七年级数学整式运算的综合运用
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第二讲 整式运算的综合应用
例1.(1)计算:2(23)x y z +-;
(2)计算:()()a b c d c a d b -+----;
(3)计算:22222222()()()()a b a b a ab b a ab b +--+++;
(4)计算:232(1)(1)()n n n n x x x x x N ++-+∈;
(5)计算:22()[()]x y z x y xz yz z +-++++。
解:(1)原式=x 2+4y 2+9z 2+4xy −6xz −12yz .
(2)原式=ac −a 2−ad −ab −bc +ab +bd +b 2+c 2−ac −dc −cd −cd +ad +d 2+bd
=b 2+c 2+d 2−a 2−2bc +2bd −2cd .
解2:原式=−[a −(b −c +d)][a +(b −c +d)]=−a 2+(b −c +d)2
=−a 2+b 2+c 2+d 2−2bc +2b d−2c d.
(3)原式=332332()()a b a b +-=662()a b -
=a 12−2a 6b 6+b 12.
(4)原式=x 5n −x 4n +x 2n +x 4n −x 3n +x n +x 3n −x 2n +1
=x 5n +x n +1.
解2:原式=222(1)(1)(1)n n n n n n x x x x x x ++-+++
=232(1)(1)n n
n n x x x x -+++= x 5n +x n +1. (5)原式=322223
()()()()()x y z x y z x y z x y z x y z +++++-+-+- =33()x y z +-。
例2.已知2x (x +1)2+x 4−x 2+m 是一个完全平方式,求实数m 的值。
解:2x (x +1)2+x 4−x 2+m =x 4+2x 3+3x 2+2x +m =(x 2)2+2x 2(x +1)+(x 2+2x +m )是一个完全平方式, 则x 2+2x +m =(x +1)2,
所以m =1.
解2:待定系数法:2x (x +1)2+x 4−x 2+m =x 4+2x 3+3x 2+2x +m
设x 4+2x 3+3x 2+2x +m =(x 2+ax +b )2=x 4+a 2x 2+b 2+2ax 3+2bx 2+2abx ,
比较三次项系数得到2a =2,所以a =1,比较一次项系数得到2ab =2,所以b =1,
比较常数项系数得到m =b 2=1.
例3.已知整数a ,b ,c 满足a 2+b 2+c 2+3 解:由原式得(a 2−ab +214b )+34 (b 2−4b +4)+(c 2−2c +1)<1, 所以2223()(2)(1)124 b a b c -+-+-<,要使得该式成立,只有 2223()0, (2)0, (1)024 b a b c -=-=-=, 所以c =1,b =2,a =1. 例4.已知多项式f (x )=ax 3+bx 2−47x −15能被3x +1和2x −3整除,求a ,b 的值,并对此分解因式。 解:f (x )是一个三次多项式,按题意可以分解为三个一次多项式的乘积, 设ax 3+bx 2−47x −15=(3x +1)(2x −3)(mx +n ),比较常数项可得−3n =−15,所以n =5, 再比较一次项系数得−47=−9n +2n −3m ,解得m =4, 所以ax 3+bx 2−47x −15=(3x +1)(2x −3)(4x +5), 比较三次项系数得a =24,比较二次项系数得b =2。 24x 3+2x 2−47x −15=(3x +1)(2x −3)(4x +5). 例5.若3x 3−x =1,求9x 4+12x 3−3x 2−7x +2013的值。 解:9x 4+12x 3−3x 2−7x +2013=3x (3x 3−x )+4(3x 2−x )−3x +2013 =3x +4−3x +2013=2017. 例6.计算:22221111(1)(1)(1)(1)()234n n - ---为正整数。 解:原式=222222222131411()()()()234n n ---- =2222132435(1)(1)234n n n ⨯⨯⨯-+⨯⨯⨯⨯=12n n +。 例7.已知(3x 2−2x +1)5的展开式为a 10x 10+ a 9x 9+……+a 1x +a 0,求: (1)a 0+a 1+……+a 10的值; (2)221390210()()a a a a a a +++-+++的值。 解:(1)(3x 2−2x +1)5= a 10x 10+ a 9x 9+……+a 1x +a 0, 令x =1,得32= a 0+a 1+……+a 10; (2)令x =−1,代入得65=7776= a 0−a 1+a 2−a 3+……−a 9+a 10, 221390210()()a a a a a a +++-+++ =01239100123910()()a a a a a a a a a a a a -++++++-+-+ -+ =−32×7776=−248832. 例8.(1)已知x +y =3,xy =−5,求(x −y )2,x 3+y 3的值; (2)已知:13a a +=,求331a a +,441a a +的值。 解:(1)x +y =3,xy =−5,所以x 2+2xy +y 2=9,所以x 2+y 2=19, (x −y )2=(x +y )2−4xy =29, x 3+y 3=(x +y )(x 2−xy +y 2)=3×(19+5)=72. (2)13a a +=,所以2211()29a a a a +=++=,解得2217a a +=, 331a a +=22111()()()a a a a a a ++-+=3×7−3=18; 2221()a a +=4412a a ++,所以441a a +=72−2=47. 例9.已知x +y +z =1,x 2+y 2+z 2=2,求xy +yz +zx ,x 3+y 3+z 3−3xyz 的值。 解:(x +y +z )2= x 2+y 2+z 2+2xy +2yz +2zx ,所以1=2+2(xy +yz +zx ), 所以xy +yz +zx =− 12; x 3+y 3+z 3−3xyz =(x +y +z )( x 2+y 2+z 2−xy −yz −zx ) =1×(2+12)=212 . 例10.已知x +y +z =0,x 2+y 2+z 2=1,求x 4+y 4+z 4的值。 解:x +y +z =0,x 2+y 2+z 2=1, (x +y +z )2= x 2+y 2+z 2+2xy +2yz +2xz =0,所以xy +yz +xz =−12 , (xy +yz +xz )2=x 2y 2+y 2z 2+z 2x 2+2xy 2z +2xyz 2+2x 2yz = x 2y 2+y 2z 2+z 2x 2+2xyz (x +y +z ),