七年级数学整式运算的综合运用

第二讲 整式运算的综合应用
例1．（1）计算：2(23)x y z +-；
（2）计算：()()a b c d c a d b -+----；
（3）计算：22222222()()()()a b a b a ab b a ab b +--+++；
（4）计算：232(1)(1)()n n n n x x x x x N ++-+∈；
（5）计算：22()[()]x y z x y xz yz z +-++++。

解：（1）原式=x 2+4y 2+9z 2+4xy −6xz −12yz .
（2）原式=ac −a 2−ad −ab −bc +ab +bd +b 2+c 2−ac −dc −cd −cd +ad +d 2+bd
=b 2+c 2+d 2−a 2−2bc +2bd −2cd .
解2：原式=−[a −(b −c +d)][a +(b −c +d)]=−a 2+(b −c +d)2
=−a 2+b 2+c 2+d 2−2bc +2b d−2c d.
（3）原式=332332()()a b a b +-=662()a b -
=a 12−2a 6b 6+b 12.
（4）原式=x 5n −x 4n +x 2n +x 4n −x 3n +x n +x 3n −x 2n +1
=x 5n +x n +1.
解2：原式=222(1)(1)(1)n n n n n n x x x x x x ++-+++
=232(1)(1)n n
n n x x x x -+++= x 5n +x n +1. （5）原式=322223
()()()()()x y z x y z x y z x y z x y z +++++-+-+- =33()x y z +-。

例2．已知2x (x +1)2+x 4−x 2+m 是一个完全平方式，求实数m 的值。

解：2x (x +1)2+x 4−x 2+m =x 4+2x 3+3x 2+2x +m =(x 2)2+2x 2(x +1)+(x 2+2x +m )是一个完全平方式， 则x 2+2x +m =(x +1)2，
所以m =1.
解2：待定系数法：2x (x +1)2+x 4−x 2+m =x 4+2x 3+3x 2+2x +m
设x 4+2x 3+3x 2+2x +m =(x 2+ax +b )2=x 4+a 2x 2+b 2+2ax 3+2bx 2+2abx ，
比较三次项系数得到2a =2，所以a =1，比较一次项系数得到2ab =2，所以b =1，
比较常数项系数得到m =b 2=1.
例3．已知整数a ，b ，c 满足a 2+b 2+c 2+3<ab +3b +2c ，求a ，b ，c 的值。

解：由原式得(a 2−ab +214b )+34
(b 2−4b +4)+(c 2−2c +1)<1， 所以2223()(2)(1)124
b a b
c -+-+-<，要使得该式成立，只有 2223()0, (2)0, (1)024
b a b
c -=-=-=， 所以c =1，b =2，a =1.
例4．已知多项式f (x )=ax 3+bx 2−47x −15能被3x +1和2x −3整除，求a ，b 的值，并对此分解因式。

解：f (x )是一个三次多项式，按题意可以分解为三个一次多项式的乘积，
设ax 3+bx 2−47x −15=(3x +1)(2x −3)(mx +n )，比较常数项可得−3n =−15，所以n =5，
再比较一次项系数得−47=−9n +2n −3m ，解得m =4，
所以ax 3+bx 2−47x −15=(3x +1)(2x −3)(4x +5)，
比较三次项系数得a =24，比较二次项系数得b =2。

24x 3+2x 2−47x −15=(3x +1)(2x −3)(4x +5).
例5．若3x 3−x =1，求9x 4+12x 3−3x 2−7x +2013的值。

解：9x 4+12x 3−3x 2−7x +2013=3x (3x 3−x )+4(3x 2−x )−3x +2013
=3x +4−3x +2013=2017.
例6．计算：22221111(1)(1)(1)(1)()234n n -
---为正整数。

解：原式=222222222131411()()()()234n n
---- =2222132435(1)(1)234n n n ⨯⨯⨯-+⨯⨯⨯⨯=12n n +。

例7．已知(3x 2−2x +1)5的展开式为a 10x 10+ a 9x 9+……+a 1x +a 0，求：
（1）a 0+a 1+……+a 10的值；
（2）221390210()()a a a a a a +++-+++的值。

解：（1）(3x 2−2x +1)5= a 10x 10+ a 9x 9+……+a 1x +a 0，
令x =1，得32= a 0+a 1+……+a 10；
（2）令x =−1，代入得65=7776= a 0−a 1+a 2−a 3+……−a 9+a 10， 221390210()()a a a a a a +++-+++
=01239100123910()()a a a a a a a a a a a a -++++++-+-+
-+ =−32×7776=−248832.
例8．（1）已知x +y =3，xy =−5，求(x −y )2，x 3+y 3的值；
（2）已知：13a a +=，求331a a +，441a a
+的值。

解：（1）x +y =3，xy =−5，所以x 2+2xy +y 2=9，所以x 2+y 2=19，
(x −y )2=(x +y )2−4xy =29，
x 3+y 3=(x +y )(x 2−xy +y 2)=3×(19+5)=72.
（2）13a a +=，所以2211()29a a a a +=++=，解得2217a a
+=， 331a a +=22111()()()a a a a a a
++-+=3×7−3=18； 2221()a a +=4412a a ++，所以441a a
+=72−2=47.
例9．已知x +y +z =1，x 2+y 2+z 2=2，求xy +yz +zx ，x 3+y 3+z 3−3xyz 的值。

解：(x +y +z )2= x 2+y 2+z 2+2xy +2yz +2zx ，所以1=2+2(xy +yz +zx )，
所以xy +yz +zx =−
12； x 3+y 3+z 3−3xyz =(x +y +z )( x 2+y 2+z 2−xy −yz −zx )
=1×(2+12)=212
.
例10．已知x +y +z =0，x 2+y 2+z 2=1，求x 4+y 4+z 4的值。

解：x +y +z =0，x 2+y 2+z 2=1，
(x +y +z )2= x 2+y 2+z 2+2xy +2yz +2xz =0，所以xy +yz +xz =−12
， (xy +yz +xz )2=x 2y 2+y 2z 2+z 2x 2+2xy 2z +2xyz 2+2x 2yz = x 2y 2+y 2z 2+z 2x 2+2xyz (x +y +z )，
所以x2y2+y2z2+z2x2=1
4
，
所以x4+y4+z4=( x2+y2+z2)2−2(x2y2+y2z2+z2x2)=1−1
2
=
1
2
.
例11．已知x+y+z=3，(x−1)3+(y−1)3+(z−1)3=0，求证：x，y，z中至少有一个数为1.
证明：x+y+z=3，(x−1)3+(y−1)3+(z−1)3=0，
所以(x−1)+(y−1)+(z−1)=0，设x−1=a，y−1=b，z−1=c，则满足a+b+c=0，a3+b3+c3=0，
则a3+b3+c3−3abc=(a+b+c)(a2+b2+c2−ab−bc−ca)=0，可知abc=0，
所以a，b，c中至少有一个为0，即x，y，z中至少有一个数为1.
例12．已知a，b，c，d满足a+b=c+d，a3+b3=c3+d3，求证：对于任意正奇数n，都有a n+b n=c n+d n.证明：由题意知(a+b)(a2−ab+b2)=(c+d)(c2−cd+d2)，
因为a+b=c+d，所以a2−ab+b2= c2−cd+d2，即(a+b)2−3ab=(c+d)2−3cd，
得到ab=cd，(a+b)2=(c+d)2，a2+2ab+b2=c2+2cd+d2，所以a2+b2=c2+d2，
用数学归纳法证明：
①对于正奇数n=3，已知成立，
②假设对于正奇数n=k成立，即a k+b k=c k+d k成立，
对于下一个正奇数n=k+1，
有a k+2+b k+2=(a k+b k)(a2+b2)−a2b k−b2a k=(a k+b k)(a2+b2)−a2b2(a k−2+b k−2)
=(c k+c k)(c2+d2)−c2d2(c k−2+d k−2)= c k+2+d k+2，
即对于n=k+2命题也成立，
由①、②可知对于任意正奇数n，都有a n+b n=c n+d n.
随 堂 练 习
1．计算：421111()()()22216
x x x x +--
+。

解：原式=22211()()44x x --=231()4
x - =64233141664x x x -+-。

2．计算：6543207(2002200220022002200220022002)200112002
++++++⋅+。

解：原式=772002120011
20021
2002
-⋅+-=1.
3．已知多项式f (x )除以x −1，x −2所得的余数分别是1，2，求f (x )除以(x −1)(x −2)的余式。

解：f (x )除以(x −1)(x −2)的余式一定是一个一次式，不妨设为ax +b
即f (x )=(x −1)(x −2)g (x )+(ax +b )，
把x =1代入得a +b =1，把x =2代入得2a +b =2，所以a =1，b =0，
即余式是x .
4．设x +y +z =1，x 2+y 2+z 2=2，x 3+y 3+z 3=3，求x 4+y 4+z 4的值。

解：x +y +z =1，1=(x +y +z )2=x 2+y 2+z 2+2(xy +yz +zx )=2+2(xy +yz +zx )，
所以xy +yz +zx =12-，3= x 3+y 3+z 3=(x +y +z )(x 2+y 2+z 2−xy −yz −zx )+3xyz =1×(2+12)+3xyz ，xyz =16， 14=(xy +yz +zx )2=x 2y 2+y 2z 2+z 2x 2+2xyz (x +y +z )= x 2y 2+y 2z 2+z 2x 2+2×16
×1， 所以x 2y 2+y 2z 2+z 2x 2=−112
，（矛盾了！三个实数的平方和怎么能得到负数？） 4=(x 2+y 2+z 2)2= x 4+y 4+z 4+2x 2y 2+2y 2z 2+2z 2x 2= x 4+y 4+z 4−16
， 所以x 4+y 4+z 4=416。

5．若a −b −c =1，a 2+b 2+c 2=
13
，求201720172017a b c ++的值。

解：令x =a −13，y =b +13，z =c +13
，则x −y −z =(a −b −c )−1=0， 且x 2+y 2+z 2=(a −13)2+(b +13)2+(c +13)2=(a 2−23a +19)+(b 2+23b +19
)+(c 2+23c +19) =a 2+b 2+c 2−2()3a b c --+13
=0， 所以x =0，y =0，z =0，即a =13，b =−13，c =−13
， 所以201720172017a b c ++=−201713。

解2：当a =13，b =−13，c =−13时，这样a −b −c =1，a 2+b 2+c 2=111999++=13
， 所以201720172017a b c ++=−200713。

当a >13时，则b ，c 中至少有一个小于−13，此时a 2+b 2+c 2将大于13
；不满足题意； 当a <13时，则b ，c 中至少有一个大于−13，此时a 2+b 2+c 2将小于13
；不满足题意； 若a =13不变，则b ，c 两个数一个变大，另一个变小，此时a 2+b 2+c 2也不会等于13
，不满足题意； 所以只有这一种情况。