微分中值定理推广及其应用
微分中值定理的推广及应用
微分中值定理的推广及应用微分中值定理是微积分中的重要定理之一，它在分析函数在区间内的平均速度和瞬时速率之间的关系上展示了重要的性质。
在本文中，我们将探讨微分中值定理的推广及其在实际问题中的应用。
首先，我们回顾一下微分中值定理的基本形式。
设函数f(x)在闭区间[a, b]上连续，在开区间(a, b)内可导，那么存在一个点c ∈ (a, b)，使得f'(c) = (f(b) - f(a))/(b - a)。
这个定理说明了在[a, b]上函数的瞬时变化率在某一点上与其平均变化率相等。
在进一步研究中，我们可以将微分中值定理推广到更一般的情形。
例如，当函数f(x)在闭区间[a, b]上多次可导时，我们可以得到多次求导的结果。
具体而言，对于任意非负整数n，存在点c ∈ (a, b)，使得f^(n)(c) = (f(b) - f(a))/(b - a)^(n)，其中f^(n)(c)表示f(x)的n阶导数。
推广定理的证明是基于数学归纳法的。
首先，对于n=1的情况，即一阶导数，我们可以直接应用微分中值定理的基本形式进行证明。
接下来，假设对于k=1,2,...,n-1，定理成立。
我们将其应用于f'(x)，得到存在一个点d ∈ (a, b)，使得f''(d) = (f'(b) - f'(a))/(b - a)。
然后，我们可以使用拉格朗日中值定理来得到f''(d) = f^(2)(c)。
结合两个等式，我们可以得到f^(2)(c) = (f'(b) - f'(a))/(b - a)。
通过类似的推理，我们可以证明对于更高阶导数的情况也成立。
了解了微分中值定理的推广形式后，我们将进一步探讨其在实际问题中的应用。
微分中值定理常常被用于研究函数在某一区间的极值点及函数图像的凸凹性。
首先，我们考虑函数的极值点。
根据微分中值定理，如果函数在某一区间[a, b]上可导，那么在(a, b)内存在一个点c，使得f'(c) = 0。
三大微分中值定理及其推广形式和应用
三大微分中值定理及其推广形式和应用
丁亚红
南京师范大学数学科学学院，南京（210046）
E-mail: dyahong@
摘 要：三大微分中值定理既有区别，又紧密相联。在这三大定理中，Rolle 定理是基础， Lagrange 中值定理是关键。本文介绍了一阶、高阶形式的中值定理及其应用。给出了一阶形 式的微分中值定理的相互证明。在高阶情形中，用高阶 Lagrange 中值定理证明了高阶 Cauchy 中值定理。其应用方面为:判断函数方程根的存在性,求极限,证明不等式,证明单调性。 关键词：中值定理，推广，应用
(1)
g (n) (ξ )
1
1L1
x0
x1 L xn
x02
x12
L
x
2 n
L LLL
x n−1 0
x n−1 1
L
x n−1 n
g(x0 ) g(x1 ) L g(xn )
3.3 用高阶 Lagrange 中值定理证明高阶 Cauchy 中值定理
在一阶形式中，我们可以运用 Lagrange 中值定理证明 Cauchy 中值定理。这里，我们将 运用高阶 Lagrange 中值定理来证明高阶 Cauchy 中值定理。
λi (x j )
= δ ij
=
⎧1,i = ⎩⎨0,i ≠
j; j.
n
∑ 则存在ξ ∈ (a,b), 使得， f (n) (ξ ) = f (xi )λ(in) (ξ ).
i=0
证 作辅助函数
n
F (x) = f (x) − ∑ f (xi )λi (x),
i=0
故
F (xi ) = 0,i = 0,1,L, n 反复运用罗尔定理，可得，存在 ξ ∈ (a, b), 使得
微分中值定理及其应用
提示：对出现若干阶导数的界，估计另外某个导数 的界的问题，往往用Taylor公式。
证明：由Taylor公式有：
f (x0 )
f (x)
f
' (x)( x0
x)
1 2
f
" ( )( x0
x)2
取x0 b, 有
f (b)
f (x)
f
' (x)(b x)
同理，f (x)在[c,b]上连续，(c,b)内二阶可导，
由Lagrange中值定理知，存在点2 (c,b),使得
f ' (2 )
f (b) f (c) bc
而点A(a, f (a))、B(b, f (b))、C(c, f (c))共线，
所以：f (c) f (a) f (b) f (c)，
ca
bc
即f ' (1 ) f ' (2 )。
又f ' (x)在[1,2 ]上连续，在(1,2 )内可导， 由Rolle定理知， (1,2 ) (a,b),使得f‘' ( ) 0。
此题可以推广为： 设f (x)在[a,b]上连续，(a,b)内n 1阶可导，连接点 A(a, f (a))和B(b, f (b))的直线交曲线y f (x)于n个 点Ci (ci , f (ci ))(a c1 c2 cn b)。
1 2
f
" (1 )(b x)2
(1)
取x0 a, 有
f (a)
f (x)
f
' (x)(a x)
1 2
f
微分中值定理及其应用(大学毕业论文)
毕业论文(设计)题目名称：微分中值定理的推广及应用题目类型：理论研究型学生姓名：邓奇峰院(系)：信息与数学学院专业班级：数学10903班指导教师：熊骏辅导教师：熊骏时间：2012年12月至2013年6月目录毕业设计任务书 (I)开题报告 ....................................................................................................................................... I I 指导老师审查意见. (III)评阅老师评语 (IV)答辩会议记录 (V)中文摘要 (VI)外文摘要 .................................................................................................................................... V II1 引言 (1)2 题目来源 (1)3 研究目的和意义 (1)4 国内外现状和发展趋势与研究的主攻方向 (1)5 微分中值定理的发展过程 (2)6 微分中值定理的基本内容 (3)6.1 罗尔(Rolle)中值定理 (3)6.2 拉格朗日(Lagrange)中值定理 (4)6.3 柯西（Cauchy）中值定理 (4)6.4 泰勒（Taylor）定理 (4)7 微分中值定理之间的联系 (5)8 微分中值定理的应用 (5)8.1 根的存在性证明 (6)8.2 利用微分中值定理求极限 (8)8.3 利用微分中值定理证明函数的连续性 (10)8.4 利用微分中值定理解决含高阶导数的中值问题 (10)8.5 利用微分中值定理求近似值 (10)8.6 利用微分中值定理解决导数估值问题 (10)8.7 利用微分中值定理证明不等式 (11)9 微分中值定理的推广 (14)9.1 微分中值定理的推广定理 (15)9.2 微分中值定理的推广定理的应用 (17)参考文献 (18)致谢 (19)微分中值定理的推广及应用学生：邓奇峰，信息与数学学院指导老师：熊骏，信息与数学学院【摘要】微分中值定理，是微积分的基本定理，是沟通函数与其导数之间的桥梁，是应用导数的局部性研究函数整体性的重要数学工具，在微积分中起着极其重要的作用。
微分中值定理的推广及应用
微分中值定理的推广及应用微分中值定理是数学分析中一个重要的定理，它是关于微分学中函数的变化性的定理。
这个定理在数学家们探索函数几何性质时，尤其是推广应用中起到了重要的作用。
本文旨在介绍微分中值定理的推广及应用。
2分中值定理微分中值定理是在变分学中最为经典的定理之一。
它往往用来说明函数的连续性、变化率及函数的驻点有关。
它的正式定义如下：定义：设f(x)为连续函数，在区间[a,b]上，若存在一点θ∈(a,b)，使得f′(θ)与[f(a)-f(b)]/[a-b]相等，则称θ为函数f(x)在区间[a,b]上的中值点，令f′(θ)=[f(a)-f(b)]/[a-b]，则称为微分中值定理。
3广微分中值定理在原始定义的基础上，可以推广出一系列类似的定理。
3.1阶中值定理高阶中值定理是一种推广微分中值定理，它引入了高阶导数，通过某些极值点解出高阶导数等于函数在该点处的前后变化值的差值。
定义：设f(x)具有N阶可导的连续函数，在区间[a,b]上，若存在一点θ∈(a,b)，使得f^(N)(θ)与[f^(N-1)(b)-f^(N-1)(a)]/[b-a]相等，则称θ为函数f(x)在区间[a,b]上的N阶中值点，令f^(N)(θ)=[f^(N-1)(b)-f^(N-1)(a)]/[b-a]，则称为高阶中值定理。
3.2展中值定理拓展中值定理是一种推广微分中值定理，它与高阶中值定理的不同之处在于，它把对一个连续函数的某一段求导之后得到的极值点，当做求函数本身的极值点，从而拓展出新的中值定理。
定义：设f(x)是一个连续函数，且f′(x)在区间[a,b]上连续可导，若存在一点θ∈(a,b)，使得f′(θ)与[f′(b)-f′(a)]/[b-a]相等，则称θ为函数f(x)在区间[a,b]上的拓展中值点，令f′(θ)=[f′(b)-f′(a)]/[b-a]，则称为拓展中值定理。
4用微分中值定理及其推广的定理在微积分应用中起到了重要作用，常用于函数的极值求解、区间求值等方面。
微分中值定理的推广及应用
微分中值定理的推广及应用微分中值定理（DifferentialMidpointTheorem）是一种实用的定理，它推广了微分学中最基本定理之一，即微分中值定理。
微分中值定理，通常简称为中值定理，是在微分学中常用的关于连续函数的一般性定理，由法国数学家贝尔贡威尔（Joseph Louis Lagrange）在1797年首次提出，指出当连续函数在某一区间上有一个局部极小值点时，则存在一个点，其函数值与该点的一阶偏导数值相等，称为中值定理。
微分中值定理的推广不仅仅包括将原来的一阶微分中值定理扩展到二阶及多阶，而且可以推广到改变变量的维数上。
微分中值定理推广后，不仅可以应用于一阶函数中，而且可以应用于多元函数中。
例如，对于n元复变函数，当若干变量有极小值时，可以有一组变量的值使得该多元函数的梯度为零。
微分中值定理的应用有很多，首先在函数估计中有着广泛的应用，可以用来求出一个函数在某点最低的值，也可以求出函数的极值点，另外，微分中值定理也可以用于求解线性方程组，可以用来求解非线性方程组，以及在数值分析中也有着广泛的应用，例如求解椭圆方程。
微分中值定理有着极大的应用价值，由它可以推广得出很多新的定理，并且有不少新的应用空间。
而推广微分中值定理也为解决复杂问题提供了另一种思路。
总之，微分中值定理是一个基础性的定理，其应用价值极大，是一个值得研究的定理。
微分中值定理也是生物学和化学中应用最多的定理之一，在生物学中可用来研究一种特定的分子的吸光度变化。
而在化学中，微分中值定理可以推导出加成定律，其中用来求解溶液的浓度，当溶液中的活性分子在不同的活性场中存在不同的浓度时，可以采用微分中值定理来求解溶液的浓度变化。
总之，微分中值定理是一个非常重要的定理，它推广了微分学中最基本的定理，并且具有多种应用，它的应用不仅仅局限于数学理论，而且可以广泛应用于现实中的各个领域。
因此，微分中值定理对社会和人类的科学技术发展有巨大的贡献。
最新-微分中值定理的证明、推广以及应用 精品
微分中值定理的证明、推广以及应用篇一：微分中值定理的证明及应用微分中值定理的证明及应用摘要：文章首先介绍了微分中值定理证明时的一种规律性简明方法，即通过构造辅助函数来达到罗尔定理的条件以便利用罗尔定理来证明其他微分中值定理，并且就用这种方法证明了拉格朗日中值定理和柯西中值定理。
然后分类列举微分中值定理在证明等式、不等式、求极限以及在讨论方程根的存在性方面的应用，而且微分中值定理即罗尔中值定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理、泰勒中值定理在不同的解题应用方面是各有优劣的，又是相互互补渗透的，因此我们在解题时也要学会综合运用它们。
关键词：罗尔定理拉格朗日中值定理柯西中值定理辅助函数我们知道微分中值定理是整个微分学的理论基础，并且它在数学分析中也占有重要地位作用，它也是连接函数与导数的纽带与桥梁，而我们知道函数在某一点的导数是一种局部性质。
在实际研究中我们有时需要从函数的整体出发考虑其全局性质，因而正式微分中值定理可以解决这种由局部到全局或者有全局到局部的问题。
笔者在学习中借鉴和总结了微分中值定理证明时的一种规律性简明方法，并且简单地讨论了微分中值定理的各种应用。
1微分中值定理的证明11对中值定理[1]的简单证明分析：拉格朗日中值定理的证明要用到罗尔定理，但是定理所给出的已知条件不能够满足罗尔定理条件中的()?()故此我们需要构造一个新的函数，不妨记为()使它满足罗尔定理的全部条件，为此设?()?()?则()?()?(?)即()??()?（1）由（1）可构造新函数()?()?,有题设可知()在[,]上连续，在（,）内可导，且()?(),因此()满足罗尔定理的全部条件。
所以函数()?()?,即我们要构造的函数。
证明：构造辅助函数()?()?,其中?()?()?根据已知条件和连续函数的性质，我们可以知道()在闭区间[,]上是连续的，在开区间（,）内是可导的，并且还有()?(),所以我们可以根据罗尔定理就可以得到函数()在(,)内至少存在一点?,使得?(?)??(?)??0即?(?)?()?()?,故证得()?()??(?)(?)12对中值定理[1]的简单证明分析：若用定理证明这个定理，需要构造一个辅助函数并且使它满足定理的条件，不妨设?()?()()?(),可变形为()?()?()?()（2）由（2）可构造辅助函数()?()?(),有题设可知()在[,]上连续，(,)内可导且()?(),因而()满足定理的条件，即()?()?()为所要构造的函数。
微分中值定理的推广及其应用
n- 1
n- 1
f (x )
f ( a1 )
f ( a2 )
… f ( an )
1
a2 a2 a2
n- 1
( 3) 1
an an
2
1
x D (f ) D (g ) x x
2
1
a1 a1 a1
n- 1
… … … …
在 ( 3) 式中如果将 a, b 换成 [ a, b ] 上的任意两 点 x 1 , x 2 , 即得凸函数理论中的如下结论: 推论 设 f ( x ) ∈ С [ a , b ], 在 ( a , b) 上二阶导 数存在, 则 f ( x ) 是下凸函数的充要条件是 f " ( x ) ≥ 0。 3) 在定理 2 中, 当 n = 3 时, 取 a 1 = a , a 2 = b,
2f (
a+ b
这是二阶微分形式的 C auchy 中值定理。 若令 c = ta + ( 1 - t) b ( 0 < t < 1) , 则 ( 4) 式 化为
tf ( a ) + ( 1 tg ( a ) + ( 1 ) f " (Ν = ) g " (Ν
1 因此得 m ax f ( x ) ≤ ( b - a) 2 m ax f " ( x ) a≤x ≤b a≤x ≤b 8 ( 例 2 设 f ∈ C [ a, b ], f " 在 a, b) 内存在, 连 结点 A ( a, f ( a ) ) 与 B ( b, f ( b) ) 的直线与曲线 y = f ( x ) 交于 C ( c, f ( c) ) ( a < c < b) 。 求证: 存在 Ν∈ ( a , b) 使 f " ( Ν ) = 0。
多个函数多介值的微分中值定理及其应用
多个函数多介值的微分中值定理及其应用1. 引言1.1 多个函数多介值的微分中值定理及其应用多个函数多介值的微分中值定理是微积分中的重要定理之一，它是多元函数微分中值定理的推广和应用。
在多个函数多介值的情况下，该定理可以帮助我们更准确地分析函数在不同点的变化情况。
我们需要了解多元函数的微分中值定理。
该定理告诉我们，如果一个函数在某个区域内是连续的且可微的，那么在这个区域内存在一点，该点的梯度等于函数在这个区域内平均变化率的值。
这个定理对于研究函数的变化趋势和最值点是非常有帮助的。
我们将探讨多个函数多介值的微分中值定理在实际问题中的应用。
这包括在经济学、物理学、工程学等领域中的具体案例分析，以及如何利用该定理来解决实际问题中的挑战。
多个函数多介值的微分中值定理及其应用是微积分中的重要内容，通过深入研究和实践，我们可以更好地理解和应用这一定理。
希望通过本文的介绍，读者可以对该定理有更深入的认识和理解。
2. 正文2.1 多元函数的微分中值定理多元函数的微分中值定理是微积分中的重要定理之一，它是一种关于多元函数的函数值与导数之间的关系的定理。
在单变量函数的微积分中，我们熟悉的是微分中值定理，它表达了函数在某个区间内的平均增长率与瞬时增长率相等的性质。
而对于多元函数，微分中值定理的表述则需要引入偏导数的概念。
多元函数的微分中值定理可以描述为：设函数f(x,y)在闭区域D上连续且在开区域D内可微，且对于P(x_1,y_1)和Q(x_2,y_2)属于D，则存在一点C(x_0,y_0)属于线段PQ，使得f(x_2,y_2) - f(x_1,y_1) = \frac{\partial f}{\partial x}(x_0,y_0)(x_2 - x_1) + \frac{\partial f}{\partial y}(x_0,y_0)(y_2 - y_1)其中\frac{\partial f}{\partial x}和\frac{\partial f}{\partial y}分别表示f(x,y)对x和y的偏导数。
多个函数多介值的微分中值定理及其应用
多个函数多介值的微分中值定理及其应用1. 引言1.1 简介微分中值定理是微积分中的重要定理之一，它可以帮助我们理解函数在某个区间内的平均变化率及其与函数在这个区间内的某一点处的切线斜率之间的关系。
多介值的微分中值定理是对单变量函数微分中值定理的推广，它考虑了多个函数在多个介值点的情况，更加贴近实际问题的需求。
本文将首先介绍拉格朗日中值定理和柯西中值定理，这两个定理是微分中值定理的两个重要特例。
然后我们将探讨多个函数的微分中值定理以及多介值的微分中值定理，解释其在实际问题中的应用。
最后通过具体的例子，我们将展示这些定理是如何帮助我们求解问题，并验证其在实际中的可靠性和有效性。
通过本文的介绍，读者将更加深入地了解微分中值定理的理论基础和应用价值，同时也能够对多个函数多介值的微分中值定理有一个全面的认识。
在未来的研究中，我们可以进一步探讨多介值的微分中值定理在更加复杂情况下的应用，为实际问题的解决提供更加有力的理论支持。
1.2 中值定理概述中值定理是微积分中的重要定理之一，它主要用于描述函数在某个区间内平均变化率与瞬时变化率之间的关系。
中值定理的提出为我们研究函数的性质和行为提供了有力的工具。
在微积分中，主要有拉格朗日中值定理、柯西中值定理以及多个函数的微分中值定理等多种形式。
拉格朗日中值定理是最为基础的中值定理之一，它描述了在一个区间内可导函数的平均变化率等于某一点的瞬时变化率。
柯西中值定理则是在更一般的条件下得到的结果，描述了在一个区间内两个函数的平均变化率之间存在一点使得两个函数的导数之比等于这两个函数的值之比。
当涉及到多个函数和多介值时，我们可以推广中值定理为多个函数多介值的微分中值定理。
这一定理提供了多个函数在多个点上的平均变化率与瞬时变化率之间的关系。
在实际应用中，可以通过这一定理求解一些复杂函数的性质，进而帮助我们更好地理解和分析问题。
中值定理为我们研究函数的性质提供了重要的理论支持，同时也为我们解决实际问题提供了有力的工具。
微分中值定理及其应用和推广论文
微分中值定理及其应用和推广王泓元摘要：微分中值定理包括罗尔（Rolle）中值定理、拉格朗日（lagrange）中值定理、柯西（cauchy）中值定理、泰勒（Taylor）定理。
微分中值定理是反映函数与导数之间关系的重要定理，也是微积分学的理论基础，也是沟通导数值与函数值之间的桥梁，它利用导数的局部性质来推断函数的整体性质的工具。
在许多方面它都有着重要的作用，在进行一些公式推导和定理证明中都有很多应用。
关键词：中值定理；推广；应用2. 微分中值定理的基本内容2.1罗尔（Rolle ）中值定理“罗尔定理”这个名字是由德罗比什在1834年给出的。
罗尔在当时提出的这个结论，主要是针对多项式函数的，现在所看到的罗尔定理则一般适用于一般的函数。
而且证明的方法也与罗尔的有所不同，罗尔是利用纯代数的方法加以证明的，而后人则是以分积分的理论证明的[1]。
罗尔在《方程的解法》论著中给出了“在多项式01110=+++--n n n n a x a x a x a 中，至少有一个实根。
”的论断。
正好是定理的一个特例，这也是以上定理称为罗尔定理的原因。
2.1.1罗尔定理 若函数)(x f 满足如下条件：（i ） f 在闭区间[a,b]上连续； （ii ） f 在开区间（a,b ）内可导； （iii ）)()(a f b f =，则在（a,b ）内至少存在一点ξ，使得0)(='ξf .2.1.2罗尔定理的证明证明：由（i ）知)(x f 在[a,b]上连续，故)(x f 在[a,b]上必能有最大值M 和最小值m ，此时，分两种情况来谈论：（1）若M=m ，即)(x f 在[a,b]上得最大值和最小值相等，此时)(x f 为常数，m M x f ==)(，所以0)(='x f ，因此，可知ξ为（a,b ）内任意一点都有0)(='ξf .（2）若M>m ，因为)()(b f a f =，使得最大值M 和最小值m 至少有一个在（a,b ）内某点ξ处取得，从而ξ是f 的极值点，由条件（ii ）f 在点ξ处可导，故由费马定理推知，0)(='ξf .注：⒈ 定理中的三个条件缺少任何一个，结论将不一定成立，即定理中的条件是充分的，但非必要（见图2-2）。
微分中值定理的推广及应用
微分中值定理的推广及应用王艳萍(宿州学院数学与统计学院,安徽宿州234000)摘 要:微分中值定理是一系列中值定理的总称,是研究函数的有力工具.本文利用微分中值定理及闭区间上连续函数的性质,将原有的微分中值定理进行推广,给出新的微分中值定理,并通过实例说明新的中值定理的有效性.关键词:连续函数;可导函数;微分中值定理中图分类号:O172.1文献标识码:A 文章编号:1009-4970(2019)02-0015-020 引言微分中值定理[1-3]是微分学中的重点内容,它是连接导数与导数应用的桥梁,是导数应用的基础.将罗尔定理中条件f (a )=f (b )取消,即得拉格朗日中值定理[1].许多学者已经从不同角度对中值定理进行了推广[4-5].本文主要通过利用拉格朗日中值定理的推广,将另外两个中值定理改变条件得到新的结论,最终得到新的中值定理,并结合实例说明新的中值定理的有效性.1 结论和证明拉格朗日中值定理是最重要的中值定理,对f (a )-f (b )=f′(ξ)(a -b )进行推广:f (a )+f (b )=f′(ξ)(a +b ).该推广是将原结论中的“减法”改成了“加法”,新的结论需对应新的限制条件,最终得到新的中值定理,具体内容如下.定理1[6] 若函数f (x )满足:(1)在闭区间[m ,M ]上连续;(2)在开区间(m ,M )内连续可导;(3)f (0)=0,则至少存在一点ξ∈(m ,M ),使得f (a )+f (b )=f′(ξ)(a +b ).其中m =min(0,a ,b ),M =max(0,a ,b ),m <M ,ab ≥0.注:上述定理中,通过改变条件,需满足f (0)=0,得到结论f (a )+f (b )=f′(ξ)(a +b ),在该结论中若添加特殊条件f (a )=-f (b ),可将罗尔定理推广为新的罗尔定理.定理2 若函数f (x )满足:(1)在闭区间[m ,M ]上连续;(2)在开区间(m ,M )内连续可导;(3)f (a )=-f (b ),且f (0)=0,则至少存在一点ξ∈(m ,M ),使得f′(ξ)=0.其中m =min(0,a ,b ),M =max(0,a ,b ),m <M ,ab ≥0.证明 由条件(1)可得:函数f (x )必有最大值Max,及最小值Min,且最大值与最小值存在两种可能.(1)Max =Min =0,则任取ξ∈(m ,M ),都有f′(ξ)=0;(2)Max >Min,因为f (a )=-f (b ),且f (0)=0,则在(m ,M )内部至少有一点对应取到一个最值,由费马引理[1]知,至少存在一点ξ属于开区间(m ,M ),满足f′(ξ)=0.其中,m =min(0,a ,b ),M =max(0,a ,b ),m <M ,ab ≥0.注:在上述定理2中给出f (0)=0未必成立;当f (0)不为零时,可将定理2的结论做相应改变.具体如下.定理21 若函数f (x )满足:(1)在闭区间[m ,M ]上连续;(2)在开区间(m ,M )内连续可导;(3)f (a )=-f (b ),收稿日期:2019-01-02基金项目:安徽省专业建设项目(2012zy146);宿州学院重点研究项目(2016yzd06);宿州学院教学研究项目(2017jy01) 2019年2月 第38卷第2期 洛阳师范学院学报Journal of Luoyang Normal University Feb.,2019 Vol.38No.2 则至少存在一点ξ∈(m,M),使得f′(ξ)=-2f(0)a+b.其中m=min(0,a,b),M=max(0,a,b),m<M, ab≥0.证明 设F(x)=f(x)-f(0),易知(1)F(x)在闭区间[m,M]上连续;(2)F(x)在开区间(m,M)内连续可导;(3)F(0)=f(0)=0,可得F(x)满足定理1对应新的中值定理,则得出结论在(m,M)内,至少存在一点ξ,满足F(a)+F(b)=F′(ξ)(a+b),即f(a)+f(b)=f′(ξ)(a+b)+2f(0);又因f(a)=-f(b),所以f′(ξ)=-2f(0)a+b.下面用上述同样的思想对柯西中值定理进行推广,改变对应的限制条件,得出相应结论.具体如下.定理3 若函数f(x),F(x)满足(1)在闭区间[m,M]上连续;(2)在开区间(m,M)内连续可导;(3)对任一x∈(m,M),F′(x)≠0,且f(0)=0, F(0)=0,则至少存在一点ξ∈(m,M),使得f′(ξ) F′(ξ)=f(a)+f(b) F(a)+F(b),其中m=min(0,a,b),M=max(0,a,b),m<M, ab≥0.证明 首先易知F(a)+F(b)≠0,这是因为F(x)满足新的定理1,则ξ∈(m,M),F(a)+ F(b)=F′(ξ)(a+b);又因对任一x∈(m,M), F′(x)≠0,且a,b不同时为零(因m<M),所以F(a)+F(b)≠0.构造辅助函数φ(x)=f(x)-f(a)+f(b)F(a)+F(b)F(x),易证φ(x)在闭区间[m,M]上连续,在开区间(m,M)内连续可导,并且满足φ(a)=-φ(b)=f(a)F(b)-f(b)F(a)F(a)+F(b)φ(0)=0.显然φ(x)满足新的定理2,即至少存在一点ξ∈(m,M),满足φ′(ξ)=0.2 应用举例例 若函数f(x):(1)在闭区间[0,b]上连续;(2)在开区间(0,b)内可导,试证:必存在ξ∈(0,b),使得af(a)+bf(b)a+b=f(ξ)+ξf′(ξ).其中b>a>0.证明1 考察函数F(x)=xf(x),F′(x)=f(x)+ xf′(x),显然F(x)满足新的中值定理1的三个条件,即得出结论:至少存在一点ξ∈(0,b),满足F(a)+F(b)=F′(ξ)(a+b),即证.证明2 考察函数g(x)=xf(x)和h(x)=x,显然这两个函数满足新的中值定理3对应的条件,则得出相应结论:至少存在一点ξ∈(0,b),满足g′(ξ)h′(ξ)=af(a)+bf(b)a+b.即证af(a)+bf(b)a+b=f(ξ)+ξf′(ξ).3 结语微分中值定理是微分学中的重要知识点,它主要反映的是导数与函数之间的重要关系,它是连接函数的导数与导数应用的桥梁.本文主要是将微分中值定理中进行推广,通过改变原中值定理的限制条件,得出新的结论,进而得出相应的中值定理,并给出实例验证其有效性,具有研究意义.参考文献[1]同济大学数学系.高等数学(上)[M].7版.北京:高等教育出版社,2014.[2]华东师范大学数学系.数学分析(上)[M].3版.北京:高等教育出版社,2001.[3]复旦大学数学系.数学分析(上)[M].3版.北京:高等教育出版社,2007.[4]王泽铭,郗强,乔志文,占萌.不连续函数微分中值定理的推广及应用[J].山东师范大学学报:自然科学版, 2018,33(2):166-173.[5]陈杰.微积分中值定理及其应用[J].吕梁教育学院学报,2017,34(2):92-94.[6]梁亦孔.一个微分中值定理的初步探讨[J].上海工程技术大学学报,2018,32(3):275-277.[责任编辑 胡廷锋](下转第26页)测,在低信噪比情况下的检测更是难点.传统的基于能量、过零率的方法在静音情况下较好,但抗噪性能不理想.本文使用小波包Bark子带方差进行端点检测,从实验数据来看,能够有效地从淹没在噪声中的信号提取出语音起止点,在信噪比是-2dB的情况下,仍然能达到较好的检测效果.参考文献[1]王威,胡桂明,杨丽,黄东芳,周杨.基于谱减法和均匀子带频带方差法的端点检测[J].电声技术,2016,40(5): 40-43,66.[2]尹晨晓,郭英,张碧锋,刘霞.基于Bark小波的语音端点检测算法[J].计算机工程,2011,37(12):276-278. [3]路青起,白燕燕.基于双门限两级判决的语音端点检测方法[J].电子科技,2012,25(1):13-15,19. [4]王路露,夏旭,冯璐,刘光灿.基于频谱方差和谱减法的语音端点检测新算法[J].计算机工程与应用,2014,50 (8):194-197.[5]田玉静,左红伟,董玉民,魏德生.Bark子带小波包自适应阈值语音去噪方法[J].计算机应用,2010,30(11): 3111-3114.[6]刘华平,李昕,徐柏龄,姜宁.语音信号端点检测方法综述及展望[J].计算机应用研究,2008(8):2278-2283.[7]刘华平,李昕,郑宇,徐柏龄,姜宁.一种改进的自适应子带谱熵语音端点检测方法[J].系统仿真学报,2008 (5):1366-1371.[责任编辑 王保玉]Endpoint Detection Algorithm Based on WaveletPacket Bark Subband VarianceLi Juan(Department of Physics and Electronic Engineering,Yuncheng College,Yuncheng044000,China)Abstract:The traditional endpoint detection method has poor anti⁃noise performance.The dual⁃parameter double⁃threshold endpoint detection based on energy and short⁃time zero⁃crossing rate works well in the mute state, but the performance is degraded in the noisy environment.To solve this problem,the wavelet packet transform is used to decompose the signal into17Bark subbands,and the average variance value is obtained.Then the endpoint detection is performed by the single parameter double threshold method.The experiments show that even in the noise environment of⁃2dB,the method can still obtain better endpoint detection effect.Key words:endpoint detection;wavelet packet;single parameter double threshold detection;Bark subband variance(上接第16页)Generalization and Application of Differential Mean Value TheoremWang Yan⁃ping(School of Mathematics and Statistics,Suzhou College,Suzhou234000,China) Abstract:The differential mean value theorem is a general term for a series of mean value theorems,and a powerful tool for studying ing the differential mean value theorem and the properties of continuous functions on closed intervals,this paper is to generalize the original differential mean value theorem,and to con⁃struct a new differential mean value theorem whose validity is proved by examples.Key words:continuous function;derivable function;differential mean value theorem。
微分中值定理的推广及应用论文精选
微分中值定理的推广及应用摘要本文讲述了微分中值定理的定义及其证明方法,讨论了四大微分中值定理之间的关系,并对中值定理进展了适当的推广,同时具体的分析了微分中值定理在证明等式、不等式以及讨论方程根的存在性等几个方面的应用.关键词微分中值定理；新证法；推广；费马定理；考研；The Generalization of Differential Mean Value Theorem and Its ApplicationAbstractThis paper describes the definition of differential mean value theorem and its proof method, discusses the relationship between the three differential mean value theorem, and the mean value theorem in the proper promotion, at the same time, the specific analysis of the differential mean value theorem inproving the equality, inequality and discuss the root of equation in some aspects.Key words:Differential mean value theorem; new method; generalized Fermat's theorem; examination;目录1 引言……………………………………………………………………………………2 微分中值定理的定义………………………………………………………………3 微分中值定理及其证明方法………………………………………………………3.1费马引理…………………………………………………………………………3.2 罗尔中值定理……………………………………………………………………3.3 拉格朗日中值定理………………………………………………………………3.4 柯西中值定理……………………………………………………………………3.5 泰勒中值定理…………………………………………………………………………4 微分中值定理的推广………………………………………………………………………4.1 罗尔中值定理的推广……………………………………………………………………4.2 拉格朗日中值定理的推广………………………………………………………………4.3 柯西中值定理的推广……………………………………………………………………4.4 泰勒中值定理的推广…………………………………………………………………5 微分中值定理的应用…………………………………………………………………5.1 利用微分中值定理证明等式……………………………………………………5.2 利用微分中值定理证明不等式………………………………………………5.3 讨论方程根的存在性…………………………………………………………5.4. 考研微分中值定理的运用…………………………………………………………完毕语…………………………………………………………………………………… 参考文献………………………………………………………………………………… 致………………………………………………………………………………………1引言在高等数学课程中罗尔定理、拉格朗日中值定理及柯西中值定理等统称为微分中值定理,他们是微分中值学中最根本、最重要的定理为加深学生对微分中值定理的理解.它的出现是一个过程，聚集了众多数学家的研究成果.从费马到柯西不断开展，理论知识也不断完善，成为了人们引进微分学以后，数学研究中的重要工具之一，而且应用也越来越广泛.微分中值定理在函数在某一点的局部性质；函数图象的走向；曲线凹凸性的判断；积分中值定理；级数理论；等式及不等式证明等问题的研究中也发挥着十分重要的作用.因此，微分中值定理已经成为整个微分学根底而又举足轻重的容.2 微分中值定理的定义微分中值定理是一系列中值定理总称，是研究函数的有力工具,其中最重要的容是拉格朗日定理，可以说其他中值定理都是拉格朗日中值定理的特殊情况或推广。
微分中值定理的推广及应用
微分中值定理的推广及应用微分中值定理是微积分中重要的定理之一，它揭示了函数在某个区间内存在某一点的导数与该函数在该区间内的平均变化率之间的关系。
在应用中，微分中值定理常被用于求解函数的极值、判断函数的增减性以及证明其他定理等。
然而，微分中值定理的应用不仅限于一元函数，还可以推广到多元函数的情况。
下面，我们将介绍微分中值定理的推广及其在实际问题中的应用。
首先，让我们回顾一下一元函数的微分中值定理。
设函数f(x)在闭区间[a, b]上连续，在开区间(a, b)内可导。
那么，存在一个点c∈(a, b)，使得f'(c)=[f(b)-f(a)]/(b-a)。
这个定理可以简单地解释为：在函数f(x)在闭区间[a,b]上连续并可导的情况下，至少存在一个点c，它的导数等于函数在该区间上的平均变化率。
在多元函数的情况下，我们需要使用偏导数来推广微分中值定理。
设函数f(x₁, x₂, ..., xₙ)在闭区间[a₁, b₁]×[a₂, b₂]×...×[aₙ, bₙ]上连续且在开区间(a₁, b₁)×(a₂,b₂)×...×(aₙ, bₙ)内的偏导数存在。
那么，至少存在一点(c₁, c₂, ..., cₙ)∈(a₁, b₁)×(a₂, b₂)×...×(aₙ, bₙ)，使得∂f/∂x₁(c₁, c₂, ..., cₙ)(b₁-a₁)+∂f/∂x₂(c₁, c₂, ...,cₙ)(b₂-a₂)+...+∂f/∂xₙ(c₁, c₂, ..., cₙ)(bₙ-aₙ)=f(b₁, b₂, ..., bₙ)-f(a₁, a₂, ..., aₙ)。
这个定理可以理解为：在函数f(x₁, x₂, ..., xₙ)在闭区间[a₁, b₁]×[a₂,b₂]×...×[aₙ, bₙ]上连续且在开区间(a₁, b₁)×(a₂,b₂)×...×(aₙ, bₙ)内的偏导数存在的情况下，至少存在一个点(c₁, c₂, ..., cₙ)，使得各个偏导数在该点处的加权平均等于函数在该区间上的平均变化率。
微分中值定理的推广与应用
（ ） ｘ ＝ ｇ ｘ （ 去 一 １ ）
Ｉ ｎａ
＝
３ ． ３利 用 定理证 明方程 根 （ 零 点 ）的存 在性
若＿ 厂 （ ） 在［ 以 ， ６ ］ 上连续，在（ 以 ， ｂ ） 内可导
厂 （ ） ：
ａ ＋ｂ
，
（ ＞ ｏ ） ， 证 明 在 （ ， ｂ ） 内 方 程
证明： 由于 ， ｂ＞０所 以 ０＜— ＜１
ａ＋ ｂ
解 ：根据 题 意 ， 由 Ｌ ａ ｇ ｒ ａ ｎ ｇ ｇ ｅ定理 ，有
（
ａ
一ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
１）
＝
又 由于 ｆ（ ｘ ） 在［ Ｏ ， １ ］ 上连续且 ｆ（ Ｏ ） ＝０ ， ｆ（ １ ） ＝ｌ 。由
介值性定理， ］ ∈（ ０ ， １ ） 使得
２ ０ １ ３年 ９月
电大 理 工 Ｓ ｔ ｕ ｄ ｙ ｏ ｆ Ｓ ｃ ｉ ｅ ｎ ｃ ｅ ａ ｎ ｄ Ｅ ｎ ｇ ｉ ｎ ｅ ｅ ｒ ｉ ｎ ｇ ａ ｔ ｒ Ｕ
第 ３期
总第 ２ ５ ６期
微 分 中值 定理 的推广 与应用
程
辽 宁广播 电视大 学
摘 要
娜
（ 沈阳 ｌ １ ０ ０ ３ ４ ）
２ ｘ ［ ｆ（ ｂ ） 一 （ ） 】 ＝（ ｂ 一ａ ２ ） 厂 （ ． ） ｃ ） 至少存在一根。
ｆ （ ｘ ） 在［ ０ ， ］ ， ［ ， １ ］ 上分别用拉格朗日中值定理有
ｆ（ ｖ ） 一ｆ（ Ｏ ） ＝ｒ ｆ （ ） ， ∈（ ０ ， ）
即
且ｇ （ ） ≠ ０，则至少存在一点 ∈（ ， ｂ ） ，使得
ｆ（ ａ ） 一ｆ（ ｂ ） ｆ （ ） ｇ （ ｂ ） 一ｇ （ ａ ） ｇ （ ）
微分中值定理的推广及应用
微分中值定理的推广及应用
微分中值定理是微积分中极为重要的一个定理，但它仅适用于单点处的导数。
为了推广微分中值定理的应用范围，有以下两种推广方式：
（1）广义中值定理
广义中值定理是指在区间 $[a, b]$ 上，如果函数 $f(x)$ 满足以下两个条件：
（a）$f(x)$ 在 $[a, b]$ 内连续；
（b）$f(x)$ 在 $(a, b)$ 内可导，
则存在一个 $c\\in (a, b)$ 使得：
$$ f'(c) = \\frac{f(b) - f(a)}{b - a} $$
我们可以将这个式子看作微分中值定理的推广，其中
$\\frac{f(b) - f(a)}{b - a}$ 是函数在 $[a, b]$ 上的平均值。
广义中值定理可用于证明一些函数的性质，例如，如果函数的导数不为零，则函数一定不是单调函数。
（2）高阶中值定理
高阶中值定理是指在区间 $[a, b]$ 上，如果函数 $f(x)$ 满足以下两个条件：
（a）$f(x)$ 在 $[a, b]$ 内 $n$ 次可导；
（b）$f(x)$ 在 $(a, b)$ 内 $(n+1)$ 次可导，
则存在 $n$ 个不同的点 $c_1,c_2,\\cdots,c_n$，使得：
$$ f^{(n)}(c_1) = f^{(n)}(c_2) = \\cdots = f^{(n)}(c_n) $$
其中 $f^{(n)}(x)$ 表示函数 $f(x)$ 的 $n$ 阶导数。
这个定理奠定了 Taylor 定理的基础，可以用于计算函数在某些点的近似值。
例如，在数值分析中，我们可以通过高阶中值定理来构造新的数值积分公式。
微分中值定理在中学数学中的应用
微分中值定理在中学数学中的应用微分中值定理主要是对一系列中值定理的概括，对研究函数有至关重要的作用。
与其相关的定理主要有罗尔中值定理、拉格朗日中值定理以及柯西中值定理，发挥其在中学数学中的应用将是推动数学进步的重要保证。
一、微分中值定理的相互关系1.微分中值定理微分中值定理主要包括罗尔定理、拉格朗日中值定理与柯西中值定理。
其中罗尔定理中，当函数y=f（x）能够满足闭区间[a，b]连续；开区间（a，b）可导；f（b）=f（a），至少会存在一点ζ∈（a，b）使f ′（ζ）=0。
拉格朗日中值定理中，当函数满足y=f（x）[a，b]闭区间连续，（a，b）开区间可导，则存在一点ζ∈（a，b），使得f′（ζ）=.柯西中值定理中，当函数y=g（x）与y=f（x）满足闭区间[a，b]连续；开区间（a，b）可导，且f ′（x）和g ′（x）都不为0，g（a）≠g（b），将至少有一点ζ∈（a，b），使得=.由此可见，拉格朗日中值定理与柯西中值定理都会涉及到罗尔定理，而且在前提条件方面都比较接近，因此下文中将会对三者之间的关系进行探析。
2.微分中值定理的相互联系罗尔定理、拉格朗日中值定理与柯西中值定理三者之间的关系主要体现在由一般到特殊，再由特殊到一般。
当柯西中值定理条件下g（x）=x，定理将转变为拉格朗日中值定理，如果再使f（a）=f（b），又会转化为罗尔中值定理。
换言之，柯西中值定理的特殊情况是拉格朗日中值定理，而拉格朗日中值定理的特殊情况是罗尔中值定理。
（1）从理论角度，很多情况下，至少有一点ζ能够使此函数在该区间上的导数值与函数值保持一定的等量关系。
而且定理的中值ζ在通常条件下很难发现，但对于定理理论研究与应用价值没有过多的影响。
因此，对中值定理的掌握，必须要将三者在条件、证明方法、结论及几何解释方面正确分析，使三个中值定理的关系在相互联系的情况下可以进行区分。
（2）拉格朗日中值定理与柯西中值定理在证明方法上都需应用罗尔定理，以构造新函数的方法得出结论。
微分中值定理的推广及应用
本科毕业论文题目微分中值定理的推广及应用学院数学与统计学院姓名XX专业班级XX级数应X班学号XXXXXXXXXXX指导教师教授提交日期20XX年X月X日原创性声明本人郑重声明：本人所呈交的论文是在指导教师的指导下独立进行研究所取得的成果。
学位论文中凡是引用他人已经发表或未经发表的成果、数据、观点等均已明确注明出处。
除文中已经注明引用的内容外,不包含任何其他个人或集体已经发表或撰写过的科研成果。
本声明的法律责任由本人承担。
论文作者签名：X X20X X年X月X日论文指导教师签名：微分中值定理的推广及应用XX（XX师范学院，数学与统计学院，中国，XX，7XXXXXX）摘要微分中值定理是数学分析中重要的基本定理之一，主要包括罗尔中值定理，拉格朗日中值定理和柯西中值定理。
它是连接函数与其导数之间的桥梁。
其中，拉格朗日中值定理是罗尔中值定理的推广，柯西中值定理是拉格朗日中值定理的推广。
通过所学及查找资料给出微分中值定理的推广，举例说明其应用。
关键词微分中值定理；可导；连续The Extention and Application of Differential Mean Value TheoremLIU Xia(Tianshui Normal University, School of Mathematics and Statistics, Gansu ,Tianshui, 741000)Abstract Differential Mean Value Theorem is one of the important fundamental theorems in mathematical analysas, including Rolle theorem, Lagrange theorem and Cauchy mean value theorem. It is a bridge connecting the function and its derivatives. Among them, the Lagrange value theorem is to the extention of the Rolle theorem, Cauchy mean value theorem is to the extention of the Lagrange value theorem. The author shows the extention of the Differential Mean Value Theorem and sets examples to introduce its application by searching for materials and using knowledge.Keywords Differential Mean Value Theorem, derivable, continuous目录1 预备知识 (1)2 微分中值定理的推广 (1)2.1 罗尔中值定理的推广 (1)2.2 拉格朗日中值定理的推广 (5)2.3 柯西中值定理的推广 (9)3 微分中值定理的应用 (12)参考文献 (17)1 预备知识首先给出在定理推广过程中需要利用的定理和几个重要引理.第一类间断点 若()A x f x x =→0lim ,而f 在点0x 无定义，或有定义但()A x f ≠0，则称0x 为f 的可去间断点.若函数f 在点0x 的左、右极限都存在，但()()x f x f x x x x -+→→≠0lim lim ，则称点0x 为f 的跳跃间断点.罗尔中值定理 若函数()f x 满足如下条件:()f x 在闭区间[],a b 上连续;()ii ()f x 在开区间()b a ,上可导;()iii ()()b f a f =,则在()b a ,上至少存在一点ξ,使得()0f ξ'=.拉格朗日中值定理 若函数()f x 满足如下条件:()i ()f x 在闭区间[],a b 上连续;()ii ()f x 在开区间()b a ,上可导;则在()b a ,上至少存在一点ξ,使得()()()f b f a f b a ξ-'=-.柯西中值定理 若函数()f x 和()g x 满足()i 在闭区间[],a b 上连续;()ii 在开区间()b a ,上可导,()iii ()f x '和()g x '不同时为零;()iv ()()g a g b ≠,则存在(),a b ξ∈,使得()()()()()()f f b f ag g b g a ξξ'-='-.引理1 设函数()x f 在0x x =处可导且取得极值,则有()00='x f .引理2 设函数()x f 在[)+∞,a 上连续,且()A f =∞+()∞∞+-、为有限数或A , 则函数()x f 在[)+∞,a 上有最大值或最小值.2 微分中值定理的推广 2.1 罗尔中值定理的推广定理1.1[]1设函数)(x f 在),(b a 内可导,且()A b f a f =-=+)0(0,其中A 可以为有限数,＋∞或－∞,则f 在),(b a 内至少存在一点ξ,使()0='ξf .证明 (1)当A 取有限值时,对函数)(x f 作如下形式:()()⎩⎨⎧=A x f x F ()b a x b a x ,,=∈显然)(x F 在[]b a ,内满足罗尔定理的条件,故在()b a ,内至少存在一点ξ,使()()0='='ξξf F .(2) 当+∞=A 时,由于函数()x f 在()b a ,内连续,由极限大定义可知,对无限大的C > 0 ,对于()b a x x ,,21∈,存在一点()b a x ,0∈,使()0x f <C ,则直线C y =与()x f y =的图像至少有两个交点()()1,11x f x M 和()()2,22x f x M ,则()(),21C x f x f ==若1x <2x ,显然()x f 在[]()b a x x ,,21⊂内满足罗尔定理的条件,故存在一点()()b a x x ,,21⊂∈ξ,使()0='ξf .对-∞=A ,类似可证.定理1.2 若函数()x f 满足以下条件:（1）在闭区间[]b a ,内连续;（2）在开区间()b a ,内可导;()()0==b f a f .则R m ∈∀,()b a ,∈∃ξ,使得()()ξξmf f ='. 证明 做辅助函数()()m x e x f x F -=则()()()()()[]m x m x m x e x mf x f e x mf e x f x F ----'=-'=',由已知条件()()0==b f a f ,可得()()0==b F a F .则函数()x F 在()b a ,,满足罗尔定理的条件,即()b a ,∈∃ξ,使得()()()[]0=-'='-ξξξξm e mf f F .由于0≠-ξm e ,因此有()()0=-'ξξmf f ,即()()ξξmf f ='.定理1.3[]2 若函数()x f 在[)+∞,a 上连续,在()+∞,a 内可导,并且()()lim x f x f a →+∞=，则存在一点()+∞∈,a ξ,使得()0='ξf .证明 对任意的[)+∞∈,a x ,恒有()()a f x f ≡,则该结论显然成立.若存在一点()+∞∈,a m ,使得()()a f m f ≠,由引理2知,函数()x f 在()+∞,a 内必取得最大值或最小值.若存在一点()+∞∈,a ξ,且函数()x f 在该点处取得最大值或最小值,则函数()x f 在点()+∞∈,a ξ处也取得极大值或极小值,又因为()x f 在点ξ处可导,由引理1得()0='ξf ,故定理得以证明.定理1.4 设函数()x f ,()x g ,()x h 满足以下条件: 在闭区间[]b a ,上连续; 在开区间()b a ,内可导;则在区间()b a ,内至少存在一点()b a ,∈ξ,使得()()()()()()()()()ξξξh g f b h b g b f a h a g a f '''=0.证明 做辅助函数()()()()()()()()()()x h x g x f b h b g b f a h a g a f x F =显然，()x F 满足下列条件:在闭区间[]b a ,上连续,在开区间()b a ,内可导,且()()0==b F a F ,由罗尔中值定理知,至少()b a ,∈∃ξ,使得()0='ξF ;另一方面()()()()()()()()()()x h x g x f b h b g b f a h a g a f x F '''='于是,该定理得以证明.定理1.5 设函数()x f 在区间()+∞∞-,内可导,且()()A f f =∞-=∞+,（A 为有限值，∞+或∞-）,则存在一点()+∞∞-∈,ξ,使得()0='ξf .证明 由定理的已知条件和引理1知,函数()x f 在区间()+∞∞-,内取得最大值或最小值.若函数()x f 在点()+∞∞-∈,ξ处取得最大值或最小值.此时.函数()x f 在点()+∞∞-∈,ξ处取得极小值或极大值,由于()x f 在()+∞∞-∈,ξ处可导,由引理1知()0='ξf ,则定理得证.定理1.6[]3 设函数()x f 1、()x f 2、()x f 3均在[]b a ,上连续,均在开区间()b a ,内可导,则存在一点()b a ,∈ξ使得()()()()()[]()()()()()[]()()()()()[]a f b f b f a f f a f b f b f a f f a f b f b f a f f 313122121332321-'=-'+-'ξξξ.证明 令()()()()()()[]()()()()()[]()()()()()[]a fb f b f a f x f a f b f b f a f x f a f b f b f a f x f x F 313122121332321---+-=由已知条件得()x F 在闭区间[]b a ,上连续,在开区间()b a ,内可导,易知()()0==b F a F ,根据引理1知在开区间()b a ,内存在一点ξ,使得()0='ξF ,又因为()()()()()()[]()()()()()[]()()()()()[]a f b f b f a f x f a f b f b f a f x f a f b f b f a f x f x F 313122121332321-'--'+-'='.所以定理的结论成立.定理1.7[]4设n 个函数()()n i x f i ,2,1=,在闭区间[]b a ,上连续,在开区间()b a ,内可导,则()()()n i a f b f i i ,2,1=-是线性相关的,即存在n 个不全为零的实数,,,21n λλλ 使得()()[]01=-∑=a f b f iini iλ,(1)且存在一点()b a ,∈ξ,有()01='∑=ξλi ni i f .(2)证明 首先,证（1）式成立.若已知这n 个实数()()()n i a f b f i i ,2,1=-全为零,则明显存在有n 个不全为零的实数,,,21n λλλ 满足（1）式,则()()()n i a f b f i i ,2,1=-线性相关；若有一个()()()n i a f b f i i ,2,1=-不等于零,则只要取()()[]()()ii ij jjja fb f a f b f ---=∑≠λλ1即可.最后,证（2）式成立.若()()x f x F i ni i ∑==1λ,则()x F 在闭区间[]b a ,上连续,在开区间()b a ,内可导,且()()()()[]01=-=-∑=a f b f a F b F i i ni i λ,所以由罗尔定理知存在一点()b a ,∈ξ,有()01='∑=ξλi ni i f .2.2 拉格朗日中值定理的推广定理2.1 设函数()x f 1,()x f 2,()x f 3均在闭区间[]b a ,上连续,均在开区间()b a ,内可导,则存在一点()b a ,∈ξ,使得()()()()()()()()()0321321321='''ξξξf f f b f b f b f a f a f a f .证明 做辅助函数()()()()()()()()()()x f x f x f b f b f b f a f a f a f x F 321321321=,很明显()x F 在闭区间[]b a ,上连续,在开区间()b a ,内可导,且()()0==b F a F ,则由罗尔定理知,存在一点()b a ,∈ξ,使得()0='ξF .当()13≡x f 时,结论变成()()()()()()()()()()()()()()()000101121221121212121=''--=''='ξξξξξf f a f b f a f b f a f a f f f b f b f a f a f F ,计算行列式可得柯西中值定理.当()x x f ≡2,()13≡x f 时,计算行列式得拉格朗日中值定理.定理 2.2[]5 非线性函数()x f 在闭区间[]b a ,上连续,在开区间()b a ,内可导,且()b f >()a f ,则存在一点()b a ,∈ξ,使得()ξf '>()()a b a f b f --.证明 经过点()()a f a ,和点()()b f b ,的直线方程为()()()()a x a b a f b f a f y ---+=,由于()x f 是非线性函数,因此()()()()()()()0≠-----=-=a x a b a f b f a f x f y x f x F .由罗尔定理知()()0==b F a F .此时()x F 满足罗尔定理的条件,易知()x F 在()b a ,上存在一个极值点ξ. 不管ξ是极大值点还是极小值点,总会在开区间()ξ,a 和开区间()b ,ξ内找到一点θ,使得()θF '>0,将θ换为ξ即得()ξf '>()()a b a f b f --.定理2.3[]6 若存在常数M 、N ,使得()()lim lim 0x x f x Mx N f x Mx N →-∞→+∞--=--=⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦, 且函数()x f 在()+∞∞-,上可导,则至少存在一点()+∞∞-∈,ξ,使得()()limx f x f M x ξ→∞'==.证明 由条件()lim 0x f x Mx N →∞--=⎡⎤⎣⎦可得 ()lim x f x Mx N→∞-=⎡⎤⎣⎦.由于函数()x f 在()+∞∞-,上可导,根据定理1.5知,存在一点()+∞∞-∈,ξ,使得()0=-'M f ξ,也即()M f ='ξ.又由已知条件得()1limlim 0x x f x Mx N x x →∞→∞-==,于是()limx f x M x →∞=故定理得以证明.定理2.4 若函数()x f y =在开区间()b a ,内可导,()lim x a f x →与()lim x bf x →都存在,令()lim x af x α→=,()lim x bf x β→=,则在开区间()b a ,至少存在一点ξ,使得()a b f --='αβξ.证明 首先给出一个引理,若函数()x f 在()b a ,内可导,令()()lim lim x ax bf x f x M→→==则在()b a ,内存在一点θ,使得()0='θf .令()()⎩⎨⎧=M x f x F ()b a x b a x 或=∈,则易知函数()x F 在闭区间[]b a ,上连续,在开区间()b a ,内可导且()()b F a F =.由罗尔定理得,在开区间()b a ,至少存在一点θ,使得()0='θF ,显然在()b a ,内有()()x f x F '=',因此有()0='θf .然后,令()()x ab x f x G ---=αβ,则容易得到()()lim lim x ax bG x G x →→=,则根据此引理可得,至少存在一点()b a ,∈ξ,使得()0=--='ab f αβξ,则在()b a ,内至少存在一点ξ,使得()a b f --='αβξ.定理 2.5[]7 若函数()x f 在有限开区间()b a ,内可导,且()0+a f 与()0-b f 存在,则在开区间()b a ,存在一点ξ,使得()()()a b a f b f f -+--='00ξ.证明 当()()00-=+b f a f 时,由定理1.1知,结论显然成立. 当()()00-≠+b f a f 时,令()()()()()()a x a b a f b f a f x f x G --+---+-=000,由()x f 在()b a ,内可导,易知()x G 也在()b a ,内可导,且()()()()()()000000=--+---+-+=+a a ab a f b f a f a f a G ,()()()()()()000000=--+---+--=-a b a b a f b f a f b f b G .根据定理1.1知,在()b a ,内至少存在一点ξ,使()0='ξG .由于()()()()a b a f b f x f x G -+---'='00,因此()()()000=-+---'a b a f b f f ξ,即()()()a b a f b f f -+--='00ξ.故该定理结论成立.2.3 柯西中值定理的推广定理3.1[]8 设函数()x f ,()x g 在闭区间[]b a ,上连续,在开区间()b a ,内可导,对()b a x ,∈∀,有()0≠'x g ,则存在一点()b a ,∈ξ,使得()()()()()()ξξξξg b g a f f g f --=''.证明 做辅助函数()()()[]()()[]x g b g a f x f x F --=,则函数()x F 在闭区间[]b a ,上连续,在开区间()b a ,内可导,且()()()[]()()[]0=--=a g b g a f a f a F , ()()()[]()()[]0=--=b g b g a f b f b F ,所以()x F 在()b a ,上满足罗尔定理,即存在一点()b a ,∈ξ,使得()0='ξF .由于()()()()[]()()()[]a f x f x g x g b g x f x F -'--'=',因此()()()()[]()()()[]a f f g g b g f F -'--'=='ξξξξξ0,故得()()()()()()ξξξξg b g a f f g f --=''.定理3.2 如果()lim x f x →∞=∞,()lim x g x →∞=∞,且存在常数M 和N ,使得 ()()()()lim lim x x g x Mf x g x Mf x N →-∞→+∞-=-=⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦,函数()f x ,()g x 在(),-∞+∞内可导,()0f x '≠,则存在一点(),ξ∈-∞+∞,使得()()()()limx g x g M f x f ξξ→∞'=='.证明 函数()()g x Mf x -在(),-∞+∞上可导,由条件()()lim x g x Mf x N →∞-=⎡⎤⎣⎦, 根据定理1.5,在(),-∞+∞内至少存在一点ξ,使得()()0g Mf ξξ''-=,则()()g M f ξξ'='.由已知条件知()()()()1lim lim 0x x g x Mf x N f x f x →∞→∞-==,因此有()()limx g x M f x →∞=定理得以证明.定理3.3 若函数()1f x ,()2f x 闭区间[],a b 上连续,在开区间(),a b 内可导,并且()()22f a f b ≠,则至少存在一点(),a b ξ∈,使得()()()()()()11222f b f a f f f b f a ξξ-''=- （1）进一步,若()20f ξ'≠,则有 ()()()()()()111222f f b f a f f b f aξξ'-='-.（2）证明 做辅助函数()()()()()()()()()11112222f b f a F x f x f a f x f a f b f a -=---⎡⎤⎣⎦-,显然()F x 闭区间[],a b 满足罗尔中值定理的条件,故存在一点(),a b ξ∈,有()()()()()()()1112220f b f a F f f f b f a ξξξ-'''=-=-,所以（1）式成立,若()20f ξ'≠,则（2）式成立.定理 3.4[]9 若函数()1f x ,()2f x 在有限或无穷区间(),a b 中的任意一点x 处存在有限的导数()1f x '和()2f x ',对(),x a b ∀∈,()20f x '≠,()10f a +,()20f a +,()10f b -,()20f b -都存在,则在开区间(),a b 至少存在一点ξ,使得()()()()()()1112220000f f b f a f f b f a ξξ'--+='--+.证明 先证()()2200f b f a -≠+,假设()()22000f b f a --+=,即()()2200f b f a -=+.由定理1.1知至少存在一点(),a b ξ∈,使()20f ξ'=.与已知条件(),x a b ∀∈,有()20f x '≠矛盾. 其次,做辅助函数()()()()()()()()()11112222000000f b f a F x f x f a f x f a f b f a --+=-+--+⎡⎤⎣⎦--+ 又已知得,()F x 开区间(),a b 内可导且()()()()()()()()()111122220000000000f b f a F a f a f a f a f a f b f a --++=+-+-+-+=⎡⎤⎣⎦--+.()()()()()()()()()111122220000000000f b f a F b f b f a f b f a f b f a --+-=--+---+=⎡⎤⎣⎦--+.则()()00F a F b +=-.根据定理1.1知,至少存在一点(),a b ξ∈,使得()0='ξF .由于()()()()()()()1112220000f b f a F x f x f x f b f a --+'''=---+,因此()()()()()()1112220000f b f a f f f b f a ξξ--+''=--+,又由()20f ξ'≠,有 ()()()()()()1112220000f f b f a f f b f a ξξ'--+='--+故结论成立.3 微分中值定理的应用例1 设函数()f x 在点0x 的任意开领域内具有二介导数,证明:对充分小的0x ∆≠,存在θ,0<θ<1,使得()()()()()00000222f x x f x x f x f x x f x x x θθ''''+∆+-∆-+∆+-∆=∆. 证明 令()()()00F x f x x f x x ∆=+∆+-∆.对充分小的0x ∆≠,()F x ∆二介可导,且()()()00F x f x x f x x '''∆=+∆--∆，()()()00F x f x x f x x ''''''∆=+∆+-∆，()()002F f x =.再设()()()()()()2,t F t F t x t t x t ϕψ'=+∆-=∆-.于是()()()()()()()()20000,,0,0.F F x F x F x x x ϕϕψψ'=+∆=∆=∆=∆∆=由柯西中值定理知,∃0<θ<1使得()()()()()()00x x x x ϕϕϕθψψψθ'∆-∆='∆-∆.即()()()00022fx x f x x f x x +∆+-∆-∆ =()()20F x F x ∆---∆=()()()()00x x ϕϕψψ∆--∆-()()()()()()()0022x F x x x f x x f x x x x x ϕθθθθθψθθ'''''''∆∆∆-∆+∆+-∆=-=-='∆-∆-∆ .例2 设函数()f x 在闭区间[],m n 上连续,在开区间(),m n 内可导,且()f m n =和()f n m =,证明在(),m n 内至少存在一点ξ,使得()()f f ξξξ'=-.证明 作辅助函数()()F x xf x =,由题设知()F x 在闭区间[],m n 上连续,在开区间(),m n 内可导,由于()()()()F m mf m mn nf n F n ====,因此由中值定理知存在一点(),m n ξ∈,使得()0F ξ'=,即()()()0x xf x f f ξξξξ=''=+=⎡⎤⎣⎦即得结论()()f f ξξξ'=-.例3 求2111lim m m x m a a +→+∞⎛⎫- ⎪⎝⎭,其中a > 0. 解 作辅助函数()x f x a =得到()f x 在11,1m m ⎛⎫ ⎪+⎝⎭上连续,在11,1m m ⎛⎫⎪+⎝⎭内可导.由拉格朗日中值定理得().ln 111lim 11lim 212a m m a m a am gx m x m m x =⎪⎭⎫ ⎝⎛+-⋅=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=+∞→++∞→例4 设函数()f x 在开区间(),m n 内可导（导数有穷），试证()f x 的导函数()f x '在(),m n 内任一点不可能发生第一类间断.证明 根据第一类间断点的概念,只需证明()0,x m n ∀∈,()f x '在0x 处左极限或右极限存在,则其必在0x 处左连续或右连续.假如设对某点()0,x m n ∈,()f x '在0x 处右极限()()00lim 0x x f x f x +→''=+存在,证明()()000f x f x ''+=.由已知条件知,当[]()00,,x x x m n +∆⊂时,()f x 在[]00,x x x +∆上满足拉格朗日中值定理条件,则存在()0,1ξ∈,()()()000f x x f x f x x x ξ+∆-'=+∆∆（1） 由于()f x 在()0,x m n ∈可导⇔()f x 在0x 处左、右可导,且()()()0000lim x f x x f x f x x ++∆→+∆-'=∆()()()()00000lim x f x x f x f x f x x--∆→+∆-''===∆ （2） 则在（1）式中令0x +∆→,两端取极限,得()()000lim x f x f x x ξ+∆→''=+∆ （3）由()0,1ξ∈的有界性及()()()0000lim lim 0x x x f x x f x f x ξ++∆→→'''+∆==+,故（3）式即为()()000f x f x +''=+,再由（2）式得()()000f x f x ''=+,同理可证,若()00f x '-存在,必有()()000f x f x ''-=证毕.例5求证21arcsin θθθ-=arctg ,其中θ<1.证明 令()2arcsin 1F arctgθθθθ==-在[]0,θ上用拉格朗日中值定理,其中11θ-≤≤有()()()0F F F θξθ'-=（其中ξ介于0与θ之间）.即有22211arcsin 0111arctg θθθθξξ⎛⎫⎪-=-= ⎪---⎝⎭故21arcsin θθθ-=arctg,其中θ<1.成立.例 6设函数()f x 在闭区间[]n m ,上连续,在开区间()n m ,内可导,且0≤m <n ，()()n f m f ≠,证明：()n m ,,∈∃ηξ,使得()()ηηξf mn f '+='2. 证明 作辅助函数()2x x F =,利用柯西中值定理有()()()ηη222f m n m f n f '=--.再利用拉格朗日中值定理有()()()()m n f m f n f -'=-ξ.综上所述，有()()()ηηξ222f m n m n f '=--',整理变形得()()ηηξf mn f '+='2.数学与统计学院2015届毕业论文参考文献[1] 西北工业大学高等数学教研室. 高等数学中的典型问题与解法[M]. 上海：同济大学出版社.2001[2] 张则增,周相泉,王鹅. 微分中值定理的推广[M]. 山东师大学报(自然科学版),1998年,13(3):323-325.[3] 全生寅：《微分中值定理的推广》,《青海大学学报》,2000年.[4] 张玉兰、杨富强：《微分中值定理在无穷区间的推广》,《洛阳师专学报》,1996年.[5] 同济大学数学系. 高等数学：上册[M].5版. 北京：高等教育出版社,2002:126-132.[6] 韩应华，姚贵平，王振寰等. 微分中值定理的推广及应用[J]. 内蒙古农业大学学报，2009,30(3):207-212.[7] 金贵荣. 关于若微分中值定理[J]. 甘肃高师学报,2001(5):4-5.[8] 华东师范大学数学系编. 数学分析第三版[M]. 北京：高等教育出版社,2001.[9] 孙清华,孙昊编. 数学分析内容、方法与技巧（上）[M]. 武汉：华中科技出版社,2003.17。
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微分中值定理推广及其应用目录一、引言 (2)二、微分中值定理及其证明 (2)2.1罗尔定理 (3)2.2拉格朗日中值定理 (3)三、微分中值定理的应用 (4)3.1证明方程根的存在性 (4)3.2证明不等式 (5)3.3 利用微分中值定理求极限及证明相关问题 (6)3.4求极限 (7)3.5用来证明函数恒为常数 (7)3.6中值点存在性的应用 (8)3.6.1一个中值点的情形 (8)3.6.2.2 泰勒公式法 (10)四小结： (11)致谢 (12)参考文献： (12)微分中值定理推广及其应用【摘要】微分中值定理是数学分析中非常重要的基本定理, 它是沟通函数与其导数之间关系的桥梁. 本文主要对罗尔中值定理的条件做一些适当的改变，能得出如下一些结论，从而扩大罗尔定理的应用范围。
从拉格朗日中值定理的几何意义出发，通过几何直观，把数学分析空间解析几何知识有机的结合起来，改变传统的构造函数差的方法，通过构造行列式函数得出定理的新方法。
通过对这两个定理进行分析，并加以推广，结合几个常见的实例论述了罗尔中值定理、拉格朗日中值定理。
在证明不等式，求函数极限等方面的应用，从而加深对两个定理的理解。
【关键词】罗尔定理拉格朗日中值定理推广应用一、引言微分中值定理是微分学的基本定理，在数学分析中占有重要的地位，是研究函数在某个区间的整体性质的有力工具。
其中，拉格朗日定理是核心，罗尔定理是其特殊情况，柯西定理是其推广。
通过查阅大量资料文献和网上查阅，我找到了很多相关资料。
本文以案例形式介绍了微分中值定理在数学分析中的应用，论述了微分中值定理在求极限、证明不等式以及泰勒公式和中值点存在性等几个方面的应用研究比较细致和深入。
其中证明某区间上满足一定条件的中值点的存在性是微分中值定理非常重要的应用，也是在历年考研试题中经常出现的题型之一。
利用中值定理证明中值点的存在性，要兼顾条件与结论，综合分析，寻求证明思路。
充分理解微分学的相关知识，掌握微分中值定理的内容，并会熟练的应用。
使用微分中值定理证题，方法多种多样，技巧性强。
本文对这一部分的典型例题进行整理归纳总结，总结出一套符合初学者认知规律的解题方法是非常必要的，这也是进一步学习数学分析的基础。
二、微分中值定理及其证明为了应用导数的概念和运算来研究函数与实际问题，需要一个联系局部与整体的工具，这就是微分中值定理.微分学是数学分析的重要组成部分, 微分中值定理作为微分学的核心, 是沟通导数和函数值之间的桥梁.罗尔中值定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理、泰勒公式是微分学的基本定理, 统称为微分学的中值定理, 这四个定理作为微分学的基本定理, 是研究函数形态的有力工具.2.1罗尔定理若函数f 满足如下条件：（ⅰ）f 在闭区间[]b a ,上连续；（ⅱ）f 在开区间()b a ,内可导；（ⅲ）()()b f a f =,则在()b a ,内至少存在一点ξ使得()0'=ξf罗尔定理的几何意义是说：在每一点可导的一段连续曲线上，如果曲线的两端点高度相等，则至少存在一条切线.证明：因为f 在[]b a ,上连续，所以有最大值M 与m 表示，现分两种情况来讨论：（1）若M m =,则f 在[]b a ,上必为常数，从而结论显然成立.（2）若M m <,则因()()b f a f =使得最大值M 与最小值m 至少有一个在()b a ,内某点ξ处取得，从而ξ是f 的极值点，由条件f 在开区间()b a ,内可导，f 在点ξ处可导，故由费马定理推知()0'=ξf注：定理中的三个条件缺少任何一个，结论将不一定成立.先讲罗尔定理,并由此推出微分学的两个基本定理—拉格朗日中值定理和柯西中值定理.2.2拉格朗日中值定理若函数f 满足如下条件：（ⅰ）f 在闭区间[]b a ,上连续；（ⅱ）f 在开区间()b a ,内可导； 则在()b a ,内至少存在一点ξ使得()()()ab a f b f f --=ξ' （1） 显然，特别当()()b f a f =时为罗尔定理。
这表明罗尔定理是拉格朗日的定理的一个特殊情形.证明：做辅助函数()()()()()()a x ab a f b f b f x f x F -----=显然，()()b F a F =(=0),且F 在[]b a ,上满足罗尔定理的另两个条件，故存在),(b a ∈ξ使()()-=ξξ''f F ()()0=--ab a f b f ，移项既得到所要证明的（1）式.拉格朗日中值定理的几何意义是：在满足定理条件的曲线()x f y =上至少存在一点()()ξξf p ,，该曲线在该点处的切线平行于曲线两端点的连线AB ,我们在证明中引入辅助函数()x F ，正是曲线()x f y =与直线()()()()⎪⎭⎫ ⎝⎛---+=a x a b a f b f a f y AB . 三、微分中值定理的应用3.1证明方程根的存在性把要证明的方程转化为()0=x f 的形式.对方程()0=x f 用下述方法：（1） 根的存在定理若函数()x f 在区间[]b a ,上连续，且()()0<⋅b f a f ，则至少存在一点()b a ,∈ξ，()0=ξf .（2） 若函数()x f 的原函数()x F 在[]b a ,上满足罗尔定理的条件，则()x f 在()b a ,内至少有一个零值点.（3） 若函数()x f 的原函数()x F 在0x 处导数也存在，由费马定理知()00'=x F 即()00=x f . （4） 若函数()x f 的原函数()x F 在0x 处导数也存在，由费马定理知()00'=x F 即()00=x f .（5） 在证明方程根的存在性的过程中，经常用到拉格朗日定理，积分中值定理，有时也用到柯西中值定理来证明满足方程的存在性所需的条件，然后利用上的方法来证明方程根的存在性.例 若()f x 在[],a b 上连续，在(),a b 内可导()0a >，证明在(),a b 内方程()()()()222x f b f a b a f x '-=-⎡⎤⎣⎦至少存在一根。
分析：由于题目是要求方程()()()()222x f b f a b a f x '-=-⎡⎤⎣⎦是否有根存在，所以可以先对方程进行变形，把方程变为()()()()2220x f b f a b a f x '---=⎡⎤⎣⎦。
那么方程()()()()222x f b f a b a f x '-=-⎡⎤⎣⎦有根的话，则原方程也有根。
变形之后的方程有()f x '存在，所以可以利用不定积分把方程()()()()2220x f b f a b a f x '---=⎡⎤⎣⎦，转变为()()()()2220f b f a x b a f x ---=⎡⎤⎣⎦。
现在我们返回来看题目，由题目中我们可以知道()f x 在区间[],a b 上连续，在区间(),a b 内可导()0a >，由函数的连续性和求导的概念，可以得到函数()()()()222f b f a x b a f x ---⎡⎤⎣⎦在[],a b 上连续,在(),a b 内可导()0a >，那么我们不难想到利用罗尔中值定理就可以证明该题了。
证明:令()()()()()222F x f b f a x b a f x =---⎡⎤⎣⎦，显然()F x 在[],a b 上连续,在(),a b 内可导，而()()()()22F a f b a b f a F b =-=.根据Rolled 定理, 至少存在一点ξ，使()()()()222f b f a b a f x ξ'-=-⎡⎤⎣⎦.证毕本文主要在于辅助函数()()()()()222F x f b f a x b a f x =---⎡⎤⎣⎦的构造，我们从结论出发，构造辅助函数，使得该题可以利用中值定理来证明，接下来是考虑利用微分中值定理中的哪一个即可。
对于构造辅助函数我们可以得到()()F a F b =，所以选在利用罗尔定理证明。
这是对解该类问题的总结，也是自己对该类问题解题提出的一个解题思路模式，大家可以借鉴。
3.2证明不等式在证明不等式时,可以考虑从微分中值定理入手,找出切入点,灵活运用相关微分中值定理,进行系统的分析,从而得以巧妙解决.例 设0b a <≤,证明ln a b a a b a b b--≤≤. 证明 显然等式当且仅当0a b =>时成立.下证 当0b a <<时,有ln a b a a b a b b--<< ① 作辅助函数()ln f x x =,则()f x 在[,]b a 上满足拉格朗日中值定理,则(,)b a ξ∃∈使ln ln 1a b a b ξ-=- ② 由于0b a ξ<<<,所以111a bξ<< ③由②③有1ln ln 1a b a a b b-<<-,即 ln a b a a b a b b--<<. 小结 一般证明方法有两种 ①利用泰勒定理把函数()f x 在特殊点展开,结论即可得证.②利用拉格朗日中值定理证明不等式,其步骤为：第一步 根据待证不等式构造一个合适的函数()f x ,使不等式的一边是这个函数在区间[,]a b 上的增量()()f b f a -；第二步 验证()f x 在[,]a b 上满足拉格朗日中值定理的条件,并运用定理,使得等式的另一边转化为()()f b a ξ'-；第三步 把()f ξ'适当放大或缩小.3.3 利用微分中值定理求极限及证明相关问题例 若()f x 在(,)a +∞内可导,且lim[()()]0x f x f x →∞'+=,求lim ()x f x →∞. 分析 由式[()()][()]x x f x f x e f x e ''+=,引进辅助函数()(),()x x F x f x e g x e ==,显然()0g x '≠.解 由lim[()()]0x f x f x →∞'+=,知0ε∀>,0X ∃>当x X >时()()f x f x ε'+<, 令()()x F x f x e =,()x g x e =对x X >,在[,]X x 上利用柯西中值定理有()()()()()()F x F X F g x g X g ξξ'-='-,(,)X x ξ∈ 即()()[()()]x X x X f x e f X e f f e e e eξξξξ'-+=-, 亦有[()()]()()1X xX x f x f X e f f eξξ---'=+-, 或|()||()||()()|(1)X x X x f x f X e f f e ξξ--'≤+++由于lim 0X x x e -→+∞=,所以1,x X ∃>当1x x >时有 X x e ε-<和1X x e -<,于是1x x ∀>,使|()||()|2f x f X εε≤+即lim ()x f x →∞0=. 小结方法 1 选择适当的函数和区间利用拉格朗日中值定理并结合导函数的特点及极限的迫敛性求的最终结果.方法2 选择适当的函数和区间利用柯西中值定理结合具体题意求的最终结果.3.4求极限对于有些求极限的题， 如果使用洛必达法则,则求导数的计算量很大.微分中值定理为求这样一些较难的极限提供了一种简单而有效的方法.其方法是对极限题中的某些部分构造辅助函数,使用微分中值定理,然后求出极.例 求⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+∞→1112lim n n n a a n ,其中0>a . 解：对()x a x f =应用拉格朗日中值定理,有⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+∞→1112lim n n n a a n =()⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-⨯=∞→111lim ;2n n a n x x n ξ =()1ln lim 2+∞→n n a a n n ξ =a ln 其中⎥⎦⎤⎢⎣⎡+∈n n 1,11ξ 3.5用来证明函数恒为常数导数是研究函数性态的重要工具, 但用导数研究函数性态的着眼点在局部范围. 而在整体上或比较大的范围运用导数这一工具来研究函数性态, 主要工具还是微分中值定理,它是应用导数研究整体性问题的重要工具. 证明函数恒为常数这是函数的整体性质,在这个应用中微分中值定理很实用.例9 设()x f '在[]1,0上连续, ()0'=c f ,()1,0∈c 且在()1,0内恒有()()x f k x f '''≤. 其中k 为小于1 的常数,试证:()x f 为常数函数.证明：[]1,0∈∀x ,不妨设x c <,则1<-c x ,而()0'=c f ,所以有()()()c f x f x f '''-==()()c x f -1''ξ()1'ξf k ≤, 其中x c <<1ξ.同理 ()()()c f f k k k -=+ξξξ1'''()1'+≤k f k ξ, k k c ξξ<<+1, 其中n k ,,2,1 =所以()()()2'21''ξξf k f k x f ≤≤()n n f k ξ'≤≤ ,其中1<<n c ξ.又()x f '在[]1,0上连续, 从而()x f '有界.故()0lim '=∞→n n n f k ξ ()()0lim ''==∞→x f x f n . 即()0'=x f (当x c >时同样成立) , 从而, ()0'=x f ，()1,0∈x .故在[]1,0上()x f 为常数函数.3.6中值点存在性的应用3.6.1一个中值点的情形3.6.1.1原函数法在利用微分中值定理证明中值点的存在性问题时，关键是根据所证明的结论构造辅助函数，构造辅助函数最基本最重要的思想就是寻求原函数，而寻求原函数的方法又因所证结论不同而不同.（1）直接法这种方法的解题思路主要是根据题目所证结论中常数项的特点直接得到辅助函数.例 函数()x f 在[]b a ,上连续，在()b a ,内可导，证明:在()b a ,内至少存在一点ξ，使得()()()()ξξξf f ab a af b bf +=--'. 分析：结论等号左侧显然是函数()x xf 在区间[]b a ,两端点函数值的差与区间长度()a b -之商,于是联想到对函数()xf x 使用拉格朗日中值定理.证明：令()()x xf x F =，显然()x F 在[]b a ,上满足拉格朗日中值定理条件.于是知：在()b a ,内至少存在一点ξ，使 得()()()F b F a F b aξ-'=-，而()[()()]x F xf x f x ξξ=''=+()()f f ξξξ'=+，即得结论 ()()()()bf b af a f f b aξξξ-'=+-. （2） 积分法这种方法的基本思想是利用不定积分寻求辅助函数，具体做法如下：将结论中的ξ换成x ，通过恒等变形将结论化成()|0x F x ξ='=的形式，然后用观察或直接积分（如果不易通过观察得到）求得原函数()F x ，积分常数取为0. 例 设函数()f x ，()g x 在[,]a b 上连续，在(,)a b 内可导，且()()0f a f b ==， 证明：至少存在一点(,)a b ξ∈，使()()()0f f g ξξξ''+=.分析：结论即要证明函数()()()f x f x g x ''+在(0,1)内有零点，因结论中含有函数导数，故考虑利用罗尔定理，而此函数的原函数通过观察可能感到有点困难.将()()()0f f g ξξξ''+=变形为 ()()0()f g f ξξξ''+=，即要证明函数()()()f x g x f x ''+在(0,1)内有零点.而()[()]d ()f xg x x f x ''+⎰()ln[()e ]g x f x c =+，显然()ln[()e ]g x f x 与()()e g x f x 的导数有相同的零点，于是可取原函数为()()e g x f x .证明：令()()()e g x F x f x =,显然()F x 在[,]a b 上连续，在(,)a b 内可导，且()()0F a F b ==，于是由罗尔定理知至少存在一点(0,1)ξ∈，使()0F ξ'=，而()()[()()()]e g x F x f x f x g x '''=+，故()[()()()]e 0g f f g ξξξξ''+=，又()e 0g ξ≠，于是()()()0f f g ξξξ''+=.当所证明的结论中出现二阶导数时通常可考虑两次使用中值定理证明.3.6.2.2 泰勒公式法当题设中出现高阶导数（三阶或三阶以上的导数）时，通常可考虑使用泰勒公式证明中值点的存在性.例 设函数()f x 在闭区间[1,1]-上具有三阶连续导数，且(1)0f -=，(1)1f =，(0)0f '=.试证：在开区间(1,1)-内至少存在一点ξ，使()3f '''=ξ.证明：由(0)0f '=，得()f x 在0x =处的二阶泰勒公式为23(0)()()(0)2!3!f f f x f x x '''''=++η （η介于0与x 之间，[1,1]x ∈-）. 由题设知1()(0)(1)(0)026f f f f η'''''-=+-= 1(10)η-<<， 2()(0)(1)(0)126f f f f η'''''=++= 2(01)η<<， 两式相减，可得12()()6f f ''''''+=ηη.又()f x '''在区间[1,1]-连续，从而在12[,]ηη上也连续，故()f x '''在区间12[,]ηη上有最大值M 和最小值m .从而有121[()()]32m f f M ''''''≤+=≤ηη， 由介值定理知，至少存在一点ξ12[,][1,1]ηη∈⊂-，使得()3f '''=ξ.3.6.2 两个中值点的情形在证明两个中值点存在性的命题时，通常可考虑使用两次中值定理. 例 函数()f x 在[,]a b 上连续，在(,)a b 可导，0a b <<，试证:存在,(,)a b ∈ξη，使得()()2a b f f +''=ξηη. 分析：结论中两点只要存在即可，不要求一定不同，故可在同一区间上使用两次中值定理.同时结论中的()2f ηη'部分可看作函数()f x 与2x 2x 在点η处的导数之商，故联想到柯西中值定理.再对()f x 使用拉格朗日中值定理，然后寻求两个结论之间的关系.证明：令2()g x x =，易知()f x 与()g x 在[,]a b 上连续，在(,)a b 可导，且()0g x '≠.由柯西中值定理知,存在(,)a b ∈η，使得()()()()()()f b f a fg b g a g '-='-ηη 即 22()()()2f b f a f b a '-=-ηη， 22()()()()2f f b f a b a '-=-ηη. 而由拉格朗日中值定理知，存在(,)a b ∈ξ，使得()()f b f a -()()b a f '=-ξ .由以上两式得:存在()b a ,,∈ηξ，使22()()()(),2f b a f b a ηξη''-=- 即()()2a b f f +''=ξηη. 微分中值定理应用非常广泛(在使用时应特别注意验证定理的条件) ,以上只介绍了几种常见的应用. 通过对微分中值定理的研究,加深了对微分中值定理的理解,有助于更好掌握该定理的解题应用.四小结：微分中值定理是微分学的基本定理，而且它也是微分学的理论核心，有着广泛的应用。