抛物线中的三角形面积

在直角坐标系中求面积常用方法： A
o
x
△ACD
1.寻找横向或纵向的边为底是计算面积的基本方 法。 2.不能直接求出面积时，用割补法进行转化(构 造横向或纵向的边为底是常用的方法)
回顾
y
C
y D
y D
C
y D
C
A
o
B
x
A
o
B
x
o
B
x
A
o
x
先计算顶点的坐标 再计算面积
点的坐标—核心
直接利用面积公式 割补法
3
x
4
P
P
（8）点E是此抛物线(在第一象限内)上的一个动点，设 它的横坐标为m， 试用m的代数式表示△ECB的面积.
S△ECB
3 2 9 m m 2 2
-1
A
y
D
3
C
E
当点E运动到什么位置时， △ECB的面积最大， 最大值为多少？并求出此时的 E点坐标。
．
H
B
O
F
3
x
直接利用面积公式
3
P( ,0) 或 P( ,0) 即P点的坐标为
3 2
2 3
．
y D
.
A(-1,0) B(3,0) D(1,4)
1 S ABC AB DD 2 / A oD B x 1 4 4 8 △ABD 在直角坐标系中计算三角形面积的基本方法： 2
寻找横向或纵向的边为底，再利用面积公式
2 y x 2 x 3 与 x 轴的另一交点为B点， 如图：抛物线
在的直线方程为 ． E (a，a 5) 那么，PH与直线 BC的交点坐标为 ． PH与抛物线的交点坐标为 H (a,a 2 4a ． 5) 由题意，得

y x5


3 3 2 ( a 4 a 5) ( a 5) (a 5) ① EH 2 EP ，即 ． 2 3 a a 5 解这个方程，得 或 （舍去）． 2 2 ② EH 2 EP ，即．(a 2 4a 5) (a 5) (a 5) 3 2 3 解这个方程，得 a 或 a 5 （舍去）．
C（-5，0）
D（-2，9）
27 25 14 15 2 2
S△BCD S梯形MDBO S△DMC S△BOC
M
（3）P是线段OC上的一点，过点P作PH⊥x轴，与抛物 线交于H点，若直线BC把△PCH分成面积之比为2∶3的 两部分，请求出P点的坐标

解：（3）设P点的坐标为（a，0），因为线段BC过B，CFra Baidu bibliotek点，所以BC所
2
（2）连结AC，BC.则S△ABC= 6
y
C
.
A(-1,0) B(3,0) C(0,3)
S ABC
A
o
B
x
△ABC
1 AB CO 2 1 43 6 2
2 y x 2 x 3 与 x 轴的另一交点为B 如图：抛物线
点，与y轴交于点C，点D是抛物线的顶点。
（3）连结AD，BD.则S△ABD= 8
三角形面积等于水平宽与铅垂高乘积的一半.
思考题
2 m , n x 6 x 5 0 的两个实数根， 已知： 是方程 0)，B(0，n)． 且 m n，抛物线的图像经过点 A(m，
(1）求这个抛物线 y x 2 ax b 的解析式； y x 2 4 x 5 （2）设（1）中抛物线与x轴的另一交点为C，抛物线的 顶点为D，试求出点C、D的坐标和 △BCD 的面积．
A
h B 铅垂高 C
S ABC
水平宽 a
1 ah 2
即三角形面积等于水平宽与铅垂高乘积的一半.
如图：抛物线 y x 2 2 x 3 与 x轴的另一交点为 B点，与y轴交于点C，点D是抛物线的顶点。
（5）连结CD，AD,AC.则S△ACD=
y D
C
1
.
A(-1,0)
C(O,3) D(1,4)
三角形面积等于水平宽与铅垂高乘积的一半.
拓展
（6）在抛物线上是否存在一点P，使S△PAB=S△CAB， 若存在，求出P点的坐标；若不存在，请说明理由.
y
D（1，4）
P
-1
A
3
C
P
3
O
3
B
x
3
P
P
（7）若 3S△PAB=4 S△CAB，
则符合条件的点P有几个?
3个
A
y
D（1，4） P
3
C
4
B
O
-1
抛物线中的三角形面积
讨论交流 交流讨论
如图，抛物线的顶点D坐标为（1，4）,且经过 点A(-1，0）. (1)根据以上条件你能获得哪些信息？
y
D(1,4)
3
A
C
-1
B
O
3
x
x 1
如图：抛物线 y x 2 x 3 与 x 轴的另一交点为B点， 与y轴交于点C，点D是抛物线的顶点。
三角形的一边平行（或垂直）于一条坐标轴
y y A B A B o C A(1,5) B(6,5) C(3,1) x o C x
B
A
y
C
o A(-1,6) B(4,3) C(-1,1)
x
A(-1,5) B(4,7) C(2,1)
割补法
小结
抛物线中面积问题的常用方法：
1.寻找横向或纵向的边为底是计算三角形面积 的基本方法。 2.不能直接求出面积时，用割补法进行转化(构造 横向或纵向的边为底是常用的方法)
与y轴交于点C，点D是抛物线的顶点。
（4）连结CD，BD,BC.则S△BCD=
y D
C
3
.
B(3,0)
C(O,3) D(1,4)
o
B
x
此时，没有大家期待的横向或纵向 割补法BCD的面积可以用别 的边，那么△ 的方法来求吗？
△BCD
阅读材料
如图，过△ABC的三个顶点分别作出与水平线垂直的三条 直线，外侧两条直线之间的距离叫△ABC的“水平宽”(a)， 中间的这条直线在△ABC内部线段的长度叫△ABC的“铅垂 高(h)”.我们可得出一种计算三角形面积的新方法：