2018版高中数学第三章空间向量及其运算3.1.1空间向量及其加减运算学案新人教A版

3.1.1 空间向量及其加减运算

学习目标 1.经历向量及其运算由平面向空间推广的过程，了解空间向量、向量的模、零向量、相反向量、相等向量等的概念.2.会用平行四边形法则、三角形法则作出向量的和与差，了解向量加法的交换律和结合律.

知识点一 空间向量的概念

思考 类比平面向量的概念，给出空间向量的概念. 答案 在空间，把具有大小和方向的量叫做空间向量.

梳理 (1)在空间，把具有大小和方向的量叫做空间向量，向量的大小叫做向量的长度或模. 空间向量也用有向线段表示，有向线段的长度表示向量的模，向量a 的起点是A ，终点是B ，则向量a 也可记作AB →，其模记为|a |或|AB →|. (2)几类特殊的空间向量

知识点二 空间向量的加减运算及运算律

思考1 下面给出了两个空间向量a 、b ，作出b ＋a ，b －a .

答案 如图，空间中的两个向量a ，b 相加时，我们可以先把向量a ，b 平移到同一个平面α内，以任意点O 为起点作OA →＝a ，OB →＝b ，则OC →＝OA →＋OB →＝a ＋b ，AB →＝OB →－OA →

＝b －a .

思考2 由上述的运算过程总结一下，如何求空间两个向量的和与差？下面两个图形中的运算分别运用了什么运算法则？

答案 先将两个向量平移到同一个平面，然后运用平面向量的运算法则(三角形法则、平行四边形法则)运算即可；图1是三角形法则，图2是平行四边形法则. 梳理 (1)类似于平面向量，可以定义空间向量的加法和减法运算.

OB →＝OA →＋AB →

＝a ＋b ， CA →＝OA →－OC →

＝a －b . (2)空间向量加法交换律

a ＋

b ＝b ＋a ，

空间向量加法结合律 (a ＋b )＋c ＝a ＋(b ＋c ).

类型一 有关空间向量的概念的理解 例1 给出以下结论：

①两个空间向量相等，则它们的起点和终点分别相同；②若空间向量a ，b 满足|a |＝|b |，则a ＝b ；③在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，必有AC →＝A 1C 1―→

；④若空间向量m ，n ，p 满足m ＝n ，

n ＝p ，则m ＝p .其中不正确的个数是( )

A.1

B.2

C.3

D.4 答案 B

解析 两个空间向量相等，它们的起点、终点不一定相同，故①不正确；若空间向量a ，b 满足|a |＝|b |，则不一定能判断出a ＝b ，故②不正确；在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，必有AC →

＝A 1C 1―→

成立，故③正确；④显然正确.故选B.

反思与感悟 在空间中，向量、向量的模、相等向量的概念和平面中向量的相关概念完全一致，两向量相等的充要条件是两个向量的方向相同、模相等.两向量互为相反向量的充要条件是大小相等，方向相反.

跟踪训练1 (1)在平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，下列四对向量：①AB →与C 1D 1―→；②AC 1→与BD 1→

；

③AD 1→与C 1B →；④A 1D →与B 1C →

.其中互为相反向量的有n 对，则n 等于( )

A.1

B.2

C.3

D.4 答案 B

解析 对于①AB →与C 1D 1―→，③AD 1→与C 1B →长度相等，方向相反，互为相反向量；对于②AC 1→与BD 1→

长度相等，方向不相反；对于④A 1D →与B 1C →

长度相等，方向相同.故互为相反向量的有2对. (2)如图，在长方体ABCD －A ′B ′C ′D ′中，AB ＝3，AD ＝2，AA ′＝1，则分别以长方体的顶点为起点和终点的向量中：

①单位向量共有多少个？ ②试写出模为5的所有向量. ③试写出与向量AB →

相等的所有向量. ④试写出向量AA ′―→

的所有相反向量.

解 ①由于长方体的高为1，所以长方体的四条高所对应的向量AA ′―→，A ′A ―→，BB ′―→，B ′B ―→，CC ′―→，C ′C ―→，DD ′―→，D ′D ―→，共8个向量都是单位向量，而其他向量的模均不为1，故单位向量共有8个.

②由于长方体的左右两侧面的对角线长均为5，故模为5的向量有AD ′―→，D ′A ―→，A ′D ―→，DA ′―→，BC ′―→，C ′B ―→，B ′C ―→，CB ′―→.

③与向量AB →相等的所有向量(除它自身之外)有A ′B ′――→，DC →及D ′C ′――→. ④向量AA ′―→的相反向量有A ′A ―→，B ′B ―→，C ′C ―→，D ′D ―→. 类型二 空间向量的加减运算

例2 如图，已知长方体ABCD －A ′B ′C ′D ′，化简下列向量表达式，并在图中标出化简结果的向量.

(1)AA ′―→－CB →； (2)AA ′―→＋AB →＋B ′C ′――→.

解 (1)AA ′―→－CB →＝AA ′―→－DA →＝AA ′―→＋AD →＝AD ′―→.

(2)AA ′―→＋AB →＋B ′C ′――→＝(AA ′―→＋AB →)＋B ′C ′――→＝AB ′―→＋B ′C ′――→＝AC ′―→.向量AD ′―→、AC ′―→如图所示.

引申探究

利用例2题图，化简AA ′―→＋A ′B ′――→＋B ′C ′――→＋C ′A ―→. 解 结合加法运算

AA ′―→＋A ′B ′――→＝AB ′―→，AB ′―→＋B ′C ′――→＝AC ′―→，AC ′―→＋C ′A ―→＝0. 故AA ′―→＋A ′B ′――→＋B ′C ′――→＋C ′A ―→＝0.

反思与感悟 (1)首尾顺次相接的若干向量之和，等于由起始向量的起点指向末尾向量的终点的向量，即A 1A 2―→＋A 2A 3―→＋A 3A 4―→＋…＋A n －1A n ―――→＝A 1A n ―→.

(2)首尾顺次相接的若干向量若构成一个封闭图形，则它们的和为0.如图，OB →＋BC →＋CD →＋DE →

＋EF →＋FG →＋GH →＋HO →

＝0.

(3)空间向量的减法运算也可以看成是向量的加法运算，即a －b ＝a ＋(－b ).

(4)由于空间任意两个向量都可以平移到同一平面内，成为同一个平面内的两个向量，而平面向量满足加法交换律，因此空间向量也满足加法交换律.

(5)空间向量加法结合律的证明：如图，(a ＋b )＋c ＝(OA →＋AB →)＋BC →＝OB →＋BC →＝OC →

，a ＋(b ＋

c )＝OA →＋(AB →＋BC →)＝OA →＋AC →＝OC →

，