安徽省芜湖一中2019年自主招生数学试卷

芜湖一中2019年高一自主招生考试

数 学 试 卷

（满分：150分）

一、选择题（本大题共7个小题，每小题6分，共42分，每小题只有一个选项正确，把正确的选项序

号填在答题栏中）

1．当4x =时，

2

2

23234312

4312

x x x x x x -+-

-+++的值为（ ）

A ．1

B ．3

C ． 2

D ． 3

2．在一个几何体的三视图中，正视图和俯视图如图所示，则相应的侧视图可以为（ ）

3．设方程()()0x a x b x ---=的两根为,c d ，则方程()()0x c x d x --+=的根为（ ） A ．,a b --

B ．,a b

C ．,c d --

D ．,c d

4．若,x y 均为自然数，则关于,x y 的方程[][]2.019 5.1324x y +=的解(,)x y 共有（ ）个 （[]x 表示不超过实数x 的最大整数）

A ．1

B ．2

C ．3

D ． 4

5．下图来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形．此图由三个半圆构成，三个半圆的直径分别为直角三角形ABC 的斜边BC ，直角边,AB AC . ABC ∆的三边所围成的区域记为Ⅰ，黑色部分记为Ⅱ，其余部分记为Ⅲ．设Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ的面积分别记为123,,S S S ,则（ ） A ．12S S =

B ．13S S =

C ．23S S =

D ．23S S S =+

第5题图

y = k /x A

C

O

B y

第6题图

6．如图，反比例函数(0)k

y x x

=

>的图像过面积等于8的长方形OABC 的对角线OB 的中点，P 为函数图像上任意一点.则OP 的最小值为（ ）

A ．1

B

C

D ． 2

7．已知,M N 为等腰Rt ABC ∆斜边BC

上的两点，AB AC ==3BM =，45MAN ︒

∠=.则

NC =（ ）

A ．3

B ．

72

C ．4

D ．

92

二、填空题（本大题共7个小题，每小题7分，共49分） 8．关于的x 方程45x -=的实数解为 .

9．经过某十字路口的汽车，可能直行，也可能向左转或向右转.如果这三种可能性大小相同，则三辆汽车经过这个十字路口时，至少有两辆车向左转的概率为 .

10．某教师出了一份三道题的测试卷，每道题1分，全班得3分、2分、1分和0分的学生所占比例分

别为30%、50%、10%和10%，则全班学生的平均分为 分. 11．已知实数,x y 满足

42113x x -=，42

322y y +=，则44

14y x

+的值为 . 12．如图，圆O 的内接四边形ABCD 的顶点C 关于BD 的对称点恰为ABD ∆的内心I ，3BD =.则圆O 的

半径为 .

13．已知12,,,n x x x ⋅⋅⋅中(1,2,,)i x i n =⋅⋅⋅的数值只能取-201、、中的一个，

且满足1217n x x x ++⋅⋅⋅+=-，2221237n x x x ++⋅⋅⋅+=.则333212()n x x x ++⋅⋅⋅+的值为 .

14．对于任意的正整数M ，记!(1)21M M M =⋅-⋅⋅⋅⋅，n

n x

y 表示n x y ，且+1\n x y .则使得

5(98!99!100!)n ++成立的最大整数n 为 .

三、解答题（本大题共5个小题，计59分，写出必要的推算或演算步骤） 15．（本小题8分）

解下列方程（组） （1）3

3

(2019)(2018)1x x -+-=；

（2）22

2

2

2

2

93,21993,21993.219x y

x

y z y

z x z ⎧=⎪+⎪⎪=⎨+⎪⎪=⎪

+⎩

16．（本小题12分）

如图所示，已知直线2y kx =+与x 轴的正半轴交于点(,0)A t ，与y 轴交于点B ，抛物线

2y x bx c =-++经过点A 与点B ，点C 在第三象限内，且AC AB ⊥，tan =2ABC ∠.

（1）当1t =时，求抛物线的表达式；

（2）设点C 坐标为(,)x y ，试用t 分别表示,x y ； （3）记Z xy =，求Z 的最大值. 17．（本小题13分）

已知AD 为锐角ABC ∆的高，G 为AC 中点，DE AB ⊥于点E ，

延长ED 至F ，使得GF GD =. （1）证明：AED AFC ∆∆； （2）证明：2

2

AE CF BE AF ⋅=⋅；

（3）若6,7,8AB BC CA ===，求四边形ACFD 的面积.

x

B

C