平面向量与三角函数

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平面向量的数量积和三角函数

平面向量的数量积和三角函数

平面向量的数量积和三角函数平面向量是代表平面上的有方向的量,数量积是计算两个向量之间的数值关系的运算。

而三角函数是用于描述角度的函数,可以与平面向量的数量积相结合,提供更多的几何和数学应用。

本文将详细讨论平面向量的数量积和与三角函数的关系。

一、平面向量的数量积平面向量的数量积又称为点积或内积,其定义为两个向量的模的乘积与它们夹角的余弦值之积。

假设有两个平面向量A and A,其数量积表示为A·A。

计算公式如下:A·A = |A||A|cos A其中,|A|和|A|分别表示向量A和A的模,A表示两个向量的夹角。

数量积的计算结果是一个实数,而不是向量。

它描述了两个向量之间的数量关系,包括它们的方向是否一致或相反,以及大小上的关系。

数量积还可以用于计算向量的夹角、判断两个向量是否垂直等。

二、平面向量的数量积与三角函数的关系平面向量的数量积与三角函数之间存在密切的关系。

通过数量积的计算结果,可以得到有关角度的信息,而这些角度可以用三角函数来表示。

1. 夹角的余弦值数量积的公式中涉及到的cos A可以通过三角函数来表示。

在直角三角形中,夹角的余弦值定义为对边与斜边之比。

若两个向量的数量积为A·A = |A||A|cos A,可以推导出:cos A = A·A / (|A||A|)这就是夹角余弦的定义式。

通过计算数量积的值,我们可以得到夹角的余弦值,并利用三角函数的反函数来计算角度的具体数值。

2. 利用数量积计算角度利用数量积的定义式A·A = |A||A|cos A,我们可以将其改写为:cos A = (A·A) / (|A||A|)通过计算数量积和模的数值,再利用反余弦函数(arccos)即可计算出角度A的具体数值。

3. 应用示例假设有两个向量A = (3, 4) and A = (5, 2),我们可以计算它们的数量积为:A·A = (3)(5) + (4)(2) = 15 + 8 = 23接下来,我们可以通过数量积的定义计算它们夹角的余弦值:cos A = (23) / (|A||A|)|A| = √(3^2 + 4^2) = √(9 + 16) = √25 = 5|A| = √(5^2 + 2^2) = √(25 + 4) = √29将数值代入公式中,可以得到:cos A = (23) / (5)(√29) ≈ 0.995最后,计算角度A的具体数值:A = arccos(0.995) ≈ 5.74°通过平面向量的数量积以及夹角的计算,我们可以得到两个向量之间的夹角,并利用三角函数的相关知识进行角度的计算。

高考数学备考攻略平面向量与三角函数的综合应用

高考数学备考攻略平面向量与三角函数的综合应用

高考数学备考攻略平面向量与三角函数的综合应用高考数学备考攻略:平面向量与三角函数的综合应用在高考数学中,平面向量与三角函数是两个重要的概念和工具。

它们在各种数学问题中都有广泛的应用,特别是在几何和三角函数的综合题目中。

本文将介绍一些关于平面向量与三角函数的综合应用。

希望通过这些攻略,能够帮助大家在高考中更好地理解和应用这些知识点。

一、平面向量的几何应用平面向量的几何应用主要体现在它们的加法、减法、数量积、向量积等运算上。

下面将介绍其中的一些典型应用。

1. 平面向量的加法平面向量的加法可以用来解决平面上的位移问题。

例如,在平面直角坐标系中,有一个点A(2,3),以向量a(1,2)为位移,求终点B的坐标。

我们可以通过向量加法得到:B = A + a = (2,3) + (1,2) = (3,5)通过这个简单的例子,我们可以看到,平面向量的加法可以用来求解平面上的位移问题,这在几何中有着重要的应用。

2. 平面向量的数量积平面向量的数量积可以用来解决两个向量之间的夹角问题。

例如,已知两个向量a(3,4)和b(5,12),求它们的夹角θ。

我们可以通过向量的数量积求解:a·b = |a||b|cosθ其中,“·”表示向量的数量积,|a|和|b|分别表示向量的模,θ表示夹角。

根据给定的向量值代入公式计算,可以得到θ≈0.68弧度。

3. 平面向量的向量积平面向量的向量积可以用来解决平行四边形的面积、三角形的有向面积问题。

例如,在平面直角坐标系中,已知两个向量a(2,3)和b(4,1),求平行四边形的面积。

我们可以通过向量的向量积求解:S = |a×b|其中,“×”表示向量的向量积,|a×b|为向量的模。

根据给定的向量值代入公式计算,可以得到平行四边形的面积为2。

二、三角函数的综合应用三角函数是数学中的一个重要分支,在高考数学中占有很大的比重。

下面将介绍一些关于三角函数综合应用的例子。

三角函数与平面向量的关系

三角函数与平面向量的关系

三角函数与平面向量的关系在数学中,三角函数和平面向量是两个重要的概念和工具。

三角函数是研究角度和边长之间的关系的函数,而平面向量则是研究平面上各种物理量的大小和方向的工具。

本文将探讨三角函数与平面向量之间的联系和应用。

一、向量的定义和表示在平面几何中,向量是一个既有大小又有方向的量。

其表示可以使用箭头或者字母加上帽子来表示,例如向量AB可以表示为→AB或者ẑ。

向量的大小又称为向量的模,表示为|→AB|或者|ẑ|,可以通过勾股定理计算得到。

向量的方向可以使用角度来描述,例如与x轴的夹角θ。

二、平面向量的加法和减法平面向量的加法可以理解为几何上的向量相加。

假设有向量→AB和→AC,可以通过将它们放置在同一个起点,然后连接起来得到一个新的向量→AD,即向量→AD是→AB与→AC相加的结果。

平面向量的减法则是利用减法公式进行计算。

三、向量的数量积和点积平面向量的数量积(或点积)是两个向量的乘积,其结果是一个标量。

向量的数量积可以用下式计算:→AB⋅→AC=|→AB||→AC|cosθ,其中θ为向量→AB与→AC之间的夹角。

向量的数量积具有交换律和分配律等性质,可以用于计算两个向量的夹角、判断两个向量是否垂直、以及求解平面上的投影等问题。

四、三角函数的定义和性质三角函数是描述角度和边长之间关系的函数。

在直角三角形中,正弦函数定义为对边与斜边的比值,余弦函数定义为邻边与斜边的比值,正切函数定义为对边与邻边的比值。

它们可以用著名的SOH-CAH-TOA记忆法来帮助理解和应用。

此外,割函数、余割函数和正割函数等也是常见的三角函数。

五、三角函数与平面向量的关系三角函数与平面向量有着密切的关系,可以通过向量的数量积来推导和解释三角函数的性质。

例如,在直角三角形中,可以利用对边与斜边的比值得到正弦函数的定义,并通过向量→AB⋅→AC=|→AB||→AC|cosθ来得到正弦函数与向量的关系。

类似地,可以利用邻边与斜边的比值和向量的点积来推导余弦函数的定义,并得到余弦函数与向量的关系。

平面向量与三角函数的关系

平面向量与三角函数的关系

平面向量与三角函数的关系在数学中,平面向量和三角函数是两个重要的概念,它们之间存在着紧密的关联。

平面向量主要用来表示空间中的方向和大小,而三角函数则描述了角度和长度之间的关系。

本文将探讨平面向量与三角函数之间的关系,并介绍其在数学和物理中的应用。

一、平面向量的表示与性质平面向量可以用有序的数对表示,其中第一个数表示向量在x轴上的分量,第二个数表示向量在y轴上的分量。

例如,向量a可以表示为(a1, a2),其中a1为x轴分量,a2为y轴分量。

平面向量有以下性质:1. 向量的模:向量的模表示向量的大小,可以通过勾股定理计算得到。

对于向量a(a1, a2),它的模可以表示为|a| = √(a1² + a2²)。

2. 向量的方向角:向量的方向角表示向量与x轴正方向的夹角。

根据三角函数的定义,可以得到向量的方向角θ = arctan(a2 / a1)。

3. 向量的单位向量:单位向量是模为1的向量,可以表示为a/|a|。

单位向量的方向与原向量相同,但大小为1。

二、三角函数的定义与性质三角函数包括正弦函数(sin)、余弦函数(cos)和正切函数(tan)等。

它们的定义如下:1. 正弦函数:在直角三角形中,正弦函数表示对边与斜边的比值。

正弦函数的定义域为实数集,值域在[-1, 1]之间。

2. 余弦函数:在直角三角形中,余弦函数表示邻边与斜边的比值。

余弦函数的定义域为实数集,值域在[-1, 1]之间。

3. 正切函数:在直角三角形中,正切函数表示对边与邻边的比值。

正切函数的定义域为实数集,值域为全体实数。

三、平面向量与三角函数之间存在着一种重要的关系,即向量的模可以与其方向角的三角函数相关联。

具体而言,对于向量a(a1, a2),有以下关系:1. a的模与sinθ的关系:|a| = √(a1² + a2²) = √[(|a1|^2 + |a2|^2) * (sin²θ + cos²θ)] = √(sin²θ + cos²θ) * √(|a1|^2 + |a2|^2) = √(|a1|^2 + |a2|^2)2. a的模与cosθ的关系:|a| = √(a1² + a2²) = √[(|a1|^2 + |a2|^2) * (sin²θ + cos²θ)] = √(sin²θ + cos²θ) * √(|a1|^2 + |a2|^2) = √(|a1|^2 + |a2|^2)3. a的模与tanθ的关系:|a| = √(a1² + a2²) = √[(|a1|^2 + |a2|^2) * (sin²θ + cos²θ)] = √(sin²θ + cos²θ) * √(|a1|^2 + |a2|^2) = √(|a1|^2 + |a2|^2)由上述关系可知,向量的模与其方向角的三角函数之间存在着简洁的关系,通过利用这些关系,我们可以在计算中更加方便地处理向量的模和角度。

平面向量与三角函数的综合计算与应用解析与归纳

平面向量与三角函数的综合计算与应用解析与归纳

平面向量与三角函数的综合计算与应用解析与归纳引言:平面向量作为数学中的重要概念之一,与三角函数有着密切的联系。

通过对平面向量与三角函数的综合运用,我们可以解决各种实际问题,并深入理解它们在数学中的应用。

本文将通过计算、解析和归纳的方式,探讨平面向量与三角函数的综合应用。

一、平面向量与三角函数的基本关系在开始讨论平面向量与三角函数的综合计算与应用之前,我们先来回顾一下它们之间的基本关系。

1. 平面向量的表示平面向量可以用有序数对表示,一个二维向量A可以表示为A = (a, b),其中a为向量在x轴上的分量,b为向量在y轴上的分量。

同时,向量A也可以表示为矩阵形式:A = [a, b]2. 平面向量的运算平面向量可以进行加法和数量乘法运算。

加法运算即将两个向量的对应分量相加,例如A + B = (a1 + b1, a2 + b2),其中A = (a1, a2),B = (b1, b2)。

数量乘法即向量的每一个分量都乘以相同的数,例如kA = (ka1, ka2),其中k为任意实数。

3. 三角函数的定义三角函数是常用的数学函数,由直角三角形的边长比定义。

其中,正弦函数s inθ的定义为:sinθ = 长边/斜边,余弦函数cosθ的定义为:cosθ = 邻边/斜边,正切函数tanθ的定义为:tanθ = 长边/邻边。

二、平面向量与三角函数的综合计算与应用在了解了平面向量与三角函数的基本关系后,我们可以通过综合计算与应用来加深对它们的理解。

1. 平面向量与三角函数之间的关系根据平面向量的定义和三角函数的定义,我们可以得出以下结论:对于任意角θ,设与角θ 相对的边向量为A,斜边向量为B,则有:A = [sinθ, cosθ]B = [sinθ, cosθ]2. 平面向量的模与方向平面向量的模表示向量的长度,可以通过勾股定理来计算。

对于向量A = (a, b),其模记为|A|,计算公式为:|A| = √(a^2 + b^2)向量的方向可以用角度来表示,可以通过以下公式计算:θ = arctan(b/a)3. 平面向量的点积与叉积平面向量的点积和叉积是平面向量运算中的两个重要概念。

平面向量与三角函数的_碰撞_

平面向量与三角函数的_碰撞_

( A ) 等边三角形 ( sinx - cosx, ( B) 直角三角形 ( C) 等腰非等边三角形 ( D ) 三边均不相等的三角形 解: 由 ( → → → AC AB + ) BC = 0可知 , 由 → → | AB | | AC |
→ → 与 AB, A C 同向的单位向量 , 构成的平行四边形 的对角线与 BC 垂直, 则可推出 → AB 三角形 . 由 → | AB | 60 , 所以 ABC 为等腰 BAC = → AC 1 = , 可知 → 2 | AC |
= 1 + 2sin ( 2x + 由 1 + 2sin ( 2x + 得 sin ( 2x + 因为 所以 所以 2x + 3 2 6 x 2x + =3 6
) = 1- 3 , 3 . 2
6
) =3 ,
图象如图 1 所示, 则平移 后的图象所对应函数的解析式是 ( ( A ) y = sin ( x + ( B ) y = sin (x ( C ) y = sin ( 2x + ( D ) y = sin ( 2x 6 6 ) ) ) )
7 3 ( + ) = , 所以 12 6 2 ( C ).
→ 评析: 将三角函数的图象按向量 a = ( , 0 ) 平移, 要注意平移的方向性 , 一般地 , 当 22 <
数理化学习 ( 高中版 ) → → → → ( b + c ), 其中向量 a = ( sinx, - cosx ), b → = ( sinx, - 3cosx ), c = ( - co sx, sinx ), x R . (Ⅰ ) 求函数 f ( x ) 的最大值和最小正周期 ; → ( Ⅱ ) 将函数 y = f ( x ) 的图象按向量 d 平移 , 使平移后 得到的图象关于坐标原点成中心对 → 称 , 求长度最小的 d . 解 : (Ⅰ ) 由题意得 → → → f( x ) = a ( b + c ) = ( sinx, - co sx ) sinx - 3co sx ) = sin x - 2sinx co sx + 3co s x = 2 + co s2x - sin2x 3 ). = 2 + 2sin ( 2x + 4 所以, f ( x ) 的最大值为 2 + 2 , 最小正周期 是 2 = 2 . 3 ) = 0得 4

平面向量与三角函数的关系

平面向量与三角函数的关系

平面向量与三角函数的关系平面向量是数学中一个重要的概念,而三角函数则是数学中不可或缺的工具。

本文将探讨平面向量与三角函数之间的关系,揭示它们在数学和物理问题中的应用。

一、平面向量的定义与表示方法平面向量是指具有大小和方向的量,通常用箭头表示。

一个平面向量可以由两个有序实数构成,分别表示向量在水平方向和垂直方向的分量。

常用的表示方法有坐标表示法和向量代数表示法。

二、平面向量的加减运算平面向量的加法和减法运算可以理解为将向量按照箭头首尾相接的方式进行连接或相减。

具体计算时,将向量的坐标分量相加或相减即可。

三、平面向量的数量积平面向量的数量积又称为点积或内积,用符号"·"表示。

数量积的结果是一个实数,表示两个向量的夹角的余弦值与向量的模的乘积。

数量积的计算公式为:A·B = |A||B|cosθ,其中A和B分别为平面向量,θ为它们的夹角。

四、平面向量的叉积平面向量的叉积又称为向量积或外积,用符号"×"表示。

叉积的结果是一个向量,垂直于原来两个向量所在的平面,并满足右手定则。

叉积的计算公式为:A×B = |A||B|sinθn,其中A和B分别为平面向量,θ为它们的夹角,n为垂直于二维平面的单位向量。

五、三角函数的定义与性质三角函数是以三角形的边长比值来定义的。

常见的三角函数有正弦函数、余弦函数和正切函数等。

它们的定义与性质如下:1. 正弦函数:sinθ = 对边/斜边;2. 余弦函数:cosθ = 邻边/斜边;3. 正切函数:tanθ = 对边/邻边;4. 三角函数的周期性和奇偶性等性质。

六、平面向量与三角函数的关系平面向量与三角函数之间存在着密切的关系。

具体来说,平面向量A的模可以表示为:|A| = √(x² + y²),其中(x, y)为向量的坐标分量。

而三角函数中的正弦函数和余弦函数也是以二维平面上的点的坐标为基础来定义的。

三角函数与平面向量的综合应用

三角函数与平面向量的综合应用

ʏ山东省威海市第二中学丛丽伟三角函数与平面向量之间的交汇与综合问题,一直是高考数学试卷中比较常见的一类热点问题,通过平面向量的工具性加以转化问题,结合三角函数中的概念及相应公式加以恒等变换,有时涉及正㊁余弦定理等相关知识,用来综合考查三角函数的基础知识㊁基本公式㊁基本技能与基本应用等㊂一㊁三角函数的求值与平面向量的综合以平面向量为载体,利用诱导公式㊁同角三角函数关系式㊁两角和与差的三角函数及倍角公式等解决三角函数中的求值问题,是高考的重要考向,考查同学们分析问题㊁解决问题的能力㊂例1已知向量m=(s i n x,3c o s x),n=(s i n x,s i n x),函数f(x)=m㊃n㊂(1)求fπ12的值;(2)当xɪ0,π2时,求函数f(x)的最大值与最小值㊂分析:(1)根据题设条件,利用平面向量的数量积公式,通过数量积的坐标运算来构建函数f(x)的解析式,把x=π12代入即可;(2)利用题设中x的取值范围所对应角的取值范围,结合三角函数的图像与性质来确定三角函数在给定区间上的最大值与最小值㊂解:(1)依题意可得f(x)=m㊃n=(s i n x,3c o s x)㊃(s i n x,s i n x)=s i n2x+3c o s x s i n x=1-c o s2x2+32s i n2x=32s i n2x-12c o s2x+12=s i n2x-π6+12,故fπ12=s i n2ˑπ12-π6+12=12㊂(2)当xɪ0,π2时,有2x-π6ɪ-π6,5π6㊂故当2x-π6=π2,即x=π3时,f(x)m a x=s i nπ2+12=1+12=32;当2x-π6=-π6,即x=0时,f(x)m i n=s i n-π6+12=-12+12=0㊂规律方法:平面向量在三角函数求值中的应用步骤:(1)利用平面向量的基本性质㊁运算公式㊁数量积等构建对应的三角函数关系式,特别是涉及向量的平行与垂直关系等;(2)利用三角恒等变换公式,以及题设条件中的角的取值限制等,通过三角函数的图像与性质来分析与求解㊂二㊁三角函数的性质与平面向量的综合以平面向量的坐标运算为载体,引入三角函数,通过三角恒等变换化为一个角的三角函数,重点考查三角函数的单调性㊁周期性㊁最值㊁取值范围及三角函数的图像变换等㊂例2已知向量m=(s i n x,-1),n=c o s x,32,函数f(x)=(m+n)㊃m㊂(1)求函数f(x)的最小正周期及单调递增区间;(2)当xɪ0,π2时,求函数f(x)的值域;(3)将函数f(x)的图像左移3π8个单位32解题篇创新题追根溯源高考数学2024年1月长度后得函数g (x )的图像,求函数g (x )在-π3,π3上的最大值㊂分析:(1)根据题设条件,通过向量的坐标运算及数量积公式,构建三角函数f (x )的解析式,并通过三角恒等变换转化为正弦型函数,进而求解对应的基本性质;(2)结合题设条件中角的取值范围,通过三角函数的图像与性质来确定函数的最值,进而得以确定函数f (x )的值域;(3)利用三角函数图像的平移变换可得函数g (x )的解析式,进而利用三角函数的图像与性质来求解最大值问题㊂解:(1)由已知可得f (x )=(m +n )㊃m =s i n x +c o s x ,12㊃(s i n x ,-1)=s i n 2x +s i n x c o s x -12=12s i n 2x -12c o s 2x =22s i n 2x -π4㊂故f (x )的最小正周期T =2π2=π㊂由2k π-π2ɤ2x -π4ɤ2k π+π2,k ɪZ ,可得k π-π8ɤx ɤk π+3π8,k ɪZ ,所以函数f (x )的单调递增区间是k π-π8,k π+3π8(k ɪZ )㊂(2)当x ɪ0,π2时,有2x -π4ɪ-π4,3π4 ,故-22ɤs i n 2x -π4 ɤ1,所以-12ɤ22s i n 2x -π4ɤ22㊂所以当x ɪ0,π2 时,函数f (x )的值域为-12,22㊂(3)根据题意可得函数g (x )=22s i n 2x +3π8-π4 =22s i n 2x +π2=22c o s 2x ㊂当x ɪ-π3,π3时,有2x ɪ-2π3,2π3㊂所以当2x =0,即x =0时,g (x )m a x =22c o s 0=22㊂规律方法:平面向量与三角函数的基本性质的综合问题的解法:(1)利用向量的相关概念㊁公式等构建相应的三角函数解析式;(2)利用三角恒等变换公式等将相应的三角函数关系式转化为正弦型(或余弦型)函数;(3)根据三角函数的图像与性质来研究相关函数的基本性质问题㊂三、平面向量在三角形计算中的应用以平面向量的线性运算㊁数量积为载体,考查三角形中正㊁余弦定理的应用,以及简单的三角恒等变换,主要解决三角形中的边㊁角及面积等问题㊂例3 在әA B C中,内角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c ,已知s i n C =2s i n (B +C )㊃c o s B ㊂(1)判断әA B C 的形状;(2)设向量m =(a +c ,b ),n =(b +a ,c -a ),若m ʊn ,求A ㊂分析:(1)利用三角形的内角和公式A +B +C =π转化角后,结合题设条件进行消元处理,进而得到涉及角A ,B 的基本关系,结合三角函数值及三角形的性质来分析与判断;(2)利用两平面向量平行的关系,结合向量的坐标加以转化与应用,合理构建三角形中边与角的关系式,进而利用余弦定理加以分析与求解㊂解:(1)在әA B C 中,因为s i n C =s i n (A +B ),s i n A =s i n (B +C ),所以s i n C=s i n (A +B )=2s i n (B +C )c o s B =2s i n A c o s B ,所以s i n A c o s B +c o s A s i n B=2s i n A c o s B ,即s i n A c o s B -c o s A s i n B =0,即s i n (A -B )=0㊂又因为-π<A -B <π,所以A -B =0,即A =B ,故әA B C 为等腰三角形㊂(2)由m ʊn 得(a +c )(c -a )=b (b +a ),展开整理得b 2+a 2-c 2=-a b ,所以c o s C =a 2+b 2-c 22a b =-12㊂42 解题篇 创新题追根溯源 高考数学 2024年1月因为0<C<π,所以C=2π3㊂又A=B,故A+B=π3,所以A=π6㊂规律方法:平面向量与三角形计算综合问题的解法:(1)借助平面向量的基本概念㊁基本公式等,往往可以合理构建三角函数关系式,为利用解三角形来处理问题奠定基础;(2)合理综合解三角形㊁三角函数及平面向量的相关知识加以合理转化与巧妙应用㊂特别地,在解决三角形中的向量夹角问题时需注意向量的方向㊂四㊁三角函数㊁平面向量与其他知识的综合应用以平面向量为问题场景,通过坐标公式㊁数量积公式等变形,转化为相应的三角函数问题,综合函数与方程㊁不等式等其他相关知识来分析与综合,也是高考中比较常见的一类综合应用问题㊂例4设向量a=(4s i n x,c o s x-s i n x),b=s i n2π+2x4,c o s x+s i n x,函数f(x)=a㊃b㊂(1)求函数f(x)的解析式;(2)已知常数ω>0,若y=f(ωx)在-π2,2π3上是增函数,求ω的取值范围;(3)设集合A=xπ6ɤxɤ2π3,B= {x||f(x)-m|<2},若A⊆B,求实数m的取值范围㊂分析:(1)利用向量的数量积把三角函数关系式加以转化,即可得到函数f(x)= 2s i n x+1;(2)根据三角函数在给定区间上的单调性,通过不等式组的求解来确定参数的取值范围;(3)结合绝对值不等式的求解㊁集合的包含关系㊁三角关系式的最值,以及三角函数的图像与性质来加以直观转化与求解㊂解:(1)因为a=(4s i n x,c o s x-s i n x), b=s i n2π+2x4,c o s x+s i n x,所以函数f(x)=a㊃b=4s i n xˑs i n2π+2x4+(c o s x-s i n x)ˑ(c o s x+s i n x)= 4s i n x㊃1-c o sπ2+x2+c o s2x= 2s i n x(1+s i n x)+1-2s i n2x=2s i n x+1㊂(2)由于f(ωx)=2s i nωx+1,由2kπ-π2ɤωxɤ2kπ+π2,kɪZ,可得函数y= f(ωx)的增区间是2kπω-π2ω,2kπω+π2ω,kɪZ㊂又因为y=f(ωx)在区间-π2,2π3上是增函数,所以-π2,2π3⊆-π2ω,π2ω,即-π2ωɤ-π2,2π3ɤπ2ω,解得0<ωɤ34㊂所以ω的取值范围为0,34㊂(3)由|f(x)-m|<2解得-2<m-f(x)<2,即f(x)-2<m<f(x)+2㊂因为A⊆B,所以当π6ɤxɤ2π3时,不等式f(x)-2<m<f(x)+2恒成立㊂所以[f(x)-2]m a x<m<[f(x)+2]m i n,即[f(x)]m a x-2<m<[f(x)]m i n+2㊂因为f(x)=2s i n x+1,所以在π6,2π3上,[f(x)]m a x=fπ2=3, [f(x)]m i n=fπ6=2,所以1<m<4㊂故实数m的取值范围为(1,4)㊂规律方法:本题巧妙地把平面向量㊁三角函数㊁集合㊁不等式等相关知识加以交汇,以平面向量为问题背景,通过平面向量的数量积为媒介,结合三角函数的图像与性质来考查数学基本知识点,得以达到提高数学品质与提升数学能力的目的㊂注意高考中三角函数与平面向量的交汇综合问题往往以平面向量的相关概念与数量积等来建立相应的三角函数关系式,结合三角函数的基本公式与三角恒等变换公式㊁解三角形公式等来综合考查,一般难度中等,真正达到考查能力,注意应用的目的㊂(责任编辑王福华)52解题篇创新题追根溯源高考数学2024年1月。

三角函数与平面向量

三角函数与平面向量

三角函数与平面向量三角函数和平面向量是数学中最常用的基础概念,两者之间具有紧密的联系。

三角函数是一类特殊的数学函数,它是以弧度为单位、以正弦函数、余弦函数和正切函数为基础的函数,它们可以表示圆上任意一点的位置。

而平面向量是一种特殊的几何形式,它以一个箭头来表示,由一个起点和一个终点组成,可以表示二维平面上的任意方向。

三角函数和平面向量之间的关系可以从三个方面来理解:第一,三角函数可以用来表示平面向量的大小;第二,三角函数可以用来表示平面向量的方向;第三,三角函数可以用来表示平面向量的旋转。

(1)三角函数可以用来表示平面向量的大小。

如果将一个平面向量等分成两部分,一部分为x轴方向的分量,另一部分为y轴方向的分量,那么这两个分量的比例就可以用三角函数来表示。

具体来说,如果将平面向量的起点固定在原点,那么平面向量的长度可以用极坐标系中的模m=|a|=√(x2+y2)来表示,而平面向量的方向可以用极角θ=arctan(y/x)来表示,其中x和y分别为平面向量的x 轴和y轴分量。

(2)三角函数可以用来表示平面向量的方向。

平面向量的方向可以用极角θ=arctan(y/x)来表示,其中x和y分别为平面向量的x轴和y轴分量。

这里的极角θ可以被看作是平面向量的方向,即平面向量与x轴之间的夹角。

通过求解极角θ,就可以得到平面向量的方向。

(3)三角函数可以用来表示平面向量的旋转。

在三维空间中,平面向量可以沿着一个指定的轴旋转,而这个旋转的角度可以用三角函数来表示。

比如,在二维空间中,平面向量沿着x轴旋转θ角度后,可以使用余弦函数cosθ来表示新的x轴分量,使用正弦函数sinθ来表示新的y轴分量,从而可以得到新的平面向量。

总之,三角函数和平面向量之间具有千丝万缕的联系,它们在数学中都具有重要的意义,在几何学中也发挥着重要的作用。

只有充分理解了它们之间的联系,才能在数学和几何学中取得更好的成绩。

三角函数平面向量知识与公式总结

三角函数平面向量知识与公式总结

三角函数平面向量知识与公式总结三角函数和平面向量是数学中非常重要的概念,它们在解决几何问题、物理问题和工程问题中起着重要的作用。

本文将对三角函数和平面向量的知识进行总结,并介绍常用的公式和性质。

一、三角函数2. 余弦函数:在直角三角形中,余弦函数被定义为邻边与斜边的比值。

其定义域为实数集R。

常用的余弦函数记作cos(x)。

余弦函数也具有周期性,即cos(x+2π)=cos(x)。

3. 正切函数:在直角三角形中,正切函数被定义为对边与邻边的比值。

其定义域为实数集R-{(2k+1)π/2, k∈Z}。

常用的正切函数记作tan(x)。

正切函数也具有周期性,即tan(x+π)=tan(x)。

4. 余切函数:在直角三角形中,余切函数被定义为邻边与对边的比值。

其定义域为实数集R-{kπ, k∈Z}。

常用的余切函数记作cot(x)。

余切函数也具有周期性,即cot(x+π)=cot(x)。

5. 正割函数:在直角三角形中,正割函数被定义为斜边与邻边的比值。

其定义域为实数集R-{(2k+1)π/2, k∈Z}。

常用的正割函数记作sec(x)。

正割函数也具有周期性,即sec(x+2π)=sec(x)。

6. 余割函数:在直角三角形中,余割函数被定义为斜边与对边的比值。

其定义域为实数集R-{kπ, k∈Z}。

常用的余割函数记作csc(x)。

余割函数也具有周期性,即csc(x+2π)=csc(x)。

三角函数之间有一些重要的关系:1.三角函数的互逆关系:sin(x) = 1/csc(x)cos(x) = 1/sec(x)tan(x) = 1/cot(x)cot(x) = 1/tan(x)sec(x) = 1/cos(x)csc(x) = 1/sin(x)2.三角函数的和差化积公式:sin(x+y) = sin(x)cos(y) + cos(x)sin(y)cos(x+y) = cos(x)cos(y) - sin(x)sin(y)tan(x+y) = (tan(x)+tan(y))/(1-tan(x)tan(y))3.三角函数的倍角公式:sin(2x) = 2sin(x)cos(x)cos(2x) = cos^2(x) - sin^2(x)tan(2x) = 2tan(x)/(1-tan^2(x))4.三角函数的半角公式:sin(x/2) = ±√((1-cos(x))/2)co s(x/2) = ±√((1+cos(x))/2)tan(x/2) = ±√((1-cos(x))/(1+cos(x)))二、平面向量1.平面向量的定义:平面向量是具有大小和方向的量。

平面向量与三角函数的关系

平面向量与三角函数的关系

平面向量与三角函数的关系在数学中,平面向量和三角函数是两个重要的概念,并且它们之间存在着一定的关系。

本文将介绍平面向量与三角函数的相关性质和应用。

一、向量在直角坐标系中的表示在直角坐标系中,一个向量可以由其在横轴上的分量和在纵轴上的分量来表示。

假设有一个平面向量a,其水平分量为a₁,垂直分量为a₂,则可以用有序数对(a₁, a₂)表示向量a。

其中,a₁沿着横轴的正方向表示,a₂沿着纵轴的正方向表示。

二、向量的模和角度表示向量的模表示向量的长度,也叫作向量的大小。

设向量a的模为|a|,则有|a| = √(a₁² + a₂²)。

其中,a₁和a₂分别为向量a在横轴和纵轴上的分量。

另外,向量还可以用角度来表示。

假设有一个向量a,与横轴之间的夹角为θ,则有tanθ = a₂/a₁,即θ = arctan(a₂/a₁)。

其中,arctan表示反正切函数。

三、平面向量的加法和减法平面向量的加法和减法可以类比数的加法和减法。

设有两个向量a和b,分别表示为(a₁, a₂)和(b₁, b₂)。

向量的加法可以表示为a + b = (a₁ + b₁, a₂ + b₂)。

也就是将两个向量的分量对应相加。

向量的减法可以表示为a - b = (a₁ - b₁, a₂ - b₂)。

也就是将两个向量的分量对应相减。

四、向量与三角函数的关系1. 向量的模和三角函数在直角坐标系中,一个向量的模可以表示为|a| = √(a₁² + a₂²)。

根据直角三角形的性质,我们可以知道,a₁/|a| = cosθ,a₂/|a| = sinθ。

其中,θ表示向量a与横轴之间的夹角。

2. 向量的加法与三角函数设有两个向量a和b,分别表示为(a₁, a₂)和(b₁, b₂)。

根据向量的加法性质,a + b = (a₁ + b₁, a₂ + b₂)。

根据向量的模和三角函数的关系,可以得到|a + b| = √((a₁ + b₁)² + (a₂ + b₂)²) = √(a₁² + a₂² + b₁² + b₂² + 2(a₁b₁ + a₂b₂))。

三角函数与平面向量

三角函数与平面向量

第二部分三角函数与平面向量一、知识框图:二、基础知识要点剖析:1、与角α终边相同的角的集合{}Z k k ∈+=,2|απββ; 十六条终边所对应的角能记住吗?集合⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈±=Z k k ,3|ππγγ表示怎样的终边的角?区分锐角、小于090的角、090~0的角、钝角、对顶角、区域角、区间角、象限角等。

2、弧长公式:||l R α=,扇形面积公式:211||22S lR R α==,1弧度(1rad)57.3≈3、三角函数的定义(r y x ,,三个量的比值):r y =αsin ,r x =αcos ,)0(tan ≠=x xyα。

㈠任意角的三角函数值在各个象限的符号知道吗?特别是特殊角的三角函数值记准了吗? ㈡正弦线、余弦线、正切线会画吗?利用它们求三角不等式很简便哦!有印象吗? ㈢常见三角不等式:(1)若(0,)2x π∈,则sin tan x x x <<,(2) 若(0,)2x π∈,则1sin cos 2x x <+≤(3) 2cos sin 1,≤+≤∈x x R x 则若.4、同角三角函数的基本关系式 :①22sin cos 1θθ+=,②ta n θ=θθcos sin ,注意公式变形:2)cos (sin cos sin 21)1(θθθθ±=±.)42sin(22cos2sinsin 1πθθθθ±=±=±2s i n 2c o s 1θθ=-, 2co s 2co s 1θθ=+(2)如t =±ααcos sin ,d =ααcos sin ,αtan 之间互相转换懂吗?知一求二:(3)若t =+ααcos sin ,则21c o s s i n 2-=t αα;12sin 2-=t α;22cos sin t -±=-αα(4)若t =ααcos sin ,则t 21cos sin +±=+αα;t 21cos sin -±=-αα.5、诱导公式分两大类:为偶数与奇数)k k(2απ±。

平面向量与三角函数的关系

平面向量与三角函数的关系

平面向量与三角函数的关系在数学中,平面向量是一个拥有大小和方向的量。

它可以表示为一个有序的数对(a, b),其中a和b分别代表向量在x轴和y轴上的分量。

平面向量在几何、物理和工程等领域中具有广泛的应用。

与此同时,三角函数是数学中重要的函数类别之一。

它们描述了角度和边长之间的关系,并且在三角学、物理学和工程学等学科中扮演着重要的角色。

本文将探讨平面向量与三角函数之间的关系,并说明它们在解决实际问题中的应用。

1. 平面向量的表示与三角函数平面向量可以由其模长和方向角来表示。

模长表示向量的大小,方向角表示向量与x轴的夹角。

根据三角函数的定义,我们可以将平面向量与三角函数联系起来。

1.1 向量的模长与三角函数给定一个平面向量(a, b),它的模长可以表示为|v| = √(a^2 + b^2)。

在直角三角形中,我们可以将a和b看作直角边的长度。

根据三角函数的定义,我们可以得到:sinθ = b / |v|cosθ = a / |v|其中,θ表示向量与x轴的夹角。

1.2 向量的方向角与三角函数方向角可以通过反三角函数来计算。

给定一个平面向量(a, b),我们可以计算其方向角θ:θ = arctan(b / a)在计算方向角时,应注意选择合适的反三角函数以确保在不同象限中得到正确的值。

2. 平面向量的运算与三角函数平面向量的运算包括加法、减法、数量乘法和点乘法。

与此同时,三角函数也可以应用于向量的运算中。

2.1 向量的加法与三角函数设有两个平面向量u = (a, b)和v = (c, d),它们的和向量w = u + v可以表示为:w = (a + c, b + d)在计算过程中,我们可以将三角函数应用于向量的对应分量上。

2.2 向量的减法与三角函数同样地,给定两个平面向量u = (a, b)和v = (c, d),它们的差向量w = u - v可以表示为:w = (a - c, b - d)我们可以通过将三角函数应用于向量的对应分量来计算差向量。

平面向量与三角函数练习题

平面向量与三角函数练习题

平面向量与三角函数练习题在本次练习题中,我们将探讨平面向量与三角函数的关系。

通过解答以下习题,我们可以更好地理解二者之间的联系,并锻炼自己的解题能力。

1. 问题描述:已知向量A = (-3, 4)和向量B = (5, 2),求向量A与向量B的数量积和方向积。

解答:首先计算向量A与向量B的数量积(内积):A ·B = (-3)(5) + (4)(2) = -15 + 8 = -7接下来计算向量A与向量B的方向积(叉积):|A × B| = |(-3)(2) - (4)(5)| = |-6 - 20| = |-26| = 26因此,向量A与向量B的数量积为-7,方向积为26。

2. 问题描述:已知向量A = (4, 3)和向量B = (-2, 6),求向量A与向量B的夹角。

解答:两个向量的夹角可以通过以下公式计算:cosθ = (A · B) / (|A| |B|)其中,A · B表示向量A与向量B的数量积,|A|和|B|分别表示向量A和向量B的模。

首先计算|A|和|B|的值:|A| = √(4^2 + 3^2) = √(16 + 9) = √25 = 5|B| = √((-2)^2 + 6^2) = √(4 + 36) = √40 = 2√10接下来计算A · B的值:A ·B = (4)(-2) + (3)(6) = -8 + 18 = 10代入公式得到:cosθ = 10 / (5 * 2√10) = 10 / (10√10) = 1 / √10 = √10 / 10因此,向量A与向量B的夹角θ为cos^(-1)(√10 / 10)。

3. 问题描述:已知一个角的弧度为π/4,求该角的正弦、余弦和正切值。

解答:根据三角函数的定义,可以得出以下结论:sin(π/4)= 1/√2cos(π/4) = 1/√2tan(π/4) = sin(π/4) / cos(π/4) = 1因此,该角的正弦值为1/√2,余弦值为1/√2,正切值为1。

三角函数与平面向量

三角函数与平面向量
向量旋转与三角函数: 通过三角函数可以实
现向量的旋转。
向量角度与三角函数: 向量的夹角可以通过 三角函数进行计算。
向量投影与三角函数: 向量的投影长度和方 向可以通过三角函数
进行计算。
三角函数在向量 运算中的应用, 如向量的点乘和
叉乘
向量在三角函数 中的应用,如利 用向量表示三角 函数图像的平移
和旋转
三角函数与平面向量的运算性质 及其相互转化
三角函数与平面向量在解题中的 综合运用
总结三角函数与平面向量之间的 关系及其对数学发展的影响
发展趋势:随着数学理论和 应用的不断发展,三角函数 和平面向量理论将进一步完 善,其在物理、工程等领域 的应用将更加广泛。
未来研究方向:深入研究三角函 数和平面向量的性质和关系,探 索其在解决实际问题中的应用, 同时寻求与其他数学领域的交叉 融合,以推动数学理论的发展。
增大而增大或减小。
三角函数定义:以角 为变量,单位圆上点
的坐标为值的函数
三角函数周期性:单位 圆上三角函数值的周期
性变化
单位圆上三角函数表 示:通过单位圆上点 的坐标计算三角函数

三角函数性质:在单 位圆上表示的三角函 数的性质,如正弦、
余弦、正切等
向量的模:表示 向量的大小,计 算公式为 $\sqrt{x^2 + y^2}$
复合函数:通过 将一个三角函数 作为另一个函数 的自变量,可以 形成复合函数。
向量加法:满足平行四边形法则和三角形法则 向量数乘:标量与向量的乘积,结果仍为向量 向量点乘:两个向量的点乘结果为标量,满足分配律和交换律 向量叉乘:两个向量的叉乘结果仍为向量,垂直于原向量构成的平面
三角函数与向量 点乘的性质
向量垂直:当两个 向量的夹角为90 度时,它们被称为 垂直向量。

三角函数与平面向量

三角函数与平面向量
三角函数与平面向量
汇报人:张老师 2023-11-25
目 录
• 三角函数概述 • 三角函数运算 • 平面向量基础 • 平面向量与三角函数的关系 • 三角函数与平面向量的应用 • 总结与展望
01
三角函数概述
三角函数的定义与基本性质
1. 正弦函数(sine) • 定义:对于任意角x,正弦函数定义为对边长度与斜边长度的比值,即sin(x) = 对边 / 斜边。 • 性质:正弦函数的值域为[-1,1],周期为2π。
辑思维,提升问题解决能力。
未来学习中可能遇到的相关主题与展望
相关主题
在未来学习中,学生可能会遇到与三角函数和平面向量 紧密相关的主题,如复数、微分学、积分学、线性代数 等。
展望
对于更深入的学习和理解,学生可以进一步探索这些相 关主题,以构建更为完整和深入的数学知识体系。
如何在日常生活中应用这些知识
在工程中的应用(如位移、速度、加速度的计算)
要点一
位移、速度、加速度计算
要点二
工程测量
在工程领域,经常需要计算物体的位移、速度和加速度。 通过三角函数和平面向量的结合,可以有效地描述和计算 这些物理量,为工程设计提供准确的数据支持。
在土地测量、建筑设计等工程中,三角函数和平面向量可 用于计算角度、距离等参数,确保工程的准确性和稳定性 。
解决问题
01
三角函数与平面向量可以用于解决日常生活中的许多问题,比
如计算距离、角度,确定物体的运动轨迹等。
导航
02
在地理位置定位和导航中,经常会使用到三角函数与平面向量
的知识。
设计与制作
03
在建筑、艺术、设计等领域,利用三角函数与平面向量可以进
行精确的测量和计算,以实现设计和制作的准确性。

三角函数与平面向量的关系及应用

三角函数与平面向量的关系及应用

三角函数与平面向量的关系及应用一、引言三角函数和平面向量是高中数学中重要的概念,它们相互关联,不仅可以帮助我们解决有关角度和距离的问题,还有广泛的实际应用。

本文将探讨三角函数与平面向量的关系,以及它们在实际问题中的应用。

二、三角函数与平面向量的关系1. 向量的模与方向角平面向量可以表示为以原点为起点的有向线段,它具有模和方向两个重要的性质。

向量的模即向量的长度,可以通过勾股定理计算。

而方向角表示了向量相对于正 x 轴的角度,可以用三角函数来表示。

2. 向量的坐标表示与三角函数之间的关系在平面直角坐标系中,向量可以用其在 x 轴和 y 轴上的投影表示。

设向量的坐标为 (x, y),则它的模可以表示为√(x² + y²)。

通过简单的几何推导,我们可以发现,向量和 x 轴的夹角的余弦值等于它的 x 分量与模的比值,即cosθ = x/√(x² + y²);而正弦和向量和 y 轴的夹角的余弦值相等,即sinθ = y/√(x² + y²)。

3. 向量之间的夹角与三角函数的关系对于两个向量 u 和 v,它们之间的夹角可以通过它们的数量积和模的关系来计算。

设夹角为θ,则有cosθ = (u·v)/(|u||v|),其中 ·表示向量的数量积,|u| 和 |v| 分别表示向量 u 和 v 的模。

三、三角函数与平面向量的应用1. 导航系统导航系统通过使用平面向量和三角函数来确定用户的位置和方向。

通过已知的坐标系和三角函数,导航系统可以计算出用户到目的地的方位角和距离,并提供相关的导航指引。

2. 物体运动的分解与合成物体的运动可以看作是在平面坐标系中的向量运动。

通过分解和合成运动向量,我们可以对物体的运动进行分析和计算,提供准确的速度、加速度等信息。

3. 力的分解在物理学中,力也可以看作是一个向量,具有大小和方向。

通过向量的分解,我们可以将一个力分解为两个分力的合力,从而更好地理解和计算复杂的力系统。

平面向量与三角函数的关系

平面向量与三角函数的关系

平面向量与三角函数的关系在数学中,平面向量是研究空间中的对象之一。

它由有向线段表示,具有大小和方向。

而三角函数则是描述角度的函数,涉及到三角形的性质和三角函数的定理。

在本文中,将会探讨平面向量与三角函数之间的关系。

一、平面向量的表示平面向量可以使用坐标的形式进行表示。

假设有平面上的一个向量A,可以使用(x, y)来表示向量A的坐标。

其中,x表示向量A在x轴上的投影长度,y表示向量A在y轴上的投影长度。

例如,向量A = (3,4)表示向量A在x轴上的投影长度为3,在y轴上的投影长度为4。

二、平面向量的模与方向角平面向量的模表示向量的长度,可以使用勾股定理来计算。

设向量A = (x, y),则向量A的模为|A|=√(x²+y²)。

方向角可以使用反正切函数来计算。

设向量A的方向角为θ,可以使用θ=arctan(y/x)来计算。

三、向量的加法与减法平面向量之间可以进行加法和减法运算。

设向量A = (x1, y1),向量B = (x2, y2),则向量A与向量B的加法可以表示为A + B = (x1+x2,y1+y2);向量A与向量B的减法可以表示为A - B = (x1-x2, y1-y2)。

四、向量的数量积与夹角向量的数量积可以用来研究向量之间的夹角关系。

设向量A = (x1,y1),向量B = (x2, y2),则向量A与向量B的数量积可以表示为A·B = x1x2 + y1y2。

根据数量积的定义,向量A与向量B之间的夹角θ可以使用余弦函数来表示,即cosθ = (A·B) / (|A|·|B|)。

五、向量的叉积与正弦值除了数量积之外,向量还可以进行叉积运算。

向量的叉积可以用来研究向量之间的正弦值关系。

设向量A = (x1, y1),向量B = (x2, y2),则向量A与向量B的叉积可以表示为A×B = x1y2 - x2y1。

根据叉积的定义,向量A与向量B之间的正弦值可以使用叉积的模除以向量A与向量B的模的乘积来表示,即sinθ = |A×B| / (|A|·|B|)。

平面向量与三角函数

平面向量与三角函数

平面向量与三角函数平面向量与三角函数是高中数学中的重要概念,它们在解决几何问题、力学问题以及其他实际应用中具有广泛的作用。

本文将介绍平面向量和三角函数的基本概念、性质以及它们之间的关系。

一、平面向量的基本概念平面向量可以用空间中的箭头表示,箭头的长度表示向量的模,箭头的方向表示向量的方向。

平面向量的运算主要包括加法、减法、数乘和数量积。

向量加法满足交换律和结合律,向量的数乘满足分配律。

二、平面向量的坐标表示平面向量可以使用坐标进行表示。

二维平面上的向量可以使用坐标对(x, y)表示,其中x和y分别表示向量在x轴和y轴上的分量。

通过坐标表示,我们可以进行向量的运算,并用向量表示点、线段以及其他几何对象。

三、平面向量的模与方向角平面向量的模表示向量的长度,可以通过勾股定理计算。

平面向量的方向角表示向量与坐标轴的夹角,可以使用三角函数来计算。

四、三角函数的基本概念三角函数是用来描述角度与边长之间的关系的函数。

常见的三角函数包括正弦函数、余弦函数和正切函数。

它们分别表示一个角的正弦值、余弦值和正切值。

五、平面向量与三角函数的关系平面向量与三角函数之间存在着紧密的联系。

对于任意一个角,可以使用三角函数来表示角的正弦值、余弦值和正切值。

而在平面向量中,向量的方向角正是角的一种度量。

六、平面向量的投影与单位向量平面向量的投影是指一个向量在某个方向上的投影长度,可以通过向量的模与投影夹角的三角函数计算得到。

单位向量是模为1的向量,通过标准化平面向量,可以得到单位向量。

七、平面向量的数量积平面向量的数量积也称为内积或点积,它表示两个向量之间的乘积与夹角的余弦值之间的关系。

数量积可以用来计算向量的模、判断向量的方向以及计算向量之间的夹角等。

八、平面向量与三角函数的应用平面向量与三角函数在解决几何问题、力学问题以及其他实际应用中广泛使用。

例如,通过平面向量可以求解三角形的面积、判断四边形是否为矩形或平行四边形。

同时,三角函数也可以用来描述力学问题中的分力、合力、角动量等。

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45 ( 4) 53 ( 3)
5
5
25
B
A
向量的数量积的运算,向量的夹角与三角形的内角的联 系,一定要注意“方向”.
考点展示
2、在 ABC 中,已知向量 AB 与AC 满足( AB AC ) BC 0
| AB | | AC |
且 AB AC 1
| AB | | AC | 2
外心,求 AO AC, AO BC 的值.
分析:如图,
A
AO AC | AO || AC | cos OAC
R AC AC
2R
C
2
即 AO AC 2,
·O
B
D
变式演练
分析(2):如图,
A
AO BC ( AM MO) BC
·O
AM BC
C
·P
AD BC DO BC
1 (AC ABD·
C
2
中点
| AC |2 | AB |2
6 2
若P为BC中垂线上任意 一点, 则 AP·BC ?
向量中点公式.
变式演练
在ABC 中,AB 3, BC 7, AC 2, 若 O 为ABC的
,则
ABC的形状是__等__边__三_ 角形
单位向量
C
分析:设 AM AB , AN AC 则 AP BC
| AB | | AC |
N
P
又 AP MN BC ∥MN AB AC
由 AB AC 1 得 BAC A
M
B
| AB | | AC | 2
3
向量的基本运算(平行四边形法则)及几何意义.
4、以“平面向量”进行包装,考查三角形中的相关问题.
考点展示 1、已知点 A, B,C满足 AB 3,BC 4,CA 5 ,则
AB BC BC CA CA AB 的值是_-_2_5____ C 分析:AB BC BC CA CA AB 方向
| BC || CA | cos( C) | CA || AB | cos( A)
第二轮复习专题
主讲人:付福新

平面向量与三角函数
1
考点分析
2
考点展示
3
考点巩固
4
小结
考点分析
高频考点
1、平面向量的概念、线性运算及坐标运算.这是平面向量 的基础内容
2、平面向量的数量积、平行与垂直,这是平面向量的重 要内容 3、正弦定理、余弦定理及其应用. 考生要牢固掌握并能 熟练的应用于解斜三角形的相关问题.
R2 cos 2C R2 cos 2B R 2 (1 2 sin 2 C) R 2 (1 2 sin 2 B)
2R2 sin 2 B 2R2 sin 2 C
圆心角与 圆周角
| AC |2 | AB |2 2
5 2
正弦定理
平面向量与三角函数
小结:
一 个 中 心 : 数量积 两个基本点: 落脚点
①利用向量的运算 如:平行四边形法则; 建系,数量积运算等 ②利用三角函数性质充分变形运算
巩固练习
1、已知 OA a, OB b,且 | a || b | 2, AOB 60,则| a b | 2 3 ;
a b与 b 的夹角为______
2、设平面上有A、B四、C、D个互异的点
考点展示
3、设 P 是 ABC 内部一点,且 AP 2 AB 1 AC 则 ABP与
55
ABC 的面积之比为___1_:_5___
C
分析:如图 AEPF 则
4
AF 1 , SABP 1 .
F 1
CA 5 SABC 5 A
E
PM
N
B
如图:建立空间直角坐标系,
则设 A(0,0), B(a,0),C(b,c) y
,已知
(DB DC 2DA) (AB AC) 0 则ABC的形状一定是_______
主讲人:付福新
AP ( 2 a 1 b, 1 c) 5 55
1
SABP

c 5

1 .
A
SABC c 5
方法二
C (b, c)
P
Bx
(a, 0)
建立平面直角坐标------行之有效的手段
例题剖析
已知点 O为 ABC 的外心,且 AC 4, AB 2 ,则
AO BC 6
A
分析:AO BC ( AD DO) BC
·
M
B
AO BC 5
2
1
(AC AB) (AC AB)
2
1 (| AC |2 | AB |2 ) 2
5 2

方向
A
分析:如图,(方法二)
AO BC AO (BO OC)
C
AO BO AO OC
·O
B
| AO || BO | cos AOB | AO || OC | cos( AOC)
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