2020年江苏省启东市高2022届高2019级高二第一学期期中考试数学试题及答案
2019-2020学年江苏省南通市启东中学高二上学期期中数学试题(解析版)
2019-2020学年江苏省南通市启东中学高二上学期期中数学试题一、单选题1．设x ∈R ，则“x ＞1”是“2x ＞1”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 【答案】A【解析】【详解】试题分析：由1x >可得21x >成立，反之不成立，所以“1x >”是“21x >”的充分不必要条件【考点】充分条件与必要条件2．从甲、乙等5名学生中随机选出2人，则甲被选中的概率为（ ） A ．15B ．25C ．825D ．925【答案】B【解析】试题分析：从甲乙等5名学生中随机选出2人，基本事件的总数为2510n C ==，甲被选中包含的基本事件的个数11144m C C ==，所以甲被选中的概率25m p n ==，故选B ．【考点】古典概型及其概率的计算．3．如果直线直线n ，且平面，那么n 与的位置关系是 A ．相交 B ．C ．D ．或【答案】D【解析】利用直线与平面平行的判定定理和直线与平面平行的性质进行判断即可. 【详解】 直线直线 ,且平面，当不在平面内时，平面内存在直线，符合线面平行的判定定理可得平面，当在平面内时，也符合条件， 与的位置关系是或，故选D .【点睛】本题主要考查线面平行的判定定理以及线面平行的性质，意在考查对基本定理掌握的熟练程度，属于基础题.4．在平面直角坐标系xOy 中，已知ABC ∆顶点(4,0)A -和(4,0)C ，顶点B 在椭圆221259x y +=上，则sin sin sin()A C A C +=+（ ） A ．43B ．53C ．45D ．54【答案】D【解析】根据题意，由椭圆的方程可得a=5，b=3；则其焦点坐标为(−4,0)和(4,0)，恰好是A. C 两点， 则AC=2c=8，BC+BA=2a=10； 由正弦定理可得：()sin sin sin sin 5sin sin 4A C A C BC BA A CB AC +++===+；本题选择D 选项.5．等比数列{}n a 的各项均为正数，且564718a a a a +=，则3132310log log log a a a +++=L （ ）A ．12B ．10C ．8D ．32log 5+【答案】B【解析】由等比数列的性质可得：564756218a a a a a a +==，所以569a a =.1102938479a a a a a a a a ====⋯=.则5313231031103log log log log ()5log 910a a a a a +++===L ，故选B.6．已知两个向量(2,1,3)a =-r ，(4,,)b m n =r ，且//a b r r ，则m n +的值为（ ）A ．1B ．2C ．4D ．8【答案】C【解析】由已知可得存在实数k ，使得a kb =r r ，即可得出．【详解】//a b r r Q ，∴存在实数k 使得a kb =r r， 2413kkm kn=⎧⎪∴-=⎨⎪=⎩，解得12k =，2m =-，6n =，则4m n +=． 故选：C ． 【点睛】本题考查空间向量共线定理、方程的解法，考查数学计算能力，属于基础题． 7．一个圆锥的侧面展开图是一个14的圆面，则这个圆锥的表面积和侧面积的比是（ ）A ．54B ．43C ．32D ．65【答案】A【解析】【详解】试题分析：设该圆锥体的底面半径为r ，母线长为l ，根据题意得；244l rl l r ππ=∴=，；所以这个圆锥的侧面积与表面积的比是2225:454rl r rl r r πππππ+==（）：： 故答案为A【考点】圆锥的表面积和侧面积 8．直线3x π=的倾斜角为（ ）A ．6πB ．4π C ．3π D ．2π 【答案】D 【解析】由直线3x π=与x 轴垂直，可得其倾斜角．【详解】Q 直线3x π=与x 轴垂直，因此其倾斜角为2π． 故选：D ． 【点睛】本题考查了直线的倾斜角，属于基础题．9．已知ABC V 中，1a =，b =30A =︒，则B 等于（ ）A ．30°B ．30°或150︒C ．60︒D ．60︒或120︒【答案】D【解析】根据题意和正弦定理求出sin B 的值，由边角关系、内角的范围、特殊角的三角函数值求出B ． 【详解】由题意得，△ABC 中，a ＝1，b =A ＝30°， 由a b sinA sinB=得，sinB 1212b sinA a ⋅===， 又b ＞a ，0°＜B ＜180°， 则B ＝60°或B ＝120°， 故选：D ． 【点睛】本题考查正弦定理，以及边角关系的应用，注意内角的范围，属于基础题．10．圆221:2410C x y x y ++++=与圆222:4410C x y x y +---=的公切线有几条（） A ．1条 B ．2条 C ．3条 D ．4条【答案】C【解析】首先求两圆的圆心距，然后判断圆心距与半径和或差的大小关系,最后判断公切线的条数. 【详解】圆()()221:124C x y +++=，圆心1C ()1,2-- ，12r =，圆()()222:229C x y -+-= ,圆心2C ()2,2，23r =，圆心距125C C ==1212C C r r =+Q∴两圆外切，有3条公切线.故选C. 【点睛】本题考查了两圆的位置关系，属于简单题型.二、填空题11．己知0<<3a ，那么193a a+-的最小值是______． 【答案】163【解析】0<<3a ，30a ->，可得19119139(3)1033333a a a a a a a a a a -⎛⎫⎛⎫+=+-+=++ ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭利用基本不等式的性质即可求解． 【详解】03a <<Q ，30a ->．19119(3)333a a a a a a ⎛⎫∴+=+-+ ⎪--⎝⎭1391391610(102)33333a a a a a a a a --⎛⎫=++≥+⋅= ⎪--⎝⎭． 当且仅当33a a -=，即34a =时，等号成立． 故答案为：163．【点睛】本题考查基本不等式的应用，拼凑积为定值是解题的关键，属于基础题．12．若等差数列{}n a 满足7897100,0a a a a a ++>+<，则当n =__________时，{}n a 的前n 项和最大． 【答案】8【解析】试题分析：由等差数列的性质，，，又因为，所以 所以，所以，，故数列的前8项最大.【考点】等差数列的性质，前项和的最值，容易题.13．已知点P 是椭圆22221(0)x y a b a b+=>>上的一点，12,F F 分别为椭圆的左、右焦点，已知12F PF ∠=120°，且12||3||PF PF =，则椭圆的离心率为___________.【解析】设21,3,24PF x PF x a x ===，由余弦定理知22(2)13c x =，所以c a =，. 14．已知()()()2,1,2,1,3,3,13,6,a b c λ=-=--=v v v，若向量,,a b c v v v 共面，则λ=_________．【答案】3【解析】试题分析：由于a b c r r r 、、三个向量共面，所以存在实数m n 、，使得=c ma nb +r r r ，即有13=2{6323m n m n m n λ-=-+=-，解得9{53m n λ===. 【考点】空间向量的正交分解及其坐标表示.15．已知直线l ：mx ﹣y=4，若直线l 与直线x+m （m ﹣1）y=2垂直，则m 的值为 ． 【答案】0，2【解析】试题分析：当m=0时，两条直线分别化为：-y=4，x=2，此时两条直线垂直，因此m=0满足条件；当m=1时，两条直线分别化为：x-y=4，x=2，此时两条直线不垂直，因此m=1不满足条件；当m≠0，1时，两条直线分别化为：y=mx-4，()()1211y x m m m m =+--，若两条直线垂直，则m×()11m m -=-1，解得m=2．综上可得：m=0，2，两条直线相互垂直 【考点】直线的一般式方程与直线的垂直关系16．在平面直角坐标系xOy 中，以点(1,0)为圆心且与直线210()mx y m m ---=∈R 相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为______． 【答案】()2212x y -+=【解析】试题分析：因为直线210mx y m ---=恒过定点(2,1)-，所以圆心(1,0)到直线210mx y m ---=的最大距离为22(21)(01)2d =-++=，所以半径最大时的半径，所以半径最大的圆的标准方程为22(1)2x y -+=．【考点】1、圆的方程；2、直线与圆的位置关系．【方法点睛】解决直线与圆的问题时，一方面，注意运用解析几何的基本思想方法（即几何问题代数化），把它转化为代数问题，通过代数的计算，使问题得到解决；另一方面，由于直线与圆和平面几何联系得非常紧密，因此准确地作出图形，并充分挖掘几何图形中所隐含的条件，利用几何知识使问题较为简捷地得到解决，即注意圆的几何性质的运用．三、解答题17．如图，在直三棱柱ABC-A 1B 1C 1中，D ，E 分别为AB ，BC 的中点，点F 在侧棱B 1B 上，且11B D A F ⊥，1111AC A B ⊥.求证：（1）直线DE P 平面A 1C 1F ； （2）平面B 1DE ⊥平面A 1C 1F. 【答案】（1）详见解析（2）详见解析【解析】试题分析：（1）利用线面平行判定定理证明线面平行，而线线平行的寻找往往结合平面几何的知识，如中位线的性质等；（2）利用面面垂直判定定理证明，即从线面垂直出发给予证明，而线面垂直的证明，往往需要多次利用线面垂直性质定理与判定定理.试题解析：证明：（1）在直三棱柱111ABC A B C -中，11A C P AC ， 在三角形ABC 中，因为D ，E 分别为AB ，BC 的中点， 所以DE AC P ，于是11DE AC P ，又因为DE ⊄平面1111,AC F AC ⊂平面11AC F ， 所以直线DE//平面11AC F .（2）在直三棱柱111ABC A B C -中，1111AA A B C ⊥平面 因为11A C ⊂平面111A B C ，所以111AA AC ⊥，又因为111111*********,,AC A B AA ABB A A B ABB A A B AA A ⊥⊂⊂⋂=，平面平面， 所以11A C ⊥平面11ABB A .因为1B D ⊂平面11ABB A ，所以111AC B D ⊥.又因为1111111111111,,B D A F AC AC F A F AC F AC A F A ⊥⊂⊂⋂=，平面平面， 所以111B D AC F ⊥平面.因为直线11B D B DE ⊂平面，所以1B DE 平面11.A C F ⊥平面 【考点】直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系【名师点睛】垂直、平行关系证明中应用转化与化归思想的常见类型：（1）证明线面、面面平行，需转化为证明线线平行；（2）证明线面垂直，需转化为证明线线垂直；（3）证明线线垂直，需转化为证明线面垂直；（4）证明面面垂直，需转化为证明线面垂直，进而转化为证明线线垂直.18．已知a ，b ，c 分别是ABC △内角A ，B ，C 的对边，且满足()22a bc b c -=-． （1）求角A 的大小；（2）若a=3，sinc=2sinB ，求ABC V 的面积．【答案】（1）3A π=；（2）2【解析】(1)由()22a bc b c -=-可得222b c a bc +-=，由余弦定理可得1cos 2A =，结合范围()0,A π∈，即可求得A 的值；(2)由sin 2sin C B =及正弦定理可得2c b =，又3,3a A π==，由余弦定理可解得,b c 的值，利用三角形面积公式即可得结果.【详解】（1）∵()22b c =a bc --，可得：222b c a =bc +-，∴由余弦定理可得：222b c a 1cos 222bc A bc abc +-===，又∵()0,A π∈，∴3A π=（2）由sin =2sin C B 及正弦定理可得：c=2b ， ∵a=3，3A π=，∴由余弦定理可得：222222a =b c 2bccos =b c bc=3b A +-+-， ∴解得：b=3，c=23，∴11333bcsin =323=22ABC S A =⨯⨯⨯V 【点睛】本题主要考查正弦定理、余弦定理及特殊角的三角函数以及三角形面积公式的应用，属于中档题.对余弦定理一定要熟记两种形式：（1）2222cos a b c bc A =+-；（2）222cos 2b c a A bc+-=，同时还要熟练掌握运用两种形式的条件.另外，在解与三角形、三角函数有关的问题时，还需要记住30,45,60ooo等特殊角的三角函数值，以便在解题中直接应用.19．如图所示，将一矩形花坛ABCD 扩建成一个更大的矩形花坛AMPN ，要求B 点在AM 上，D 点在AN 上，且对角线MN 过C 点.已知AB=3米，AD=2米.（1）要使矩形AMPN 的面积大于32平方米，请问AN 的长应在什么范围； （2）当AN 的长度是多少时，矩形AMPN 的面积最小，并求出最小面积. 【答案】（1）()82,8,3⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭U ；（2）AN 的长为4米时，矩形AMPN 的最小面积为24平方米.【解析】（1）设AN x =(0)x >，则32xAM x =-，表示出矩形的面积，利用矩形AMPN 的面积大于32平方米，即可求得AN 的取值范围；（2）化简矩形的面积，利用基本不等式，即可得到结论． 【详解】（1）AN x =（2x >），则由DN DC ANAM=，得32xAM x =-，∴232AMPNx S AN AM x =⋅=-， 由32AMPNS >，得23322x x >-，又2x >，所以2332640x x -+>，解得823x <<，或8x >， 所以AN 的长度的取值范围为()82,8,3⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭U ； （2）因为2233(2)12(2)1222AMPNx x x S x x -+-+==--123(2)122x x =-++≥-1224=， 当且仅当123(2)2x x -=-，即4x =时，等号成立． 所以当AN 的长度是4m 时，矩形AMPN 的面积最小，最小值为224m ． 【点晴】本题主要考查了函数的实际应用问题，其中解答中涉及到一元二次不等式的求解、函数关系式的求解，基本不等式求最值的应用的知识点的综合考查，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，以及转化思想的应用，本题的解答中根据题设条件列出关系式是解答的关键，试题有一定的难度，属于中档试题．20．已知圆C 的圆心在x 轴正半轴上，半径为5，且与直线43170x y ++=相切． (1)求圆C 的方程；(2)设点31,2M ⎛⎫- ⎪⎝⎭，过点M 作直线l 与圆C 交于,A B 两点，若8AB =，求直线l 的方程；(3)设P 是直线60x y ++=上的点，过P 点作圆C 的切线,PA PB ，切点为,A B 求证：经过,,A P C 三点的圆必过定点，并求出所有定点的坐标．【答案】(1) 22(2)25x y -+= (2) 3490x y -+=或1x =-；(3) 见证明【解析】（1）设圆心(),0(0)C a a >，由直线和圆相切可得：d r =，利用点到直线距离公式即可求得2a =，问题得解．（2）若直线l 的斜率不存在，即l ：1x =-，检验得：8AB =成立，若直线l 的斜率存在，可设直线l ：()312y k x -=+，由圆的弦长计算公式可得：8=，即可求得34k =，问题得解． （3）设(),6P m m --，由题可得：经过A ，P ，C 的三点的圆是以PC 为直径的圆，即可求得该圆的方程为：()()222620x y x y m y x +-++-+=，列方程2220260y x x y x y -+=⎧⎨+-+=⎩即可求得定点的坐标为()2,0，()2,4--，问题得解． 【详解】（1）解：设圆心(),0(0)C a a >，圆心(),0C a 到直线的距离为d则由直线和圆相切可得：d r =，5=，解得2a =（负值舍去），即圆C 的方程为()22225x y -+=；（2）解：若直线l 的斜率不存在，即l ：1x =-，代入圆的方程可得，4y =±，即有8AB =，成立；若直线l 的斜率存在，可设直线l ：()312y k x -=+， 即为22320kx y k -++=， 圆C 到直线l的距离为d ==，由8AB =，即有8=，解得3d =3=，解得34k =，则直线l 的方程为3490x y -+=， 所以l 的方程为3490x y -+=或1x =-；（3）证明：由于P 是直线60x y ++=上的点，设(),6P m m --，由切线的性质可得AC PA ⊥，经过A ，P ，C 的三点的圆是以PC 为直径的圆，则方程为()()()260x x m y y m --+++=，整理可得()()222620x y x y m y x +-++-+=， 令22260x y x y +-+=，且20y x -+=. 解得20x y =⎧⎨=⎩或24x y =-⎧⎨=-⎩. 则有经过A ，P ，C 三点的圆必过定点，所有定点的坐标为()2,0，()2,4--.【点睛】本题主要考查了直线与圆相切的关系，还考查了圆的弦长计算及点到直线的距离公式，考查了分类思想及转化思想，考查计算能力，属于难题．21．设椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>过点)Q ，右焦点为)F ， （Ⅰ）求椭圆C 的方程； （Ⅱ）设直线l ：()1(0)y k x k =->分别交x 轴，y 轴于C D ，两点，且与椭圆C 交于M N ，两点，若CN MD =u u u v u u u u v，求k 的值，并求弦长MN ． 【答案】(Ⅰ) 22142x y +=.(Ⅱ) 2MN ===【解析】试题分析：(Ⅰ)将Q 的坐标代入椭圆方程，以及a b c ，，的关系，解方程可得a b ，，进而得到椭圆方程；(Ⅱ)求出直线l 与x y ，轴的交点，代入椭圆方程，运用韦达定理，以及向量共线的坐标表示，可得k 的值，运用弦长公式可得弦长MN ．试题解析：(Ⅰ)椭圆过点)Q，可得22211a b+=，由题意可得c =222a b -=，解得2a b ==，即有椭圆C 的方程为22142x y +=； (Ⅱ)直线l ：()1y k x =-与x 轴交点()10C y ，，轴交点()0D k -，，联立()22241x y y k x ⎧+=⎪⎨=-⎪⎩，消y 得，()2222124240k x k x k +-+-=，① 设()()1122M x y N x y ，，，，则2122412k x x k+=+， ()()22111CN x y MD x k y =-=---u u u r u u u u r ，，，，由CN MD =u u u r u u u u r ，得：21224112k x x k +==+，解得k =由0k >得k =① 得22230x x --=，1212312x x x x +==-，，可得MN === 22．若数列{}n a 是递增的等差数列，它的前n 项和为n T ，其中39T =，且1a ,2a ,5a 成等比数列.（1）求{}n a 的通项公式；（2）设11n n n b a a +=，数列{}n b 的前n 项和为n S ，若对任意*n N ∈，24n S a a ≤-恒成立，求a 的取值范围.【答案】(1) 21n a n =+ (2) 1a 2a ≤-≥或【解析】试题分析：（1）根据题目中所给的条件，用基本量来表示数列中的项，求出基本量，即可得到通项；（2）由第一问可得，11122121n b n n ⎛⎫=- ⎪-+⎝⎭，进而裂项求和，得到221n a a n ≤-+恒成立，求左式的最大值即可． 解析：（1）31239T a a a =++=Q ，13a d ∴+=又125,,a a a Q 成等比数列2215a a a ∴=11a ∴=`,221n d a n =∴=- （2）()()111111212122121n n n b a a n n n n +⎛⎫===- ⎪-+-+⎝⎭ 1111111-++23352121n S n n ⎛⎫∴=-+⋅⋅⋅- ⎪-+⎝⎭ 111-221n =+（） 21n n =+ 对任意的*n N ∈,24n S a a ≤-恒成立只需n S 的最大值小于或等于24a a -，而12n S < 22a a ∴-≥1a ∴≤-或2a ≥。
江苏省启东市高二数学上学期期中考试
高二数学试卷（满分160分 时间120分钟）一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分，把答案填写在答题卷相应位置上. 1. 命题“2,0x R x x ∃∈+≤”的否定是 ． 2. 输出的结果是 ． Read S ←1For I from 1 to 5 step 2S ←S+I End forPrint SEnd3. 某单位有职工750人，其中青年职工350人，中年职工250人，老年职工150人，为了了解该单位职工的健康情况，用分层抽样的方法从中抽取样本 . 若样本中的青年职工为7人，则样本容量为 ．4. 已知椭圆中心在原点，一个焦点为(3，0)，且长轴长是短轴长的2倍，则该椭圆的标准方程是 ．5. 已知21,F F 是双曲线的两个焦点，PQ 是经过1F 且垂直于实轴的弦，若2PQF ∆是等腰直角三角形，则双曲线的离心率为 ．6. 从{}5,4,3,2,1中随机选取一个数为a ，从{}3,2,1中随机选取一个数为b ，则b a >的概率是 ．7. 已知定点)4,3(A ，点P 为抛物线x y 42=上一动点，点P 到直线1-=x 的距离为d ，则d PA +的最小值为 ．8. 过抛物线)0(2>=a ax y 的焦点F 作一条直线交抛物线于P Q 、两点，若线段PF 与FQ 的长分别是p 、q ，则=+qp 11 ． 9. 在平面直角坐标系xOy 中，双曲线112422=-y x 上一点M ，点M 的横坐标是3则M 到双曲线右焦点的距离是 ．10. 已知1F 、2F 是椭圆22x k ++21y k +=1的左右焦点，弦AB 过F 1，若2ABF ∆的周长为8，则椭圆的离心率为 ．11. 已知椭圆1522=+my x 的离心率为510，则m 的值为 ．12. 如图，把椭圆191622=+y x 的长轴AB 分成8等份，过每个分点作x 轴的垂线交椭圆的上半部分于、、21P P 76543P P P P P 、、、、 七个点，F 是椭圆的一个焦点，则1234567PF P F P F P F P F P F P F ++++++= ．13. 已知动点P 与双曲线122=-y x 的两个焦点F 1，F 2的距离之和为定值，且12cos F PF ∠的最小值为13-，则动点P 的轨迹方程为 ．14. 已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的离心率为2，过右焦点F 且斜率为(0)k k >的直线与C 相交于A B 、两点．若3AF FB =，则k = ．二、解答题：本大题共6小题，共90分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 设有两个命题：①“关于x 的不等式0)1(22>+-+a x a x 的解集是R ”；②“函数x a a x f )12()(2++=是R 上的减函数”． 若命题①和②中至少有一个是真命题，求实数a的取值范围．16. 高三年级有500名学生，为了了解数学学科的学习情况，现从中随机抽出若干名学生在一次测试中的数学成绩，制成如下频率分布表：（1）根据上面图表，①②③④处的数值分别为多少； （2）根据题中信息估计总体平均数是多少； （3）估计总体落在[125,155]中的概率.17. 设关于x 的一元二次方程0222=++b ax x .（1）若a 是从0，1，2，3四个数中任取的一个数，b 是从0，1，2三个数中任取的一个数，求上述方程有实数根的概率；（2）若a 是从区间[]3,0任取的一个数，b 是从区间[]2,0任取的一个数，求上述方程有实数根的概率.18. 如图，直角梯形ABCD 中，3,4,3AD AB BC ===，曲线DE 上任一点到A B 、两点距离之和都相等.（E 与AB 在一条直线上） （1）适当建立直角坐标系，求曲线DE 的方程；（2）过C 点能否作一条直线与曲线DE 相交且以C 为中点的弦？如果不能，请说明理由；如果能，请求出该弦所在直线的方程.19. 某高校从参加今年自主招生考试的学生中随机抽取容量为50的学生成绩样本，得频率分组号 分组 频数 频率第一组 [)230,235 8 0.16第二组 [)235,240 ① 0.24 第三组 [)240,245 15 ② 第四组[)245,250100.20第五组 [250,255] 5 0.10合 计 50 1.00（（2）为了选拔出更优秀的学生，高校决定在第三、四、五组中用分层抽样法抽取6名学生进行第二轮考核，分别求第三、四、五各组参加考核人数；A B C D E（3）在（2）的前提下，高校决定在这6名学生中录取2名学生，求2人中至少有1名是第四组的概率．20. 如图，F 是椭圆12222=+by a x (a>b>0)的一个焦点，A,B 是椭圆的两个顶点，椭圆的离心率为21．点C 在x 轴上，BC ⊥BF ，B ，C ，F 三点确定的圆M 恰好与直线l 1：330x y ++=相切．（1）求椭圆的方程；（2）过点A 的直线l 2与圆M 交于PQ 两点，且2-=•MQ MP ，求直线l 2的方程．江苏省启东中学2012-2013学年度第一学期期中考试高二数学答案卷一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．将答案填在相应的横线上．1． 2． 3． 4． 5． 6． 7． 8． 9． 10． 11． 12． 13． 14．二、解答题：本大题共6小题，共90分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15.考试号 座位号 ……………………线……………………………………………… ―――――――――――――――――――――――――――16.17.19.20.江苏省启东中学2012-2013学年第一学期期中考试 高二数学答案 一、填空题：1. 2,0x R x x ∀∈+>; 2. 10; 3. 15; 4. 2214x y += ; 5. 16.15; 7. 8. 4a ; 9. 4; 10. 12;11. 2533或; 12. 28; 13. 2213x y += ; 14. 二、解答题：15. 解：若命题①为真命题，则22(1)40x a a ∆=--<， …………………2分解之得113a a <->或， …………………5分 若命题②为真命题，则20211a a <++<， …………………7分解之得102a -<<， …………………10分 所以至少有一个为真命题的a 的取值范围为111023a a a <--<<>或或.……14分16. 解：（1）①1 ②0.025 ③ 0.1 ④ 40 …………………8分（2）900.0251000.051100.21200.31300.2751400.11500.05122.5⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯= …………………12分 （3）0.2750.10.050.425++= …………………14分 17. 解：设事件A 为“方程0222=++b ax ax 有实根”当0,0≥≥b a 时，方程2220x ax b ++=有实根的充要条件为b a ≥.…………4分（1）基本事件共有12个，事件A 包含9个基本事件，事件A 发生的概率为43)(=A P ； …………………9分 （2）试验的全部结果所构成的区域为{}20,30),(≤≤≤≤b a b a ，而构成事件A 的区域为{(,)|03,02,}a b a b a b ≤<≤≤≥，所求事件的概率为21222()1233P A ⨯=-=⨯. …………………14分18. 解：（1）取AB 中点O 为原点，AB 所在直线为x 轴建立直角坐标系，由题意，曲线DE 为一段椭圆弧.由于4|)||(|21=+=BD AD a ，,2=c 122=b …………………2分 所以曲线DE 的方程为)0,42(1121622≥≤≤-=+y x y x .…………………6分 （少变量范围的扣2分） （2）C 点坐标为()3,2，设存在直线l 与曲线DE 交11(,)M x y 、22(,)N x y ，由2211222234483448x y x y ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩，两式相减得0))((4))((321212121=-++-+y y y y x x x x ， …………………8分 又∵C 是DE的中点，∴12124,x x y y +=+=∴2121y y k x x -==-…………………10分 ∴直线l 方程为3)2(23+--=x y，即2y x =-+………………12分 代入曲线DE 的方程得042=-x x∴120,4x x ==得(0,M 、(4,0)N 在曲线DE 上 ∴存在直线l，其方程为y x =+………………16分 19.解：（1）500.2412⨯=，150.350=； …………………4分 （2）因为15:10:53:2:1=，所以第三、四、五各组参加考核人数分别为3,2,1；…………………8分 （3）设第三组抽到的学生为123,,a a a ，第四组抽到的学生为12,b b ，第五组抽到的学 生为c ，则6名学生中录取2名学生有如下15种：12{,}a a ，13{,}a a ，11{,}a b ，12{,}a b ，1{,}a c ，23{,}a a ，21{,}a b ，22{,}a b ，2{,}a c ，31{,}a b ，32{,}a b ，3{,}a c ，12{,}b b ，1{,}b c ，2{,}b c ，其中至少有1名是第四组的有9种，故至少有1名是第四组的概率为93155P ==．…………………16分 20. 解：（1）∵12c e a ==， ∴222a c =，∴b =，∴)B ，…………2分 又∵(,0)F c -，∴3=BF k故3BC k =-，∴直线BC为3y x =-，∴)0,3(c C ………4分 ∴圆M 的方程为2224)(c y c x =+- …………6分 圆M 与直线033:1=++y x l 相切∴c c 2313031=++⨯+⨯，得1=c …………8分∴ 椭圆方程为13422=+y x …………10分 （2）由（1）得)0,2(-A ，圆M 方程为4)1(22=+-y x ， …………12分 2-=•MQ MP ，可得0120=∠PMQ ，所以圆心M 到直线2l 的距离为1， 设)2(:2+=x k y l ，则1122=++k k k，得4k =±…………14分 故直线2l 方程为 )2(42+±=x y …………16分。
2019-2020年高二上学期期中考试数学试卷含答案
2019-2020年高二上学期期中考试数学试卷含答案注意事项：1. 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.答题前，考生务必将自己的姓名、班级和准考证号填写在答题卡上..2.回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再涂选其它答案标号，写在本试卷上无效.3.回答第Ⅱ卷将答案写在答题卡上，在试题卷上作答，答案无效.4.考试结束，只交答题卡.第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、选择题：本大题共12题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．直线x－y＝0的倾斜角为( )A．45°B．60°C．90°D．135°2．若三点A(0，8)，B(－4，0)，C(m，－4)共线，则实数m的值是( )A．6 B．－2 C．－6 D．2 3．圆ｘ2＋ｙ2＝4与圆ｘ2＋ｙ2－6x＋8y－24＝0的位置关系是（)A．相交B．相离C．内切D．外切4．如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，棱锥A1-ABCD的体积与长方体AC1的体积的比值为( )A.12B．16C.13D．155．如图，正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F，G，H，K，L分别为AB，BB1，B1C1，C1D1，D1D，DA的中点，则六边形EFGHKL在正方体面上的射影可能是( ) 6．已知直线l与过点M(－3，2)，N(2，－3)的直线垂直，则直线l的倾斜角是（)A.π3B.π4C.2π3D.3π47．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为( ) A．2π＋12 B．π＋12 C．2π＋24 D．π＋24 8．若坐标原点在圆x2＋y2－2mx＋2my＋2m2－4＝0的内部，则实数m的取值范围是( )A．(－1，1) B．－22，22C．(－3，3) D．(－2，2)9．点P(7，－4)关于直线l：6x－5y－1＝0的对称点Q的坐标是（)A．(5,6) B．(2,3) C．(－5,6)D．(－2,3)10.过(2，0)点作圆(x－1)2＋(y－1)2＝1的切线，所得切线方程为( )A．y＝0 B．x＝1和y＝0 C．x＝2和y＝0 D．不存在11．两圆x2＋y2＋4x－4y＝0与x2＋y2＋2x－12＝0的公共弦长等于( ) A．4 B．2 3 C．3 2 D．4 212．已知直线y＝kx＋2k＋1与直线y＝12x＋2的交点位于第一象限，则实数k的取值范围是( )A．－6＜k＜2 B．－16＜k＜0C．－16＜k＜12D．k＞12第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。
江苏省启东中学2019-2020学年高二上学期期末考试数学试题 Word版含答案
江苏省启东中学2019-2020学年度第一学期期终考试高二数学考试时间：120 分钟；试卷分值：150 分一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分）1．圆O 1：2220x y x +-=与圆O 2：2240x y y ++=的位置关系是（ ） A.外离 B.外切 C.相交 D.内切 2．“4m =”是“m 为2与8的等比中项”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件3．下列命题中，不正确的是（ ） A ．若a b >，c d >，则a d b c ->- B ．若22a x a y >，则x y > C ．若a b >，则11a b a >- D ．若110a b<<，则2ab b < 4．在等差数列{}n a 中，首项10a >，公差0d ≠，前n 项和为()*n S n N ∈，且满足315S S =，则n S 的最大项为（ ） A ．7SB ．8SC ．9SD ．10S5．若两个正实数x ，y 满足，且不等式x ＋y4＜m 2－3m 有解，则实数m 的取值范围是（ ） A ．(－1，4) B ．(－∞，－1)∪(4，＋∞) C ．(－4，1) D ．(－∞，0]∪[3，＋∞)6．在三棱锥P －ABC 中，PA ⊥平面ABC ，∠BAC ＝90°，D ，E ，F 分别是棱AB ，BC ，CP 的中点，AB ＝AC ＝1，PA ＝2，则直线PA 与平面DEF 所成角的正弦值为（ ）A ．51B ．552 C ．55 D ．52 7．双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的一个焦点F 与抛物线24y x =的焦点重合，若这两曲线的一个交点P 满足PF x ⊥轴，则a =（ ）A1 B1C ．12D．28．已知F 是椭圆22x C y 12+=：的左焦点，P 为椭圆C 上任意一点，点()Q 4,3，则PQ P F +的最大值为（ ）A.B.D. 二、多选题（本题共4小题，每小题5分，共20分） 9．在下列函数中，最小值是2的函数有（ ） A ．()221f x x x =+B ．()1cos 0cos 2f x x x x π⎛⎫=+<< ⎪⎝⎭C ．()2f x =D ．()4323xx f x =+- 10．下面命题正确的是（ ）A ．“1a >”是“11a<”的充分不必要条件 B ．命题“任意∈x R ,则210++<x x ”的否定是“ 存在∈x R ,则210++≥x x ”. C ．设,x y R ∈,则“2x ≥且2y ≥”是“224x y +≥”的必要而不充分条件 D ．设,a b ∈R ,则“0a ≠”是“0ab ≠”的必要不充分条件11．如图,在棱长均相等的四棱锥P ABCD -中,O 为底面正方形的中心,M ,N 分别为侧棱PA ,PB 的中点,有下列结论正确的有（ ）A ．PD ∥平面OMNB ．平面PCD ∥平面OMNC ．直线PD 与直线MN 所成角的大小为90 D ．ON PB ⊥ 12．将2n 个数排成n 行n 列的一个数阵，如下图：111213212223231323331312n n n n n n n na a a a a a a a a a a a a a a a ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 该数阵第一列的n 个数从上到下构成以m 为公差的等差数列，每一行的n 个数从左到右构成以m 为公比的等比数列（其中0m >）.已知112a =，13611a a =+，记这2n个数的和为S .下列结论正确的有（ ）A ．3m =B ．767173a =⨯C ．1(31)3j ij a i -=-⨯D ．()1(31)314n S n n =+- 三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13．命题“∃x 0∈R, 200410-+<x ax ”为假命题，则实数a 的取值范围是________．14．点P((x －2)2＋(y －2)2＝│3x ―4y ―6│10，则点P 的轨迹为_____________ 离心率为________．15．设双曲线22221x y a b-=()0,0a b >>的左右焦点分别为12,F F ，过1F 的直线分别交双曲线左右两支于点M ，N .若以MN 为直径的圆经过点2F 且22MF NF =，则双曲线的离心率为________ 16．,使得四、解答题（本题共6小题，共70分）17．(本小题满分10分)已知集合{}13A x x =-≤≤，集合{}()(1)0B x x a x a =---<，a R ∈.（1）若“1B ∈”是真命题，求实数a 取值范围；（2）若“x A ∈”是“x B ∈”的必要不充分条件，求实数a 的取值范围.18. (本小题满分12分)已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的长轴长为8，短轴长为4．(1)求椭圆方程；(2)过(2,1)P 作弦且弦被P 平分，求此弦所在的直线方程及弦长．19．(本小题满分12分)某企业用180万元购买一套新设备，该套设备预计平均每年能给企业带来100万元的收入，为了维护设备的正常运行，第一年需要各种维护费用10万元，且从第二年开始，每年比上一年所需的维护费用要增加10万元 （1）求该设备给企业带来的总利润y （万元）与使用年数()*x x ∈N的函数关系；（2）试计算这套设备使用多少年，可使年平均利润最大？年平均利润最大为多少万元？20. (本小题满分12分)如图，长方体ABCD –A 1B 1C 1D 1的底面ABCD 是正方形，点E 在棱AA 1上，BE ⊥EC 1．（1）证明：BE ⊥平面EB 1C 1；（2）若AE =A 1E ，求二面角B –EC –C 1的正弦值．21. (本小题满分12分)设数列{}n a 、{}n b 都有无穷项,{}n a 的前n 项和为n S =)53(212n n +, {}n b 是等比数列, 3b =4且6b =32.(1)求{}n a 和{}n b 的通项公式; (2)记n c =nnb a ,求数列{}nc 的前n 项和为n T ,22．(本小题满分12分)在平面直角坐标系xOy 中，椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的离心Ey x =被椭圆C ． （1）求椭圆C 的方程；（2）过原点的直线与椭圆C 交于B A ,两点（B A ,不是椭圆C 的顶点）．点D 在椭圆C 上，且AB AD ⊥，直线BD 与x 轴、y 轴分别交于N M ,两点．(ⅰ)设直线AM BD ,的斜率分别为12,k k ，证明存在常数λ使得12k k λ=，并求出λ的值；(ⅱ)求OMN ∆面积的最大值．CACCB,CAA,AD ABD ABD ACD[]4,4- 椭圆 1217．（1）若“1B ∈”是真命题，则()10a a --<，得01a <<. （2）()(){}10B x x a x a =---<{}1x a x a =<<+， 若“x A ∈”是“x B ∈”的必要不充分条件， 则B 是A 的真子集， 即113a a ≥-⎧⎨+≤⎩，即12a a ≥-⎧⎨≤⎩，得-12a ≤≤，即实数a 的取值范围是[]1,2-.18.(1)由椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>长轴长为8，短轴长为4，得28,24a b ==，所以4,2a b ==，所以椭圆方程为221164x y +=．(2)设以点(2,1)P 为中点的弦与椭圆交于1122(,),(,)A x y B x y ，则12124,2x x y y +=+=.1122(,),(,)A x y B x y 在椭圆上，所以22111164x y +=，22221164x y +=，两式相减可得12121212()()4()()0x x x x y y y y +-++-=， 所以AB 的斜率为212112y y k x x -==--，∴点(2,1)P 为中点的弦所在直线方程为240x y +-=.由221164240x y x y ⎧+=⎪⎨⎪+-=⎩，得240x x -=，所以02x y =⎧⎨=⎩或40x y =⎧⎨=⎩，所以||AB ==．19.解：（1）由题意知，x 年总收入为100x 万元x 年维护总费用为10(123)5(1)x x x ++++=+万元.∴总利润1005(1)180y x x x =-+-，*x ∈N 即()251936y x x =--+，*x ∈N （2）年平均利润为36595y x x x ⎛⎫=-++ ⎪⎝⎭∵0x >，∴3612x x +≥= 当且仅当36x x=，即6x =时取“=” ∴35yx≤ 答：这套设备使用6年，可使年平均利润最大，最大利润为35万元.20．解：（1）由已知得，11B C ⊥平面11ABB A ，BE ⊂平面11ABB A ，故11B C ⊥BE ．又1BE EC ⊥，所以BE ⊥平面11EB C ．（2）由（1）知190BEB ∠=︒．由题设知Rt ABE △≌11Rt A B E △，所以45AEB ∠=︒，故AE AB =，12AA AB =．以D 为坐标原点，DA 的方向为x 轴正方向，||DA 为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系D –xyz ，则C （0，1，0），B （1，1，0），1C （0，1，2），E （1，0，1），(1,0,0)CB =，(1,1,1)CE =-，1(0,0,2)CC =．设平面EBC 的法向量为n =（x ，y ，x ），则0,0,CB CE ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n 即0,0,x x y z =⎧⎨-+=⎩ 所以可取n =(0,1,1)--.设平面1ECC 的法向量为m =（x ，y ，z ），则10,0,CC CE ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩m m 即20,0.z x y z =⎧⎨-+=⎩ 所以可取m =（1，1，0）．于是1cos ,||||2⋅<>==-n m n m n m ．所以，二面角1B EC C --的正弦值为2．21．解.(1)1a =1S =4; 当≥n 2时,1--=n n n S S a =)53(212n n +)]1(5)1(3[212-+--n n =]5)12(3[21+-n =3n +1,且1a =4亦满足此关系,故{}n a 的通项为n a =3n +1(*N n ∈).设{}n b 的公比为q ,则3q =36b b =8,故q =2,从而33-⋅=n n q b b =12-n (*N n ∈). (2)由定义,n c =n n b a =1213-+n n , 而 n T =++++ 41027142223--n n +1213-+n n , 2n T =8++++413210172213-+n n 两式相减,有n T =8+3(1+++ 4121221-n )1213-+-n n=8+3(2221--n )1213-+-n n22.（Ｉ）由题意知=，可得224a b =.椭圆C 的方程可化简为2224x y a +=.将y x =代入可得x ==，可得2a =. 因此1b =，所以椭圆C 的方程为2214x y +=. （Ⅱ）（ⅰ）设111122(,)(0),(,)A x y x y D x y ≠，则11(,)B x y --， 因为直线AB 的斜率11AB y k x =， 又AB AD ⊥，所以直线AD 的斜率11x k y =-， 设直线AD 的方程为y kx m =+， 由题意知0,0k m ≠≠，由2214y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，可得222(14)8440k x mkx m +++-=. 所以122814mkx x k+=-+， 因此121222()214my y k x x m k+=++=+， 由题意知，12x x ≠，所以1211121144y y y k x x k x +==-=+，所以直线BD 的方程为1111()4y y y x x x +=+， 令0y =，得13x x =，即1(3,0)M x ．可得1212y k x =-． 所以1212k k =-，即12λ=-．因此存在常数12λ=-使得结论成立. （ⅱ）直线BD 的方程1111()4y y y x x x +=+， 令0x =，得134y y =-，即13(0,)4N y -， 由（ⅰ）知1(3,0)M x ， 可得OMN ∆的面积11111393||||||||248S x y x y =⨯⨯=，因为221111||||14x x y y ≤+=，当且仅当11||||22x y ==时等号成立，此时S 取得最大值98，所以OMN ∆的面积的最大值为98.。
江苏省启东中学2019-2020学年高二上学期期中考试数学试题
解：由题意得， ABC 中， a 1， b 3 ， A 30 ，
由
a
b
得， sin B b sin A
31 2
3
，
sin A sin B
a
1
2
又 b a ， 0 B 180 ，则 B 60 或 B 120 ．
故选 D．
10．【答案】C
【解析】
【分析】
本题考查了圆的一般式方程与标准方程的互化和两圆位置关系的判断等知识点，属于中档题．
a 3a 3
2
故答案为 16 ． 3
12．【答案】8
【解析】
【分析】
本题考查等差数列的性质、求和以及单调性，属中档题．
可得等差数列an 的前 8 项为正数，从第 9 项开始为负数，进而可得结论．
【解答】
解：由等 差数列的性质可得 a7 a8 a9 3a8 0 ，
a8 0 ，又 a7 a10 a8 a9 0 ， a9 0 ，
则圆心坐标为 C2 (2, 2) ，半径为 3，
圆心距 C1C2 (2 1)2 (2 2)2 5 2 3 ，
即两圆的圆心距等于两圆的半径的和，
两圆相外切，两圆的公切线有 3 条．
故选 C．
11．【答案】 16 3
【解析】 【分析】
本题考查了基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题． 0 a 3 ， 3 a 0 ．
0
a
3
，那么
1 a
3
9
a
的最小值是______．
12．若等差数列 an 满足 a7 a8 a9 0 ， a7 a10 0 ，则当 n ______时，an 的前 n 项和最大．
x2 13．已知点 P 是椭圆 a2
2019-2020学年江苏省南通市启东中学高二(上)第一次质检数学试卷(10月份) (含答案解析)
2019-2020学年江苏省南通市启东中学高二（上）第一次质检数学试卷（10月份）一、选择题（本大题共10小题，共50.0分）1. 已知△ABC 的三内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若b =2√3,a =2，∠B =60°，则∠A =( )A. 120°B. 60°C. 45°D. 30°2. 打靶时，A 每打10次可中靶8次，B 每打10次可中靶7次，若2人同时射击一个目标，则它们都中靶的概率是( )A. 1425B. 1225C. 34D. 353. 已知直线l ：y −1=k(x −2)，点A(1,0)，B(0,4)，若直线l 与线段AB 有公共点，则其斜率k的取值范围是( )A. (−1,15)B. (1,3)C. (1,+∞)D. [−32,1]4. 已知{a n }为等差数列，a 2=100，a 6=10，则a 4=( )A. 8B. 7C. 6D. 555. 过点P(−3,4)作圆x 2+y 2=4的两条切线，切点分别为A ，B ，则直线AB 的方程为( )A. 3x +4y −7=0B. 3x −4y +25=0C. 3x −4y +4=0D. 3x −4y =06. 若直线a ，b 是异面直线，b 与c 也是异面直线，则a 与c 的位置关系是( )A. 平行或异面B. 相交，平行或异面C. 异面或相交D. 异面7. 已知数列{a n }，{b n }满足a 1=b1=3，a n+1−a n =b n+1b n=3，n ∈N ∗，若数列{c n }满足c n =b a n ，则c 2015=( )A. 92014B. 272014C. 92015D. 2720158. 在ΔABC 中，角A,B,C 所对的边分别为a,b,c 满足b 2+c2−a2=bc ，AB⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ >0，a =√32，则b +c 的取值范围是( )A. (1,32)B. (√32,32) C. (12,32)D. (12,32]9. 已知圆心在x 轴上的圆C 过点(0,0)和(1,1)，已知点P 是直线y =k(x +2)上一动点，过点P 作圆C 的两条切线分别与圆C 相切于M ，N 两点，若四边形PMCN 的面积的最小值为√5，则k 的值为( ) A. ±1 B. ±√2 C. ±√3 D. ±210. 已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 3−4a 2+4a 1=0，则S8S 4=( )A. 17B. 18C. 19D. 20二、填空题（本大题共5小题，共25.0分）11. 过点P(1,2)作直线m ，使直线l 与点M(2,3)和点N(4,9)距离相等，则直线m 的方程为______． 12. 若a ，b ，c 分别为△ABC 三个内角A ，B ，C 的对边，sinA a=cosB b，则角B =______．13. 已知两个等差数列{a n }和{b n }的前n 项和分别为A n 和B n ，且A nB n=3n+1n+1，则a 2+a 5+a 8b 3+b 7=______．14. 已知在长方体ABCD −A 1B 1C 1D 1中，AB =1，BC =2，AA 1=4，E 是侧棱CC 1的中点，则直线AE 与平面A 1ED 所成角的正弦值为______．15. 已知数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1=1，且满足a n a n+1=2S n ，数列{b n }满足b 1=16，b n+1−b n =2n ，则数列{bna n}中第______ 项最小．三、解答题（本大题共7小题，共75.0分）16. 已知向量a =(x,−1)，b =(3,y)，其中x 随机选自集合{−1,1，3}，y 随机选自集合{1,3，9}．(1)求a//b 的概率; (2)求a ⊥b 的概率．17. 如图，几何体E −ABCD 是四棱锥，△ABD 为正三角形，CB =CD ，EC ⊥BD ．(1)求证：BE =DE ；(2)若∠BCD =120°，M 为线段AE 的中点，求证：DM//平面BEC ．18. 在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且bcosC =3acosB −ccosB ．(Ⅰ)求cos B 的值； (Ⅱ)若BA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =2，且b =2√2，求a 和c 的值．19. 已知直线l 的方程为mx −y +1−m =0，圆C 的方程为x 2+(y −1)2=5．(1)证明：直线l 与圆C 相交；(2)已知D(−2,0)，E(2,0)为x 轴上的两点，若圆C 内的动点P 使|PD|，|PO|，|PE|成等比数列，求PD ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PE⃗⃗⃗⃗⃗ 的取值范围．20. 已知{a n }为等差数列，且a 1+a 3=8，a 2+a 4=12(1)求{a n }通项公式；(2)记{a n }的前n 项和为S n ，若a 1，a k+1，S k+3成等比数列，求正整数k 的值．21. (本小题满分14分)如图，已知四棱锥P −ABCD 中，底面ABCD 为矩形，侧棱，PA =AB =2，AD =4，M 为侧棱PC 的中点．(1)求异面直线AM 与PD 所成角的余弦值； (2)求二面角B −PC −D 的余弦值．22.已知数列{a n}的前n项和是S n，且S n=2a n−1(n∈N∗)．(Ⅰ)求数列{a n}的通项公式；(Ⅱ)令b n=log2a n，求数列{(−1)n b n2}前2n项的和T．-------- 答案与解析 --------1.答案：D解析：解：在△ABC中，由正弦定理得asinA =bsinB，∴sinA=asinBb =2×√322√3=12．∵a<b，∴A<B，即A是锐角．∴A=30°．故选：D．由已知及正弦定理可求得sin A的值，由a<b，可知A是锐角，从而确定∠A的值．本题考查了正弦定理的应用，是基础题．2.答案：A解析：解：∵A每打10次可中靶8次，B每打10次可中靶7次∴A中靶的概率是810=45，B中靶的概率是710，∵A和B是否中靶是相互独立的，根据相互独立事件同时发生的概率得到它们都中靶的概率是45×710=1425，故选A．根据题意先分别做出两个人中靶的概率，看清楚两个人射击是否中靶是相互独立的，根据相互独立事件同时发生的概率得到结果．本题考查相互独立事件同时发生的概率，是一个基础题，相互独立事件同时发生的概率公式是：P(AB)=P(A)P(B).这个公式应用起来比较简单．3.答案：D解析：【分析】本题考查直线的斜率，属于基础题．求出直线y−1=k(x−2)过定点C(2,1)，再求它与两点A，B的斜率，即可得k的取值范围．【解答】解：直线y−1=k(x−2)过定点C(2,1)，∴k AC=1−02−1=1，k BC=1−42−0=−32，∴k∈[−32,1]．故选D．4.答案：D解析：【分析】本题考查等差数列的通项公式，等差数列的性质，考查运算求解能力，属于基础题． 由等差中项可知a 4=a 2+a 62，由此计算a 4的值．【解答】解：在等差数列{a n }中，由a 2=100，a 6=10， 得a 4=a 2+a 62=100+102=55．故选：D ． 5.答案：C解析：解：x 2+y 2=4的圆心O(0,0)，半径r =2，∵P(−3,4)，∴线段PO 的中点C(−32,2)，|PO|=√(−3)2+42=5， ∴以PO 为直径的圆C 的方程为(x +32)2+(y −2)2=254，即x 2+y 2+3x −4y =0，把圆C ：x 2+y 2+3x −4y =0与圆x 2+y 2=4相减，得：3x −4y +4=0， ∵直线3x −4y +4=0经过两圆的交点，即切点A ，B ， ∴直线AB 的方程为3x −4y +4=0． 故选：C ．x 2+y 2=4的圆心O(0,0)，求出以PO 为直径的圆C 的方程为x 2+y 2+3x −4y =0，把圆C ：x 2+y 2+3x −4y =0与圆x 2+y 2=4相减，得直线AB 的方程．本题考查直线方程的求法，考查直线方程、圆等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题． 6.答案：B解析：解：正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1中，①AD 和A 1B 1是异面直线，AD 和BB 1是异面直线， A 1B 1和BB 1是相交线；②AD 和A 1B 1是异面直线，AD 和D 1C 1是异面直线， A 1B 1和D 1C 1是平行线；③AD 和A 1B 1是异面直线，AD 和CC 1是异面直线， A 1B 1和CC 1是异面线．∴若直线a ，b 是异面直线，b 与c 也是异面直线， 则a 与c 的位置关系是相交，平行或异面． 故选：B ．以正方体为载体，利用空间中线线间的位置关系，能判断a 与c 的位置关系．本题考查两直线位置关系的判断，是基础题，解题时要注意空间思维能力的培养． 7.答案：D解析：由已知条件知{a n }是首项为3，公差为3的等差数列；数列{b n }是首项为3，公比为3的等比数列，∴a n =3n ，b n =3n ，又c n =b a n =33n ，∴c 2015=33×2015=272015． 8.答案：B解析：由b 2+c2−a2=bc 得：cosA =b 2+c 2−a 22ab=12，则A =π3，由AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ >0，可知：B 为钝角，2R =asinA=1，则b =sinB,c =sinC ，b +c =sinB +sinC =sinB +sin(2π3−B)=32sinB +√32cosB =√3sin(B +π6)，由于π2<B <2π3,2π3<B +π6<5π6，所以12<sin (B +π6)<√32，b +c ∈(√32,32)，故选B ． 9.答案：B解析：【分析】本题主要考查直线与圆的位置关系，圆的标准方程，属于中档题． 先求出圆的方程，在利用四边形面积求出｜PC ｜的最小值，代入点到直线距离公式，即可求出答案． 【解答】解：设圆C 的方程为(x −a)2+y 2=r 2(r >0)， 代入点(0,0)和(1,1)的坐标有{a 2=r 2(1−a)2+1=r 2，解得{a =1r =1则圆C 的标准方程为(x −1)2+y 2=1，由切线的性质有．由四边形PMCN 的面积的最小值为√5可得｜PC ｜的最小值为√6， 即√k 2+1=√6，解得k =±√2， 故选B ．10.答案：A解析：【分析】本题考查了等比数列的通项公式与求和公式，属于基础题． 利用等比数列的通项公式与求和公式即可得出． 【解答】解：设等比数列{a n }的公比为q ， ∵a 3−4a 2+4a 1=0，∴q 2−4q +4=0，解得q =2． 则S 8S 4=a 1(1−28)1−2a 1(1−24)1−2=17．故选：A ．11.答案：3x −y −1=0或2x −y =0．解析：解：①当直线l 与MN 平行时， k MN =9−34−2=3，∴直线l 的方程为：y −2=3(x −1)， 化为一般方程为：3x −y −1=0；②当直线l 经过线段MN 的中点C(3,6)时， k PC =6−23−1=2，∴直线l 的方程为：y −2=2(x −1)， 化为一般方程是：2x −y =0；综上，所求的直线方程为3x −y −1=0或2x −y =0． 故答案为：3x −y −1=0或2x −y =0．求出直线l 与MN 平行时和直线l 经过线段MN 的中点时对应的直线方程，再化为一般方程即可． 本题考查了相互平行的直线斜率之间的关系、中点坐标公式、直线方程以及分类讨论方法的应用问题，是中档题．12.答案：π4解析：解：a ，b ，c 分别为△ABC 三个内角A ，B ，C 的对边，sinA a=cosB b，可得sinAsinA =cosB sinB，可得sinB =cosB ，所以B =π4． 故答案为：π4．直接利用正弦定理以及特殊角的三角函数，化简求解即可． 本题考查正弦定理的应用，三角形的解法，考查计算能力．13.答案：215解析：解：由等差数列的性质可得：a 2+a 5+a 8b 3+b 7=3a 52b 5=32×9(a 1+a 9)29(b 1+b 9)2=32×A 9B 9=32×3×9+19+1=215．故答案为：215． 由等差数列的性质可得：a 2+a 5+a 8b 3+b 7=3a 52b 5=32×A9B 9，即可得出．本题考查了等差数列的通项公式求和公式及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．14.答案：49解析：解：在长方体ABCD −A 1B 1C 1D 1中，AB =1， BC =2，AA 1=4，E 是侧棱CC 1的中点，以D 为原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴，DD 1为z 轴，建立空间直角坐标系，A(2,0，0)，E(0,1，2)，A 1(2,0，4)，D(0,0，0)， EA ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,−1,−2)，DA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,0，4)，DE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,1，2)，]设平面A 1ED 的法向量n⃗ =(x,y ，z)，则{n ⃗ ⋅DA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2x +4z =0n⃗ ⋅DE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =y +2z =0，取z =1，得n ⃗ =(−2,−2,1)， 设直线AE 与平面A 1ED 所成角为θ， 则sinθ=|EA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅n ⃗⃗ ||EA ⃗⃗⃗⃗⃗ |⋅|n ⃗⃗ |=43×3=49， ∴直线AE 与平面A 1ED 所成角的正弦值为49． 故答案为：49．以D 为原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴，DD 1为z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出直线AE 与平面A 1ED 所成角的正弦值．本题考查线面角的正弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题． 15.答案：4解析：解：当n =1时，2S 1=a 1a 2，即2a 1=a 1a 2，∴a 2=2．当n ≥2时，2S n =a n a n+1，2S n−1=a n−1a n ，两式相减得2a n =a n (a n+1−a n−1)， ∵a n ≠0，∴a n+1−a n−1=2，∴{a 2k−1}，{a 2k }都是公差为2的等差数列，又a 1=1，a 2=2， ∴{a n }是公差为1的等差数列， ∴a n =1+(n −1)×1=n ， ∵b 1=16，b n+1−b n =2n ，∴b n =(b n −b n -1 )+(b n−1−b n -2 )+ (b n−2−b n -3 )+⋯+(b 2−b 1 )+b 1=n(n −1)+16bn an=n +16n−1，利用基本不等式得n =4时n +16n−1最小，∴数列{bna n}中第4项最小．利用递推关系、等差数列的通项公式及其前n 项和公式即可得出．求a n 通项公式时要比较奇数项和偶数项通项特征，求a n 通项公式时用累加法，最后用基本不等式求最值．16.答案：解：由题意，得(x,y)对应的所有基本事件为(−1,1)，(−1,3)，(−1,9)，(1,1)，(1,3)，(1,9)，(3,1)，(3,3)，(3,9)，共9个． (1)设“a//b ”为事件A ， 则需满足xy =−3，事件A 包含的基本事件有(−1,3)，共1个， 故a//b 的概率P(A)=19．(2)设“a ⊥b ”为事件B ， 则需满足y =3x ，事件B 包含的基本事件有(1,3)，(3,9)，共2个， 故a ⊥b 的概率P(B)=29．解析：本题主要考查古典概型及其概率计算公式的应用，两个向量平行，两个向量垂直的性质． (1)由于a ⊥b 等价于 a =λb ，即xy =−3，由此求得a//b 的概率．(2)由于a ⊥b 等价于 a ⋅b =0，即3x −y =0，即y =3x ，由此求得a ⊥b 的概率．17.答案：(本小题满分12分)证明：(1)设BD 中点为O ，连接OC ，OE ， ∵BC =CD ，∴CO ⊥BD ，又已知CE ⊥BD ，∴BD ⊥平面OCE ．∴BD ⊥OE ，即OE 是BD 的垂直平分线，∴BE =DE ． (2)取AB 中点N ，连接MN ，DN ， ∵M 是AE 的中点，∴MN//BE ，∵△ABD 是等边三角形，∴DN ⊥AB ． 由∠BCD =120°知，∠CBD =30°，∴∠ABC =60°+30°=90°，即BC ⊥AB ， ∴ND//BC ，∴平面MND//平面BEC ， ∴DM//平面BEC ．解析：(1)设BD 中点为O ，连接OC ，OE ，推导出CO ⊥BD ，CE ⊥BD ，从而BD ⊥平面OCE ，再由BD ⊥OE ，由此能证明BE =DE ．(2)取AB 中点N ，连接MN ，DN ，推导出MN//BE ，DN ⊥AB ，BC ⊥AB ，从而ND//BC ，进而平面MND//平面BEC ，由此能证明DM//平面BEC ．本题考查两线段相等的证明，考查线面平行证明，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力、空间想象能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想、数形结合思想，是中档题．18.答案：解：(I)由正弦定理得a =2RsinA ，b =2RsinB ，c =2RsinC ， 则2RsinBcosC =6RsinAcosB −2RsinCcosB ， 故sinBcosC =3sinAcosB −sinCcosB ， 可得sinBcosC +sinCcosB =3sinAcosB ， 即sin(B +C)=3sinAcosB ，可得sinA =3sinAcosB.又sinA ≠0， 因此cosB =13．(II)解：由BA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =2，可得accosB =2， 又cosB =13,故ac =6，由b 2=a 2+c 2−2accosB ， 可得a 2+c 2=12，所以(a −c)2=0，即a =c ， 所以a =c =√6．解析：(1)首先利用正弦定理化边为角，可得2RsinBcosC =3×2RsinAcosB −2RsinCcosB ，然后利用两角和与差的正弦公式及诱导公式化简求值即可．(2)由向量数量积的定义可得accosB =2，结合已知及余弦定理可得a 2+b 2=12，再根据完全平方式易得a =c =√6．本题考查了正弦定理、余弦定理、两角和与差的正弦公式、诱导公式、向量数量积的定义等基础知识，考查了基本运算能力．19.答案：(1)证明：由mx −y +1−m =0，得y =m(x −1)+1， ∴直线l 必过定点G(1,1)，又12+(1−1)2<5，∴点G 在圆C 内部，∴直线l 与圆C 相交；(2)解：设P(x,y)，由|PD|，|PO|，|PE|成等比数列，得√(x =2)2+y 2⋅√(x −2)2+y 2=x 2+y 2，即x 2−y 2=2，∴PD ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PE⃗⃗⃗⃗⃗ =(−2−x,−y)⋅(2−x,−y)=x 2−4+y 2=2(y 2−1)． 由于点P 在圆C 内，则{x 2+(y −1)2<5x 2−y 2=2． 由此得y 2−y −1<0，解得：1−√52<y <1+√52． 故0≤y 2<(1+√52)2=3+√52．∴2(y 2−1)∈[−2,1+√5)．∴PD ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PE⃗⃗⃗⃗⃗ 的取值范围是[−2,1+√5)．解析：(1)利用直线系方程求出直线所过定点，判断定点在圆C 内看到直线l 与圆C 相交；(2)设P(x,y)，由|PD|，|PO|，|PE|成等比数列，得到x 2−y 2=2，写出PD⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PE ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−2−x,−y)⋅(2−x,−y)=x 2−4+y 2=2(y 2−1)，结合点P 在圆C 内，得到关于y 的不等式，求解不等式得到y 的范围，进一步求得PD ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PE⃗⃗⃗⃗⃗ 的取值范围． 本题主要考查直线和圆的位置关系的判断，考查向量数量积的坐标运算，考查推理论证能力及运算能力，是中档题．20.答案：解：(1)设等差数列{a n }的公差等于d ，则由题意可得{2a 1+2d =82a 1+4d =12，解得a 1=2，d =2， ∴{a n }的通项公式a n =2+2(n −1)=2n ；(2)由(1)可得{a n }的前n 项和为S n =n(a 1+a n )2=n(n +1)，∵a 1，a k+1，S k+3成等比数列，∴a k+12=a 1S k+3，∴4(k +1)2=2(k +3)(k +4)，解得k =5或k =−2(舍去)，故k =5．解析：(1)设等差数列{a n }的公差等于d ，则由题意可得{2a 1+2d =82a 1+4d =12，解得a 1=2，d =2，从而得到{a n }的通项公式；(2)由(1)可得{a n }的前n 项和为S n =n(a 1+a n )2=n(n +1)，再由a k+12=a 1S k+3，求得正整数k 的值．本题主要考查等比数列的定义和性质，等差数列的通项公式和求和公式的运用，属于中档题． 21.答案：解：(1)如图所示，以A 为原点，建立空间直角坐标系A −xyz ，则A(0,0，0)，B(2,0，0)，D(0,4，0)，P(0,0，2)，C(2,4，0)，M(1,2，1)，∵AM⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,2,1),PD ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,4,−2)， ∴cos <AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,PD ⃗⃗⃗⃗⃗ >=AM⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ||PD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=√6×2√5=√3010， ∴异面直线AM 与PD 所成角的余弦值为√3010； (2)设平面BPC 的法向量为m ⃗⃗⃗ =(x,y ，z)，∵BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,4,0),BP ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−2,0,2)，并且m ⃗⃗⃗ ⊥BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,m ⃗⃗⃗ ⊥BP⃗⃗⃗⃗⃗ ， ∴{4y =0−2x +2z =0，令x =1得z =1，y =0， ∴平面BPC 的一个法向量为m ⃗⃗⃗ =(1,0，1)，设平面DPC 的法向量为n⃗ =(a,b ，c)， ∵DC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,0,0),DP ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,−4,2)，并且n ⃗ ⊥DC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,n ⃗ ⊥DP ⃗⃗⃗⃗⃗ ，∴{2a =0−4b +2c =0，令b =1得c =2，a =0， ∴平面DPC 的一个法向量为n ⃗ =(0,1，2)， ∴cos <m ⃗⃗⃗ ,n ⃗ >=m ⃗⃗⃗ ⋅n ⃗⃗ |m ⃗⃗⃗ |⋅|n ⃗⃗ |=√2⋅√5=√105， ∴二面角B −PC −D 的余弦值为−√105．解析：本题考查空间向量的数量积的应用，二面角以及异面直线所成角的求法，考查转化思想以及计算能力．(1)以A 为原点，建立空间直角坐标系A −xyz ，求出AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,2,1),PD ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,4,−2)，利用向量的数量积直接求解异面直线AM 与PD 所成角的余弦值；(2)求出平面BPC 的法向量，平面MBD 的一个法向量，利用空间向量的数量积求解二面角B −PC −D 的余弦值．22.答案：解：(Ⅰ)由S n =2a n −1(n ∈N ∗).n ≥2时，S n−1=2a n−1−1，相减可得：a n =2a n−1，n =1时，a 1=2a 1−1，解得a 1=1．∴数列{a n }是等比数列，公比为2，首项为1．∴a n =2n−1．(Ⅱ)b n =log 2a n =n −1．于是数列{b n }是首项为0，公差为1的等差数列．数列{(−1)n b n 2}前2n 项的和T =−b 12+b 22−b 32+b 42+⋯…−b 2n−12+b 2n 2=(b 2−b 1)(b 2+b 1)+(b 4−b 3)(b 4+b 3)+⋯…+(b 2n −b2n −1)(b 2n +b 2n−1)=b 1+b 2+⋯…+b 2n=0+1+2+⋯…+(2n −1)=2n(2n −1+0)2=n(2n −1)．解析：本题考查了数列递推关系、等差数列与等比数列的通项公式与求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．(Ⅰ)由S n =2a n −1(n ∈N ∗).n ≥2时，S n−1=2a n−1−1，相减可得：a n =2a n−1，利用等比数列的通项公式即可得出．(Ⅱ)b n =log 2a n =n −1.数列{(−1)n b n 2}前2n 项的和T =−b 12+b 22−b 32+b 42+⋯…−b 2n−12+b 2n 2=b 1+b 2+⋯…+b 2n ，即可得出．。
江苏省南通市启东市吕四中学2019-2020学年高二期初考试数学试卷
高二数学试卷注 意 事 项考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求1.答题前，请您务必将自己的班级、考号、姓名、座位号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在答案卷的规定位置，把姓名、考试号填写在答题卡的相应位置。
2.请在答题卡上按照顺序在对应的答题区域内作答，在其他位置作答一律无效。
作答必须用0.5毫米黑色墨水的签字笔。
请注意字体工整，笔迹清楚。
3.如需作图，须用2B 铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗。
4.请保持答题卡卡面清洁，不要折叠、破损。
一、单选题1．某班对一次实验成绩进行分析，利用随机数表法抽取样本时，先将50个同学按01，02，03，…，50进行编号，然后从随机数表第9行第11列开始向右读，则选出的第7个个体是（ ）（注：表为随机数表的第8行和第9行）A ．02B ．13C ．42D ．44 2．下列函数是奇函数的是（ ）A ．x y =B ．322-=x y C ．21x y = D ．]1,0[,2∈=x x y3．已知函数()sin(2)3f x x π=-，()sin g x x =，要得到函数()y f x =的图象，只需将函数()y g x =的图象上的所有点（ ） A ．横坐标缩短为原来的12，再向左平移6π个单位得到B ．横坐标缩短为原来的12，再向右平移6π个单位得到C ．横坐标伸长为原来的2倍，再向左平移6π个单位得到D ．横坐标伸长为原来的2倍，再向右平移6π个单位得到4．42sin()2sin3sin333πππ-++等于( )A .1 B.21C .0 D.1- 5．已知4张卡片上分别写着数字1,2,3,4，甲、乙两人等可能地从这4张卡片中选择1张，则他们选择同一张卡片的概率为（ ） A ．1 B ．116 C ．14 D ．126．过点（1，2）总可作两条直线与圆0152222=-++++k y kx y x 相切，则实数k 的取值范围是A ．23>-<k k 或B ．23<<-kC ．2>kD ．以上都不对7．已知圆锥的母线长为4cm ，圆锥的底面半径为1cm ，一只蚂蚁从圆锥的底面A 点出发，沿圆锥侧面爬行一周回到点A ,则蚂蚁爬行的最短路程长为（ ） A ．4 B ．42 C ．2π D ．π8．函数y=cos(2x+)的图象的一条对称轴方程是( ) (A)x=- (B)x=- (C)x= (D)x=π9．cos 26x y π⎛⎫=-⎪⎝⎭()x ππ-≤≤的值域为( ) A ．11,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ B ．[－1,1] C ．1,12⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ D ．13,22⎡-⎢⎣⎦10．已知4张卡片上分别写着数字1,2,3,4，甲、乙两人等可能地从这4张卡片中选择1张，则他们选择同一张卡片的概率为（ ） A ．1 B ．116 C ．14 D ．12二、填空题11．若直线01)1(=+++y x a 与圆0222=-+x y x 相切，则a 的值为 .12．已知向量()1,a λ=，(),2b λ=，若()()//a b a b +-，则λ=__________． 13．已知函数()y f x =是定义在R 上的偶函数，且在[)0,+∞上是增函数，若()()14f a f +≤，则实数a 的取值范围是________14．已知3cos()cos sin()sin 5αββαββ+++=，则cos2α= ▲ .三、解答题15．已知c b a ,,分别为ABC ∆三个内角C B A ,,的对边,A c C a c cos sin 3+=． （1）求角A ；（2）若32=a ,ABC ∆的面积为3,求ABC ∆的周长．16．已知向量()1,2a =，()3,1b =-． (1)求2a b -的值；(2)若()()3ka b a b +⊥-，求k 的值； (3)若a ，b 夹角为θ，求cos2θ的值．17．如图，矩形ABCD 所在的平面与正方形ADPQ 所在的平面相互垂直，E 是QD 的中点．（Ⅰ）求证：QB ∥平面AEC ； （Ⅱ）求证：平面QDC ⊥平面AEC ；（Ⅲ）若1AB =，2AD =，求多面体ABCEQ 的体积．18．已知圆()()22:234C x y -+-=外的有一点()4,1P -，过点P 作直线l . （1）当直线l 过圆心C 时，求直线l 的方程； （2）当直线l 与圆C 相切时，求直线l 的方程；（3）当直线l 的倾斜角为0135时，求直线l 被圆C 所截得的弦长.19．已知2()2cos32xf x x a ωω=+的图像上相邻两对称轴的距离为2π. （1）若x R ∈，求()f x 的递增区间；（2）若[0,]2x π∈时，()f x 的最大值为4，求a 的值.20．（满分12分）定义在R上的奇函数有最小正周期4，且时，。
江苏省启东中学2019_2020学年高二数学上学期期初考试试题
江苏省启东中学2019-2020学年度第一学期期初考试高二数学试卷一、选择题。
1.已知集合{}2|340A x x x =--<，{|()[(2)]0}B x x m x m =--+>，若A B =U R ，则实数m 的取值范围是（ ） A. (1,)-+∞ B. (,2)-∞C. (1,2)-D. [1,2]-【答案】C 【解析】 【分析】分别求出集合,A B ，利用A B =U R 可得两个集合端点之间的关系，从而可求实数m 的取值范围.【详解】集合{}2|340(1,4)A x x x =--<=-，集合{|()[(2)]0}(,)(2,)B x x m x m m m =--+>=-∞⋃++∞，若A B =U R ，则124m m >-⎧⎨+<⎩，解得(1,2)m ∈-，故选C.【点睛】本题考查集合的并以及一元二次不等式的解法，属于中档题.2.若函数()6(3)37=7x a x x f x a x ---≤⎧⎨>⎩，，单调递增，则实数a 的取值范围是（ ） A. 9(3)4， B. 9[3)4， C. (13)， D. 23（，）【答案】D 【解析】试题分析：因为函数()()633,7{,7x a x x f x ax ---≤=>单调递增，所以13a <<且由()()78f f <，所以27(3)3a a --<，解得9a <-或2a >，所以实数a 的取值范围是()2,3，故选D ． 考点：数列的单调性及分段函数的性质．【方法点晴】本题主要考查了分段函数的图象与性质、函数的单调性的应用，不等式的求解等知识点的应用，其中解答中根据哈数()f x 是定义域山过的单调递增函数，即可列出不等关系13a <<且()()78f f <是解答的关键，即可求求解实数a 的取值范围，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，属于中档试题．3.设ω是正实数，函数2()2cos ,0,3f x x x πω⎡⎤=∈⎢⎥⎣⎦上是减函数，那么ω的值可以是( ) A.12B. 2C. 3D. 4【答案】A 【解析】 【分析】 根据函数在20,3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦为减函数可以得到半周期满足的不等式，从而可以得到ω的取值范围，故可得正确的选项.【详解】由题意可知函数的最小正周期2T πω=，故223T π≥，所以23ππω≥即302ω<≤，故选A ．【点睛】本题考查三角函数的图像和性质，属于基础题．4.已知某7个数的平均数为4，方差为2，现加入一个新数据4，此时这8个数的平均数为x ，方差为2s ，则（ ） A. 4x =，22s < B. 4x =，22s > C. 4x >，22s < D. 4x >，22s >【答案】A 【解析】分析：首先根据平均数的求解方法，代入式子，求得x ，利用方差的定义和计算公式，求得2s ，从而可以判断其大小关系，求得结果.详解：根据题意有47448x ⨯+==，而2272(44)28s ⨯+-=<，故选C.点睛：该题考查的是有关一组数据的平均数和方差的计算公式，所以在解题的过程中，利用平均数和方差的公式，求新添一个值之后的平均数和方差，从而得到结果.5.甲、乙两个人进行“剪子、包袱、锤”的游戏，两人都随机出拳，则一次游戏两人平局的概率为（ ） A.13B.23C.14D.29【答案】A 【解析】 【分析】先列表得到所有的基本事件的个数及平局对应的基本事件的个数，根据公式可得所求的概率． 【详解】甲、乙两个人进行“剪子、包袱、锤”的游戏，所有可能出现的结果列表如下：因为由表格可知，共有9种等可能情况．其中平局的有3种：(锤，锤)、(剪子，剪子)、(包袱，包袱)．设A 为“甲和乙平局”，则()3193P A ==，故选A ． 【点睛】古典概型的概率计算，如果基本事件的总数计算较为繁琐时，那么应该用枚举法或列表法得到所有的基本事件及随机事件中含有的基本事件．6.如图，在ABC △上，D 是BC 上的点，且22AC CD AC AB AD ===，，，则sin B 等于（ ）A.63B.33C.66D.36【答案】C【解析】【详解】试题分析：根据题意设2AD x=,则3,4AC CD x AB x===,在ADCV中由余弦定理可得2222433336cos sin sin1333223x x xADC ADB ADCx x⎛⎫+-∠==∴∠=∠=-=⎪⎪⋅⋅⎝⎭，在ADB△中由正弦定理得62sin63sin4xAD ADBBAB x⋅∠===,故选C．考点：正余弦定理的综合应用．7.在正方体1111ABCD A B C D-中，异面直线1A B与1AD所成角的大小为（）A. 30︒B. 45︒C. 60︒D. 90︒【答案】C【解析】【分析】连接1D C，则1AD C∠或其补角为所求的异面直线所成的角，利用1AD C∆为等边三角形可以其大小．【详解】如图，连接1D C，因为11//A B D C ，所以异面直线1A B 与1AD 所成的角为1AD C ∠或其补角.因为1AD C ∆为等边三角形，所以160AD C ︒∠=.故选C.【点睛】空间中的角的计算，可以建立空间直角坐标系把角的计算归结为向量的夹角的计算，也可以构建空间角，把角的计算归结平面图形中的角的计算.8.1l ，2l ，3l 是空间三条不同的直线，则下列命题正确的是 A. 12l l ⊥，23l l ⊥13//l l ⇒ B. 12l l ⊥，23//l l ⇒13l l ⊥ C. 233////l l l ⇒1l ，2l ，3l 共面 D. 1l ，2l ，3l 共点⇒1l ，2l ，3l 共面【答案】B 【解析】【详解】解：因为如果一条直线平行于两条垂线中的一条，必定垂直于另一条。
江苏省启东中学2019_2020学年高二数学上学期期初考试试题(2班)
江苏省启东中学2019-2020学年度第一学期期初考试高二(2)班数学试卷一、选择题（本大题共10小题，共50分）1.若z=1+2i，则=（）A. 1B.C. iD.2.复平面内表示复数z=i（-2+i）的点位于（）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限3.掷一枚均匀的硬币3次，出现正面向上的次数恰好为两次的概率为（）A. B. C. D.4.某小组有3名男生和2名女生，从中任选2名学生参加演讲比赛，那么下列对立的两个事件是( )A. “至少1名男生”与“至少有1名是女生”B. “恰好有1名男生”与“恰好2名女生”C. “至少1名男生”与“全是男生”D. “至少1名男生”与“全是女生”5.已知i是虚数单位，a，b∈R得“a=b=1”是“(a+bi)2=2i”的( )A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件6.椭圆中，以点M（1，2）为中点的弦所在直线斜率为（）A. B. C. D.7.已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的左、右焦点为F1、F2，离心率为，过F2的直线l交C于A、B两点，若△AF1B的周长为4，则C的方程为（）A. B. C. D.8. 已知F 是双曲线C ：x 2-=1的右焦点，P 是C 上一点，且PF 与x 轴垂直，点A 的坐标是（1，3），则△APF 的面积为（）A. B. C. D.9. 设F 1，F 2分别是椭圆E ：+=1（a ＞b ＞0）的左、右焦点，过点F 1的直线交椭圆E 于A ，B 两点，|AF 1|=3|BF 1|，若cos∠AF 2B =，则椭圆E 的离心率为（ ）A.B.C.D.10. 已知F 1，F 2是椭圆与双曲线的公共焦点，P 是它们的一个公共点，且|PF 1|＞|PF 2|，线段PF 1的垂直平分线过F 2，若椭圆的离心率为e 1，双曲线的离心率为e 2，则的最小值为（ ）A. B. 3 C. 6 D.二、填空题（本大题共6小题，共30分） 11. 设复数，则复数z 共轭的模是______．12. 若命题“p ：∀x ∈R ，ax 2+2x +1＞0”是假命题，则实数a 的取值范围是______．13. 已知双曲线与椭圆有相同的焦点，且其中一条渐近线为，则该双曲线的标准方程是______． 14. 设有下面四个命题（1）若复数z 满足1z∈R ，则z ∈R ；（2）若复数z ∈R ，则z ∈R ； （3）若复数12,z z 满足12z z ∈R ，则12z z =；（4）若复数z 满足2z ∈R ，则z ∈R . 其中的真命题为______（填序号）．15. 已知双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 1的直线与C的两条渐近线分别交于A ，B 两点．若1F A AB =，120F B F B ⋅=，则C 的离心率为____________．16.已知双曲线C：22221x ya b-=（a>0，b>0）的右顶点为A，以A为圆心，b为半径作圆A，圆A与双曲线C的一条渐近线交于M、N两点.若∠MAN=60°，则C的离心率为________.三、解答题（本大题共6小题，共70分）17.设z1=2x+1+（x2-3x+2）i，z2=x2-2+（x2+x-6）i（x∈R）．（1）若z1是纯虚数，求实数x的取值范围；（2）若z1＞z2，求实数x的取值范围．18.已知命题p：“曲线C1：=1表示焦点在x轴上的椭圆”，命题q：“曲线C2：表示双曲线”．（1）若命题p是真命题，求m的取值范围；（2）若p是q的必要不充分条件，求t的取值范围．19.已知复数w满足w-4=（3-2w）i（i为虚数单位），．（1）求z；（2）若（1）中的z是关于x的方程x2-px+q=0的一个根，求实数p，q的值及方程的另一个根．20.已知椭圆的右焦点为F（1，0），且点在椭圆C上，O为坐标原点．（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；（Ⅱ）设过定点T（0，2）的直线l与椭圆C交于不同的两点A、B，且∠AOB为锐角，求直线l的斜率k的取值范围．21.设双曲线=1（a，b＞0）的实轴长为4，焦点到渐近线的距离为．（1）求此双曲线的方程；（2）已知直线y=x-2与双曲线的右支交于A，B两点，且在双曲线的右支上存在点C，使得+=m，求m的值及点C的坐标．22.在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆：，A为椭圆的上顶点，P为椭圆上异于上、下顶点的动点，M为x正半轴上的动点．若P在第一象限，且，求P的坐标；设，若以A、P、M为顶点的三角形是直角三角形，求M的横坐标；若，直线AQ与椭圆交于另一点C，且，，求直线AQ的方程．高二2班数学答案和解析1.【答案】C【解析】【分析】本题考查共轭复数及复数的代数形式混合运算，考查计算能力，利用复数的乘法除法运算法则，化简求解即可．【解答】解：z=1+2i，,则===i．故选C.2.【答案】C【解析】解：z=i（-2+i）=-2i-1对应的点（-1，-2）位于第三象限．故选：C．利用复数的运算法则、几何意义即可得出．本题考查了复数的运算法则、几何意义，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．3.【答案】A【解析】【分析】本题考查古典概率的求法，是基础题，解题时注意等可能事件概率计算公式的合理运用．掷一枚均匀的硬币3次，利用列举法求出共有8种不同的情形，再求出满足出现正面向上的次数恰好为两次的基本事件个数，由此能求出出现正面向上的次数恰好为两次的概率．【解答】解：掷一枚均匀的硬币3次，共有8种不同的情形：正正正，正正反，正反正，反正正，正反反，反正反，反反正，反反反，其中满足条件的有3种情形：正正反，正反正，反正正，故所求的概率p=，故选A．4.【答案】D【解析】【分析】本题考查命题真假的判断，考查互斥事件、对立事件的定义等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，属于基础题．【解答】解：某小组有3名男生和2名女生，从中任选2名学生参加演讲比赛，在A中，“至少1名男生”与“至少有1名是女生”能同时发生，不是互斥事件，故A错误；在B中，“恰好有1名男生”与“恰好2名女生”是互斥不对立事件，故B错误；在C中，“至少1名男生”与“全是男生”能同时发生，不是互斥事件，故C错误；在D中，“至少1名男生”与“全是女生”是对立事件，故D正确．故选D.5.【答案】A【解析】【分析】本题考查的知识点是充要条件的定义，复数的运算，难度不大，属于基础题．利用复数的运算性质，分别判断“a=b=1”“（a+bi）2=2i”与“a=b=1”“（a+bi）2=2i”的真假，进而根据充要条件的定义得到结论．【解答】解：当“a=b=1”时，“（a+bi）2=（1+i）2=2i”成立，故“a=b=1”是“（a+bi）2=2i”的充分条件；当“（a+bi）2=a2-b2+2abi=2i”时，“a=b=1”或“a=b=-1”，故“a=b=1”是“（a+bi）2=2i”的不必要条件；综上所述，“a=b=1”是“（a+bi）2=2i”的充分不必要条件.故选A．6.【答案】D【解析】【分析】本题主要考查了椭圆的性质以及直线与椭圆的关系，属于基础题.在解决弦的中点问题，常用“点差法”设而不求，将弦所在直线的斜率、弦的中点坐标联系起来，相互转化，达到解决问题的目的，先设出弦的两端点的坐标，分别代入椭圆方程，两式相减后整理即可求得弦所在的直线的斜率.【解答】解：设弦的两端点为A（x1，y1），B（x2，y2），代入椭圆得，两式相减得+=0，即=，即=，即=，即=，∴弦所在的直线的斜率为.故选D.7.【答案】A【解析】【分析】本题考查椭圆的定义与方程，考查椭圆的几何性质，考查学生的计算能力，属于基础题．利用△AF1B的周长为4，求出a=，根据离心率为，可得c=1，求出b，即可得出椭圆的方程．【解答】解：∵△AF1B的周长为4，∵△AF1B的周长=|AF1|+|AF2|+|BF1|+|BF2|=2a+2a=4a，∴4a=4，∴a=，∵离心率为，∴，c=1，∴b==，∴椭圆C的方程为+=1．故选A．8.【答案】D【解析】∣【分析】本题考查双曲线的简单几何性质，考查数形结合思想，属于基础题．由题意求得双曲线的右焦点F（2，0），由PF与x轴垂直，代入即可求得P点坐标，根据三角形的面积公式，即可求得△APF的面积．【解答】解：由双曲线C：x2-=1的右焦点F（2，0），PF与x轴垂直，设P（2，y），y＞0，则y=3，则P（2，3），∴AP⊥PF，则∣AP∣=1，∣PF∣=3，∴△APF的面积S=×∣AP∣×∣PF∣=，同理当y＜0时，则△APF的面积S=，故选D．9.【答案】D【解析】解：设|F1B|=k（k＞0），则|AF1|=3k，|AB|=4k，∴|AF2|=2a-3k，|BF2|=2a-k∵cos∠AF2B=，在△ABF2中，由余弦定理得，|AB|2=|AF2|2+|BF2|2-2|AF2|•|BF2|cos∠AF2B，∴（4k）2=（2a-3k）2+（2a-k）2-（2a-3k）（2a-k），化简可得（a+k）（a-3k）=0，而a+k＞0，故a=3k，∴|AF2|=|AF1|=3k，|BF2|=5k，∴|BF2|2=|AF2|2+|AB|2，∴AF1⊥AF2，∴△AF1F2是等腰直角三角形，∴c=a，∴椭圆的离心率e==，故选：D．设|F1B|=k（k＞0），则|AF1|=3k，|AB|=4k，由cos∠AF2B=，利用余弦定理，可得a=3k，从而△AF1F2是等腰直角三角形，即可求椭圆E的离心率．本题考查了椭圆的定义标准方程及其性质、勾股定理的逆定理、余弦定理，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．10.【答案】C【解析】解：由题意可知：F1F2=F2P=2c，又∵F1P+F2P=2a1，F1P-F2P=2a2，∴F1P+2c=2a1，F1P-2c=2a2，两式相减，可得：a1-a2=2c，∵==，∴===4+2+，∵2+≥2=2，当且仅当时等号成立，∴的最小值为6，故选：C．通过图象可知F1F2=F2P=2c，利用椭圆、双曲线的定义及离心率公式可得的表达式，通过基本不等式即得结论．本题考查椭圆的简单性质，考查运算求解能力，注意解题方法的积累，属于中档题．11.【答案】2【解析】【解答】解：复数z=1+i ，则2)1(1|z |22=-+=故答案为2．12.【答案】a ≤1 【解析】 【分析】本题以命题的真假判断与应用为载体，考查了二次函数的图象和性质，难度中档． 若命题“p：∀x∈R，ax 2+2x+1＞0”是假命题，则a=0，或a ＜0，或，进而得到实数a 的取值范围． 【解答】解：若命题“p：∀x∈R，ax 2+2x+1＞0”是假命题， 则∃x∈R，ax 2+2x+1≤0，当a=0时，y=2x+1为一次函数，满足条件；当a ＜0时，y=ax 2+2x+1是开口朝下的二次函数，满足条件；当a ＞0时，y=ax 2+2x+1是开口朝上的二次函数， 则函数图象与x 轴有交点，即△=4-4a≥0， 解得：0＜a≤1综上可得：实数a 的取值范围是：a≤1， 故答案为a≤1.13.【答案】【解析】 【分析】本题考查椭圆的简单性质以及双曲线的简单性质的应用，双曲线方程的求法，考查计算能力． 求出椭圆的焦点坐标，得到双曲线的焦点坐标，利用双曲线的渐近线方程，求出a ，b ，即可得到双曲线方程． 【解答】 解：双曲线与椭圆有相同的焦点（，0），焦点坐标在x 轴，双曲线的一条渐近线为，可得=，a 2+b 2=13，可得a 2=4，b 2=9．所求双曲线方程为：．故答案为．14. (1)(2) 15. 216.【答案】317.【答案】解：（1）依题意得所以实数x的取值范围是（2）依题意得所以x=2检验：当x=2时，，满足z1＞z2符合题意．所以实数x的取值范围是x=2.【解析】本题考查复数的基本运算，复数的基本概念，是基础题．（1）利用复数的基本概念，列出方程求解即可．（2）利用复数是实数求出x的值，然后判断即可．18.【答案】解：(1)由题意知，从 6 个国家里任选两个国家，其一切可能的结果组成的基本事件有：(A1,A2),(A1,A3),(A2,A3),(A1,B1),(A1,B2),(A1,B3),(A2,B1) ，(A2,B2),(A2,B3),(A3,B1),(A3,B2),(A3,B3),(B1,B2),(B1,B3),(B2,B3) ，共 15 个，所选两个国家都是亚洲国家的事件所包含的基本事件有： (A1,A2),(A1,A3),(A2,A3) ，共 3 个∴这2个国家都是亚洲国家的概率P==．（2）从亚洲国家和欧洲国家中各任选1个，包含的基本事件个数为9个，分别为：（A1，B1），（A1，B2），（A1，B3），（A2，B1），（A2，B2），（A2，B3），（A3，B1），（A3，B2），（A3，B3），这2个国家包括A1但不包括B1包含的基本事件有：（A1，B2），（A1，B3），共2个，∴这2个国家包括A1但不包括B1的概率P=．【解析】本题考查概率的求法，涉及到古典概型、列举等知识点，考查运算求解能力，考查集合思想，是基础题．（1）从这6个国家中任选2个，基本事件总数是15，这2个国家都是亚洲国家包含的基本事件个数是3，由此能求出这2个国家都是亚洲国家的概率．（2）从亚洲国家和欧洲国家中各任选1个，利用列举法能求出这2个国家包括A1但不包括B1的概率．19.【答案】解：（1）若p为真：则，解得-4＜m＜-2，或m＞4；（2）若q为真，则(m-t)(m-t-1)＜0，即t＜m＜t+1，∵p是q的必要不充分条件，则{m|t＜m＜t+1}⊊{m|-4＜m＜-2，或m＞4}即或t≥4解得-4≤t≤-3或t≥4.【解析】本题考查了命题真假及充要条件的应用，属于基础题．（1）利用圆锥曲线的性质求出m的范围；（2）若q为真，则(m-t)(m-t-1)＜0，即t＜m＜t+1，由p是q的必要不充分条件，得到{m|t＜m＜t+1}⊊{m|-4＜＜-2，或m＞4}即可求出t的取值范围．20.【答案】解：（1）解法一：∵w（1+2i）=4+3i，∴，∴．解法二：设w=a+bi（a、b∈R），a+bi-4=3i-2ai+2b，得，∴∴w=2-i，以下解法同解法一．（2）∵z=3+i是关于x的方程x2-px+q=0的一个根，∴（3+i）2-p（3+i）+q=0（8-3p+q）+（6-p）i=0，∵p，q为实数，∴，解得p=6，q=10．解方程x2-6x+10=0得∴实数p=6，q=10，方程的另一个根为x=3-i．【解析】（1）解法一：利用复数的运算计算出w，代入z即可得出．解法二：设w=a+bi（a、b∈R），利用复数的运算法则与复数相等解出w，即可得出．（2）把z=3+i代入关于x的方程x2-px+q=0，利用复数相等解出p，q，即可得出．本题考查了复数的运算法则、复数相等解，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．21.【答案】解：（Ⅰ）由题意，得c=1，∴a2=b2+1．∵点在椭圆C上，∴，可解得a2=4，b2=3，则椭圆C的标准方程为.（Ⅱ）依题意知直线斜率存在，不妨设直线l的方程为y=kx+2，点A（x1，y1），B（x2，y2），由，得（4k2+3）x2+16kx+4=0．∵直线与椭圆有两个交点，∴△=48（4k2-1）＞0，即，由根与系数的关系，得．∵∠AOB为锐角，∴，即x1x2+y1y2＞0．∴x1x2+（kx1+2）（kx2+2）＞0，即（1+k2）x1x2+2k（x1+x2）+4＞0，，，∴，综上，解得或．∴所求直线的斜率的取值范围为或．【解析】本题考查椭圆方程的求法，直线与椭圆的位置关系的综合应用，范围问题的处理方法，考查转化思想以及计算能力．（Ⅰ）利用已知条件求出c=1，得到a2=b2+1．通过点在椭圆C上，得到，可解椭圆C的标准方程；（Ⅱ）设直线l的方程为y=kx+2，点A（x1，y1），B（x2，y2），通过联立直线与椭圆方程，利用韦达定理以及x1x2+y1y2＞0．判别式的符号，求解k的范围即可．22.【答案】解：（1）由实轴长为4，得a=2，所以渐近线方程为y=x，即bx-2y=0或，取渐近线方程为bx-2y=0，∵焦点到渐近线的距离为，∴=，又c2=b2+a2，∴b2=3，∴双曲线方程为：=1；（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），C（x0，y0），则x1+x2=mx0，y1+y2=my0，由直线与双曲线方程联立，可得，∴x1+x2=16，∴y1+y2=-4=12，∴，解得x0=4，y0=3，∴m=4，∴C（4，3），m=4．【解析】本题考查直线与圆锥曲线的位置关系、双曲线标准方程的求解，考查向量的线性运算，考查学生分析问题解决问题的能力．（1）由实轴长可得a值，由焦点到渐近线的距离可得b，c的方程，再由a，b，c间的平方关系即可求得b；（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），C（x0，y0），则x1+x2=mx0，y1+y2=my0，联立直线方程与双曲线方程消掉y得x的二次方程，由韦达定理可得x1+x2，进而求得y1+y2，从而可得，再由点D在双曲线上得一方程，联立方程组即可求得C点坐标，从而求得m值．【答案】解：设，椭圆：，A为上顶点，P为异于上、下顶点的动点，P在第一象限，且，联立，解得设，，，若，则，即，，解得．如图，若，则，即，，解得或，若，则M点在x轴负半轴，不合题意．点M的横坐标为，或1，或．设，，，，又设，，，，整理得：，，，，，且，，且，以上两式平方相加，整理得，，或舍去，此时，直线AC的斜率负值已舍去，如图．直线AQ为．【解析】设，联立，能求出P点坐标．设，，，由，求出；由，求出或；由，则M点在x轴负半轴，不合题意由此能求出点M的横坐标．设，推导出，设，推导出，从而，且，，且，由此能求出直线AQ．本题考查点的坐标的求法，考查直线方程的求法，考查椭圆、直线方程、三角函数等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方思想，是中档题．。
2021-2022学年江苏省南通市启东中学高二年级上册学期期中数学试题【含答案】
2021-2022学年江苏省南通市启东中学高二上学期期中数学试题一、单选题1．等差数列{}n a 为递增数列，n S 为其前n 项和，已知54a =，4612a a ⋅=，则7S =（ ） A ．14 B ．12 C ．21 D ．7A【分析】根据等差数列通项公式基本量运算公式计算出公差，进而利用求和公式计算出答案.【详解】设数列的公差为d ，由54a =，4612a a ⋅=，得：()()4412d d -+=，解得：2d =±，又因为数列递增，所以2d =，4422a =-=，所以74714S a ==． 故选：A ．2．椭圆22214x y a +=与双曲线2212x y a -=有相同的焦点，则a 的值为（ ）A ．1BC ．2D ．3A由双曲线方程知0a >，结合椭圆方程及共焦点有24a <且242a a -=+，即可求a 值.【详解】由双曲线2212x y a -=知：0a >且(， 而其与椭圆22214x y a+=有相同焦点，∴24a <且242a a -=+，解得1a =， 故选：A3．已知椭圆：2221(02)4x y b b +=<<，左、右焦点分别为12,F F ，过1F 的直线l 交椭圆于,A B 两点，若22BF AF +的最大值为5，则b 的值是A ．1 BC ．32D D【分析】由题意可知椭圆是焦点在x 轴上的椭圆，利用椭圆定义得到|BF 2|+|AF 2|＝8﹣|AB |，再由过椭圆焦点的弦中通径的长最短，可知当AB 垂直于x 轴时|AB |最小，把|AB |的最小值b 2代入|BF 2|+|AF 2|＝8﹣|AB |，由|BF 2|+|AF 2|的最大值等于5列式求b 的值即可． 【详解】由0＜b ＜2可知，焦点在x 轴上，∵过F 1的直线l 交椭圆于A ，B 两点， 则|BF 2|+|AF 2|+|BF 1|+|AF 1|＝2a +2a ＝4a ＝8 ∴|BF 2|+|AF 2|＝8﹣|AB |．当AB 垂直x 轴时|AB |最小，|BF 2|+|AF 2|值最大， 此时|AB |＝b 2，则5＝8﹣b 2， 解得b 3=， 故选D ．本题考查直线与圆锥曲线的关系，考查了椭圆的定义，考查椭圆的通径公式，考查计算能力，属于中档题．4．已知数列{}n a 前n 项和为.n S 且11222n n a p S S p n -=-=≥，（） p （为非零常数）则下列结论中正确的是（ ） A ．数列{}n a 不是等比数列 B ．1p =时415.16S =C ．当12p =时，()*m n m n a a a m n N +⋅=∈， D ．3856a a a a +=+ C【分析】根据11222n n a p S S p n -=-=≥，（），利用数列通项和前n 项和的关系求解，再逐项判断.【详解】解：因为11222n n a p S S p n -=-=≥，（），所以22pa =，当3n ≥时，1222n n S S p ---=， 两式相减得120n n a a --=，又2112a a =， 所以数列{}n a 是以p 为首项，以12为公比的等比数列，故A 错误； 当1p =时，44111521812S ⎛⎫- ⎪⎝⎭==-，故B 错误；当12p =时，12nn a ⎛⎫= ⎪⎝⎭，所以()* ，+⋅=∈m n m n a a a m n N ，故C 正确；由112-⎛⎫= ⎪⎝⎭n n a p 得387332+=a a p ，56451132232+=+=a a p p p ，故D 错误， 故选：C5．以双曲线221169x y -=的右顶点为焦点的抛物线的标准方程为()A ．216y x =B ．216y x =-C ．28y x =D ．28y x =-A【分析】先由双曲线方程，得到右顶点坐标，设所求抛物线方程为22y px =，得到42p=，进而可求出结果.【详解】由双曲线的方程221169x y -=可得：右顶点为：()4,0，设所求抛物线方程为：22y px =， 因为其以()4,0为焦点，所以42p=，因此8p =； 故抛物线方程为.216y x = 故选：A本题主要考查由焦点坐标求抛物线方程，熟记双曲线的性质以及抛物线的标准方程即可，属于基础题型. 6．给出下列说法：①方程222460x y x y +-++=表示一个圆；②若0m n >>，则方程221mx ny +=表示焦点在y 轴上的椭圆；③已知点(1,0)M -、(1,0)N ，若2PM PN -=，则动点P 的轨迹是双曲线的右支； ④以过抛物线焦点的弦为直径的圆与该抛物线的准线相切. 其中正确说法的个数是（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4B【分析】对于①，由配方法整理方程，结合圆的标准方程，可得答案； 对于②，根据椭圆的标准方程，可得答案； 对于③，根据双曲线的定义，可得答案；对于④，根据抛物线的定义，结合圆与直线的位置关系，可得答案.【详解】方程222460x y x y +-++=即()()22121x y -++=-不表示圆，故①错； 若m >n >0，则方程221mx ny +=，即22111011x y m n m n m n+=>>∴<，，，所以表示焦点在y轴上的椭圆，故②对；已知点()1,0M -、()1,0N ，若2PM PN MN -==，所以动点P 的轨迹是一条射线，故③错；设过抛物线焦点的直线与抛物线的交点为A ,B ，线段AB 的中点为M ,由抛物线的定义可得AB 即为AB 两点到准线的距离和，即为M 点到准线距离的两倍，所以以AB 为直径的圆与准线相切，故④对； 故选：B.7．以下四个命题表述错误的是（ ）A ．圆222x y +=上有且仅有3个点到直线:10l x y -+=B ．曲线22120C :x y x ++=与曲线222480C :x y x y m +--+=，恰有四条公切线，则实数m 的取值范围为4m >C ．已知圆22:2C x y +=，P 为直线0x y ++=上一动点，过点P 向圆C 引一条切线PA ，其中A 为切点，则PA 的最小值为2D ．已知圆22:4C x y +=，点P 为直线:280l x y +-= 上一动点，过点P 向圆C 引两条切线PA ，PB ，,A B 为切点，则直线AB 经过点11,2⎛⎫⎪⎝⎭B【分析】选项A 根据圆心到直线的距离与半径的关系来确定所求点的个数；选项B 根据两曲线有四条公切线，确定曲线类型为圆，再由两圆外离列不等式求解；选项C 利用圆心与切点的连线垂直切线列等式，转化为求圆心到直线上的点的距离的最小值问题；选项D ，设点(),82p n n - 为直线l 上一点，求出切线AB 的方程即可判断．【详解】解：选项A ：圆222x y +=的圆心为()0,0O ，半径r =，所以圆心()0,0O 到直线:10l x y -+=的距离122===d r ，所以圆222x y +=上有且仅有3个点到直线:10l x y -+=， 故选项A 正确；选项B ：方程2220x y x ++=可化为()2211x y ++=，故曲线1C 表示圆心为1(1,0)C -，半径11r = 的圆，方程22480x y x y m +--+=可化为()()222420x y m -+-=-，因为圆1C 与曲线2C 有四条公切线，所以曲线2C 也为圆，且圆心为2(2,4)C ，半径220)r m <， 同时两圆的位置关系为外离，有1212||C C r r >+，即51>， 解得420m <<，故B 错误；选项C ：圆22:2C x y +=的圆心()0,0C，半径r =， 圆心()0,0C到直线0x y ++的距离=>d r ， 所以直线与圆相离，由切线的性质知，PAC为直角三角形，||2==PA ，当且仅当PC与直线0x y ++=垂直时等号成立，所以PA 的最小值为2，故选项C 正确；选项D ：设点(),82P n n -为直线l 上一点，则以O ，P 为直径的圆的方程为()22242n x y n ⎛⎫-+-+= ⎪⎝⎭ ⎪⎝⎭，即：22820x nx y y ny -+-+=，两圆的方程相减得到直线AB 方程为8240nx y ny +--=，即()()2840n x y y -+-=， 所以直线AB 过定点11,2⎛⎫⎪⎝⎭，D 正确．故选：B ．8．九连环是我国从古至今广泛流传的一种益智游戏，它用九个圆环相连成串，以解开为胜．据明代杨慎《丹铅总录》记载：“两环互相贯为一，得其关捩，解之为二，又合面为一”．在某种玩法中，用n a 表示解下()9,n n n *≤∈N 个圆环所需的移动最少次数，若11a =，且1121,22,n n n a n a a n ---⎧=⎨+⎩为偶数为奇数，则解下5个环所需的最少移动次数为（ ）A ．7B ．13C ．16D ．22C【分析】根据数列{}n a 的递推公式逐项计算可得出5a ，即为所求.【详解】数列{}n a 满足11a =．且1121,22,n n n a n a a n ---⎧=⎨+⎩为偶数为奇数，所以，21211a a =-=，32224a a =+=，43217a a =-=，542216a a =+=. 所以解下5个环所需的最少移动次数为16． 故选：C ．二、多选题9．下列四个命题中，假命题的是（ ）A ．要唯一确定抛物线，只需给出抛物线的准线和焦点B ．要唯一确定以坐标原点为中心的椭圆，只需给出一个焦点和椭圆的上一点C ．要唯一确定以坐标原点为中心的双曲线，只需给出双曲线上的两点D ．要唯一确定以坐标原点为中心的双曲线，只需给出一条渐近线方程和离心率 CD【分析】对于四个选项，分别根据圆锥曲线的定义逐项进行判断即可．【详解】A ：选项中给出抛物线上的焦点和准线，由拋物线定义可确定抛物线的焦点到准线的距离，所以能唯一确定抛物线，故A 正确；B ：选项中以坐标原点为中心，给出椭圆的一个焦点，则另一个焦点能确定，再给出椭圆上一点，则可确定椭圆上点到两个焦点的距离和，由椭圆定义可知，能唯一确定椭圆，所以B 选项正确；C ：选项中以坐标原点为中心，若给出的双曲线上的两点关于双曲线的对称轴对称，则无法确定双曲线，所以C 选项不正确；D ：选项给出双曲线的一条渐近线方程和离心率，但无法确定焦点的位置，所以无法唯一确定双曲线，所以D 选项不正确． 故选：CD ．10．已知抛物线24y x =的焦点为F ，过点F 任作一直线交抛物线于A ，B 两点，点B 关于x 轴的对称点为C ，直线l 为抛物线的准线，则（ ） A ．以线段AB 为直径的圆与直线32x =-相离B ．AB 的最小值为4C ．11AF BF+为定值 D ．当A ，C 不重合时，直线AC ，x 轴，直线l 三线交于同一点 ABCD【分析】设出点的坐标和AB 、AC 的方程，AB 方程与抛物线联立，利用韦达定理，利用已知条件，对选项逐个判断即可．【详解】解：设M 为线段AB 的中点，则点M 到准线=1x -的距离为()1122AF BF AB +=， 于是以线段AB 为直径的圆与直线=1x -一定相切，进而与直线32x =-一定相离，A 正确；设()11,A x y ，()22,B x y ，直线AB 方程为1x my =+，联立直线与抛物线方程可得，2440y my --=，则124y y m +=，124y y =-．于是()21212444AB x x p m y y m =++=++=+，当0m =时，AB 有最小值为4，B 正确； 由12pAF x =+，22p BF x =+， 得()()1221212121241111111112224m y y AF BF x x my my m y y m y y +++=+=+==+++++++为定值，故C 对；()22,C x y -，则直线AC 的方程为()121112y y y y x x x x +-=--， 令0y =，得12211212121221y x y x my y y y x y y y y +++===-++即AC 与x 轴的交点为()1,0-，恰为准线l 与x 轴的交点，故D 正确． 故选：ABCD ．11．已知等差数列{}n a 的首项为1，公差4d =，前n 项和为n S ，则下列结论成立的有 A ．数列n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前10项和为100B ．若1,a 3,a m a 成等比数列，则21m =C ．若111625ni i i a a =+>∑，则n 的最小值为6 D ．若210m n a a a a +=+，则116m n+的最小值为2512AB由已知可得:43n a n =-,22n S n n =-,=21n S n n -,则数列n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等差数列通过公式即可求得前10项和;通过等比中项可验证B 选项;因为 11111=44341i i a a n n +⎛⎫- ⎪-+⎝⎭,通过裂项求和可求得111ni i i a a =+∑;由等差的性质可知12m n +=利用基本不等式可验证选项D 错误.【详解】由已知可得:43n a n =-,22n S n n =-,=21n S n n -,则数列n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等差数列,则前10项和为()10119=1002+.所以A 正确; 1,a 3,a m a 成等比数列,则231=,m a a a ⋅81m a =,即=4381m a m =-=,解得21m =故B 正确;因为11111=44341i i a a n n +⎛⎫- ⎪-+⎝⎭所以1111111116=1=455494132451ni i i n n n a a n =+⎛⎫-+-++-> ⎪++⎝⎭-∑,解得6n >,故n 的最小值为7,故选项C 错误;等差的性质可知12m n +=,所以()()1161116116125=116172412121212n m m n m n m n m n ⎛⎫⎛⎫+++=+++≥+⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,当且仅当16=n m m n 时,即48=45n m =时取等号,因为*,m n ∈N ,所以48=45n m =不成立,故选项D 错误. 故选:AB.本题考查等差数列的性质,考查裂项求和,等比中项,和基本不等式求最值,难度一般.12．已知双曲线()222:10x C y a a -=>，若圆()2221x y -+=与双曲线C 的渐近线相切，则（ ）A ．双曲线C 的实轴长为6B ．双曲线C 的离心率e =C ．点P 为双曲线C 上任意一点，若点P 到C 的两条渐近线的距离分别为1d 、2d ，则2134d d =D ．直线1y k x m =+与C 交于A 、B 两点，点D 为弦AB 的中点，若OD （O 为坐标原点）的斜率为2k ，则1213k k = BCD【分析】利用双曲线C 的渐近线与圆相切求出a 的值，结合离心率公式可判断AB 选项的正误；设点()00,P x y ，则220033x y -=，结合点到直线的距离公式可判断C 选项的正误；利用点差法可判断D 选项的正误.【详解】解：由题意知C 的渐近线方程为0x ay ±=1=，因为0a >，则a =所以双曲线C 的实轴长为2a =A 错误；2c，所以c e a ===B 正确； 设()00,P x y ，则22033x y -=，2200123344x y d d -===，故C 正确；设()11,A x y 、()2222,B x y ，则221122223333x y x y ⎧-=⎨-=⎩，两式作差得()()()()121212123x x x x y y y y +-=+-，所以，121212121213y y y y k k x x x x -+=⋅=-+，D 对. 故选：BCD.三、填空题13．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足11a =，()12N n n a S n *+=∈，则n a = ____．21,1,23, 2.n n n -=⎧⎨⨯≥⎩. 【分析】利用11,1,2n n n S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩求解即可.【详解】当1n =时可得1222,2a a a =∴=， 当2n ≥时，由12n n S a +=，得12n n S a -=， 两式做差可得13n n a a +=， 因为212,1a a ==，所以数列{}n a 是从第二项开始，以3为公比的等比数列，所以21,1,23, 2.n n n a n -=⎧=⎨⨯≥⎩故21,1,23, 2.n n n -=⎧⎨⨯≥⎩ 14．过点()5,1B -与圆2225x y +=相切的直线方程为______.5x =或125650x y --=【分析】根据题意，分2种情况讨论：①、所求直线的斜率不存在，则直线的方程为5x =，验证是否与圆相切，②、所求直线的斜率存在，设其方程为1(5)y k x +=-，由直线与圆的位置关系可得k 的值，即可得此时直线的方程，综合2种情况即可得答案． 【详解】解：根据题意，分2种情况讨论：①、所求直线的斜率不存在，则直线的方程为5x =，与圆2225x y +=相切，符合题意； ②、所求直线的斜率存在，设其方程为1(5)y k x +=-，即510kx y k ---=， 要求直线与圆2225x y +=5，解可得125k =，此时要求直线的方程为：125650x y --=，综上可得：所求直线的方程为：5x =或125650x y --= 故答案为5x =或125650x y --=本题考查圆的切线方程的计算，注意分析直线的斜率是否存在，属于基础题． 15．过抛物线C ：24y x =的焦点F 作互相垂直的弦AB ，CD ，则四边形ACBD 面积的最小值为____． 32【分析】设直线AB 的方程为(1)y k x =-，将直线AB 的方程代入抛物线的方程，列出韦达定理，利用抛物线的定义得出||AB ，同理得出||CD ，由面积公式1·2S AB CD =结合基本不等式可得出四边形ACBD 面积的最小值．【详解】如下图所示，显然焦点F 的坐标为(1,0)，所以，可设直线AB 的方程为(1)y k x =-，将直线l 的方程代入抛物线的方程并整理得 2222(24)0k x k x k -++=，所以，12242x x k +=+，所以，122424AB x x k =++=+， 同理可得244=+CD k ，由基本不等式可知，四边形ACBD 的面积为 222114(1)··4(1)22+==⨯+k S AB CD k k2218(2)32=++k k．当且仅当1k =±时，等号成立，因此，四边形ACBD 的面积的最小值为32．本题主要考查直线与抛物线的位置关系应用，弦长的求法，基本不等式的应用，意在考查学生数学运算能力．四、双空题16．2021年是中国传统的“牛”年，可以在平面坐标系中用抛物线与圆勾勒出牛的形象．已知抛物线Z ：24x y =的焦点为F ，圆F ：()2214x y +-=与抛物线Z 在第一象限的交点为2,4m P m ⎛⎫ ⎪⎝⎭，直线l ：()0x t t m =<<与抛物线Z 的交点为A ，直线l 与圆F 在第一象限的交点为B ，则m =______；FAB 周长的取值范围为______． 2 ()4,6【分析】联立圆与抛物线的方程即可求得m ，然后由()02x t t =<<分别与抛物线，与圆的方程联立求得A ，B 的坐标，再结合抛物线的定义求解. 【详解】如图所示：由()2224140,0x y x y x y ⎧=⎪⎪+-=⎨⎪>>⎪⎩，解得2,1x y =⎧⎨=⎩，∴2m =由24x t x y =⎧⎨=⎩，解得24x tt y =⎧⎪⎨=⎪⎩， 所以2,4t A t ⎛⎫ ⎪⎝⎭由()2214x t x y =⎧⎪⎨+-=⎪⎩，解得1x t y =⎧⎪⎨=⎪⎩所以(,1B t ，由抛物线的定义得： ∴AF AC =，∴FAB 周长FA FB AB =++，2AC AB BF BC =++=+，4. ()0,2t ∈，()44,6∈故2，()4,6．五、解答题17．已知各项均为正数的等比数列{}n a 满足236a a =，3542a a a =-，数列{}n b 的前n 项和为Sn ，且11b =，12n n n S b b +=，n ∈N *． （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）证明数列{}n b 是等差数列，并求数列{}n n a b +的前n 项和Tn ． （1）2n n a =；（2）证明见解析，21112222n n T n n +=++-（1）由1a 和q 分别表示出等式中的3a 、4a 、5a 和6a ，解方程组求出1a 和q ，再由等比数列的通项公式表示出n a 即可；（2）1n =时，求出22b =，2n ≥时，由n S 和1n S -的关系得到112n n b b +--=，进而求出n b n =，用定义证明数列{}n b 是等差数列即可，分别求出数列{}n a 和{}n b 的前n 项和，从而求出n T .【详解】（1）由题意，设等比数列{}n a 的公比为()0q q >，2363542a a a a a ⎧=⎪⎨=-⎪⎩⇒()225112431112a q a q a q a q a q⎧=⎪⎨⎪=-⎩⇒122a q =⎧⎨=⎩， 所以112n nn a a q -==.（2）由题意，当1n =时，1122S b b =，又11b =，所以22b =， 当2n ≥时，112n n n S b b --=，所以()11111222n n n n n n n n n n S S b b b b b b b b -+-+--==-=-， 所以112n n b b +--=，又11b =，所以2121n b n -=-，22b =，所以22n b n =， 所以n b n =，11n n b b +-=，所以数列{}n b 是以首项为1，公差为1的等差数列， 数列{}n a 的前n 项和为()()11121222112n n n a q q+-⨯-==---，数列{}n b 的前n 项和为()()121112222n b b n n n n n ++==+，所以数列{}n n a b +的前n 项和21112222n n T n n +=++-.本题主要考查求等比数列和等差数列的通项公式和前n 项和公式，考查分组求和的计算方法，属于中档题. 18．如图，圆M ：2221x y ，点()1,P t -为直线l ：=1x -上一动点，过点P 引圆M 的两条切线，切点分别为A 、B ．（1）若1t =，求切线所在直线方程； （2）求AB 的最小值；（1）切线方程为1y =，3410x y +-=（2）min 423AB =【分析】（1）设出切线方程，根据圆心到直线的距离等于半径求解； （2）将弦长AB 构造成角度的函数，求函数的最小值即可. 【详解】（1）由题意，切线斜率存在， 可设切线方程为()11y k x -=+， 即10kx y k -++=， 则圆心M 到切线的距离23111k d k +==+，解得0k =或34-，故所求切线方程为1y =，3410x y +-=； （2）连接PM ，AB 交于点N ，设MPA MAN θ∠=∠=， 则2cos 2cos AB AM θθ==， 在Rt MAP ∆中，1sin AM PMPMθ==， 因为3PM ≥， ()max 1sin 3θ∴=，()2max min 22cos 1(sin )3θθ∴=- min min 422(cos )AB θ∴==故AB 42. 本题考查圆的切线方程的求解，以及圆中弦长的最值问题，属综合题；第二问的难点在于如何构造函数，本题以角度入手，值得总结.19．在①离心率为3，且经过点()3,4；②半长轴的平方与半焦距之比等于常数4，且焦距为2.这两个条件中任选一个，补充在下面的问题中，若问题中的直线l 存在，求出l的方程；若问题中的直线l 不存在，说明理由.问题：已知曲线C ：()221,0mx ny m n +=≠的焦点在x 轴上，______，是否存在过点()1,1P -的直线l ，与曲线C 交于A ，B 两点，且P 为线段AB 的中点？注：若选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分. 答案见解析【分析】选条件①：可得曲线C 为焦点在x 轴上的双曲线，根据条件求出双曲线方程，根据直线l 的斜率是否存在分别讨论，斜率不存在时易得直线方程，验证是否满足题意即可；斜率存在时，联立直线与双曲线方程，由韦达定理验证是否满足题意； 选条件②：可得曲线C 为焦点在x 轴上的椭圆，根据条件求出椭圆方程，根据直线l 的斜率是否存在分别讨论，斜率不存在时易得直线方程，验证是否满足题意即可；斜率存在时，联立直线与椭圆方程，由韦达定理验证是否满足题意. 【详解】选条件①：由题设得曲线C 为焦点在x 轴上的双曲线， 设21m a=，21(0,0)n a b b =->>，所以C 的方程为22221(0,0)x y a b a b -=>>，由题设得229161a b =⎪-=⎪⎩，解得21a =，22b =，所以C 的方程为2212y x -=， 当直线l 的斜率不存在时，直线l 的方程为=1x -，与曲线C 有且仅有一个交点()1,0-，不符合题意；当直线l 的斜率存在时，设()11,A x y ，()22,B x y ，直线l 的方程为()11y k x -=+，即()11y k x =++，代入2212y x -=得()()()()222221230*k x k k x k k --+-++=，若220k -=，即2k =±时，方程()*有且仅有一解，不符合题意； 若220k -≠，即2k ≠±时，其判别式()()()()222Δ[21]42238230k k k k k k =+--++=+>，则32k >-，所以方程()*有两个不同实数解时，32k k >-≠且于是1222(1)2(1)22k k x x k -++=-=⨯-=--，解得2k =-，与32k >-且k ≠所以，不存在直线l ，与曲线C 交于A ，B 两点，且P 为线段AB 的中点．选条件②：由题设得曲线C 为焦点在x 轴上的椭圆，设21m a =，21(0)n a b b =>>，所以C 的方程为22221(0)x y a b a b+=>>，由题设得2242a c ⎧==⎪⎨⎪=⎩，解得24a =，23b =，所以C 的方程为22143x y +=， 当直线l 的斜率不存在时，直线l 的方程为=1x -，代入22143x y +=得32y =±，()1,1P -不是线段AB 的中点，不符合题意；当直线l 的斜率存在时，设()11,A x y ，()22,B x y ，直线l 的方程为()11y k x -=+，即()11y k x =++，代入22143x y +=得()()()22234814220k x k k x k k +++++-=， 其判别式()()()()2222Δ[81]4?34?422169660k k k k k k k =+-++-=-+>，于是()()1228121234k k x x k ++=-=⋅-=-+，解得34k =， 故()33711444y x x =++=+，即3470x y -+=，所以存在直线l ：3470x y -+=，与曲线C 交于A ，B 两点，且P 为线段AB 的中点． 方法点睛：(1)解答直线与椭圆的题目时，时常把两个曲线的方程联立，消去x (或y )建立一元二次方程，然后借助根与系数的关系，并结合题设条件建立有关参变量的等量关系．(2)涉及到直线方程的设法时，务必考虑全面，不要忽略直线斜率为0或不存在等特殊情形．20．已知数列{}n a 的前n 项和是n A ，数列{}n b 的前n 项和是n B ，若314A =，12n n a a +=，*N n ∈．再从三个条件：①221n B n n =-+；②12n n n B B b ++=+，120b =；③2222log n n b a =-，中任选一组作为已知条件，完成下面问题的解答． （1）求数列{}n b 的通项公式；（2）定义：,,a a ba b b a b ≤⎧*=⎨>⎩．记n n n c a b =*，求数列{}n c 的前100项的和100T ．选择见解析；（1）222n b n =-；（2）7940-．【分析】（1）根据已知条件可知数列{}n a 是公比为2的等比数列，根据314A =求出1a 的值，可求得等比数列{}n a 的通项公式.选①，由11,1,2n nn B n b B B n -=⎧=⎨-≥⎩可求得数列{}n b 的通项公式；选②，推导出数列{}n b 是公差为2-的等差数列，结合120b =可求得数列{}n b 的通项公式；选③，由{}n a 的通项公式结合对数运算可得出数列{}n b 的通项公式； （2）求出数列{}n c 的表达式，进而可求得100T 的值. 【详解】（1）由已知得，{}n a 为等比数列，公比为2q ，则231112214A a a a =++=，12a ∴=，所以，112n n n a a q -==.选择①，当1n =时，1120b B ==，当2n ≥时，()()()221212111222n n n b B B n n n n n -⎡⎤=-=-----=-⎣⎦. 120b =满足222n b n =-，所以，()222n b n n N *=-∈；选择②，12n n n B B b +-=-，即12n n b b +=-，所以{}n b 是首项为20，公差为2-的等差数列，()121222n b b n n ∴=--=-；选择③，2222log 2222nn b n =-=-；（2）11220a b =<=，22418a b =<=，33816a b =<=，441614a b =>=，当4n ≥且n N *∈时，令()22222222n nn n n x a b n n =-=--=+-，则数列{}n x 为单调递增数列，且420n x x ≥=>，即n n a b >.所以，()*2,13N 222,4n n n n n c a b n n n ⎧≤≤=*=∈⎨-≥⎩， 所以，()()31410010012345610019712a qb b T a a a b b b b q-+=++++++⋅⋅⋅+=+-()()3421297141782279547940122-⨯-=+=--=--．方法点睛：已知n S 求n a ：若已知数列的前n 项和n S 与n a 的关系，求数列{}n a 的通项，可用公式11,1,2n n n S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩求解，但需要注意对初始项是否满足通项进行检验.21．已知平面内一动点()(),0P x y x ≥到点()1,0F 的距离比到y 轴的距离大1. (1)求动点P 的轨迹C 的方程；(2)过点()2,0Q 的直线l 与C 相交于A ，B 两点，在x 轴上是否存在点M 使得AMQ BMQ ∠=∠若存在，请求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由.(1)()240y x x =≥(2)存在，()2,0M -【分析】（1）由动点P 到点()1,0F 的距离比到y 轴的距离大1，可得点P 到F 的距离等于P 到直线=1x -的距离，从而可得点P 的轨迹为以()1,0F 为焦点的抛物线，即可求得轨迹C 的方程；（2）设()11,A x y ，()22,B x y ，(),0M t ，直线:2l x my =+，代入24y x =可得2480y my --=，由根与系数的关系可得124y y m +=，128y y =-，由AMQ BMQ ∠=∠，可得AM BM k k =，计算可求得t 的值，即可得结论．【详解】(1)动点()(),0P x y x ≥到定点()1,0F 的距离比到y 轴的距离大1， 又0x ≥，P 到F 的距离等于P 到直线=1x -的距离，∴动点P 的轨迹为以()1,0F 为焦点的抛物线， ∴轨迹C 的方程()240y x x =≥；(2)设()11,A x y ，()22,B x y ，(),0M t ， 直线l 过点()2,0Q ， ∴设直线l 方程：2x my =+，代入24y x =， 可得2480y my --=，显然216320m ∆=+>，则124y y m +=，128y y =-，AMQ BMQ ∠=∠ ∴AM BM k k =∴()()21120y x t y x t -+-=∴()()2112220y my t y my t +-++-=得()()1212220my y t y y +-+=又124y y m +=，128y y =-()()28240m t m ∴-+-⨯=得()20m t --=2t ∴=-，即()2,0M -.故在x 轴上存在点()2,0M -使得AMQ BMQ ∠=∠22．如图，已知椭圆22122:1(0)x y C a b a b+=>>与等轴双曲线2C 共顶点(22,0)±，过椭圆1C 上一点(2,1)P -作两直线与椭圆1C 相交于相异的两点,A B ，直线PA 、PB 的倾斜角互补．直线AB 与,x y 轴正半轴相交，分别记交点为,M N ．（1）求椭圆1C 和双曲线2C 的方程；（2）若PMN 的面积为54，求直线AB 的方程；（3）若AB 与双曲线2C 的左、右两支分别交于,Q R ，求||||NQ NR 的范围． （1）22221,18288x y x y +=-=；（2）250x y +=；（3）11210⎛+ ⎝⎭． 【分析】（1）解方程2222411a a b⎧=⎪⎨+=⎪⎩即得椭圆方程和双曲线的方程；（2）联立直线和椭圆方程求出点,A B 坐标，即得12AB k =-，设1:(0)2AB y x n n =-+>，根据PMN 的面积为54求出n 的值即得解；（3）先求出||1||QRx NQ NR x ==n 的范围求解. 【详解】【解】（1）由题得22,411a a b a b ⎧=⎪∴==⎨+=⎪⎩所以椭圆的方程为221,82x y +=等轴双曲线的方程为22188x y -=. （2）221(2)48y k x x y +=-⎧⎨+=⎩消去y 得：2222(41)(168)161640k x k k x k k +-+++-= 221616441A P k k x x k +-⋅=+ 因为2P x =，所以2288241A k k x k +-=+，并求出2244141A k k y k --=+ 将k 换成k -，得：2222882441(,)4141k k k k B k k --+-++，则可得12ABk =- 设1:(0)2AB y x n n =-+>221248y x nx y ⎧=-+⎪⎨⎪+=⎩，消去y 得：222240x nx n -+-= 2248160n n ∆=-+>，所以得：02n <<则:220(02)AB x y n n +-=<<，(2,0),(0,)M n N n，d =21524PMNSn ===，解得：n =即:20AB x y +-（3）221(02)28y x n n x y ⎧=-+<<⎪⎨⎪-=⎩，消去y 得：22344320x nx n +--=1,2x =||1||Q R x NQ NR x ====204n <<2632n ∴>，则11>∴0<<，||1||NQ NR ∴<<则||||NQNR的取值范围为⎛⎝⎭．。
江苏省启东中学2019_2020学年高二数学上学期期中试题
江苏省启东中学2019-2020学年高二数学上学期期中试题一、选择题（本大题共10小题，共50.0分）”是“”的（ 1.）设则“A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件D. 既非充分也非必要条件 C. 充要条件从甲、乙等5名学生中随机选出2人，则甲被选中的概率为（ 2. ）D. C. A. B.nn与的位置关系是（平面，那么3. 如果直线直线），且D. 或相交 B. C. A.BCABCAxOy在椭圆=10）,顶点-4，0）和4.（在平面直角坐标系4中，已知顶点，（）=（上，则D. A. C. B.aaaaaaaa＝（）+}的各项均为正数，且…++log＝18，则log+log5. 等比数列{n10353624713D. C. 8 A. 12 B. 10，且，则的值为（ 6. 已知两个向量）A. 1B. 2C. 4D. 8一个圆锥的侧面展开图是一个的圆面，则这个圆锥的表面积和侧面积的比是（ 7. ）D. C. A. B.x=的倾斜角为（ 8.直线）- 1 -C. B.D. A.BaAABC），9. 已知△=30°，则中， =1等于（，或 D. B. 或 C. A.的公切线有几条10.圆与圆）（ D. 4条 C. 3条 B. 2A. 1条条30.0分）二、填空题（本大题共6小题，共a ______ ，那么．11.＜己知0的最小值是＜3nnaaaaaaa项和最大．}＜0若等差数列{，则当}满足的前++=______＞0，时，+12.{nn109877PFFbFPFa已知∠＞13.0)已知点上的一点，分别为椭圆的左、是椭圆＋＝1(，＞右焦点，2121PFPF．|，则椭圆的离心率为|＝3|___________＝120°，且|21则若向量λ=______．，，=（13，6λ），）（已知=2，-1，2），=（-1，3，-3共面，，14.mmylxmmxly ．的值为（15.______已知直线-1：-）=4，若直线垂直，则与直线+=2RmmxymxOy ）相切的所-2∈-1=016.在平面直角坐标系（中，以点（1，0）为圆心且与直线- ．有圆中，半径最大的圆的标准方程为______70.0分）6三、解答题（本大题共小题，共BBABBCFDABCABCE 上，且，17.分别为如图，在直三棱柱-的中点，点中，在侧棱，1111BACDBAFA ⊥⊥，．求证：111111FCDEA ）直线（1∥平面；11- 2 -BDEACF ．⊥平面 （2）平面11122bccaCbcABCABba ．分别是△）内角 ，，=的对边，且满足（-18.已知-，，A 的大小；）求角 1（aCBABC的面积．，求△=2sin （2）若=3，sin在在，19.扩建成一个更大的矩形花园如图所示，将一矩形花坛要求上，米，过上，且对角线点，已知米．平方米，则的长应在什么范围内的面积大于⑴要使矩形32?- 3 -的面积最小？并求出最米，则当的长度是多少时，矩形⑵若的长度不少于6 小面积．的圆心在，且与直线轴正半轴上，半径为20.相切．已知圆）求圆（1的方程；两点，若）设点与圆，过点作直线交于（2的方程；，求直线，）上的点，设是直线过的切线点作圆3（切点为．求证：经过三点的圆必过定点，并求出所有定点的坐标．- 4 -FbQCa（，0，（1＞），右焦点＞0），过点），21. 设椭圆（：=1C的方程；（Ⅰ）求椭圆lykxkxyCDCM，，＞0）分别交交于（Ⅱ）设直线轴，：两点，且与椭圆=（轴于-1）（kNMN|．值，并求出弦长|，求两点，若anTTaaa成等比数列．，=922.，且若数列{}是递增的等差数列，它的前项和为，，其中nn5132a}的通项公式；（1）求{n*2aannbSNSab的}，数列{的前项和为，恒成立，求∈，若对任意4）设（2=-≤nnnn取值范围．答案和解析A 【答案】1.- 5 -【解析】【分析】本题考查充分条件和必要条件的判断,利用不等式的关系结合充分条件和必要条件的定义是解决本题的关键,属于基础题.2aaa由小范围可推大范围，结合充分条件和必要条件的定义进行或-1,1得＜＞1解不等式＞. 判断即可【解答】2aaa-1,得＜＞1或解：由＞1aaaaaa, ”-1”推不出“＜?，但“＞＞1或∴由“1＞1”能推出“＞1或＜2aa. ”的充分不必要条件＞即“1＞1”是“A. 故选B 【答案】2.【分析】【解析】本题考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等可能事件概率计算公式的合理运用．人，先求出基本事件总数，再求出甲被选中包含的基本事2从甲、乙等5名学生中随机选出件的个数，同此能求出甲被选中的概率．【解答】CAB，解：从甲、乙等5名学生中随机选出2人，设另外三位学生分别为，BCAAB）、（乙、）、（乙、）、（甲、基本事件有（甲、乙），（甲、）、（乙、）、（甲、CABACBC）共10）、（）、（，种，），（，，甲被选中包含的基本事件的个数有4个，P===．∴甲被选中的概率B．故选D3.【答案】D 【答案】4.【解析】【分析】本题考查椭圆的简单性质，考查了正弦定理及椭圆定义的应用，是中档题．由题意画出图形，求出椭圆的长轴及焦距长，再由正弦定理把转化为三角形边的关系得答案．【解答】c=4，，得解：由椭圆=1- 6 -CA的两个焦点，0，）为椭圆，0）和=1（则4（-4B上，在椭圆=1∵ACBCAB，∴，+=8=10 =∴．=D故选．B 【答案】5.【分析】【解析】本题主要考查了等比数列的性质，解题的关键是灵活利用等比中项的性质，以及对数运算，.属较易题aaaaaaaaaa的值，最后根据等比=18，进而根据先根据等比中项的性质可知+=，求得65546574675aaaaa，则答案可得．+log+…+log）=log数列的性质求得log（6321053331【解答】aaaa，=解：由等比数列的性质可得7564aaaaaa=2∴=18，+647565aa，∴=965aaa+log+∴log…+log10 213335aa9=10. ）=log（=5log3365B故选．C 案】6.【答【分析】【解析】本题考查了空间向量共线定理、方程的解法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．k使得，即可得出．由，则存在实数- 7 -【解答】解：∵，k使得∴存在实数，∴，kmn=6， =-2，解得=，mn=4．则 +C. 故选A 【答案】7.【解析】【分析】rl的关系，再求它的底面面积与根据圆锥体的侧面展开图是半圆，求出底面半径与母线长侧面积的比，即可得出结论．本题考查了圆锥体的表面积和侧面积的计算问题，也考查了空间想象能力的应用问题，是基础题目．【解答】rl，根据题意得；，母线长为解：设该圆锥体的底面半径为rl，π 2π=lr；=4∴22rrlrrr 44（，）所以这个圆锥的底面面积与侧面积的比是ππ：=1=：：所以这个圆锥的表面积和侧面积的比是．A．故选：D 【答案】8.【解析】【分析】本题考查了直线的倾斜角，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．xx轴垂直，可得其倾斜角．与 =由直线【解答】- 8 -xx轴垂直， =与解：∵直线因此其倾斜角为．D．故选D 【答案】9.【解析】【分析】本题主要考查正弦定理，以及边角关系的应用，注意内角的范围，属于基础题．BB．内角的范围、根据题意和正弦定理求出sin特殊角的三角函数值求出的值，由边角关系、【解答】ABCaA=30°，，中，，=1解：由题意得，△B，=由得，sin==baB＜180°，，0°＜＞又BB=120°.=60°或则D．故选C 【答案】10.【解析】【分析】本题考查了圆的一般式方程与标准方程的互化和两圆位置关系的判断等知识点，属于中档题. 将圆的方程化为标准方程，求出圆心距及半径，可得两圆相外切，由此可确定两圆的公切线的条数．【解答】22yx=4，）+（解：圆化为标准方程为：（+2+1）C（-1，-2），半径为2，则圆心坐标为122yx=9，-2-2））+（圆化为标准方程为：（C（2，2），半径为3，则圆心坐标为2CC|==2+3，∴圆心距|∴两圆相外切，. 3条∴两圆的公切线有C．故选- 9 21即两圆的圆心距等于两圆的半径的和，-11.【答案】【解析】【分析】aa＞0．可＜，＜33-本题考查了基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．0得==，利用基本不等式的性质即可得出．【解答】aa＞0．＜3，解：∵0＜3-∴==≥=．当且仅当，等号成立。
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2020～2021学年度第一学期期中考试高二数学试题及评分建议(考试时间:120分钟 满分:150分)一、单项选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分。
在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
1. 已知命题p :∃x ∈R ,2104x x -+≤,则⌝p 为( ▲ )A.∀x ∈R ,2104x x -+≤B.∀x ∈R ,2104x x -+>C.∃x ∈R ,2104x x -+>D.∃x ∈R ,2104x x -+<【参考答案】B2. 椭圆141622=+y x 的长轴长为( ▲ )A.2B.4C.8D.16 【参考答案】C3. 已知关于x 的不等式ax 2＋bx －1>0的解集为(3,4),则实数a ,b 的值是( ▲ ) A.a ＝12,b ＝－84 B.a ＝－12,b ＝84C.a ＝112,b ＝－712D.a ＝－112,b ＝712【参考答案】D4. 已知1,a ,x ,b ,16这五个实数成等比数列,则x 的值为( ▲ )A.4B.－4C.±4D.不确定 【参考答案】A5. 已知正数a 、b 满足a ＋b ＝2,则b a +有( ▲ )A.最小值1B.最小值2C.最大值1D.最大值2 【参考答案】D6. “a >1,b >1”是“log a b ＋log b a ≥2”的( ▲ )条件A.充分不必要B.必要不充分C.充要D.既不充分也不必要 【参考答案】A7. 在等差数列{a n }中,已知前21项和S 21＝63,则a 2＋a 5＋a 8＋…＋a 20的值为( ▲ )A.7B.9C.21D.42 【参考答案】C8. ∃x ∈)13⎡+∞⎢⎣，,使得ax 2－2x ＋1>0 成立,则实数a 的取值范围为( ▲ )A.[－3,＋∞)B.(－3,＋∞)C.[1,＋∞)D.(1,＋∞) 【参考答案】B二、多项选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分。
在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求。
全部选对的得5分,部分选对的得3分,有选错的得0分。
9. 下列命题的否定中,是全称命题且为假命题的有( ▲ )A.中国所有的江河都流入太平洋B.有的四边形既是矩形,又是菱形C.存在x ∈R ,有x 2＋x ＋1＝0D.有的数比它的倒数小 【参考答案】BD 10.已知110m n<<,则( ▲ )A.m < nB.|m|> |n |C.m ＋n <mnD.mn <n 2 【参考答案】CD11.意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时,发现有这样一列数:1,1,2,3,5,…,其中从第三项起,每个数等于它前面两个数的和,后来人们把这样的一列数组成的数列{a n }称为“斐波那契数列”,记S n 为数列{a n }的前n 项和,则下列结论正确的是( ▲ )A.a 8＝34B.S 8＝54C.S 2020＝a 2022－1D.a 1＋a 3＋a 5＋…＋a 2021＝a 2022 【参考答案】BCD12.椭圆有这样的光学性质:从椭圆的一个焦点出发的光线,经椭圆反射后,反射光线经过椭圆的另一个焦点,今有一个水平放置的椭圆形台球盘,点F 1,F 2是它的焦点,长轴长为2a ,焦距为2c ,静放在点F 1的小球(小球的半径不计),从点F 1沿直线出发,经椭圆壁反弹后第一次回到点F 1时,小球经过的路程可以是( ▲ )A.4aB.4cC.2(a ＋c )D.2(a －c ) 【参考答案】ACD三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。
请把答案直接填写在答题卡相应．．．．． 位置上．．．。
13.不等式2311x x +<-的解集是 ▲ .【参考答案】(－4,1)14.若方程22195y x m m+=+-表示焦点在x 轴上的椭圆,则实数m 的取值范围是 ▲ . 【参考答案】(－2,5)15.已知a ,b 是正实数,且a ＋b ＝2,则221111a b +++的最大值是 ▲ .16.一个正方形被等分成九个相等的小正方形,将中间的一个小正方形挖掉(如图(1));再将剩余的每个小正方形都分成九个相等的小正方形,并将中间的一个小正方形挖掉得图(2);如此继续下去…….设原正方形的边长为1,则第3个图中共挖掉 ▲ 个正方形,第n 个图中所有挖掉的正方形的面积和为 ▲ .(本题第一空2分,第二空3分)【参考答案】73,()819n-四、解答题:本题共6小题,共70分。
请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答。
解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17.(本小题满分10分)已知椭圆C :x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的两个焦点分别为F 1、F 2,短轴的一个端点为P .(1)若∠F 1PF 2为直角,焦距长为2,求椭圆C 的标准方程; (2)若∠F 1PF 2为钝角,求椭圆C 的离心率的取值范围. 【解】(1)因为椭圆短轴的一个端点为P ,且∠F 1PF 2为直角,所以b ＝c ,a ＝2c ,……………2分 因为焦距长为2,所以c ＝1,……………3分所以a ＝2,b ＝1,所以椭圆C 的标准方程为2212x y +=.……………5分 (2)因为椭圆短轴的一个端点为P ,且∠F 1PF 2为钝角,所以45°＜∠OPF 2＜90°,……………7分所以sin ∠OPF 2＝c a ＞22,又因为椭圆的离心率e ∈(0,1),所以椭圆C 的离心率的取值范围为2⎫⎪⎝⎭.……………10分 18.(本小题满分12分)已知命题p :关于x 的方程x 2－(3m －2)x ＋2m 2－m －3＝0有两个大于1的实数根. (1)若命题p 为真命题,求实数m 的取值范围;(2)命题q :3－a <m <3＋a ,是否存在实数a 使得p 是q 的必要不充分条件,若存在,求出实数a 的取值范围;若不存在,说明理由.【解】(1)由x 2－(3m －2)x ＋2m 2－m －3＝0得[x －(m ＋1)][x －(2m －3)]＝0,所以x ＝m ＋1或x ＝2m －3 ……………2分 因为命题p 为真命题,所以m ＋1>1且2m －3>1,得m >2. ……………4分 (2)设集合A ＝{}|2m m >,集合B ＝{}|33m a m a -<<+,因为p 是q 的必要不充分条件,所以, ……………6分① 当B ＝∅时,33a a -+≥,解得a ≤0; ……………8分 ② 当B ≠∅时,33,32,a a a -<+⎧⎨-⎩≥解得01a <≤. ……………10分综上所述:存在a ≤1,满足条件. ……………12分 19.(本小题满分12分)已知数列{a n }是递增的等比数列,前3项和为13,且a 1＋3,3a 2,a 3＋5成等差数列, (1)求数列{a n }的通项公式;(2)数列{b n }的首项b 1＝1,其前n 项和为S n ,且 ▲ ,若数列{c n }满足c n ＝a n b n ,{c n }的前n 项和为T n ,求T n 的最小值.在如下三个条件中任意选择一个,填入上面横线处,并根据题意解决问题. ①3S n ＋b n ＝4;②b n ＝b n －1＋2(n ≥2);③5b n ＝－b n －1(n ≥2). 注:如果选择多个条件分别解答,只按第一个解答计分. 【解】(1)设数列{a n }的公比为q ,则由前3项和为13,且a 1＋3,3a 2,a 3＋5成等差数列,得12321313635a a a a a a ++=⎧⎨=+++⎩，，所以132103a a a +=⎧⎨=⎩，， ……………2分所以3310q q +=,即3q 2－10q ＋3＝0,解得13q =或3q = ……………4分又因为{a n }是递增的等比数列,且a 1>0,所以q>1,所以q ＝3,所以a n ＝3n -1. ……………6分 (2)选择①因为3S n ＋b n ＝4,所以3S n-1＋b n-1＝4(n ≥2), 两式相减得3(S n －S n-1)＋(b n －b n-1)＝0,即4b n －b n-1＝0(n ≥2),所以114n n b b -=(n ≥2), ……………8分所以数列{b n }是以b 1＝1为首项,14为公比的等比数列,故()114n n b -=, ……………10分因此()134n n n n c a b -==.由c n >0恒成立,所以T n 的最小值为T 1＝c 1＝1. ……………12分 选择②由b n ＝b n-1＋2(n ≥2)知{b n }是以b 1＝1为首项,2为公差的等差数列, 所以b n ＝1＋2(n －1)＝2n －1, ……………8分 所以c n ＝a n b n ＝(2n －1)·3n －1因为c n ＝(2n －1)·3n －1>0,即c 1>0,c 2>0,c 3>0,…, ……………10分 所以(T n )min ＝T 1＝c 1＝1 ……………12分选择③由5b n ＝－b n-1(n ≥2)知{b n }是以b 1＝1为首项,15-为公比的等比数列,所以()115n n b -=-, ……………8分所以()135n n n n c a b -==-,所以()()31553138515nnn T --⎡⎤==--⎢⎥⎣⎦+,……………10分 当n 为奇数时,由于()305n-<,故58nT >;当n 为偶数时,由于()305n->,故58nT <,由()53185nnT ⎡⎤=--⎢⎥⎣⎦在n 为偶数时单调递增,所以当n ＝2时,()min 51628255n T =⨯= ……………12分20.(本小题满分12分)已知数列{a n }的前n 项和S n ＝3n ＋1－t ,求证:数列{a n }是等比数列的充要条件为t ＝3. 【解】当n ＝1时,S 1＝32－t ＝9－t , ……………2分当n ≥2时,由S n ＝3n ＋1－t 得S n -1＝3n －t ,两式相减得a n ＝3n ＋1－3n ＝2·3n (n ≥2)……………4分 (1)充分性已知t ＝3,此时S 1＝32－t ＝9－3＝6,令n ＝1,得a 1＝2·31＝6＝S 1,所以a n ＝2·3n (n ∈N *) 所以13n na a +=,所以数列{a n }是等比数列.……………8分 (2)必要性因为数列{a n }是等比数列,所以a 1＝2·31＝6,又因为S 1＝9－t ,所以9－t ＝6,所以t ＝3,……………10分综上所述:数列{a n }是等比数列的充要条件为t ＝3. ……………12分 21.(本小题满分12分)为了丰富市民的文化生活,市政府决定在A 、B 两个新村之间建一个市民广场C .若A 、B 两个新村间的直线距离是3百米,建设部门在确定市民广场位置时,要充分考虑市民广场的噪音对新村居民的影响,经论证发现每个新村的噪音能量与离噪音点的距离x 成反比,由于两个新村的绿化等原因的差异,新村A ,B 的反比例系数分别为k 和1－k (0<k <1).将两个新村和市民广场看成三个点,且在同一条直线上.设A 与C 之间的距离为x 百米,两个新村的噪音能量之和为函数f (x ).当A 与C 之间的距离为2百米时,两个新村的噪音能量之和为23.(1)求函数f (x )的解析式,并写出定义域;(2)若两个新村的噪音能量之和最小时,市民广场的选址最合理,求最合理方案中A 与C 之间的距离.【解】(1)由题意1()3k k f x x x -=+-, ……………2分当x ＝2时,2(2)123k f k =+-=,所以23k =, ……………4分故21()393f x x x=+-,定义域为(0,3) ……………7分(2)因为()()2121393()3933939x x f x x x x x+-=+=+--()293)1312132299339x x x x -⎡⎤=++++⎢⎥-⎣⎦≥（,……………9分 当且仅当(3x )2＝2(9－3x )2时取等号,此时632x =-,………10分答:当A ,C 之间距离为632-百米时,两个新村的噪音能量之和最小.…………12分 22.(本小题满分12分)已知椭圆C :x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的短轴长为2,椭圆C 上的动点到左焦点的距离的最大值为21+.过点P (0,2)的直线l 与椭圆C 相交于A ,B 两点,线段AB 的中点为M ,且不与原点重合. (1)求椭圆C 的方程;(2)若y 轴上的一点Q 满足QA ＝QB ,求证:线段QM 的中点在定直线上; (3)求PA PB的取值范围.【解】(1)由于椭圆C 的短轴长为2,所以b ＝1,因为椭圆C 上的动点到左焦点的距离的最大值为21+, 所以a ＋c ＝2＋1,又因为b 2＝a 2－c 2,所以a －c ＝ 2－1,所以a ＝2,c ＝1.所以椭圆C 的方程为2212x y +=;……………3分(2)法一:显然直线l 的斜率存在,设其方程为y ＝kx ＋2,代入2212x y +=整理得(2k 2＋1)x 2＋8kx ＋6＝0,……………4分设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),则12221184()222121M k k x x x k k --=+=⋅=++, 所以2242222121M D k y kx k k k -=+=⋅+=++, 所以直线QM 的方程为222142121k y x k k k ⎛⎫--=-- ⎪++⎝⎭.………5分 令x ＝0,得2221Q y k -=+,则y Q ＝－y M,所以QM 的中点在定直线x 轴上. ………7分法二:连接OM ,设直线l 的斜率为k ,A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),则221112x y +=,222212x y +=, ………4分 两式相减得22221212022x x y y -+-=,即1212121212y y y y x x x x +-⋅=-+-, 所以12OM k k ⋅=-,………5分又1QM k k ⋅=-,所以2OM QM k k =,所以2M Q M M My y y x x -⋅=,即M Q y y =-,所以QM 的中点在定直线x 轴上. ………7分(3)设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),PA PB λ=,由(2)中法一知1122x xPA PB x x λ===,由(2k 2＋1)x 2＋8kx ＋6＝0,得△＝(8k )2－24(2k 2＋1)>0,即k 2>32,……8分又12122286,2121k x x x x k k -+==++, 所以2222212121222211212()2103)32223(21)3(21)x x x x x x k k x x x x x x k k ++-+==-=-=++（, 令222103)3(21)k k μ-=+（,则236206k μμ+=-, ………10分由k 2>32,得1023μ<<,即11023λλ<+<, 解之得133λ<<且λ≠1,即PA PB的取值范围为()()1,11,33.………12分。