最新一轮复习-空间中的垂直关系幻灯片
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证明: AC B1D
题型二 线面垂直问题
【典例 2】如图，在四棱锥 P ABCD 中， PA 平面 ABCD ，底面
ABCD是菱形，其中 AB 2 , BAD 60 .
（I）求证: BD 平面 PAC ； （II）若 PA AB，求四棱锥 P ABCD 的体积.
P
D
A
C
B
【变式 2】已知 ABC 中 ACB 90 ， SA 面 ABC ， AD SC . 求证： AD 面 SBC ．
那么这两个平面相互平行；
④若一条直线垂直于一个平面内的任一直线，那么
这条直线垂直于这个平面．
其中真命题的个数是 ( B )
A．1
B．2
C．3
D．4
4．设α、β、γ为彼此不重合的三个平面，l为直线，给出 下列命题： ①若α∥β，α⊥γ，则β⊥γ； ②若α⊥γ，β⊥γ，且α∩β＝l，则l⊥γ； ③若直线l与平面α内的无数条直线垂直，则直线l与平面α 垂直； ④若α内存在不共线的三点到β的距离相等，则平面α平行 于平面β.
2 线平行
a⊥α b⊥α
⇒a∥b
三、平面与平面垂直 1．平面与平面垂直的定义：
如果两个相交平面的交线 与第三个平面垂直，又这两个平 面与第三个平面相交所得两条交线 互相垂直 ，就称这两个 平面互相垂直．
m
n
2．平面与平面垂直的判定定理:
判定 定理
文字语言 如果一个平面过另 一个平面的一 条 垂线 ，则这两 个平面互相垂直
PAB 的距离.
7．（2013 年辽宁）如图,AB 是圆的直径,PA 垂直 圆所在的平面,C 是圆上的点.
求证: 平面PAC 平面PBC；
1．(教材习题改编)给出下列四个命题：
①垂直于同一平面的两条直线相互平行；
②垂直于同一平面的两个平面相互平行；
③若一个平面内有无数条直线与另一个平面都平行，
和这个平文面字互语相言垂直． 图形语言
符号语言
如果一条直线与平面
判定 内的 两条相交直线 都
定理 垂直，则该直线与这
个平面垂直.
文字语言
图形语言
如果在两条平行直线 推论 中，有一条垂直于平 1 面，那么另一条直线
也垂直 这个平面
符号语言
a∥b a⊥α
⇒b⊥α
如果两条直线垂直于 推论 同一个平面的两条直
【典例 1】如图，在直三棱柱 ABC A1B1C1 中， AC 3， BC 4， AA1 4 ， AB 5. 点 D 是 AB 的中点，
（I）求证： AC BC1； （II）求证： AC1 // 面 CDB1 .
变式 1:（2013 年湖南（理））如图 5,在直棱柱
ABCD A1B1C1D1中，AD / / BC , BAD 90 , AC BD, BC 1, AD AA1 3.
积比 VACDE ： VPABCE.
P
E
A
D
B
C
3. （2012 高考新课标））如图，三棱柱 ABC A1B1C1 中，侧棱垂直底面，
ACB 90
， AC
BC
1 2
AA1
，D
是棱
AA1
的中点.(Ｉ)
证明：平面
BDC 平面 BDC1 ；（Ⅱ）平面 BDC1 分此棱柱为两部分，求这两部分体
积的比 .
图形语言
符号语言
l⊂β l⊥α
⇒α⊥β
3．平面与平面垂直的性质定理:
文字语言 如果两个平面互相 垂直，则一个平面 性质 内垂直于 交线的直 定理 线垂直于另一个平 面
图形语言
符号语言
α⊥β
l⊂β
α∩β＝a l⊥a
⇒l⊥α
2．几个常用的结论. (1)过空间任一点有且只有一条直线与已知平面垂直； (2)过空间任一点有且只有一个平面与已知直线垂直； (3)垂直于同一平面的两条直线互相平行； (4)垂直于同一直线的两个平面互相平行．
1 ．（ 2013 新课 标 Ⅱ） 已知 m, n 为 异面直线, m 平面
, n 平 面 . 直 线 l 满 足
l m,l n,l ,l ,则（ ）
A． // ,且 l // B． ,且 l C． 与 相交,且交线垂直于 l D． 与 相交,且交线平行于 l
题型一：线线垂直问题
1 ．（2013 广东）设 m, n 是两条不同的直线,, 是两
个不同的平面,下列命题中正确的是（ ）
A．若 , m , n ,则 m n B.若 // , m , n ,则 m // n C．若 m n , m , n ,则
D．若 m , m // n , n // ,则
S
D
A
B
C
题型三 面面垂直问题
【典例 3】如图，四棱锥 P ABCD 的底面 ABCD为矩形，且 PA AD 1 ， AB 2 ，
PAB 120 ， PBC 90 .
（1）求证：平面 PAD 平面 PAB ；
（2）求三棱锥 P ABC 的体积.
D
C
A
B
Leabharlann Baidu
P
【变式 3】如图，在底面是矩形的四棱锥 P ABCD 中， PA 面 ABCD， E 是 PD 的中点. （I）求证：平面 PDC 平面 PDA ； （II）求几何体 P ABCD 被平面 ACE 分得的两部分的体
4.如图，四边形 ABCD为矩形 DA 平面 ABE ABE AE EB BC 2 ， BF 平面 ACE 于点 F ，且点 F 在 CE 上.（Ⅰ）求证：DE BE ；（Ⅱ） 设点 M 在线段 AB 上，且 MA MB ，试在线段 CE 上确 A 定一点 N ，使 得 MN // 面 DAE .
5.（2012 高考陕西）直三棱柱 ABC A1B1C1 中，
AB
AA1
， CAB
2
.（Ⅰ）证明 CB1
BA1
；
（ Ⅱ ） 已 知 AB 2 ， BC 5 ， 求 三 棱 锥
C1 ABA1 的体积.
6.如图在正三棱锥 P ABC 中，侧棱长为 3， 底面边长为 2， E 为 BC 的中点. (1)求证：BC 平面 PAE ；(2)求点 C 到平面
一轮复习-空间中的垂直关 系
一、两条直线互相垂直 定义：如果两条直线相交于一点或 经过平移后 相交
于一点，并且交角为 直角 ，则称这两条直线互相垂直．
二、直线与平面垂直
1．直线与平面垂直的定义：
如果一条直线和一个平面相交于点O，并且和这个 2．直线与平面垂直的判定定理及推论.
平面内过交点(O)的任何直线都垂直，就说这条直线
题型二 线面垂直问题
【典例 2】如图，在四棱锥 P ABCD 中， PA 平面 ABCD ，底面
ABCD是菱形，其中 AB 2 , BAD 60 .
（I）求证: BD 平面 PAC ； （II）若 PA AB，求四棱锥 P ABCD 的体积.
P
D
A
C
B
【变式 2】已知 ABC 中 ACB 90 ， SA 面 ABC ， AD SC . 求证： AD 面 SBC ．
那么这两个平面相互平行；
④若一条直线垂直于一个平面内的任一直线，那么
这条直线垂直于这个平面．
其中真命题的个数是 ( B )
A．1
B．2
C．3
D．4
4．设α、β、γ为彼此不重合的三个平面，l为直线，给出 下列命题： ①若α∥β，α⊥γ，则β⊥γ； ②若α⊥γ，β⊥γ，且α∩β＝l，则l⊥γ； ③若直线l与平面α内的无数条直线垂直，则直线l与平面α 垂直； ④若α内存在不共线的三点到β的距离相等，则平面α平行 于平面β.
2 线平行
a⊥α b⊥α
⇒a∥b
三、平面与平面垂直 1．平面与平面垂直的定义：
如果两个相交平面的交线 与第三个平面垂直，又这两个平 面与第三个平面相交所得两条交线 互相垂直 ，就称这两个 平面互相垂直．
m
n
2．平面与平面垂直的判定定理:
判定 定理
文字语言 如果一个平面过另 一个平面的一 条 垂线 ，则这两 个平面互相垂直
PAB 的距离.
7．（2013 年辽宁）如图,AB 是圆的直径,PA 垂直 圆所在的平面,C 是圆上的点.
求证: 平面PAC 平面PBC；
1．(教材习题改编)给出下列四个命题：
①垂直于同一平面的两条直线相互平行；
②垂直于同一平面的两个平面相互平行；
③若一个平面内有无数条直线与另一个平面都平行，
和这个平文面字互语相言垂直． 图形语言
符号语言
如果一条直线与平面
判定 内的 两条相交直线 都
定理 垂直，则该直线与这
个平面垂直.
文字语言
图形语言
如果在两条平行直线 推论 中，有一条垂直于平 1 面，那么另一条直线
也垂直 这个平面
符号语言
a∥b a⊥α
⇒b⊥α
如果两条直线垂直于 推论 同一个平面的两条直
【典例 1】如图，在直三棱柱 ABC A1B1C1 中， AC 3， BC 4， AA1 4 ， AB 5. 点 D 是 AB 的中点，
（I）求证： AC BC1； （II）求证： AC1 // 面 CDB1 .
变式 1:（2013 年湖南（理））如图 5,在直棱柱
ABCD A1B1C1D1中，AD / / BC , BAD 90 , AC BD, BC 1, AD AA1 3.
积比 VACDE ： VPABCE.
P
E
A
D
B
C
3. （2012 高考新课标））如图，三棱柱 ABC A1B1C1 中，侧棱垂直底面，
ACB 90
， AC
BC
1 2
AA1
，D
是棱
AA1
的中点.(Ｉ)
证明：平面
BDC 平面 BDC1 ；（Ⅱ）平面 BDC1 分此棱柱为两部分，求这两部分体
积的比 .
图形语言
符号语言
l⊂β l⊥α
⇒α⊥β
3．平面与平面垂直的性质定理:
文字语言 如果两个平面互相 垂直，则一个平面 性质 内垂直于 交线的直 定理 线垂直于另一个平 面
图形语言
符号语言
α⊥β
l⊂β
α∩β＝a l⊥a
⇒l⊥α
2．几个常用的结论. (1)过空间任一点有且只有一条直线与已知平面垂直； (2)过空间任一点有且只有一个平面与已知直线垂直； (3)垂直于同一平面的两条直线互相平行； (4)垂直于同一直线的两个平面互相平行．
1 ．（ 2013 新课 标 Ⅱ） 已知 m, n 为 异面直线, m 平面
, n 平 面 . 直 线 l 满 足
l m,l n,l ,l ,则（ ）
A． // ,且 l // B． ,且 l C． 与 相交,且交线垂直于 l D． 与 相交,且交线平行于 l
题型一：线线垂直问题
1 ．（2013 广东）设 m, n 是两条不同的直线,, 是两
个不同的平面,下列命题中正确的是（ ）
A．若 , m , n ,则 m n B.若 // , m , n ,则 m // n C．若 m n , m , n ,则
D．若 m , m // n , n // ,则
S
D
A
B
C
题型三 面面垂直问题
【典例 3】如图，四棱锥 P ABCD 的底面 ABCD为矩形，且 PA AD 1 ， AB 2 ，
PAB 120 ， PBC 90 .
（1）求证：平面 PAD 平面 PAB ；
（2）求三棱锥 P ABC 的体积.
D
C
A
B
Leabharlann Baidu
P
【变式 3】如图，在底面是矩形的四棱锥 P ABCD 中， PA 面 ABCD， E 是 PD 的中点. （I）求证：平面 PDC 平面 PDA ； （II）求几何体 P ABCD 被平面 ACE 分得的两部分的体
4.如图，四边形 ABCD为矩形 DA 平面 ABE ABE AE EB BC 2 ， BF 平面 ACE 于点 F ，且点 F 在 CE 上.（Ⅰ）求证：DE BE ；（Ⅱ） 设点 M 在线段 AB 上，且 MA MB ，试在线段 CE 上确 A 定一点 N ，使 得 MN // 面 DAE .
5.（2012 高考陕西）直三棱柱 ABC A1B1C1 中，
AB
AA1
， CAB
2
.（Ⅰ）证明 CB1
BA1
；
（ Ⅱ ） 已 知 AB 2 ， BC 5 ， 求 三 棱 锥
C1 ABA1 的体积.
6.如图在正三棱锥 P ABC 中，侧棱长为 3， 底面边长为 2， E 为 BC 的中点. (1)求证：BC 平面 PAE ；(2)求点 C 到平面
一轮复习-空间中的垂直关 系
一、两条直线互相垂直 定义：如果两条直线相交于一点或 经过平移后 相交
于一点，并且交角为 直角 ，则称这两条直线互相垂直．
二、直线与平面垂直
1．直线与平面垂直的定义：
如果一条直线和一个平面相交于点O，并且和这个 2．直线与平面垂直的判定定理及推论.
平面内过交点(O)的任何直线都垂直，就说这条直线