§2.3伯努利试验随机游动

虑带有反射壁及弹性壁的随机游动等类型.
当 p = q = 1 时，随机游动称为是对称的，这时质点向 右或向左的概2 率是一样的. 这里只介绍两种最简单的随机
游动模型.
无限制的随机游动
假定质点在时刻0从原点出发，以 Sn表示它在时刻 t = n时的
位置. 为了使质点在时刻 t = n 时位于 y( k也可以是负整数 )，当且仅当在前 n 次游动中向右游动的次数（记为 x）比 向左游动的次数（记为 y）多 k 次.故有
以 f (k; r, p) 记其概率.
Ck 发生当且仅当前面的k-1 次试验中有 r -1 次出现成功， k - r 次失败，而在第 k 次试验的结果是成功，这两个事件的
概率分别为
C p q r−1 r−1 k −r k −1
和
p
利用试验的独立性得
f
(k;
r,
p)
=
Cr−1 k−1
pr−1qk−r
(2)事件A 在每次试验中出现的概率 p 保持不变.
(3)各次试验相互独立,
(4)共进行n次试验.
n 重伯努利试验的基本结果可以记作
ω = (ω1,ω2,",ωn )
其中 ω i 或者为A,或者为 A .这样的 ω 共有 2 n 个，这
2n 个样本点组成了样本空间 Ω .
设样本点 ω = (ω1 , ω2 ," , ω n ) 中有 k 个A ，n- k 个
并称出现 A 为“成功”，A 为“失败”.
这种只有两个结果的试验称为伯努利试验.
在伯努利试验中，首先要给出下面的概率：
P( A) = p, P( A) = q = 1− p. 其中： p ≥ 0, q ≥ 0, p + q = 1.
现在考虑 n 重伯努利试验. 即满足
(1)每次试验至少出现两个可能结果之一： A 与 A
试验出现 A , 因此该事件（记为Wk ）可表示为
W k = A1 A2 " Ak −1 Ak
其中Ai 表示事件A 在第i 次试验出现，A i 表示事件A 在 第i 次试验不出现，根据试验的独立性得
P(Wk ) = P( A1A2 " Ak−1Ak ) = qk−1 p
记
g(k; p) = qk−1 p k = 1, 2,"
⎧x + y = n ⎩⎨x − y = k
即x = n + k ，因为 x为整数，所以 k必须与 n具有相同的
奇2
偶性.
事件{Sn
= k} 发生相当于在前
n次游动中有
n + k 次向右， 2
n−k
有 2 次向左，由二项分布得
n+k n+k n−k
P{Sn = k} = Cn 2 p 2 q 2
当 k 与 n奇偶性相反时，概率为0.
q0 = 0
qa+b = 1
如果某时刻质点位于 x = n ，这里 1 ≤ n ≤ a + b −1 ,则它要
被 x = a + b 点吸收，有两种方式来实现：一种是接下去一 次移动是向右的，即初始位置变为 n +1 而最终在 x = a + b
点被吸收；另一种是接下去一次移动是向左的，即初始位置
P( A) = p, P( A) = q = 1− p. 其中： p ≥ 0, q ≥ 0, p + q = 1.
2、二项分布
下面求在 n 重伯努利试验中事件 A 出现 k 次的概率. 记
该事件为 Bk ,其概率记为 b(k ; n, p)
显然事件
Bk
共包含
C
k n
个样本点.
其中任何一个样本点的
概率都是 pkqn−k .因而事件Bk 的概率为
(2)当 p
≠
q 时，qn+1
− qn
=
q p
(qn
− qn−1)
所以
qn+1
−
qn
=
(
q p
)n
(q1
−
q0 )
n = 1, 2,", a + b −1
故
∑ ∑ qa+b
−
q0
=
a + b −1
(qk +1
k =0
−
qk
)
=
a + b −1
(
k =0
q )k p
(q1
−
q0 )
∑ ∑ qa+b
− qn
=
a + b −1
(qk +1
k =n
− qk )
=
a + b −1 k=n
(
q p
)k
(q1
−
q0 )
上面两式相比得
∑ qa+b ∑ qa+b
的概率是多少？
解 这是一个伯努利概型，所求概率为
g (s; 1 ) = ( n − 1) s−1 ⋅ 1
n
n
n
下面讨论的是更复杂一点的情况，即帕斯卡分布，它是几何 分布的一种推广.
4、帕斯卡分布（负二项分布）
考虑在贝努利试验中，要多长时间才会出现第 r 次成功.
若以 Ck 表示第r 次成功出现在第 k 次试验这一事件，并
记 n = t − r 及 m = t − s ，它们分别是甲乙达到最终获 胜所需再胜的局数. 则分赌注问题归结为：在伯努利试
验中，求在 A出现 m次之前出现 n 次 A的概率.
最终甲获胜 ←⎯→甲再胜第 n 局时，乙至多再胜 m − 1 局.
不妨设乙再胜 k局，k = 0,1, 2," , m − 1,此时，需要 再比赛 n + k 局，甲在前 n + k − 1局中胜 n − 1局，最后一
b(k; n, p) = Cnk pk qn−k , k = 0,1, 2," , n
注意到 b(k; n, p) 是二项式 (q + p ) n 展开式的一般项，因此
称为二项分布. 显然有
n
n
∑ ∑ b(k; n, p) =
C
k n
p k q n−k
=
(q +
p)n
=1
k =0
k =0
【例1】 若在N 件产品中有M 件次品，现进行 n 次有放回 的抽样调查，问共抽得 k 件次品的概率是多少？
获胜的概率p甲及p乙（等于1- p甲），并以p甲 ：p乙作为赌注的
分配比例. 而惠更斯则引入了数学期望的概念.
记 n = t -r 及 m = t -s ，它们分别是甲、乙达到最终获胜
所需再胜的局数.则分赌注问题归结为：在伯努利试验中，求在
A 出现 m 次之前出现n 次 A 的概率.
最终甲获胜 甲再胜第 局时，乙至多再胜 局.
A ,所以由独立性知
P(ω ) = p k q n−k
每个样本点的概率可由上式得到，因而任何事件的概率都可 计算出来.
例如：三重伯努利试验共有8个样本点，
(A, A, A), (A, A, A), (A, A, A), (A, A, A) (A, A, A), (A, A, A), (A, A, A), (A, A, A)
局乙胜. 利用帕斯卡分布得
∞
∞
∑ ∑ p甲 =
f (k;m + k, p) =
Ck m+k
−1
p
k
q
m
k =n
k =n
最终甲获胜←⎯→甲只须而且必须在接下来的 m + n −1局
比赛中至少胜 n局. 不妨设甲再胜 k局，k = n, n + 1," m + n − 1 ,此时，需
要再比赛 m + n − 1局，甲获胜的局数不低于 n局.
解 由于抽样是有放回的，因此这是n 重伯努利试验，记 A表
示抽得次品这一事件，则
p = P(A) = M N
因此所求的概率为
b(k ; n,
p)
=
CLeabharlann k n(M N)k
(1 −
M N
)n−k
3、几何分布
现在求在伯努利试验中首次成功（事件A第一次发生）出 现在第k 次试验的概率. 要使首次成功出现在第k次试验， 必须而且只需在前 k-1 次试验中都出现 A ，而在第 k 次
我们所关心的是质点在时刻 t = n时的位置. 用这种方式描
述的质点运动称为随机游动.
若质点可以在整个数轴的整数点上游动，则称这种随机游动 为无限制随机游动. 若在某点 设有一个吸收壁，质点一到 达这点就被吸收而不再游动，因而整个游动也就结束了，这
种随机游动称为在 d点有吸收壁的随机游动.此外还可以考
局甲胜. 利用帕斯卡分布得
m −1
m −1
∑ ∑ p甲 =
f (k;n + k, p) =
C
k n+
k
−1
p
n
q
k
k =0
k =0
最终甲获胜 ←⎯→ 乙再胜第 m局时，甲再胜的局数不于 n
局.
不妨设甲再胜 k 局，k = n, n + 1,", 此时，需要再比
赛m + k局，乙在前 m + k − 1 局中胜 m − 1局，最后一
【例3】 （分赌注问题） 甲、乙两个赌徒按照如下约定进行
赌博：先胜 t 局者将赢得全部赌注，假定每局甲胜的概率为 p ，乙胜的概率为q =1- p ，没有平局出现. 但进行到甲胜 r 局，乙胜 s 局（r < t , s < t ）时，因故不得不中止比赛. 试
问应如何分配这些赌注才公平合理？
历史上，这个问题曾引起不少人的兴趣，帕斯卡、费马及惠 更斯分别给出了正确的答案. 帕斯卡、费马考虑甲乙两人最终
利用二项分布得
m + n−1
m + n−1
∑ ∑ p甲 =
b(k; m + n − 1, p) =
C p q k
k m + n−1− k
m + n −1
k=n
k=n
可以证明：上述三个答案是相等的（习题29）.
【例4】（巴拿赫火柴问题）数学家的左右衣袋N 中各放有一
盒装有 n 根火柴的火柴盒，每次抽烟时任取一盒用一
2
f
(2N
−
r
+ 1;
N
+ 1,
1) 2
=
CN 2N −r
(1 )2N−r 2
三、直线上的随机游动
考虑 x 轴上的一个质点，假定它只能位于整数点，在时刻 时，它处在初始位置 a ( a是整数），以后每隔单位时间，
它总是受到一个外力的随机作用， 使位置发生变化，分别
以概率 p及概率 q = 1 − p向正的或负的方向移动一个单位，
概率分别为
p0q3
p1q 2
p1q 2
p1q 2
p 2q1
p 2q1
p 2q1
p0q3
历史上，伯努利概型是概率论中最早研究的模型之一，也 是得到最多研究的模型之一，在理论上和应用上都有重要的意 义.
二、伯努利概型中的一些分布
1、伯努利分布
如果只进行一次伯努利试验，则或是事件A出现或是事件 A
出现，其概率为
两端带有吸收壁的随机游动
假定质点在 t = 0时刻时，位于 x =a，而在 x = 0及 x = a + b
处各有一个吸收壁，下面求质点在 x = 0被吸收或在 x = a + b
被吸收的概率. 用差分方程法.
以 qn 表示事件“质点的初始位置为 n 而最终在 x = a + b点
被吸收”的概率. 显然有
⋅
p
=
Cr−1 k−1
pr
qk
−r
k = r, r +1,"
注意到：
∞
∞
∞
∑ ∑ ∑ f (k;r, p) =
C r−1 k −1
p
r
q
k
−r
=
Crl+l−1 pr ql
k =r
k =r
l=0
∞
∑ = C−l r (−1)r prql = pr (1− q)−r = 1
l=0
f (k ; r , p ) 称为帕斯卡分布. 特别当 r =1 时，即为几何分布.
n = 1, 2,", a + b −1
(1)当
p
=
q
=
1 2
时，qn+1
−
qn
=
qn
−
qn−1 .即
q0 , q1,", qa+b
成等差数列. 根据边界条件 q0 = 0，qa+b = 1，易得公差
d= 1 a+b
所以
qn
=
q0
+
nd
=
a
n +b
特别地
qa
=
a
a +
b
n = 1, 2,", a + b −1 n = 1, 2,", a + b −1
根，求他发现一盒用光时，另外一盒r 有 r 根的概率.
解 问题相当于抛掷硬币一直到正面或反面出现 N +1 次
时，另一面只出N 现− r 次的概率. 当正面出N现+ 1 次
时，反面出N现− r 次. 该事件的概率为
f
(2N
−
r
+ 1;N
+ 1,
1) 2
=
C
N 2N
−
r
(
1 2
)
2
N
−r
+1
因而所求事件的概率为
第三节 伯努利试验与直线上的随机游动
一、伯努利概型
在许多问题中，我们对试验感兴趣的是某一类结果(事件A）
是否出现．例如在产品抽样检查中注意的是抽到废品，还是抽 到正品；在抛掷硬币时注意的是出现正面还是出现反面；在电 视节目收视率的调查中注意的调查对象是否观看了节目.
{ } 在这类问题中我们可把一次试验的事件域取为 F = φ, A, A, Ω
g ( k ; p ) 是几何级数的一般项，因此上式称为几何分布.
显然有：
∑ ∑ ∞
∞
g (k ; p) = q k −1 p = p ⋅
1
=1
k =1
k =1
1− q
【例2】 一个人要开门，他有 n 把钥匙，其中仅有一把可以开
这扇门. 他随即地选取一把钥匙开门，即在每次试开时每把钥
匙被选取的概率都是 1 n . 这人在第 s 次试开时才首次成功
变为 n −1而最终在 x = a − b点被吸收. 根据全概率公式有
qn = pqn+1 + qqn−1
n = 1, 2,", a + b −1
利用边界条件 q0 = 0 , qa+b = 1 ,可以求解上述关于 qn的
二阶差分方程. 利用 p + q = 1,可将上述差分方程改写为
p(qn+1 − qn ) = q(qn − qn−1)