七年级数学整式运算的综合运用

第二讲 整式运算的综合应用

例1．（1）计算：2(23)x y z +-；

（2）计算：()()a b c d c a d b -+----；

（3）计算：22222222()()()()a b a b a ab b a ab b +--+++；

（4）计算：232(1)(1)()n n n n x x x x x N ++-+∈；

（5）计算：22()[()]x y z x y xz yz z +-++++。

解：（1）原式=x 2+4y 2+9z 2+4xy −6xz −12yz .

（2）原式=ac −a 2−ad −ab −bc +ab +bd +b 2+c 2−ac −dc −cd −cd +ad +d 2+bd

=b 2+c 2+d 2−a 2−2bc +2bd −2cd .

解2：原式=−[a −(b −c +d)][a +(b −c +d)]=−a 2+(b −c +d)2

=−a 2+b 2+c 2+d 2−2bc +2b d−2c d.

（3）原式=332332()()a b a b +-=662()a b -

=a 12−2a 6b 6+b 12.

（4）原式=x 5n −x 4n +x 2n +x 4n −x 3n +x n +x 3n −x 2n +1

=x 5n +x n +1.

解2：原式=222(1)(1)(1)n n n n n n x x x x x x ++-+++

=232(1)(1)n n

n n x x x x -+++= x 5n +x n +1. （5）原式=322223

()()()()()x y z x y z x y z x y z x y z +++++-+-+- =33()x y z +-。

例2．已知2x (x +1)2+x 4−x 2+m 是一个完全平方式，求实数m 的值。

解：2x (x +1)2+x 4−x 2+m =x 4+2x 3+3x 2+2x +m =(x 2)2+2x 2(x +1)+(x 2+2x +m )是一个完全平方式， 则x 2+2x +m =(x +1)2，

所以m =1.

解2：待定系数法：2x (x +1)2+x 4−x 2+m =x 4+2x 3+3x 2+2x +m

设x 4+2x 3+3x 2+2x +m =(x 2+ax +b )2=x 4+a 2x 2+b 2+2ax 3+2bx 2+2abx ，

比较三次项系数得到2a =2，所以a =1，比较一次项系数得到2ab =2，所以b =1，

比较常数项系数得到m =b 2=1.

例3．已知整数a ，b ，c 满足a 2+b 2+c 2+3

解：由原式得(a 2−ab +214b )+34

(b 2−4b +4)+(c 2−2c +1)<1， 所以2223()(2)(1)124

b a b

c -+-+-<，要使得该式成立，只有 2223()0, (2)0, (1)024

b a b

c -=-=-=， 所以c =1，b =2，a =1.

例4．已知多项式f (x )=ax 3+bx 2−47x −15能被3x +1和2x −3整除，求a ，b 的值，并对此分解因式。 解：f (x )是一个三次多项式，按题意可以分解为三个一次多项式的乘积，

设ax 3+bx 2−47x −15=(3x +1)(2x −3)(mx +n )，比较常数项可得−3n =−15，所以n =5，

再比较一次项系数得−47=−9n +2n −3m ，解得m =4，

所以ax 3+bx 2−47x −15=(3x +1)(2x −3)(4x +5)，

比较三次项系数得a =24，比较二次项系数得b =2。

24x 3+2x 2−47x −15=(3x +1)(2x −3)(4x +5).

例5．若3x 3−x =1，求9x 4+12x 3−3x 2−7x +2013的值。

解：9x 4+12x 3−3x 2−7x +2013=3x (3x 3−x )+4(3x 2−x )−3x +2013

=3x +4−3x +2013=2017.

例6．计算：22221111(1)(1)(1)(1)()234n n -

---为正整数。 解：原式=222222222131411()()()()234n n

---- =2222132435(1)(1)234n n n ⨯⨯⨯-+⨯⨯⨯⨯=12n n +。

例7．已知(3x 2−2x +1)5的展开式为a 10x 10+ a 9x 9+……+a 1x +a 0，求：

（1）a 0+a 1+……+a 10的值；

（2）221390210()()a a a a a a +++-+++的值。

解：（1）(3x 2−2x +1)5= a 10x 10+ a 9x 9+……+a 1x +a 0，

令x =1，得32= a 0+a 1+……+a 10；

（2）令x =−1，代入得65=7776= a 0−a 1+a 2−a 3+……−a 9+a 10， 221390210()()a a a a a a +++-+++

=01239100123910()()a a a a a a a a a a a a -++++++-+-+

-+ =−32×7776=−248832.

例8．（1）已知x +y =3，xy =−5，求(x −y )2，x 3+y 3的值；

（2）已知：13a a +=，求331a a +，441a a

+的值。 解：（1）x +y =3，xy =−5，所以x 2+2xy +y 2=9，所以x 2+y 2=19，

(x −y )2=(x +y )2−4xy =29，

x 3+y 3=(x +y )(x 2−xy +y 2)=3×(19+5)=72.

（2）13a a +=，所以2211()29a a a a +=++=，解得2217a a

+=， 331a a +=22111()()()a a a a a a

++-+=3×7−3=18； 2221()a a +=4412a a ++，所以441a a

+=72−2=47.

例9．已知x +y +z =1，x 2+y 2+z 2=2，求xy +yz +zx ，x 3+y 3+z 3−3xyz 的值。

解：(x +y +z )2= x 2+y 2+z 2+2xy +2yz +2zx ，所以1=2+2(xy +yz +zx )，

所以xy +yz +zx =−

12； x 3+y 3+z 3−3xyz =(x +y +z )( x 2+y 2+z 2−xy −yz −zx )

=1×(2+12)=212

.

例10．已知x +y +z =0，x 2+y 2+z 2=1，求x 4+y 4+z 4的值。

解：x +y +z =0，x 2+y 2+z 2=1，

(x +y +z )2= x 2+y 2+z 2+2xy +2yz +2xz =0，所以xy +yz +xz =−12

， (xy +yz +xz )2=x 2y 2+y 2z 2+z 2x 2+2xy 2z +2xyz 2+2x 2yz = x 2y 2+y 2z 2+z 2x 2+2xyz (x +y +z )，