上三角矩阵代数

上三角矩阵代数

摘 要

本文主要研究上三角代数的性质及其与路代数的关系，建立了上三角代数与有向图的路代数的同构映射.定义了可上三角化代数()n P K 和上三角化矩阵P ，()n P K 是所有形如1P TP -的矩阵的集合所形成的代数（它的结合法是矩阵的加法和乘法），其中T ∈()n T K ，P ∈()n M K ，且P 可逆，称P 为()n P K 的上三角化矩阵.初步探讨了()n M K 的子代数是否是可上三角化代数，若是可上三角化代数，其上三角化矩阵是否唯一.具体讨论了n=2的情况，最终由()n M K 的可上三角化子代数的个数有限得出()n M K 至少有一个可上三角化代数的上三角化矩阵不唯一地结论.

关键词：上三角矩阵代数，有向图，路代数，可上三角化代数，上三角化矩阵

HIGHER TRIANGULAR MATRIX ALGEBRAS

ABSTRACT

In this paper, we study upper triangular matrix algebras, and its connection with path algebras. The isomorphism between upper triangular matrix algebra and the corresponding path algebra is given. As a generalization, upper triangulable matrix algebras ()n P K and upper triangulable matrix P are defined and studied. ()n P K consisting of all matrices like 1P TP -(its combination is the addition and multiplication of matrices), Among them T ∈()n T K ，P ∈()n M K and P is reversible. we call P is the upper triangulable matrix of ()n P K . We also discuss whether the subalgebra of ()n M K is a upper triangular matrix algebra and the upper triangulable matrix of a upper triangular matrix algebra is unique. We also give a concrete example of n=2 to illustrate our theory. Finally we draw a conclusion that there is at least one upper triangular matrix algebra of ()n M K which its upper triangulable matrix is not unique .

KEY WORDS : upper triangle matrix algebras ，quivers ，path algebras ，upper triangular matrix algebras ，upper triangulable matrix

目录

前言....................................................................... 错误！未定义书签。第一章预备知识 ................................................ 错误！未定义书签。§1.1 群.. (5)

§1.2 环 (6)

§1.3 体................................................................ 错误！未定义书签。§1.4 模.. (8)

§1.5 代数 (9)

§1.6 同构映射 (10)

§1.7 有向图与路代数 (11)

第二章上三角矩阵代数 .................................... 错误！未定义书签。§2.1 上三角矩阵 . (13)

§2.2 上三角矩阵代数 (13)

§2.3 上三角矩阵代数与路代数的同构 (15)

第三章可上三角化代数 (18)

§3.1 可上三角化矩阵 (18)

§3.2 可上三角化代数

结论 (22)

参考文献 (23)

致谢 (24)

前言

代数是研究数、数量、关系与结构的数学分支。代数的研究对象不仅是数字，而是各种抽象化的结构。常见的代数结构类型有群、环、域、模、线性空间等。代数学一直是数学的主要支柱之一，是数学方法和思想的重要源泉．代数方法和结果具有广泛适用性。表示理论是代数学中具有根本性的问题，是当前国际上数学研究的前沿重点课题，在数学的其它分支，量子物理与粒子物理学以及化学等其它学科中有深刻而广泛的应用。代数表示理论是兴起于上世纪70年代的一个重要的代数分支。它的基本内容是研究一个Artin代数上的模范畴。在近二十五年的时间里，这一理论有了很大的发展并逐步趋于完善。代数表示理论主要研究非半单有限维(亦包括若干无限维)代数的结构、不可分解表示和模范畴的整体构造．它所关心的根本问题是一个系统(代数系统)在对外部空间(向量空间)作用下的表示行为。研究中遇到的最大问题是：一个相对简单的代数系统却有着相当复杂，深刻但很优美的表示范畴。目前，有限维代数表示论被分成三大块：有限表示型，Tame表示型和野(wild)表示型．30年来，由于Quiver表示，几乎可分裂序列和倾斜函子等独特技巧和方法的创立，也由于它和群表示论，Lie代数，代数群，代数几何等的紧密联系，特别是近年与量子群等新兴学科的本质联系，代数表示论一直处于蓬勃发展中。用箭图刻画代数及其表示有多种方法。一种方法是Gabriel箭图。这是最常用的一种。我们要具体画出各种类型的有限表示型代数的Gabriel箭图。它可以直观清晰地刻画代数的模范畴结构。

对于有限表示型代数，由于Gabriel等人完善了覆盖理论(源于代数拓扑)，最主要的问题已经解决．根据有限表示型代数的乘法基定理，可推出任意给定维数的有限表示型的代数仅有有限多个同类。

本项目运用已给结论，刻画各类有限表示型代数。具体绘制其Auslander-Reiten箭图。

第一章给出文章所要用到的基本概念，包括群，环，体，模，代数，有向图，路代数以及同构等概念。第二章给出了上三角代数的定义，并作出了上三角代数与路代数的同构映射。第三章给出可上三角化代数以及上三角化矩阵的概念，并讨论了上三角化代数的一些性质