大学物理13章习题详细答案

习题13

13-3．如习题13-3图所示，把一块原来不带电的金属板B 移近一块已带有正电荷Q 的金属板A ，平行放置。设两板面积都是S ，板间距为d ，忽略边缘效应，求：(1)板B 不接地时，两板间的电势差。(2)板B 接地时，两板间的电势差。

[解] (1)两带电平板导体相向面上电量大小相等符号相反，而相背面上电量大小相等符号相同，因此当板B 不接地，电荷分布为

因而板间电场强度为 S

Q E 02ε=

电势差为 S

Qd

Ed U 0AB 2ε=

= (2) 板B 接地时，在B 板上感应出负电荷，电荷分布为 故板间电场强度为 S

Q E 0ε=

电势差为 S

Qd

Ed U 0AB ε=

= B A

-Q/2Q/2Q/2Q/2A B -Q

Q

13-4 两块靠近的平行金属板间原为真空。使两板分别带上面电荷密度为σ0的等量异号电荷，这时两板间电压为U0=300V。保持两板上电量不变，将板间空间一半如图习题13-4图所示充以相对电容率为εr=5的电介质，试求

（1）金属板间有电介质部分和无电介质部分的E,D和板上的自由电荷密度σ；

（2）金属板间电压变为多少？电介质上下表面束缚电荷面密度多大？

13-5．如习题13-5图所示，三个无限长的同轴导体圆柱面A、B和C，半径分别为R A、R B、R C。圆柱面B上带电荷，A和C都接地。求B的表面上线电

荷密度λ1和外表面上线电荷密度λ2之比值λ1/λ2。

[解] 由A、C接地

BC

BA

U

U=

由高斯定理知

r

E

1

I2πε

λ

-

=

r

E

2

II2πε

λ

=

A

B

1

1

I

BA

ln

2

d

2

d A

B

A

B R

R

r

r

U R

R

R

Rπε

λ

πε

λ

=

-

=

=⎰

⎰r

E

II

I

B C 020

2II BC ln 2d 2d C

B C

B

R R r r U R R R R πελ

πελ===⎰

⎰r E

B

C 02A B 01ln 2ln 2R R R R πελ

πελ= 因此 A

B B

C 21ln :ln

:R R R R =λλ

13-6．如习题13-6图所示，一厚度为d 的无限大均匀带电导体板，单位面积上两表面带电量之和为σ。试求离左表面的距离为a 的点与离右表面的距离为b 的点之间的电势差。

[解] 导体板场强0=内E ，由高斯定理可得板外场强为

2εσ=

E 故A 、B 两点间电势差为

()a b x x x U b

d a d

a d a a a

B A

-=

++-

=⋅=⎰

⎰⎰⎰++++0

00

AB 2d 2d 0d 2d εσ

εσεσ

l E 13-7．为了测量电介质材料的相对电容率，将一块厚为 1.5cm 的平板材料慢慢地插进一

电容器的距离为2.0cm 的两平行板中间。在插入过程中，电容器的电荷保持不变。插入之后，两板间的电势差减小到原来的60％，求电介质的相对电容率。

[解] 设两平行板间距离为d ，介质板厚度为d '，插入前电容器电势差为U ，插入后为U '，电容器上面电荷密度为σ

插入介质板前电容器场强0

εσ=

E ，电势差0εσd Ed U ==

插入介质板后，电容器空气中场强仍为E ，介质场强r

0εεσ

='E 两板间的电势差

()()r

00εεσεσ

d d d d E d d E U '+'-=

''+'-=' 已知U .U 600='，因此有

()r

00060

.0εεσεσεσd d d d '

+'-= 解此方程得

Ⅰ

Ⅱ

Ⅲ

B

A

1.20

.240.05.15

.14.0r =⨯-=-''=

d d d ε

13-8．半径都是R 的两根无限长均匀带电直导线，其线电荷密度分别为λ+和λ-，两直导线平行放置，相距为d (d >>R )。试求该导体组单位长度的电容。

[解] 可用叠加原理及高斯定理计算两导线间垂直连线上任意点P 的场强。

如图所示，过P 分别做两个长为L ，与两条直导线共轴的闭合圆柱面作为高斯面。根据高斯定理分别计算每条线上电荷产生的场强。

l l rLE λελεπ0

111

d 1

2d =

=

=⋅⎰⎰⎰S Ε

所以 r

E 012πελ

=

同理 ()

r d E -=

022πελ

根据叠加原理，P 点总场强为

⎪⎭

⎫ ⎝⎛-+=

+=r d r E E E 1121021πε 两条线间电压为

R R d r r d r U R

d R

R

d R

-=

⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=⋅=⎰

⎰

--ln d 11

2d 0

0πελπελl E 故单位长度电容

R

R

d U

C -=

=

ln

πελ

13-9．一电容器由两个很长的同轴薄圆筒组成，、外圆筒半径分别为R 1=2cm ，R 2 =5cm ，其间充满相对电容率为εr 的各向同性均匀电介质，电容器接在U =32V 的电源上(如习题13-9图所示)。试求距离轴线R =3.5cm 的点A 处的电场强度和点A 与外筒间的电势差。 [解] 由

Q =⋅⎰⎰S D d L L r D λπ=⋅⋅2

因此 r

D πλ2=

r E r 02επελ=

1

2r 0ln 2d 322

1

R R r E U R R επελ

=

==⎰

因此 1

2r 0ln 2R R U επελ=

R

r P

d

R