3.2.1圆对称性(垂径定理)

九年级数学(下)
3.2
圆对称性(1) 垂径定理
3.2 圆的对称性
复习提问：
1、什么是轴对称图形？我们在直线形中学过哪 些轴对称图形？
如果一个图形沿一条直线对折，直线两旁的部 分能够互相重合，那么这个图形叫轴对称图形。如 线段、角、等腰三角形、矩形、菱形、等腰梯形、 正方形
圆是轴对称图形吗？
如果是,它的对称轴是什么?你能找到多 少条对称轴？ 你是用什么方法解决上述问题的?
判断 挑战自我 填一填
⑴垂直于弦的直线平分弦，并且平分弦所对的弧( × ) ⑵弦所对的两弧中点的连线,垂直于弦,并且经过圆心 (√ )
⑶圆的不与直径垂直的弦必不被这条直径平分 ( × ) ⑷平分弦的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧 (× ) ⑸圆内两条非直径的弦不能互相平分（ √ ）
挑战自我 填一填
(1)直径是弦（. √） (2)过圆心的线段是直径（. ×） (3)半圆是弧（. √） (4)两个半圆是等弧（. ×）
(5)面积不等的两圆不是等圆（. √） (6)长度相等的两条弧是等弧（. ×） 弧长 HG = 3.84 cm
H 弧长 FE = 3.84 cm
G
E
F
C
A
看一看
C
.O
A E B D
O
ADOOA=B90+AOC=90
OAB=90-35=55
挑战自我 做一做
如图，在扇形OAB中，C是AB的中点，OC交 AB于点D AOC=35 ,AD=16cm
求（1） OAB的度数（2）AB的长
C
A
D
解：（2）
B
AC=CB ，CD经过圆心O（已知）
DB=AD=16cm
O
(如果圆的直径平分弧，那么这条直径
3.2 圆的对称性 圆是轴对称图形.
圆的对称轴是任意一条经过圆心的直线,它 有无数条对称轴.
可利用折叠的方法即可解决上述问题.
●O
M
A
D
圆是轴对称图形，
经过圆心的
O
每一条直线都是
它的对称轴。
C B
N
M
A
D 或： 任意一条直
径所在的直线都是
圆的对称轴。
O
任意一条直径都是
C
圆的对称轴（ ）
B
N
练习1.判断题
以A,B两点为端点的弧.记作 A⌒B,读作“弧
连AB接”圆. 上任意两点间的线段叫做弦(chord)(如弦AB). 经过圆心的弦叫做直径(diameter)(如直径AC).
直径将圆分成两部分,每一部分都叫做半圆(如弧A⌒BC).
B
m
小于半圆的弧叫做劣弧,如记作 A⌒B
(用两个字母).
A
●O
大于半圆的弧叫做优弧,如记作 A⌒mB
C (用三个字母).
D
弓形:由弦及其所对的弧组成的图形叫做弓形.
A
B
A
B
同心圆:圆心相同、半径不相等的两个圆叫
做同心圆。 r1 r2
O
r r
O O
等圆、等弧:能够重合的两个圆叫做等圆. 在同圆或等圆中,能够互相重合的弧叫做等弧.
平分这条弧所对的弦)
AB=2AD=32cm
C
A
B
A
.
O
O.
E AC
DB
小结:
M D B
.O
N
解决有关弦的问题，经常是过圆心作
弦的垂线，或作垂直于弦的直径，连结半 径等辅助线，为应用垂径定理创造条件。
挑战自我再上新台阶
已知：AB是⊙O直径， CD是弦，AE⊥CD， BF⊥CD
B
O.
求证：EC＝DF
④⑤ ①②③ 平分弦所对的两条弧的直线经过圆心,并且垂直平分弦.
垂径定理的推论2
如果圆的两条弦互相平行,那么这两条弦所夹的弧相等吗?
老师提示: 这两条弦在圆中位置有两种情况: 1.两条弦在圆心的同侧 2.两条弦在圆心的两侧
A
●O
B
A
B
●O
C
D
M
C
D
M
垂径定理的推论 圆的两条平行弦所夹的弧相等.
B
结论：
②MN⊥AB ④弧AM=弧BM ⑤弧AN=弧BN
推论1. (1)平分弦（不是直径）
的直径垂直于弦，并且平分 弦所对的两条弧。
推论1.
(1)平分弦（不是直径）
的直径垂直于弦，并且平分
M
弦所对的两条弧。
A
一个圆的任意两 条直径总是互相平分，C 但是它们不一定互相 垂直。因此这里的弦 如果是直径，结论就 不一定成立。
变式一： 求弧AB的四等分点。
C
m
n
F
E
G
A B
D
C m
E A
变式二：你能确定 弧AB的圆心吗？
O D
n B
圆 你能破镜重 吗？
n
m C
A
B
·O
作弦AB．AC及它们的垂直平分 线m．n，交于O点；以O为圆心，OA 为半径作圆。
圆 破镜重
m
n
C
A
B
·O
作图依据：
弦的垂直平分线经过圆心,并且平分弦所对的两条弧。
垂径定理
垂直于弦的直径平分这条弦，并 且平分弦所对的两条弧.
题设
结论
｝ （1）直径
（2）垂直于弦
｛（3）平分弦 （4）平分弦所对的优弧 （5）平分弦所对的劣弧
垂径定理三种语言
定理: 垂直于弦的直径平分弦,
并且平分弦所对的两条弧.
如图∵ CD是直径,
C
CD⊥AB,
老师提示: 垂径定理是
A M└
O到AB的距离为3厘米，
求⊙O的半径。
E
B
.
O
解：连结OA. 过O作OE⊥AB，垂足为E，
则OE＝3厘米，AE＝BE。
∵AB＝8厘米
∴AE＝4厘米
在Rt △AOE中，根据勾股定理有OA＝5厘米 ∴⊙O的半径为5厘米
课题：垂直于弦的直径(2)
垂径定理的推论
M
O
C A
探索一：
N
①直线MN过圆心 ③ AC=BC
④A⌒C = B⌒C,
⑤
⌒
AD
=
⌒
BD.
C
只要具备其中两个条件,
A M└
B 就可推出其余三个结论.
●O
你可以写出相应的命题吗?
D
垂径定理及逆定理
C
① CD是直径
,④A⌒C=B⌒C,
②⑤AC⌒DD=⊥B⌒DA.B, ③ AM=BM,
条件 结论
命
题
A M└
B
●O
①② ③④⑤ 垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所的两条弧. ①③ ②④⑤ 平分弦(不是直径)的直径垂直于弦,并且平 分弦所对的两D 条弧.
AE≠BE
C
.O
A
E
B
D
AE＝BE
垂径定理
A⌒mB
AB是⊙O的一条弦.
作直径CD,使CD⊥AB,垂足为M.
下图是轴对称图形吗?如果是,其对称轴是什么?
C
A M└
你能发现图中有哪些等量关系? B 与同伴说说你的想法和理由.
●O
题设
D 由 ① CD是直径 ② CD⊥AB
可推得
结论
③AM=BM,
B ∴AM=BM,
圆中一个重
●O
A⌒C =B⌒C, A⌒D=B⌒D.
要的结论,三
种语言要相 互转化,形成
D
整体,才能运 用自如.
在下列图形中，你能否利用垂径定理 找到相等的线段或相等的圆弧
D
A
B
E
A
O
O
CE
O
A
E
B
B
C
A
C D
O
E
C
D
AE
B
D
O
BA
E
B
C
练习
如图，已知在⊙O中， 弦AB的长为8厘米，圆心 A
A
EC
DF
回味引伸
垂径定理及其推论1的实质是把(1)直线MN过圆心;
(2)直线MN垂直AB;
(3)直线MN平分AB;
(4)直线MN平分弧AMB; (5)直线MN平分弧ANB
中的两个条件进行了四种组合,分别推出了其余的三个
结论.这样的组合还有wk.baidu.com种，由于时间有限,课堂上未作
进一步的推导,同学们课下不妨试一试.
D O
B N
M
O
A
探索二：
② MN⊥AB ③ AC=BC
C B
N
①直线MN过圆心O ④弧AM=弧BM ⑤弧AN=弧BN
推论1:
(2)弦的垂直平分线 经过圆心,并且平分弦 所对的两条弧;
M
O
C
A
探索三：
N
①直线MN过圆心O ⑤弧AN=弧BN
B
② MN⊥AB ③ AC=BC ④弧AM=弧BM
推论1:
(3)平分弦所对的 一条弧的直径,垂直平 分弦,并且平分弦所对 的另一条弧。
错在哪里？
●作AB的垂直平分线CD。 E
C G
●作AT．BT的垂直
平分线EF．GH
N
M
P
A
T
B
等分弧时一
定要作弧所夹弦
的垂直平分线。
F
H D
垂径定理的逆定理
如图,在下列五个条件中:
① CD是直径, ② CD⊥AB, ③ AM=BM,
讲解
M
如果圆的两条弦互相平 C 行，那么这两条弦所夹 A 的弧相等.
D B
.O
已知：⊙O中弦AB∥CD.
求证：A⌒C＝B⌒D N
证明：作直径MN⊥AB. ∵AB∥CD，∴MN⊥CD.
则A⌒M＝B⌒M，C⌒M＝D⌒M （垂直平分弦的直径平分弦所对的弦）
A⌒M－C⌒M
＝
⌒
BM
－D⌒M
∴A⌒C＝B⌒D
圆的两条平行弦所夹的弧相等
课堂小结：
本节课探索发现了垂径定理的推论1和推
论2,并且运用推论1等分弧。
●要分清推论1的题设和结论,即已知什么条 件,可推出什么结论. 这是正确理解应用推论1 的关键;
●例3是基本几何作图,会通过作弧所夹弦
的垂直平分线来等分弧.能够体会转化思想
在这里的运用.
圆的相关概念
A⌒mB
圆上任意两点间的部分叫做圆弧,简称弧(arc).
①④ ②③⑤ 平分弦所对的一条弧的直径,垂直平分弦,并且平分弦所对的 ①⑤ ②③④ 另一条弧.
②③ ②④ ②⑤
①④⑤ 弦的垂直平分线经过圆心,并且平分这条弦所对的两条弧.
①③⑤ 垂直于弦并且平分弦所对的一条弧的直线经过圆心,并且 ①③④ 平分弦和所对的另一条弧.
③④ ①②⑤ 平分弦并且平分弦所对的一条弧的直线经过圆心,垂直于 ③⑤ ①②④ 弦,并且平分弦所对的另一条弧.
（6）平分弦的直径，平分这条弦所对的弧。
（7）平分弦的直线，必定过圆心。
（8）一条直线平分弦（这条弦不是直径），那么这
条直线垂直这条弦。
A
C
C
C
OD
(1) B
•O
A
B
(2) D
•O
A
B
(3) D
挑战自我 填一填
(9)弦的垂直平分线一定是圆的直径. ⑽平分弧的直线，平分这条弧所对的弦. ⑾弦垂直于直径，这条直径就被弦平分.
弧AB 的中点，OC交AB 于D ，AB = 6cm ，
CD = 1cm. 求⊙O 的半径OA.
C
A
B
D
O
挑战自我做一做
4.如图,圆O与矩形ABCD交于E、F、G、 H,EF=10,HG=6,AH=4.求BE的长.
A
H MG
D
BE
·N
F
C
0
挑战自我 做一做
5. 已知：AB和CD是⊙O内的两条平行弦，AB=6cm， CD=8cm，⊙O的半径为5cm， （1）请根据题意画出符合条件的图形
•O ACB
(4)
B
•O D
C
A
(5)
C
•O A EB
D (6)
挑战自我 填一填
2.已知：如图,⊙O 中,弦AB∥CD,AB＜CD,
直径MN⊥AB,垂足为E,交弦CD于点F.
图中相等的线段有 :
B
M
.
E
D
图中相等的劣弧有:
A
.
OF
C N
挑战自我 做一做
3、已知：如图，⊙O 中， AB为 弦，C 为
推论2.
圆的两条平行弦所夹 的弧相等。
挑战自我画一画
如图,M为⊙O内的一点,利用尺规作一条弦AB, 使AB过点M.并且AM=BM.
●M ●O
挑战自我画一画 C
例：平分已知弧
AB
已知：弧AB
E
求作：弧AB的中点
A
B
作法：
⒈ 连结AB.
⒉作AB的垂直平分线 CD，交弧AB于点E. D
点E就是所求弧AB的中点。
（2）求出AB、与CD间的距离。
A
B
O
C
D
（1）
A C
B
D O
（2）
挑战自我 做一做
A⌒B
如图，在扇形OAB中，C是AB的中点，OC交
AB于点D AOC=35 ,AD=16cm
求（1） OAB的度数（2）AB的长
C
解：（1）
A
D
B AC=CB，OC 是半径（已知）
OCAB
(如果圆的直径平分弧，那么这 条直径垂直这条弧所对的弦）
④A⌒C=B⌒C, ⑤A⌒D=B⌒D.
垂径定理 如图,小明的理由是:
连接OA,OB, 则OA=OB.
在Rt△OAM和Rt△OBM中,
C
∵OA=OB，OM=OM， A M└
B
∴Rt△OAM≌Rt△OBM.
●O
∴AM=BM.
∴点A和点B关于CD对称. D ∵⊙O关于直径CD对称,
∴ 重合当,圆⌒ A沿C着和B⌒直C径重合CD, 对⌒ AD折和时B⌒D,点重合A与. 点B ∴A⌒C =B⌒C, A⌒D =B⌒D.