4概率论-独立性

合集下载

浅谈概率论中的独立性问题

（４）若Ａ，Ｂ相互独立，那么容易推出Ｐ（Ａ／Ｂ）＝０．
证由条件概率的定义及公式Ｐ（ＡＢ）＝Ｐ（Ａ）Ｐ（Ｂ）知：
Ｐ（Ａ／Ｂ）＝Ｐ（ＡＢ）＝Ｐ（Ａ）Ｐ（Ｂ）＝Ｐ（Ａ）
Ｐ（Ｂ）
Ｐ（Ｂ）
我们知道，若Ａ，Ｂ相互独立，由Ａ关于Ｂ的条件概率等于无条件概率，即两事件Ａ，Ｂ独立的实际意义应是事件Ｂ发生对事件Ａ发生的概率没有影，更准确地讲，两事件Ａ，Ｂ独立的实际意义为：其中任一事件发生与否对另一事件的概率没有任何影响，这就是下述所谓的独
如何进攻篮球区域联防防守
刘敬彬１董娜２（１．西安体育学院陕西西安７１００００；２．西安铁路职业运输学院陕西西安７１００００）
摘要：篮球区域联防是由进攻转为防守时，防守队员迅速退回后场，每个队员分工负责防守一定的区域，严密防守进入该区域的球和进攻队员，并与同伴协同防守，用一定的队形把每个防守区域有机地联系起来而组成的防守战术。通过分析区域联防的特点要求以及其作用，提高进攻区域联防的效率，找到破解区域联防防守的正确方法。
互不相容描述的是两事件之间的关系ab可得在古典概型即样本点有限下有ab即两事件必能同时发生因而必然不会互不相容相互独立与互不相容是两个不同的概念但它们之间有关系相容由于染有同一色的球有两个故472高校讲台sciencetechnologyinformation科技信息2007西安体育学院陕西西安710000西安铁路职业运输学院陕西西安710000摘要
相互独立，且互不相容．总之，相互独立与互不相容之间的联系与区别是（１）两事件对立，必定互斥，但互斥未必对立；（２）互斥的概念适用于多个事件，但对立概念只适用于两个事件；

随机变量的独立性

P{ X = 0} = 1 p , P{ Z = 0} = 2 p(1 p) ,
P{ X = 0, Z = 0} = P{ X = 0, X + Y = 1}
= P{ X = 0, Y = 1} = P{ X = 0} P{Y = 1} = p(1 p ) .
2 p(1 p ) 2 = p(1 p ) , p = 0.5 . 令
1 ,若X + Y为偶数, Z= 0 ,若X + Y为奇数. 取何值时, 和相互独立相互独立? 问p取何值时,X和Z相互独立? 取何值时
解首先求出Z的概率分布: 首先求出的概率分布: 的概率分布
P{ Z = 0} = P{ X + Y = 1}
因为X和因为和Y 相互独立
= P{ X = 0, Y = 1} + P{ X = 1, Y = 0}
1 α= . 6
2 β = . 9
5
又由分布律的性质,有又由分布律的性质有
1 1 1 1 α + + + +β + =1 9 18 3 9
7 α+β = 18
假设随机变量X和相互独立相互独立, 例3 假设随机变量和Y相互独立,都服从参数为 p(0<p<1)的0-1分布,随机变量分布, ( ) 分布
f (x, y) = f X ( x) fY ( y) 成立,所以相互独立.8 成立,所以X,Y相互独立相互独立.
例5 设(X,Y )的联合密度函数为 ,
8 xy 0 ≤ x ≤ y , 0 ≤ y ≤ 1 f ( x, y) = , 其它 0
1
y
y= x
是否相互独立? 问X与Y是否相互独立? 与是否相互独立的边缘密度分别为解 X,Y的边缘密度分别为

概率论第一章第六节

(2) P( A1 A2
An )
1 P(A1 A2
An )
1 P( A1 A2 An )
A1 A2 An独立
A1 A2 An独立
1 P( A1 )P( A2 ) P( An ).
9
例1 三人独立地去破译一份密码，已知各人能译出的概率分别为1/5，1/3，1/4，问三人中至少有一人能将密码译出的概率是多少？
2
2
P( AB) 0，P( A)P(B) 1 ,
4
由此可见两事件互斥但不独立.
二者之间没有必然联系
B
AB
AS
B AS
若P( A) 0 , P(B) 0 , A，B相互独立与互不相容
不能同时成立.
20 返回
为p , p 1 2 . 问对甲而言, 采取三局二胜制有利,
还是五局三胜制有利. 设各局胜负相互独立. 解采用三局二胜制 , 甲最终获胜 ,
胜局情况可能是 :
“甲甲”,“甲乙甲”;“乙甲甲”,
设Ai :“甲第i局胜”(i 1, 2, 3), 设A :“甲最终胜”,
则 A A1 A2 A1 A2 A3 A1 A2 A3
p pp
纯纯纯
H1：不纯纯纯
q pp
纯纯纯
p 1 0.01 0.99,
q 1 0.95
H2：不纯不纯纯
q qp
纯纯纯
H3：不纯不纯不纯
q qq
纯纯纯
0.05.
P(H0)
C936 , C3
100
P(H3 )
C43 C3
100
,
P( H1 )
C926C41 C3
100
,
P( H2 )

概率论

定理二若事件A，B相互独立，则下列各对事件也相互独立, A与B，A与B，A与B。【证】P(AB)=P(A-AB)=P(A)-P(AB) =P(A)-P(A)P(B) =P(A)(1-P(B)) =P(A)P(B) 所以 A与B相互独立。其他同理可得。
【注】概率为0的事件与任何事件独立。设A, B是任二事件，且P(A)=0，则 P(AB)P(A)=0，所以 P(AB)=0=P(A)P(B)，
【解】(2)放回摸球，以事件A表示“第一次摸得黑球”，以事件B表示“第二次摸得黑球”，则
a a2 P(A) , P(AB) ， 2 ab (a b)
P(AB) a 据定义 P(B A ) P(A) ab a 又 P(B) , 所以 P(BA)=P(B)，事件A对B的发生 ab
三、事件的独立性及其概率计算设A1, A2, …, An是相互独立的事件，由德摩根律：
P( A i ) 1 P( A i )
i 1 i 1 n n
=1-P(A1A2…An)，因A1, A2, …, An是相互独立的，所以 =1-P(A1)P(A2) …P(An)，【注】独立事件的和事件的概率最好转为积事件的概率来计算。
前两者涉及事件，后一个涉及概率。当0<P(A)<1，0<P(B)<1时，A与B的独立性可图示，向边长为1的正方形内投一点，假设着落点有等可能性，
AB 1 A B l
s
则依几何概型概率的计算， P(AB)=sl=P(A)P(B)。
【注】当P(A)>0，P(B)>0时，A, B互斥与A，B独立不能同时成立。事实上，如果A与B互不相容，则A与B一定不独立，因为 P(AB)=P()=0P(A)P(B)。如果A与B独立，则A与B一定相容，因为 P(AB)=P(A)P(B)0，即A, B不互斥。

概率论-事件的独立性

P( Ai Aj Ak )
P( Ai )P( Aj )P( Ak ),(1
i
j
k
n)
P( A1 A2 An ) P( A1 )P( A2 )P( An ).
则称事件 A1 , A2 ,, An
为相互独立的.
共 2n n 1
个式子．
n 个事件相互独立
n个事件两两独立
显然，如果n个事件相互独立，则它们中任何
机事件序列 A1, A2 ,, An 为相互独立的．
例21 甲、乙、丙三三名射手，他们命中他们命中目标的概率分别是0.9,0.8,0.6，现三人独立地向目标各射击一次，求命中目标的可能性有多大？
解记A=“甲命中目标”, B=“乙命中目标”, C=“丙命中目标”, D=“命中目标”, 显然A,B,C 相互独立，并且D=A+B+C ,则
NEXT
习题一：22、23、25
作业
例补充设A,B,C三事件独立，试证A+B与C相互
独立．证明:因为
P[(A B)C] P( AC BC) P( AC) P(BC) P( ABC)
P( A)P(C) P(B)P(C) P( A)P(B)P(C) (P( A) P(B) P( A)P(B))P(C) P( A B)P(C)
P(A) P(B) P(A)P(B)
0.7 0.8 0.70.8 0.94
例补充甲、乙、丙三人在同一时间分别破译某一密码，设甲译出的概率0.8,乙译出的概率 0.7,丙译出的概率0.6,求密码能译出的概率.
解记A=“甲译出密码”, B=“乙译出密
码”,
C=“丙译出密码”, D=“密码被译显然出A”,B,,C相互独立，并且D=A+B+C ,则

概率论第4章

19 2012-6-28
例5 甲,乙各自同时向一敌机射击, 已知甲击中敌机的概率为0.6, 乙击中敌机的概率为0.5. 求敌机被击中的概率.
20 2012-6-28
解设A为事件"甲击中敌机", B为事件"乙击中敌机", C为事件"敌机被击中", 由广义加法定理知 P(C)=P(AB)=P(A)+P(B)-P(AB) 根据题意可认为A,B事件相互独立, 因此有 P(AB)=P(A)P(B)=0.60.5=0.3 于是 P(C)=0.6+0.5-0.3=0.8
P( B | A) r m r/n m/n P( AB) P( A)
5 2012-6-28
.
在一般情形下, 如果P(A)>0, 也定义事件 A出现下事件B的条件概率为
P( B | A) P( AB) P( A) , ( P( A) 0)
乘法定理两事件的积事件的概率等于其中一事件的概率与另一事件在前一事件出现下的条件概率的乘积:
正品数第一台车床加工的零件数第二台车床加工的零件数总计 35 50 85 次品数 5 10 15 总计 40 60 100
从这100个零件中任取一个零件, 则"取得的零件为正品"(设为事件B)的概率为
P( B) 85 100 0.85
3 2012-6-28
正品数第一台车床加工的零件数第二台车床加工的零件数总计 35 50 85
乘法定理可以推广到有限多个事件的情形. 例如, 对于A,B,C三个事件, 有 P(ABC)=P((AB)C)=P(AB)P(C|AB) =P(A)P(B|A)P(C|AB), (P(AB)>0)

一、独立性的定义例 1 袋中有 a 只黑球,b 只白球.每次从中取出一球,令： A ={ 第一次取出白球 }

不发生的；（2）大量试验以后，小概率事件几乎必
然发生；
目录前一页后一页退出
第一章概率论的基本概念
例4 如果构成系统的每个元件的可靠性均为r， 0<r<1.且各元件能否正常工作是相互独立的，试求下列系统的可靠性：
n
1）

2）

3）

目录前一页后一页退出
第一章概率论的基本概念
若在一次试验中小概率事件发生，则否定结论；反之则接受结论。
例1（一个著名的问题）某家庭有4个女孩，她们去洗碗，在打破的4个碗中有3 个是最小的女孩打破的，因此人家说她笨拙，问她是否有理由申辩这完全是碰巧？
C43
(
1 4
)
3
(
3 4
)

0.047
例4 某酒厂欲招聘一名品酒师，准备了甲、乙两种味道和颜色都极为相似的名酒各4杯，如果从中挑4杯，能将甲种酒全挑出来，算
目录前一页后一页退出
第一章概率论的基本概念
§4 独立性
例 5 设有电路如图，其中 1, 2, 3, 4 为继电器接点。设各继电器接点闭合与否相互独立，且每一个继电器接点闭合的概率均为 p。求 L至 R 为通路的概率。
解：设事件 Ai ( i=1,2,3,4 ) 为“第 i 个继电器接点闭合”, L 至 R 为通路这一事件可表示为：
第一章概率论的基本概念
2）n个事件的相互独立性：
§4 独立性
设 A1， A2，， An 为n个随机事件，如果下列等式成立：
P Ai Aj PAi PAj 1 i j n P Ai Aj Ak PAi P Aj PAk 1 i j k n

判断随机事件独立性的方法

判断随机事件独立性的方法随机事件独立性是概率论与数理统计中的一个重要概念。

判断随机事件是否独立对于许多实际问题的解决具有重要意义。

本文将介绍判断随机事件独立性的方法及其应用。

1. 什么是随机事件独立性在概率论中，独立性是指两个或多个事件的发生不受彼此影响的性质。

具体来说，如果事件A的发生与事件B的发生没有任何关联，即事件A的发生概率与事件B的发生概率的乘积等于事件A与B同时发生的概率，那么事件A和事件B就是独立的。

数学上，可以用以下条件来判断两个事件A和B是否独立： - P(A ∩ B) = P(A) * P(B)，即事件A与事件B同时发生的概率等于事件A的发生概率乘以事件B的发生概率。

2. 判断随机事件独立性的方法2.1. 基于条件概率的方法基于条件概率的方法是判断随机事件独立性的常用方法之一。

根据条件概率的定义，可以使用以下条件来判断两个事件A和B是否独立： - P(A|B) = P(A)，即事件A在事件B发生的条件下的概率等于事件A的概率。

如果满足以上条件，那么可以认为事件A和事件B是独立的。

否则，事件A 和事件B不满足独立性条件。

2.2. 基于频率统计的方法基于频率统计的方法是另一种常用的判断随机事件独立性的方法。

该方法基于大数定律，通过实际观察和统计事件发生的频率来判断事件之间是否独立。

具体操作时，可以进行一系列独立的实验，统计事件A和事件B同时发生的次数。

如果事件A和事件B的同时发生次数与事件A的发生次数乘以事件B的发生次数之积接近，那么可以认为事件A和事件B是独立的。

否则，事件A和事件B不满足独立性条件。

2.3. 基于协方差的方法基于协方差的方法是另一种常用的判断随机事件独立性的方法。

协方差是衡量两个随机变量之间关联程度的指标，可以通过计算事件A和事件B的协方差来判断它们是否独立。

具体操作时，可以通过以下条件来判断事件A和事件B是否独立： - 协方差(A, B) = 0，即事件A和事件B的协方差为0。

概率论随机事件的独立性

解设需配备n门此型号火炮,并设事件 Ai 表示第i 门火炮击中敌机，则
P ( Ai ) 1 1 P ( Ai ) 1 0.2 0.999
n n i 1
n
ln 0.001 n 4.29 ln 0.2
故至少需配备 5 门此型号火炮 .
第一章概率论的基本概念
考虑n重Bernoulli试验中事件A 出现 k 次的概率, 记为 Pn ( k )
例5 袋中有3 个白球, 2个红球,有放回取球 4 次,每次一个,求其中恰有2个白球的概率. 解一古典概型
设 B 表示4个球中恰有2个白球
n 5 , nB C 3 2
4
2 4
2
2
C 32 P( B) 0.3456. 5
第一章概率论的基本概念
容易证明，只要分母不为0,(1),(2),(3),(4)式的成立，只需要以下一个等式就可保证：
P( AB) P( A) P( B) - - - - - - - - - - - - - - - (5)
所以，事件独立性的定义为：
设A、B是两个随机事件，如果满足
P( AB) P( A) P( B)
P ( A) 1 P ( B ) P ( A) P ( B )

第一章概率论的基本概念
例1 设甲、乙两射手独立地射击同一目标，他们击中目标的概率分别为0.9和0.8.求在一次射击中，目标被击中的概率.
第一章概率论的基本概念
三个事件的独立性设A、B、C是三个随机事件，如果同时满足如下四个等式：
则称事件A与B相互独立.
两事件相互独立的性质
事件A与任一概率为0或1的事件都相互独立. 若 P ( A ) 0, P ( B ) 0,

《概率论》第3章§4相互独立的随机变量

§4
A, B 相互独立 X , Y 相互独立
相互独立的随机变量
11/19
P( A | B) P( A), P( B | A) P( B)
f ( x, y) f X ( x) fY ( y) (a.e) f ( x, y ) f X |Y ( x | y ) = f X ( x) ( a.e) fY ( y )
§4
相互独立的随机变量
1/19
随机变量的独立性
离散型、连续型随机变量的独立性的判断
利用随机变量的独立性进行相关概率的计算
第三章多维随机变量及其分布
§4
A, B 相互独立
相互独立的随机变量
A, B 之间没有任何关系
P( AB) P( A) P( B)
2/19
怎样定义 r.v X , Y 之间的独立性若
FX ( x2 ) FY ( y2 ) FX ( x1 ) FY ( y2 ) FX ( x2 ) FY ( y1 ) FX ( x1 ) FY ( y1 )
[ FX ( x2 ) FX ( x1 )] [ FY ( y2 ) FY ( y1 )]
P{x1 X x2 }P{ y1 Y y2 }
X ~ U (0,1), Y ~ U (0,1)
X , Y 独立,故联合密度为
1, 0 x 1, 0 y 1 f ( x, y ) f X ( x ) f Y ( y ) 其它 0,
故两信号互相干扰的概率为
P{ | X Y | 1 }
120
1
y
y x
1 2 1 2 1
2
( x ) 1 exp{ [ 21 2 1 2(1 )

概率论与数理统计-第3章-第4讲-随机变量的独立性

1, (x, y) G
f (x, y) 0,
其它.
1
2x
02 随机变量的独立性
例题设二维离散型随机变量 X， Y 的联合分布律为
应用
Y X
1
1
1 6
2
3
1
1
9
18
2
1 3
试确定常数，使得随机变量 X 与Y 相互独立．
02
随机变量的独立性由表，可得随机变量 X 与Y 的边缘分布律为
P{XY Y 0} P{( X 1)Y 0}
P{X 1 0,Y 0} P{X 1 0,Y 0}
P(X ) P(X ) 1
2
P{X 1}P{Y 0} P{X 1}P{Y 0} 1111 1
22 22 2
第4讲随机变量的独立性
本节我们学习了二维随机变量的独立性, 后续会推广到更多维. 随机变量的独立性在概率论和数理统计中会发挥重要的作用.
用分布函数表示, 即设 X,Y 是两个随机变量, 若对任意的x, y, 有 F ( x, y) FX (x)FY ( y)
则称 X, Y 相互独立 .
它表明, 两个随机变量相互独立时, 联合分布函数等于两个边缘分布函数的乘积 .
01 两个随机变量独立的定义
离散型
X与Y 独立
对一切 i , j 有
01 两个随机变量独立的定义两个随机变量独立的定义
设 X,Y是两个随机变量, 若对任意的x,y ,有 P ( X x,Y y) P( X x)P(Y y)
则称X,Y相互独立 .
如何判断
两事件A, B独立的定义是：若 P(AB)=P(A)P(B)则称事件A, B独立 .
01 两个随机变量独立的定义

概率论与数理统计随机变量的独立性

g ( xi , y j ) f ( x, y)dxdy
概率论与数理统计
例9
求E(X),E(Y),E(XY).
E ( XY ) xi y j pij
j 1 i 1
解 X,Y的边缘分布为
1 3 (1 0) 0 (3 0) 3 (1 1) 3 (3 1) 0 1 E ( X ) xi pi 18 3 8 , 4 4 2 i 1 3 1 9 (1 2) (3 2) 0 3 (1 3) 0 (3 3) . 1 8 0 1 2 3 3 1 3 , 8 4 E (Y ) y j p j 8 8 8 8 2 j 1
E X i E( X i )
n i 1 n i 1
概率论与数理统计
例10
解
设随机变量Xi为
则X=X1+ X2+ …+ X10 故 E(X)=E(X1)+ E(X2)+ …+ E(X10) 而E(Xi)=1-(9/10)20 i=1,2,…,10
9 20 E( X ) E ( X i ) E ( X i ) 10 ] 8.784 [1 10 i 1 i 1
概率论与数理统计
若(X,Y)是二维离散型随机变量，Z=g(X,Y), 且E(Z)存在，则
E (Z ) E[ g ( X , Y )] g ( xi , y j ) pij
j 1 i 1

若(X,Y)是二维连续型随机变量，Z=g(X,Y), 且E(Z)存在，则
E (Z ) E[ g ( X , Y )]
概率论与数理统计

概率论独立性

概率论
第六节独立性
两个事件的独立性多个事件的独立性独立性的概念在计算概率中的应用小结
---
概率论
一、两事件的独立性
先看一个例子：将一颗均匀骰子连掷两次，
设 A={第二次掷出6点}， B={第一次掷出6点}，
显然
P(A|B)=P(A)
这就是说,已知事件B发生,并不影响事件A发生的概
率,这时称事件A、B独立.
方的数是它们各自正常工作的概率. 求电路正常工作的概率.
C
0.70
AB
D
0.95 0.95
0.70
E
0.70
F
0.75
H
G
0.率论
解将电路正常工作记为W，由于各元件独立工作，有
P W P A P B P C D E P F G P H
其中 P(C D E) 1 P(C )P(D )P(E ) 0.973
---
概率论
例如 S 1,2 ,3 ,4,A 1,2, B 1,3,
C 1,4,则
PA PB PC 1 , 并且 ,
2
PAB 1 PAPB ,
4
PAC 1 P A P C ,
4
PBC 1 PBPC .
4
即事件 A、B、C 两两独立 .
但是 PABC 1 PAPBPC .
也相互独立.
证明仅证A与 B 独立
A、B独立
概率的性质 P(AB )= P(A - A B)
= P(A)- P(AB) = P(A)- P(A) P(B)
=P(A)[1- P(B)]= P(A) P(B )
故 A与 B独立
---
概率论
二、多个事件的独立性

概率论-独立性

P Ai P Bi P Ai P Bi p n p n p 2n pn 2 p n .
i 1 i 1 i 1 i 1 n n n n
R II P A1 B1 A2 B2 An Bn P A1 B1 P A2 B2 P An Bn P A1 B1 P A1 P B1 P A1 B1 p 2 p .
A1，A2， , An两两独立.由定义2可知，n个事件相互独立，则它们两两独立；反之不成立.
例1(伯恩斯坦反例）设有一均匀的正四面体，其第一面染红色，第二面染白色，第三面染黑色，第四面染红、白、黑色.现记 A={抛一次四面体朝下的一面出现红色}， B={抛一次四面体朝下的一面出现白色}， C={抛一次四面体朝下的一面出现黑色}，

1 P( A1 ) P( A2 ) P( An ) 1 1 n .
第一章概率论的基本概念
§4 独立性
如果我们将试验一次接一次地做下去，即让n ，由于0 1，则当n 时，P( A1 A2 An ) 1，这说明小概率事件在大量重复试验中迟早出现的概率为1. 概率论中的这一结论，是有重要意义的。在实际工作中，不能忽视小概率事件，如在山里乱丢烟头，就一次而言，引起火灾的机会并不大，但是很多人都这么做，发生火灾的概率就很大。
第一章概率论的基本概念
§4 独立性
•
例3 通常称元件能正常工作的概率为元件的可靠性，称由元件组成的系统能正常工作的概率为系统的可靠性。假定构成系统的每个元件的可靠性均为p(0<p<1), 且各元件能否正常工作彼此独立。今有下面两个系统，试比较其可靠性的大小。解我们用Ai ,Bi i 1, 2,, n 分别表示元件能够正常

大学数学易考知识点概率论的条件概率与独立性

大学数学易考知识点概率论的条件概率与独立性大学数学易考知识点：概率论中的条件概率与独立性概率论是数学中一个重要的分支，研究事物发生的可能性。

在大学数学的学习中，概率论是一个比较常见的考点。

其中，条件概率与独立性是概率论中的两个基本概念。

本文将详细介绍条件概率与独立性的概念、性质以及应用。

一、条件概率条件概率是指在已知事件B发生的条件下，事件A发生的概率。

其计算公式为：P(A|B) = P(A∩B) / P(B)其中，P(A|B)表示事件B发生的条件下，事件A发生的概率；P(A∩B)表示事件A与事件B同时发生的概率；P(B)表示事件B发生的概率。

条件概率的计算可以通过实际问题的转化来帮助理解。

例如，某班级有60%的男生和40%的女生，已知班级中80%的学生喜欢数学。

现在要求已知一位学生是男生的条件下，他也喜欢数学的概率。

根据条件概率的计算公式，我们可以得到：P(喜欢数学|男生) = P(喜欢数学∩男生) / P(男生)由于已知喜欢数学的学生占总人数的80%，而男生占总人数的60%，则有：P(喜欢数学|男生) = (0.8*0.6) / 0.6 = 0.8所以，在已知一位学生是男生的条件下，他也喜欢数学的概率为0.8。

条件概率的计算方法对于实际问题的解决非常有用。

通过合理的条件划分，我们可以计算出各种条件下的概率，从而更好地理解和解决问题。

二、独立性在概率论中，独立性是指两个事件的发生与否互相不影响。

具体而言，事件A与事件B相互独立的条件为：P(A|B) = P(A)P(B|A) = P(B)即事件A发生的概率与事件B发生与否无关，事件B发生的概率与事件A发生与否无关。

两个独立事件的条件概率相等于事件的边际概率。

例如，某扑克牌中共有52张牌，我们从牌中随机抽取一张，记录下此牌的花色，然后将此牌放回。

再次从牌中随机抽取一张，记录下此牌为红桃。

问第一次所抽取的牌为红色的概率是多少？根据题意，第一次所抽取的牌为红色的概率为1/2，因为扑克牌中共有52张牌，其中红色牌有26张。

概率论之随机事件的独立性

随机事件及其概率
A 与 B 之间没有关联或关联很微弱
A 与 B 相互独立
P(AB) P(A)P(B)
§4随机事件的独立性
随机事件及其概率
例一台自动报警器由雷达和计算机两部分组成，两部分如有任何一个出现故障，报警器就失灵．若使用一年后，雷达出故障的概率为 0.2，计算机出故障的概率为 0.1，求这个报警器使用一年后失灵的概率．
§4随机事件的独立性
随机事件及其概率
定理当 P(A) 0 ，P(B) 0 时，若 A, B 相互独立，则
A, B 相容；若 A, B 互不相容，则 A, B 不相互独立.
证明 (1)若 A,B 相互独立,则 P(AB)=P(A)P(B)≠ 0 ，即 A,B 是相容的.
(2)若 A,B 互不相容,则 AB=,P(AB)=0. 因此 0=P(AB)≠ P(A)P(B)>0，即 A,B 是不相互独立.

1 4
则三事件 A, B, C 两两独立.
由于 P( ABC ) 1 1 P( A)P(B)P(C ), 48
因此 A，B，互独立
随机事件及其概率
定义设 A1, A2, , An 是 n(n 2) 个事件，若其中任意两个事件都相互独立，则称 A1, A2 , , An 两两独立（Independence between them）.
Pn (k) Cnk pk qnk , q 1 p, k 0,1, 2, , n
证明设 Ai {第 i 次试验中事件 A 发生}，1 i n ； Bk { n 次试验中事件 A 恰好出现 k 次}， 0 k n ，则
§4随机事件的独立性
随机事件及其概率
Bk A1A2 Ak Ak1 An

概率论与数理统计 4.4 随机变量的独立性

0
1
9
6
0
25 25
6
4
1
25 25
P{ X1
0,
X2
0}
66 10 10
9 25
类似可得其余三个联合概率(见上表)。
再讨论边缘分布
(1)不放回抽取
X2 X1
0
1
pi•
1
4
3
0
3 15
5
4
2
2
1
15 15
5
p• j
3
2
5
5
X1 0
1
3
2
P
5
5
X2 0
1
P3
2
5
5
(2)有放回抽取
X2 X1
0
1
pi•
P(X xi ,Y y j ) P(X xi )P(Y y j )
即
pij pi. p. j
则称 X 和Y 相互独立.
二、例题
概率论
例1 设(X,Y)的概率密度为
xe( x y) , x 0, y 0
f (x, y)
0, 其它
问X和Y是否独立？
解
fX (x)
xe( x y)dy xe x ,
直接求面积
40
P(X <Y) =P(X >Y) =1/2
10
0 15
概率论
x y 5 xy5
45
x
xy
45
x
例3：设( X ,Y )服从二维正态分布，则X与Y相互独立的充要条件是 0.
证明 : 先证充分性
若
1 0, f ( x, y)
21 2