南航矩阵论第一章PPT课件

A B
B A
差集 A \ B x x A且 x B
A\B AB
余集 BAc A \ B (其中B A)
B ABAc
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由集合的交与并运算的定义，显然有 AAB BAB
AAA AA
ABA ABB
AAA A
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定理 1.1.1 设A、B、C是三个集合,则
无此关系。
2. 由对集合中各元素性质的研究转化为对一个
等价类的研究，大大减少了工作量。
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例 4： A={矩阵论五班学生}， R: 为同性别关系。
则【男1】R {男生}，【女1】R {女生}。
A / R 【{ 男1】R【, 女1】R}.
例 5：
Ａ＝｛５２张扑克｝
Ｒ1＝｛（ａ，ｂ）｜ａ与ｂ同花，ａ，ｂ是扑克｝ Ｒ2＝｛（ａ，ｂ）｜ａ与ｂ同点，ａ，ｂ是扑克｝
（ａ2，ｂ2），（ａ2，ｂ4）， （ａ3，ｂ3），（ａ3，ｂ4）,
（ａ4，ｂ1），（ａ4，ｂ4） ｝
是选双学位专业的二元关系。
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定义1.1.4 若集合A上的一个二元关系R 满足
（1） 自反性：对任意 a A ，有aRa；
（2） 对称性：对任意 a, b A，如果aRb，
则bRa；
（3） 传递性：对任意 a, b, c A ，如果
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则 Ｒ1把Ａ分为四类同花类， Ｒ2把Ａ分为１３类同点类。
A B {(a,b) | a A,b B}
特例: R R 记
R2
为平面上的全体点集
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B AB
A
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定义1.1.3 设A、B是两个集合，A B 的子集
R 称为 A B 中的一个二元关系，即按某种
规定，定义了一个有序对(a,b)的集合R，
其中a A,b B. 记为：aRb.
例如 , N Z,wk.baidu.comZ Q , Q R
显然有下列关系 :
(1) A A; A A; A
(2) A B且 B C
AC
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定义 3 . 给定两个集合 A, B, 定义下列运算:
并集 A B x x A 或 x B 交集 A B x x A 且 x B
例: 有限集合 A a1 , a2 , , an 自然数集 N 0, 1 , 2 , , n,
(2) 描述法：指把集合中元素所具有的特征性质表示出来。
M x x 所具有的特征
例: 整数集合 Z x x N 或 x N
有理数集
Q
p q
pZ, q N,
p 与 q 互质
为A B上的一个二元关系。
例 2：A={矩阵论五班学生}。
显然，均来自于南京的同学关系R是A上的 一个二元关系。
想一想： 在该例中还存在什么关系？
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例 ３：
Ａ＝｛ 张华，王兵，陈平，李兰
a1
a2
a3
a4
Ｂ＝｛ 软件，硬件，自动化，遥感
b1
b2
b3
b4
则：Ｒ1＝｛（ａ1，ｂ1），（ａ1，ｂ3），
(1).交换律：A B B A, A B B A
(2).结合律: A (B C) ( A B) C A (B C) ( A B) C
(3).分配律 : A (B C) (A B) (A C) A (B C) (A B) (A C)
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1.1.2 二元关系与等价关系
定义1.1.2 设A、B是两个非空集合，元素对 的集合 {(a,b) | a A,b B} 为A与B 的笛卡 儿积，记作 A B ，即
实数集合 R x x 为有理数或无理数
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2. 集合之间的关系及运算
定义2 . 设有集合 A, B , 若 x A 必有 x B , 则称 A
是 B 的子集 , 或称 B 包含 A , 记作 A B
若 A B 且 B A 则称 A 与 B 相等, 记作 A B .
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1.1 预备知识：集合·映射与数域 1.2 线性空间 1.3 基与坐标 1.4 线性子空间 1.5 线性空间的同构 1.6 内积空间
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1.1 预备知识：集合·映射与数域
1.1.1 集合及其运算 1.1.2 二元关系与等价关系 1.1.3 映射 1.1.4 数域与代数运算
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1.1.1 集合
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教材: 《矩阵论》，戴华编，科学出版社。 主要参考书：
1. 方保镕，周继东编，矩阵论，清华大学出版社，2004.
2. 刘慧等，矩阵论及应用，化学工业出版，2003. 3.程云鹏，矩阵论，西安工业大学出版，2000. 4. 罗家洪，矩阵分析引论，华南理工大学出版，2002.
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第1章 线性空间与内积空间
1. 定义及表示法
定义 1. 具有某种特定性质的事物的总体称为 集合.
组成集合的事物称为元素.
不含任何元素的集合称为空集 , 记作 .
元素 a 属于集合 M , 记作 a M .
元素 a 不属于集合 M , 记作 a M ( 或 a M ) .
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表示法：
(1) 列举法： 按某种方式列出集合中的全体元素 .
特别地，A A 中的二元关系简称为A上的二
元关系。
实质：二元关系是描述两个集合之间元素与元素
的关系或者是一个集合内部两个元素之间的关系，
它是满足某种规律的有序对全体。
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例 1：
设A {甲，乙，丙，丁}(四个人），B {1, 2,3（} 三套房间）， A与B之间是一个住宿关系。
显然，R {(甲，1),(乙，3),(丁，3),(丙，2)} A B
aRb，bRc，则aRc
则称R是A上的一个等价关系。
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定义1.1.5 设R是A上的一个等价关系，a A
称 [a] {x | x A, xRa} 为a关于R的等价类。
A的所有元素关于R的等价类集合
A R {[a] | a A}
称为A关于R的商集。
特点：
1. 同一等价类之间有关系R, 而不同等价类之间
第2章 线性映射与线性变换
第3章 λ-矩阵与矩阵的Jordan标准形 第4章 矩阵的因子分解 第5章 Hermite矩阵与正定矩阵
第6章 范数与极限 第7章 矩阵函数与矩阵值函数
第8章 广义逆矩阵
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第1章 线性空间与内积空间
本章概述线性空间与内积空间的基本 概念和基本理论。这些概念是通常几何空 间概念的推广和抽象。在近代数学发展中， 这些概念和理论已渗透到数学的各个分支。 本章内容是学习本书的基础。