量子力学9-10一维定态
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定态波函数的形式为
(1)
ψ ( x , t ) = ψ ( x )e − iEt /
(2)代(1)可得 粒子能量的本征方程
( 2)
2 d2 + V ( x )ψ ( x ) = Eψ ( x ) − 2 2 m dx
若不作特别说明，有
(3)
V ∗(x) = V (x)
( 4)
2
则归一化的波函数为
练习：若势函数为
0, V (x) = ∞ ,
x < a/2 x > a/2
求粒子的能量和本征函数。
讨论
(1) 粒子的最低能量不为零
2π 2 E1 = 2ma 2
利用不确定性关系也可求解：
∆x ~ a
则
∆p ~ / ∆x = a / ∆x
E ~ p 2 / 2m ~ ( ∆p ) 2 / 2m ~ 2 / 2ma 2 ≠ 0
(4) 波函数在全空间每一点通常应满足单值、有限、 连续三个条件，该条件称为波函数的标准条件。
第三章 一维定态问题
l
l l l
在继续阐述量子力学基本原理之前，先用 Schrodinger 方程来处理一类简单的问 题——一维定态问题。其好处有四： （1）有助于具体理解已学过的基本原理； （2）有助于进一步阐明其他基本原理； （3）处理一维问题，数学简单，从而能对结果进行细致讨论，量子体系的许多特 征都可以在这些一维问题中展现出来； （4）一维问题还是处理各种复杂问题的基础。
能量本征态是离散的，下面定性讨论束缚态粒子量子的离散性 能量本征方程
ψ ′′( x ) = −
2m [ E − V ( x )]ψ ( x ) 2
在经典允许区，V(x) < E, 波函数是x的震荡函数(sinkx, coskx),且 E-V(x)越大的地方振动越快。由于Ψ´´与Ψ正负号相反， Ψ总是向 x轴弯曲。(见图a)
含时薛定谔方程导引
哈密顿-雅可比方程，可以推导出最小作用 量原理与费马原理
五大公设 (1)、第一公设 ——波函数公设 状态由波函数表示；波函数的概率诠释；对波函数 性质的要求。 (2)、第二公设 ——算符公设 (3)、第三公设 ——测量公设
(4)、第四公设 ——微观体系动力学演化公设，或薛定谔方 程 公设 (5)、第五公设 ——微观粒子全同性原理公设
薛定谔给出的薛定谔方程能够正确地描述波函数的
量子行为。在那时，物理学者尚不清楚如何诠释波 函数，薛定谔试图以电荷密度来诠释波函数的绝对 值平方，但并不成功。1926年，玻恩提出概率幅 的概念，成功地诠释了波函数的物理意义。但是薛 定谔与爱因斯坦观点相同，都不赞同这种统计或概 率方法，以及它所伴随的非连续性波函数坍缩。爱 因斯坦主张，量子力学是个决定性理论的统计近似。 在薛定谔有生的最后一年，写给玻恩的一封信中， 他清楚地表示他不接受哥本哈根诠释。
d2 2mE ψ + 2 ψ =0 2 dx
令
k = 2mE /
(3)
则方程的解为 边界条件： 由 由 得
ψ ( x ) = A sin( kx + δ )
ψ (0 ) = ψ ( a ) = 0
ψ (0 ) = 0
ψ (a ) = 0
δ =0
sin ka = 0
ka = nπ , n = 1,2,3,(6)
由波函数及其导数在边界上的连续性，可得到
(ln cos kx )′ x = a / 2 = (ln e − βx )′
由此得到 令
x =a / 2
k tan( ka / 2) = β
ξ = ka / 2, η = βa / 2
( 20)
( 21)
则式(20)可化为
ξ tan ξ = η
( 22)
由(15), (18), (21)得到
V0
V=0
V0
0, V (x ) = V0 ,
a x< 2 a x≥ 2
(13)
Ⅰ
Ⅱ 0
Ⅲ
-a/2
a/2
x
仅讨论束缚态(0<E<V0)，从经典力学看，粒子将被限制在阱内运动， 阱外是经典禁区，阱内是经典允许区，但从量子力学则不然。 在经典禁区，能量本征方程为
令
d2 2m ψ − 2 (V0 − E )ψ = 0 2 dx β = 2m(V0 − E ) /
(4)基态动量波函数问题
Pauli求解
ϕ1 ( p )
2
1 π 1 π = δ p − + δ p + 2 2a 2 2a
表明阱中的动量谱是两个在全实轴上反向运动的单色de Broglie波 叠加而成的驻波。 Landau 做法
1 φ1 ( p ) = 2π
物理界最豪华聚会--1927年索尔维会议
1900年，马克斯·普朗克,黑体辐射中,电磁辐射能量量子化 ,E=h\nu。 1905年，爱因斯坦,光电效应,光子 1924年，德布罗意假说,量子化轨道 在1925年，瑞士苏黎世每两周会举办一场物理学术研讨会。有一次，
主办者彼得·德拜邀请薛定谔讲述关于德布罗意的波粒二象性博士论文。 那段时期，薛定谔正在研究气体理论，他从阅读爱因斯坦关于玻色-爱 因斯坦统计的论述中，接触德布罗意的博士论文，在这方面有很精深 的理解。在研讨会里，他将波粒二象性阐述的淋漓尽致，大家都听的 津津有味。德拜指出，既然粒子具有波动性，应该有一种能够正确描 述这种量子性质的波动方程。他的意见给予薛定谔极大的启发与鼓舞， 他开始寻找这波动方程。检试此方程最简单与基本的方法就是，用此 方程来描述氢原子内部束缚电子的物理行为，而必能复制出玻尔模型 的理论结果，另外，这方程还必须能解释索末菲模型给出的精细结构。
这篇论文迅速在量子学术界引起震撼。普朗克表示
“他已阅读完毕整篇论文，就像被一个迷语困惑多 时，渴慕知道答案的孩童，现在终于听到了解答”。 爱因斯坦称赞，这著作的灵感如同泉水般源自一位 真正的天才。爱因斯坦觉得，薛定谔已做出决定性 贡献。由于薛定谔所创建的波动力学涉及到众所熟 悉的波动概念与数学，而不是矩阵力学中既抽象又 陌生的矩阵代数，量子学者都很乐意地开始学习与 应用波动力学。自旋的发现者乔治·乌伦贝克惊叹， “薛定谔方程给我们带来极大的解救！”沃尔夫 冈·泡利认为，这论文应可算是近期最重要的著作。
(14)
(15)
则方程(14)的解具有下列形式：
ψ ~e
± βx
考虑到束缚态的边界条件： 波函数应取如下的形式
x → ∞, ψ → 0
− βx Ae , x ≥ a/2 ψ ( x ) = βx Be , x ≤ − a / 2
(16)
在经典允许区，能量本征方程为
d2 2mE ψ + 2 ψ =0 2 dx
( 25) ( 26)
或写成
− ξ cot ξ = η
η
解(22)，(26)组成的方程组，可确定能量本征值。
η=-ζcotζ 2 1 O ξ
π/2
π
3π/2
由上面两图可见： 在对称方势阱下，无论V0a2的值多小，方程组 (22)与(23)至少有一个根，即，至少存在一个束缚态(基态)，其宇称 为偶；当V0a2增大时，将出现偶宇称第一激发态、第二激发态、…
•
（1）一个算符作用于一个函数上得到一个常数乘以该函数这与数 学物理方法中的本征值方程相似。 数学物理方法中：微分方程 + 边界条件构成本征值问题；
（2）量子力学中：波函数要满足三个标准条件，对应数学物理方 法中的边界条件，称为波函数的自然边界条件。 因此在量子力学中称与上类似的方程为束缚的本征值方程。 常量 E 称为算符 H 的本征值；Ψ称为算符 H 的本征函数。 （3） 由上面讨论可知，当体系处于能量算符本征函数所描写的状 态（简称能量本征态）时，粒子能量有确定的数值，这个数 值就是与这个本征函数相应的能量算符的本征值。
2.2.1 无限深方势阱， 离散谱 求解 S — 方程 分四步： （1）列出各势域的一维S—方程 （2）解方程 （3）使用波函数标准条件定解 （4）确定归一化系数
势函数
V(x)
I
II
III
0
a
0, V ( x) = ∞ ,
0< x<a x < 0, x > a
在阱内(0<x<a), 薛定谔方程为
令
(17)
(18)
k = 2mE /
方程(17)的解具有如下形式：
e ± ikx ,
or, sin kx , cos kx
考虑到势阱具有空间反射不变性，按照定理4，束缚态能量必有 确定的宇称，因此只能取sinkx, coskx 的形式。
(a) Βιβλιοθήκη Baidu宇称态
ψ ( x ) ~ cos kx ,
x ≤ a / 2, (19)
ψ 2 m+1 (x ) =
ψ 2 m (x ) =
n +1
(2)波函数的对称性 当n奇数时，波函数为对称的 当n偶数时，波函数为反对称的
1 a
1
( 2m + 1)πx cos
2a
mπx sin a a
即
ψ n (− x ) = (− 1) ψ n ( x )
各能级波函数的节点数位n-1 (3) 波函数在整个空间中连续，但其微商在x=0和x=a点不连续
l
§1 一维无限深势阱 §2 线性谐振子 §3 一维势散射问题
§1
一维无限深势阱
l l l l
（一）一维运动 （二）一维无限深势阱 （三）宇称 （四）讨论
§2.1 一维势场中粒子能量本征态的一般性质
设质量为m的粒子沿x轴运动，势能是V(x)，则薛定谔方程是
2 ∂2 ∂ + V ( x )ψ ( x , t ) i ψ ( x , t ) = − 2 ∂t 2m ∂x
2 2
+∞
−∞
∫ dxe
−i
px
ψ1 ( x )
φ1 ( p )
ap πa cos 2 2 −2 ap π = − , 2 2
谁对？谁错？
(− ∞ < p < +∞ )
2.2.2 有限深对称方势阱问题
由(3)，(6)得
2π 2 n 2 , n = 1,2,3, E = En = 2 2ma
即一维无限深势阱中粒子的能量是量子化的，能谱是离散的
波函数为 归一化
ψ n ( x ) = A sin( nπx / a ), (0 < x < a )
∫
a
0
ψ n ( x ) dx = 1
2 nπx sin , 0 < x < a ψn = a a 0, x < 0, x > a
ξ 2 + η 2 = mV0 a 2 / 2 2
( 23)
(22),(23) 组成的超越方程组可用图解法求解.
η=ζtanζ η
2 1 O π/2
π
3π/2
ξ
(b) 奇宇称态
ψ ( x ) ~ sin kx ,
− k cot( ka / 2) = β
x ≤ a / 2, ( 24)
与偶宇称的情况类似，利用波函数的边界条件可得到
很快，薛定谔就通过德布罗意论文的相对论性理论，
推导出一个相对论性波动方程，他将这方程应用于 氢原子，计算出束缚电子的波函数。但很可惜。因 为薛定谔没有将电子的自旋纳入考量，所以从这方 程推导出的精细结构公式不符合索末菲模型。他只 好将这方程加以修改，除去相对论性部分，并用剩 下的非相对论性方程来计算氢原子的谱线。解析这 微分方程的工作相当困难，在其好朋友数学家赫尔 曼·外尔鼎力相助下，他复制出了与玻尔模型完全 相同的答案。因此，他决定暂且不发表相对论性部 分，只把非相对论性波动方程与氢原子光谱分析结 果，写为一篇论文。1926年，他正式发表了这论 文。
ψ ( x ) > 0, ψ ′′( x ) < 0, ψ ( x )曲线向下弯 ψ ( x ) < 0, ψ ′′( x ) > 0, ψ ( x )曲线向上弯
奇宇称态与此不同，只当
ξ 2 + η 2 = mV0 a 2 / 2 2 ≥ π 2 /4
即
V0 a 2 ≥ π 2 2 /2m
( 27)
才能出现最低的奇宇称能级。
2.2.3 束缚态与离散谱
束缚态是指粒子被束缚在有限区域内，在无穷远处粒子出现的 概率为零，即，
x → ∞, ψ ( x ) → 0
2 2 [− ∇ +V ] ψ ( r ) = Eψ ( r ) 2µ
2 2 ∂ ˆ i Ψ ( r , t ) = [ − ∇ + V (r )]Ψ (r , t ) = HΨ (r , t ) ∂t 2µ
[− ∇ 2 + V ]Ψ = EΨ 2µ
ˆ Ψ = EΨ H
(1)
ψ ( x , t ) = ψ ( x )e − iEt /
(2)代(1)可得 粒子能量的本征方程
( 2)
2 d2 + V ( x )ψ ( x ) = Eψ ( x ) − 2 2 m dx
若不作特别说明，有
(3)
V ∗(x) = V (x)
( 4)
2
则归一化的波函数为
练习：若势函数为
0, V (x) = ∞ ,
x < a/2 x > a/2
求粒子的能量和本征函数。
讨论
(1) 粒子的最低能量不为零
2π 2 E1 = 2ma 2
利用不确定性关系也可求解：
∆x ~ a
则
∆p ~ / ∆x = a / ∆x
E ~ p 2 / 2m ~ ( ∆p ) 2 / 2m ~ 2 / 2ma 2 ≠ 0
(4) 波函数在全空间每一点通常应满足单值、有限、 连续三个条件，该条件称为波函数的标准条件。
第三章 一维定态问题
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l l l
在继续阐述量子力学基本原理之前，先用 Schrodinger 方程来处理一类简单的问 题——一维定态问题。其好处有四： （1）有助于具体理解已学过的基本原理； （2）有助于进一步阐明其他基本原理； （3）处理一维问题，数学简单，从而能对结果进行细致讨论，量子体系的许多特 征都可以在这些一维问题中展现出来； （4）一维问题还是处理各种复杂问题的基础。
能量本征态是离散的，下面定性讨论束缚态粒子量子的离散性 能量本征方程
ψ ′′( x ) = −
2m [ E − V ( x )]ψ ( x ) 2
在经典允许区，V(x) < E, 波函数是x的震荡函数(sinkx, coskx),且 E-V(x)越大的地方振动越快。由于Ψ´´与Ψ正负号相反， Ψ总是向 x轴弯曲。(见图a)
含时薛定谔方程导引
哈密顿-雅可比方程，可以推导出最小作用 量原理与费马原理
五大公设 (1)、第一公设 ——波函数公设 状态由波函数表示；波函数的概率诠释；对波函数 性质的要求。 (2)、第二公设 ——算符公设 (3)、第三公设 ——测量公设
(4)、第四公设 ——微观体系动力学演化公设，或薛定谔方 程 公设 (5)、第五公设 ——微观粒子全同性原理公设
薛定谔给出的薛定谔方程能够正确地描述波函数的
量子行为。在那时，物理学者尚不清楚如何诠释波 函数，薛定谔试图以电荷密度来诠释波函数的绝对 值平方，但并不成功。1926年，玻恩提出概率幅 的概念，成功地诠释了波函数的物理意义。但是薛 定谔与爱因斯坦观点相同，都不赞同这种统计或概 率方法，以及它所伴随的非连续性波函数坍缩。爱 因斯坦主张，量子力学是个决定性理论的统计近似。 在薛定谔有生的最后一年，写给玻恩的一封信中， 他清楚地表示他不接受哥本哈根诠释。
d2 2mE ψ + 2 ψ =0 2 dx
令
k = 2mE /
(3)
则方程的解为 边界条件： 由 由 得
ψ ( x ) = A sin( kx + δ )
ψ (0 ) = ψ ( a ) = 0
ψ (0 ) = 0
ψ (a ) = 0
δ =0
sin ka = 0
ka = nπ , n = 1,2,3,(6)
由波函数及其导数在边界上的连续性，可得到
(ln cos kx )′ x = a / 2 = (ln e − βx )′
由此得到 令
x =a / 2
k tan( ka / 2) = β
ξ = ka / 2, η = βa / 2
( 20)
( 21)
则式(20)可化为
ξ tan ξ = η
( 22)
由(15), (18), (21)得到
V0
V=0
V0
0, V (x ) = V0 ,
a x< 2 a x≥ 2
(13)
Ⅰ
Ⅱ 0
Ⅲ
-a/2
a/2
x
仅讨论束缚态(0<E<V0)，从经典力学看，粒子将被限制在阱内运动， 阱外是经典禁区，阱内是经典允许区，但从量子力学则不然。 在经典禁区，能量本征方程为
令
d2 2m ψ − 2 (V0 − E )ψ = 0 2 dx β = 2m(V0 − E ) /
(4)基态动量波函数问题
Pauli求解
ϕ1 ( p )
2
1 π 1 π = δ p − + δ p + 2 2a 2 2a
表明阱中的动量谱是两个在全实轴上反向运动的单色de Broglie波 叠加而成的驻波。 Landau 做法
1 φ1 ( p ) = 2π
物理界最豪华聚会--1927年索尔维会议
1900年，马克斯·普朗克,黑体辐射中,电磁辐射能量量子化 ,E=h\nu。 1905年，爱因斯坦,光电效应,光子 1924年，德布罗意假说,量子化轨道 在1925年，瑞士苏黎世每两周会举办一场物理学术研讨会。有一次，
主办者彼得·德拜邀请薛定谔讲述关于德布罗意的波粒二象性博士论文。 那段时期，薛定谔正在研究气体理论，他从阅读爱因斯坦关于玻色-爱 因斯坦统计的论述中，接触德布罗意的博士论文，在这方面有很精深 的理解。在研讨会里，他将波粒二象性阐述的淋漓尽致，大家都听的 津津有味。德拜指出，既然粒子具有波动性，应该有一种能够正确描 述这种量子性质的波动方程。他的意见给予薛定谔极大的启发与鼓舞， 他开始寻找这波动方程。检试此方程最简单与基本的方法就是，用此 方程来描述氢原子内部束缚电子的物理行为，而必能复制出玻尔模型 的理论结果，另外，这方程还必须能解释索末菲模型给出的精细结构。
这篇论文迅速在量子学术界引起震撼。普朗克表示
“他已阅读完毕整篇论文，就像被一个迷语困惑多 时，渴慕知道答案的孩童，现在终于听到了解答”。 爱因斯坦称赞，这著作的灵感如同泉水般源自一位 真正的天才。爱因斯坦觉得，薛定谔已做出决定性 贡献。由于薛定谔所创建的波动力学涉及到众所熟 悉的波动概念与数学，而不是矩阵力学中既抽象又 陌生的矩阵代数，量子学者都很乐意地开始学习与 应用波动力学。自旋的发现者乔治·乌伦贝克惊叹， “薛定谔方程给我们带来极大的解救！”沃尔夫 冈·泡利认为，这论文应可算是近期最重要的著作。
(14)
(15)
则方程(14)的解具有下列形式：
ψ ~e
± βx
考虑到束缚态的边界条件： 波函数应取如下的形式
x → ∞, ψ → 0
− βx Ae , x ≥ a/2 ψ ( x ) = βx Be , x ≤ − a / 2
(16)
在经典允许区，能量本征方程为
d2 2mE ψ + 2 ψ =0 2 dx
( 25) ( 26)
或写成
− ξ cot ξ = η
η
解(22)，(26)组成的方程组，可确定能量本征值。
η=-ζcotζ 2 1 O ξ
π/2
π
3π/2
由上面两图可见： 在对称方势阱下，无论V0a2的值多小，方程组 (22)与(23)至少有一个根，即，至少存在一个束缚态(基态)，其宇称 为偶；当V0a2增大时，将出现偶宇称第一激发态、第二激发态、…
•
（1）一个算符作用于一个函数上得到一个常数乘以该函数这与数 学物理方法中的本征值方程相似。 数学物理方法中：微分方程 + 边界条件构成本征值问题；
（2）量子力学中：波函数要满足三个标准条件，对应数学物理方 法中的边界条件，称为波函数的自然边界条件。 因此在量子力学中称与上类似的方程为束缚的本征值方程。 常量 E 称为算符 H 的本征值；Ψ称为算符 H 的本征函数。 （3） 由上面讨论可知，当体系处于能量算符本征函数所描写的状 态（简称能量本征态）时，粒子能量有确定的数值，这个数 值就是与这个本征函数相应的能量算符的本征值。
2.2.1 无限深方势阱， 离散谱 求解 S — 方程 分四步： （1）列出各势域的一维S—方程 （2）解方程 （3）使用波函数标准条件定解 （4）确定归一化系数
势函数
V(x)
I
II
III
0
a
0, V ( x) = ∞ ,
0< x<a x < 0, x > a
在阱内(0<x<a), 薛定谔方程为
令
(17)
(18)
k = 2mE /
方程(17)的解具有如下形式：
e ± ikx ,
or, sin kx , cos kx
考虑到势阱具有空间反射不变性，按照定理4，束缚态能量必有 确定的宇称，因此只能取sinkx, coskx 的形式。
(a) Βιβλιοθήκη Baidu宇称态
ψ ( x ) ~ cos kx ,
x ≤ a / 2, (19)
ψ 2 m+1 (x ) =
ψ 2 m (x ) =
n +1
(2)波函数的对称性 当n奇数时，波函数为对称的 当n偶数时，波函数为反对称的
1 a
1
( 2m + 1)πx cos
2a
mπx sin a a
即
ψ n (− x ) = (− 1) ψ n ( x )
各能级波函数的节点数位n-1 (3) 波函数在整个空间中连续，但其微商在x=0和x=a点不连续
l
§1 一维无限深势阱 §2 线性谐振子 §3 一维势散射问题
§1
一维无限深势阱
l l l l
（一）一维运动 （二）一维无限深势阱 （三）宇称 （四）讨论
§2.1 一维势场中粒子能量本征态的一般性质
设质量为m的粒子沿x轴运动，势能是V(x)，则薛定谔方程是
2 ∂2 ∂ + V ( x )ψ ( x , t ) i ψ ( x , t ) = − 2 ∂t 2m ∂x
2 2
+∞
−∞
∫ dxe
−i
px
ψ1 ( x )
φ1 ( p )
ap πa cos 2 2 −2 ap π = − , 2 2
谁对？谁错？
(− ∞ < p < +∞ )
2.2.2 有限深对称方势阱问题
由(3)，(6)得
2π 2 n 2 , n = 1,2,3, E = En = 2 2ma
即一维无限深势阱中粒子的能量是量子化的，能谱是离散的
波函数为 归一化
ψ n ( x ) = A sin( nπx / a ), (0 < x < a )
∫
a
0
ψ n ( x ) dx = 1
2 nπx sin , 0 < x < a ψn = a a 0, x < 0, x > a
ξ 2 + η 2 = mV0 a 2 / 2 2
( 23)
(22),(23) 组成的超越方程组可用图解法求解.
η=ζtanζ η
2 1 O π/2
π
3π/2
ξ
(b) 奇宇称态
ψ ( x ) ~ sin kx ,
− k cot( ka / 2) = β
x ≤ a / 2, ( 24)
与偶宇称的情况类似，利用波函数的边界条件可得到
很快，薛定谔就通过德布罗意论文的相对论性理论，
推导出一个相对论性波动方程，他将这方程应用于 氢原子，计算出束缚电子的波函数。但很可惜。因 为薛定谔没有将电子的自旋纳入考量，所以从这方 程推导出的精细结构公式不符合索末菲模型。他只 好将这方程加以修改，除去相对论性部分，并用剩 下的非相对论性方程来计算氢原子的谱线。解析这 微分方程的工作相当困难，在其好朋友数学家赫尔 曼·外尔鼎力相助下，他复制出了与玻尔模型完全 相同的答案。因此，他决定暂且不发表相对论性部 分，只把非相对论性波动方程与氢原子光谱分析结 果，写为一篇论文。1926年，他正式发表了这论 文。
ψ ( x ) > 0, ψ ′′( x ) < 0, ψ ( x )曲线向下弯 ψ ( x ) < 0, ψ ′′( x ) > 0, ψ ( x )曲线向上弯
奇宇称态与此不同，只当
ξ 2 + η 2 = mV0 a 2 / 2 2 ≥ π 2 /4
即
V0 a 2 ≥ π 2 2 /2m
( 27)
才能出现最低的奇宇称能级。
2.2.3 束缚态与离散谱
束缚态是指粒子被束缚在有限区域内，在无穷远处粒子出现的 概率为零，即，
x → ∞, ψ ( x ) → 0
2 2 [− ∇ +V ] ψ ( r ) = Eψ ( r ) 2µ
2 2 ∂ ˆ i Ψ ( r , t ) = [ − ∇ + V (r )]Ψ (r , t ) = HΨ (r , t ) ∂t 2µ
[− ∇ 2 + V ]Ψ = EΨ 2µ
ˆ Ψ = EΨ H