高考导数分类汇编

全国高考理科数学分类汇编——函数与导数

1.（北京）能说明“若f（x）＞f（0）对任意的x∈（0，2]都成立，则f（x）在[0，2]上是增函数”为假命题的一个函数是f（x）=sinx．

【解答】解：例如f（x）=sinx，尽管f（x）＞f（0）对任意的x∈（0，2]都成立，

当x∈[0，）上为增函数，在（，2]为减函数，故答案为：f（x）=sinx．

2.（北京）设函数f（x）=[ax2﹣（4a+1）x+4a+3]e x．

（Ⅰ）若曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线与x轴平行，求a；

（Ⅱ）若f（x）在x=2处取得极小值，求a的取值范围．

【解答】解：（Ⅰ）函数f（x）=[ax2﹣（4a+1）x+4a+3]e x的导数为

f′（x）=[ax2﹣（2a+1）x+2]e x．由题意可得曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线斜率为0，可得（a﹣2a﹣1+2）e=0，解得a=1；

（Ⅱ）f（x）的导数为f′（x）=[ax2﹣（2a+1）x+2]e x=（x﹣2）（ax﹣1）e x，

若a=0则x＜2时，f′（x）＞0，f（x）递增；x＞2，f′（x）＜0，f（x）递减．

x=2处f（x）取得极大值，不符题意；

若a＞0，且a=，则f′（x）=（x﹣2）2e x≥0，f（x）递增，无极值；

若a＞，则＜2，f（x）在（，2）递减；在（2，+∞），（﹣∞，）递增，

可得f（x）在x=2处取得极小值；

若0＜a＜，则＞2，f（x）在（2，）递减；在（，+∞），（﹣∞，2）递增，

可得f（x）在x=2处取得极大值，不符题意；

若a＜0，则＜2，f（x）在（，2）递增；在（2，+∞），（﹣∞，）递减，

可得f（x）在x=2处取得极大值，不符题意．

综上可得，a的范围是（，+∞）．

3.（江苏）函数f（x）=的定义域为[2，+∞）．

【解答】解：由题意得：≥1，解得：x≥2，∴函数f（x）的定义域是[2，+∞）．

故答案为：[2，+∞）．

4.（江苏）函数f（x）满足f（x+4）=f（x）（x∈R），且在区间（﹣2，2]上，f（x）=，则f（f（15））的值为．

【解答】解：由f（x+4）=f（x）得函数是周期为4的周期函数，则f（15）=f（16﹣1）=f（﹣1）=|﹣1+|=，f（）=cos（）=cos=，即f（f（15））=，

故答案为：

5.（江苏）若函数f（x）=2x3﹣ax2+1（a∈R）在（0，+∞）内有且只有一个零点，则f（x）在[﹣1，1]上的最大值与最小值的和为﹣3．

【解答】解：∵函数f（x）=2x3﹣ax2+1（a∈R）在（0，+∞）内有且只有一个零点，

∴f′（x）=2x（3x﹣a），x∈（0，+∞），①当a≤0时，f′（x）=2x（3x﹣a）＞0，

函数f（x）在（0，+∞）上单调递增，f（0）=1，f（x）在（0，+∞）上没有零点，舍去；

②当a＞0时，f′（x）=2x（3x﹣a）＞0的解为x＞，∴f（x）在（0，）上递减，在（，+∞）递增，又f（x）只有一个零点，∴f（）=﹣+1=0，解得a=3，

f（x）=2x3﹣3x2+1，f′（x）=6x（x﹣1），x∈[﹣1，1]，f′（x）＞0的解集为（﹣1，0），

f（x）在（﹣1，0）上递增，在（0，1）上递减；f（﹣1）=﹣4，f（0）=1，f（1）=0，

∴f（x）min=f（﹣1）=﹣4，f（x）max=f（0）=1，∴f（x）在[﹣1，1]上的最大值与最小值的和为：f（x）max+f（x）min=﹣4+1=﹣3．

6.（江苏）记f′（x），g′（x）分别为函数f（x），g（x）的导函数．若存在x0∈R，满足f（x0）=g（x0）且f′（x0）=g′（x0），则称x0为函数f（x）与g（x）的一个“S点”．

（1）证明：函数f（x）=x与g（x）=x2+2x﹣2不存在“S点”；

（2）若函数f（x）=ax2﹣1与g（x）=lnx存在“S点”，求实数a的值；

（3）已知函数f（x）=﹣x2+a，g（x）=．对任意a＞0，判断是否存在b＞0，使函数f（x）与g（x）在区间（0，+∞）内存在“S点”，并说明理由．

【解答】解：（1）证明：f′（x）=1，g′（x）=2x+2，

则由定义得，得方程无解，则f（x）=x与g（x）=x2+2x﹣2不存在“S点”；

（2）f′（x）=2ax，g′（x）=，x＞0，由f′（x）=g′（x）得=2ax，得x=，

f（）=﹣=g（）=﹣lna2，得a=；

（3）f′（x）=﹣2x，g′（x）=，（x≠0），

由f′（x0）=g′（x0），得b=﹣＞0，得0＜x0＜1，

由f（x0）=g（x0），得﹣x02+a==﹣，得a=x02﹣，

令h（x）=x2﹣﹣a=，（a＞0，0＜x＜1），

设m（x）=﹣x3+3x2+ax﹣a，（a＞0，0＜x＜1），

则m（0）=﹣a＜0，m（1）=2＞0，得m（0）m（1）＜0，

又m（x）的图象在（0，1）上连续不断，则m（x）在（0，1）上有零点，则h（x）在（0，1）上有零点，则f（x）与g（x）在区间（0，+∞）内存在“S”点．

7.（全国1卷）设函数f（x）=x3+（a﹣1）x2+ax．若f（x）为奇函数，则曲线y=f（x）在点（0，0）处的切线方程为（）D

A．y=﹣2x B．y=﹣x C．y=2x D．y=x

【解答】解：函数f（x）=x3+（a﹣1）x2+ax，若f（x）为奇函数，可得a=1，所以函数f（x）=x3+x，可得f′（x）=3x2+1，曲线y=f（x）在点（0，0）处的切线的斜率为：1，则曲线y=f（x）在点（0，0）处的切线方程为：y=x．故选：D．

8.（全国1卷）已知函数f（x）=，g（x）=f（x）+x+a．若g（x）存在2个零点，

则a的取值范围是（）C

A．[﹣1，0）B．[0，+∞）C．[﹣1，+∞）D．[1，+∞）

【解答】解：由g（x）=0得f（x）=﹣x﹣a，作出函数f（x）和y=﹣x﹣a的图象如图：

当直线y=﹣x﹣a的截距﹣a≤1，即a≥﹣1时，两个函数的图象都有2个交点，

即函数g（x）存在2个零点，故实数a的取值范围是[﹣1，+∞），故选：C．