2020年 高三数学-2020潍坊一模试卷讲评(几何专题)第10题 课件
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（A）线段 CA1 的三等分点，且靠近点 A1
z
A11
BB11
P
P
D1 D1 C1 C1
F
(
3 4
a,
0,
1 4
a)
，设
uuur A1P
=
l
uuur A1C,l
?
[0,1] ,
uuur uuur A1P = l A1C=l（a,a,- a）=（l a,l a,- l a），
P（l a,l a,a - l a）
（A）线段 CA1 的三等分点，且靠近点 A1
A1 P
A1
B1 P
M
A N B
D1
A1
C1
B1 E
P
D C
M
F
A
N B
D1 C1
D C
A1
E
P
F B
F
B
C
A1
C
P
F
B
C
策略2：特殊化【特殊到一般】
（10）如图，在正方体 ABCD - M A1B1C1D1中， ，N 分别是棱 AB ，BB1 的中点，点 P 在对角线CA1
启示：
➢ 1.熟悉正方体内特殊的点、线、面及之间的位置关系 ➢ 2.运动变化问题从不变出发，探究变化规律 ➢ 3.综合复杂的客观题，方法的选择：检验排除、特殊化等
反馈练习
（1.（2013 理）（14）如图，在棱长为 2 的正方体 ABCD A1B1C1D1 中， E 为 BC 的中点，点 P 在线 25
段 D1E 上．点 P 到直线 CC1 的距离的最小值为
5．
反馈练习
2.（2018 文）（8）已知正方体 ABCD A1B1C1D1 的棱长为 2， M , N 分别是棱 BC、C1D1 的中点，
点 P 在平面 A1B1C1D1内，点 Q 在线段 A1N 上.若 PM 5 ，则 PQ 长度的最小值为( C )
上运动．当 △PMN 的面积取得最小值时，点 P 的位置是
（A）线段 CA1 的三等分点，且靠近点 A1
A1
B1 P
M
A N B
D1
A1
C1
P
F
D
B
C
A1
F
C
B
P C
此时 D A1PF 与 D A1BC 相似， 所以 A1P = A1F
A1B A1C
A1P =
A1BgA1F = A1C
2ag3 2a 4= 3a
P
C1
取 MN 的中点 F（ A1B I MN = F ），
所以三角形 MN 边上的高就是PF
F
D
B
C
A1
F
C
B
P C
策略4：坐标法
（10）如图，在正方体 ABCD - M A1B1C1D1中， ，N 分别是棱 AB ，BB1 的中点，点 P 在对角线CA1
上运动．当 △PMN 的面积取得最小值时，点 P 的位置是
PF 2 = PE2 + EF 2 = (3a )2 + (1 2a - 1 2a)2 = 9 a2
44
4
16
策略2：特殊化
（（10）如图，在正方体 ABCD - M A1B1C1D1中， ， N 分别是棱 AB ， BB1 的中点，点 P 在对角
线 CA1 上运动．当 △PMN 的面积取得最小值时，点 P 的位置是
高三年级数学学科
2020朝阳一模试卷讲评（几何专题） 第10题
01
立体几何部分
题目：10、12、17
立体几何部分—运动变化
（10）如图，在正方体 ABCD - A1B1C1D1中， M ， N 分别是棱 AB ， BB1 的中点，点 P 在对角线 CA1
上运动．当△PMN 的面积取得最小值时，点 P 的位置是
22
4
8
（C）线段 CA1 的三等分点，且靠近点 C
A
D
（D）线段 CA1 的四等分点，且靠近点 C
A1
D1
B1
C1
N
B
C
A1
E
P
A1 B1
M
D1 C1
M
P
F
A
D
N
B
B
C
PF 2 = PE2 + EF 2 = ( 2a )2 + (1 2a - 1 2a)2 = 11 a2
33
4
24
A
P D
N
CБайду номын сангаас
B
C
A1
（A）线段 CA1 的三等分点，且靠近点 A1
B1
（B）线段 CA1 的中点 （C）线段 CA1 的三等分点，且靠近点 C （D）线段 CA1 的四等分点，且靠近点 C
MN边上高
最小
N
A
M B
D1 C1
P D
C
策略1：检验选项
（10）如图，在正方体 ABCD - M A1B1C1D1中， ，N 分别是棱 AB ，BB1 的中点，点 P 在对角线 CA1
上运动．当△PMN 的面积取得最小值时，点 P 的位置是
（A）线段 CA1 的三等分点，且靠近点 A1 （B）线段 CA1 的中点 （C）线段 CA1 的三等分点，且靠近点 C
策略1：检验选项 策略2：特殊化
策略3：直观想象 策略4：坐标法
A1
B1
N A
M B
D1 C1
P D
C
（D）线段 CA1 的四等分点，且靠近点 C
33
4
24
策略1：检验选项
（10）如图，在正方体 ABCD - A1B1C1D1中，M ， N 分别是棱 AB ， BB1 的中点，点 P 在对角线CA1 上运动．当△PMN 的面积取
得最小值时，点 P 的位置是
B
A1 B1
D1 C1
（B）线段 CA1 的中点
P M
PF 2 = PE2 + EF 2 = ( a )2 + (1 2a - 1 2a)2 = 3 a2
M
M
F
A
A
BN
x
N
B
Dy
D
C
C
FP2 = (l - 3)2 a2 + l 2a2 + (3 - l )2 a2 = (3l 2 - 3l + 9)a2
4
4
8
由二次函数可知 l = 1 Î [0,1] 取到最小值 2
A1 P
F
B
C
立体几何部分—运动变化
（10）如图，在正方体 ABCD - A1B1C1D1中， M ， N 分别是棱 AB ， BB1 的中点，点 P 在对角线 CA1
上运动．当△PMN 的面积取得最小值时，点 P 的位置是
（A）线段 CA1 的三等分点，且靠近点 A1
A1
B1 P
D1 C1
A1
B1 E
P
D1 C1
A1
E
P
M
A N B
D C
M
FA
N B
D
F
C
B
C
PF 2 = PE2 + EF 2 = ( a )2 + ( 2 2a - 1 2a)2 = 11 a2
3a 2
策略3：直观想象
（10）如图，在正方体 ABCD - M A1B1C1D1中， ，N 分别是棱 AB ，BB1 的中点，点 P 在对角线CA1 上运动．当 △PMN 的面积取得最小值时，点 P 的位置是
（A）线段 CA1 的三等分点，且靠近点 A1
A1
B1 P
M
A N B
A1
D1
由正方体的对称性，可知PM=PN ，
(A) 2 1（B） 2 （C） 3 5 1 （D） 3 5
5
5
z
A11
BB11
P
P
D1 D1 C1 C1
F
(
3 4
a,
0,
1 4
a)
，设
uuur A1P
=
l
uuur A1C,l
?
[0,1] ,
uuur uuur A1P = l A1C=l（a,a,- a）=（l a,l a,- l a），
P（l a,l a,a - l a）
（A）线段 CA1 的三等分点，且靠近点 A1
A1 P
A1
B1 P
M
A N B
D1
A1
C1
B1 E
P
D C
M
F
A
N B
D1 C1
D C
A1
E
P
F B
F
B
C
A1
C
P
F
B
C
策略2：特殊化【特殊到一般】
（10）如图，在正方体 ABCD - M A1B1C1D1中， ，N 分别是棱 AB ，BB1 的中点，点 P 在对角线CA1
启示：
➢ 1.熟悉正方体内特殊的点、线、面及之间的位置关系 ➢ 2.运动变化问题从不变出发，探究变化规律 ➢ 3.综合复杂的客观题，方法的选择：检验排除、特殊化等
反馈练习
（1.（2013 理）（14）如图，在棱长为 2 的正方体 ABCD A1B1C1D1 中， E 为 BC 的中点，点 P 在线 25
段 D1E 上．点 P 到直线 CC1 的距离的最小值为
5．
反馈练习
2.（2018 文）（8）已知正方体 ABCD A1B1C1D1 的棱长为 2， M , N 分别是棱 BC、C1D1 的中点，
点 P 在平面 A1B1C1D1内，点 Q 在线段 A1N 上.若 PM 5 ，则 PQ 长度的最小值为( C )
上运动．当 △PMN 的面积取得最小值时，点 P 的位置是
（A）线段 CA1 的三等分点，且靠近点 A1
A1
B1 P
M
A N B
D1
A1
C1
P
F
D
B
C
A1
F
C
B
P C
此时 D A1PF 与 D A1BC 相似， 所以 A1P = A1F
A1B A1C
A1P =
A1BgA1F = A1C
2ag3 2a 4= 3a
P
C1
取 MN 的中点 F（ A1B I MN = F ），
所以三角形 MN 边上的高就是PF
F
D
B
C
A1
F
C
B
P C
策略4：坐标法
（10）如图，在正方体 ABCD - M A1B1C1D1中， ，N 分别是棱 AB ，BB1 的中点，点 P 在对角线CA1
上运动．当 △PMN 的面积取得最小值时，点 P 的位置是
PF 2 = PE2 + EF 2 = (3a )2 + (1 2a - 1 2a)2 = 9 a2
44
4
16
策略2：特殊化
（（10）如图，在正方体 ABCD - M A1B1C1D1中， ， N 分别是棱 AB ， BB1 的中点，点 P 在对角
线 CA1 上运动．当 △PMN 的面积取得最小值时，点 P 的位置是
高三年级数学学科
2020朝阳一模试卷讲评（几何专题） 第10题
01
立体几何部分
题目：10、12、17
立体几何部分—运动变化
（10）如图，在正方体 ABCD - A1B1C1D1中， M ， N 分别是棱 AB ， BB1 的中点，点 P 在对角线 CA1
上运动．当△PMN 的面积取得最小值时，点 P 的位置是
22
4
8
（C）线段 CA1 的三等分点，且靠近点 C
A
D
（D）线段 CA1 的四等分点，且靠近点 C
A1
D1
B1
C1
N
B
C
A1
E
P
A1 B1
M
D1 C1
M
P
F
A
D
N
B
B
C
PF 2 = PE2 + EF 2 = ( 2a )2 + (1 2a - 1 2a)2 = 11 a2
33
4
24
A
P D
N
CБайду номын сангаас
B
C
A1
（A）线段 CA1 的三等分点，且靠近点 A1
B1
（B）线段 CA1 的中点 （C）线段 CA1 的三等分点，且靠近点 C （D）线段 CA1 的四等分点，且靠近点 C
MN边上高
最小
N
A
M B
D1 C1
P D
C
策略1：检验选项
（10）如图，在正方体 ABCD - M A1B1C1D1中， ，N 分别是棱 AB ，BB1 的中点，点 P 在对角线 CA1
上运动．当△PMN 的面积取得最小值时，点 P 的位置是
（A）线段 CA1 的三等分点，且靠近点 A1 （B）线段 CA1 的中点 （C）线段 CA1 的三等分点，且靠近点 C
策略1：检验选项 策略2：特殊化
策略3：直观想象 策略4：坐标法
A1
B1
N A
M B
D1 C1
P D
C
（D）线段 CA1 的四等分点，且靠近点 C
33
4
24
策略1：检验选项
（10）如图，在正方体 ABCD - A1B1C1D1中，M ， N 分别是棱 AB ， BB1 的中点，点 P 在对角线CA1 上运动．当△PMN 的面积取
得最小值时，点 P 的位置是
B
A1 B1
D1 C1
（B）线段 CA1 的中点
P M
PF 2 = PE2 + EF 2 = ( a )2 + (1 2a - 1 2a)2 = 3 a2
M
M
F
A
A
BN
x
N
B
Dy
D
C
C
FP2 = (l - 3)2 a2 + l 2a2 + (3 - l )2 a2 = (3l 2 - 3l + 9)a2
4
4
8
由二次函数可知 l = 1 Î [0,1] 取到最小值 2
A1 P
F
B
C
立体几何部分—运动变化
（10）如图，在正方体 ABCD - A1B1C1D1中， M ， N 分别是棱 AB ， BB1 的中点，点 P 在对角线 CA1
上运动．当△PMN 的面积取得最小值时，点 P 的位置是
（A）线段 CA1 的三等分点，且靠近点 A1
A1
B1 P
D1 C1
A1
B1 E
P
D1 C1
A1
E
P
M
A N B
D C
M
FA
N B
D
F
C
B
C
PF 2 = PE2 + EF 2 = ( a )2 + ( 2 2a - 1 2a)2 = 11 a2
3a 2
策略3：直观想象
（10）如图，在正方体 ABCD - M A1B1C1D1中， ，N 分别是棱 AB ，BB1 的中点，点 P 在对角线CA1 上运动．当 △PMN 的面积取得最小值时，点 P 的位置是
（A）线段 CA1 的三等分点，且靠近点 A1
A1
B1 P
M
A N B
A1
D1
由正方体的对称性，可知PM=PN ，
(A) 2 1（B） 2 （C） 3 5 1 （D） 3 5
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