初中数学一题多变一题多解(六)

一题多解，一题多变（六）
中考几何母题的一题多解(多变)
一、三角形一题多解
如图：已知AB=AC，E是AC延长线上一点，且有BF=CE，连接FE交BC
于D。

求证：FD=DE。

证法一
证明：过E点作EM ∥AB交DC延长线于M点，则∠M=∠B，又因为∠
ACB=∠B
∠ACB=∠ECM=∠M，所以CE=EM，又EC=BF 从而EM=BF，
∠BFD=∠DEM
则△DBF≌△DME，故FD=DE；
证法二
证明：过E点作EM ∥AB交DC延长线于M点，则∠M=∠B，又
因为∠ACB=∠B
∠ACB=∠ECM=∠M，所以CE=EM，又EC=BF 从而EM=BF，
∠BFD=∠DEM
则△DBF≌△DME，故 FD=DE；
证法二
证明：过F点作FM∥AE，交BD于点M，
则∠1=∠2 = ∠B 所以BF=FM，
又∠4=∠3 ∠5=∠E
所以△DMF≌△DCE，故 FD=DE。

二、平行四边形一题多解
如图4，平行四边形ABCD中AD=2AB,E、F在直线AB上，
且AE=BF=AB,求证：DF⊥CE.
证法一、易知ΔADF、ΔBCE为等腰三角形，故∠1=∠F, ∠2=∠E,又CD∥AB,故∠3=∠F, ∠4=∠E,从而∠1=∠3，∠2=∠4，而∠1+∠2+∠3+∠4=1800，故∠3+∠4=900，表明∠COD=900，所以DF⊥CE。

证法二、如图5，连接MN，则CD=BF,且CD∥BF，故BFCD为平行四边形，则CN=BN=AB,同理,DM=MA=AB,故CN=DM且CN∥
DM，得平行四边形CDMN，易见CD=DM，故CDMN也是菱形，根
据菱形的对角线互相垂直，结论成立。

证法三、如图6，连接BM、AN, 可证ΔAFN中，BN=BF=BA,则ΔAFN为直角三角形，即DF⊥AN,利用中位线定理可知AN∥CE，故DF
⊥CE。

证法四、如图7，作DG∥CE交AE延长线于G，则EG=CD=AB=AE,
故AD=AG=AF,从而DF⊥DG,而DGCE,故DF⊥CE
四\一题多解、多变《四边形面积》
1.如图所示，一个长为a，宽为b的矩形，两个阴影
都是长为c的矩形与平行四边形，则阴影部分面
积是多少。

解法一
将大矩形进行平移将平行四边形
进行转换。

(a-c)(b-c)
解法二
重叠面积为c 的平方，大矩形面积为ab，小矩形为ac，平行四边形为bc，阴影面积为ab-ac-bc+cc=（a-c ）（b-c）
2如图所示一个长为500dm宽为300dm的花坛要修两条过道，两条过道一样宽，花坛面积1340平方米，求过道宽。

方法一：将大矩形进行平移将平行四边形进行转换。

解：1500-80x=1340
X=2
过道宽两米。

方法二：
解：（300-x）（500-x）=1340
X=2
过道宽两米
五\正方形一题多变
1已知正方形ABCD ，∠EOF=90`，O是对角线交点，
点E F 在BC ，CD上，求证EO=FO
证明四边形ABCD是正方形BO=CF ∠BOC=-90 ∠OBE=∠COF 又∠EOF=90`
l
k
m
o
F
E
D
C A
图2
∠BOE=∠COF △BOE≌△COF EO=FO
变式一
已知正方形ABCD ，∠EOF=90` ，O是对角线交点，点E F 在BC ，CD边延长线上，求证EO=FO
证明四边形ABCD 是正方形BO=CF ∠BOC=-90 ∠OBE=∠COF 又∠EOF=90`
∠BOE=∠COF △BOE≌△COF EO=FO
变式二
已知正方形ABCD，O 是AC任意一点∠BOF=90`点E 在BC边上，求证BO=EO
过O作ON，OM ⊥AB，DC
四边形ABCD是正方形
∠OCM=45
又ON，OM ⊥AB，DC
MO=CM=NB
∠ONB=∠OMC
MOE=∠NBO
△MOE≌△NBO
BO=EO
F E
O
D
C
B
A
O
N M
E
C
B
A
∠
参考答案
A
E
C B
F
D
A
E
C 证法一 ∵A
D ∥BC
∴将AB 平移到DC 由平行四边形ABDE ∴AB ∥=DE ∵DG ∥=AB ∴DG=ED
∵AD ∥BC, 即DF ∥BC ∴EF=FC
如图：已知梯形ABCD ，AD ∥BC,，以AB 、BD 为边，作平行四边形ABDE ，AD 的延长线交CE 于F 。

求证：EF=FC.
六 一题多解练习
G
B F
D
A
E
C
O
B F
D
A
E
C
证法二
连接BE 交AD 于O ∵平行四边形ABDE ∴OB=OE
∵AD ∥BC, 即OF ∥BC 中位线 ∴EF=CF
证法三
AD ∥BC ，即AF ∥BC
将BD 平移到CG 的位置， 并交AF 延长线于G 。

可证△AEF ≌△GCF ∴FE=FC。