南航矩阵论第一章PPT课件
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南航矩阵论第一章 ppt课件
证明 （1） 如果R是A上的等价关系，则 A/R给出了A的一个分类。
（2） 如果 {Bi}是A的一个分类，令 R {( x, y) |存在 Bi ，使得 x Bi , y Bi}
则R是A上的一个等价关系。
24
定义1.1.6’ 若集合A上的一个二元关系R满足
（1） 自反性：对任意 a A，有aRa； （2） 反对称性：对任意a, b A，如果aRb，
1.1.8 逆映射的定义
定义: 设有映射 f : A B, 若存在一新映射
g : B A,
使 g. f
IA ,
f .g
IB,
I
A
,
I
为恒等映射，
B
称此映射 g为 f 的逆映射 ,
f
习惯上 计为 f 1.
A
f 1
B
若f有逆映射，则称f可逆.
例如, 映射 y x2, x (, 0] , 其逆映射为 y x , x[ 0, )
22
定义1.1.6 设每个 Bi (i I )都是集合A的非空
子集，如果 A Bi ，并且对任意i, j I ，
当i
j
时有
B iI i
B
j
，则称 {Bi} 是A的
一个分类。
23
定理1.1.2 （1） 集合A上的每个等价关系R 都决定A的一个分类。
（2） 集合A的每个分类都决定A 上的一个等价关系。
1
教材: 《矩阵论》，戴华编，科学出版社。 主要参考书：
1. 方保镕，周继东编，矩阵论，清华大学出版社，2004.
2. 刘慧等，矩阵论及应用，化学工业出版，2003. 3.程云鹏，矩阵论，西安工业大学出版，2000. 4. 罗家洪，矩阵分析引论，华南理工大学出版，2002.
（2） 如果 {Bi}是A的一个分类，令 R {( x, y) |存在 Bi ，使得 x Bi , y Bi}
则R是A上的一个等价关系。
24
定义1.1.6’ 若集合A上的一个二元关系R满足
（1） 自反性：对任意 a A，有aRa； （2） 反对称性：对任意a, b A，如果aRb，
1.1.8 逆映射的定义
定义: 设有映射 f : A B, 若存在一新映射
g : B A,
使 g. f
IA ,
f .g
IB,
I
A
,
I
为恒等映射，
B
称此映射 g为 f 的逆映射 ,
f
习惯上 计为 f 1.
A
f 1
B
若f有逆映射，则称f可逆.
例如, 映射 y x2, x (, 0] , 其逆映射为 y x , x[ 0, )
22
定义1.1.6 设每个 Bi (i I )都是集合A的非空
子集，如果 A Bi ，并且对任意i, j I ，
当i
j
时有
B iI i
B
j
，则称 {Bi} 是A的
一个分类。
23
定理1.1.2 （1） 集合A上的每个等价关系R 都决定A的一个分类。
（2） 集合A的每个分类都决定A 上的一个等价关系。
1
教材: 《矩阵论》，戴华编，科学出版社。 主要参考书：
1. 方保镕，周继东编，矩阵论，清华大学出版社，2004.
2. 刘慧等，矩阵论及应用，化学工业出版，2003. 3.程云鹏，矩阵论，西安工业大学出版，2000. 4. 罗家洪，矩阵分析引论，华南理工大学出版，2002.
矩阵论第一章第二节PPT课件
分析： 设 dimV n, 1, 2, , n 是V的一组基，
线性变换 在这组基下的矩阵为A.
设 0是 的特征值，它的一个特征向量 在基
1,2,
, n 下的坐标记为
x01 ,
x0n
则 ( )在基 1, 2 ,
, n下的坐标为
x01 A ,
x0n
x01
而0
的坐标是
0
x0n
21 11
k 1 k
k k 1
.
例. 在线性空间 P3 中，线性变换 定义如下：
(1 ) (2 )
( 5, 0, (0, 1,
3) 6)
,
(3 ) (5, 1,9)
其中, 12((01,,10,,12)) 3 (3, 1,0)
（1）求 在标准基 1, 2 , 3 下的矩阵. （2）求 在 1,2 ,3 下的矩阵.
② 若 是 的属于特征值 0的特征向量，则 k (k P,k 0) 也是 的属于0 的特征向量.
(k ) k ( ) k(0 ) 0(k )
由此知，特征向量不是被特征值所唯一确定的， 但是特征值却是被特征向量所唯一确定的，即
若 ( ) 且 ( ) ，则 .
2、特征值与特征向量的求法
5 0 5
因而，
AX
0 3
1 6
1 9
,
5 0 5
5 0 5 1 0 3 1
A
0 3
1 6
1 9
X
1
0 3
1 6
1 9
0 2
1 1
1 0
1 7
5 4 27
20 5 18
20
2 24
（2）设 在1,2 ,3下的矩阵为B，则A与B相似，且
矩阵分析第一章课件.ppt
是行满秩的。该系统是可观测的充分必要条件是可观测
性判别矩阵
C
V
CA
CAn
1
是列满秩的。
例 5：设
A
0 1
1 0
,
B
1 1
1 1
由于矩阵
B
AB
1 1
1 1 1 1 1 1
是行满秩的，所以相应的系统是可控制的。
二 矩阵理论在生物数学中的应用
在化的花瓣中存在一种特殊的生物模式。几乎所有 花，其花瓣数都是一种有规律的级数。例如百合花 的花瓣有3瓣；毛茛属的植物有5瓣花；许多翠雀属 的植物有8瓣花；万寿菊的花瓣有13瓣；紫菀属的植 物有21瓣花；大多数的雏菊有34，55，89 瓣花。 另外，在向日葵的花盘内葵花籽的螺旋式排列中也 可以发现类似的排列模式，同时植物的叶序中也存 在此种现象。这就是著名的Fibonacci级数模式。我 们称下面的数列
x2
4 3 , x3
1 3 , x4
2 3
同样可解出在第二组基下的坐标为
y1 1, y2 1, y3 1, y4 4
由此可以看出：一个向量在不同基底下的坐标是不相 同的。
基变换与坐标变换
设 1,2 , ,n（旧的）与 1, 2, , n （新的） 是 n 维线性空间V 的两组基底，它们之间的关系为
注意： 通过上面的例子可以看出线性空间的基底并不 唯一，但是维数是唯一确定的。利用维数的定义线性 空间可以分为有限维线性空间和无限维线性空间。目 前，我们主要讨论有限维的线性空间。
例 4 在4维线性空间 R22 中，向量组
0 1
1 1
,
1 1
0 1
,
1 0
1 1
,
1 1
性判别矩阵
C
V
CA
CAn
1
是列满秩的。
例 5：设
A
0 1
1 0
,
B
1 1
1 1
由于矩阵
B
AB
1 1
1 1 1 1 1 1
是行满秩的，所以相应的系统是可控制的。
二 矩阵理论在生物数学中的应用
在化的花瓣中存在一种特殊的生物模式。几乎所有 花，其花瓣数都是一种有规律的级数。例如百合花 的花瓣有3瓣；毛茛属的植物有5瓣花；许多翠雀属 的植物有8瓣花；万寿菊的花瓣有13瓣；紫菀属的植 物有21瓣花；大多数的雏菊有34，55，89 瓣花。 另外，在向日葵的花盘内葵花籽的螺旋式排列中也 可以发现类似的排列模式，同时植物的叶序中也存 在此种现象。这就是著名的Fibonacci级数模式。我 们称下面的数列
x2
4 3 , x3
1 3 , x4
2 3
同样可解出在第二组基下的坐标为
y1 1, y2 1, y3 1, y4 4
由此可以看出：一个向量在不同基底下的坐标是不相 同的。
基变换与坐标变换
设 1,2 , ,n（旧的）与 1, 2, , n （新的） 是 n 维线性空间V 的两组基底，它们之间的关系为
注意： 通过上面的例子可以看出线性空间的基底并不 唯一，但是维数是唯一确定的。利用维数的定义线性 空间可以分为有限维线性空间和无限维线性空间。目 前，我们主要讨论有限维的线性空间。
例 4 在4维线性空间 R22 中，向量组
0 1
1 1
,
1 1
0 1
,
1 0
1 1
,
1 1
课件 矩阵论
6
证
对于数组
k 1
,L ,
km
,
因为
k 1
y 1
+L+
km
ym
=
(
x 1
,L,
x
n
)(
k1α
1
+L+
kmα m
)
=θ
等价于 k1α1 + L + kmα m = θ , 所以结论成立.
四、基变换与坐标变换
1．基变换：设线性空间V
n
的基(Ⅰ)为
x 1
,L,
xn
,
基(Ⅱ)为
y 1
,L,
yn
,
则
y 1
=
cx 11 1
⊆
S 2
∀b ∈
S 2
⇒
b∈
S 1
,
即S 2
⊆
S 1
交：
S 1
I
S 2
=
{a
a
∈
S 1
且
a∈
S2 }
并：
S 1
U
S 2
=
{a
a
∈
S 1
或
a
∈
S 2
}
和： S 1
+
S 2
=
{a
=
a 1
+
a 2
a 1
∈
S 1
,
a 2
∈
S 2
}
例1
S 1
=
{A
=
a 11
a21
0
a
22
ai j ∈ R}
S 2
=
{A
第一章(第一二节)矩阵的概念及基本运算PPT课件
没有得到老一辈数学家们的重视。如：他曾五次将一篇
代 “五次方程不能由公式给出其解”的论文寄给在格廷根的
高斯，但都没有得到回音。由于他的不断出外求学，致使
数 经济状况十分糟糕，最后只得回到自己的故乡—挪威。没
过多久，他就在忧郁中结束了自己年仅27岁的短暂生命。
就在他死后的第三天，他的朋友通知他，他已被柏林大学
代 们称之为维是 m×n 的矩阵，简称为 m×n 矩阵，简记为
。其表[ a示ij ]形m 式n （通式）为：
数
a11 a12 a1n
a
21
a 22
a2n
a m1 a m 2 a mn 7
一、矩阵的定义
a11 a12 a1n
a
21
a 22
a2n
线
a m1 a m 2 a mn
线 们满足
(1)m = p 且n = q；
性 (2)aij=bij，其中i=1,2,…,m；j=1,2,…,n。
代
则称A与B相等，记为A=B。
数
即： A 与B 两个矩阵的维和相对应的
元均一一对应相等。
24
二、矩阵的和
定义 设A=[aij]m×n ，B=[bij]m×n ，令C= [aij+ bij]m×n , 称矩
22 35 31 21
14 61 14 45
数
49 55 45 62
5
6
59
67
a21=2； a22=12； a23=24； a31=3； a32=11； a33=27。
9
试问： 6 3 1
332
B= 8 4 3 C= 4 7 分别是否为矩阵？
线
952
3 6 1 为什么？
矩阵论复习(南航)
(α , β ) = y x = ∑ x i yi .
H i =1 n
6.常见内积空间
(1) V = C n , 内积 ( x , y ) = y H x = ∑ xi yi ;
i =1 n
(2) V = C[a, b], 内积 ( f , g) = ∫ f ( x)g( x)dx；
b a
( 3) V = C m×n , 内积 ( A, B ) = tr( B H A).
T
其中 Σ = diag (σ 1 , L , σ r ), 且 σ 1 , L , σ r 是 A 的正奇异值 .
6.正规矩阵的性质
（1）n 阶矩阵 A 酉相似于对角矩阵的充分必要条件为 A 是正规矩阵.
（2）设 A, B 均为 n 阶正规矩阵且 AB = BA，则存在 n 阶酉矩阵 U，使得 UHAU 与 UHBU 同时为对角矩阵. （3）若 A 是正规矩阵，则 A 的属于不同特征值的特征 向量正交. （4）若 A 是正规矩阵，则 A 的奇异值是 A 的特征值的 模.
3.矩阵的不变因子、行列式因子和初等因子的求法 （1）化 λI - A 为 Smith 标准形：
λ I − A ≅ diag ( d 1 ( λ ), d 2 ( λ ), L , d n ( λ ))
则 d 1 ( λ ), d 2 ( λ ), L , d n ( λ ) 是 A 的 n 个不变因子． （2）令
5.标准正交基的性质 (1)有限维内积空间 V 的标准正交基一定存在. (2)有限维内积空间 V 的任意一组标准正交向量可扩充为 V 的一组标准正交基. (3)设 ε 1 , ε 2 , L , ε n 是内积空间 V 的一组标准正交基,且 α = x1ε1 +L+ xnε n , β = y1ε1 +L+ ynε n , 则
H i =1 n
6.常见内积空间
(1) V = C n , 内积 ( x , y ) = y H x = ∑ xi yi ;
i =1 n
(2) V = C[a, b], 内积 ( f , g) = ∫ f ( x)g( x)dx；
b a
( 3) V = C m×n , 内积 ( A, B ) = tr( B H A).
T
其中 Σ = diag (σ 1 , L , σ r ), 且 σ 1 , L , σ r 是 A 的正奇异值 .
6.正规矩阵的性质
（1）n 阶矩阵 A 酉相似于对角矩阵的充分必要条件为 A 是正规矩阵.
（2）设 A, B 均为 n 阶正规矩阵且 AB = BA，则存在 n 阶酉矩阵 U，使得 UHAU 与 UHBU 同时为对角矩阵. （3）若 A 是正规矩阵，则 A 的属于不同特征值的特征 向量正交. （4）若 A 是正规矩阵，则 A 的奇异值是 A 的特征值的 模.
3.矩阵的不变因子、行列式因子和初等因子的求法 （1）化 λI - A 为 Smith 标准形：
λ I − A ≅ diag ( d 1 ( λ ), d 2 ( λ ), L , d n ( λ ))
则 d 1 ( λ ), d 2 ( λ ), L , d n ( λ ) 是 A 的 n 个不变因子． （2）令
5.标准正交基的性质 (1)有限维内积空间 V 的标准正交基一定存在. (2)有限维内积空间 V 的任意一组标准正交向量可扩充为 V 的一组标准正交基. (3)设 ε 1 , ε 2 , L , ε n 是内积空间 V 的一组标准正交基,且 α = x1ε1 +L+ xnε n , β = y1ε1 +L+ ynε n , 则
矩阵论第一章
k1 , k2 ,L, kr ∈ P ，使得
k1α1 + k2α 2 + L + krα r = 0
线性相关的 则称向量组 α1 ,α 2 ,L,α r 为线性相关的；
不是线性相关的 （4）如果向量组 α1 ,α 2 ,L,α r 不是线性相关的，即 ）
k1α1 + k2α 2 + L + krα r = 0
上零多项式作成的集合， 上零多项式作成的集合，按多项式的加法和数量乘 上的一个线性空间， 表示． 法构成数域 P上的一个线性空间，常用 P[x]n表示． 上的一个线性空间
P [ x ]n = { f ( x ) = a n − 1 x n − 1 + L + a 1 x + a 0 a n − 1 ,L , a 1 , a 0 ∈ P }
+ ∀a ∈ R + , ∀k ∈ R, k o a = a k ∈ R,且 ak 唯一确定． 唯一确定．
其次， 其次，加法和数量乘法满足下列算律 ① a ⊕ b = ab = ba = b ⊕ a ② (a ⊕ b) ⊕ c = (ab) ⊕ c = (ab)c = a(bc) = a ⊕(bc) = a ⊕(b ⊕ c)
二、线性空间的简单性质
1、零元素是唯一的. 、零元素是唯一的
证明：假设线性空间 有两个零元素 有两个零元素0 证明：假设线性空间V有两个零元素 1、02，则有 01＝01＋02＝02．
2、 α ∈V ，的负元素是唯一的，记为- α ． 、 的负元素是唯一的，记为∀
证明： 证明：假设α 有两个负元素 β、γ ，则有
k ,α 的数量乘积 并记做 kα , 如果加法和数量乘法 的数量乘积,并记做
01_矩阵论_第一章
注记 3 线性空间的本质是线性运算。同一 个集合，若定义两种不同的线性运算，就构成 不同的线性空间；若定义的运算不是线性运算， 就不能构成线性空间。如前述的数学例子。
注记 4 抽象的线性空间的作用在于，由它 得出的一切结论对诸如上述线性空间的研究。
例 5 向量组 {e1 = (1, 0, 0, …, 0)T, e2 = (0, 1, 0, …, 0)T, …, en = (0, 0, …, 0, 1)T} 是 F n 的一组基， 则 dimF n = n。
例 6 求矩阵空间 R22 的维数与一组基。
解 任取矩阵 A，其中
a11 A a 21 a12 a22
a0 a 2 3 1 f x 1, x, x , x , a2 a 3
因为 所以 f(x) 在基 {1, x, x2, x3} 下的坐标为 (a0, a1, a2, a3)T。
在线性空间和线性变换的讨论中，矩阵是 一个重要的工具。特别地，矩阵还是线性变换 的便利表达方法。
§ 1.1 线性空间
一、线性空间的概念
在线性代数课程中，我们把有序数组称为 向量，把 n 维向量的全体所构成的集合 Rn 称为 n 维向量空间。一般地，如果 V 为非空的 n 维向 量的集合，且集合 V 对于向量加法及数乘两种 运算封闭，那么就称集合 V 为向量空间。
注记 1 有些教材中，向量空间与线性空间 表示的是同一个概念，但我们通常用向量空间 来表示某一数域上的以该数域中的 n 元有序数组 为元素构成的线性空间。
此外，从上述线性空间的例子中可以看到， 许多常见的研究对象都可以在线性空间中作为 向量来研究，只不过它们此时未必是有序数组 了。
注记 2 定义 1.1 中的加法和数乘运算分别 是V 中的一个二元运算以及数域 F 和 V 中元素 间的运算，它们已不再局限于数的加法、乘法 或者数值向量的加法、数乘概念。如上述的几 个例题。
矩阵论第一章
二、基与维数
设X是数域K上的线性空间, { x1 , x2 ,L , xn } ⊂ X . 相关与无关 若存在不全为零的数 ai ∈ K , i = 1, 2,L , n, 使 则称 { x1 , x2 ,L , xn } 是线性相关的，否则称为线性无关的. 生成空间 设 E ⊂ X , 称
M中元素 的个数
当 A1 = A2 = L = An 时，记A = A1 × A2 ×L × An
n
习惯上：有理数集Q、实数集R、整数集Z、
{ } C = {α α = ( x , x ,L, x ) ,其中x ,L, x ∈ C} R = { A A = ( a ) , a ∈ R} C = { A A = ( a ) , a ∈ C}
矩阵论课件
2013.9
矩阵论简介 矩阵论是线性代数的深入，是用现代数学 的方法对有限维空间的描述与分析；对复杂矩 阵的分析、刻画与处理。 矩阵论不仅是学习数学理论的一个基本工 具，也是工程技术领域处理大量有限维空间形 式与数量关系的强有力工具。因此也是许多研 究方向的博士生入学考试的规定课程。
第一章
=0
故M为R
的子线性空间。
二、基与维数
1 0 0 1 0 0 取e1 = , e2 = , e3 = ∈ M. 0 −1 0 0 1 0 x1 x2 0 0 因为 x1e1 + x2e2 + x3e3 = = x − x 0 0 1 3
是Z到Z的双射；
x11 f4 x21
x12 x22
x13 = ( x11 , x12 , x13 , x21 , x22 , x23 ) x23
是R2×3到R6的双射。
矩阵(Matrix)PPT课件
a11 a12
A
a21
a22
am1 am2
a1n x1 b1
a2n
,
x
x2
,
b
b2
amn xn bn
ai1x1 ai2 x2 ain xn bi
则方程组又可表示为 Ax b.
x1ai1 x2ai2 xnain bi
a11 a21
定义成
a11 a21
x1 x1
a12 x2 a22 x2
x1
a11
a21
x2
a12
a22
x1 1 x2 2
e2
(a12 , a22 )
2
1
y ( y1, y2 )
2
A和x的乘法实质给出了 向量y在A坐标系(β1Oβ2) 下的刻划方法。
e1
(a11,1a21 )
y y1e1 y2e2
ai1b1 j ai 2b2 j a b b 1j is sj
a a a i1 i2
b2 j is
注：A的列数和B的行数相等时 b，sj AB才有意义。
• 例3 设矩阵
1 0 1
A
1
1
3
,
求乘积 AB．
解
1 0
C
AB
1
1
0 3 4 B 1 2 1
3 1 1
B
a12
a22
a1n a2n
am1
am2
y (x1, x2, , xn )
c (b1,b2, ,bm)
amn nm
则方程组又可表示为 yB c.
矩阵向量乘法意义之二：为刻划向量提供了坐标系
根据矩阵乘法定义，m n 阶矩阵A与n维列向
01南航戴华《矩阵论》第一章线性空间与内积空间
注意：
通过上面的例子可以看出线性空间的基底并不
唯一，但是维数是唯一确定的。由维数的定义,
线性空间可以分为有限维线性空间和无限维线性 空间。目前，我们主要讨论有限维的线性空间。
N(A)称为矩阵A的零子空间或核空间,也记为Ker(A)；
例1.4.1
对于任意一个有限维线性空间 V ，它必
有两个平凡的子空间，即由单个零向量构成的子空
因此
所以
V1
V2 的基为 2 ，维数为 dim(V1
V2 ) 1.
由例1.4.4 由前得
V1 V2 span(1 , 2 , 1 , 2 )
5 2 0 1 l2 2 l 2 1 l 2 2 3 3 5 2 即 2 0 1 2 1 3 3 然而 1 , 2 , 1 线性无关，这样 1 , 2 , 1 是
2
nn
这说明，维数是有限维线性空间的唯一的本质特征。在 同构的意义下，n维向量空间Pn并不只是线性空间V 的一 个特殊例子，而是所有的n维线性空间的代表。即每一个
数域P上的线性空间都与n维向量空间Pn同构。因此n维向
求 V1
V2 、V1 V2 的基与维数。
解 设 V1
所以可令 解关于
V2
，则
V1， V2
k11 k2 2 = l11 l2 2
k1 , k2 , l1 , l2 的齐次方程组，得
5 2 k1 0, k2 l2 , l1 l2 3 3 5 = k1 1 k2 2 l2 2 . 3
4 3 4 2 1 4
23 18 4
例1.3.5 已知矩阵空间 R 2 2 的两组基：
矩阵论课件
P 是数域， 若 n是正整数， 则系数属于 P 而未知元为 x 的
所有次数不超过 n 的多项式的集合，此集合连同零多 项式在内按通常多项式的加法及数与多项式的乘法， 构成数域 P 上的一个线性空间全体记作： Pn [ x ].
4 December 2014 河北科技大学
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, t 可以由1 , 2 ,
, s 线性表
, t 线性相关.
推论1 若 1 , 2 ,
, t 可 以 由 1 , 2 ,
, s 线 性 表 示 ， 且
1 , 2 , , t 线性无关，则 t s .
推论2 若 1 , 2 ,
, t 与 1 , 2 , , s 等 价 ，且 均 线性 无
实数域 R 上的线性空间简称为实线性空间； 复数域 C 上的线性空间简称为复线性空间.
下面看几个线性空间的例子.
4 December 2014
河北科技大学
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矩阵论
例1 若 P= 是数域，V 是分量属于 P= 的 n元有序数组的集合
V a1 , a2 ,
, an | ai P，i 1, 2,
矩阵论
例4 所有定义在区间 a , b a t b 上的实值连续
函数全体构成的集合， 按照函数的加法及数与函数 的数量乘法，构成实数域 R 上的一个线性空间，记 作： R a , b .
例5 实（复）系数齐次线性方程组 Ax 0（ A R mn
或 C mn ； x R n 或 C n ；行向量和列向量不做区别） 的解空间 S 构成 R 或C 上的一个线性空间.
才成立，称 x1 , x2 ,
第一章 矩阵论
例 设V为数域P上的线性空间， 1 , 2 ,, m 是V中的一组元素，则
Span 1 , 2 , , m k1 1 k 2 2 k m m k1 , k 2 , , k m P
是V 的子空间，称为 1 , 2 ,, m的生成子空 间， 1 , 2 ,, m称为该子空间的生成元. •
定义1.7 设 1 , 2 ,, n和 1 , 2 ,, n是n维线性空间 V 的两组基，显然它们可以互相线性表示，若
1 c11 1 c 21 2 c n1 n , 2 c12 1 c 22 2 c n 2 n , n c1n 1 c 2n 2 c nn n ,
1 x 3 2 x 2 x 2 x 3 x 2 x 1 3 x 3 2x 2 x 1 4 x 3 x 2 1
求由基 渡矩阵.
第三节 线性子空间
一.子空间的概念 定义 设V为数域P上的线性空间，W是V 的非空子集，若W关于V中的线性运算也 构成数域P上的线性空间，则称W是V的 线性子空间，简称子空间. 对任何线性空间V ,显然由V中单个零向 量构成的子集是V的子空间,称为V的零子空 间; V本身也是V的子空间.这两个子空间称 为V的平凡子空间.其它子空间称为V的非平 凡子空间.
二.线性空பைடு நூலகம்的定义与性质
1、线性空间的定义
定义
n 例2 n维向量空间 R（及其子空间）按照向量的加 法以及向量与实数的数乘都构成实线性空间。
例3 全体 m n实矩阵，在矩阵的加法及数乘两种运 算下构成一个实线性空间，记为 R mn .
例4 区间[a,b]上的全体连续实函数，按照函数的 加法及数与函数的乘法构成一个实线性空间，记为 C[a,b].
南航《矩阵论》第1章
都是有限维的，并且
dim(V1 V2 ) dim(V1 ) dim(V2 ) dim(V1 V2 ).
在维数公式中，和空间的维数不大于子空间维数之和。那么何时等号成立呢？
证明
因为V1是有限维的，而V1 V2是V1的子
空间，所以V1 V2也是有限维的。设
dim(V1) n1, dim(V2 ) n2 , dim(V1 V2 ) m.
（a,bR）都有a+bi=(1,i)( a ),所以(a,b) T即为k的坐
标。
b
例 1.3.2 实数域 R上的线性空间R [x]n中的向量组 1，x， x2 ,… xn-1
是 基底， R [x]n的维数为 n。
例1.3.3 实数域 R上的线性空间 Rnn 的维数为
nn，标准基为Eij：（i=1,2…n;j=1,2…n）
0
0
1
0
,
0
1
1
0
1
E11
E22
( E11 ,
E12 , E21 ,
E22
)
0 0
1
类似地，
1
A2
0
1
0 1
E11
E22
( E11 ,
E12 ,
E21 ,
E22
)
0 0
B2
1
0
,
1 1
1 0
B3
0
0
dim(V1 V2 ) dim(V1 ) dim(V2 ) dim(V1 V2 ).
在维数公式中，和空间的维数不大于子空间维数之和。那么何时等号成立呢？
证明
因为V1是有限维的，而V1 V2是V1的子
空间，所以V1 V2也是有限维的。设
dim(V1) n1, dim(V2 ) n2 , dim(V1 V2 ) m.
（a,bR）都有a+bi=(1,i)( a ),所以(a,b) T即为k的坐
标。
b
例 1.3.2 实数域 R上的线性空间R [x]n中的向量组 1，x， x2 ,… xn-1
是 基底， R [x]n的维数为 n。
例1.3.3 实数域 R上的线性空间 Rnn 的维数为
nn，标准基为Eij：（i=1,2…n;j=1,2…n）
0
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,
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E11
E22
( E11 ,
E12 , E21 ,
E22
)
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类似地，
1
A2
0
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0 1
E11
E22
( E11 ,
E12 ,
E21 ,
E22
)
0 0
B2
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,
1 1
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B3
0
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（ａ2，ｂ2），（ａ2，ｂ4）， （ａ3，ｂ3），（ａ3，ｂ4）,
（ａ4，ｂ1），（ａ4，ｂ4） ｝
是选双学位专业的二元关系。
.
16
定义1.1.4 若集合A上的一个二元关系R 满足
（1） 自反性：对任意 a A ，有aRa；
（2） 对称性：对任意 a, b A，如果aRb，
则bRa；
（3） 传递性：对任意 a, b, c A ，如果
实数集合 R x x 为有理数或无理数
.
8
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2. 集合之间的关系及运算
定义2 . 设有集合 A, B , 若 x A 必有 x B , 则称 A
是 B 的子集 , 或称 B 包含 A , 记作 A B
若 A B 且 B A 则称 A 与 B 相等, 记作 A B .
例: 有限集合 A a1 , a2 , , an 自然数集 N 0, 1 , 2 , , n,
(2) 描述法：指把集合中元素所具有的特征性质表示出来。
M x x 所具有的特征
例: 整数集合 Z x x N 或 x N
有理数集
Q
p q
pZ, q N,
p 与 q 互质
(1).交换律：A B B A, A B B A
(2).结合律: A (B C) ( A B) C A (B C) ( A B) C
(3).分配律 : A (B C) (A B) (A C) A (B C) (A B) (A C)
.
12
1.1.2 二元关系与等价关系
定义1.1.2 设A、B是两个非空集合，元素对 的集合 {(a,b) | a A,b B} 为A与B 的笛卡 儿积，记作 A B ，即
.
4
1.1 预备知识：集合·映射与数域 1.2 线性空间 1.3 基与坐标 1.4 线性子空间 1.5 线性空间的同构 1.6 内积空间
.
5
1.1 预备知识：集合·映射与数域
1.1.1 集合及其运算 1.1.2 二元关系与等价关系 1.1.3 映射 1.1.4 数域与代数运算
.
6
Байду номын сангаас
1.1.1 集合
1. 定义及表示法
定义 1. 具有某种特定性质的事物的总体称为 集合.
组成集合的事物称为元素.
不含任何元素的集合称为空集 , 记作 .
元素 a 属于集合 M , 记作 a M .
元素 a 不属于集合 M , 记作 a M ( 或 a M ) .
.
7
表示法：
(1) 列举法： 按某种方式列出集合中的全体元素 .
特别地，A A 中的二元关系简称为A上的二
元关系。
实质：二元关系是描述两个集合之间元素与元素
的关系或者是一个集合内部两个元素之间的关系，
它是满足某种规律的有序对全体。
.
14
例 1：
设A {甲，乙，丙，丁}(四个人），B {1, 2,3（} 三套房间）， A与B之间是一个住宿关系。
显然，R {(甲，1),(乙，3),(丁，3),(丙，2)} A B
.
19
则 Ｒ1把Ａ分为四类同花类， Ｒ2把Ａ分为１３类同点类。
第2章 线性映射与线性变换
第3章 λ-矩阵与矩阵的Jordan标准形 第4章 矩阵的因子分解 第5章 Hermite矩阵与正定矩阵
第6章 范数与极限 第7章 矩阵函数与矩阵值函数
第8章 广义逆矩阵
.
3
第1章 线性空间与内积空间
本章概述线性空间与内积空间的基本 概念和基本理论。这些概念是通常几何空 间概念的推广和抽象。在近代数学发展中， 这些概念和理论已渗透到数学的各个分支。 本章内容是学习本书的基础。
例如 , N Z, Z Q , Q R
显然有下列关系 :
(1) A A; A A; A
(2) A B且 B C
AC
.
9
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定义 3 . 给定两个集合 A, B, 定义下列运算:
并集 A B x x A 或 x B 交集 A B x x A 且 x B
无此关系。
2. 由对集合中各元素性质的研究转化为对一个
等价类的研究，大大减少了工作量。
.
18
例 4： A={矩阵论五班学生}， R: 为同性别关系。
则【男1】R {男生}，【女1】R {女生}。
A / R 【{ 男1】R【, 女1】R}.
例 5：
Ａ＝｛５２张扑克｝
Ｒ1＝｛（ａ，ｂ）｜ａ与ｂ同花，ａ，ｂ是扑克｝ Ｒ2＝｛（ａ，ｂ）｜ａ与ｂ同点，ａ，ｂ是扑克｝
A B
B A
差集 A \ B x x A且 x B
A\B AB
余集 BAc A \ B (其中B A)
B ABAc
.
10
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由集合的交与并运算的定义，显然有 AAB BAB
AAA AA
ABA ABB
AAA A
.
11
定理 1.1.1 设A、B、C是三个集合,则
aRb，bRc，则aRc
则称R是A上的一个等价关系。
.
17
定义1.1.5 设R是A上的一个等价关系，a A
称 [a] {x | x A, xRa} 为a关于R的等价类。
A的所有元素关于R的等价类集合
A R {[a] | a A}
称为A关于R的商集。
特点：
1. 同一等价类之间有关系R, 而不同等价类之间
.
1
教材: 《矩阵论》，戴华编，科学出版社。 主要参考书：
1. 方保镕，周继东编，矩阵论，清华大学出版社，2004.
2. 刘慧等，矩阵论及应用，化学工业出版，2003. 3.程云鹏，矩阵论，西安工业大学出版，2000. 4. 罗家洪，矩阵分析引论，华南理工大学出版，2002.
.
2
第1章 线性空间与内积空间
为A B上的一个二元关系。
例 2：A={矩阵论五班学生}。
显然，均来自于南京的同学关系R是A上的 一个二元关系。
想一想： 在该例中还存在什么关系？
.
15
例 ３：
Ａ＝｛ 张华，王兵，陈平，李兰
a1
a2
a3
a4
Ｂ＝｛ 软件，硬件，自动化，遥感
b1
b2
b3
b4
则：Ｒ1＝｛（ａ1，ｂ1），（ａ1，ｂ3），
A B {(a,b) | a A,b B}
特例: R R 记
R2
为平面上的全体点集
.
B AB
A
13
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定义1.1.3 设A、B是两个集合，A B 的子集
R 称为 A B 中的一个二元关系，即按某种
规定，定义了一个有序对(a,b)的集合R，
其中a A,b B. 记为：aRb.
（ａ4，ｂ1），（ａ4，ｂ4） ｝
是选双学位专业的二元关系。
.
16
定义1.1.4 若集合A上的一个二元关系R 满足
（1） 自反性：对任意 a A ，有aRa；
（2） 对称性：对任意 a, b A，如果aRb，
则bRa；
（3） 传递性：对任意 a, b, c A ，如果
实数集合 R x x 为有理数或无理数
.
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2. 集合之间的关系及运算
定义2 . 设有集合 A, B , 若 x A 必有 x B , 则称 A
是 B 的子集 , 或称 B 包含 A , 记作 A B
若 A B 且 B A 则称 A 与 B 相等, 记作 A B .
例: 有限集合 A a1 , a2 , , an 自然数集 N 0, 1 , 2 , , n,
(2) 描述法：指把集合中元素所具有的特征性质表示出来。
M x x 所具有的特征
例: 整数集合 Z x x N 或 x N
有理数集
Q
p q
pZ, q N,
p 与 q 互质
(1).交换律：A B B A, A B B A
(2).结合律: A (B C) ( A B) C A (B C) ( A B) C
(3).分配律 : A (B C) (A B) (A C) A (B C) (A B) (A C)
.
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1.1.2 二元关系与等价关系
定义1.1.2 设A、B是两个非空集合，元素对 的集合 {(a,b) | a A,b B} 为A与B 的笛卡 儿积，记作 A B ，即
.
4
1.1 预备知识：集合·映射与数域 1.2 线性空间 1.3 基与坐标 1.4 线性子空间 1.5 线性空间的同构 1.6 内积空间
.
5
1.1 预备知识：集合·映射与数域
1.1.1 集合及其运算 1.1.2 二元关系与等价关系 1.1.3 映射 1.1.4 数域与代数运算
.
6
Байду номын сангаас
1.1.1 集合
1. 定义及表示法
定义 1. 具有某种特定性质的事物的总体称为 集合.
组成集合的事物称为元素.
不含任何元素的集合称为空集 , 记作 .
元素 a 属于集合 M , 记作 a M .
元素 a 不属于集合 M , 记作 a M ( 或 a M ) .
.
7
表示法：
(1) 列举法： 按某种方式列出集合中的全体元素 .
特别地，A A 中的二元关系简称为A上的二
元关系。
实质：二元关系是描述两个集合之间元素与元素
的关系或者是一个集合内部两个元素之间的关系，
它是满足某种规律的有序对全体。
.
14
例 1：
设A {甲，乙，丙，丁}(四个人），B {1, 2,3（} 三套房间）， A与B之间是一个住宿关系。
显然，R {(甲，1),(乙，3),(丁，3),(丙，2)} A B
.
19
则 Ｒ1把Ａ分为四类同花类， Ｒ2把Ａ分为１３类同点类。
第2章 线性映射与线性变换
第3章 λ-矩阵与矩阵的Jordan标准形 第4章 矩阵的因子分解 第5章 Hermite矩阵与正定矩阵
第6章 范数与极限 第7章 矩阵函数与矩阵值函数
第8章 广义逆矩阵
.
3
第1章 线性空间与内积空间
本章概述线性空间与内积空间的基本 概念和基本理论。这些概念是通常几何空 间概念的推广和抽象。在近代数学发展中， 这些概念和理论已渗透到数学的各个分支。 本章内容是学习本书的基础。
例如 , N Z, Z Q , Q R
显然有下列关系 :
(1) A A; A A; A
(2) A B且 B C
AC
.
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定义 3 . 给定两个集合 A, B, 定义下列运算:
并集 A B x x A 或 x B 交集 A B x x A 且 x B
无此关系。
2. 由对集合中各元素性质的研究转化为对一个
等价类的研究，大大减少了工作量。
.
18
例 4： A={矩阵论五班学生}， R: 为同性别关系。
则【男1】R {男生}，【女1】R {女生}。
A / R 【{ 男1】R【, 女1】R}.
例 5：
Ａ＝｛５２张扑克｝
Ｒ1＝｛（ａ，ｂ）｜ａ与ｂ同花，ａ，ｂ是扑克｝ Ｒ2＝｛（ａ，ｂ）｜ａ与ｂ同点，ａ，ｂ是扑克｝
A B
B A
差集 A \ B x x A且 x B
A\B AB
余集 BAc A \ B (其中B A)
B ABAc
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由集合的交与并运算的定义，显然有 AAB BAB
AAA AA
ABA ABB
AAA A
.
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定理 1.1.1 设A、B、C是三个集合,则
aRb，bRc，则aRc
则称R是A上的一个等价关系。
.
17
定义1.1.5 设R是A上的一个等价关系，a A
称 [a] {x | x A, xRa} 为a关于R的等价类。
A的所有元素关于R的等价类集合
A R {[a] | a A}
称为A关于R的商集。
特点：
1. 同一等价类之间有关系R, 而不同等价类之间
.
1
教材: 《矩阵论》，戴华编，科学出版社。 主要参考书：
1. 方保镕，周继东编，矩阵论，清华大学出版社，2004.
2. 刘慧等，矩阵论及应用，化学工业出版，2003. 3.程云鹏，矩阵论，西安工业大学出版，2000. 4. 罗家洪，矩阵分析引论，华南理工大学出版，2002.
.
2
第1章 线性空间与内积空间
为A B上的一个二元关系。
例 2：A={矩阵论五班学生}。
显然，均来自于南京的同学关系R是A上的 一个二元关系。
想一想： 在该例中还存在什么关系？
.
15
例 ３：
Ａ＝｛ 张华，王兵，陈平，李兰
a1
a2
a3
a4
Ｂ＝｛ 软件，硬件，自动化，遥感
b1
b2
b3
b4
则：Ｒ1＝｛（ａ1，ｂ1），（ａ1，ｂ3），
A B {(a,b) | a A,b B}
特例: R R 记
R2
为平面上的全体点集
.
B AB
A
13
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定义1.1.3 设A、B是两个集合，A B 的子集
R 称为 A B 中的一个二元关系，即按某种
规定，定义了一个有序对(a,b)的集合R，
其中a A,b B. 记为：aRb.