(完整word版)北京理工大学数学专业泛函分析期末试题(MTH17060)

北京理工大学2012-2013学年第一学期2010级泛函分析试题（A 卷）一、（10分）设T 是赋范线性空间X 到自身的线性映射。

证明以下三条等价： （1）T 连续； （2）T 在零点连续； （3）T 有界。

二、（10分）设H 是Hilbert 空间。

证明： （1）若n x x →，则对于任意固定的y H ∈，()(),,n x y x y →； （2）若n x x →，n y y →，则()(),,n n x y x y →。

三、（10分）设H 是Hilbert 空间，()A B H ∈且存在0m >使得()2,,x H Ax x m x ∀∈≥，证明：存在()1A B H -∈。

四、（10分）设H 是Hilbert 空间，M 是H 的线性子空间。

证明：M 在H 中稠密的充分必要条件是{}M θ⊥=。

注：M 仅为H 的子集时充分性不成立，试举反例 五、（15分）设[]0,1C 为区间[]0,1上连续函数的全体，对于[]0,1f C ∈， 令[]()0,1max x f f x ∈=。

证明：（1）[]0,1C 是完备的赋范线性空间，即Banach 空间；（2）对于[]0,1t ∈，令()()t F f f t =，则t F 是[]0,1C 上线性有界泛函，求t F 。

六、（15分）设[]2,0,1,1,2,k f f L k ∈=L ，且[],..0,1k f f a e →。

证明：lim k k f f →∞=当且仅当lim 0k k f f →∞-=，其中()[][]12220,1,0,1f f x dx f L ⎛⎫ ⎪=∈ ⎪⎝⎭⎰。

七、（15分）设12,f f 是Hilbert 空间H 上的线性无关的线性有界泛函，12ker ker M f f =I。

证明：（1）M 是闭的线性子空间；（2）存在12,y y H ∈使得对于x H ∈，有01122x x y y λλ=++，其中0x 为x 在M 上的正交投影，12,λλ∈£。

（附加：试证明在题设条件下此分解式唯一。

） 八、（15分）在[]0,1C 上分别令[]()()1100,1max ,t x x t x x t dt ∞∈==⎰，其中[]0,1x C ∈。

（1）分别证明∞和1是[]0,1C 上的范数；（2）比较这两种范数的强弱；（3）它们是否等价？给出理由。

（要求使用两种方法）注：2010级为闭卷北京理工大学2013-2014学年第一学期2011级泛函分析试题（A 卷）一、（1）给出赋范线性空间的定义，证明范数是连续的一元函数； （2）给出距离空间的定义，证明距离是连续的二元函数； （3）证明赋范线性空间构成距离空间；（4）距离空间是否为赋范线性空间？举出反例或给出证明。

（试举两类反例） 二、设B 是Banach 空间，f 是B 上的线性泛函。

证明以下五条等价： （1）f 连续；（2）f 在某点连续；（3）f 在零点连续；（4）f 有界；（5）ker f 是闭线性子空间。

（比较条件（2）与条件（2’）：f 在任意某点连续的区别！） 三、设X,Y 均为内积空间，(),B X Y 为X 到Y 的线性有界算子全体，对于(),T B X Y ∈，令1sup x T Tx ≤=。

证明：（1）(),B X Y 是赋范线性空间； （2）若Y 完备，则(),B X Y 完备。

四、设[],0,11,,1,2,pn f L p f n ≤=<∞∈L ，证明：pL n f f −−→当且仅当以下条件成立：（1）nppf f→； （2）mn f f −−→ 注：p =∞时充分性不成立，试举反例。

五、考虑实Hilbert 空间[]20,1L ，设[][]220,1,0,1g L f L ∈∀∈，定义[]20,1L 上的泛函为()()()[]0,1F f f x g x dx =⎰，证明F 是线性连续泛函，并求F 。

六、设{}{},n n e f 是Hilbert 空间H 中的两个标准正交集，满足条件211n nn e f ∞=-<∑。

求证：两者中一个完备蕴含另一个完备。

七、设H 是Hilbert 空间，()A B H ∈且存在0m >使得()2,,x H Ax x m x ∀∈≥，证明：（1）A 是单射；（2）A 是满射；（3）判断1A -是否有界？并给出理由。

注：2011级为半开卷另注：2012级为闭卷北京理工大学2015-2016学年第一学期2013级泛函分析试题（B 卷）一、（30分）考虑二维平面2¡，对于()212,x x x '=∈¡，定义121x x x =+。

（1）证明()21,⋅¡是赋范线性空间；（2）证明()21,⋅¡是Banach 空间； （3）画出2¡中单位圆{}211x x ∈≤¡的图形；（4）()21,⋅¡是否为内积空间？请说明理由； （（2）（5）问请各用两种方法证明！） （5）在2¡中定义另一种范数2x=2¡上1⋅和2⋅是否等价？（6）令11122122a a a a ⎛⎫=⎪⎝⎭A ，其中11122122,,,a a a a ∈¡，则A 是()21,⋅¡上的线性变换，证明：A 是线性有界算子，并求A 。

二、（10分）设X 和Y 是赋范线性空间，T 是X 到Y 的线性算子，证明以下两条等价： （1）T 连续 （2）T 有界三、（10分）设{}n f 和{}n g 是[]20,1L 上的标准正交系， 若它们满足()()[]210,11n n n f x g x dx ∞=-<∑⎰，证明：{}n f 是[]20,1L 上的标准正交基的充分必要条件是{}n g 是[]20,1L 上的标准正交基。

四、（因课时充足新加的内容）（10分）设A 是无穷维Hilbert 空间H 上的紧算子，证明： （1）A 是H 上的线性有界算子；（2）A 不存在有界逆。

（试各用两种方法证明！） 五、（10分）设X 是Banach 空间，f 是X 上线性泛函，证明f 有界的充分必要条件是ker f 是X 的闭线性子空间。

六、（10分）设1,,n x x L 是赋范线性空间X 中的线性无关元，证明*,1,,i f X i n ∃∈=L ，使得(),,1,,i j ij f x i j n δ==L 。

（试用两种方法证明！） 七、（20分）（1）给定函数()[]0,1y C ⋅∈，常数λ满足11e λ<-，考虑积分方程： ()()()[]0,0,1tt s x t e x s ds y t t λ--=∈⎰，证明此方程在[]0,1C 中有唯一解；（2）对于[][]0,1,0,1t f C ∈∈，令()()t F f f t =，证明t F 是[]0,1C 上有界线性泛函，并求其算子范数。

（若将（1）的条件改为1λ<，能否得出结论）注：2013级为闭卷北京理工大学2016-2017学年第一学期2014级泛函分析试题（A 卷）一、（20分）设B 是Banach 空间，f 是B 上的线性泛函。

证明以下四条等价： （1）f 连续；（2）f 在零点连续；（3）f 有界；（4）ker f 是闭线性子空间。

二、（50分，1-6小题每题5分，7、8小题每题10分）设[]0,1C 为区间[]0,1上连续函数的全体。

对于[],0,1f g C ∈，在其上定义()[]()()[]()0,10,1,max ,max t t d f g f t g t ff t ∞∈∈=-=。

（1）证明[]()0,1,C d 为度量空间；（2）证明[]()0,1,C d 中的度量收敛性等价于一致收敛； （3）证明[]()0,1,C d 完备；（4）证明[]()0,1,C ∞g 为赋范线性空间； （5）∞g 可以是由内积引出的吗？（6）[]()0,1,C ∞g 中的单位球面是紧的吗？ （7）对于[]0,1f C ∈，定义()11f f t dt =⎰。

问1g 和∞g 的强弱关系，它们等价吗？ （8）[]0,1t ∀∈，定义():F t f t a ，证明F 是[]()0,1,C ∞g 上有界线性泛函，并求F 。

三、（10分）设(),,1,1,2,pn f f LE p n ∈≤<∞=L，证明：pLn f f −−→的充分条件为：（1）n f f → []..a e E ；（2）nppf f→。

考试时当场否定了必要性，理由何在？四、（10分）设{}{},n n e f 是Hilbert 空间H 中的两个标准正交集，满足条件211n nn e f ∞=-<∑。

求证：两者中一个完备蕴含另一个完备。

五、（10分）设1,,n x x L 是赋范线性空间X 中的线性无关元，证明*,1,,i f X i n ∃∈=L ，使得(),,1,,i j ij f x i j n δ==L 。

（试用两种方法证明！）注：2014级为闭卷。