4概率论-独立性

定义 若事件A, B 满足P(AB)= P(A)P(B), 则称事件 A 与 B 相 互独立 . 简称独立 . 不可能事件与任一事件都是相互独立的
必然事件 .
例1 从一副不含大小王的扑克牌中任取一张，记 A={ 抽到 K },
B={ 抽到的牌是黑色的 }，问A、B是否独立？
解 由于 P(A)= 4/52 = 1/13 , P(AB) = 2/52 = 1/26.
两事件互斥
AB
有必然联系
例如
B AB
A
若 P(A) 1 ,P(B) 1 , 22
则 P(AB) P(A)P(B).
由此可见两事件相互独立，但两事件不互斥.
若 P(A) 1 , P(B) 1
2
2
则 P(AB) 0,
B
P(A)P(B) 1 ,
A
4
故 P(AB) P(A)P(B) .
等式总数为：C
2 n
C
3 n
C
n n
(1 1)n
C
1 n
C
0 n
2n
n1.
n个独立事件和的概率公式:
设事件 A1 , A2 ,…, An 相互独立,则
P(A1∪… ∪An) 1 P( A1 A2 … An ) 1 P( A1 A2 … An ) 1 P( A1 )P( A2 )… P( An )
《概率论与数理统计》 第四课：独立性
4 独立性
引例 将一颗均匀骰子连掷两次， 设 A ={第二次掷出6点}， B ={第一次掷出6点}， 显然 P(A|B)= P(A)，
这表明, 事件B发生, 并不影响事件A 发生的概率.
在条件 P(B)>0下， P(A|B)= P(A) P(AB)=P(A)P(B).
例如: 甲、乙两人向同一目标射击, 记 A={甲命中}, B={乙命中}, A 与 B 是否独立？
由于 “甲命中” 并不影响 “ 乙命中” 的概(即一事件发生与否并不影 率响另一事件发生的概率), 故可认为 A 与 B 独立 .
请同学们思考
两事件相互独立与两事件互斥的关系.
两事件相互独立 P( AB) P( A)P(B) 二者之间没
同时成立, 则称事件A、B、C 相互独立 .
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类似可写出 n 个事件的独立性定义： 设 A1,A2, …,An 是 n 个事件，
如果对其中任意一组事件 Ai1, Ai2, , Aik (1< k ≤ n), 有
P( Ai1Ai2 Aik ) P( Ai1)P( Ai2) P (Aik )
则称事件 A1, A2, …,An 为相互独立 .
P(B)= 26/52 = 1/2 ,
显见, P(AB)=P(A)P(B)， 所以事件A、B独立.
也可以通过计算条件概率去做: 由于 P(A) = 1/13, P(A|B)= 2/26 = 1/13,
显见 P(A)= P(A|B), 所以事件A、B 独立.
实际应用中往往根据问题的实际意义判断两事件是否独立
A也1 ,相A2互,…独,立An
n个相互独立事件至少有一个发生的概率
=== 1 - 各自对立事件概率的乘积
若n个相互独立事件 A1 , A2 ,…, An 发生的概率分别为 p1 ,, pn , 则“ A1 , A2 ,…, An 至少有一个发生”的概率为
P(A1∪…∪An) = 1 -(1- p1 ) … (1- pn )
由此可见两事件互斥但不独立.
两个事件独立的定义可以推广到三个事件
对于三个事件A、B、C，若下面的四个等式
P(AB)= P(A)P(B),
P(AC)= P(A)P(C), P(BC)= P(B)P(C),
两两独立
反之？
对n(n>2)个事件
P(ABC)= P(A)P(B)P(C),
两两独立 相互独立
类似可以得出： “ A1 , A2 ,…, An至少有一个不发生”的概率为
P ( A1 A2 … An ) 1 P( A1 )P( A2 )… P( An )
1 p1 p2 … pn