…可看成与项数n 的关系式为(n ＋1)2，而每一项的分母恰好比分子大1，所以通项公式的分母可以为(n ＋1)2＋1.所以数列的一个通项公式为a n ＝(n ＋1)2(n ＋1)2＋1(n ＝1,2，…)．(2)当910≤a n ≤3637时，可得910≤(n ＋1)2(n ＋1)2＋1≤3637.由(n ＋1)2(n ＋1)2＋1≥910，解得(n ＋1)2≥9，可得n ≥2. 由(n ＋1)2(n ＋1)2＋1≤3637，解得(n ＋1)2≤36，可得n ≤5. 所以2≤n ≤5.综上所述，该数列在⎣⎢⎡⎦⎥⎤910，3637内有项，并且有4项．。

高中数学北师大版必修五学业分层测评第三章不等式 15 Word版含解析

学业分层测评(十五)(建议用时：分钟)[学业达标]一、选择题．完成一项装修工程，请木工需付工资每人元，请瓦工需付工资每人元，现有工人工资预算元，设木工人，瓦工人，则请工人满足的关系式是( ) ．＋＜．＋≥．＋＝．＋≤【解析】由题意，满足的不等式关系为＋≤，即＋≤.【答案】．若，，为实数，且＜＜，则下列命题正确的是( )．＜．＞＞＜．＞【解析】＝时，＝，∴错；＜＜⇒＞，∴错；∵＜＜，∴＞＜＜，∴错．【答案】．若＝＋，＝－，则，的大小关系是( )．≤．≥．＞或＜．＞【解析】－＝＋－＋＝＋－＝＋≥，∴≥.【答案】．已知，，∈(，＋∞)，若＜＜，则( )．＜＜．＜＜．＜＜．＜＜【解析】∵，，∈(，＋∞)且＜＜，∴＋＜＋＜＋，即＜＜，∴＋＞＋＞＋.由＋＞＋，∴＞，由＋＞＋，∴＞，∴＞＞，故选.【答案】．(·宿州高二检测)若＜＜，则不等式：①＋＜；②＞；③＜；④＋＞中，正确的有( )．个．个．个．个【解析】由＜＜，得＞，＜＜.故＋＜＜，＞，因此①正确，②错误，③错误．又＋－＝＞，因此④正确．【答案】二、填空题．若()＝－＋，()＝＋－，则()()．(用“＜”，“＞”，“＝”填空)【解析】()－()＝－＋－－＋＝－＋＝(－)＋＞，∴()＞()．【答案】＞．设α∈，β∈，那么α－的取值范围是．【解析】由题设得＜α＜π，≤≤，∴－≤－≤，∴－＜α－＜π.【答案】．若＜＜，则与的大小关系是．【解析】－＝＝，∵＜＜，∴－＜，则＜，∴＜.【答案】＜三、解答题．有学生若干人，住若干宿舍，如果每间住人，那么还余人，如果每间住人，那么只有一间不满但不空，求宿舍间数和学生人数．【解】设宿舍间，则学生(＋)人，依题意，(\\(＋＜，＋＞(－(，))解得＜＜.，∴＝或，学生人数为：.∵∈＋故宿舍间数和学生人数分别为间人，间人或间人．．已知、、、都为正数，且＞，＞，求证：＞【证明】－＝＝.。

北师大版高中数学必修5同步练习：课时分层作业19 基本不等式与最大(小)值

课时分层作业(十九)(建议用时：40分钟)[学业达标练]一、选择题1．函数y ＝x 2－x ＋1x －1(x ＞1)在x ＝t 处取得最小值,则t 等于( )A ．1＋ 2B ．2C ．3D ．4B [y ＝xx －1＋1x －1＝x ＋1x －1＝x －1＋1x －1＋1≥2＋1＝3,当且仅当x －1＝1x －1,即x ＝2时,等号成立．]2．已知正数x,y 满足8x ＋1y＝1,则x ＋2y 的最小值是( )【导学号：91022251】A ．18B ．16C ．8D ．10 A [x ＋2y ＝(x ＋2y)⎝ ⎛⎭⎪⎫8x ＋1y ＝10＋16y x ＋x y ≥10＋216＝18,当且仅当16y x ＝xy,即x ＝4y 时,等号成立．]3．将一根铁丝切割成三段做一个面积为 2 m 2、形状为直角三角形的框架,在下列四种长度的铁丝中,选用最合理(够用且浪费最少)的是( )A ．6.5 mB ．6.8 mC ．7 mD ．7.2 mC [设两直角边分别为a,b,直角三角形的框架的周长为l,则12ab ＝2,∴ab＝4,l ＝a ＋b ＋a 2＋b2≥2ab ＋2ab ＝4＋22≈6.828(m)．∵要求够用且浪费最少,故选C.]4．已知点P(x,y)在经过A(3,0),B(1,1)两点的直线上,则2x＋4y的最小值为( ) A ．2 2 B ．4 2 C ．16D ．不存在B [∵点P(x,y)在直线AB 上,∴x＋2y ＝3. ∴2x＋4y≥22x·4y＝22x ＋2y＝4 2. 当且仅当2x ＝4y,即x ＝32,y ＝34时,等号成立．]5．下列命题正确的是( )【导学号：91022252】A ．函数y ＝x ＋1x 的最小值为2B ．若a,b∈R 且ab ＞0,则b a ＋ab ≥2C ．函数x 2＋2＋1x 2＋2的最小值为2 D ．函数y ＝2－3x －4x的最小值为2－4 3B [A 错误,当x ＜0时或x≠1时不成立；B 正确,因为ab ＞0,所以b a ＞0,a b ＞0,且b a ＋ab ≥2；C 错误,若运用基本不等式,需(x 2＋2)2＝1,x 2＝－1无实数解；D 错误,y ＝2－⎝ ⎛⎭⎪⎫3x ＋4x ≤2－43,故最大值为2－4 3.]二、填空题6．函数f(x)＝x(4－2x)的最大值为________.【导学号：91022253】[解析] ①当x∈(0,2)时,x,4－2x ＞0,f(x)＝x(4－2x)≤12⎣⎢⎡⎦⎥⎤2x ＋4－2x 22＝2,当且仅当2x ＝4－2x,即x ＝1时,等号成立．②当x≤0或x≥2时,f(x)≤0,故f(x)max ＝2. [答案] 27．当x ＜54时,函数y ＝4x －2＋14x －5的最大值为________．[解析] ∵x＜54,∴4x－5＜0,∴y＝4x －5＋14x －5＋3＝－⎣⎢⎡⎦⎥⎤5－4x ＋15－4x ＋3≤－25－4x ·15－4x＋3＝1,当且仅当5－4x ＝15－4x ,即x ＝1时,等号成立． [答案] 18．若正数a,b 满足ab ＝a ＋b ＋3,且ab≥m 恒成立,则实数m 的取值范围是________． [解析] 由ab ＝a ＋b ＋3≥2ab ＋3得ab －2ab －3≥0 即(ab －3)(ab ＋1)≥0,所以ab ≥3,ab≥9,故m≤9. [答案] (－∞,9] 三、解答题9．已知x,y ＞0,且x ＋2y ＋xy ＝30,求xy 的范围．[解] 因为x,y 是正实数,故30＝x ＋2y ＋xy≥22xy ＋xy,当且仅当x ＝2y, 即x ＝6,y ＝3时,等号成立．所以xy ＋22xy －30≤0.令xy ＝t,则t ＞0,得t 2＋22t －30≤0,解得－52≤t≤3 2. 又t ＞0,知0＜xy ≤32, 即xy 的范围是(0,18]．10．已知正常数a,b 和正变数x,y 满足a ＋b ＝10,a x ＋by＝1,x ＋y 的最小值为18,求a,b 的值.【导学号：91022254】[解] 因为x ＋y ＝(x ＋y)·⎝ ⎛⎭⎪⎫a x ＋b y ＝a ＋b ＋ay x ＋bx y ≥a＋b ＋2ab ＝(a ＋b)2,当且仅当ay x ＝bx y ,即yx＝b a时,等号成立,所以x ＋y 的最小值为(a ＋b)2＝18, 又a ＋b ＝10,所以ab ＝16.所以a,b 是方程x 2－10x ＋16＝0的两根,所以a ＝2,b ＝8或a ＝8,b ＝2.[冲A 挑战练]1．已知a,b,c 都是正数,且a ＋2b ＋c ＝1,则1a ＋1b ＋1c 的最小值是( )A ．3＋2 2B ．3－2 2C ．6－4 2D ．6＋4 2D [1a ＋1b ＋1c ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b ＋1c (a ＋2b ＋c)＝4＋2b a ＋c a ＋a b ＋c b ＋a c ＋2b c≥4＋22b a ·ab＋2c a ·a c＋2c b ·2bc＝6＋42, 当且仅当2b a ＝a b ,c a ＝a c ,c b ＝2b c 时,等号成立,即a 2＝c 2＝2b 2时,等号成立．]2．已知a ＝(x －1,2),b ＝(4,y)(x,y 为正数),若a⊥b ,则xy 的最大值是( )【导学号：91022255】A.12 B ．－12C ．1D ．－1A [∵a⊥b 则a·b＝0,∴4(x－1)＋2y ＝0, ∴2x＋y ＝2,∴xy＝12(2x)·y≤12·⎝ ⎛⎭⎪⎫222＝12,当且仅当2x ＝y 时,等号成立．]3．设a ＞b ＞c,则a －c a －b ＋a －cb －c 的最小值是________．[解析]a －c a －b ＋a －c b －c ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1a －b ＋1b －c [(a －b)＋(b －c)]＝1＋1＋b －c a －b ＋a －bb －c≥2＋2b －c a －b ·a －bb －c＝4, 当且仅当b －c a －b ＝a －b b －c ,即|a －b|＝|b －c|,又a ＞b ＞c,∴b＝a ＋c2时,等号成立．[答案] 44．某汽车运输公司购买一批豪华大客车投入营运,据市场分析每辆车营运的总利润y(单位：10万元)与营运年数x(x∈N *)为二次函数关系(二次函数的图像如图333所示),则每辆客车营运________年时,年平均利润最大.【导学号：91022256】图333[解析] 二次函数顶点为(6,11),设为y ＝a(x －6)2＋11,代入(4,7)得a ＝－1,∴y＝－x 2＋12x －25,年平均利润为y x ＝－x 2＋12x －25x ＝－⎝⎛⎭⎪⎫x ＋25x ＋12≤－2x ·25x＋12＝2,当且仅当x ＝25x,即x ＝5时,等号成立．[答案] 55．已知A 、B 两地相距200 km,一只船从A 地逆水到B 地,水速为8 km/h,船在静水中的速度为v km/h(8＜v≤v 0)．若船每小时的燃料费与其在静水中的速度的平方成正比,当v ＝12 km/h 时,每小时的燃料费为720元,为了使全程燃料费最省,船的静水速度v 应为多少？(v 0＞16)[解] 设每小时燃料费为y 1,比例系数为k(k ＞0),则y 1＝kv 2. 当v ＝12时,y 1＝720,∴720＝k·122,得k ＝5. 设全程燃料费为y,依题意得：y ＝y 1·200v －8＝1 000v 2v －8＝1 000·v 2－64＋64v －8＝1 000⎝ ⎛⎭⎪⎫v ＋8＋64v －8＝1 000⎝ ⎛⎭⎪⎫v －8＋64v －8＋16≥1 000⎝ ⎛⎭⎪⎫2v －8·64v －8＋16＝32 000.当且仅当v －8＝64v －8即v ＝16时,y 有最小值32 000.∵8＜v≤v 0,v 0＞16, ∴v＝16成立,即等号成立．所以全程燃料费最省时,船的静水速度为16 km/h.。

北师大版高中数学必修5同步练习：课时分层作业10 数列在日常经济生活中的应用

课时分层作业(十)(建议用时：40分钟)[学业达标练]一、选择题1．一个蜂巢里有1只蜜蜂,第1天它飞出去找回了5个小伙伴；第2天,6只蜜蜂飞出去,各自找回了5个伙伴,…,如果这个找伙伴的过程继续下去,第6天所有的蜜蜂都归巢后,蜂巢中一共有蜜蜂( )【导学号：91022116】A ．65只 B ．66只 C ．216只D ．36只B [由题意知第一天所有的蜜蜂都归巢后,只有6只蜜蜂；第二天所有的蜜蜂都归巢后,共有62只蜜蜂；依次类推,第6天所有的蜜蜂都归巢后,共有66只蜜蜂．]2．现存入银行8万元,年利率为2.50%,若采用1年期自动转存业务,则5年末的本利和是( ) A ．8×1.0253B ．8×1.0254C ．8×1.0255D ．8×1.0256C [定期自动转存属于复利计算问题,5年末的本利和为8×(1＋2.50%)5＝8×1.0255.]3．《九章算术》是我国古代的数学名著,书中有如下问题：“今有五人分五钱,令上二人所得与下三人等．问各得几何．”其意思为“已知甲、乙、丙、丁、戊五人分5钱,甲、乙两人所得与丙、丁、戊三人所得相同,且甲、乙、丙、丁、戊所得依次成等差数列．问五人各得多少钱？”(“钱”是古代的一种重量单位)．这个问题中,甲所得为( )A ．54钱 B ．43钱 C ．32钱 D ．53钱 B [依题意设甲、乙、丙、丁、戊所得钱分别为a －2d,a －d, a,a ＋d,a ＋2d, 则由题意可知,a －2d ＋a －d ＝a ＋a ＋d ＋a ＋2d,即a ＝－6d,又a －2d ＋a －d ＋a ＋a ＋d ＋a ＋2d ＝5a ＝5,∴a＝1,则a －2d ＝a －2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 6＝43a ＝43.故选B.]4．一套共7册的书计划每两年出一册,若出完全部,各册书公元年代之和为13958,则出版这套书的年份是( )【导学号：91022117】A ．1994B ．1996C ．1998D ．2000D [设出齐这套书的年份是x,则(x －12)＋(x －10)＋(x －8)＋…＋x ＝13958, ∴7x－712＋02＝13958,解得x ＝2000.]5．某企业在今年年初贷款a 万元,年利率为γ,从今年年末开始每年偿还一定金额,预计5年还清,则每年应偿还( )A ．a 1＋γ1＋γ5－1万元 B ．aγ1＋γ51＋γ5－1万元 C ．aγ1＋γ51＋γ4－1万元 D ．aγ1＋γ5万元B [根据已知条件知本题属于分期付款问题,设每年应偿还x 万元,则 x[(1＋γ)4＋(1＋γ)3＋…＋1]＝a(1＋γ)5,∴x·1－1＋γ51－1＋γ＝a(1＋γ)5,故x ＝aγ1＋γ51＋γ5－1(万元)．]二、填空题6．某种细菌在培养过程中,每20分钟分裂一次(一个分裂为两个),经过3小时,这种细菌由1个可繁殖成________.【导学号：91022118】[解析] 由题意知a 1＝1,公比q ＝2,经过3小时分裂9次, ∴末项为a 10,则a 10＝a 1·29＝512. [答案] 5127．根据市场调查预测,某商场在未来10年,计算机销售量从a 台开始,每年以10%的速度增长,则该商场在未来10年大约可以销售计算机总量为________．[解析] 由题意知,该商场在未来10年内每年计算机的销售量成等比数列,在未来10年大约可以销售计算机总量为S 10＝a1－1.1101－1.1＝10a(1.110－1)台．[答案] 10a(1.110－1)8．据某校环保小组调查,某区垃圾量的年增长率为b,2013年产生的垃圾量为a 吨,由此预测,该区下一年的垃圾量为________吨,2018年的垃圾量为________吨.【导学号：91022119】[解析] 2013年产生的垃圾量为a 吨,下一年的垃圾量在2013年的垃圾量的基础之上增长了ab 吨,所以下一年的垃圾量为a(1＋b)吨；2018年是从2013年起再过5年,所以2018年的垃圾量是a(1＋b)5吨．[答案] a(1＋b) a(1＋b)5三、解答题9．为保护我国的稀土资源,国家限定某矿区的出口总量不能超过80吨,该矿区计划从2018年开始出口,当年出口a 吨,以后每年出口量均比上一年减少10%.(1)以2018年为第一年,设第n 年出口量为a n 吨,试求a n 的表达式；(2)因稀土资源不能再生,国家计划10年后终止该矿区的出口,问2018年最多出口多少吨？(保留一位小数)参考数据：0.910≈0.35.[解] (1)由题意知每年的出口量构成等比数列,且首项a 1＝a,公比q ＝1－10%＝0.9, ∴a n ＝a·0.9n －1(n≥1)．(2)10年的出口总量S 10＝a1－0.9101－0.9＝10a(1－0.910)．∵S 10≤80,∴10a(1－0.910)≤80,即a≤81－0.910,∴a≤12.3,故2018年最多出口12.3吨．10．某林区由于各种原因林地面积不断减少,已知2004年年底的林地面积为100万公顷,从2005年起该林区进行开荒造林,每年年底的统计结果如下：时间该林区原有林地减少后的面积该年开荒造林面积 2005年年底 98.8000万公顷 0.3000万公顷 2006年年底 99.6000万公顷 0.3000万公顷 2007年年底 99.4001万公顷 0.2999万公顷 2008年年底 99.1999万公顷 0.3001万公顷 2009年年底99.0002万公顷0.2998万公顷(1)若不进行从2005年开始的开荒造林,那么到2018年年底,该林区原有林地减少后的面积大约变为多少万公顷？(2)如果从2005年开始一直坚持开荒造林,那么到哪一年年底该林区的林地总面积达102万公顷？【导学号：91022120】[解] (1)记2005年该林区原有林地面积为a 1到2018年年底该林区原有林地减少后的面积大约变为a 14,从表中看出{a n }是等差数列,公差d 约为－0.2,故a 14＝a 1＋(14－1)d ＝99.8＋(14－1)×(－0.2)＝97.2,所以到2018年年底,该林区原有林地减少后的面积大约变为97.2万公顷．(2)根据表中所给数据,该林区每年开荒造林面积基本是常数0.3万公顷,设2005年底,n 年后林地总面积达102万公顷,结合(1)可知：99．8＋(n －1)×(－0.2)＋n×0.3≥102,解得n≥20,即2024年年底,该林区的林地总面积达102万公顷．[冲A 挑战练]1．在我国古代著名的数学专著《九章算术》里有一段叙述：今有良马与驽马发长安至齐,齐去长安一千一百二十五里,良马初日行一百零三里,日增一十三里；驽马初日行九十七里,日减半里；良马先至齐,复还迎驽马,二马相逢．问：几日相逢？( )A ．8日B ．9日C ．12日D ．16日B [由题可知,良马每日行程a n 构成一个首项为103,公差13的等差数列, 驽马每日行程b n 构成一个首项为97,公差为－0.5的等差数列, 则a n ＝103＋13(n －1)＝13n ＋90,b n ＝97－0.5(n －1)＝97.5－0.5n, 则数列{a n }与数列{b n }的前n 项和为1125×2＝2250, 又∵数列{a n }的前n 项和为12n(a 1＋a n )＝12n(13n ＋193)数列{b n }的前n 项和为n 2×(97＋97.5－0.5n)＝12n(194.5－0.5n),∴12n(13n ＋193)＋12n(194.5－0.5n)＝2250,整理得：25n 2＋775n －9000＝0,即n 2＋31n －360＝0, 解得：n ＝9或n ＝－40(舍),即九日相逢．故选B.]2．根据市场调查结果,预测某种家用商品从年初开始n 个月内累计的需求量S n (万件)近似地满足S n ＝n 90(21n －n 2－5)(n ＝1,2,…,12),按此预测,在本年底内,需求量超过1.5万件的月份是( ) 【导学号：91022121】A ．5月、6月B ．6月、7月C ．7月、8月D ．8月、9月C [S n ＝n 90(21n －n 2－5)＝190(21n 2－n 3－5n),∴由a n ＝S n －S n －1,得a n ＝S n －S n －1＝190(21n 2－n 3－5n)－190[21(n －1)2－(n －1)3－5(n －1)]＝190[21(2n －1)－(3n 2－3n ＋1)－5]＝190(－3n 2＋45n －27)＝－390⎝ ⎛⎭⎪⎫n －1522＋6340,∴当n ＝7或8时,超过1.5万件．]3．某单位拿出一定的经费奖励科研人员,第一名得全部资金的一半多一万元,第二名得剩下的一半多一万元,以名次类推都得剩下的一半多一万元,到第6名恰好将资金分完,则需要拿出资金________万元．[解析] 设全部资金和每次发放后资金的剩下额组成一个数列{a n },则a 1为全部资金,第一名领走资金后剩a 2,a 2＝12a 1－1,依次类推,a n ＋1＝12a n －1,∴a n ＋1＋2＝12(a n ＋2),∴{a n ＋2}是一个等比数列,公比为12,首项为a 1＋2.∴a n ＋2＝(a 1＋2)·⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1,∴a n ＝(a 1＋2)·⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1－2.∴第6名领走资金后剩余为a 7＝(a 1＋2)×⎝ ⎛⎭⎪⎫126－2＝0.∴a 1＝126,即全部资金为126万元． [答案] 1264．某工厂生产一种产品,原计划今年第一季度的产量逐月增加相同的件数,但实际生产中,2月份比原计划多生产了10件,3月份比原计划多生产了25件,这样三个月的产量恰成等比数列,并且3月份的产量只比原计划第一季度总产量的一半少10件,则这个工厂第一季度共生产了________件这种产品.【导学号：91022122】[解析] 依题意知,原计划每月的产量成等差数列, 设为a －d,a,a ＋d(d ＞0)．由已知得a －d,a ＋10,a ＋d ＋25成等比数列．所以⎩⎪⎨⎪⎧a ＋102＝a －d a ＋d ＋25，a ＋d ＋25＝12[a －d ＋a ＋a ＋d ]－10，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝90，d ＝10.所以第一季度共生产了(90－10)＋(90＋10)＋(90＋10＋25)＝305件这种产品． [答案] 3055．在一次人才招聘会上,A 、B 两家公司分别开出了工资标准：A 公司B 公司第一年月工资为1500元,以后每一年月工资比上一年月工资增加230元.第一年月工资为2000元,以后每一年月工资比上一年月工资增加5%.A 公司,你知道为什么吗？[解]A 公司B 公司第一年月工资为1 500元,以后每一年月工资比上一年月工资增加230元.第一年月工资为2 000元,以后每一年月工资比上一年月工资增加5%.王明的选择过程第n 年月工资为a n第n 年月工资为b n首项为1 500,公差为230的等差数列首项为2 000,公比为1＋5%的等比数列a n ＝230n ＋1 270 a n ＝2 000(1＋5%)n －1S 10＝12(a 1＋a 2＋…＋a 10)＝12×10×1 500＋10×10－12×230＝304 200S 10＝12(b 1＋b 2＋…＋b 10) ＝12×2 0001－1.05101－1.05≈301 869因此,王明选择A公司．。

高中数北师大必修五课时分层作业7

课时分层作业(七)(建议用时：40分钟)[学业达标练]一、选择题1．已知等比数列{a n }，a 1＝1，a 3＝19，则a 5等于( ) A ．±181B ．－181C ．181D ．±12C [根据等比数列的性质可知a 1a 5＝a 23⇒a 5＝a 23a 1＝181.]2．在等比数列{a n }中，a 1＋a 2＋a 3＝2，a 4＋a 5＋a 6＝4，则a 10＋a 11＋a 12等于( )【导学号：91022080】A ．32B ．16C ．12D ．8B [a 4＋a 5＋a 6a 1＋a 2＋a 3＝q 3＝42＝2，所以a 10＋a 11＋a 12＝(a 1＋a 2＋a 3)q 9＝2·(23)＝24＝16.]3．已知等比数列{a n }满足a n ＞0，n ＝1,2，…，且a 5·a 2n －5＝22n (n ≥3)，则当n ≥1时，log 2a 1＋log 2a 3＋…＋log 2a 2n －1等于( )A ．n (2n －1)B ．(n ＋1)2C ．n 2D ．(n －1)2 C [设T ＝a 1·a 3·a 5·…·a 2n －3·a 2n －1，T ＝a 2n －1·a 2n －3·a 2n －5·…·a 3·a 1， ∴T 2＝(a 1·a 2n －1)(a 3·a 2n －3)(a 5·a 2n －5)…(a 2n －1·a 1)＝(22n )n ＝(2n 2)2， ∴T ＝(2n 2)2＝2n 2，∴原式＝log 2(a 1a 3…a 2n －1)＝log 2T ＝n 2.]4．已知等比数列{a n }的公比q ≠1，则下面说法中不正确的是( )【导学号：91022081】A ．{a n ＋2＋a n }是等比数列B ．对于k ∈N ＋，k ＞1，a k －1＋a k ＋1≠2a kC ．对于n ∈N ＋，都有a n a n ＋2＞0D ．若a 2＞a 1，则对于任意n ∈N ＋，都有a n ＋1＞a n D [对于A ，{a n ＋2＋a n }是公比为q 的等比数列，正确；对于B ，对于k ∈N ＋，k ＞1，a k －1＋a k ＋1＝a kq ＋a k q ， ∵q ≠1，∴a k －1＋a k ＋1≠2a k ，正确；对于C ，a n a n ＋2＝a 2n q 2＞0，正确；对于D ，若a 2＝1，a 1＝－1，则a 3＝－1，a 3＜a 2，故不正确．故选D.] 5．已知等比数列{a n }中，a 3a 11＝4a 7，数列{b n }是等差数列，且a 7＝b 7，则b 5＋b 9＝( )A ．8B ．4C ．16D ．12[解析] 因为a 3a 11＝4a 7＝a 27，∴a 7＝4(a 7＝0不合题意，舍去)，故b 7＝a 7＝4＝12(b 5＋b 9)，即b 5＋b 9＝8.[★答案★] 8 二、填空题6．已知等比数列{a n }满足a 1＋a 2＝4，a 2＋a 3＝8，则a 5＝________.【导学号：91022082】[解析] ∵q ＝a 2＋a 3a 1＋a 2＝2，∴a 1＋a 2＝a 1(1＋q )＝4＝a 1(1＋2)，∴a 1＝43，∴a 5＝43·24＝643.[★答案★] 6437．等比数列{a n }中，a 1＝18，q ＝2，则a 4与a 8的等比中项为________． [解析] a 4＝a 1q 3＝18×23＝1，a 8＝a 1q 7＝18×27＝16，所以a 4与a 8的等比中项为±16＝±4.[★答案★] ±48．已知{a n }是公差不为零的等差数列，且a 7，a 10，a 15是等比数列{b n }的连续三项，若b 1＝3，则b n ＝________.【导学号：91022083】[解析] ∵{a n }是公差不为零的等差数列，设首项为a 1，公差为d ， ∵a 7，a 10，a 15是等比数列{b n }的连续三项， ∴(a 1＋9d )2＝(a 1＋6d )(a 1＋14d )，整理可得d ＝－23a 1.设数列{b n }的公比为q ，则q ＝a 10a 7＝a 1＋9d a 1＋6d ＝53，∴b n ＝b 1qn －1＝3×⎝ ⎛⎭⎪⎫53n －1.[★答案★] 3×⎝ ⎛⎭⎪⎫53n －1三、解答题9．已知{a n }为等比数列．(1)若a n ＞0，a 2a 4＋2a 3a 5＋a 4a 6＝25，求a 3＋a 5；(2)若a n ＞0，a 5a 6＝9，求log 3a 1＋log 3a 2＋…＋log 3a 10的值．[解] (1)a 2a 4＋2a 3a 5＋a 4a 6＝a 23＋2a 3a 5＋a 25＝(a 3＋a 5)2＝25，∵a n ＞0，∴a 3＋a 5＞0，∴a 3＋a 5＝5.(2)根据等比数列的性质a 5a 6＝a 1a 10＝a 2a 9＝a 3a 8＝a 4a 7＝9，∴a 1a 2…a 9a 10＝(a 5a 6)5＝95，∴log 3a 1＋log 3a 2＋…＋log 3a 10＝log 3(a 1a 2…a 9a 10)＝log 395＝10.10．已知两个等比数列{a n }，{b n }，满足a 1＝a (a ＞0)，b 1－a 1＝1，b 2－a 2＝2，b 3－a 3＝3.【导学号：91022084】(1)若a ＝1，求数列{a n }的通项公式； (2)若数列{a n }唯一，求a 的值．[解] (1)设{a n }的公比为q ，则b 1＝1＋a 1＝1＋a ＝2，b 2＝2＋aq ＝2＋q ，b 3＝3＋aq 2＝3＋q 2.由b 1，b 2，b 3成等比数列得(2＋q )2＝2(3＋q 2)，即q 2－4q ＋2＝0，解得q 1＝2＋2，q 2＝2－2，故{a n }的通项公式为a n ＝(2＋2)n －1或a n ＝(2－2)n －1.(2)设{a n }的公比为q ，则由(2＋aq )2＝(1＋a )·(3＋aq 2)，得aq 2－4aq ＋3a －1＝0，由a ＞0得，Δ＝4a 2＋4a ＞0，故方程aq 2－4aq ＋3a －1＝0有两个不同的实根．由{a n }唯一，故方程必有一根为0，代入上式得a ＝13.[冲A 挑战练]1．已知方程(x 2－mx ＋2)(x 2－nx ＋2)＝0的四个根组成以12为首项的等比数列，则mn 等于( )A ．32B ．32或23C ．23D ．以上都不对A [不妨设12是x 2－mx ＋2＝0的根，则其另一根为4，∴m ＝4＋12＝92，对方程x 2－nx ＋2＝0，设其根为x 1，x 2(x 1＜x 2)，则x 1x 2＝2， ∴等比数列为12，x 1，x 2，4，∴q 3＝412＝8，∴q ＝2，∴x 1＝1，x 2＝2，∴n ＝x 1＋x 2＝1＋2＝3，∴m n ＝92×3＝32.]2．在数列{a n }中，a 1＝2，当n 为奇数时，a n ＋1＝a n ＋2；当n 为偶数时，a n＋1＝2a n －1，则a 12等于( ) A ．32 B ．34 C ．66D ．64C [依题意，a 1，a 3，a 5，a 7，a 9，a 11构成以2为首项，2为公比的等比数列，故a 11＝a 1×25＝64，a 12＝a 11＋2＝66，故选C.]3．已知等比数列{a n }为递增数列，且a 25＝a 10,2(a n ＋a n ＋2)＝5a n ＋1，则数列{a n }的通项公式a n ＝________.【导学号：91022085】[解析] ∵{a n }单调递增，∴q ＞0，又a 25＝a 10＞0， ∴a n ＞0，q ＞1，由条件得2⎝⎛⎭⎪⎫a n a n ＋1＋a n ＋2a n ＋1＝5，即2⎝ ⎛⎭⎪⎫1q ＋q ＝5，∴q ＝2或q ＝12(舍)，由a 25＝a 10得(a 1q 4)2＝a 1q 9，∴a 1＝q ＝2，故a n ＝2n.[★答案★] 2n4．若a ，b 是函数f (x )＝x 2－px ＋q (p ＞0，q ＞0)的两个不同的零点，且a ，b ，－2这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，则p ＋q 的值等于________．[解析] 由题意得，a ＋b ＝p ，ab ＝q ，由p ＞0，q ＞0，可得a ＞0，b ＞0，又a ，b ，－2这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，可得⎩⎨⎧ 2b ＝a －2，ab ＝4①或⎩⎨⎧ 2a ＝b －2，ab ＝4，②解①得：⎩⎨⎧ a ＝4，b ＝1，解②得：⎩⎨⎧a ＝1，b ＝4.∴p ＝a ＋b ＝5，q ＝ab ＝4，∴p ＋q ＝9.[★答案★] 95．已知等差数列{a n }满足：a 1＝2，且a 1，a 2，a 5成等比数列.【导学号：91022086】(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设S n 为数列{a n }的前n 项和，是否存在正整数n ，使得S n ＞60n ＋800？若存在，求n 的最小值；若不存在，说明理由．[解] (1)设数列{a n }的公差为d ，依题意得，2,2＋d,2＋4d 成等比数列，故有(2＋d )2＝2(2＋4d )化简得d 2－4d ＝0，解得d ＝0或d ＝4. 当d ＝0时，a n ＝2；当d ＝4时，a n ＝2＋(n －1)·4＝4n －2. 从而得数列{a n }的通项公式为a n ＝2或a n ＝4n －2.(2)当a n ＝2时，S n ＝2n ，显然2n ＜60n ＋800，此时不存在正整数n ，使得S n ＞60n ＋800成立，当a n ＝4n －2时， S n ＝n [2＋(4n －2)]2＝2n 2.令2n 2＞60n ＋800，即n 2－30n －400＞0，解得n ＞40或n ＜－10(舍去)，所以n 的最小值为41.综上，当a n ＝2时，不存在满足题意的正整数n ；当a n ＝4n －2时，存在满足题意的正整数n ，其最小值为41.。

高中数北师大必修五课时分层作业20

课时分层作业(二十)(建议用时：40分钟)[学业达标练]一、选择题1．已知点P 1(0,1)，P 2(2,1)，P 3(－1,2)，P 4(3,3)，则在4x －5y ＋1≤0表示的平面区域内的点的个数是( )A ．1B ．2C ．3D ．4C [经验证，P 1，P 3，P 4均在区域内．]2．下列二元一次不等式组可表示图3-4-1中阴影部分平面区域的是( )图3-4-1A ．⎩⎨⎧y ≥－1，2x －y ＋2≥0B ．⎩⎨⎧y ≥－1，2x －y ＋4≤0C ．⎩⎨⎧x ≤0，y ≥－2，2x －y ＋2≥0D ．⎩⎨⎧x ≤0，y ≥－2，2x －y ＋4≤0C [由图知点⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，0在平面区域内，代入不等式组逐一验证可知选C.]3．如图所示，不等式x (y －x －1)≥0表示的平面区域是( )B [把不等式x (y －x －1)≥0化为⎩⎨⎧ x ≥0y －x －1≥0或⎩⎨⎧x ≤0y －x －1≤0，可知选B.]4．不等式组⎩⎨⎧x ≤0，x ＋y ≥0，y ≤x ＋a围成的三角形的面积为1，则a 的值为( )【导学号：91022260】A ．2B ．±2C ．1D ．±1A [由⎩⎨⎧ x ＝0y ＝x ＋a 得直线x ＝0与y ＝x ＋a 的交点为B (0，a )，由⎩⎨⎧x ＋y ＝0y ＝x ＋a 得直线x ＋y ＝0与y ＝x ＋a 的交点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫－a2，a 2，若不等式组能够表示三角形，则点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2，a 2位于第二象限，即a ＞0，不等式组表示的可行域如图阴影部分，由图知S △ABO ＝12|x A |·|OB |＝1，即12×⎪⎪⎪⎪⎪⎪－a 2×a ＝1，得a ＝2(a ＝－2舍去)．]5．直线2x ＋y －10＝0与不等式组⎩⎨⎧x ≥0，y ≥0，x －y ≤－2，4x ＋3y ≤20表示的平面区域的公共点有( )A ．0个B ．1个C ．2个D ．无数个A [不等式组⎩⎨⎧x ≥0，y ≥0，x －y ≤－2，4x ＋3y ≤20所表示的区域如图所示：由⎩⎨⎧x －y ＝－24x ＋3y ＝20⇒⎩⎨⎧x ＝2，y ＝4，直线2x ＋y －10＝0经过(0,10)、(2,6)、(5,0)，故二者无公共点，选A.]二、填空题6．若不等式|3x ＋2y ＋c |≤8表示平面区域总包含点(0,1)，(1,1)，则c 的取值范围是________.【导学号：91022261】[解析] 由题意得⎩⎨⎧|2＋c |≤8|5＋c |≤8⇒－10≤c ≤3.[★答案★] [－10,3]7．能表示图3-4-3中阴影区域的二元一次不等式组是________．图3-4-2[解析] 阴影部分边界的三条直线为x －y ＝0，x ＋y －1＝0，y ＝－1，故阴影部分的不等式组为⎩⎨⎧x －y ≥0，x ＋y －1≤0，y ≥－1.[★答案★]⎩⎨⎧x －y ≥0x ＋y －1≤0y ≥－18．在平面直角坐标系内，不等式组⎩⎨⎧y ≥x －1，y ≤－3|x |＋1所表示的平面区域的面积为________．[解析] 不等式组⎩⎨⎧y ≥x －1，y ≤－3|x |＋1表示的平面区域如图，y ＝x －1与y ＝－3|x |＋1的交点为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－12，(－1，－2)．∴S ＝12×2×12＋12×2×1＝34×2＝32. [★答案★] 32 三、解答题9．在△ABC 中，A (3，－1)，B (－1,1)，C (1,3)，写出△ABC 区域(包括边界)所表示的二元一次不等式组.【导学号：91022262】[解] 如图所示，可求得直线AB 、BC 、CA 的方程分别为x ＋2y －1＝0， x －y ＋2＝0,2x ＋y －5＝0.∵△ABC 区域在直线AB 右上方，∴x ＋2y －1≥0；在直线BC 右下方， ∴x －y ＋2≥0；在直线AC 左下方， ∴2x ＋y －5≤0.∴△ABC 区域可表示为⎩⎨⎧x ＋2y －1≥0，x －y ＋2≥0，2x ＋y －5≤0.10．画出下列不等式表示的平面区域． (1)(x －y )(x －y －1)≤0； (2)|3x ＋4y －1|＜5； (3)x ≤|y |≤2x .[解] (1)由(x －y )(x －y －1)≤0，得⎩⎨⎧x －y ≥0，x －y －1≤0，解得0≤x －y ≤1；或⎩⎨⎧x －y ≤0，x －y －1≥0，无解．故不等式表示的平面区域如图(1)所示．(2)由|3x ＋4y －1|＜5，得－5＜3x ＋4y －1＜5，得不等式组⎩⎨⎧3x ＋4y －6＜0，3x ＋4y ＋4＞0，故不等式表示的平面区域如图(2)所示．(1) (2) (3)(3)当y ≥0时，原不等式可化为⎩⎨⎧x ≤y ，y ≤2x ，x ≥0，点(x ，y )在第一象限内两条过原点的射线y ＝x (x ≥0)与y ＝2x (x ≥0)所表示的区域内．当y ≤0时，由对称性作出另一半区域，故不等式表示的平面区域如图(3)所示．[冲A 挑战练]1．若关于x ，y 的不等式组⎩⎨⎧x ≤0，x ＋y ≥0，kx －y ＋1≥0表示的平面区域是直角三角形区域，则正数k 的值为( )【导学号：91022263】A ．1B ．2C ．3D ．4A [当过定点(0,1)的直线kx －y ＋1＝0与直线x ＝0或x ＋y ＝0垂直时，关于x ，y 的不等式组⎩⎨⎧x ≤0，x ＋y ≥0，kx －y ＋1≥0表示的平面区域是直角三角形区域，此时k＝0或k ＝1，由于k 为正数，所以k 的值为1，故选A.]2．已知区域D ：⎩⎨⎧x －y ＋1≥0，x ＋y －1≥0，3x －y －3≤0的面积为S ，点集T ＝{(x ，y )∈D |y ≥kx＋1}的坐标系中对应区域的面积为12S ，则k 的值为( )A ．13B ．12C ．2D ．3A [作出不等式组对应的区域，如图中阴影部分所示．直线y ＝kx ＋1过定点A (0,1)，点集T ＝{(x ，y )∈D |y ≥kx ＋1}在坐标系中对应区域的面积为12S ，则直线y ＝kx ＋1过BC 中点D .由⎩⎨⎧x －y ＋1＝0，3x －y －3＝0，解得⎩⎨⎧x ＝2，y ＝3，即B (2,3)．又C (1,0)，∴BC 的中点为D ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，32，则32＝32k ＋1，解得k ＝13.] 3．原点(0,0)和点(1,1)在直线x ＋y ＝a 的两侧，则a 的取值范围是________． [解析] 直线x ＋y ＝a 可化为x ＋y －a ＝0，由题意知(0＋0－a )(1＋1－a )＜0，解得0＜a ＜2.[★答案★] (0,2)4．设不等式组⎩⎨⎧x ＋y －11≥0，3x －y ＋3≥0，5x －3y ＋9≤0表示的平面区域为D ，若指数函数y ＝a x的图像上存在区域D 内的点，则a 的取值范围是________.【导学号：91022264】[解析] 画出可行域如图阴影部分，易知a ∈(0,1)时不合题意，故a ＞1.两直线⎩⎨⎧x ＋y －11＝0，3x －y ＋3＝0的交点为A (2,9)．由图像可知，当y ＝a x 通过该交点A 时，a 取最大值， ∴f (2)＝a 2＝9，a ＝3.故a ∈(1,3]． [★答案★] (1,3]5．设满足y ≥|x －a |的点(x ，y )的集合为A ，满足y ≤|x |＋b 的点(x ，y )的集合为B ，其中a ，b 是正数，且A ∩B ≠∅.(1)a ，b 之间有什么关系？ (2)求A ∩B 表示的图形的面积．[解] (1)画出y ≥|x －a |及y ≤|x |＋b 表示的区域(如图(1)所示)．可知，若A ∩B ≠∅，则b ≥a (如图(2)所示)．(1) (2)(2)当b ＞a 时，A ∩B 表示一矩形区域，各边所在直线方程分别为x －y －a ＝0，x －y ＋b ＝0，x ＋y －a ＝0，x ＋y －b ＝0，∴矩形两边长分别是两平行线间的距离，即d 1＝|a ＋b |2，d 2＝|a －b |2，∴S 矩形＝d 1·d 2＝|a 2－b 2|2＝b 2－a 22.当b ＝a 时，面积为0. 综上所述，所求面积S ＝12(b 2－a 2).。

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北师大版高中数学必修五全册同步分层练习数列的概念数列的函数特性等差数列等差数列的性质及应用等差数列的前n项和a n与S n的关系及裂项求和法等比数列的定义和通项公式等比数列的性质及应用等比数列的前n项和数列在日常经济生活中的应用正弦定理余弦定理三角形中的几何计算解三角形的实际应用举例不等关系一元二次不等式的解法一元二次不等式的应用基本不等式基本不等式与最大(小)值二元一次不等式(组)与平面区域简单线性规划简单线性规划的应用数列的概念A组1.将正整数的前5个数作如下排列:①1,2,3,4,5;②5,4,3,2,1;③2,1,5,3,4;④4,1,5,3,2.则可以称为数列的是 ()A.①B.①②C.①②③D.①②③④解析:4个都构成数列.答案:D2.已知数列{a n}的通项公式为a n=--,则该数列的前4项依次为()A.1,0,1,0B.0,1,0,1C.,0,,0D.2,0,2,0解析:把n=1,2,3,4分别代入a n=--中,依次得到0,1,0,1.答案:B3.数列1,,…的一个通项公式是()A.a n=-B.a n=-C.a n=D.a n=解析:1=12,4=22,9=32,16=42,1=2×1-1,3=2×2-1,5=2×3-1,7=2×4-1,故a n=-.答案:A4.已知数列{a n}的通项公式a n=-,若a k=,则a2k= ()A. B.99 C.D.143解析:由a k=得-,于是k=6(k=-6舍去).因此a2k=a12=-.答案:C5.已知数列,…,则三个数0.98,0.96,0.94中属于该数列中的数只有()A.1个B.2个C.3个D.以上都不对解析:由已知可得该数列的一个通项公式a n=.令a n=0.98,解得n=49,令a n=0.96,解得n=24,令a n=0.94,解得n=∉N+.故只有0.98和0.96是该数列中的项.答案:B6.已知曲线y=x2+1,点(n,a n)(n∈N+)位于该曲线上,则a10=.解析:由题意知a n=n2+1,因此a10=102+1=101.答案:1017.数列,3,,3,…的一个通项公式是.解析:数列可化为,…,即,…,每个根号里面可分解成两数之积,前一个因式为常数3,后一个因式为2n-1,故原数列的通项公式为a n=--,n∈N+.答案:a n=-8.已知数列{a n}的通项公式a n=,-3是此数列的第项.解析:令-3,得-3,解得n=9.答案:99.写出下列各数列的一个通项公式:(1)4,6,8,10,…(2),…(3),-1,,-,-,…(4)3,33,333,3 333,…解(1)各项是从4开始的偶数,所以a n=2n+2.(2)数列中的每一项分子比分母少1,而分母可写成21,22,23,24,25,…,2n,故所求数列的通项公式可写为a n=-.(3)所给数列中正、负数相间,所以通项中必须含有(-1)n+1这个因式,忽略负号,将第二项1写成,则分母可化为3,5,7,9,11,13,…,均为正奇数,分子可化为12+1,22+1,32+1,42+1,52+1,62+1,…,故其通项公式可写为a n=(-1)n+1·.(4)将数列各项写为,…,分母都是3,而分子分别是10-1,102-1,103-1,104-1,…,所以a n=(10n-1).10.已知数列{a n}的通项公式为a n=3n2-28n.(1)写出数列的第4项和第6项;(2)问-49是不是该数列的一项?如果是,应是哪一项?68是不是该数列的一项呢?解(1)a4=3×16-28×4=-64,a6=3×36-28×6=-60.(2)设3n2-28n=-49,解得n=7或n=(舍去),∴n=7,即-49是该数列的第7项.设3n2-28n=68,解得n=或n=-2.∵∉N+,-2∉N+,∴68不是该数列的项.B组1.数列2,-,4,-,…的通项公式是()(n∈N+)A.a n=2n(n∈N+)B.a n=--(n∈N+)C.a n=-(n∈N+)D.a n=-解析:将数列各项改写为,-,-,…,观察数列的变化规律,可得a n=-(n∈N+).答案:C2.已知数列{a n}的通项公式a n=,则a n·a n+1·a n+2等于()A. B. C. D.解析:∵a n=,a n+1=,a n+2=,∴a n·a n+1·a n+2=.答案:B3.根据下列5个图形中相应点的个数的变化规律,猜测第n个图形中有()个点.A.n2-n+1B.2n2-nC.n2D.2n-1解析:观察图中5个图形点的个数分别为1,1×2+1,2×3+1,3×4+1,4×5+1,故第n个图形中点的个数为(n-1)n+1=n2-n+1.答案:A4.用火柴棒按下图的方法搭三角形:按图示的规律搭下去,则所用火柴棒数a n与所搭三角形的个数n之间的关系式可以是.解析:∵a1=3,a2=3+2=5,a3=3+2+2=7,a4=3+2+2+2=9,…,∴a n=2n+1.答案:a n=2n+15.在数列-,…中,有序数对(a,b)可以是.解析:从上面的规律可以看出分母的规律是:1×3,2×4,3×5,4×6,…,分子的规律是:5,5+5,5+5+7,5+5+7+9,…,所以-解得a=,b=-.答案:-6.已知数列{a n}的通项公式a n=a·2n+b,且a1=-1,a5=-31,则a3=.解析:由已知得--解得-即a n=-2n+1,于是a3=-23+1=-7.答案:-77.如图,有m(m≥2)行(m+1)列的士兵队列.(1)写出一个数列,用它表示当m分别为2,3,4,5,6,…时队列中的士兵人数;(2)写出(1)中数列的第5,6项,用a5,a6表示;(3)若把(1)中的数列记为{a n},求该数列的通项公式a n;(4)求a10,并说明a10所表示的实际意义.解(1)当m=2时,表示2行3列,人数为6;当m=3时,表示3行4列,人数为12,依此类推,故所求数列为6,12,20,30,42,….(2)队列的行数比数列的序号大1,因此第5项表示的是6行7列,第6项表示7行8列,故a5=42,a6=56.(3)根据对数列的前几项的观察、归纳,猜想数列的通项公式.前4项分别为6=2×3,12=3×4,20=4×5,30=5×6.因此a n=(n+1)(n+2).(4)由(3)知a10=11×12=132,a10表示11行12列的士兵队列中士兵的人数.8.在数列{a n}中,a1=2,a17=66,通项公式是关于n的一次函数.(1)求数列{a n}的通项公式;(2)求a2 017;(3)是否存在m,k∈N+,满足a m+a m+1=a k?若存在,求出m,k的值,若不存在,说明理由.解(1)设a n=kn+b(k≠0),则由a1=2,a17=66得,解得-所以a n=4n-2.(2)a2 017=4×2 017-2=8 066.(3)由a m+a m+1=a k,得4m-2+4(m+1)-2=4k-2,整理后可得4m=2k-1,因为m,k∈N+,所以4m是偶数,2k-1是奇数,故不存在m,k∈N+,使等式4m=2k-1成立,即不存在m,k∈N+,使a m+a m+1=a k.数列的函数特性A组1.数列{n2-4n+3}的图像是()A.一条直线B.一条直线上的孤立的点C.一条抛物线D.一条抛物线上的孤立的点解析:a n=n2-4n+3是关于n的二次函数,故其图像是抛物线y=x2-4x+3上一群孤立的点.答案:D2.已知数列{a n}的通项公式是a n=,则这个数列是 ()A.递增数列B.递减数列C.摆动数列D.常数列解析:∵a n+1-a n==>0,∴a n+1>a n,∴数列{a n}是递增数列.答案:A3.若数列{a n}的通项公式a n=--,则在数列{a n}的前20项中,最大项和最小项分别是() A.a1,a20 B.a20,a1 C.a5,a4 D.a4,a5解析:由于a n=----=1+-,因此当1≤n≤4时,{a n}是递减的,且a1>0>a2>a3>a4;当5≤n≤20时,a n>0,且{a n}也是递减的,即a5>a6>…>a20>0,因此最大的是a5,最小的是a4.答案:C4.已知{a n}的通项公式a n=n2+3kn,且{a n}是递增数列,则实数k的取值范围是()A.k≥-1B.k>-C.k≥-D.k>-1解析:因为{a n}是递增数列,所以a n+1>a n对n∈N+恒成立.即(n+1)2+3k(n+1)>n2+3kn,整理得k>-,当n=1时,-取最大值-1,故k>-1.答案:D5.给定函数y=f(x)的图像,对任意a n∈(0,1),由关系式a n+1=f(a n)得到的数列{a n}满足a n+1>a n(n∈N+),则该函数的图像是()解析:由a n+1>a n可知数列{a n}为递增数列,又由a n+1=f(a n)>a n可知,当x∈(0,1)时,y=f(x)的图像在直线y=x的上方.答案:A6.已知数列{a n}的通项公式是a n=,其中a,b均为正常数,则a n+1与a n的大小关系是.解析:∵a n+1-a n==>0,∴a n+1-a n>0,故a n+1>a n.答案:a n+1>a n7.已知数列{a n}的通项公式为a n=2n2-5n+2,则数列{a n}的最小值是.解析:∵a n=2n2-5n+2=2-,∴当n=1时,a n最小,最小为a1=-1.答案:-1若a1=,则a 2 017=.8.已知数列{a n}满足a n+1=-解析:a1=,a2=2a1-1=,a3=2a2-1=,a4=2a3=,…,所以{a n}是周期为3的周期数列,于是a2=a672×3+1=a1=.017答案:9.已知数列{a n}的通项公式为a n=n2-21n+20.(1)-60是否是该数列中的项,若是,求出项数;该数列中有小于0的项吗?有多少项?(2)n为何值时,a n有最小值?并求出最小值.解(1)令n2-21n+20=-60,得n=5或n=16.所以数列的第5项,第16项都为-60.由n2-21n+20<0,得1<n<20,所以共有18项小于0.(2)由a n=n2-21n+20=-,可知对称轴方程为n==10.5.又n∈N+,故n=10或n=11时,a n有最小值,其最小值为112-21×11+20=-90.10.已知函数f(x)=-(x≥1),构造数列a n=f(n)(n∈N+).(1)求证:a n>-2;(2)数列{a n}是递增数列还是递减数列?为什么?(1)证明由题意可知a n=---2.∵n∈N+,∴>0,∴a n=-2>-2.(2)解递减数列.理由如下:由(1)知,a n=-2.∵a n+1-a n==---<0,即a n+1<a n,∴数列{a n}是递减数列.B组1.若函数f(x)满足f(1)=1,f(n+1)=f(n)+3(n∈N+),则f(n)是()A.递增数列B.递减数列C.常数列D.不能确定解析:∵f(n+1)-f(n)=3(n∈N+),∴f(n+1)>f(n),∴f(n)是递增数列.答案:A2.设函数f(x)=---数列{a n}满足a n=f(n),n∈N+,且数列{a n}是递增数列,则实数a的取值范围是()A.(1,3)B.(2,3)C.D.(1,2) 答案:B3.若数列{a n}的通项公式为a n=7·--3·-,则数列{a n}的()A.最大项为a5,最小项为a6B.最大项为a6,最小项为a7C.最大项为a1,最小项为a6D.最大项为a7,最小项为a6解析:令t=-,n∈N+,则t∈(0,1],且--=t2.从而a n=7t2-3t=7-.又函数f(t)=7t2-3t在上是减少的,在上是增加的,所以a1是最大项,a6是最小项.故选C.答案:C4.若数列{a n}的通项公式为a n=-2n2+13n,关于该数列,有以下四种说法:①该数列有无限多个正数项;②该数列有无限多个负数项;③该数列的最大值就是函数f(x)=-2x2+13x 的最大值;④-70是该数列中的一项.其中正确的说法有.(填序号)解析:令-2n2+13n>0,得0<n<,故数列{a n}中有6项是正数项,有无限个负数项,所以①错,②正确;当n=3时,数列{a n}取到最大值,而当x=3.25时,函数f(x)取到最大值,所以③错;令-2n2+13n=-70,得n=10或n=-(舍去),即-70是该数列的第10项,所以④正确.答案:②④5.若数列中的最大项是第k项,则k=.解析:已知数列最大项为第k项,则有即--由k∈N+可得k=4.答案:46.已知数列{a n}满足a n=+…+.(1)数列{a n}是递增数列还是递减数列?为什么?(2)证明:a n≥对一切正整数恒成立.(1)解因为a n=+…+,所以a n+1=+…+=+…+.所以a n+1-a n=,又n∈N+,所以.所以a n+1-a n>0.所以数列{a n}是递增数列.(2)证明由(1)知数列{a n}是递增数列,所以数列的最小项为a1=,所以a n≥a1=,即a n≥对一切正整数恒成立.7.已知数列{a n}的通项公式为a n=n2-n-30.(1)求数列的前三项,60是此数列的第几项?(2)n为何值时,a n=0,a n>0,a n<0?(3)该数列前n项和S n是否存在最值?说明理由.解(1)由a n=n2-n-30,得a1=1-1-30=-30,a2=22-2-30=-28,a3=32-3-30=-24.设a n=60,则n2-n-30=60.解得n=10或n=-9(舍去),即60是此数列的第10项.(2)令n2-n-30=0,解得n=6或n=-5(舍去).∴当n=6时,a n=0.令n2-n-30>0,解得n>6或n<-5(舍去).∴当n>6(n∈N+)时,a n>0.令n2-n-30<0,解得-5<n<6.又n∈N+,∴0<n<6,∴当0<n<6(n∈N+)时,a n<0.(3)由a n=n2-n-30=--30(n∈N+),知{a n}是递增数列,且a1<a2<…<a5<a6=0<a7<a8<a9<…,故S n存在最小值S5=S6,S n不存在最大值.等差数列的定义和通项公式1.若{a n}是等差数列,则下列数列中也成等差数列的是 ()A.{}B.C.{3a n}D.{|a n|}解析:设{a n}的公差为d,则3a n+1-3a n=3(a n+1-a n)=3d是常数,故{3a n}一定成等差数列.{},,{|a n|}都不一定是等差数列,例如当{a n}为{3,1,-1,-3}时.答案:C2.在等差数列{a n}中,a1+a5=10,a4=7,则数列{a n}的公差为()A.1B.2C.3D.4解析:∵a1+a5=10=a1+a1+4d=2(a1+2d)=2a3,∴a3=5.故d=a4-a3=7-5=2.答案:B3.已知{a n}是首项a1=2,公差为d=3的等差数列,若a n=2 018,则序号n等于()A.670B.671C.672D.673解析:∵a1=2,d=3,∴a n=2+3(n-1)=3n-1.令3n-1=2 018,解得n=673.答案:D4.等差数列{a n}中,a1=8,a5=2,如果在每相邻两项间各插入一个数,使之成为新的等差数列,那么新的等差数列的公差是()A. B.- C.- D.-1解析:设新数列a1,b1,a2,b2,a3,b3,a4,b4,a5,…,公差为d,则a5=a1+8d,所以d=--=-=-.故选B.答案:B5.已知点(n,a n)(n∈N+)都在直线3x-y-24=0上,则在数列{a n}中有()A.a7+a9>0B.a7+a9<0C.a7+a9=0D.a7·a9=0解析:∵(n,a n)在直线3x-y-24=0,∴a n=3n-24.∴a7=3×7-24=-3,a9=3×9-24=3,∴a7+a9=0.答案:C6.在等差数列{a n}中,若a1=7,a7=1,则a5=.答案:37.在等差数列{a n}中,已知a5=10,a12>31,则公差d的取值范围是.解析:设此数列的首项为a1,公差为d,由已知得①②②-①,得7d>21,所以d>3.答案:d>38.在数列{a n}中,a1=3,且对任意大于1的正整数n,点(-)在直线x-y-=0上,则数列{a n}的通项公式为a n=.解析:由题意知-(n≥2),∴{}是以为首项,以为公差的等差数列,∴+(n-1)d=(n-1)=n.∴a n=3n2.答案:3n29.已知数列{a n},{b n}满足是等差数列,且b n=n2,a2=5,a8=8,则a9=.解析:由题意得,因为是等差数列,所以可得该等差数列的公差d=-,所以=-,所以a9=-513.答案:-51310.如果在等差数列{3n-1}的每相邻两项之间插入三项后使它们构成一个新的等差数列,那么新数列的第29项是原数列的第项.解析:设a n=3n-1,公差为d1,新数列为{b n},公差为d2,a1=2,b1=2,d1=a n-a n-1=3,d2=,则b n=2+(n-1)=n+,b29=23,令a n=23,即3n-1=23.故n=8.答案:811.若一个数列{a n}满足a n+a n-1=h,其中h为常数,n≥2且n∈N+,则称数列{a n}为等和数列,h为公和.已知等和数列{a n}中,a1=1,h=-3,则a2 016=.解析:易知a n=为奇数-为偶数∴a2 016=-4.答案:-412.已知a,b,c成等差数列,且它们的和为33,又lg(a-1),lg(b-5),lg(c-6)也构成等差数列,求a,b,c的值.解由已知,得---∴---解得a=4,b=11,c=18或a=13,b=11,c=9.13.已知无穷等差数列{a n},首项a1=3,公差d=-5,依次取出项的序号被4除余3的项组成数列{b n}.(1)求b1和b2;(2)求{b n}的通项公式;(3){b n}中的第110项是{a n}的第几项?解(1)∵a1=3,d=-5,∴a n=3+(n-1)(-5)=8-5n.∵数列{a n}中项的序号被4除余3的项依次是第3项,第7项,第11项,…,∴{b n}的首项b1=a3=-7,b2=a7=-27.(2)设{a n}中的第m项是{b n}的第n项,即b n=a m,则m=3+4(n-1)=4n-1,∴b n=a m=a4n-1=8-5(4n-1)=13-20n(n∈N+).∴{b n}的通项公式为b n=13-20n(n∈N+).(3)b110=13-20×110=-2 187,设它是{a n}中的第m项,则8-5m=-2 187,则m=439.14.已知数列{a n}满足a1=,且当n>1,n∈N+时,有---,设b n=,n∈N+.(1)求证:数列{b n}为等差数列.(2)试问a1a2是否是数列{a n}中的项?如果是,是第几项?如果不是,请说明理由.(1)证明当n>1,n∈N+时,-------2=2+--=4b n-b n-1=4,且b1==5.∴{b n}是等差数列,且公差为4,首项为5.(2)解由(1)知b n=b1+(n-1)d=5+4(n-1)=4n+1.∴a n=,n∈N+.∴a1=,a2=,∴a1a2=.令a n=,∴n=11,即a1a2=a11.∴a1a2是数列{a n}中的项,是第11项.等差数列的性质及应用A组1.已知等差数列{a n}中,a7+a9=16,a4=1,则a12的值是 ()A.15B.30C.31D.64解析:∵{a n}是等差数列,∴a7+a9=a4+a12,∴a12=16-1=15.答案:A2.已知{a n}为等差数列,a1+a3+a5=105,a2+a4+a6=99,则a20等于()A.-1B.1C.3D.7解析:∵a1+a3+a5=105,∴3a3=105,解得a3=35,同理由a2+a4+a6=99,得a4=33.∵d=a4-a3=33-35=-2,∴a20=a4+(20-4)d=33+16×(-2)=1.答案:B3.若{a n}是等差数列,则下列数列中仍为等差数列的有 ()①{a n+3}②{}③{a n+1-a n}④{2a n}⑤{2a n+n}A.1个B.2个C.3个D.4个解析:根据等差数列的定义判断,若{a n}是等差数列,则{a n+3},{a n+1-a n},{2a n},{2a n+n}均为等差数列,而{}不一定是等差数列.答案:D4.已知等差数列{a n}满足a1+a2+a3+…+a101=0,则有 ()A.a1+a101>0B.a2+a100<0C.a3+a100≤0D.a51=0解析:由题设a1+a2+a3+…+a101=101a51=0,得a51=0.答案:D5.若等差数列的前三项依次是x-1,x+1,2x+3,则其通项公式为()A.a n=2n-5B.a n=2n-3C.a n=2n-1D.a n=2n+1解析:∵x-1,x+1,2x+3是等差数列的前三项,∴2(x+1)=x-1+2x+3,解得x=0.∴a1=x-1=-1,a2=1,a3=3,∴d=2.∴a n=-1+2(n-1)=2n-3,故选B.答案:B6.在等差数列{a n}中,a1+a4+a7=39,a2+a5+a8=33,则a3+a6+a9=.解析:由等差数列的性质,得(a1+a4+a7)+(a3+a6+a9)=2(a2+a5+a8),即39+(a3+a6+a9)=2×33,故a3+a6+a9=66-39=27.答案:277.若lg 2,lg(2x-1),lg(2x+3)成等差数列,则x的值是.解析:由题意,知2lg(2x-1)=lg 2+lg(2x+3),则(2x-1)2=2(2x+3),即(2x)2-4·2x-5=0,∴(2x-5)(2x+1)=0,∴2x=5,∴x=log25.答案:log258.已知一个等差数列由三个数构成,这三个数之和为9,平方和为35,则这三个数构成的等差数列为.答案:1,3,5或5,3,19.在等差数列{a n}中,a1+a4+a7=15,a2a4a6=45,求数列{a n}的通项公式.解∵a1+a7=2a4=a2+a6,∴a1+a4+a7=3a4=15,∴a4=5,∴a2+a6=10,a2a6=9.∴a2,a6是方程x2-10x+9=0的两根.∴或若a2=1,a6=9,则d=-=2,∴a n=2n-3.-=-2,∴a n=13-2n.若a2=9,a6=1,则d=--∴数列{a n}的通项公式为a n=2n-3或a n=13-2n.10.已知f(x)=x2-2x-3,等差数列{a n}中,a1=f(x-1),a2=-,a3=f(x),求:(1)x的值;(2)通项a n.解(1)由f(x)=x2-2x-3,得a1=f(x-1)=(x-1)2-2(x-1)-3=x2-4x,a3=x2-2x-3,又因为{a n}为等差数列,所以2a2=a1+a3,即-3=x2-4x+x2-2x-3,解得x=0或x=3.(2)当x=0时,a1=0,d=a2-a1=-,此时a n=a1+(n-1)d=-(n-1);当x=3时,a1=-3,d=a2-a1=,此时a n=a1+(n-1)d=(n-3).B组1.在数列{a n}中,若a2=2,a6=0,且数列是等差数列,则a4等于()A. B. C. D.解析:令b n=,则b2=,b6==1.由题意知{b n}是等差数列,∴b6-b2=(6-2)d=4d=,∴d=.∴b4=b2+2d=+2×.∵b4=,∴a4=.答案:A2.已知数列{a n}为等差数列,且a1+a7+a13=4π,则tan(a2+a12)的值为()A. B.± C.- D.-解析:∵{a n}为等差数列,∴a1+a7+a13=3a7=4π.∴a7=,tan(a2+a12)=tan 2a7=tan=-.答案:D3.《九章算术》“竹九节”问题:现有一根9节的竹子,自上而下各节的容积成等差数列,上面4节的容积共3升,下面3节的容积共4升,则第5节的容积为()A.1升B.升C.升D.升解析:设所构成的等差数列{a n}的首项为a1,公差为d,由题意得即解得所以a5=a1+4d=.答案:B4.在等差数列{a n}中,如果a2+a5+a8=9,那么关于x的方程x2+(a4+a6)x+10=0()A.无实根B.有两个相等实根C.有两个不等实根D.不能确定有无实根解析:∵a4+a6=a2+a8=2a5,即3a5=9,∴a5=3.又a4+a6=2a5=6,∴关于x的方程为x2+6x+10=0,则判别式Δ=62-4×10<0,∴无实数解.答案:A5.已知log a b,-1,log b a成等差数列,且a,b为关于x的方程x2-cx+d=0的两根,则d=.解析:由已知,得log a b+log b a=-2,即=-2,从而有(lg a+lg b)2=0,可得lg a=-lg b=lg,即ab=1.故由根与系数的关系得d=ab=1.答案:16.已知方程(x2-2x+m)(x2-2x+n)=0的四个根组成一个首项为的等差数列,则|m-n|=.解析:由题意设这4个根为+d,+2d,+3d.可得=2,∴d=.∴这4个根依次为.∴n=,m=或n=,m=.∴|m-n|=.答案:7.两个等差数列5,8,11,…和3,7,11,…都有100项,那么它们共有多少相同的项?解在数列{a n}中,a1=5,公差d1=8-5=3.∴a n=a1+(n-1)d1=3n+2.在数列{b n}中,b1=3,公差d2=7-3=4,∴b n=b1+(n-1)d2=4n-1.令a n=b m,则3n+2=4m-1,∴n=-1.∵m,n∈N+,∴m=3k(k∈N+),又解得0<m≤75.∴0<3k≤75,∴0<k≤25,∴k=1,2,3, (25)∴两个数列共有25个公共项.8.已知数列{a n}中,a1=,a n a n-1+1=2a n-1(n≥2,n∈N+).数列{b n}中,b n=-(n∈N+).(1)求证:{b n}是等差数列;(2)求数列{a n}的通项公式,并求其最大、最小项.(1)证明由a n a n-1+1=2a n-1,得a n a n-1-a n-1=a n-1-1,∴----=b n,又b n-1=--,∴b n-b n-1=-----=1(n≥2,n∈N+).∵b1=-=-,∴数列{b n}是以-为首项,1为公差的等差数列.(2)解由(1)知b n=n-3.5,又由b n=-得a n=1+=1+-.点(n,a n)在函数y=-+1的图像上.显然,在区间(3.5,+∞)上,y=-+1递减且y>1;在区间(0,3.5)上,y=-+1递减且y<1.因此,当n=4时,a n取得最大值3;当n=3时,a n取得最小值-1.等差数列的前n项和A组1.设S n是等差数列{a n}的前n项和,已知a2=3,a6=11,则S7等于()A.13B.35C.49D.63解析:S7==49.答案:C2.设S n是等差数列{a n}的前n项和,S5=10,则a3的值为 ()A. B.1 C.2 D.3解析:∵S5==5a3,∴a3=S5=×10=2.答案:C3.已知数列{a n}的通项公式为a n=2n-37,则S n取最小值时n的值为()A.17B.18C.19D.20解析:由得--≤n≤.∵n∈N+,∴n=18.∴S18最小,此时n=18.答案:B4.等差数列{a n}的前n项和为S n(n=1 2 3 … 若当首项a1和公差d变化时,a5+a8+a11是一个定值,则下列选项中为定值的是()A.S17B.S18C.S15D.S14解析:由a5+a8+a11=3a8是定值,可知a8是定值,所以S15==15a8是定值.答案:C5.若两个等差数列{a n},{b n}的前n项和分别为A n与B n,且满足(n∈N+),则的值是()A. B. C. D.解析:因为-----,所以-.答案:C6.已知{a n}是等差数列,S n为其前n项和,n∈N+.若a3=16,S20=20,则S10的值为.解析:设等差数列{a n}的首项为a1,公差为d.∵a3=a1+2d=16,S20=20a1+d=20,∴解得d=-2,a1=20,∴S10=10a1+d=200-90=110.答案:1107.在等差数列{a n}中,前n项和为S n,若a9=3a5,则=.解析:S17=17a9,S9=9a5,于是×3=.答案:8.已知某等差数列共有10项,其奇数项之和为15,偶数项之和为30,则其公差等于. 解析:设公差为d,则有5d=S偶-S奇=30-15=15,于是d=3.答案:39.若等差数列{a n}的公差d<0,且a2·a4=12,a2+a4=8.(1)求数列{a n}的首项a1和公差d;(2)求数列{a n}的前10项和S10的值.解(1)由题意知(a1+d)(a1+3d)=12,(a1+d)+(a1+3d)=8,且d<0,解得a1=8,d=-2.(2)S10=10×a1+d=-10.10.已知数列{a n}是首项为23,公差为整数的等差数列,且前6项均为正,从第7项开始变为负.求:(1)此等差数列的公差d;(2)设前n项和为S n,求S n的最大值;(3)当S n是正数时,求n的最大值.解(1)∵数列{a n}首项为23,前6项均为正,从第7项开始变为负,∴a6=a1+5d=23+5d>0,a7=a1+6d=23+6d<0,解得-<d<-,又d∈Z,∴d=-4.(2)∵d<0,∴{a n}是递减数列.又a6>0,a7<0,∴当n=6时,S n取得最大值,即S6=6×23+×(-4)=78.(3)S n=23n+-×(-4)>0,整理得n(25-2n)>0,∴0<n<,又n∈N+,∴n的最大值为12.B组1.设数列{a n}为等差数列,公差d=-2,S n为其前n项和,若S10=S11,则a1=()A.18B.20C.22D.24解析:因为S11-S10=a11=0,a11=a1+10d=a1+10×(-2)=0,所以a1=20.答案:B2.记S n为等差数列{a n}的前n项和.若a4+a5=24,S6=48,则{a n}的公差为()A.1B.2C.4D.8解析:设首项为a1,公差为d,则a4+a5=a1+3d+a1+4d=24,S6=6a1+d=48,联立可得①①×3-②,得(21-15)d=24,即6d=24,所以d=4.②答案:C3.等差数列{a n}的前n项和记为S n,若a2+a4+a15的值为一个确定的常数,则下列各数中也是常数的是()A.S7B.S8C.S13D.S15解析:∵a2+a4+a15=3a1+18d=3(a1+6d)=3a7为常数,∴S13==13a7为常数.答案:C4.若等差数列{a n}的通项公式是a n=1-2n,其前n项和为S n,则数列的前11项和为 ()A.-45B.-50C.-55D.-66解析:∵S n=,∴=-n,∴的前11项和为-(1+2+3+…+11)=-66.故选D.答案:D5.已知等差数列{a n}前9项的和等于前4项的和.若a1=1,a k+a4=0,则k=.解析:设等差数列{a n}的公差为d,则a n=1+(n-1)d,∵S4=S9,∴a5+a6+a7+a8+a9=0.∴a7=0,∴1+6d=0,d=-.又a4=1+3×-,a k=1+(k-1)d,由a k+a4=0,得+1+(k-1)d=0,将d=-代入,可得k=10.答案:106.已知数列{a n}为等差数列,其前n项和为S n,且1+<0.若S n存在最大值,则满足S n>0的n的最大值为.解析:因为S n有最大值,所以数列{a n}单调递减,又<-1,所以a10>0,a11<0,且a10+a11<0.所以S19=19×=19a10>0,S20=20×=10(a10+a11)<0,故满足S n>0的n的最大值为19.答案:197.在等差数列{a n}中,a1=-60,a17=-12,求数列{|a n|}的前n项和.解数列{a n}的公差d=------=3,∴a n=a1+(n-1)d=-60+(n-1)×3=3n-63.由a n<0得3n-63<0,解得n<21.∴数列{a n}的前20项是负数,第20项以后的项都为非负数.设S n,S n'分别表示数列{a n}和{|a n|}的前n项和,当n≤20时,S n'=-S n=---=-n2+n;当n>20时,S n'=-S20+(S n-S20)=S n-2S20=-60n+-×3-2×-n2-n+1 260.∴数列{|a n|}的前n项和S n'=--8.设等差数列{a n}的前n项和为S n,且a5+a13=34,S3=9.(1)求数列{a n}的通项公式及前n项和公式;(2)设数列{b n}的通项公式为b n=,问:是否存在正整数t,使得b1,b2,b m(m≥3 m∈N)成等差数列?若存在,求出t和m的值;若不存在,请说明理由.解(1)设等差数列{a n}的公差为d,因为a5+a13=34,S3=9,所以整理得解得所以a n=1+(n-1)×2=2n-1,S n=n×1+-×2=n2.(2)由(1)知b n=--,所以b1=,b2=,b m=--.若b1,b2,b m(m≥3 m∈N)成等差数列,则2b2=b1+b m,所以--,即6(1+t)(2m-1+t)=(3+t)(2m-1+t)+(2m-1)(1+t)(3+t),整理得(m-3)t2-(m+1)t=0,因为t是正整数,所以(m-3)t-(m+1)=0,m=3时显然不成立,所以t=---=1+-.又因为m≥3 m∈N,所以m=4或5或7,当m=4时,t=5;当m=5时,t=3;当m=7时,t=2.所以存在正整数t,使得b1,b2,b m(m≥3 m∈N)成等差数列.a n与S n的关系及裂项求和法A组1.已知数列{a n}的前n项和S n=,则a5的值等于()A. B.- C. D.-解析:a5=S5-S4==-.答案:B2.已知等差数列{a n}的前n项和为S n,a5=5,S5=15,则数列的前100项和为()A. B. C. D.解析:∵S5==15,∴a1=1,∴d=----=1,∴a n=1+(n-1)×1=n,∴.设的前n项和为T n,则T100=+…+=1-+…+=1-.答案:A3.设{a n}(n∈N+)是等差数列,S n是其前n项和,且S5<S6,S6=S7>S8,则下列结论错误的是()A.d<0B.a7=0C.S9>S5D.S6和S7均为S n的最大值解析:由S5<S6得a1+a2+…+a5<a1+a2+…+a5+a6,∴a6>0.又S6=S7,∴a1+a2+…+a6=a1+a2+…+a6+a7,∴a7=0,故B正确;同理由S7>S8,得a8<0,又d=a7-a6<0,故A正确;由C选项中S9>S5,即a6+a7+a8+a9>0,可得2(a7+a8)>0.而由a7=0,a8<0,知2(a7+a8)>0不可能成立,故C错误;∵S5<S6,S6=S7>S8,∴S6与S7均为S n的最大值,故D正确.故选C.答案:C的前n项和S n为()4.数列-A.B.C.D.-,解析:-于是S n=---…-.答案:C5.设函数f(x)满足f(n+1)=(n∈N+),且f(1)=2,则f(20)为()A.95B.97C.105D.192解析:∵f(n+1)=f(n)+,∴f(n+1)-f(n)=.∴f(2)-f(1)=,f(3)-f(2)=,……f(20)-f(19)=,∴f(20)-f(1)= (95)又f(1)=2,∴f(20)=97.答案:B6.已知数列{a n}的前n项和S n=n2-9n,第k项满足5<a k<8,则k=.解析:a n=S n-S n-1=(n2-9n)-[(n-1)2-9(n-1)]=2n-10(n≥2 又a1=S1=-8符合上式,所以a n=2n-10.令5<2k-10<8,解得<k<9.又k∈N+,所以k=8.答案:87.设数列{a n}的前n项和为S n,S n=-,且a4=54,则a1=.解析:因为a4=S4-S3=--=27a1,所以27a1=54,解得a1=2.答案:2…的前n项和S n=.8.数列1, ……解析:因为…==2-,所以S n=1++…+=…2---…-=2-.答案:9.正项数列{a n}满足-(2n-1)a n-2n=0.(1)求数列{a n}的通项公式a n;(2)令b n=,求数列{b n}的前n项和T n.解(1)由-(2n-1)a n-2n=0,得(a n-2n)(a n+1)=0,即a n=2n或a n=-1,由于{a n}是正项数列,故a n=2n.(2)由(1)知a n=2n,所以b n=-,故T n=--…--.10.已知等差数列{a n}的前n项和为S n,n∈N+,且a3+a6=4,S5=-5.(1)求a n;(2)若T n=|a1|+|a2|+|a3|+…+|a n|,求T5的值和T n的表达式.解(1)设{a n}的首项为a1,公差为d,易由a3+a6=4,S5=-5得出a1=-5,d=2.∴a n=2n-7.(2)当n≥4时,a n=2n-7>0;当n≤3时,a n=2n-7<0,∴T5=-(a1+a2+a3)+a4+a5=13.当1≤n≤3时,T n=-(a1+a2+…+a n)=-n2+6n;当n≥4时,T n=-(a1+a2+a3)+a4+a5+…+a n=n2-6n+18.综上所述,T n=--B组1.若等差数列{a n}的通项公式为a n=2n+1,则由b n=…所确定的数列{b n}的前n项之和是()A.n(n+2)B.n(n+4)C.n(n+5)D.n(n+6)解析:由题意知a1+a2+…+a n==n(n+2),∴b n==n+2.于是数列{b n}的前n项和S n=n(n+5).答案:C2.已知一个等差数列共n项,且其前四项之和为21,末四项之和为67,前n项和为286,则项数n为()A.24B.26C.25D.28解析:设该等差数列为{a n},由题意,得a1+a2+a3+a4=21,a n+a n-1+a n-2+a n-3=67,又a1+a n=a2+a n-1=a3+a n-2=a4+a n-3,∴4(a1+a n)=21+67=88,∴a1+a n=22.∴S n==11n=286,∴n=26.答案:B3.已知数列{a n}满足a1=1,a n=a n-1+2n(n≥2 则a7=)A.53B.54C.55D.109解析:∵a n=a n-1+2n,∴a n-a n-1=2n.∴a2-a1=4,a3-a2=6,a4-a3=8,…,a n-a n-1=2n(n≥2 .∴a n=1+4+6+…+2n=1+-=n2+n-1.∴a7=72+7-1=55.答案:C4.已知数列{a n}为 … +…+ … 如果b n=,那么数列{b n}的前n项和S n为()A. B. C. D.解析:∵a n=…,∴b n==4-,∴S n=4--…---=4-.答案:B5.已知数列{a n}的前n项和为S n=n2+n+1,则a n=.解析:当n=1时,a1=S1=3;当n≥2时,a n=S n-S n-1=n2+n+1-[(n-1)2+(n-1)+1]=2n.此时,当n=1时,2n=2≠3.所以a n=答案:6.设S n是等差数列{a n}的前n项和,已知S6=36,S n=324,若S n-6=144(n>6),则数列的项数n为.解析:由题意可知…- … - - ①②由①+②,得(a 1+a n )+(a 2+a n-1)+…+(a 6+a n-5)=216,∴6(a 1+a n )=216,∴a 1+a n =36.∴S n ==18n=324,∴n=18. 答案:187.设数列{a n }的前n 项和为S n ,a 1=1,a n =+2(n-1)(n ∈N +).(1)求证:数列{a n }为等差数列,并求a n 与S n ; (2)是否存在自然数n ,使得S 1++…+-(n-1)2=2 019?若存在,求出n 的值;若不存在,请说明理由. (1)证明由a n =+2(n-1),得S n =na n -2n (n-1)(n ∈N +).当n ≥2时,a n =S n -S n-1=na n -(n-1)a n-1-4(n-1),即a n -a n-1=4, 故数列{a n }是以1为首项,4为公差的等差数列. 于是,a n =4n-3,S n ==2n 2-n. (2)解存在自然数n 使得S 1++…+-(n-1)2=2 019成立.理由如下:由(1),得 =2n-1(n ∈N +), 所以S 1++…+-(n-1)2=1+3+5+7+…+(2n-1)-(n-1)2=n 2-(n-1)2=2n-1. 令2n-1=2 019,得n=1 010,所以存在满足条件的自然数n 为1 010. 8.数列{a n }的前n 项和S n =100n-n 2(n ∈N +). (1)求证{a n }是等差数列;(2)设b n =|a n |,求数列{b n }的前n 项和. (1)证明a n =S n -S n-1=(100n-n 2)-[100(n-1)-(n-1)2] =101-2n (n ≥2 .∵a 1=S 1=100×1-12=99=101-2×1,∴数列{a n }的通项公式为a n =101-2n (n ∈N +).又a n+1-a n =-2为常数,∴数列{a n }是首项a 1=99,公差d=-2的等差数列. (2)解令a n =101-2n ≥0 得n ≤50.5.。