2020年江苏省启东市高2022届高2019级高二第一学期期中考试数学试题及答案

2020～2021学年度第一学期期中考试

高二数学试题及评分建议

(考试时间:120分钟 满分:150分)

一、单项选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合

题目要求的。

1. 已知命题p :∃x ∈R ,2104x x -+≤,则⌝p 为( ▲ )

A.∀x ∈R ,2104x x -+≤

B.∀x ∈R ,2104

x x -+>

C.∃x ∈R ,2104x x -+>

D.∃x ∈R ,2104x x -+<

【参考答案】B

2. 椭圆14

162

2=+y x 的长轴长为( ▲ )

A.2

B.4

C.8

D.16 【参考答案】C

3. 已知关于x 的不等式ax 2＋bx －1>0的解集为(3,4),则实数a ,b 的值是( ▲ ) A.a ＝12,b ＝－84 B.a ＝－12,b ＝84

C.a ＝112,b ＝－712

D.a ＝－112,b ＝712

【参考答案】D

4. 已知1,a ,x ,b ,16这五个实数成等比数列,则x 的值为( ▲ )

A.4

B.－4

C.±4

D.不确定 【参考答案】A

5. 已知正数a 、b 满足a ＋b ＝2,则b a +有( ▲ )

A.最小值1

B.最小值2

C.最大值1

D.最大值2 【参考答案】D

6. “a >1,b >1”是“log a b ＋log b a ≥2”的( ▲ )条件

A.充分不必要

B.必要不充分

C.充要

D.既不充分也不必要 【参考答案】A

7. 在等差数列{a n }中,已知前21项和S 21＝63,则a 2＋a 5＋a 8＋…＋a 20的值为( ▲ )

A.7

B.9

C.21

D.42 【参考答案】C

8. ∃x ∈)

13

⎡+∞⎢⎣，,使得ax 2－2x ＋1>0 成立,则实数a 的取值范围为( ▲ )

A.[－3,＋∞)

B.(－3,＋∞)

C.[1,＋∞)

D.(1,＋∞) 【参考答案】B

二、多项选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分。在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求。

全部选对的得5分,部分选对的得3分,有选错的得0分。 9. 下列命题的否定中,是全称命题且为假命题的有( ▲ )

A.中国所有的江河都流入太平洋

B.有的四边形既是矩形,又是菱形

C.存在x ∈R ,有x 2＋x ＋1＝0

D.有的数比它的倒数小 【参考答案】BD 10.已知110m n

<<,则( ▲ )

A.m < n

B.|m|> |n |

C.m ＋n

D.mn

11.意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时,发现有这样一列数:1,1,2,3,5,…,其中从第三项

起,每个数等于它前面两个数的和,后来人们把这样的一列数组成的数列{a n }称为“斐波那契数列”,记S n 为数列{a n }的前n 项和,则下列结论正确的是( ▲ )

A.a 8＝34

B.S 8＝54

C.S 2020＝a 2022－1

D.a 1＋a 3＋a 5＋…＋a 2021＝a 2022 【参考答案】BCD

12.椭圆有这样的光学性质:从椭圆的一个焦点出发的光线,经椭圆反射后,反射光线经过椭圆的另一个

焦点,今有一个水平放置的椭圆形台球盘,点F 1,F 2是它的焦点,长轴长为2a ,焦距为2c ,静放在点F 1的小球(小球的半径不计),从点F 1沿直线出发,经椭圆壁反弹后第一次回到点F 1时,小球经过的路程可以是( ▲ )

A.4a

B.4c

C.2(a ＋c )

D.2(a －c ) 【参考答案】ACD

三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。请把答案直接填写在答题卡相应．．．．． 位置上．．．

。 13.不等式2311x x +<-的解集是 ▲ .

【参考答案】(－4,1)

14.若方程22195y x m m

+=+-表示焦点在x 轴上的椭圆,则实数m 的取值范围是 ▲ . 【参考答案】(－2,5)

15.已知a ,b 是正实数,且a ＋b ＝2,则22

1111a b +++的最大值是 ▲ .

16.一个正方形被等分成九个相等的小正方形,将中间的一个小正方形挖掉(如图(1));再将剩余的每个

小正方形都分成九个相等的小正方形,并将中间的一个小正方形挖掉得图(2);如此继续下去…….设原正方形的边长为1,则第3个图中共挖掉 ▲ 个正方形,第n 个图中所有挖掉的正方形的面积和为 ▲ .

(本题第一空2分,第二空3分)

【参考答案】73,()

819

n

-

四、解答题:本题共6小题,共70分。请在答题卡指定区域．．．．．．．

内作答。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17.(本小题满分10分)

已知椭圆C :x 2a 2＋y 2

b 2＝1(a ＞b ＞0)的两个焦点分别为F 1、F 2,短轴的一个端点为P .

(1)若∠F 1PF 2为直角,焦距长为2,求椭圆C 的标准方程; (2)若∠F 1PF 2为钝角,求椭圆C 的离心率的取值范围. 【解】(1)因为椭圆短轴的一个端点为P ,且∠F 1PF 2为直角,

所以b ＝c ,a ＝

2c ,……………2分 因为焦距长为2,所以c ＝1,……………3分

所以a ＝

2,b ＝1,所以椭圆C 的标准方程为2212

x y +=.……………5分 (2)因为椭圆短轴的一个端点为P ,且∠F 1PF 2为钝角,

所以45°＜∠OPF 2＜90°,……………7分

所以sin ∠OPF 2＝c a ＞

2

2,又因为椭圆的离心率e ∈(0,1),

所以椭圆C 的离心率的取值范围为2⎫

⎪⎝⎭

.……………10分 18.(本小题满分12分)

已知命题p :关于x 的方程x 2－(3m －2)x ＋2m 2－m －3＝0有两个大于1的实数根. (1)若命题p 为真命题,求实数m 的取值范围;

(2)命题q :3－a

若存在,求出实数a 的取值范围;若不存在,说明理由.