微分中值定理推广及其应用

微分中值定理推广及其应用

目录

一、引言 (2)

二、微分中值定理及其证明 (2)

2.1罗尔定理 (3)

2.2拉格朗日中值定理 (3)

三、微分中值定理的应用 (4)

3.1证明方程根的存在性 (4)

3.2证明不等式 (5)

3.3 利用微分中值定理求极限及证明相关问题 (6)

3.4求极限 (7)

3.5用来证明函数恒为常数 (7)

3.6中值点存在性的应用 (8)

3.6.1一个中值点的情形 (8)

3.6.2.2 泰勒公式法 (10)

四小结： (11)

致谢 (12)

参考文献： (12)

微分中值定理推广及其应用

【摘要】微分中值定理是数学分析中非常重要的基本定理, 它是沟通函数与其导数之间关系的桥梁. 本文主要对罗尔中值定理的条件做一些适当的改变，能得出如下一些结论，从而扩大罗尔定理的应用范围。从拉格朗日中值定理的几何意义出发，通过几何直观，把数学分析空间解析几何知识有机的结合起来，改变传统的构造函数差的方法，通过构造行列式函数得出定理的新方法。通过对这两个定理进行分析，并加以推广，结合几个常见的实例论述了罗尔中值定理、拉格朗日中值定理。在证明不等式，求函数极限等方面的应用，从而加深对两个定理的理解。

【关键词】罗尔定理拉格朗日中值定理推广应用

一、引言

微分中值定理是微分学的基本定理，在数学分析中占有重要的地位，是研究函数在某个区间的整体性质的有力工具。其中，拉格朗日定理是核心，罗尔定理是其特殊情况，柯西定理是其推广。通过查阅大量资料文献和网上查阅，我找到了很多相关资料。

本文以案例形式介绍了微分中值定理在数学分析中的应用，论述了微分中值定理在求极限、证明不等式以及泰勒公式和中值点存在性等几个方面的应用研究比较细致和深入。其中证明某区间上满足一定条件的中值点的存在性是微分中值定理非常重要的应用，也是在历年考研试题中经常出现的题型之一。利用中值定理证明中值点的存在性，要兼顾条件与结论，综合分析，寻求证明思路。充分理解微分学的相关知识，掌握微分中值定理的内容，并会熟练的应用。

使用微分中值定理证题，方法多种多样，技巧性强。本文对这一部分的典型例题进行整理归纳总结，总结出一套符合初学者认知规律的解题方法是非常必要的，这也是进一步学习数学分析的基础。

二、微分中值定理及其证明

为了应用导数的概念和运算来研究函数与实际问题，需要一个联系局部与整体的工具，这就是微分中值定理.微分学是数学分析的重要组成部分, 微分中值定理作为微分学的核心, 是沟通导数和函数值之间的桥梁.罗尔中值定理、拉格朗

日中值定理、柯西中值定理、泰勒公式是微分学的基本定理, 统称为微分学的中值定理, 这四个定理作为微分学的基本定理, 是研究函数形态的有力工具.

2.1罗尔定理

若函数f 满足如下条件：

（ⅰ）f 在闭区间[]b a ,上连续；

（ⅱ）f 在开区间()b a ,内可导；

（ⅲ）()()b f a f =,

则在()b a ,内至少存在一点ξ使得()0'=ξf

罗尔定理的几何意义是说：在每一点可导的一段连续曲线上，如果曲线的两端点高度相等，则至少存在一条切线.

证明：因为f 在[]b a ,上连续，所以有最大值M 与m 表示，现分两种情况来讨论：

（1）若M m =,则f 在[]b a ,上必为常数，从而结论显然成立.

（2）若M m <,则因()()b f a f =使得最大值M 与最小值m 至少有一个在()b a ,内某点ξ处取得，从而ξ是f 的极值点，由条件f 在开区间()b a ,内可导，f 在点ξ处可导，故由费马定理推知()0'=ξf

注：定理中的三个条件缺少任何一个，结论将不一定成立.

先讲罗尔定理,并由此推出微分学的两个基本定理—拉格朗日中值定理和柯西中值定理.

2.2拉格朗日中值定理

若函数f 满足如下条件：

（ⅰ）f 在闭区间[]b a ,上连续；

（ⅱ）f 在开区间()b a ,内可导； 则在()b a ,内至少存在一点ξ使得()()()a

b a f b f f --=

ξ' （1） 显然，特别当()()b f a f =时为罗尔定理。 这表明罗尔定理是拉格朗日的定理的一个特殊情形.

证明：做辅助函数

()()()()()()a x a

b a f b f b f x f x F -----=显然，()()b F a F =(=0),且F 在[]b a ,上满足

罗尔定理的另两个条件，故存在),(b a ∈ξ使()()-

=ξξ''f F ()()0=--a

b a f b f ，移项既得到所要证明的（1）式.

拉格朗日中值定理的几何意义是：在满足定理条件的曲线()x f y =上至少存在一点()()ξξf p ,，该曲线在该点处的切线平行于曲线两端点的连线AB ,我们在证明中引入辅助函数()x F ，正是曲线()x f y =与直线

()()()()⎪⎭

⎫ ⎝⎛---+=a x a b a f b f a f y AB . 三、微分中值定理的应用

3.1证明方程根的存在性

把要证明的方程转化为()0=x f 的形式.对方程()0=x f 用下述方法：

（1） 根的存在定理若函数()x f 在区间[]b a ,上连续，且()()0<⋅b f a f ，则至少

存在一点()b a ,∈ξ，()0=ξf .

（2） 若函数()x f 的原函数()x F 在[]b a ,上满足罗尔定理的条件，则()x f 在()

b a ,内至少有一个零值点.

（3） 若函数()x f 的原函数()x F 在0x 处导数也存在，由费马定理知()00'=x F 即

()00=x f . （4） 若函数()x f 的原函数()x F 在0x 处导数也存在，由费马定理知()00'=x F 即

()00=x f .

（5） 在证明方程根的存在性的过程中，经常用到拉格朗日定理，积分中值定理，

有时也用到柯西中值定理来证明满足方程的存在性所需的条件，然后利用上的方法来证明方程根的存在性.

例 若()f x 在[],a b 上连续，在(),a b 内可导()0a >，证明在(),a b 内方程

()()()()222x f b f a b a f x '-=-⎡⎤⎣⎦

至少存在一根。 分析：由于题目是要求方程()()()()222x f b f a b a f x '-=-⎡⎤⎣⎦是否有根存在，所以

可以先对方程进行变形，把方程变为()()()()2220x f b f a b a f x '---=⎡⎤⎣⎦。那么方

程()()()()222x f b f a b a f x '-=-⎡⎤⎣⎦

有根的话，则原方程也有根。变形之后的方程有()f x '存在，所以可以利用不定积分把方程()()()()2220x f b f a b a f x '---=⎡⎤⎣⎦

，转变为()()()()2220f b f a x b a f x ---=⎡⎤⎣⎦。

现在我们返回来看题目，由题目中我