中考数学专题训练---二次函数的综合题分类含答案

一、二次函数 真题与模拟题分类汇编（难题易错题）

1．如图：在平面直角坐标系中，直线l ：y=13x ﹣43

与x 轴交于点A ，经过点A 的抛物线y=ax 2﹣3x+c 的对称轴是x=

32

． （1）求抛物线的解析式；

（2）平移直线l 经过原点O ，得到直线m ，点P 是直线m 上任意一点，PB ⊥x 轴于点B ，PC ⊥y 轴于点C ，若点E 在线段OB 上，点F 在线段OC 的延长线上，连接PE ，PF ，且PE=3PF ．求证：PE ⊥PF ；

（3）若（2）中的点P 坐标为（6，2），点E 是x 轴上的点，点F 是y 轴上的点，当PE ⊥PF 时，抛物线上是否存在点Q ，使四边形PEQF 是矩形？如果存在，请求出点Q 的坐标，如果不存在，请说明理由．

【答案】（1）抛物线的解析式为y=x 2﹣3x ﹣4；（2）证明见解析；（3）点Q 的坐标为（﹣2，6）或（2，﹣6）．

【解析】

【分析】

（1）先求得点A 的坐标，然后依据抛物线过点A ，对称轴是x=

32列出关于a 、c 的方程组求解即可；

（2）设P （3a ，a ），则PC=3a ，PB=a ，然后再证明∠FPC=∠EPB ，最后通过等量代换进行证明即可；

（3）设E （a ，0），然后用含a 的式子表示BE 的长，从而可得到CF 的长，于是可得到点F 的坐标，然后依据中点坐标公式可得到22x x x x Q P F E ++=，22

y y y y Q P F E ++=，从而可求得点Q 的坐标（用含a 的式子表示），最后，将点Q 的坐标代入抛物线的解析式求得a 的值即可．

【详解】

（1）当y=0时，14

0 33

x

-=，解得x=4，即A（4，0），抛物线过点A，对称轴是x=

3

2

，得

16120

33

22

a c

a

-+=

⎧

⎪

-

⎨

-=

⎪⎩

，

解得

1

4

a

c

=

⎧

⎨

=-

⎩

，抛物线的解析式为y=x2﹣3x﹣4；

（2）∵平移直线l经过原点O，得到直线m，

∴直线m的解析式为y=1

3

x．

∵点P是直线1上任意一点，

∴设P（3a，a），则PC=3a，PB=a．

又∵PE=3PF，

∴PC PB

PF PE

=．

∴∠FPC=∠EPB．

∵∠CPE+∠EPB=90°，

∴∠FPC+∠CPE=90°，

∴FP⊥PE．

（3）如图所示，点E在点B的左侧时，设E（a，0），则BE=6﹣a．

∵CF=3BE=18﹣3a，

∴OF=20﹣3a．

∴F（0，20﹣3a）．

∵PEQF为矩形，

∴

22

x x x x

Q P F E

++

=，

22

y y y y

Q P F E

++

=，

∴Q x+6=0+a，Q y+2=20﹣3a+0，

∴Q x=a﹣6，Q y=18﹣3a．

将点Q的坐标代入抛物线的解析式得：18﹣3a=（a﹣6）2﹣3（a﹣6）﹣4，解得：a=4或a=8（舍去）．

∴Q（﹣2，6）．

如下图所示：当点E 在点B 的右侧时，设E （a ，0），则BE=a ﹣6．

∵CF=3BE=3a ﹣18，

∴OF=3a ﹣20．

∴F （0，20﹣3a ）．

∵PEQF 为矩形， ∴22x x x x Q P F E ++=，22

y y y y Q P F E ++=， ∴Q x +6=0+a ，Q y +2=20﹣3a+0，

∴Q x =a ﹣6，Q y =18﹣3a ． 将点Q 的坐标代入抛物线的解析式得：18﹣3a=（a ﹣6）2﹣3（a ﹣6）﹣4，解得：a=8或a=4（舍去）．

∴Q （2，﹣6）．

综上所述，点Q 的坐标为（﹣2，6）或（2，﹣6）．

【点睛】

本题主要考查的是二次函数的综合应用，解答本题主要应用了矩形的性质、待定系数法求二次函数的解析式、中点坐标公式，用含a 的式子表示点Q 的坐标是解题的关键．

2．如图，关于x 的二次函数y=x 2+bx+c 的图象与x 轴交于点A （1，0）和点B 与y 轴交于点C （0，3），抛物线的对称轴与x 轴交于点D ．

（1）求二次函数的表达式；

（2）在y 轴上是否存在一点P ，使△PBC 为等腰三角形？若存在．请求出点P 的坐标； （3）有一个点M 从点A 出发，以每秒1个单位的速度在AB 上向点B 运动，另一个点N 从点D 与点M 同时出发，以每秒2个单位的速度在抛物线的对称轴上运动，当点M 到达

点B 时，点M 、N 同时停止运动，问点M 、N 运动到何处时，△MNB 面积最大，试求出最大面积．

【答案】（1）二次函数的表达式为：y=x 2﹣4x+3；（2）点P 的坐标为：（0，

（0，3﹣）或（0，-3）或（0，0）；（3）当点M 出发1秒到达D 点时，△MNB 面积最大，最大面积是1．此时点N 在对称轴上x 轴上方2个单位处或点N 在对称轴上x 轴下方2个单位处．

【解析】

【分析】

（1）把A （1，0）和C （0，3）代入y=x 2+bx+c 得方程组，解方程组即可得二次函数的表达式；

（2）先求出点B 的坐标，再根据勾股定理求得BC 的长，当△PBC 为等腰三角形时分三种情况进行讨论：①CP=CB ；②BP=BC ；③PB=PC ；分别根据这三种情况求出点P 的坐标； （3）设AM=t 则DN=2t ，由AB=2，得BM=2﹣t ，S △MNB=12

×（2﹣t ）×2t=﹣t 2+2t ，把解析式化为顶点式，根据二次函数的性质即可得△MNB 最大面积；此时点M 在D 点，点N 在对称轴上x 轴上方2个单位处或点N 在对称轴上x 轴下方2个单位处．

【详解】

解：（1）把A （1，0）和C （0，3）代入y=x 2+bx+c ，

103b c c ++=⎧⎨=⎩

解得：b=﹣4，c=3，

∴二次函数的表达式为：y=x 2﹣4x+3；

（2）令y=0，则x 2﹣4x+3=0，

解得：x=1或x=3，

∴B （3，0），

∴

点P 在y 轴上，当△PBC 为等腰三角形时分三种情况进行讨论：如图1，

①当CP=CB 时，，∴或OP=PC ﹣﹣3

∴P

1（0，P 2（0，3﹣

②当PB=PC 时，OP=OB=3，

∴P 3（0，-3）；

③当BP=BC 时，

∵OC=OB=3

∴此时P 与O 重合，

∴P 4（0，0）；

综上所述，点P 的坐标为：（0，0，3﹣3，0）或（0，0）；