高考冲刺万有引力与航天专题

高考冲刺：万有引力与航天专题

1．天体运动的规律及特点 （1）开普勒三定律

轨道定律：所有的行星围绕太阳运动的轨迹都是椭圆，太阳处在所有椭圆的一个焦点上。 速率定律：行星与太阳的连线在相同的时间内扫过的面积相等。

周期定律：所有行星的轨道的半长轴的三次方与公转周期的二次方的比值都相等，即3

2a k T

=。

（2）天体运动遵守机械能守恒定律。同质量的天体在离中心天体越远的轨道上它的机械能越大。 （3）做匀速圆周运动的天体的角速度、线速度、向心加速度及周期仅由中心天体的质量和轨道半径决定。

2．解决天体运动的方法和依据

（1）万有引力提供向心力使天体做匀速圆周运动。 （2）匀速圆周运动的运动学公式

即222

22

4GMm mv m r m r r r T

πω⋅=== （3）一个常用的代换关系：即在星体表面物体的重力近似等于万有引力，即2

GMm

mg R =。 3．估算中心天体的质量和密度

（1）估算中心天体质量

由2224Mm G m r r T π=⋅，得23

2

4r M GT

π=。 （2）估算中心天体密度

由M V

ρ=得3233r GT R πρ=，式中R 为中心天体的半径。若T 为近表面卫星的运转周期，则

2

3GT

π

ρ=

是恒量。 4．卫星的线速度，角速度，周期，向心加速度以及动能和势能

v = v r

ω==

2r T v π== 2F GM a m r ==引向

2122k GMm

E mv r

=

=

0p E < ||p k E E >（以无穷远处为零势能） 结论：

①天体运动有着自己的特殊性，其绕行的线速度、角速度、向心加速度、周期由中心天体的质量和绕行天体的轨道半径决定，这往往是思维的误区和考查的重点。

②卫星的机械能以及它所受到的力与卫星的质量有关。 5．三个宇宙速度

计算第一宇宙速度的公式

1v =

=1v =

第一宇宙速度：v 1=7.9 km / s ，是人造地球卫星的最小发射速度。

第二宇宙速度：v 2=11.2 km / s ，使物体挣脱地球引力束缚的最小发射速度。 第三宇宙速度：v 3=16.7 km / s ，使物体挣脱太阳引力束缚的最小发射速度。 6．关于同步卫星的四个“一定”

①一定轨道平面：轨道平面与赤道平面共面。 ②一定周期：与地球自转周期相同：即T=24 h 。

③一定高度：由2

2

24()()Mm G m R h R h T

π=++得同步卫星离地面的高度

7

3.610m h R =≈⨯。

④一定速率：33.110m / s v =

≈⨯。 7．弄清一些难点和易混淆的问题

（1）地球赤道上物体的线速度v 1，向心加速度a 1；环绕速度v 2，向心加速度a 2；同步卫星的线速度v 3，向心加速度a 3。它们的关系如何，异同点是什么。 （2）重力和万有引力：重力是物体在地球表面附近受到地球对它的引力而产生的，重力不等于引力，而是引力的一个分力，在地球的两极重力等于万有引力；在赤道上重力最小，G=F 引－m ω2R （如图所示）。

（3）卫星上的“超重”和“失重”：“超重”是卫星进入轨道前加速过程，卫星上的物体“超重”，此情景与“升降机”中物体超重相同。“失重”是卫星进入轨道后正常运转时，卫星上的物体完全“失重”（因为重力提供向心力），因此，在卫星上的仪器，凡是制造原理与重力有关的均不能正常使用。

（4）运行速度和发射速度：对于人造地球卫星，由22Mm v G m r r

=，得v =卫星在半径为r 的轨道上的运行速度，其大小随轨道半径r 的增大而减小。但由于在发射人造地球卫

星的过程中要克服地球引力做功，增大势能，所以将卫星发射到离地球更远的轨道上，在地面所需要的发射速度就越大。

（5）卫星轨道的设置：人造地球卫星的轨道圆心（或椭圆轨道的一个焦点）必须与地心重合。 类型一：对万有引力定律的理解

万有引力发生在任何两个有质量的物体之间，但万有引力定律的公式12

2

Gm m F r

=

却只适用于两个质点间万有引力的计算，其中r 是两质点之间的距离。对万有引定律的几点说明：

①万有引力的大小与两质点的质量之积成正比，不可只注意到一个质点的质量大小，而忽视另一质点质量的大小。

②万有引力的大小与距离平方成反比。

③两个质量均匀分布的球体不论其距离远近都可以视为质量全部集中在球心上的两个质点。 ④质点只受到引力且沿两质点之连线。

1．如图所示，阴影区域是质量为M 、半径为R 的球体挖去一个小圆球后的剩余部分，所挖去的小球体的球心和大球体球心的距离是

2R ，求挖去半径是2

R

的球体后剩余部分对球体外离球心O 距离为2R 、质量为m 的质点P 的引力。

类型二：应用万有引力定律解决问题的方法

应用万有引力定律解决问题的方法是：

（1）明确中心天体和运行天体，形成一幅天体运动的情景。

（2）将万有引力定律和匀速圆周运动的运动学公式结合起来列方程：

通常是222

22

4GMm mv m r m r r r T πω=== （3）运用代换关系消除未知量，代换关系是：对地球而言，若忽略地球的自转时，重力等于万有引力，即2

GMm mg R

=

2

G M R g =地地 2．据媒体报道，嫦娥一号卫星环月工作轨道为圆轨道，轨道高度200 km ，运行周期127分钟。若还知道引力常量和月球平均半径，仅利用以上条件不能求出的是（ ）

A ．月球表面的重力加速度

B ．月球对卫星的吸引力

C ．卫星绕月球运行的速度

D ．卫星绕月运行的加速度 类型三：天体密度的计算

基本计算方法是：（1）2GMm mg R =（2）3

43V R π=（3）M V

ρ= 中心天体的密度 34g

GR

ρπ=

。

注意：（1）上式中R 是中心天体半径或中心天体近地卫星的轨道半径，否则要进行转化。（2）当中心天体没有自转时，上式中的g 就是万有引力产生的加速度，计算结果是精确值；若中心天体自转时，g 表示重力加速度，上式的计算结果是一个近似值。 1．估算地球的平均密度

物理估算是一种重要的方法。有的物理问题，在符合精确度的前提下可以用近似的方法简捷处理；有的物理问题，由于本身条件的特殊性，不需要也不可能进行精确的计算。

3．1789年英国著名物理学家卡文迪许首先估算出了地球的平均密度。根据你学过的知识，能否知道地球平均密度的大小？ 2．估算月球的平均密度

4．我国探月的“嫦娥工程”已启动，在不久的将来，我国宇航员将登上月球。假如宇航员在月球上