七年级数学整式运算的综合运用
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第二讲 整式运算的综合应用
例1.(1)计算:2(23)x y z +-;
(2)计算:()()a b c d c a d b -+----;
(3)计算:22222222()()()()a b a b a ab b a ab b +--+++;
(4)计算:232(1)(1)()n n n n x x x x x N ++-+∈;
(5)计算:22()[()]x y z x y xz yz z +-++++。
解:(1)原式=x 2+4y 2+9z 2+4xy −6xz −12yz .
(2)原式=ac −a 2−ad −ab −bc +ab +bd +b 2+c 2−ac −dc −cd −cd +ad +d 2+bd
=b 2+c 2+d 2−a 2−2bc +2bd −2cd .
解2:原式=−[a −(b −c +d)][a +(b −c +d)]=−a 2+(b −c +d)2
=−a 2+b 2+c 2+d 2−2bc +2b d−2c d.
(3)原式=332332()()a b a b +-=662()a b -
=a 12−2a 6b 6+b 12.
(4)原式=x 5n −x 4n +x 2n +x 4n −x 3n +x n +x 3n −x 2n +1
=x 5n +x n +1.
解2:原式=222(1)(1)(1)n n n n n n x x x x x x ++-+++
=232(1)(1)n n
n n x x x x -+++= x 5n +x n +1. (5)原式=322223
()()()()()x y z x y z x y z x y z x y z +++++-+-+- =33()x y z +-。
例2.已知2x (x +1)2+x 4−x 2+m 是一个完全平方式,求实数m 的值。
解:2x (x +1)2+x 4−x 2+m =x 4+2x 3+3x 2+2x +m =(x 2)2+2x 2(x +1)+(x 2+2x +m )是一个完全平方式, 则x 2+2x +m =(x +1)2,
所以m =1.
解2:待定系数法:2x (x +1)2+x 4−x 2+m =x 4+2x 3+3x 2+2x +m
设x 4+2x 3+3x 2+2x +m =(x 2+ax +b )2=x 4+a 2x 2+b 2+2ax 3+2bx 2+2abx ,
比较三次项系数得到2a =2,所以a =1,比较一次项系数得到2ab =2,所以b =1,
比较常数项系数得到m =b 2=1.
例3.已知整数a ,b ,c 满足a 2+b 2+c 2+3<ab +3b +2c ,求a ,b ,c 的值。
解:由原式得(a 2−ab +214b )+34
(b 2−4b +4)+(c 2−2c +1)<1, 所以2223()(2)(1)124
b a b
c -+-+-<,要使得该式成立,只有 2223()0, (2)0, (1)024
b a b
c -=-=-=, 所以c =1,b =2,a =1.
例4.已知多项式f (x )=ax 3+bx 2−47x −15能被3x +1和2x −3整除,求a ,b 的值,并对此分解因式。
解:f (x )是一个三次多项式,按题意可以分解为三个一次多项式的乘积,
设ax 3+bx 2−47x −15=(3x +1)(2x −3)(mx +n ),比较常数项可得−3n =−15,所以n =5,
再比较一次项系数得−47=−9n +2n −3m ,解得m =4,
所以ax 3+bx 2−47x −15=(3x +1)(2x −3)(4x +5),
比较三次项系数得a =24,比较二次项系数得b =2。
24x 3+2x 2−47x −15=(3x +1)(2x −3)(4x +5).
例5.若3x 3−x =1,求9x 4+12x 3−3x 2−7x +2013的值。
解:9x 4+12x 3−3x 2−7x +2013=3x (3x 3−x )+4(3x 2−x )−3x +2013
=3x +4−3x +2013=2017.
例6.计算:22221111(1)(1)(1)(1)()234n n -
---为正整数。
解:原式=222222222131411()()()()234n n
---- =2222132435(1)(1)234n n n ⨯⨯⨯-+⨯⨯⨯⨯=12n n +。
例7.已知(3x 2−2x +1)5的展开式为a 10x 10+ a 9x 9+……+a 1x +a 0,求:
(1)a 0+a 1+……+a 10的值;
(2)221390210()()a a a a a a +++-+++的值。
解:(1)(3x 2−2x +1)5= a 10x 10+ a 9x 9+……+a 1x +a 0,
令x =1,得32= a 0+a 1+……+a 10;
(2)令x =−1,代入得65=7776= a 0−a 1+a 2−a 3+……−a 9+a 10, 221390210()()a a a a a a +++-+++
=01239100123910()()a a a a a a a a a a a a -++++++-+-+
-+ =−32×7776=−248832.
例8.(1)已知x +y =3,xy =−5,求(x −y )2,x 3+y 3的值;
(2)已知:13a a +=,求331a a +,441a a
+的值。
解:(1)x +y =3,xy =−5,所以x 2+2xy +y 2=9,所以x 2+y 2=19,
(x −y )2=(x +y )2−4xy =29,
x 3+y 3=(x +y )(x 2−xy +y 2)=3×(19+5)=72.
(2)13a a +=,所以2211()29a a a a +=++=,解得2217a a
+=, 331a a +=22111()()()a a a a a a
++-+=3×7−3=18; 2221()a a +=4412a a ++,所以441a a
+=72−2=47.
例9.已知x +y +z =1,x 2+y 2+z 2=2,求xy +yz +zx ,x 3+y 3+z 3−3xyz 的值。
解:(x +y +z )2= x 2+y 2+z 2+2xy +2yz +2zx ,所以1=2+2(xy +yz +zx ),
所以xy +yz +zx =−
12; x 3+y 3+z 3−3xyz =(x +y +z )( x 2+y 2+z 2−xy −yz −zx )
=1×(2+12)=212
.
例10.已知x +y +z =0,x 2+y 2+z 2=1,求x 4+y 4+z 4的值。
解:x +y +z =0,x 2+y 2+z 2=1,
(x +y +z )2= x 2+y 2+z 2+2xy +2yz +2xz =0,所以xy +yz +xz =−12
, (xy +yz +xz )2=x 2y 2+y 2z 2+z 2x 2+2xy 2z +2xyz 2+2x 2yz = x 2y 2+y 2z 2+z 2x 2+2xyz (x +y +z ),
所以x2y2+y2z2+z2x2=1
4
,
所以x4+y4+z4=( x2+y2+z2)2−2(x2y2+y2z2+z2x2)=1−1
2
=
1
2
.
例11.已知x+y+z=3,(x−1)3+(y−1)3+(z−1)3=0,求证:x,y,z中至少有一个数为1.
证明:x+y+z=3,(x−1)3+(y−1)3+(z−1)3=0,
所以(x−1)+(y−1)+(z−1)=0,设x−1=a,y−1=b,z−1=c,则满足a+b+c=0,a3+b3+c3=0,
则a3+b3+c3−3abc=(a+b+c)(a2+b2+c2−ab−bc−ca)=0,可知abc=0,
所以a,b,c中至少有一个为0,即x,y,z中至少有一个数为1.
例12.已知a,b,c,d满足a+b=c+d,a3+b3=c3+d3,求证:对于任意正奇数n,都有a n+b n=c n+d n.证明:由题意知(a+b)(a2−ab+b2)=(c+d)(c2−cd+d2),
因为a+b=c+d,所以a2−ab+b2= c2−cd+d2,即(a+b)2−3ab=(c+d)2−3cd,
得到ab=cd,(a+b)2=(c+d)2,a2+2ab+b2=c2+2cd+d2,所以a2+b2=c2+d2,
用数学归纳法证明:
①对于正奇数n=3,已知成立,
②假设对于正奇数n=k成立,即a k+b k=c k+d k成立,
对于下一个正奇数n=k+1,
有a k+2+b k+2=(a k+b k)(a2+b2)−a2b k−b2a k=(a k+b k)(a2+b2)−a2b2(a k−2+b k−2)
=(c k+c k)(c2+d2)−c2d2(c k−2+d k−2)= c k+2+d k+2,
即对于n=k+2命题也成立,
由①、②可知对于任意正奇数n,都有a n+b n=c n+d n.
随 堂 练 习
1.计算:421111()()()22216
x x x x +--
+。
解:原式=22211()()44x x --=231()4
x - =64233141664x x x -+-。
2.计算:6543207(2002200220022002200220022002)200112002
++++++⋅+。
解:原式=772002120011
20021
2002
-⋅+-=1.
3.已知多项式f (x )除以x −1,x −2所得的余数分别是1,2,求f (x )除以(x −1)(x −2)的余式。
解:f (x )除以(x −1)(x −2)的余式一定是一个一次式,不妨设为ax +b
即f (x )=(x −1)(x −2)g (x )+(ax +b ),
把x =1代入得a +b =1,把x =2代入得2a +b =2,所以a =1,b =0,
即余式是x .
4.设x +y +z =1,x 2+y 2+z 2=2,x 3+y 3+z 3=3,求x 4+y 4+z 4的值。
解:x +y +z =1,1=(x +y +z )2=x 2+y 2+z 2+2(xy +yz +zx )=2+2(xy +yz +zx ),
所以xy +yz +zx =12-,3= x 3+y 3+z 3=(x +y +z )(x 2+y 2+z 2−xy −yz −zx )+3xyz =1×(2+12)+3xyz ,xyz =16, 14=(xy +yz +zx )2=x 2y 2+y 2z 2+z 2x 2+2xyz (x +y +z )= x 2y 2+y 2z 2+z 2x 2+2×16
×1, 所以x 2y 2+y 2z 2+z 2x 2=−112
,(矛盾了!三个实数的平方和怎么能得到负数?) 4=(x 2+y 2+z 2)2= x 4+y 4+z 4+2x 2y 2+2y 2z 2+2z 2x 2= x 4+y 4+z 4−16
, 所以x 4+y 4+z 4=416。
5.若a −b −c =1,a 2+b 2+c 2=
13
,求201720172017a b c ++的值。
解:令x =a −13,y =b +13,z =c +13
,则x −y −z =(a −b −c )−1=0, 且x 2+y 2+z 2=(a −13)2+(b +13)2+(c +13)2=(a 2−23a +19)+(b 2+23b +19
)+(c 2+23c +19) =a 2+b 2+c 2−2()3a b c --+13
=0, 所以x =0,y =0,z =0,即a =13,b =−13,c =−13
, 所以201720172017a b c ++=−201713。
解2:当a =13,b =−13,c =−13时,这样a −b −c =1,a 2+b 2+c 2=111999++=13
, 所以201720172017a b c ++=−200713。
当a >13时,则b ,c 中至少有一个小于−13,此时a 2+b 2+c 2将大于13
;不满足题意; 当a <13时,则b ,c 中至少有一个大于−13,此时a 2+b 2+c 2将小于13
;不满足题意; 若a =13不变,则b ,c 两个数一个变大,另一个变小,此时a 2+b 2+c 2也不会等于13
,不满足题意; 所以只有这一种情况。