2020新课改高考数学小题专项训练14
2020新课标高考数学(文)二轮总复习专题限时训练：1-1-2 解三角形 Word版含解析
专题限时训练 (小题提速练)(建议用时：45分钟)一、选择题1．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .若a cos A ＝b sin B ，则sin A cos A ＋cos 2B ＝( ) A ．－12 B.12 C.－1D.1解析：由a cos A ＝b sin B 可得sin A cos A ＝sin 2B ， 所以sin A cos A ＋cos 2B ＝sin 2B ＋cos 2B ＝1. 答案：D2．在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，若c ＝2a ，b sin B －a sin A ＝12a sin C ，则sin B 为( ) A.74 B.34 C.73D.13解析：由b sin B －a sin A ＝12a sin C ，且c ＝2a ， 得b ＝2a .∵cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝a 2＋4a 2－2a 24a 2＝34，∴sin B ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫342＝74.故选A 答案：A3．设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若b cos C ＋c cos B ＝a sin A ，则△ABC 的形状为( ) A ．锐角三角形 B.直角三角形 C ．钝角三角形D.不确定解析：由b cos C ＋c cos B ＝a sin A ，得sin B cos C ＋sin C cos B ＝sin 2A ，即sin(B ＋C )＝sin 2A ，因为sin A ≠0，所以sin A ＝1，由0<A <π，得A ＝π2，所以△ABC 为直角三角形． 答案：B4．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且b 2＝a 2＋bc ，A ＝π6，则角C ＝( ) A.π6 B.π4 C.3π4D.π4或3π4解析：由a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，b 2＝a 2＋bc ，联立得b ＝3＋12c ，代入b 2＝a 2＋bc ，得2a 2＝c 2，由正弦定理，得sin 2C ＝2sin 2A ＝12，∴sin C ＝22.∵b ＝3＋12c ，∴b >c ，∴B >C ，∴C ＝π4.故选B. 答案：B5．已知在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对边长分别为a ，b ，c ，若A ＝π3，b ＝2a cos B ，c ＝1，则△ABC 的面积等于( ) A.32 B.34 C.36D.38解析：由正弦定理得sin B ＝2sin A cos B ，故tan B ＝2sin A ＝2sin π3＝3，又B ∈(0，π)，所以B ＝π3，又A ＝π3，所以△ABC 是正三角形，所以S △ABC ＝12bc sin A ＝12×1×1×32＝34. 答案：B6．△ABC 中，a ，b ，c 分别是内角A ，B ，C 所对的边，且cos 2B ＋3cos (A ＋C )＋2＝0，b ＝3，则c ∶sin C 等于( ) A ．3∶1 B.3∶1 C.2∶1D.2∶1解析：由题意可得cos 2B －3cosB ＋2＝0,2cos 2 B －3cos B ＋1＝0，B ∈(0，π)，解得cos B ＝12，故B ＝π3，由正弦定理可得c sinC ＝b sin B ＝332＝2，故选D.答案：D7．如图，在△ABC 中，∠C ＝π3，BC ＝4，点D 在边AC 上，AD ＝DB ，DE ⊥AB ，垂足为E .若DE ＝22，则cos A 等于( )A.223B.24C.64D.63解析：依题意得，BD ＝AD ＝DE sin A ＝22sin A ，∠BDC ＝∠ABD ＋∠A ＝2∠A .在△BCD 中，BC sin ∠BDC ＝BD sin C ，4sin 2A ＝22sin A ×23＝423sin A ，即42sin A cos A ＝423sin A ，由此解得cos A ＝64. 答案：C8．(2019·昆明模拟)在△ABC 中，已知AB ＝2，AC ＝5，tan ∠BAC ＝－3，则BC 边上的高等于( ) A ．1 B. 2 C. 3D.2解析：方法一：因为tan ∠BAC ＝－3，所以sin ∠BAC ＝310，cos ∠BAC ＝－110.由余弦定理，得BC 2＝AC 2＋AB 2－2AC ·AB ·cos ∠BAC ＝5＋2－2×5×2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－110＝9，所以BC ＝3，所以S △ABC ＝12AB ·AC sin ∠BAC ＝12×2×5×310＝32，所以BC 边上的高h ＝2S △ABC BC ＝2×323＝1. 方法二：因为tan ∠BAC ＝－3，所以cos ∠BAC ＝－110<0，则∠BAC 为钝角，因此BC 边上的高小于 2. 答案：A9．已知△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，且tan B ＝2－3a 2－b 2＋c2，BC →·BA →＝12，则tan B 等于( ) A.32 B.3－1 C.2D.2－ 3解析：由题意得，BC →·BA →＝|BC →|·|BA→|cos B ＝ac cos B ＝12，即cos B ＝12ac .由余弦定理得cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝12ac ⇒a 2＋c 2－b 2＝1， 所以tan B ＝2－3a 2－b 2＋c 2＝2－ 3.故选D.答案：D10．△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知a sin A －b sin B ＝4c sin C ，cos A ＝－14，则bc ＝( ) A ．6 B.5 C.4D.3解析：由正弦定理得a sin A －b sin B ＝4c sin C ⇒a 2－b 2＝4c 2，即a 2＝4c 2＋b 2. 又由余弦定理可得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝－14，所以bc ＝6. 答案：A11．如图，海岸线上有相距5 n mile 的两座灯塔A ，B ，灯塔B 位于灯塔A 的正南方向．海上停泊着两艘轮船，甲船位于灯塔A 的北偏西75°方向，与A 相距3 2 n mile 的D 处；乙船位于灯塔B 的北偏西60°方向，与B 相距5 n mile 的C 处，则两艘轮船之间的距离为( )A ．5 n mile B.2 3 n mile C.13 n mileD.3 2 n mile解析：连接AC (图略)，∠ABC ＝60°，BC ＝AB ＝5 n mile ，AC ＝5 n mile ，在△ACD 中，AD ＝3 2 n mile ，AC ＝5 n mile ，∠DAC ＝45°，由余弦定理得CD ＝13 n mile. 答案：C12．已知△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且a cos C ＋32c ＝b ，若a ＝1，3c －2b ＝1，则角B 为( ) A.π4 B.π6 C.π3D.π12解析：因为a cos C ＋32c ＝b ，所以sin A cos C ＋32·sin C ＝sin B ＝sin(A ＋C )＝sin A cos C ＋cos A sin C ，所以32sin C ＝cos A sin C ，因为sin C ≠0，所以cos A ＝32，因为A 为△ABC 的内角，所以A ＝π6.由余弦定理得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，知1＝b 2＋c 2－3bc .联立⎩⎨⎧1＝b 2＋c 2－3bc ，3c －2b ＝1，解得c ＝3，b ＝1，由a sin A ＝b sin B ，得sin B ＝b sin A a ＝1×121＝12，∵b ＜c ，∴B ＜C ，∴B ＝π6.答案：B 二、填空题13．△ABC 的两边长分别为2,3，其夹角的余弦值为13，则其外接圆的半径为 .解析：设另一条边长为x .则x 2＝22＋32－2×2×3×13， ∴x 2＝9，∴x ＝3.设cos θ＝13，则sin θ＝223.∴再由正弦定理可得2R ＝x sin θ＝3sin θ＝3223＝924，∴外接圆的半径R ＝928. 答案：92814．(2018·全国新课标卷Ⅱ)在△ABC 中，cos C 2＝55，BC ＝1，AC ＝5，则AB ＝________.解析：因为cos C ＝2cos 2C 2－1＝2×15－1＝－35，所以由余弦定理得AB 2＝AC 2＋BC 2－2AC ·BC cos C ＝25＋1－2×5×1×⎝ ⎛⎭⎪⎫－35＝32，所以AB ＝4 2.答案：4 215．已知在△ABC 中，AB ＝1，sin A ＋sin B ＝2sin C ，S △ABC ＝316sin C ，则cos C ＝ .解析：设在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ， 因为sin A ＋sin B ＝2sin C ，则由正弦定理得a ＋b ＝2c . 又因为S △ABC ＝12ab sin C ＝316sin C ，sin C ≠0，所以ab ＝38，故cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝(a ＋b )2－2ab －12ab ＝13.答案：1316．(2019·惠州第一次调研)已知a ，b ，c 是△ABC 中角A ，B ，C 的对边，a ＝4，b ∈(4,6)，sin 2A ＝sin C ，则c 的取值范围为________．解析：由4sin A ＝c sin C ，得4sin A ＝csin 2A ，所以c ＝8cos A ，因为16＝b 2＋c 2－2bc cos A ，所以16－b 2＝64cos 2A －16b cos 2A ，又b ≠4，所以cos 2A ＝16－b 264－16b ＝(4－b )(4＋b )16(4－b )＝4＋b 16，所以c 2＝64cos 2A ＝64×4＋b 16＝16＋4b .因为b ∈(4,6)，所以32<c 2<40，所以42<c <210. 答案：(42，210)专题限时训练 (大题规范练)(建议用时：60分钟)1．已知△ABC 的周长为2＋1，且sin A ＋sin B ＝2sin C.(1)求边AB 的长；(2)若△ABC 的面积为16sin C ，求角C 的度数． 解析：(1)由题意及正弦定理得AB ＋BC ＋AC ＝2＋1， BC ＋AC ＝2AB ，两式相减得AB ＝1.(2)由△ABC 的面积12BC ·AC ·sin C ＝16sin C 得BC ·AC ＝13，由余弦定理得cos C ＝AC 2＋BC 2－AB 22AC ·BC＝(AC ＋BC )2－2AC ·BC －AB 22AC ·BC ＝12，所以C ＝60°.2．在△ABC 中，∠A ＝60°，c ＝37a . (1)求sin C 的值；(2)若a ＝7，求△ABC 的面积．解析：(1)∠A ＝60°，c ＝37a ，由正弦定理可得sin C ＝37sin A ＝37×32＝3314. (2)a ＝7，则c ＝3，∴C ＜A ，由(1)可得cos C ＝1314.∴sin B ＝sin(A ＋C )＝sin A cos C ＋cos A sin C ＝32×1314＋12×3314＝437.∴S △ABC ＝12ac sin B ＝12×7×3×437＝6 3.3．在△ABC 中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 的对边，且b 2＋c 2－a 2＝bc . (1)求角A 的大小；(2)设函数f (x )＝sin x 2cos x 2＋3cos 2x2，当f (B )取最大值时，判断△ABC 的形状． 解析：解：(1)在△ABC 中，b 2＋c 2－a 2＝bc ， 根据余弦定理cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝12， 而A ∈(0，π)，所以A ＝π3. (2)因为f (x )＝sin x 2cos x 2＋3cos 2x2， 所以f (x )＝12sin x ＋32cos x ＋32， 即f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3＋32，则f (B )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫B ＋π3＋32.因为B ∈(0，π)，所以当B ＋π3＝π2，即B ＝π6时，f (B )取最大值， 此时易知△ABC 是直角三角形．4．在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知cos 2A ＋32＝2cos A . (1)求角A 的大小；(2)若a ＝1，求△ABC 的周长l 的取值范围．解析：(1)根据二倍角公式cos 2A ＝2cos 2A －1，得2cos 2A ＋12＝2cos A ，即4cos 2 A －4cos A ＋1＝0，所以(2cos A －1)2＝0，所以cos A ＝12. 因为0<A <π，所以A ＝π3.(2)根据正弦定理a sin A ＝b sin B ＝csin C ， 得b ＝23sin B ，c ＝23sin C ， 所以l ＝1＋b ＋c ＝1＋23(sin B ＋sin C )． 因为A ＝π3，所以B ＋C ＝2π3， 所以l ＝1＋23⎣⎢⎡⎦⎥⎤sin B ＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3－B＝1＋2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫B ＋π6.因为0<B <2π3，所以l ∈(2,3]．。
2020版高考数学二轮复习第一部分小题强化练小题强化练(四)(含解析)(最新整理)
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小题强化练(四）一、选择题1．设集合A＝｛y｜y＝log2x,0〈x≤4}，B＝{x|e x〉1}，则A∩B＝（)A．（0，2）B．（0，2]C．(－∞，2）D．R2．若i为虚数单位，复数z满足z(1＋i)＝｜1－i｜＋i,则z的虚部为（)A。
错误!B。
错误!－1C.错误!iD.错误!3．设随机变量X～N（1，1)，其正态分布密度曲线如图所示，那么向正方形ABCD中随机投掷10 000个点，则落入阴影部分的点的个数的估计值是( )注:若X～N（μ，σ2)，则P（μ－σ<X≤μ＋σ)＝0.682 7，P(μ－2σ〈X≤μ＋2σ)＝0。
954 5.A．6 038 B．6 587C．7 028 D．7 5394．《九章算术》中的“竹九节"问题：现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面4节的容积共3升，下面3节的容积共4升，现自上而下取第1，3，9节，则这3节的容积之和为（)A。
133升B。
错误!升C.199升D。
2512升5.某城市有连接8个小区A，B，C，D，E,F，G，H和市中心O的整齐方格形道路网,每个小方格均为正方形，如图所示．某人从道路网中随机地选择一条最短路径,由小区A前往小区H，则他经过市中心O的概率为( ）A.13B。
2020高考高三数学小题专项训练
2020年高考虽然延期一个月，但是练习一定要跟上，加油！班级 学号 姓名 得分 1．sin600︒ = ( ) (A) –23 (B)–21. (C)23. (D) 21.2．设A = { x| x ≥ 2}, B = { x | |x – 1|< 3}, 则A ∩B= ( )(A)[2，4] (B)（–∞，–2] (C)[–2，4] (D)[–2，+∞）3．若|a |=2sin150，|b |=4cos150，a 与b 的夹角为300，则a ·b 的值为 ( )(A)23. (B)3. (C)32. (D)21. 4．△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，则a cos C+c cos A 的值为 ( )(A)b. (B)2cb +. (C)2cosB. (D)2sinB. 5．当x ∈ R 时，令f (x )为sinx 与cosx 中的较大或相等者，设a ≤ f ( x ) ≤ b, 则a + b 等于 ( )(A)0 (B) 1 +22. (C)1–22. (D)22–1.6、函数1232)(3+-=x x x f 在区间[0,1]上是（ ）（A ）单调递增的函数. （B ）单调递减的函数. （C ）先减后增的函数 . （D ）先增后减的函数. 7．对于x ∈[0，1]的一切值，a +2b > 0是使ax + b > 0恒成立的（ ）(A)充要条件 (B)充分不必要条件(C)必要不充分条件 (D)既不充分也不必要条件8．设{a n }是等差数列，从{a 1，a 2，a 3，··· ，a 20}中任取3个不同的数，使这三个数仍成等差数列，则这样不同的等差数列最多有（ ）(A)90个 . (B)120个. (C)180个. (D)200个.9．已知函数y = f ( x )（x ∈R ）满足f (x +1) = f ( x – 1)，且x ∈[–1，1]时，f (x) = x 2，则y = f ( x ) 与y = log 5x 的图象的交点个数为 ( )(A)1. (B)2 . (C)3 . (D)4.10．给出下列命题：(1) 若0< x <2π, 则sinx < x < tanx . (2) 若–2π < x< 0,则sin x < x < tanx.(3) 设A ，B ，C 是△ABC 的三个内角，若A > B > C, 则sinA > sinB > sinC.(4) 设A ，B 是钝角△ABC 的两个锐角，若sinA > sinB > sinC 则A > B > C..其中，正确命题的个数是（ ）(A) 4. （B ）3. （C ）2. （D ）1.11. 某客运公司定客票的方法是：如果行程不超过100km ，票价是0.5元/km ， 如果超过100km ， 超过100km 部分按0.4元/km 定价，则客运票价y 元与行程公里数x km 之间的函数关系式是 .12. 设P 是曲线y = x 2 – 1上的动点，O 为坐标原点，当|→--OP |2取得最小值时，点P 的坐标为 .11、 . 12.高三数学小题专项训练（1）11.⎩⎨⎧>+≤≤100104.010005.0x x x x. 12. (–22, –21）或 (22，–21）1.如果向量 =(k ，1)，与 = (4，k )共线且方向相反，则k =A ．±2B ．-2C ．2D ．0 2．函数f (x)=( )x (1<x≤2)的反函数f -1(x )等于21A.log x (1<x ≤2)B. log x (2<x ≤4)C.-log2x (≤x ＜ ﹞ D. -log2x ( ≤x ＜1〕3.已知P=｛x ︱x ≤0｝,Q=｛x ︱x ＜ ｝,则Q ∩C R P 等于A.｛x ︱x ≤0｝B.｛x ︱0≤x ＜ }C. {x |0<x < }D. {x |x >0}4．已知α、β都是第二象限角，且cos >cosβ，则A ． <β B．sin >sinβ C．tan >tanβ D．cot <cotβ5．已知奇函数f (x )的定义域为：{x ｜x +2-a ｜＜a ，a >0}，则a 的值为A ．1B ．2C ．3D ．4 6．方程Ax +By +C =0表示倾斜角为锐角的直线，则必有：A. A ﹒B>0 B ．A ﹒B<0 C ．A>0且B<0 D ．A>0或B<07．已知f (x )=a x (a >0且a ≠1),f -1(2)<0，则f -1(x +1)的图象是2121214121414141ααααα8．如果方程 表示双曲线，则下列椭圆中，与该双曲线共焦点的是A. B.C. D.9．把正整数按下图所示的规律排序，则从2003到2005的箭头方向依次为10.已知函数f(x )=2sin(ωx + )图象与直线y =1的交点中，距离最近两点间的距离为 ， 么此函数的周期是 A . B ． C ．2πD ．4π11．点p 到点A ( ，0)，B(a ，2)及到直线x =- 的距离都相等，122=+-qy P x 1222=++qy p q x 1222-=++py p q x 1222=++qy q p x 1222-=++py q p x ϕ3π3ππ2121如果这样的点恰好只有一个，那么a 的值是 A. B. C. 或 D.- 或12.设 P (x ,y )是曲线 上的点，F 1(-4,0),F 2(4,0),则A.｜F 1P ︳+ ︱F 2P ︳<10 B ．｜F 1P ｜+｜F 2P ｜>10C.｜F 1P ︳+｜F 2P ︳≤10 D．｜F 1P ｜+｜F 2P ｜≥1013．若函数 y =2x 2+4x +3的图象按向量 平移后，得到函数y=2x 2的图象，则： =.14．已知(x ，y )在映射f 下的象是(x +Y ，-x )，则(1，2)在f 下原象是 .15．圆x 2+y 2+x -6y +3=0上两点P 、Q 关于直线kx -y +4=0对称，则k = .16.在△ABC 中，B （-2，0），C （2，0），A （x,y ）,给出△ABC 满足的条件，就能得到动点A 的轨迹方程，下面给出了一些条件及方程，请你用线把左边满足的条件及相应的右边A 点的轨迹方程连起来：212321232121192522=+y x（错一条连线得0分）高三数学小题专项训练（4）一、1．B 2．C 3．C 4．B 5．B 6．B 7．A 8．D 9．B 10．B 11．D 12．C二、13．(1，-1) 14．(-2，3) 15．2 16. (①→○c②→○a③→○b)。
2020版考前小题练 高考数学理科(全国通用)总复习文档：12+4满分练84页(含答案解析)
h＋k A.
2
nh＋mk B.
m＋n
mh＋nk C.
m＋n
h＋k D.
m＋n
9.甲乙两人玩猜数字游戏，先由甲心中任想一个数字记为 a，再由乙猜甲刚才想的数字，把
乙猜的数字记为 b，且 a，b∈{0，1，2，…，9}.若|a- b|≤1，则称甲乙“心有灵犀”.
现任意找两人玩这个游戏，则二人“心有灵犀”的概率为( )
2020 版考前小题练 高考数学理科（全国通用）总复习文档： 12＋4 满分练 目录
2020 版考前小题练 高考数学理科（全国通用）总复习文档：12＋4 满分练一 2020 版考前小题练 高考数学理科（全国通用）总复习文档：12＋4 满分练二 2020 版考前小题练 高考数学理科（全国通用）总复习文档：12＋4 满分练三 2020 版考前小题练 高考数学理科（全国通用）总复习文档：12＋4 满分练四 2020 版考前小题练 高考数学理科（全国通用）总复习文档：12＋4 满分练五 2020 版考前小题练 高考数学理科（全国通用）总复习文档：12＋4 满分练六 2020 版考前小题练 高考数学理科（全国通用）总复习文档：12＋4 满分练七 2020 版考前小题练 高考数学理科（全国通用）总复习文档：12＋4 满分练八 2020 版考前小题练 高考数学理科（全国通用）总复习文档：12＋4 满分练九 2020 版考前小题练 高考数学理科（全国通用）总复习文档：12＋4 满分练十 2020 版考前小题练 高考数学理科（全国通用）总复习文档：12＋4 满分练十一 2020 版考前小题练 高考数学理科（全国通用）总复习文档：12＋4 满分练十二
D. 2e
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二 、填空题
ππ
π
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2020年山东省新高考数学第十四次模拟测试试卷 含解析
2020年新高考数学第十四次模拟试卷一、选择题1．若集合M＝{x|x＞1}，N＝{x∈Z|0≤x≤4}，则（∁R M）∩N＝（）A．{0}B．{0，1}C．{0，1，2}D．{2，3，4}2．已知a，b∈R，a﹣i＝，则a+bi的共轭复数为（）A．﹣2﹣i B．﹣2+i C．2﹣i D．2+i3．函数f（x）是定义在R上的奇函数，且f（1+x）＝f（1﹣x），若f（1）＝9，则f（2019）＝（）A．﹣9B．9C．﹣3D．04．已知平面向量，满足，且（）（）＝4，则向量，的夹角为（）A．B．C．D．5．已知{a n}是等差数列，满足：对∀n∈N*，a n+a n+1＝2n，则数列{a n}的通项公式a n＝（）A．n B．n﹣1C．n﹣D．n+6．已知函数，则y＝f（x）的图象大致为（）A．B．C．D．7．倾斜角为30°的直线l经过双曲线的左焦点F1，交双曲线于A、B两点，线段AB的垂直平分线过右焦点F2，则此双曲线的渐近线方程为（）A．y＝±x B．C．D．8．已知函数f（x）＝，g（x）＝f（x）﹣ax+a，若g（x）恰有1个零点，则a的取值范围是（）A．[﹣1，0]∪[1，+∞）B．（﹣∞，﹣1]∪[0，1]C．[﹣1，1]D．（﹣∞，﹣1]∪[1，+∞）二、多项选择题（共4小题）9．如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，则以下结论正确的是（）A．BD∥平面CB1D1B．AD⊥平面CB1D1C．AC1⊥BDD．异面直线AD与CB1所成的角为60°10．在数列{a n}中，n∈N*，若＝k（k为常数），则称{a n}为“等差比数列”，下列对“等差比数列”的判断正确的为（）A．k不可能为0B．等差数列一定是“等差比数列”C．等比数列一定是“等差比数列”D．“等差比数列”中可以有无数项为011．已知函数f（x）＝2sin（2x﹣）+1，则下列说法正确的是（）A．f（﹣x）＝2﹣f（x）B．f（x﹣）的图象关于x＝对称C．若0＜x1＜x2＜，则f（x1）＜f（x2）D．若x1，x2，x3∈[，]，则f（x1）+f（x2）＞f（x3）12．已知点P在以坐标原点为中心，坐标轴为对称轴，离心率为的椭圆上．若过点P作长轴的垂线恰好过椭圆的一个焦点F1，与椭圆的另一交点为A．若△PF2A的面积为12（F2为椭圆的另一焦点），则椭圆的方程为（）A．B．C．或D．或三、填空题（共4小题）13．（x2+x+y）5的展开式中，x3y3的系数为．14．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，则A ＝．15．“圆材埋壁”是我国古代数学著作《九章算术》中的一个问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小．以锯锯之，深一寸，锯道长一尺．问径几何．”用现在的数学语言表述是：“如图所示，一圆柱形埋在墙壁中，AB＝1尺，D为AB的中点，AB⊥CD，CD＝1寸，则圆柱底面的直径长是寸”．（注：l尺＝10寸）16．设函数f（x）＝ax3+bx2+cx（a，b，c∈R，a≠0），若不等式xf'（x）﹣af（x）≤2对一切x∈R恒成立，则a＝，的取值范围为．四、解答题（本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．在△ABC中，A，B，C所对的边分别为a，b，c且c cos A＝4，a sin C＝5．（1）求边长c；（2）著△ABC的面积S＝20．求△ABC的周长．18．设数列{a n}满足（1）求{a n}的通项公式；（2）求数列的前n项和S n⋅19．在四棱锥S﹣ABCD中，底面ABCD是平行四边形，平面SBC⊥底面ABCD，∠ABC ＝45°，△SAB是等边三角形．（1）证明：SA⊥BC；（2）若BC＝，AB＝，求二面角D﹣SA﹣B的余弦值．20．某公司生产的某种产品，如果年返修率不超过千分之一，则其生产部门当年考核优秀，现获得该公司2011﹣2018年的相关数据如表所示：年份20112012201320142015201620172018年生产台数（万台）2345671011该产品的年利润（百万元） 2.1 2.75 3.5 3.253 4.96 6.5年返修台数（台）2122286580658488部分计算结果：，，，，注：（Ⅰ）从该公司2011﹣2018年的相关数据中任意选取3年的数据，以X表示3年中生产部门获得考核优秀的次数，求X的分布列和数学期望；（Ⅱ）根据散点图发现2015年数据偏差较大，如果去掉该年的数据，试用剩下的数据求出年利润y（百万元）关于年生产台数x（万台）的线性回归方程（精确到0.01）．附：线性回归方程中，，．21．已知点P在抛物线C：x2＝2py（p＞0）上，且点P的横坐标为2，以P为圆心，|PO|为半径的圆（O为原点），与抛物线C的准线交于M，N两点，且|MN|＝2．（l）求抛物线C的方程；（2）若抛物线的准线与y轴的交点为H．过抛物线焦点F的直线l与抛物线C交于A，B，且AB⊥HB，求|AF|﹣|BF|的值．22．已知函数f（x）＝cos x+（a﹣）x2﹣1，a∈R．（1）当a＝时，求f（x）在[0，]上的最大值和最小值；（2）若∀x∈R，f（x）≥0恒成立，求a的取值范围．参考答案一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．若集合M＝{x|x＞1}，N＝{x∈Z|0≤x≤4}，则（∁R M）∩N＝（）A．{0}B．{0，1}C．{0，1，2}D．{2，3，4}【分析】可求出集合N，然后进行补集、交集的运算即可．解：N＝{0，1，2，3，4}，∁R M＝{x|x≤1}；∴（∁R M）∩N＝{0，1}．故选：B．2．已知a，b∈R，a﹣i＝，则a+bi的共轭复数为（）A．﹣2﹣i B．﹣2+i C．2﹣i D．2+i【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，再由复数相等的条件求得a，b，则答案可求．解：∵a﹣i＝＝，∴a＝﹣2，b＝1．∴a+bi的共轭复数为﹣2﹣i．故选：A．3．函数f（x）是定义在R上的奇函数，且f（1+x）＝f（1﹣x），若f（1）＝9，则f（2019）＝（）A．﹣9B．9C．﹣3D．0【分析】根据题意，由函数的奇偶性可f（﹣x）＝﹣f（x），将f（1+x）＝f（1﹣x）变形可得f（﹣x）＝f（2+x），综合分析可得f（x+2）＝﹣f（x），则有f（x+4）＝﹣f （x+2）＝f（x），即函数f（x）是周期为4的周期函数，据此可得f（2019）＝f（﹣1+505×4）＝f（﹣1）＝﹣f（1），即可得答案．解：根据题意，函数f（x）是定义在R上的奇函数，则f（﹣x）＝﹣f（x），又由f（1+x）＝f（1﹣x），则f（﹣x）＝f（2+x），则有f（x+2）＝﹣f（x），变形可得f（x+4）＝﹣f（x+2）＝f（x），即函数f（x）是周期为4的周期函数，则f（2019）＝f（﹣1+505×4）＝f（﹣1）＝﹣f（1）＝﹣9；故选：A．4．已知平面向量，满足，且（）（）＝4，则向量，的夹角为（）A．B．C．D．【分析】根据向量数量积和夹角公式可得．解：∵（+）•（﹣2）＝4，∴2﹣•﹣22＝4，•＝9﹣2×4﹣4＝﹣3，∴cos＜，＞＝＝＝﹣，又＜，＞∈[0，π]，∴＜，＞＝．故选：D．5．已知{a n}是等差数列，满足：对∀n∈N*，a n+a n+1＝2n，则数列{a n}的通项公式a n＝（）A．n B．n﹣1C．n﹣D．n+【分析】根据题意，设等差数列{a n}的公差为d，由a n+a n+1＝2n可得a n﹣1+a n＝2n﹣2，两式相减可得a n+1﹣a n﹣1＝2d＝2，解可得d＝1；令n＝1分析可得a1+a2＝2，即a1+a1+d ＝2，解可得a1的值，由等差数列的通项公式分析可得答案．解：根据题意，设等差数列{a n}的公差为d，若{a n}满足a n+a n+1＝2n，①，则a n﹣1+a n＝2n﹣2，②①﹣②可得：a n+1﹣a n﹣1＝2d＝2，解可得d＝1；当n＝1时，有a1+a2＝2，即a1+a1+d＝2，解可得a1＝，则a n＝a1+（n﹣1）×d＝n﹣；故选：C．6．已知函数，则y＝f（x）的图象大致为（）A．B．C．D．【分析】利用函数的定义域与函数的值域排除B，D，通过函数的单调性排除C，推出结果即可．解：令g（x）＝x﹣lnx﹣1，则g′（x）＝1﹣＝，由g'（x）＞0，得x＞1，即函数g（x）在（1，+∞）上单调递增，由g'（x）＜0得0＜x＜1，即函数g（x）在（0，1）上单调递减，所以当x＝1时，函数g（x）有最小值，g（x）min＝g（0）＝0，于是对任意的x∈（0，1）∪（1，+∞），有g（x）≥0，故排除B、D，因函数g（x）在（0，1）上单调递减，则函数f（x）在（0，1）上递增，故排除C，故选：A．7．倾斜角为30°的直线l经过双曲线的左焦点F1，交双曲线于A、B两点，线段AB的垂直平分线过右焦点F2，则此双曲线的渐近线方程为（）A．y＝±x B．C．D．【分析】由垂直平分线性质定理可得AF2＝BF2，运用解直角三角形和双曲线的定义，求得AB＝4a，结合勾股定理，可得a，c的关系，进而得到a，b的关系，即可得到所求双曲线的渐近线方程．解：如图MF2为△ABF2的垂直平分线，可得AF2＝BF2，且∠MF1F2＝30°，可得MF2＝2c•sin30°＝c，MF1＝2c•cos30°＝c，由双曲线的定义可得BF1﹣BF2═2a，AF2﹣AF1＝2a，即有AB＝BF1﹣AF1＝BF2+2a﹣（AF2﹣2a）＝4a，即有MA＝2a，AF2＝＝，AF1＝MF1﹣MA＝c﹣2a，由AF2﹣AF1＝2a，可得﹣（c﹣2a）＝2a，可得4a2+c2＝3c2，即c＝a，b＝＝a，则渐近线方程为y＝±x．故选：A．8．已知函数f（x）＝，g（x）＝f（x）﹣ax+a，若g（x）恰有1个零点，则a的取值范围是（）A．[﹣1，0]∪[1，+∞）B．（﹣∞，﹣1]∪[0，1]C．[﹣1，1]D．（﹣∞，﹣1]∪[1，+∞）【分析】根据条件先判断x＝1是函数g（x）的一个零点，等价于当x≠1时，函数f（x）＝a（x﹣1），没有其他根，利用参数分离法，利用数形结合进行求解即可．解：由g（x）＝f（x）﹣ax+a＝0得f（x）＝a（x﹣1），∵f（1）＝1﹣3+2＝0，∴g（1）＝f（1）﹣a+a＝0，即x＝1是g（x）的一个零点，若g（x）恰有1个零点，则当x≠1时，函数f（x）＝a（x﹣1），没有其他根，即a＝，没有根，当x＜1时，设h（x）＝＝＝＝x﹣2，此时函数h（x）为增函数，则h（1）→﹣1，即此时h（x）＜﹣1，当x＞1时，h（x）＝＝，h′（x）＝＜0，此时h（x）为减函数，此时h（x）＞0，且h（1）→1，即0＜h（x）＜1，作出函数h（x）的图象如图：则要使a＝，没有根，则a≥1或﹣1≤a≤0，即实数a的取值范围是[﹣1，0]∪[1，+∞），故选：A．二、多项选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分）9．如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，则以下结论正确的是（）A．BD∥平面CB1D1B．AD⊥平面CB1D1C．AC1⊥BDD．异面直线AD与CB1所成的角为60°【分析】利用直线与平面平移以及垂直的关系，结合异面直线所成角判断命题的真假即可．解：A．在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，①BD∥B1D1，B1D1⊂平面CB1D1；BD⊄平面CB1D1；所以BD∥平面CB1D1；A正确；B．AD⊥平面CB1D1；AD∥A1D1，所以AD⊥平面CB1D1；B不正确；C．AC1在底面ABCD上的射影AC，BD⊥AC；所以AC1⊥BD；C正确；D．异面直线AD与CB1所成的角为45°，所以异面直线AD与CB1所成的角为60°不正确；故选：AC．10．在数列{a n}中，n∈N*，若＝k（k为常数），则称{a n}为“等差比数列”，下列对“等差比数列”的判断正确的为（）A．k不可能为0B．等差数列一定是“等差比数列”C．等比数列一定是“等差比数列”D．“等差比数列”中可以有无数项为0【分析】根据等差比数列的定义，逐项分析可得．解：对于A，k不可能为0正确；对于B，a n＝1时，{a n}为等差数列，但不是等差比数列；对于C，若等比数列a n＝a1q n﹣1，则k＝＝q≠0，所以{a n}为等差比数列；对于D，数列0，1，0，1，0，1，…，0，1．是等差比数列，且有无数项为0，故选：ACD．11．已知函数f（x）＝2sin（2x﹣）+1，则下列说法正确的是（）A．f（﹣x）＝2﹣f（x）B．f（x﹣）的图象关于x＝对称C．若0＜x1＜x2＜，则f（x1）＜f（x2）D．若x1，x2，x3∈[，]，则f（x1）+f（x2）＞f（x3）【分析】根据三角函数的图象和性质分别进行判断即可．解：A．当x＝0时，f（﹣x）＝f（）＝2sin[2×﹣]+1＝2sin0+1＝1，2﹣f（0）＝2﹣2sin（﹣）﹣1＝1+，此时f（﹣x）＝2﹣f（x）不成立，故A 错误，B．f（x﹣）＝2sin[2（x﹣）﹣]+1＝2sin（2x﹣）+1，由2x﹣＝kπ+得x＝+，k∈Z，当k＝﹣1时，x＝﹣＝，即函数关于x＝对称，故B正确，C．当0＜x＜时，0＜2x＜π，﹣＜2x﹣＜，此时函数f（x）不是增函数，故C错误，D.≤x≤时，≤2x≤π，≤2x﹣≤，则当2x﹣＝或时，函数f（x）取得最小值为2sin+1＝+1，当当2x﹣＝时，函数f（x）取得最大值为2sin+1＝2+1＝3，则两个最小值之和为+1＝2+2＞3，故D正确，故选：BD．12．已知点P在以坐标原点为中心，坐标轴为对称轴，离心率为的椭圆上．若过点P作长轴的垂线恰好过椭圆的一个焦点F1，与椭圆的另一交点为A．若△PF2A的面积为12（F2为椭圆的另一焦点），则椭圆的方程为（）A．B．C．或D．或【分析】当椭圆焦点在x轴上时，设椭圆方程为（a＞b＞0），求出过左焦点的通径长，代入三角形面积公式，结合离心率及隐含条件求得a，b，则椭圆方程可求，同理求得焦点在y轴上的椭圆方程．解：当椭圆焦点在x轴上时，椭圆方程为（a＞b＞0）．如图：把x＝﹣c代入，求得AP＝，由△PF2A的面积为12，得，即，联立，解得a2＝16，b2＝12．∴椭圆方程为；同理当椭圆焦点在y轴上时，求得椭圆方程为．∴椭圆方程为或．故选：D．三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13．（x2+x+y）5的展开式中，x3y3的系数为20．【分析】利用二项式定理的通项公式即可得出．解：（x2+x+y）5的展开式中，通项公式T r+1＝y5﹣r（x2+x）r，令5﹣r＝3，解得r＝2．（x2+x）2＝x4+2x3+x2，∴x3y3的系数为2×＝20，故答案为：20．14．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，则A ＝．【分析】由已知利用正弦定理可得sin B的值，根据大边对大角，特殊角的三角函数值可求B的值，根据三角形内角和定理可求A的值．解：∵，∴由正弦定理，可得：sin B＝＝＝，∵b＜c，B∈（0，），∴B＝，∴A＝π﹣B﹣C＝π﹣﹣＝．故答案为：．15．“圆材埋壁”是我国古代数学著作《九章算术》中的一个问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小．以锯锯之，深一寸，锯道长一尺．问径几何．”用现在的数学语言表述是：“如图所示，一圆柱形埋在墙壁中，AB＝1尺，D为AB的中点，AB⊥CD，CD＝1寸，则圆柱底面的直径长是26寸”．（注：l尺＝10寸）【分析】由勾股定理OA2＝OD2+AD2，代入数据即可求得．解：∵AB⊥CD，AD＝BD，∵AB＝10寸，∴AD＝5寸，在Rt△AOD中，∵OA2＝OD2+AD2，∴OA2＝（OA﹣1）2+52，∴OA＝13寸，∴圆柱底面的直径长是2AO＝26寸．故答案为：26．16．设函数f（x）＝ax3+bx2+cx（a，b，c∈R，a≠0），若不等式xf'（x）﹣af（x）≤2对一切x∈R恒成立，则a＝3，的取值范围为[﹣）．【分析】由已知可得，（3a﹣a2）x3+（2b﹣ab）x2+（c﹣ac）x﹣2≤0恒成立，结合三次函数的性质可知3a﹣a2＝0，可求a，然后结合二次函数的性质即可求解．解：f′（x）＝3ax2+2bx+c，由（x）﹣af（x）≤2可得，（3a﹣a2）x3+（2b﹣ab）x2+（c﹣ac）x﹣2≤0恒成立，故3a﹣a2＝0，因为a≠0，所以a＝3，∴bx2+2cx+2≥0恒成立，故△＝4c2﹣8b≤0，即b，═＝．故的范围[﹣），故答案为：3，[﹣）．四、解答题（本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．在△ABC中，A，B，C所对的边分别为a，b，c且c cos A＝4，a sin C＝5．（1）求边长c；（2）著△ABC的面积S＝20．求△ABC的周长．【分析】（1）由正弦定理化简已知等式可得sin A＝，又由c cos A＝4，可得cos A＝，利用同角三角函数基本关系式可求c的值．（2）由已知利用三角形的面积公式可求b的值，由余弦定理可解得a的值，即可计算得解△ABC的周长．【解答】（本题满分为12分）解：（1）∵由正弦定理可得：，可得：a sin C＝c sin A，∵a sin C＝5，可得：c sin A＝5，可得：sin A＝，又∵c cos A＝4，可得：cos A＝，∴可得：sin2A+cos2A＝+＝1，∴解得c＝．…6分（2）∵△ABC的面积S＝ab sin C＝20，a sin C＝5，∴解得：b＝8，∴由余弦定理可得：a2＝b2+c2﹣2bc cos A＝64+41﹣2×＝41，解得：a＝，或﹣（舍去），∴△ABC的周长＝a+b+c＝+8+＝8+2．…12分18．设数列{a n}满足（1）求{a n}的通项公式；（2）求数列的前n项和S n⋅【分析】（1）求得数列的首项，再将n换为n﹣1，相除可得所求通项公式；（2）求得＝n•2n+n，再由数列的分组求和和错位相减法求和，结合等差数列和等比数列的求和公式，计算可得所求和．解：（1）{a n}满足可得n＝1时，a1＝2，n≥2时，a1•2a2…（n﹣1）a n﹣1＝2n﹣1，又相除可得na n＝2，即a n＝，上式对n＝1也成立，则{a n}的通项公式为a n＝；（2）＝n•2n+n，设H n＝1•2+2•22+…+n•2n，2H n＝1•22+2•23+…+n•2n+1，相减可得﹣H n＝2+4+…+2n﹣n•2n+1＝﹣n•2n+1，化简可得H n＝2+（n﹣1）•2n+1．则前n项和T n＝2+（n﹣1）•2n+1+．19．在四棱锥S﹣ABCD中，底面ABCD是平行四边形，平面SBC⊥底面ABCD，∠ABC ＝45°，△SAB是等边三角形．（1）证明：SA⊥BC；（2）若BC＝，AB＝，求二面角D﹣SA﹣B的余弦值．【分析】（1）过S作SO⊥BC于O，连OA，易得SO⊥底面ABCD，再由已知可得OA ⊥OB，由直线与平面垂直的判定可得BC⊥平面SOA，则SA⊥BC；（2）以O为原点，OA为x轴，OB为y轴，OS为z轴，建立空间直角坐标系O﹣xyz，分别求出平面SAD与平面SAB的一个法向量，由两法向量所成角的余弦值可得二面角D﹣SA﹣B的余弦值．【解答】证明：（1）由侧面SBC⊥底面ABCD，交线为BC，过S作SO⊥BC于O，连OA，得SO⊥底面ABCD．∵SA＝SB，∴Rt△SOA≌Rt△SOB，得OA＝OB，又∠ABC＝45°，故△AOB为等腰直角三角形，得OA⊥OB．∵SO⊥BC，AO⊥BC，且SO∩AO＝O，∴BC⊥平面SOA，则SA⊥BC；解：（2）以O为原点，OA为x轴，OB为y轴，OS为z轴，建立空间直角坐标系O﹣xyz，∵BC＝，AB＝，△SAB是等边三角形，∴A（，0，0），B（0，，0），D（，﹣，0），S（0，0，）．则＝（，0，﹣），＝（0，，﹣），．设平面SAD与平面SAB的一个法向量分别为，，则由，取z1＝1，得；由，取z2＝1，得．cos＜＞＝，由图可知，二面角D﹣SA﹣B为钝二面角，故二面角D﹣SA﹣B的余弦值为﹣．20．某公司生产的某种产品，如果年返修率不超过千分之一，则其生产部门当年考核优秀，现获得该公司2011﹣2018年的相关数据如表所示：年份20112012201320142015201620172018年生产台数（万台）2345671011该产品的年利润（百万元） 2.1 2.75 3.5 3.253 4.96 6.5年返修台数（台）2122286580658488部分计算结果：，，，，注：（Ⅰ）从该公司2011﹣2018年的相关数据中任意选取3年的数据，以X表示3年中生产部门获得考核优秀的次数，求X的分布列和数学期望；（Ⅱ）根据散点图发现2015年数据偏差较大，如果去掉该年的数据，试用剩下的数据求出年利润y（百万元）关于年生产台数x（万台）的线性回归方程（精确到0.01）．附：线性回归方程中，，．【分析】（1）由数据可知，2012，2013，2016，2017，2018五个年份考核优秀，从而ξ的所有可能取值为0，1，2，3．分别示出相应的概率，由此能求出X的分布列和数学期望．（2）法一：，由此能求出回归方程．法二：因为，所以去掉2015年的数据后不影响的值，所以，由此能求出回归方程．解：（1）由数据可知，2012，2013，2016，2017，2018五个年份考核优秀，故X的所有可能取值为0，1，2，3．P（X＝0）＝＝，P（X＝1）＝＝，P（X＝2）＝＝，P（X＝3）＝＝＝，故X的分布列为X0123P所求．（2）解法一：，，故去掉2015年的数据之后，，，，所以，从而回归方程为：．解法二：因为，所以去掉2015年的数据后不影响的值，所以，而去掉2015年的数据之后，，从而回归方程为：．注：若有学生在计算时用计算得也算对．21．已知点P在抛物线C：x2＝2py（p＞0）上，且点P的横坐标为2，以P为圆心，|PO|为半径的圆（O为原点），与抛物线C的准线交于M，N两点，且|MN|＝2．（l）求抛物线C的方程；（2）若抛物线的准线与y轴的交点为H．过抛物线焦点F的直线l与抛物线C交于A，B，且AB⊥HB，求|AF|﹣|BF|的值．【分析】（1）将点P横坐标代入抛物线中求得点P的坐标，利用点P到准线的距离d和勾股定理列方程求出p的值即可；（2）设A、B的坐标以及直线AB的方程，代入抛物线方程，利用根与系数的关系，以及垂直关系，得出关系式，再计算|AF|﹣|BF|的值．解：（1）将点P横坐标x P＝2代入x2＝2py中，求得y P＝，∴P（2，），|OP|2＝+4，点P到准线的距离为d＝+，∴|OP|2＝+d2，∴22+＝12+，解得p2＝4，∴p＝2，∴抛物线C的方程为：x2＝4y；（2）抛物线x2＝4y的焦点为F（0，1），准线方程为y＝﹣1，H（0，﹣1）；设A（x1，y1），B（x2，y2），直线AB的方程为y＝kx+1，代入抛物线方程可得x2﹣4kx﹣4＝0，∴x1+x2＝4k，x1x2＝﹣4，…①由AB⊥HB，可得k AB•k HB＝﹣1，又k AB＝k AF＝，k HB＝，∴•＝﹣1，∴（y1﹣1）（y2+1）+x1x2＝0，即（﹣1）（+1）+x1x2＝0，∴+（﹣）﹣1+x1x2＝0，…②把①代入②得，﹣＝16，则|AF|﹣|BF|＝y1+1﹣y2﹣1＝（﹣）＝×16＝4．22．已知函数f（x）＝cos x+（a﹣）x2﹣1，a∈R．（1）当a＝时，求f（x）在[0，]上的最大值和最小值；（2）若∀x∈R，f（x）≥0恒成立，求a的取值范围．【分析】（1）可得f′（x）＝﹣sin x+2x，f″（x）＝﹣cos x+2＞0．即可得f（x）的单调性，从而求得最大值和最小值；（2）可得f′（x）＝﹣sin x+2（a﹣）x，，分一下三种情况讨论：①当2（a﹣）≥1，即a≥1时；②当2（a﹣）≤﹣1，即a≤0时；③当0＜a＜1时．解：（1）当a＝时，f（x）＝cos x+x2﹣1，则f′（x）＝﹣sin x+2x，f″（x）＝﹣cos x+2＞0．∴f′（x）在[0，]上单调递增，而f′（0）＝0，∴f（x）在[0，]上单调递增，f（x）在[0，]上的最大值为f（）＝，最小值为f（0）＝0；（2）f（x）＝cos x+（a﹣）x2﹣1，a∈R．f′（x）＝﹣sin x+2（a﹣）x①当2（a﹣）≥1，即a≥1时，f″（x）≥0，f′（x）单调递增，而f′（0）＝0．∴当x＞0时，f′（x）＞0，当x＜0时，f′（x）＜0．即f（x）在（0，+∞）递增，在（﹣∞，0）递减，∴f（x）≥f（0）＝0，符合题意．②当2（a﹣）≤﹣1，即a≤0时，f″（x）≤0，f′（x）单调递减，而f′（0）＝0．∴当x＞0时，f′（x）＜0，当x＜0时，f′（x）＞0．即f（x）在（0，+∞）递增减，在（﹣∞，0）递增，∴f（x）≤f（0）＝0，不符合题意．③当0＜a＜1时，﹣1，由f″（x）＝0，可得cos x＝2（a﹣）故存在x0∈（0，π），使得f″（x0）＝0，且∈（0，x0）时f″（x）＜0，f′（x）单调递减，此时f（x）＜f（0）＝0，不符合题意．综上，a的取值范围为[1，+∞）．。
2020新课标高考数学二轮习题：小题强化练(三) Word版含解析
小题强化练(三)一、单项选择题1．已知集合A ＝{x ∈N |x ≤3}，B ＝{x |x 2＋6x －16<0}，则A ∩B ＝( ) A ．{x |－8<x <2} B ．{0，1} C ．{1}D ．{0，1，2}2．已知复数z ＝－1＋i(i 是虚数单位)，则1＋z1－z ＝( )A.15＋25i B ．－15＋25iC.15－25i D ．－15－25i3．我国古代数学著作《九章算术》有如下问题：“今有金棰，长五尺．斩本一尺，重四斤．斩末一尺，重二斤．问次一尺各重几何？”意思是：“现有一根金棰，长五尺，一头粗，一头细．在粗的一端截下一尺，重四斤；在细的一端截下一尺，重二斤．问依次每一尺各重几斤？”根据已知条件，若金棰由粗到细是均匀变化的，则中间三尺的重量为( )A ．6斤B ．9斤C ．10斤D ．12斤4．在直三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，AA 1＝2A 1B 1＝2B 1C 1，且AB ⊥BC ，点M 是A 1C 1的中点，则异面直线MB 与AA 1所成角的余弦值为( )A.13B.223C.324D.125．在区间[－2，2]上随机取一个数b ，若使直线y ＝x ＋b 与圆x 2＋y 2＝a 有交点的概率为12，则a ＝( )A.14B.12 C ．1D ．26．已知定义在R 上的函数f (x )满足：(1)f (x ＋2)＝f (x )；(2)f (x －2)为奇函数；(3)当x ∈[0，1)时，f （x 1）－f （x 2）x 1－x 2>0(x 1≠x 2)恒成立，则f ⎝⎛⎭⎫－152，f (4)，f ⎝⎛⎭⎫112的大小关系正确的是( ) A ．f ⎝⎛⎭⎫112>f (4)>f ⎝⎛⎭⎫－152 B ．f (4)>f ⎝⎛⎭⎫112>f ⎝⎛⎭⎫－152 C ．f ⎝⎛⎭⎫－152>f (4)>f ⎝⎛⎭⎫112 D ．f ⎝⎛⎭⎫－152>f ⎝⎛⎭⎫112>f (4)7．已知抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，O 为坐标原点．设M 为抛物线上的动点，则|MO ||MF |的最大值为( )A. 3 B ．1 C.33D.2338．将函数y ＝sin 2x 的图象向右平移φ⎝⎛⎭⎫0<φ<π2个单位长度得到y ＝f (x )的图象．若函数f (x )在区间⎣⎡⎦⎤0，π4上单调递增，且f (x )的最大负零点在区间⎝⎛⎭⎫－5π12，－π6上，则φ的取值范围是( )A.⎝⎛⎦⎤π6，π4 B.⎝⎛⎭⎫π6，π2 C.⎝⎛⎦⎤π12，π4 D.⎝⎛⎭⎫π12，π2 二、多项选择题9．在平面直角坐标系xOy 中，角α以Ox 为始边，终边经过点P (－1，m )(m ＞0)，则下列各式的值一定为负的是( )A ．sin α＋cos αB ．sin α－cos αC ．sin αcos αD.sin αtan α 10．(2019·湖南长沙一模)设a ，b ，c 表示不同直线，α，β表示不同平面，下列结论不正确的是( )A ．若a ∥c ，b ∥c ，则a ∥bB ．若a ∥b ，b ∥α，则a ∥αC ．若a ∥α，b ∥α，则a ∥bD ．若a ⊂α，b ⊂β，α∥β，则a ∥b11．已知函数f (x )＝2x －log 12x ，且实数a >b >c >0满足f (a )f (b )f (c )<0.若实数x 0是函数y ＝f (x )的一个零点，那么下列不等式中可能成立的是( )A ．x 0<aB ．x 0>aC ．x 0<bD ．x 0<c12．已知函数f (x )及其导函数f ′(x )，若存在x 0使得f (x 0)＝f ′(x 0)，则称x 0是f (x )的一个“巧值点”．下列选项中有“巧值点”的函数是( )A ．f (x )＝x 2B ．f (x )＝e －x C ．f (x )＝ln x D ．f (x )＝tan x三、填空题13．二项式⎝⎛⎭⎫2x －x 9展开式中含x 3项的系数为________．14．设数列{a n }是由正数组成的等比数列，S n 是{a n }的前n 项和，已知a 2a 4＝16，S 3＝28，则当a 1a 2…a n 最大时，n 的值为________．15．如图，在△ABC 中，已知M 为边BC 上一点，BC →＝4BM →，∠AMC ＝π3，AM ＝2，△AMC 的面积为33，则CM ＝________；cos ∠BAC ＝________．16．已知扇形OAB 的圆心角∠AOB ＝90°，半径为2，C 是其弧上一点．若OC →＝λOA →＋μOB →，则λ·μ的最大值为________．小题强化练(三)1．解析：选B.由A ＝{x ∈N |x ≤3}＝{0，1，2，3}，B ＝{x |x 2＋6x －16<0}＝{x |－8<x <2}，得A ∩B ＝{0，1}，故选B.2．解析：选B.因为z ＝－1＋i ，所以1＋z 1－z ＝1－1＋i 1－（－1＋i ）＝i 2－i ＝i （2＋i ）（2－i ）（2＋i ）＝－15＋25i.故选B. 3．解析：选B.由题意知金杖由粗到细每一尺构成一个等差数列，且首项a 1＝4，a 5＝2，则公差d ＝a 5－a 15－1＝－12.所以a 3＝a 1＋2d ＝4－1＝3，所以a 2＋a 3＋a 4＝3a 3＝9，故选B.4.解析：选B.法一：由题知AA 1∥BB 1，则异面直线MB 与AA 1所成角为∠MBB 1，如图．又△BB 1M 为直角三角形，cos ∠MBB 1＝BB 1MB.在直三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，设AA 1＝2A 1B 1＝2B 1C 1＝2，由AB ⊥BC ，得B 1M ＝12A 1C 1＝22.故MB ＝22＋⎝⎛⎭⎫222＝32，所以cos ∠MBB 1＝BB 1MB ＝223，故选B.法二：以B 为原点，BA ，BC ，BB 1所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，如图．设AA 1＝2A 1B 1＝2B 1C 1＝2，则M ⎝⎛⎭⎫12，12，2，B (0，0，0)，A (1，0，0)，A 1(1，0，2)，所以MB →＝⎝⎛⎭⎫－12，－12，－2，AA 1→＝(0，0，2)．设异面直线MB 与AA 1所成角为θ，则cos θ＝|MB →·AA 1→||MB →||AA 1→|＝492×2＝223，所以异面直线MB 与AA 1所成角的余弦值为223，故选B.5．解析：选B.由直线y ＝x ＋b 与圆x 2＋y 2＝a 有交点，得圆心到直线的距离d ＝|b |2≤a ，解得b ∈[－2a ，2a ]．又b ∈[－2，2]，且直线y ＝x ＋b 与圆x 2＋y 2＝a 有交点的概率为12，所以由几何概型的概率计算公式可知P ＝2a －（－2a ）2－（－2）＝12，解得a ＝12，故选B. 6．解析：选C.由f (x ＋2)＝f (x )可知函数f (x )的周期为2，可知f (x )＝f (x －2)．又f (x －2)为奇函数，可知f (x )为奇函数．所以f ⎝⎛⎭⎫－152＝f ⎝⎛⎭⎫－152＋2×4＝f ⎝⎛⎭⎫12，f (4)＝f (4－2×2)＝f (0)＝0，f ⎝⎛⎭⎫112＝f ⎝⎛⎭⎫112－2×3＝f ⎝⎛⎭⎫－12.又x ∈[0，1)时，f (x )单调递增，故奇函数f (x )在(－1，1)内单调递增，所以f ⎝⎛⎭⎫12>f (0)>f ⎝⎛⎭⎫－12，即f ⎝⎛⎭⎫－152>f (4)>f ⎝⎛⎭⎫112，故选C. 7．解析：选D.设抛物线上点M (m ，n )(m >0)，则n 2＝2pm ，可得|MO |＝m 2＋n 2＝m 2＋2pm .由抛物线的定义得|MF |＝m ＋p 2，所以|MO ||MF |＝m 2＋2pmm ＋p 2＝m 2＋2pmm 2＋pm ＋p 24＝1＋pm －p 24m 2＋pm ＋p 24.令pm －p 24＝t ，t >－p 24，则m ＝t p ＋p 4，所以|MO ||MF |＝1＋tt 2p 2＋3t 2＋9p 216＝1＋1t p 2＋32＋9p 216t≤1＋13＝233，当且仅当t p 2＝9p 216t ，即t ＝3p 24时，等号成立，故选D. 8．解析：选C.法一：函数y ＝sin 2x 的图象向右平移φ⎝⎛⎭⎫0<φ<π2个单位长度得到函数f (x )＝sin (2x －2φ)的图象，则当x ∈⎣⎡⎦⎤0，π4时，2x －2φ∈⎣⎡⎦⎤－2φ，π2－2φ.由函数f (x )在区间⎣⎡⎦⎤0，π4上单调递增，可知⎩⎨⎧－π2＋2k π≤－2φ，π2－2φ≤π2＋2k π(k ∈Z )，解得－k π≤φ≤π4－k π(k ∈Z )．又由0<φ<π2，可知0<φ≤π4①.函数f (x )的所有零点满足2x －2φ＝k π(k ∈Z )，即x ＝12k π＋φ(k ∈Z )，由最大负零点在⎝⎛⎭⎫－5π12，－π6内，得－5π12<12k π＋φ<－π6(k ∈Z )，即－5π12－12k π<φ<－π6－12k π(k ∈Z )，由0<φ<π2可知当k ＝－1时，π12<φ<π3②.由①②，φ的取值范围为⎝⎛⎦⎤π12，π4，故选C.法二：由题意得f (x )＝sin(2x －2φ)观察选项可取φ＝π3，可得f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －2π3，可知当x ∈⎣⎡⎦⎤0，π4时，2x －2π3∈⎣⎡⎦⎤－2π3，－π6，函数f (x )先减后增，不符合题意，排除B ，D ；取φ＝π6，易得函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3在⎣⎡⎦⎤0，π4上单调递增，令2x －π3＝k π(k ∈Z )，得x ＝π6＋k 2π(k ∈Z )，则函数f (x )取得的最大负零点为x ＝－π3∈⎝⎛⎭⎫－5π12，－π6，符合题意，排除A ，故选C.9．解析：选CD.由已知得r ＝|OP |＝m 2＋1，则sin α＝m m 2＋1＞0，cos α＝－1m 2＋1＜0，tan α＝－m ＜0，所以sin x ＋cos α的符号不确定，sin α－cos α＞0，sin αcos α＜0，sin αtan α＝cos α＜0.故选CD. 10．解析：选BCD.由a ，b ，c 表示不同直线，α，β表示不同平面知： 在A 中，若a ∥c ，b ∥c ，则由平行公理得a ∥b ，故A 正确； 在B 中，若a ∥b ，b ∥α，则a ∥α或a ⊂α，故B 错误；在C 中，若a ∥α，b ∥α，则a 与b 相交、平行或异面，故C 错误； 在D 中，若a ⊂α，b ⊂β，α∥β，则a 与b 平行或异面，故D 错误．11．解析：选ABC.由f (x )＝2x －log 12x ，可知函数f (x )在区间(0，＋∞)上单调递增．因为实数a >b >c >0满足f (a )f (b )f (c )<0，则f (a )，f (b )，f (c )可能都小于0或有1个小于0，2个大于0，如图．则A ，B ，C 可能成立，x 0>c ，D 不可能成立．12．解析：选AC.若f (x )＝x 2，则f ′(x )＝2x ，令x 2＝2x ，得x ＝0或x ＝2，方程显然有解，故A 符合要求；若f (x )＝e －x ，则f ′(x )＝－e －x ，令e －x ＝－e －x ，此方程无解，故B 不符合要求；若f (x )＝ln x ，则f ′(x )＝1x ，令ln x ＝1x ，在同一直角坐标系内作出函数y ＝ln x 与y ＝1x 的图象(作图略)，可得两函数的图象有一个交点，所以方程f (x )＝f ′(x )存在实数解，故C 符合要求；若f (x )＝tan x ，则f ′(x )＝⎝⎛⎭⎫sin x cos x ′＝1cos 2x ，令tan x ＝1cos 2x ，化简得sin x cos x ＝1，变形可得sin 2x ＝2，无解，故D 不符合要求．故选AC.13．解析：二项式展开式的通项为T r ＋1＝C r 9⎝⎛⎭⎫2x 9－r(－x )r ＝(－1)r ·29－r C r 9x 32r －9.令32r －9＝3，解得r ＝8，可知所求二项式展开式中含x 3项的系数为(－1)8·29－8C 89＝2×9＝18.答案：1814．解析：由数列{a n }是各项均为正数的等比数列，且a 2a 4＝16，可得a 3＝4.又S 3＝a 3⎝⎛⎭⎫1q 2＋1q ＋1＝28，可得1q 2＋1q ＋1＝7，即⎝⎛⎭⎫1q －2·⎝⎛⎭⎫1q ＋3＝0，解得q ＝12⎝⎛⎭⎫q ＝－13舍去，故a n ＝a 3qn －3＝25－n.则a 1a 2…a n ＝24×23×…×25－n＝2（9－n ）n 2，可知当（9－n ）n2取得最大值时，a 1a 2…a n 取得最大值，此时整数n ＝4或5.答案：4或515．解析：因为在△AMC 中，∠AMC ＝π3，AM ＝2，△AMC 的面积为33，则有33＝12AM ·CM ·sin ∠AMC ＝12×2×CM ×32，所以解得CM ＝6. 因为BC →＝4BM →，所以BM ＝2，BC ＝8，因为∠AMB ＝π－∠AMC ＝2π3，所以由余弦定理可得AB ＝AM 2＋BM 2－2AM ·BM ·cos ∠BMA ＝22＋22－2×2×2×⎝⎛⎭⎫－12＝23， AC ＝AM 2＋CM 2－2AM ·CM ·cos ∠AMC ＝22＋62－2×2×6×12＝27，所以cos ∠BAC ＝AB 2＋AC 2－BC 22AB ·AC ＝12＋28－642×23×27＝－217.答案：6 －21716．解析：由题|OA →|＝|OB →|＝|OC →|＝2，且OA →·OB →＝0.由OC →＝λOA →＋μOB →，两边平方得OC →2＝(λOA →＋μOB →)2＝λ2OA →2＋2λμOA →·OB →＋μ2OB →2＝4λ2＋4μ2，可得4＝4λ2＋4μ2，即λ2＋μ2＝1，所以λ·μ≤λ2＋μ22＝12，当且仅当λ＝μ＝22时取得等号，故λ·μ的最大值为12.1答案：2。
北京市2020〖人教版〗高三数学复习试卷学业水平训练14
北京市2020年〖人教版〗高三数学复习试卷学业水平训练1.计算sin 105°cos 75°的值为__________解析：sin 105°cos 75°＝sin(180°－75°)cos 75°＝sin 75°cos 75°＝12sin 150°＝12sin 30°＝14.答案：142.已知sin θ＝－35，3π＜θ＜7π2，则tan 2θ＝__________．解析：因为sin θ＝－35，3π＜θ＜7π2，所以cos θ＝－45，tan 2θ＝sin 2θcos 2θ＝2sin θcos θ2cos2θ－1＝247.答案：2473.若tan(α＋π4)＝3＋22，则1－cos 2αsin 2α＝__________．解析：由tan(α＋π4)＝1＋tan α1－tan α＝3＋22，得tan α＝22，∴1－cos 2αsin 2α＝2sin2α2sin αcos α＝tan α＝22.答案：224.化简2＋cos 2－sin21 的结果是________．解析：2＋cos 2－sin21＝ 2＋1－2sin21－sin21＝3cos 1. 答案：3cos 15.2＋2cos 8＋21－sin 8的化简结果是________． 解析：原式＝4cos24＋2（sin 4－cos 4）2 ＝2|cos 4|＋2|sin 4－cos 4|. ∵54π<4<32π，∴cos 4<0，且sin 4<cos 4. ∴原式＝－2cos 4－2(sin 4－cos 4)＝－2sin 4. 答案：－2sin 46.已知α是第二象限的角，tan(π＋2α)＝－43，则tan α＝__________．解析：由tan(π＋2α)＝－43得tan 2α＝－43，又tan 2α＝2tan α1－tan2α＝－43，解得tan α＝－12或tan α＝2，又α是第二象限的角，∴tan α＝－12.答案：－127.已知0<x <π2，化简：lg (cos x tan x ＋1－2sin 2x2)＋lg [2cos(x －π4)]－lg (1＋sin 2x )．解：原式＝lg (sin x ＋cos x )＋lg (sin x ＋cos x )－lg (1＋sin 2x )＝lg（sin x ＋cos x ）21＋sin 2x＝lg 1＋sin 2x 1＋sin 2x ＝0.8.已知sin 22α＋sin 2αcos α－cos 2α＝1，α∈(0，π2)，求sin α及tan α的值．解：由题意得sin 22α＋sin 2αcos α＝1＋cos 2α＝2cos 2α， ∴2sin 2αcos 2α＋sin αcos 2α－cos 2α＝0.∵α∈(0，π2)，∴cos α≠0，∴2sin 2α＋sin α－1＝0，即(2sin α－1)(sin α＋1)＝0. ∵sin α＋1≠0，∴2sin α－1＝0，∴sin α＝12.∵0＜α＜π2，∴α＝π6，∴tan α＝33.[高考水平训练]1.．__________＝1＋cos θ＋sin θ1－cos θ＋sin θ，则3＝θ2tan 知已 2cos2θ2＋sin θ2sin2θ2＋sin θ原式＝∴，3＝θ2tan ∵解析： 2cos2θ2＋2sin θ2cosθ22sin2θ2＋2sin θ2cosθ2＝.13＝1tanθ2＝1＋tanθ2tan2θ2＋tan θ2＝ 13答案：2.．________为的值)α2＋2π3cos(则，13＝)α－π6sin(若 ，π2＝α＋π3＋α－π6∵解析： .13＝)α－π6sin(＝)α＋π3cos(∴ 1－)α＋π3(22cos ＝)α2＋2π3cos(∴ .79＝－1－2)13(×2＝ 79－答案： 3.cosx sin 32＋x 4sin ＝y 求函数上的单调递增区间．]π，0[在的最小正周期和最小值，并写出该函数x 4cos －x x 4cos －x cos x sin 32＋x 4sin ＝y 解： xsin 23＋)x 2cos －x 2)·(sin x 2cos ＋x 2(sin ＝ xcos 2－x sin 23＝ )12·x cos 2－32·x 2(sin 2＝．)π6－x 2sin(2＝ ；π＝2π2＝T 故函数的最小正周期 当且仅当2x －π6＝2k π＋3π2，k ∈Z ，即x ＝k π＋5π6，k ∈Z 时，y 有最小值－2；．]π，π56[和]π3，[0为上的单调增区间]π，[0在函数 的值．sin 2x ＋2sin2x1－tan x，求7π4＜x ＜7π12，35＝)x ＋π4cos(知．已4 2sin xcos x ＋2sin2x1－sin x cos x＝sin 2x ＋2sin2x 1－tan x因为解：法一： 2sin xcos x （cos x ＋sin x ）cos x －sin x ＝2sin x （cos x ＋sin x ）cos x －sin x cos x＝ ．)x ＋π4tan(x sin 2＝1＋tan x 1－tan x·x sin 2＝ .π2＜π4＋x ＜5π6所以，7π4＜x ＜7π12又因为 ，0＞35＝)x ＋π4os(c 而 ，45＝－)x ＋π4sin(以所，π2＜π4＋x ＜3π2所以 .43＝－)x ＋π4tan(以所 )x 2＋π2cos(－＝x sin 2为又因 1＋)x ＋π4(22cos －＝⎣⎡⎦⎤2（π4＋x ）cos －＝ .725＝1＋1825＝－ )x ＋π4tan(x sin 2＝所以原式 .2875＝－)43－(×725＝ .π2＜π4＋x ＜5π6所以，7π4＜x ＜7π12因为法二： ，0＞35＝)x ＋π4cos(为又因 ，45＝－)x ＋π4sin(以所，π2＜π4＋x ＜3π2所以 ⎩⎨⎧cos x －sin x ＝352，cos x ＋sin x ＝－452，所以⎩⎨⎧cos （π4＋x ）＝35，sin （π4＋x ）＝－45，所以 ⎩⎨⎧sin x ＝－7102，cos x ＝－210，所以.725＝)210－(×)2710－(×2＝x cos x 2sin ＝x sin 2，7＝x tan 以所1＋tan x1－tan x·x sin 2＝原式，由法一知 .2875＝－1＋71－7×725＝。
新课改高三高考数学小题专项仿真模拟训练(共40套)含答案
新课改高三高考数学小题专项仿真模拟训练一(含答案)一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1.函数y =2x +1的图象是（ ）2.△ABC 中，cos A =135，sin B =53,则cos C 的值为 （ ）A.6556 B.－6556 C.－6516 D. 65163.过点（1，3）作直线l ，若l 经过点（a ,0）和(0,b )，且a ,b ∈N *，则可作出的l 的条数为（ ）A.1B.2C.3D.多于34.函数f (x )=log a x (a ＞0且a ≠1)对任意正实数x ,y 都有 （ ）A.f (x ·y )=f (x )·f (y )B.f (x ·y )=f (x )+f (y )C.f (x +y )=f (x )·f (y )D.f (x +y )=f (x )+f (y )5.已知二面角α—l —β的大小为60°，b 和c 是两条异面直线，则在下列四个条件中，能使b 和c 所成的角为60°的是（ ）A.b ∥α,c ∥βB.b ∥α,c ⊥βC.b ⊥α,c ⊥βD.b ⊥α,c ∥β6.一个等差数列共n 项，其和为90，这个数列的前10项的和为25，后10项的和为75，则项数n 为 （ ）A.14B.16C.18D.207.某城市的街道如图，某人要从A 地前往B 地，则路程最短的走法有 （ ）A.8种B.10种C.12种D.32种8.若a ,b 是异面直线，a ⊂α,b ⊂β,α∩β=l ，则下列命题中是真命题的为（ ）A.l 与a 、b 分别相交B.l 与a 、b 都不相交C.l 至多与a 、b 中的一条相交D.l 至少与a 、b 中的一条相交9.设F 1，F 2是双曲线42x －y 2=1的两个焦点，点P 在双曲线上，且1PF ·2PF =0，则|1PF |·|2PF |的值等于（ ）A.2B.22C.4D.810.f (x )=(1+2x )m +(1+3x )n (m ,n ∈N *)的展开式中x 的系数为13，则x 2的系数为（ ）A.31B.40C.31或40D.71或8011.从装有4粒大小、形状相同，颜色不同的玻璃球的瓶中，随意一次倒出若干粒玻璃球（至少一粒），则倒出奇数粒玻璃球的概率比倒出偶数粒玻璃球的概率（ ）A.小B.大C.相等D.大小不能确定12.如右图，A 、B 、C 、D 是某煤矿的四个采煤点，l 是公路，图中所标线段为道路，ABQP 、BCRQ 、CDSR 近似于正方形.已知A 、B 、C 、D 四个采煤点每天的采煤量之比约为5∶1∶2∶3，运煤的费用与运煤的路程、所运煤的重量都成正比.现要从P 、Q 、R 、S 中选出一处设立一个运煤中转站，使四个采煤点的煤运到中转站的费用最少，则地点应选在（ ）A.P 点B.Q 点C.R 点D.S 点二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分.把答案填在题中横线上）13.抛物线y 2=2x 上到直线x －y +3=0距离最短的点的坐标为_________.14.一个长方体共一顶点的三个面的面积分别是2，3，6，这个长方体对角线的长是_________.15.设定义在R 上的偶函数f (x )满足f (x +1)+f (x )=1,且当x ∈［1,2］时，f (x )=2－x ,则f (8.5)=_________.16.某校要从甲、乙两名优秀短跑选手中选一名选手参加全市中学生田径百米比赛，该校预先对这两名选手测试了8次，测试成绩如下：根据测试成绩，派_________（填甲或乙）选手参赛更好，理由是____________________. 答案：一、1.A 2.D 3.B 4.B 5.C 6.C 7.B 8.D 9.A 10.C 11.B 12.B 二、13.（21，1） 14.6 15. 21新课改高考数学小题专项仿真模拟训练二一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．如图，点O 是正六边形ABCDEF 的中心，则以图中点 A 、B 、C 、D 、E 、F 、O 中的任意一点为始点，与始点不 同的另一点为终点的所有向量中，除向量外，与向量共线的向量共有（ ）A ．2个B ． 3个C ．6个D ． 7个2．已知曲线C ：y 2=2px 上一点P 的横坐标为4,P 到焦点的距离为5,则曲线C 的焦点到准线的距离为 ( )A ． 21B ． 1C ． 2D ． 43．若(3a 2－312a ) n 展开式中含有常数项，则正整数n 的最小值是 （ ）A ．4B ．5C ． 6D ． 84． 从5名演员中选3人参加表演，其中甲在乙前表演的概率为 （ ）A ． 203 B ． 103C ．201 D ． 101EFDOC BA5．抛物线y2=a(x+1)的准线方程是x=－3，则这条抛物线的焦点坐标是（）A.（3，0）B.（2，0）C.（1，0）D.（-1，0）6．已知向量ｍ＝（a，b），向量ｎ⊥ｍ，且｜ｎ｜＝｜ｍ｜，则ｎ的坐标可以为（）A.（a，－b）B.（－a，b）C.（b，－a）D.（－b，－a）7. 如果S=｛x｜x=2n+1,n∈Z｝,T=｛x｜x=4n±1,n∈Z｝,那么A.S TB.T SC.S=TD.S≠T8．有6个座位连成一排，现有3人就坐，则恰有两个空座位相邻的不同坐法有（）A．36种 B．48种 C．72种 D．96种9．已知直线l、m，平面α、β，且l⊥α,m β.给出四个命题：（1）若α∥β,则l⊥m;(2)若l⊥m,则α∥β;(3)若α⊥β,则l∥m;(4)若l∥m,则α⊥β,其中正确的命题个数是( )A.4B.1C.3D.210．已知函数f(x)＝log2(x2－ax＋3a)在区间[2，＋∞)上递增，则实数a的取值范围是（）A.(－∞，4)B.(－4，4]C.(－∞，－4)∪[2，＋∞)D.[－4，2)。
高考数学专题14 结构不良题型(数列)(解析版)
专题14 结构不良题型〔数列〕结构不良题型是新课改地区新增加的题型，所谓结构不良题型就是给出一些条件，另外的条件题目中给出三个，学生可以从中选择1个或者2个作为条件，进行解题。
数列局部主要涉及到数列的求和以及与不等式有关的问题。
一、题型选讲题型一 、数列中的求和问题例1、〔江苏省南京市2021届高三上学期期初学情调研〕数列{}n a 是公比为2的等比数列，其前n 项和为n S ，〔1〕在①13222S S S +=+，②373S =，③2344a a a =，这三个条件中任选一个，补充到上述题干中．求数列{}n a 的通项公式，并判断此时数列{}n a 是否满足条件P ：任意m ，n N *∈，m n a a 均为数列{}n a 中的项，说明理由；〔2〕设数列{}n b 满足11()n n n na b n a -+=，n N *∈，求数列{}n b 的前n 项和n T ． 注：在第〔1〕问中，如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分． 解：〔1〕选①，因为S 1＋S 3＝2S 2＋2，所以S 3－S 2＝S 2－S 1＋2，即a 3＝a 2＋2， 又数列{a n }是公比为2的等比数列，所以4a 1＝2a 1＋2，解得a 1＝1，因此a n ＝1×2n －1＝2n －1．此时任意m ，n ∈N *，a m a n ＝2m －1·2n －1＝2m＋n －2，由于m ＋n －1∈N *，所以a m a n 是数列{a n }的第m ＋n －1项， 因此数列{a n }满足条件P ． 选②，因为S 3＝73，即a 1＋a 2＋a 3＝73，又数列{a n }是公比为2的等比数列， 所以a 1＋2a 1＋4a 1＝73，解得a 1＝13，因此a n ＝13×2n －1．此时a 1a 2＝29＜a 1≤a n ，即a 1a 2不为数列{a n }中的项，因此数列{a n }不满足条件P ． 选③，因为a 2a 3＝4a 4，又数列{a n }是公比为2的等比数列， 所以2a 1×4a 1＝4×8a 1，又a 1≠0，故a 1＝4， 因此a n ＝4×2n －1＝2n ＋1．此时任意m ，n ∈N *，a m a n ＝2m ＋1·2n ＋1＝2m＋n ＋2，由于m ＋n ＋1∈N *，所以a m a n 是为数列{a n }的第m ＋n ＋1项， 因此数列{a n }满足条件P ．〔2〕因为数列{a n }是公比为2的等比数列，所以a n ＋1a n＝2，因此b n ＝n ×2n －1．所以T n ＝1×20＋2×21＋3×22＋…＋n ×2n －1， 那么2T n ＝1×21＋2×22＋…＋(n －1)×2n －1＋n ×2n ， 两式相减得－T n ＝1＋21＋22＋…＋2n －1－n ×2n ＝1－2n1－2－n ×2n＝(1－n )2n －1， 所以T n ＝(n －1)2n ＋1．例2、〔湖北黄冈地区高三联考〕函数()log k f x x =〔k 为常数，0k >且1k ≠〕． 〔1〕在以下条件中选择一个，使数列{}n a 是等比数列，说明理由；① 数列(){}n f a 是首项为2，公比为2的等比数列；② 数列(){}n f a 是首项为4，公差为2的等差数列；③ 数列(){}nf a 是首项为2，公差为2的等差数列的前n 项和构成的数列．〔2〕在〔1〕的条件下，当k =12241+=-n n n a b n ，求数列{}n b 的前n 项和n T . 【解析】〔1〕①③不能使{}n a 成等比数列.②可以：由题意()4(1)222n f a n n =+-⨯=+， ………1分 即log 22k n a n =+，得22n n a k+=，且410a k =≠，2(1)22122n n n n a k k a k++++∴==. ………3分 常数0k >且1k ≠，2k ∴为非零常数，∴数列{}n a 是以4k 为首项，2k 为公比的等比数列． ………4分〔2〕由〔1〕知2n 2n k a +=，所以当k =12n n a +=.………5分因为12241+=-n n n a b n ， 所以2141n b n =-，所以1111(21)(21)22121n b n n n n ⎛⎫==- ⎪-+-+⎝⎭， ………7分12111111...1...23352121n n T b b b n n ⎛⎫=+++=-+-++- ⎪-+⎝⎭11122121nn n ⎛⎫=-= ⎪++⎝⎭ . ……10分 例3、〔2021年辽宁锦州联考〕在①2n S n n =+，②3516a a +=，3542S S +=，③171,56n n a n S a n++==这三个条件中任选一个补充在下面的问题中，并加以解答．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，数列{}n b 为等比数列，_____，12112,2a a b a b ==．求数列1n n b S ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭的前n 项和n T ． 解：选①：当1n =时，112a S ==，当2n 时，12n n n a S S n -=-=，又1n =满足2n a n =，所以2n a n =．设{}n b 的公比为q ，又因为12121122,4,,2a a a ab a b ====由，得12b =，2q =，所以2n n b =； 由数列{}n b 的前n 项和为11222212n n ++-=--，又可知211111(1)1n S n n n n n n ===-+++， 数列1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为1111111122311n n n -+-+⋯+-=-++， 故11112212111n n n T n n ++=-+-=--++． 选②：设公差为d ，由1353512616,16,42,81342,a d a a S S a d +=⎧+=+=⎨+=⎩得解得12,2,a d =⎧⎨=⎩所以22,n n a n S n n ==+．设{}n b 的公比为q ，又因为12121122,4,,2a a a ab a b ====由，得12b =，2q =，所以2n n b =．由数列{}n b 的前n 项和为11222212n n ++-=--，又可知211111(1)1n S n n n n n n ===-+++，数列1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为1111111122311n n n -+-+⋯+-=-++，故11112212111n n n T n n ++=-+-=--++．选③： 由11111,,,11n n n n n n a a a a an a a n a n n n n +++====+得所以即，74172856S a a ===，所以12a =，所以22,n n a n S n n ==+． 设{}n b 的公比为q ，又因为12121122,4,,2a a a ab a b ====由，得12,2,2n n b q b ===所以． 由数列{}n b 的前n 项和为11222212n n ++-=--，又可知211111(1)1n S n n n n n n ===-+++， 数列1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为1111111122311n n n -+-+⋯+-=-++， 故11112212111n n n T n n ++=-+-=--++． 例4、〔江苏省扬州2021届高三上学期期初学情调研〕在①1a ，14，2a 成等差数列，②1a ，21a +，3a 成等比数列，③334S =，三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并作答．注：如果选择多个条件分别作答，按第一个解答计分．n S 为数列{}n a 的前n 项和，132n n S a a =+，(n N *∈)，10a ≠，且 ．〔1〕求数列{}n a 的通项公式；〔2〕记22log n n b a =-，求数列{}n b 的前n 项和n T ．题型二、数列中的不等式问题例5、〔江苏省南通2021届高三上学期期初学情调研〕在①}{b n 为等比数列，1122,3b a b a ==,②}{b n 为等差数列，22114,2a b a b ==,③}{b n 为等比数列，4,22211+=+=a b a b 。
2020年数学(理科数学)精编训练(14)答案
所以 cos∠OMC＝OMMC＝ 33，所以二面
角
C-A1BE
的余弦值为
3 3.
19. 解：(1)这 8 年我国艾滋病病毒感染
人数的折线图如图所示．
因为 x＝4.5，y＝56.2，所以错误!iyi－8x y＝296.3，
错误!＝错误!×46.2＝299.376，
所以 r＝29299.63.736≈0.99.
6. 解：令 x＝1，得展开式的各项系数 和为(1＋a)(2－1)5＝1＋a，
所以 1＋a＝2，所以 a＝1，
所 以1＋xa2x－1x 5＝1＋1x 2x－1x 5
＝2x－1x5＋1x2x－1x5，
所求展开式中常数项为2x－1x5的展开
式的常数项与 x 项的系数之和，
2x－1x5展开式的通项为 Tr＋1＝Cr5(2x)5
BE⊥OC，A1O＝OC＝
2 2.
又因为 A1C＝1，所以在△A1OC 中， A1O2＋OC2＝A1C2，所以 A1O⊥OC，所以 A1O⊥平面 BCDE，又因为 A1O⊂平面 A1BE， 所以平面 A1BE⊥平面 BCDE.
(2)方法一：由(1)知 OA1，OB，OC 互相 垂直，分别以 OB，OC，OA1 所在直线为 x， y，z 轴建立空间直角坐标系，如图所示，
－r·(－1)r1xr＝(－1)r25－rCr5x5－2r，
令 5－2r＝1 得 r＝2；令 5－2r＝0，无 整数解，
所以展开式中常数项为 8C25＝80.故选 D.
7. 解：易知函数 y＝sinx2＋51π2 的最小
正周期为
4π，故排除
A；当
π x＝ 6 时，y＝
sin2x－π3 ＝0，故排除 B；当 x∈π6 ，π3
2019-2020年高三数学二轮复习高考小题标准练十四理新人教版
2019-2020年高三数学二轮复习高考小题标准练十四理新人教版一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1.已知集合A={-2，-1，1，2，4}，B={y|y=log2|x|-3，x∈A}，则A∩B=( )A.{-2，-1，0}B.{-1，0，1，2}C.{-2，-1}D.{-1，0，1}【解析】选C.当x∈{-2，-1，1，2，4}时，y=log2|x|-3∈{-3，-2，-1}，所以A∩B={-2，-1}.2.若复数z=+i是纯虚数，则tan的值为( )A.-7B.-C.7D.-7或-【解析】选C.依题意得即cosθ=，sinθ=-，tanθ=-，tan==7.3.如图，已知电路中4个开关闭合的概率都是，且是相互独立的，则灯亮的概率为( )A. B. C. D.【解析】选C.记A，B，C，D四个开关闭合分别为事件A，B，C，D，记A，B至少有一个不闭合为事件E，则P(E)=P(A)+P(B)+P()=.故灯亮的概率为P=1-P(E·)=1-P(E)·P()·P()=1-=.4.在△ABC中，sinB，sinA，sinC成等比数列，则角A的取值范围是( )A. B.C. D.【解析】选A.因为sinB，sinA，sinC成等比数列，所以sin2A=sinBsinC，所以a2=bc.所以cosA==≥=(当且仅当b=c时，取等号).因为0<A<π，所以0<A≤.5.已知f(x)是定义在R上的以3为周期的偶函数，若f(1)<1，f(5)=，则实数a的取值范围为( )A.-1<a<4B.-2<a<1C.-1<a<0D.-1<a<2【解析】选A.因为f(x)是定义在R上的周期为3的偶函数，所以f(5)=f(5-6)=f(-1)=f(1)，因为f(1)<1，f(5)=，所以<1，<0，解得-1<a<4.6.棱长为1的正四面体ABCD中，E为棱AB上一点(不含A，B两点)，点E到平面ACD和平面BCD的距离分别为a，b，则的最小值为( )A.2B.2C.2D.【解析】选D.连接CE，DE，由正四面体棱长为1，设OA为点A到平面BCD的距离，则OA=，由于V A-BCD=V E-BCD+V E-ACD，有=a+b，由a+b≥2，可得≥=6，所以=≥.7.圆x2+y2-4x-4y-10=0上的点到直线x+y-14=0的最大距离与最小距离的差是( ) A.30 B.18 C.6 D.5【解析】选C.由圆x2+y2-4x-4y-10=0知圆心坐标为(2，2)，半径为3.则圆上的点到直线x+y-14=0的最大距离为+3=5+3，最小距离为5-3，故最大距离与最小距离的差为6.8.如图所示的程序框图中，循环体执行的次数是( )A.50B.49C.100D.99【解析】选B.从程序框图反映的算法是S=2+4+6+8+…，i的初始值为2，由i=i+2知，执行了49次时，i=100，满足i≥100，退出循环.9.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是( )A.πB.πC.πD.π【解析】选C.由三视图可知该几何体是组合体，上方是底面半径为1，高为的半个圆锥，下方是底面半径为1，高为2的圆柱，且圆柱的上底面与半圆锥的底面重合，所以该几何体的体积是×π×+2π=π.10.函数y=，x∈∪的图象可能是下列图象中的( )【解析】选C.由函数y=，x∈∪是偶函数，排除A；又由函数y=sin2x，y=2x，x∈的图象可知恒有2x>sin2x，x∈，所以y=>，x∈，排除B和D.11.已知等边△ABF的顶点F是抛物线C1：y2=2px(p>0)的焦点，顶点B在抛物线的准线l上且AB⊥l，则点A的位置( )A.在C1开口内B.在C1上C.在C1开口外D.与p值有关【解析】选B.设B，由已知有AB中点的横坐标为，则A，△ABF是边长|AB|=2p的等边三角形，即|AF|==2p，所以p2+m2=4p2，所以m=±p，所以A.代入y2=2px中，可得点A在抛物线上.12.已知函数f(x)=aln(x+1)-x2，在区间(0，1)内任取两个实数p，q，且p≠q，不等式>1恒成立，则实数a的取值范围为( )A.[15，+∞)B.(-∞，15]C.(12，30]D.(-12，15]【解析】选A.由已知得，>1，且p+1，q+1∈(1，2)，等价于函数f(x)=aln(x+1)-x2在区间(1，2)上任意两点连线的斜率大于1，等价于函数在区间(1，2)上的切线斜率大于1恒成立.f′(x)=-2x，即-2x>1恒成立，变形为a>2x2+3x+1，因为2x2+3x+1<15，故a≥15.二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分.请把正确答案填在题中横线上)13.如图，两块全等的直角边长为1的等腰直角三角形拼在一起，若=λ+k，则λ+k=________.【解析】=+=+(-)=+(-)=+-(-)=+，所以λ=，k=1+，所以λ+k=1+.答案：1+14.设实数x，y满足约束条件若目标函数z=ax+by(a>0，b>0)的最大值为6，则+的最小值为________.【解析】在平面直角坐标系内画出题中的不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示，由图易得当目标函数经过平面区域内的点A(2，4)时，z=ax+by取得最大值6，即2a+4b=6，a+2b=3，则+=(a+2b)·=≥=3，当且仅当a=b=1时，等号成立，所以+的最小值为3.答案：315.如果在的展开式中各项系数之和为128，则展开式中的系数是________.【解析】因为在的展开式中各项系数之和为128，令x=1得到2n=128，n=7，利用通项公式得到的系数为21.答案：2116.若数列{a n}，{b n}的通项公式分别是a n=(-1)n+xx·a，b n=2+，且a n<b n对任意n∈N*恒成立，则常数a的取值范围是________.【解析】当n为奇数时，a n=-a，b n=2+，{b n}min>2，所以-a≤2，a≥-2；当n为偶数时，a n=a，b n=2-，{b n}min=2-=，所以a<. 综上得，a的取值范围是.答案：。
2020年高考数学选择题专项练习含答案
2020高考虽然延期，但是每天练习一定要跟上，加油！1、同时满足① M ⊆{1, 2, 3, 4, 5}; ② 若a ∈M ，则(6-a )∈M , 的非空集合M 有（ ）。
（A ）16个 （B ）15个 （C ）7个 （D ）8个2、函数y =f (x )是R 上的增函数，则a +b >0是f (a )+f (b )>f (-a )+f (-b )的（ ）条件。
（A ）充分不必要 （B ）必要不充分 （C ）充要 （D ）不充分不必要3、函数g (x )=x 2⎪⎭⎫ ⎝⎛+-21121x ，若a ≠0且a ∈R , 则下列点一定在函数y =g (x )的图象上的是（ ）。
（A ）(-a , -g (-a )) （B ）(a , g (-a )) （C ）(a , -g (a )) （D ）(-a , -g (a ))4、数列{a n }满足a 1=1, a 2=32，且nn n a a a 21111=++- (n ≥2)，则a n 等于（ ）。
（A ）12+n （B ）(32)n -1 （C ）(32)n （D ）22+n 5、由1，2，3，4组成的没有重复数字的四位数，按从小到大的顺序排成一个数列{a n }，其中a 18等于（ ）。
（A ）1243 （B ）3421 （C ）4123 （D ）34126、已知圆锥内有一个内接圆柱，若圆柱的侧面积最大，则此圆柱的上底面将已知圆锥的体积分成小、大两部分的比是（ ）。
（A ）1:1 （B ）1:2 （C ）1:8 （D ）1:77、直线4x+6y-9=0夹在两坐标轴之间的线段的垂直平分线是l ，则l 的方程是（ ）。
（A ）24x-16y+15=0 （B ）24x-16y-15=0 （C ）24x+16y+15=0（D ）24x+16y-15=08、函数f (x)=loga(ax2-x)在x ∈[2, 4]上是增函数，则a 的取值范围是（ ）。
(新课改地区)高考数学核心素养测评十四利用导数研究函数的极值、最值新人教B版
核心素养测评十四利用导数研究函数的极值、最值(30分钟60分)一、选择题(每小题5分,共25分)1.设函数f(x)=+ln x则( )A.x=为f(x)的极大值点B.x=为f(x)的极小值点C.x=2为f(x)的极大值点D.x=2为 f(x)的极小值点【解析】选D.f′(x)=-+=,由f′(x)>0,得x>2,所以f(x)的增区间为,f(x)的减区间为(0,2),所以f(x)只有极小值,极小值点为x=2.2.已知函数f(x)是R上的可导函数,f(x)的导函数f′(x)的图象如图,则下列结论正确的是( )A.a,c分别是极大值点和极小值点B.b,c分别是极大值点和极小值点C.f(x)在区间(a,c)上是增函数D.f(x)在区间(b,c)上是减函数【解析】选 C.由极值点的定义可知,a是极小值点,无极大值点;由导函数的图象可知,函数f(x)在区间(a,+∞)上是增函数.3.已知x=是函数f(x)=x(ln ax+1)的极值点,则实数a的值为( )A. B. C.1 D.e【解析】选B.因为函数f(x)=x(ln ax+1)有极值点,所以f′(x)=(ln ax+1)+1=2+ln ax;因为x=是函数f(x)=x(ln ax+1)的极值点,所以f′=2+ln a=0;所以ln a=-2;解得:a=.4.(2020·湘潭模拟)某莲藕种植塘每年的固定成本是1万元,每年最大规模的种植是8万斤,每种植一斤藕,成本增加0.5元,销售额函数是f(x)=-x3+ax2+x,x是莲藕种植量,单位:万斤;销售额的单位:万元,a是常数,若种植2万斤,利润是2.5万元,则要使利润最大,每年种植莲藕( )A.8万斤B.6万斤C.3万斤D.5万斤【解析】选B.设销售利润为g(x),得g(x)=-x3+ax2+x-1-x=-x3+ax2-1,当x=2时,g(2)=-×23+a×22-1=2.5,解得a=2.所以g(x)=-x3+x2-1,g′(x)=-x2+x=-x(x-6),所以函数g(x)在(0,6)上单调递增,在(6,8)上单调递减.所以当x=6时,函数g(x)取得极大值即最大值.5.(多选)(2020·烟台模拟)已知函数f=,则下列结论正确的是( )A.函数f存在两个不同的零点B.函数f既存在极大值又存在极小值C.当-e<k<0时,方程f=k有且只有两个实根D.若x∈时,f=,则t的最小值为2【解析】选ABC.对于A.f=0⇒x2+x-1=0,解得x=,所以A正确;对于B.f′=-=-,当f′>0时,-1<x<2,当f′<0时,x<-1或x>2,故,是函数的单调递减区间,是函数的单调递增区间, 所以f是函数的极小值,f是函数的极大值,所以B正确.对于C.当x→+∞时,y→0,根据B可知,函数的最小值是f=-e,再根据单调性可知,当-e<k<0时,方程f=k有且只有两个实根,所以C正确;对于D.由图象可知,t的最大值是2,所以不正确.二、填空题(每小题5分,共15分)6.(2019·濮阳模拟)函数f(x)=e x-2x的最小值为________.【解析】f′(x)=e x-2,令f′(x)=e x-2=0,解得x=ln 2.可得:函数f(x)在(-∞,ln 2)上单调递减,在(ln 2,+∞)上单调递增.所以x=ln 2时,函数f(x)取得极小值也是最小值,f(ln 2)=2-2ln 2.答案:2-2ln 27.函数f(x)=e x(其e=2.718…是自然对数的底数)的极值点是________;极大值为________.【解析】由已知得f′(x)=e x=e x=(x+2)(x-1)e x, 因为e x>0,令f′(x)=0,可得x=-2或x=1,当x<-2时f′(x)>0,即函数f(x)在(-∞,-2)上单调递增;当-2<x<1时,f′(x)<0,即函数f(x)在区间(-2,1)上单调递减;当x>1时,f′(x)>0,即函数f(x)在区间(1,+∞)上单调递增.故f(x)的极值点为-2或1,且极大值为f(-2)=.答案:1或-28.已知函数f(x)=当x∈(-∞,m]时,函数f(x)的取值范围为[-16,+∞),则实数m的取值范围是________.【解析】当x≤0时,f′(x)=3(2+x)(2-x),所以当x<-2时,f′(x)<0,函数f(x)单调递减; 当-2<x≤0时,f′(x)>0,函数f(x)单调递增,所以函数f(x)在x=-2处取最小值f(-2)=-16.画出函数的图象,结合函数的图象得-2≤m≤8时,函数f(x)总能取到最小值-16,故m的取值范围是[-2,8].答案: [-2,8]三、解答题(每小题10分,共20分)9.若函数y=f(x)在x=x0处取得极大值或极小值,则称x0为函数y=f(x)的极值点.已知a,b是实数,1和-1是函数f(x)=x3+ax2+bx的两个极值点.(1) 求a,b的值.(2) 设函数g(x)的导数g′(x)=f(x)+2,求g(x)的极值点.【解析】(1) 由题设知f′(x)=3x2+2ax+b,且f′(-1)=3-2a+b=0,f′(1)=3+2a+b=0,解得a=0,b=-3.(2) 由(1) 知f(x)=x3-3x,则g′(x)=f(x)+2=(x-1)2(x+2),所以g′(x)=0的根为x1=x2=1,x3=-2,即函数g(x)的极值点只可能是1或-2.当x<-2时,g′(x)<0,当-2<x<1时,g′(x)>0,当x>1时,g′(x)>0,所以-2是g(x)的极值点,1不是g(x)的极值点.10.已知函数f(x)=ax+ln x,其中a为常数.(1)当a=-1时,求f(x)的最大值.(2)若f(x)在区间(0,e]上的最大值为-3,求a的值.【解析】(1)易知f(x)的定义域为(0,+∞),当a=-1 时,f(x)=-x+ln x,f′(x)=-1+=,令f′(x)=0,得x=1.当0<x<1时,f′(x)>0;当x>1时,f′(x)<0.所以f(x)在(0,1)上是增函数,在(1,+∞)上是减函数.所以f(x)max=f(1)=-1.所以当a=-1时,函数f(x)在(0,+∞)上的最大值为-1.(2) f′(x)=a+,x∈,∈.①若a≥-,则f′(x)≥0,从而f(x)在上单调递增,所以f(x)max=f(e)=ae+1≥0,不符合题意.②若a<-,令f′(x)>0得a+>0,结合x∈,解得0<x<-;令f′(x)<0得a+<0,结合x∈,解得-<x≤e.从而f(x)在上单调递增,在上单调递减,所以f(x)max=f=-1+ln,令-1+ln=-3,得ln=-2,所以a=-e2,因为-e2<-,所以a=-e2为所求,故实数a的值为-e2.(15分钟35分)1.(5分)(多选)下列函数中,存在极值点的是( )A.y=x-B.y=C.y=-2x3-xD.y=xln x【解析】选BD.由题意,函数y=x-,则y′=1+>0,所以函数y=x-在(-∞,0),(0,+∞)内单调递增,没有极值点.函数y==根据指数函数的图象与性质可得,当x<0时,函数y=单调递减,当x≥0时,函数y=单调递增,所以函数y=在x=0处取得极小值;函数y=-2x3-x,则y′=-6x2-1<0,所以函数y=-2x3-x在R上单调递减,没有极值点;函数y=xln x,则y′=ln x+1,x>0,当x∈时,y′<0,函数单调递减,当x∈时,y′>0,函数单调递增,当x=时,函数取得极小值.2.(5分)用长为30 m的钢条围成一个长方体形状的框架(即12条棱长总和为30 m),要求长方体的长与宽之比为3∶2,则该长方体最大体积是( )A.24 m3B.15 m3C.12 m3D.6 m3【解析】选 B.设该长方体的宽是x m,由题意知,其长是 m,高是=m(0<x<3),则该长方体的体积V(x)= x··=-x3+x2,V′(x)=-x2+x,由V′(x)=0,得到x=2(x=0舍去),且当0<x<2时, V′(x)>0;当2<x<3时,V′(x)<0,即体积函数V(x)在x=2处取得极大值V(2)=15,也是函数V(x)在定义域上的最大值.所以该长方体体积的最大值是15 m3.【变式备选】用边长为120 cm的正方形铁皮做一个无盖水箱,先在四周分别截去一个小正方形,然后把四边翻转90°角,再焊接成水箱,则水箱的最大容积为( )A.120 000 cm3B.128 000 cm3C.150 000 cm3D.158 000 cm3【解析】选B.设水箱底长为x cm,则高为 cm.由得0<x<120.设水箱的容积为y cm3,则有y=-x3+60x2.求导数,有y′=-x2+120x.令y′=0,解得x=80(x=0舍去).当x∈(0,80)时,y′>0;当x∈(80,120)时,y′<0.因此,x=80是函数y=-x3+60x2的极大值点,也是最大值点,此时y=128 000.3.(5分)(2020·昆明模拟)已知函数f(x)=ax2+bx+cln x(a>0)在x=1和x=2处取得极值,且极大值为-,则函数f(x)在区间(0,4]上的最大值为( )A.0B.-C.2ln 2-4D.4ln 2-4【解析】选D.函数的导数为f′(x)=2ax+b+=.因为f(x)在x=1和x=2处取得极值,所以f′(1)=2a+b+c=0 ①,f′(2)=4a+b+=0 ②,因为f(x)极大值为-,a>0,所以由函数性质知当x=1时,函数取得极大值为-,则f(1)=a+b+cln 1=a+b=-③,由①②③得a=,b=-3,c=2,0即f(x)=x2-3x+2ln x,f′(x)=x-3+==,由f′(x)>0得2<x≤4或0<x<1,此时为增函数,由f′(x)<0得1<x<2,此时f(x)为减函数,则当x=1时,f(x)取得极大值,极大值为-,又f(4)=8-12+2ln 4=4ln 2-4>-,即函数在区间(0,4]上的最大值为4ln 2-4.4.(10分)(2019·成都模拟)已知函数f(x)=aln x-x2+x-.(1)当曲线f(x)在x=3时的切线与直线y=-4x+1平行,求曲线f(x)在处的切线方程.(2)求函数f(x)的极值,并求当f(x)有极大值且极大值为正数时,实数a的取值范围.【解析】(1)f′(x)=-2x+a-2.由题意得f′(3)=-2×3+a-2=-4,得a=3.当x=1时,f(1)=-12+×1-=-,f′(1)=-2×1+3-2=2,故曲线f(x)在处的切线方程为y+=2,即8x-4y-17=0.(2)f′(x)=-2x+a-2=(x>0),①当a≤0时,f′(x)≤0,所以f(x)在上单调递减,f(x)无极值.②当a>0时,由f′(x)=0得x=,随x的变化,f′(x)、f(x)的变化情况如下:xf′(x)+ 0 -f(x) ↗极大值↘故f(x)有极大值,无极小值,极大值为f=aln-+×-=aln-a,由aln-a>0,结合a>0可得a>2e,所以当f(x)有极大值且极大值为正数时,实数a的取值范围是.5.(10分)(2020·济宁模拟)已知函数f(x)=ln x-xe x+ax(a∈R).(1)若函数f(x)在[1,+∞)上单调递减,求实数a的取值范围.(2)若a=1,求f(x)的最大值.【解题指南】(1)由题意分离参数,将原问题转化为函数求最值的问题,然后利用导函数即可确定实数a的取值范围.(2)结合函数的解析式求导函数,将其分解因式,利用导函数研究函数的单调性,最后利用函数的单调性结合函数的解析式即可确定函数的最大值.【解析】(1)由题意知,f′(x)=-(e x+xe x)+a=-(x+1)e x+a≤0 在[1,+∞)上恒成立,所以a≤(x+1)e x-在[1,+∞)上恒成立.令g(x)=-+(x+1)e x,则g′(x)=(x+2)e x+>0,所以g(x)在[1,+∞)上单调递增,所以g(x)min=g(1)=2e-1,所以a≤2e-1.(2)当a=1时,f(x)=ln x-xe x+x(x>0),则f′(x)=-(x+1)e x+1=(x+1),令m(x)=-e x,则m′(x)=--e x<0,所以m(x)在(0,+∞)上单调递减.由于m>0,m(1)<0,所以存在x0>0满足m(x0)=0,即=.当x∈(0,x0),m(x)>0,f′(x)>0;当x∈(x0,+∞)时,m(x)<0,f′(x)<0.所以f(x)在(0,x0)上单调递增,在(x0,+∞)上单调递减.所以f(x)max=f(x0)=ln x0-x0+x0,因为=,所以x0=-ln x0,所以f(x0)=-x0-1+x0=-1,所以f(x)max=-1.(2019·新乡模拟)已知函数f(x)=x2-(a+1)x+aln x.(1)当a=-4时,求f(x)的单调区间.(2)已知a∈(1,2],b∈R,函数g(x)=x3+bx2-(2b+4)x+ln x,若f(x)的极小值点与g(x)的极小值点相等,证明:g(x)的极大值不大于.【解析】 (1)当a=-4时,f(x)=x2+3x-4ln x,定义域为(0,+∞),f′(x)=x+3-==,当x>1时,f′(x)>0,f(x)单调递增,则f(x)的单调递增区间为(1,+∞); 当0<x<1时,f′(x)<0,f(x)单调递减,则f(x)的单调递减区间为(0,1).(2)f′(x)==,g′(x)=3x2+2bx-(2b+4)+=.令p(x)=3x2+(2b+3)x-1.因为a∈(1,2],所以f(x)的极小值点为a,则g(x)的极小值点为a.所以p(a)=0,即3a2+(2b+3)a-1=0,即b=,此时g(x)的极大值为g(1)=1+b-(2b+4)=-3-b=-3-=a--.因为a∈(1,2],所以a--≤×2--=.故g(x)的极大值不大于.。
2020年新高考全国2卷数学高考真题变式题1-5题-(解析版)
变式题5巩固
27．“中国天眼”是我国具有自主知识产权，世界最大单口径，最灵敏的球面射电望远镜（如图）．其反射面的形状为球冠（球冠是球面被平面所截后剩下的曲面，截得的圆为底，垂直于圆面的直径被截得的部分为高，球冠面积 ，其中R为球的半径，h为球冠的高），设球冠底的半径为r，周长为C，球冠的面积为S，则当 时， （）
3．B
【分析】观察法直接写出A与B的交集．
【详解】∵A={2，4，5，6}，
∴A∩B={2}，
故选B．
【点睛】本题实质求满足属于集合 且属于集合 的元素的集合.．
4．B
【分析】可求出集合A，B，然后进行交集的运算即可．
【详解】A＝{2，3，5，7，11，13，17，19}，B＝{x|﹣8≤x≤8}；
A． B． C． D．
变式题5巩固
34．随着网络技术的发达，电子支付变得愈发流行，若电子支付只包含微信支付和支付宝支付两种.若某群体中的成员只用现金支付的概率为0.45，既用现金支付也用非现金支付的概率为0.15，则不用现金支付的概率为
A．0.3B．0.4C．0.6D．0.7
变式题6提升
35．已知甲、乙两地一年中雨天占的比例分别为25%，20%，两地同时下雨的概率为0.12，则下列说法正确的是（）
A．20°B．40°
C．50°D．90°
变式题1基础
23．经纬度是经度与纬度的合称，它们组成一个坐标系统，称为地理坐标系统，它是利用三维空间的球面来定义地球上的空间的球面坐标系.能够标示地球上任何一个位置，其中纬度是地球重力方向上的铅垂线与赤道平面所成的线面角.如世界最高峰珠穆朗玛峰就处在北纬 ，若将地球看成近似球体，其半径约为 ，则北纬 纬线的长为（）
2020届新高考数学模拟试卷及答案解析14
2020届新高考数学模拟试卷及答案解析14本文为2020届新高考数学模拟试卷第14套的内容及答案解析。
试卷均按照新高考改革的要求和考试大纲进行设计，旨在帮助同学们更好地适应新高考的考试形式。
一、选择题1. A2. C3. B4. D5. A6. B7. C8. D9. B 10. C二、填空题11. 15 12. 16 13. 42 14. 63 15. 9 16. 8 17. 区间不相交 18. 4 19. 60 20. 3三、解答题21. 解：因为直线l1 ∥平面π，所以直线l1与平面π的任意一条交线在平面π上也垂直于直线l2，所以我们只需找到一个点，使其满足这个条件即可。
22. 解：首先我们可以通过列向量的加法和数乘来计算同一个矩阵A的平方A²。
然后使用矩阵A和A²的乘法来计算所需结果。
计算完毕后，我们可以将结果写成列向量的形式。
23. 解：由已知条件得到方程组：x + y + z = 22x + 3y + z = 33x + 4y + z = 4利用高斯消元法解方程组，得到：x = 1y = 1z = 0所以方程组的解为x = 1, y = 1, z = 0。
24. 解：利用绝对值的性质，我们可以将给定方程进行分类讨论：当x > 2时，原方程变为 x - 2 = x - 2，方程有无数解。
当x = 2时，原方程变为 0 = 0，方程有无数解。
当x < 2时，原方程变为 2 - x = x - 2，化简后得到 -2 = -2，方程无解。
25. 解：根据题意，设小猫的体重为x，小狗的体重为y，则有：x + y = 30y = 2x将第二个等式代入第一个等式，得到：x + 2x = 30解得x = 10，代入第一个等式可得y = 20。
所以小猫的体重为10千克，小狗的体重为20千克。
26. 解：根据题意，事件A表示“小明早上迟到”，事件B表示“小刚早上迟到”。
已知P(A) = 0.3，P(B) = 0.4，P(A∪B) = 0.5。
2020年海南省新高考数学试卷(含解答)
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答案和解析
1.【答案】C
解：因为集合 A，B 的公共元素为：2，3，5 故 A t h2 3， t．故选：C．
2.【答案】B
解： 1 愀 2 2 愀 t 2 愀 愀 愀 22 t ，故选：B．
10.【答案】ACD
解： .若
t素t
，则 1
h
1，则根据椭圆定义，知
素
h2
1
愀
2
1 素
t 1 表示焦点在 y 轴上的椭圆，故 A 正确；
B.若
t素t
，则方程为h2 愀
2
t
1，表示半径为
素
1 的圆，故
素
B
错误；
C.若
h
，素 t
h2
，则方程为 1
愀
2 1
t 1，表示焦点在 y 轴的双曲线，故此时渐近线方程为
C. h2 3， t
D. h1 2，3，5，7， t
2. 分 1 愀 2 2 愀 t
A. 愀
B. 5i
C.
D. 2 愀 ǡ
ǡ. 分 在
中，D 是 AB 边上的中点，则 t
A. 2 t 愀
B. t 2
C. 2 t
D. t 愀 2
. 分 日晷是中国古代用来测定时间的仪器，利用与晷面垂直的晷针投射到晷面的影子来测定时间．把
中的三角形存在，求 c 的值；若问题中的三角形不存在，说明理由．
问题：是否存在
，它的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，且 ᦙ素 t ǡᦙ素 ，
2020版考前小题练 高考数学理科(全国通用)总复习文档：12+4满分练四(含答案解析)
2020版考前小题练 高考数学理科（全国通用）总复习文档：12＋4满分练四一、选择题1.已知集合A={x|x 2－2x －3＞0}，集合B={x|0＜x ＜4}，则(∁R A)∩B 等于( )A.(0，3]B.[－1，0)C.[－1，3]D.(3，4)2.设i 为虚数单位，若复数a ＋2i1＋i为纯虚数，则实数a 的值为( )A.－1B.1C.－2D.23.将函数f(x)=(cos x －2sin x)＋sin 2x 的图象向左平移π8个单位长度后得到函数g(x)，则g(x)具有性质( )A.在错误!未找到引用源。
上单调递增，为奇函数B.周期为π，图象关于错误!未找到引用源。
对称C.最大值为2，图象关于直线x=π2对称D.在错误!未找到引用源。
上单调递增，为偶函数 4.为了得到函数y=的图象，只需把函数y=的图象( )A.向左平移π4个单位长度B.向右平移π4个单位长度C.向左平移π2个单位长度D.向右平移π2个单位长度5.已知三棱锥A －BCD 的所有顶点都在球O 的球面上，AB 为球O 的直径，若该三棱锥的体积为433，BC=4，BD=3，∠CBD=90°，则球O 的表面积为( )A.11πB.20πC.23πD.35π6.一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的外接球的表面积为( )A.36πB.8πC.9π2D.27π87.阅读如图所示的程序框图，若输出的数据为58，则判断框中应填入的条件为( )A.k ≤3?B.k ≤4?C.k ≤5?D.k ≤6?8.过点M(2，－2p)引抛物线x 2=2py(p ＞0)的切线，切点分别为A ，B ，若|AB|=410，则p 的值是( )A.1或2B.2或2C.1D.2 已知点P 为不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＋1≥0，x ≤2，x ＋y －1≥0所表示的平面区域内的一点，点Q 是圆M ：(x ＋1)2＋y 2=1上的一个动点，则|PQ|的最大值是( )A.35＋22B.25＋33C.253D.109.已知三个函数f(x)=2x＋x ，g(x)=x －1，h(x)=log 3x ＋x 的零点依次为a ，b ，c ，则( )A.a ＜b ＜cB.b ＜a ＜cC.c ＜a ＜bD.a ＜c ＜b10.已知当x=θ时，函数f(x)=2sin x －cos x 取得最大值，则等于( )A.7210B.210C.－210D.－7210 11.已知M 是函数f(x)=e －2|x －1|＋在x ∈[－3，5]上的所有零点之和，则M 的值为( )A.4B.6C.8D.10 二、填空题12.我们把满足：x n ＋1=x n －f (x n )f ′(x n )的数列{x n }叫做牛顿数列.已知函数f(x)=x 2－1，数列{x n }为牛顿数列，设a n =ln x n －1x n ＋1，已知a 1=2，则a 3=________.13.已知直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠ADC=90°，AD=2，BC=1，点P 是腰DC 上的动点，则|PA →＋3PB →|的最小值为________.14.点P 在双曲线x 2a 2－y2b2=1(a ＞0，b ＞0)的右支上，其左、右焦点分别为F 1，F 2，直线PF 1与以坐标原点O 为圆心、a 为半径的圆相切于点A ，线段PF 1的垂直平分线恰好过点F 2，则该双曲线的渐近线的斜率为________.15.已知数列{}a n 的前n 项和为S n ，S n =43()a n －1，则()4n －2＋1的最小值为______.答案解析一、选择题 1.答案为：A ；解析：因为A={x|x ＜－1或x ＞3}，故∁R A={x|－1≤x ≤3}，B={x|0＜x ＜4}， 所以(∁R A)∩B={x|0＜x ≤3}，故选A.2.答案为：C ；解析：由题意，得a ＋2i 1＋i =a ＋22＋2－a2i ，则⎩⎪⎨⎪⎧a ＋22＝0，2－a2≠0⇒a=－2，故选C.3.答案为：A ；解析：函数的解析式为f(x)=sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2＋x (cos x －2sin x)＋sin 2x=sin 2x －cos 2x=2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π4， 将其图象向左平移π8个单位长度，得到函数g(x)=2sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π8－π4=2sin 2x 的图象，则g(x)为奇函数，且在⎝⎛⎭⎪⎫0，π4上单调递增，故A 正确.4.答案为：A解析：y=cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －4π3=sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －4π3＋π2=sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝⎛⎭⎪⎫x －π4－π3，所以函数y=cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －4π3的图象向左平移π4个单位长度得到函数y=sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3的图象， 故选A.5.答案为：C ；解析：设棱锥的高为h ，因为S △BCD =12×BC ×BD=23，所以V A －BCD =13S △BCD ×h=433，所以h=2，因此点O 到平面BCD 的距离为1，因为△BCD 外接圆的直径为19，所以OB=1＋194=232，所以球O 的表面积为S=4πr 2=23π，故选C.6.答案为：B ；解析：从题设中三视图所提供的图形信息与数据信息可知该几何体是棱长为2，2， 2的长方体的一角所在三棱锥，其外接球与该长方体的外接球相同，其直径是该长方体的对角线l=22＋(2)2＋(2)2=22，故球的半径为R=2，所以该外接球的表面积S=4π(2)2=8π，故选B.7.答案为：B ；解析：第一次循环，S=12=1，k=2；第二次循环，S=2×1＋22=6，k=3；第三次循环，S=2×6＋32=21，k=4；第四次循环，S=2×21＋42=58，k=5， 最后输出的数据为58，所以判断框中应填入k ≤4？，故选B.8.答案为：A ；解析：设切点为⎝ ⎛⎭⎪⎫t ，12p t 2，因为y ′=1p x ，则切线斜率k=12p t 2＋2p t －2=1p t ，整理可得t 2－4t －4p 2=0，由根与系数的关系可得t 1＋t 2=4，t 1t 2=－4p 2，则(t 1－t 2)2=(t 1＋t 2)2－4t 1t 2=16(1＋p 2).设切点A ⎝⎛⎭⎪⎫t 1，t 212p ，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫t 2，t 222p ，则|AB|=(t 1－t 2)2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫t 21－t 222p 2=(t 1－t 2)2⎣⎢⎡⎦⎥⎤1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12p 2(t 1＋t 2)2，即|AB|=4(1＋p 2)⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋4p 2，所以(1＋p 2)⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋4p 2=10，即p 4－5p 2＋4=0，解得p 2=1或p 2=4，即p=1或p=2，故选A.9.答案为：A ；解析：由题意得，画出不等式组所表示的平面区域，如图中阴影部分所示，由题意知点A 到圆心(－1，0)的距离最远，由⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＋1＝0，x ＝2，解得A ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，32， 最远距离为d=(2＋1)2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫322=352，所以|PQ|的最大值为352＋1=35＋22，故选A.10.答案为：D ；解析：由题意知f(x)，g(x)，h(x)均为各自定义域上的增函数，且有唯一零点，因为f(－1)=12－1=－12＜0，f(0)=1>0，所以－1＜a ＜0，由g(x)=0可得x=1，所以b=1，h ⎝ ⎛⎭⎪⎫13=－1＋13=－23＜0，h(1)=1>0，所以13＜c ＜1，所以a ＜c ＜b ，故选D.11.答案为：D ；解析：因为f(x)=5sin(x －φ)，所以f(x)max =5，其中cos φ=25，sin φ=15，当x －φ=2k π＋π2，k ∈Z 时，函数取得最大值，即θ=2k π＋π2＋φ，k ∈Z 时函数取得最大值.由于sin 2θ=－sin 2φ=－2×25×15=－45，cos 2θ=－cos 2φ=－(2cos 2φ－1)=－35，故sin ⎝⎛⎭⎪⎫2θ＋π4=22(sin 2θ＋cos 2θ)=－75×22=－7210，故选D.12.答案为：C解析：因为f(x)=e －2|x －1|＋=e －2|x －1|－2cos πx ，所以f(x)=f(2－x)，因为f(1)≠0，所以函数零点有偶数个，两两关于x=1对称.当x ∈[1，5]时，y=e －2(x －1)∈(0，1]，且单调递减； y=2cos πx ∈[－2，2]，且在[1，5]上有两个周期，因此当x ∈[1，5]时，y=e －2(x －1)与y=2cos πx 有4个不同的交点， 从而所有零点之和为4×2=8，故选C.二、填空题13.答案为：8；解析：由f(x)=x 2－1，得f ′(x)=2x ，则x n ＋1=x n －x 2n －12x n =x 2n ＋12x n ，所以x n ＋1－1=(x n －1)22x n，x n ＋1＋1=(x n ＋1)22x n ，所以x n ＋1－1x n ＋1＋1=(x n －1)2(x n ＋1)2，所以ln x n ＋1－1x n ＋1＋1=ln (x n －1)2(x n ＋1)2=2lnx n －1x n ＋1， 即a n ＋1=2a n ，所以数列{a n }是首项为2，公比为2的等比数列，则a 3=2×22=8.14.答案为：5；解析：方法一：以点D 为原点，分别以DA ，DC 所在直线为x ，y 轴，建立如图所示的平面直角坐标系，设DC=a ，DP=x.∴D(0，0)，A(2，0)，C(0，a)，B(1，a)，P(0，x)，PA →=(2，－x)，PB →=(1，a －x)， ∴PA →＋3PB →=(5，3a －4x)，|PA →＋3PB →|2=25＋(3a －4x)2≥25， ∴|PA →＋3PB →|的最小值为5. 方法二： 设DP →=xDC →(0＜x ＜1)，∴PC →=(1－x)DC →，PA →=DA →－DP →=DA →－xDC →，PB →=PC →＋CB →=(1－x)DC →＋12DA →，∴PA →＋3PB →=52DA →＋(3－4x)DC →，|PA →＋3PB →|2=254DA →2＋2×52×(3－4x)DA →·DC →＋(3－4x)2DC 2→=25＋(3－4x)2DC →2≥25，∴|PA →＋3PB →|的最小值为5.15.答案为：±43；解析：如图，A 是切点，B 是PF 1的中点，因为|OA|=|a|，所以|BF 2|=2a ，又|F 1F 2|=2c ，所以|BF 1|=2b ，|PF 1|=4b ，又|PF 2|=|F 1F 2|=2c ， 根据双曲线的定义，有|PF 1|－|PF 2|=2a ，即4b －2c=2a ，两边平方并化简得3c 2－2ac －5a 2=0，所以c a =53，因此b a =⎝ ⎛⎭⎪⎫c a 2－1=43.16.答案为：4；解析：∵S n =43()a n －1，∴S n －1=43()a n －1－1()n ≥2，∴a n =S n －S n －1=43()a n －a n －1，∴a n =4a n －1.又a 1=S 1=43()a 1－1，∴a 1=4，∴{}a n 是首项为4，公比为4的等比数列，∴a n =4n，∴()4n －2＋1⎝ ⎛⎭⎪⎫16a n ＋1=⎝ ⎛⎭⎪⎫4n 16＋1⎝ ⎛⎭⎪⎫164n ＋1=2＋4n16＋164n ≥2＋2=4，当且仅当n=2时取“=”.。
押新课标全国卷第14题-备战2020年高考数学(理)临考题号押题(解析版)
本题根据已知条件，列出关于等比数列公比 q 的方程，应用等比数列的求和公式，计算得到 S5 ．题目的难
度不大，注重了基础知识、基本计算能力的考查．
【详解】
设等比数列的公比为 q
，由已知 a1
1 3
,
a42
a6
，所以
(
1 3
q3 )2
1 3
q5,又 q
0
，
所以
q
3,
所以
S5
a1(1 q5 ) 1 q
1 3
（6） an1 panr ：把原递推公式两边同时取对数，然后可转化为类型 3，利用待定系数法进行求解．
（7）an1
pan qan
r
：把原递推公式两边同时取倒数，然后可转化为类型
3，利用待定系数法进行求解．
（8） an1 an f (n) ：易得 an2 an f (n 1) f (n) ，然后分 n 为奇数、偶数两种情况分类讨论
【点睛】本题利用方程思想求解数列的基本量，熟练应用公式是解题的关键。
3.（2019 年新课标全国卷Ⅲ）记 Sn 为等差数列{an}的前 n 项和， a1≠0，a2
3a1
，则
S10 S5
___________.
【答案】4.
【解析】
【分析】
根据已知求出 a1 和 d 的关系，再结合等差数列前 n 项和公式求得结果.
【详解】因 a2 3a1 ，所以 a1 d 3a1 ，即 2a1 d ，
所以
S10 S5
10a1
10 2
9
d
5a1
5
2
4
d
100a1 25a1
4．
【点睛】本题主要考查等差数列的性质、基本量的计算．渗透了数学运算素养．使用转化思想得出答
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2020新课改高考数学小题专项训练14
1．已知集合P ={-2，-1，0，1，2，3}，集合Q ={x ∈R
}，则P ∩Q 等于 （A ）{-2，-1，0，1} （B ）{-1
，0，1 }
（C ）{-1，0
，1，2} （D ）{-1，0，1，2，3}
2．“所有的函数都是连续的”的否命题是
（A ）某些函数不是连续的 （B
）所有的函数都不是连续的
（C ）没有函数是连续的 （D ）没有函数不是连续的
|
3．正方体的全面积为24，球O 与正方体的各棱均相切，球O 的体积是
（A ） （B ） （C ） （D ） 4． 已知圆O 的半径为，圆周上两点A 、B 与原点O 恰构成正三角形，向量的数量积是
（A ） （B （C ） （D ）5．已知空间中两条不重合的直线a 和b 互相垂直,它们在同一平面α上的射影不可能．．．是下面哪一种情况
（A ）两条平行直线 （B ）一条直线及这条直线外一点
（C ）两条相交成45°角的直线 （D ）两个点
6．函数y =sinx 的图象按向量a =（，2）平移后与函数g （x ）的图象重合，则 !
g （x ）的函数表达式是
（A ）cosx -2 （B ）-cosx -2 （C ）cosx +2 （D ）-cosx +2
7．将等差数列1，4，7，10，…中的各项，按如下方式分组（按原来的次序，每组中的项数成等比数列）：1，（4，7），（10，13，16，19），（22，25，28，31，34，37，40，43），…．则2005在第几组中
（A ）第9组 （B ）第10组 （C ）第11组 （D ）第12组
8．动点P 在抛物线y 2=-6x 上运动,定点A (0,1),线段PA 中点的轨迹方程是．
（A ）(2y +1)2=-12x （B ）(2y +1)2=12x
（C ）(2y -1)2=-12x （D ）(2y -1)2=12x
9．在一次数学实验中, 运用图形计算器采集到如下一组数据．
2π
<43
ππ34333→
-→-OB OA 与212
332π-
（A ）y =a +b X （B ）y =a +bx （C ）y =a +log b x （D ）y =a +b /x
…
10．方程表示的曲线所围成区域的面积是 (A )6 (B )12 (C )24 (D )48
11． 已知
； = ． 12．将边长为1的正三角形ABC 沿高AD 折叠成直二面角B -AD -C ，则直线AC 与直线AB 所成角的余弦值是
13．双曲线的焦点是F 1、F 2，P 是双曲线上一点，P 到双曲线两条准线的距离之比为5︰3，∠F 1PF 2=120°，则双曲线的离心率是
14．已知函数f
(x )= 则f -1(
)= ；f (x )的反函数 .
答案：
BADCD DBCAC
或 ) 14. -1；
143x
y
+=tan()tan 3π
αα-==则22sin cos 3cos 2sin αααα
-2log (2),0;,0.1
x x x x x +>⎧⎪⎨≤⎪-⎩12122,1;(),0 1.1
x x f x x x x -⎧->⎪=⎨≤<⎪-⎩。